Классические интегрируемые системы и их теоретико-полевые обобщения

Зотов, Андрей Владимирович

Классические интегрируемые системы и их теоретико-полевые обобщения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Зотов, Андрей Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Классические интегрируемые системы и их теоретико-полевые обобщения»

Автореферат диссертации на тему "Классические интегрируемые системы и их теоретико-полевые обобщения"

Федеральное государственное унитарное предприятие Государственный научный центр Российской Федерации Институт теоретической и экспериментальной физики

На правах рукописи

ЗОТОВ

Андрей Владимирович

Классические интегрируемые системы и их теоретико-полевые обобщения

Специальность 01 04 02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004

УДК 530.145+514.745.82 Работа выполнена в ФГУП ГНЦ РФ Институт теоретической и экспериментальной физики, г. Москва.

Научный руководитель: доктор физ -мат. наук М.А.Ольшанецкий

ФГУП ГНЦ РФ ИТЭФ, г. Москва

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук А.С.Горский

ФГУП ГНЦ РФ ИТЭФ, г. Москва

доктор физ.-мат. наук А.А.Белавив ИТФ им. Л.Д.Ландау РАН, г.Черноголовка

Ведущая организация: Объединенный институт ядерных исследований,

ЛТФ им. Н.Н .Боголюбова, г Дубна

Защита состоится " 1" июня 2004г. в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д.201.002 01 ФГУП ГНЦ РФ Института Теоретической и Экспериментальной Физики: 117259. Москва, Б.Черемушкинская, 25, ФГУП ГНЦ РФ ИТЭФ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГУП ГНЦ РФ ИТЭФ.

Автореферат разослан: "29" апреля 2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук

В.В.Васильев

1 Общая характеристика работы

1.1 Актуальность темы.

Интегрируемые системы классической механики представляют собой исключительные случаи систем дифференциальных уравнений, для которых существует нужное число независимых интегралов движения. Значительный прогресс в изучении таких систем появился в связи с открытием в конце 60-х годов К.Гарднером, Дж.Грином, М.Крускалом и Р.Миурой метода обратной задачи рассеяния, или метода изоспектральной деформации, сформулированного П.Лаксом. Идея метода очень проста. Пусть уравнения движения некоторой динамической системы удалось записать в виде

где Ь и М - пара матриц (пара Лакса). Тогда из этого уравнения следует, что матрица Ь(() в процессе эволюции подвергается преобразованию подобия:

Следовательно, собственные значения от времени не зависят, и являются интегралами движения.

Однако во многих важных случаях рассмотрение лишь конечномерных алгебр Ли недостаточно. Например, число функционально независимых инвариантов полупростой алгебры Ли равно ее рангу, так что указанные выше интегралы обеспечивают интегрируемость лишь для тех орбит, размерность которых не превышает удвоенного ранга. Это приводит к естественному обобщению конструкции - рассмотрению уравнений Лакса, содержащих дополнительный параметр г (так называемый спектральный параметр), рассматриваемый как локальная координата на римановой поверхности:

В таком виде уравнения Лакса впервые появились в работах И.Кричевера и С.Новикова. Инварианты ^(Ь(г)к), как и прежде, являются интегралами движения, но теперь уже зависят от г и, тем самым, являются производящими функциями законов сохранения.

Щ) = д(гЩ0)д-1(г), м = дт-\

Уравнения Лакса со спектральным параметром оказались исключительно полезными для исследования интегрируемых систем. Было доказано, что в общем положении эти уравнения линеаризуются на многообразии Якоби алгебраической кривой, заданной характеристическим уравнением:

Этот результат приводит, в принципе, к явному решению уравнений движения в терминах тета-функций Римана (в этом случае система называется алгебраически интегрируемой). Взгляд на матрицу Лакса, как на меро-морфную матричнозначную функцию на римановой поверхности, позволил использовать методы алгебраической геометрии.

Существенное развитие геометрического подхода произошло с появлением работы Н. Хитчина. В ней было показано, что вполне интегрируемые системы естественным образом возникают на пространстве модулей голоморфных расслоений над римановыми поверхностями. Равенство количества степеней свободы количеству независимых интегралов в инво-люпии оказалось в этой конструкции следствием теоремы Римана-Роха. Первые явные примеры систем Хитчина появились в работах А.Горского и Н.Некрасова. В частности, в работе Н.Некрасова была построена эллиптическая модель Годена, расширяющая класс спиновых обобщений модели Калоджеро-Сазерленда. Сопоставление каждому интегрируемому случаю некоторой алгебро-геометрической конструкции оказалось удобным и наглядным для классификации: Например, интегрируемые системы с рациональными потенциалами возникают на сфере, а с эллиптическим - на торе.

Параллельно развивался теоретико-групповой подход к изучению интегрируемых систем. Например, в работах М.Ольшанецкого и АПереломова было показано, что динамика некоторых многочастичных интегрируемых систем может быть получена в результате редукции свободного движения на фазовом пространстве большей размерности.

Объединение алгебро-геометрических и теоретико-групповых методов позволило решить ряд важных задач и достигнуть понимания во многих вопросах, некоторые из которых составляют содержание диссертации.

Оказалось, что применение теоретико-группового подхода к описанию систем Хитчина позволяет описывать интегрируюмую динамику сразу в терминах представления Лакса со спектральным параметром. Изначально

свободная динамика задается на пространстве сечений голоморфного векторного расслоения Е над римановой поверхностью £„ с п отмеченными точками с помощью матричнозначных полей Ф £ лЦ^'(ЕП)Епс1* Е) и связности А, задающей на Е комплексную структуру. Для этого вводится сим-плсктичсская форма

и = ! Ц£)ФЛ£)Л)

и гамильтонианы ^

где V) - некоторые (1.—], 1)-дифференциалы на Е„. Тогда динамика по временам Ц, соответствующим ]-ым гамильтонианам, свободна:

дьФ = 0.

Заданные таким образом симплектическая форма и гамильтонианы инвариантны относительно калибровочных преобразований:

ф Г1 ф/, Л г1д/ + /_1Л/.

Заметим также, что для преобразованного поля Ф' = /_1Ф/ уравнение движений имеет вид:

то есть записывается в лаксовой форме. Инвариантность симплектической формы позволяет провести гамильтонову редукцию относительно калибровочных преобразований. В результате этой редукции поле Ф становится лаксовой матрицей со спектральным параметром (локальной координатой на £„) и определяется как решение уравнения моментов:

¿»(Л,Ф) = г>Ф + [А,Ф] = о.

Наличие отмеченных точек фиксирует полюса и вычеты Ф(г).

в работе, относятся к эллиптическому случаю. Преобразование, меняющее степень, называется модификацией расслоения Е. На языке лаксовых матриц соответствующих систем оно выглядит как сингулярное калибровочное преобразование

где под сингулярностью имеется в виду вырожденность Н(г) в некоторой точке. Оказывается возможным определить Н(г) явно и, тем самым, установить калибровочную эквивалентность некоторого семейства систем, включающую эллиптическую модель Калоджеро и эллиптический волчок.

Таким образом, описанная выше конструкция с одной стороны выполняет классификационную роль, с другой - позволяет получать новые интегрируемые модели, такие как, например, системы взаимодействующих волчков. Кроме того, -кратное применение модификации переводит

исходную систему в себя, то есть описывает преобразования Бэклунда.

где - модуль эллиптической кривой - произволь-

ные константы. Неавтономность означает, что потенциал явно зависит от

времени; роль которого играет модуль т. Оказывается, что данное уравнение можно записать в виде:

с теми же что и для автономной системы. Вообще, описан-

ная выше конструкция систем Хитчина допускает обобщение на уравнения изомондромных деформаций. При этом, модификации используются для описания и вычисления дискретных групп симметрии.

Метод обратной задачи рассеяния, разработанный Л.Фаддеевым, В. Захаровым и А. Шабатом, позволяет получать законы сохранения для уравнений в частных производных в случае, когда они записываются в виде уравнений нулевой кривизны:

д11(2)-дхМ(г) = [1(г),М(г)).

Оказывается, существует обобщение систем Хитчина, дающее конструктивный метод построения теоретико-полевых обобщений классических интегрируемых систем. Другими словами, в классе систем Хитчина можно указать способ получения

Для многочастичной системы это означает, что импульсы и координаты частиц должны рассматриваться как поля:

числение плотности к(х) является нетривиальной задачей, так как 1г(Ьк) уже не являются сохраняющимися величинами.

систем с уравнениями ренормгруппы в калибровочных теориях. Показано, что в однопетлевом приближении спектр аномальных размерностей некоторых операторов в суперсимметричных калибровочных теориях совпадает со спектром квантовых интегрируемых цепочек. Методы интегрируемых систем активно используются в исследовании задач лапласовского роста и матричных моделях.

В работе также изучаются некоторые вопросы деформационного квантования. Задача ставится следующим образом. Пусть на некотором гладком пуассоиовом многообразии М задана скобка Пуассона. В локальных координатах {х'} для пары функций / и g имеем:

где по повторяющимся индексам предполагается суммирование. Скобка Пуассона, по определению, должна быть антисимметричной и удовлетворять тождеству Якоби:

«V = -а*, а™дпа>к + аыдпа^ + с^пдпаи = 0.

Стандартная каноническая скобка для записывается

с помощью постоянной 2п х 2п матрицы Ф, которая в виде блоков п х п выглядит следующим образом:

При квантовании функции / ставится в соответствие некоторый оператор /. Для того, чтобы это соответствие было однозначным, необходимо зафиксировать упорядочение. Далее, произведение двух операторов ¡д тоже должно быть упорядочено. В результате получиться выражение, соответствующее уже не просто произведению^ а тому, что называется кванто-вымумножением •/ * д: ^

Формуладля квантового умножения в случае стандартной пуассоновой структуры на давно известна. Для симметрического Вейлевского упорядочения она имеет следующий вид:

Однако, часто фазовое пространство динамической системы не является плоским. Простейшим примером такой ситуации является вращение твердого тела. Фазовым пространством является двумерная сфера. Таким образом возникает задача написания формулы для квантового умножения в случае произвольного пуассонова бивектора Рецепт написания такого квантового умножения был сформулирован М.Концевичем:

Г+д^^гг^ытВтМ.д),

где выражения строятся с помощью графов (или диа-

грамм) Концевича, шр - постоянные коэффициенты, отвечающие графам Для значений коэффициентов указаны интегральные формулы. Однако вычислить эти коэффициенты в произвольном случае оказывается очень сложной задачей, и для их нахождения используются различные технические приемы. В диссертации предлагается воспользоваться теоремой Концевича, утверждающей, что все формулы квантового умножения эквивалентны по модулю диффеоморфизмов и некоторой калибровочной группы, действующей на пространстве квантовых умножений. Тем самым, сделав замену переменных;! г(х) в известной формуле Вей ля, можно ожидать, что с помощью калибровочной группы полученное выражение можно будет представить в виде формулы Концевича в координатах г с некоторой В работе такие вычисления проделаны до третьего порядка по Таким образом можно получить формулу Концевича с численными значениями коэффициентов. Кроме того, выясняется, что при замене переменных пуассонов бивектор преобразуется нековариантным образом. Более точно, при замене переменных к пуассоновому бивектору появляются квантовые поправки вида

1.2 Цель работы

• Исследование взаимосвязей между интегрируемыми системами и построение нового семейства интегрируемых моделей.

• Построение теоретико-полевых обобщений для некоторых классических интегрируемых систем.

• Построение линейной задачи со спектральным параметром для системы Калоджеро-Иноземцева и уравнения Пенлеве VI.

• Исследование взаимосвязи формул для квантового умножения в задаче деформационного квантования.

1.3 Научная новизна

• Получено полевое обобщение эллиптической модели Годена.

• Описаны системы взаимодействующих эллиптических волчков.

• Предложено представление Лакса со спектральным параметром на эллиптической кривой для системы Калоджеро-Иноземцева.

• Построена линейная задача со спектральным параметром на эллиптической кривой для уравнения Пенлеве VI, а в автономном случае доказана алгебраическая интегрируемость этого уравнения.

• • Показано появление квантовых поправок к пуассоновому бивектору при замене координат..

1.4 Практическая и научная ценность

• Показана эквивалентность некоторых эллиптических интегрируемых

• систем.

• Предложен метод построения теоретико-полевых обобщений для некоторого класса классических интегрируемых систем.

• Предложен новый метод описания уравнения Пенлеве VI в эллиптической форме.

• Предложен метод получения коэффициентов в формуле Концевича для деформационного квантования.

1.5 Апробация диссертации и публикации

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на теоретических семинарах ИТЭФ, а также на международных конференциях "Nonlinear Evolutionary Equations and Dynamical Systems" (Cambridge, 2001), "Quantum Groups and Integrable Systems" (Prague, 2003). По материалам диссертации опубликовано 3 работы.

1.6 Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Список литературы содержит около 100 наименований. Общий объем диссертации составляет 90 страниц.

2 Содержание диссертации

Введение обосновывает актуальность изучения рассматриваемых задач, содержит обзор литературы и методов решения.

В главе 2 описана конструкция систем Хитчина. Динамика на пространстве модулей голоморфных векторных расслоений возникает в ней в результате редукции из свободной гамильтоновой теории поля. В результате редукции это матричнозначное поле становится лаксовой матрицей для некоторой интегрируемой системы, а пространство модулей (параметров) расслоений является для этой интегрируемой системы конфигурационным пространством. Системы, получаемые вышеуказанным способом, существенно различаются в зависимости от топологического инварианта (степени) рассматриваемых расслоений. Так, например, может быть описана система Калоджеро

где vi¡ - импульсы частиц, а uk - сопряженные им координаты, или эллиптический волчок

tr(SpS),

где S - матрица NxNс нуневым следом (матрица моментов), р(а) - обратные компоненты главных моментов инерции и pS = Sap(a)cra.

Однако, как показано в главе 2, существует преобразование (модификация расслоений), которое изменяет этот инвариант, и, соответственно, переводит одну систему в другую. На языке лаксовых матриц это преобразование устанавливает калибровочную эквивалентность: Li = EL^E'1. На эллиптической кривой размерность пространства модуней голоморфных стабильных расслоений равна НОД(//, deg), где N - ранг, deg - степень расслоений. Поэтому, N последовательных применений верхних (или нижних) модификаций переводит систему в себя. Тем самым, такая процедура описывает преобразования Бэклунда.

В главе 3 методы и конструкции, описанные в главе 2, демонстрируются на различных примерах. Эллиптическая система Калоджеро и волчок описаны как системы Хитчина с deg Е = 0 и deg Е = 1 соответственно. Матрица H(z) построена таким образом, что

Таким образом устанавливается калибровочная эквивалентность между указанными системами. Интересен случай, когда HOfl(W,deg) ,N. Этой ситуации отвечают системы взаимодействующих волчков.. В главе 3 эти системы описаны явно. Гамильтониан таких систем имеет вид:

Н = I pv) - \ ££Tr{SIE.m¡.n)Tr{SIEmn)p{^-)-

где - некоторый базис в алгебре - матрица, соответ-

ствующая /- ому волчку, а vi,m¡ - его импульс и координата.

В главе 4 описан конструктивный метод построения теоретико-полевых обобщений для некоторых классических интегрируемых систем. Другими словами, для систем Хитчина указан способ получения L, М по паре Лакса в механике L, М. Метод продемонстрирован на примере двухчастичной

системы Калоджеро, уравнения движения которой можно записать в виде:

{ VI = 2Ьр'(2и)

Результатом теоретико-полевого обобщения являются следующие уравнения

/ * =- £). Л = «2 + ^ = согЫ, \ »* = в±хдг(»2иг) - 2(3«» - Л)р'(2«) + 6дг{ихр{2и)) +

представимые в виде уравнения нулевой кривизны для некоторых Ь{г),М(х), выписанных в главе 4 явно.

При этом, процедура модификации Ь\ = ¿¿■¡ВТ1 + Е-1 устанавливает калибровочную эквивалентность полученного уравнения с уравнением Ландау-Лифшипа, описывающим непрерывный предел в ХУ7 магнетике и являющимся полевым обобщением волчка:

.7(8)1 + ¿[8, 8*$].

Этот результат можно изобразить на диаграмме:

В главе 5 предложено представление Лакса со спектральным параметром для эллиптической модели Калоджеро-Иноземцева, задаваемой гамильтонианом:

яКИЧ|>«+!?2£ - ^+р(-щ++ЕЕ +«*«)•

В случае ТУ-частичной задачи пара Лакса задана 3N х 3К матрицами. Однако, как показано в главе 5, в случае одной степени свободы существует 2x2 представление. Гамильтониан в этом случае имеет вид:

Я*™ = + £ .&>(« + <*).

а-0

где "П" напоминает о связи этой системы с уравнением Пенлеве VI. Показано, что та же пара Лакса удовлетворяет кроме уравнения Лакса и уравнению изомонодромных деформаций:

дгь-дгм = [ь,м].

При этом, последнее уравнение эквивалентно уравнению Пенлеве VI.

В главе 6 проверяется утверждение М.Концевича об эквивалентности формул деформационного квантования пуассоновых многообразий по модулю диффеоморфизмов и некоторой группы симметрии. Установление такой эквивалентности между формулами Вейля и Концевича дает метод нахождения коэффициентов в формуле для квантового умножения. Явные вычисления проведены до третьего порядка.

Показано, что если в формуле Вейля, записанную в терминах постоянного пуассонова бивектора $ для функций /(х) и д(х), сделать замену переменных , то используя калибровочные преобразования, можно

получить формулу Концевича с фиксированными численными коэффициентами:

+Л2 [¡а^дЛ/дъдм + ¡а^а^дЛ/дсд + дадьддс})\ + +Л3 {¡а^с^а^дЛд^дьдЛд + ^"д^'дДа^дЛ/дьд - дадсддь1)+ Щс&д^'д,^ + 1аа"дрс^д,о^]дЛ/дьдлд+

Ца^д^^дЛдк/дЛд-дЛд^ддЛЛ] + О(^).

Эти члены представимы в виде диаграмм:

Диаграммы бивекторного типа отсутствуют, так как они не влияют на ассоциативность в третьем порядке. Однако, они могут быть использованы для переопределения а(7). Показано, что при замене координат пуассонов бивектор приобретает поправки по Л:

3! дх*дхкдхтдх}дх'дхп

1 1 Я*

La***

дх'дхк дх'дх1

ЭАа"

+ Й2(бивекторные члены),

„„ паЬс _ JñjAld ( а'г' 8г* di' , SVdz* дг* , AV. Глеб -V'V + +

В заключении подводятся итоги и перечисляются нерешенные проблемы.

3 Основные результаты диссертации

• Показана связь между системой Калоджеро-Мозера и эллиптическим волчком.

• Получено полевое обобщение системы Калоджеро-Мозера и эллиптической модели Годена.

• Описаны системы взаимодействующих эллиптических волчков.

а - 8 6 0 7

• Показано появление квантовых поправок к пуассоновому бивектору при замене координат.

• Предложен метод получения коэффициентов в формуле Концевича для деформационного квантования.

Основные публикации по теме диссертации

[1] AZotov,

OnRelation Between MoyalandKontsevich Quantum Products. Direct Evaluation up to the f-Order, Mod.Phys.Lett. A16 (2001) 615-626

[2] ALevin, MOlshanetsky, AZotov,

Hitchin Systems-SymplecticHecke Correspondence andTwo-dimensional Version, Comm.Math.Phys. 236 (2003) 93-133

[3] AZotov,

EllipticLinearProblemforPainleveVIEquation with Spectral Parameter, CZechJ.Phys, 53 (2003) 1147-1152

Подписано к печати 22.04.04 Усл.печ.л. 1,0 Уч.-изд.л. 0,7

Формат 60 х 90 1/16 Тираж 100 Заказ 500

Индекс 3649

Отпечатано в ИТЭФ, 117218 Москва, Б.Черемушкинская, 25

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Зотов, Андрей Владимирович

1 Введение

2 Голоморфные расслоения и интегрируемые системы

2.1 Введение

2.2 Пространство модулей голоморфных расслоений в описании Чеха

2.3 Системы Хитчина.

2.4 Процедура модификации расслоений

2.5 Модификации и преобразования Бэклунда.

Введение диссертация по физике, на тему "Классические интегрируемые системы и их теоретико-полевые обобщения"

5.2 Представление Лакса для модели Калоджеро - Иноземцева.57

5.3 Алгебраическая интегрируемость в 2 х 2 случае .59

5.3.1 Эллиптическая модель Годена и редукция к модели КИП . 59

5.3.2 Алгебраическая интегрируемость.61

5.4 Эллиптическая форма уравнения Пенлеве VI .63

6 О связи формул Вейля и Концевича для квантового умножения 66

6.1 Введение .66

6.2 Представление формулы Концевича в виде диаграмм.69

6.3 Вычисления во втором порядке.70

6.4 Вычисления в третьем порядке .71

6.5 Значения коэффициентов из требования ассоциативности.75

7 Заключение 77

8 Приложения 78

8.1 А. Необходимые сведения по эллиптическим функциям.78

8.2 В. Синус-алгебра.83

8.3 С. Приложение к главе 5.84

9 Список литературы 86

1 Введение

Интегрируемые системы классической механики представляют собой исключительные случаи систем дифференциальных уравнений, для которых существует нужное число независимых интегралов движения. Значительный прогресс в изучении таких систем появился в связи с открытием в конце 60-х годов К.Гарднером, Дж.Грином, М.Крускалом и Р.Миурой метода обратной задачи рассеяния, или метода изоспек-тральной деформации, сформулированного П.Лаксом. Идея метода очень проста. Пусть уравнения движения некоторой динамической системы удалось записать в виде где Ь и М - пара матриц (пара Лакса). Тогда из этого уравнения следует, что матрица Ь{Ь) в процессе эволюции подвергается преобразованию подобия: щ = $(<)До)<г1(*), М = дт~\

Следовательно, собственные значения £(£) от времени не зависят, и являются интегралами движения.

В таком виде уравнения Лакса впервые появились в работах И.Кричевера и С.Новикова [1]. Инварианты 1г(Ь(г)к), как и прежде, являются интегралами движения, но теперь уже зависят от г и, тем самым, являются производящими функциями законов сохранения.

Ш{Ь{г) - А) = 0.

Этот результат приводит, в принципе, к явному решению уравнений движения в терминах тетагфункпий Римана (в этом случае система называется алгебраически интегрируемой). Взгляд на матрицу Лакса, как на мероморфную матричнозначную функцию на римановой поверхности, позволил использовать методы алгебраической геометрии.

Существенное развитие геометрического подхода произошло с появлением работы Н.Хитчина [2]. В ней было показано, что вполне интегрируемые системы естественным образом возникают на пространстве модулей голоморфных расслоений над ри-мановыми поверхностями. Равенство количества степеней свободы количеству независимых интегралов в инволюции оказалось в этой конструкции следствием теоремы Римана-Роха. Первые явные примеры систем Хитчина появились в работах А.Горского и Н.Некрасова [3, 4]. В частности, в работе Н.Некрасова была построена эллиптическая модель Годена, расширяющая класс спиновых обобщений модели Калоджеро-Мозера [о] (КМ). Сопоставление каждому интегрируемому случаю некоторой алгебро-геометрической конструкции оказалось удобным и наглядным для классификации. Например, интегрируемые системы с рациональными потенциалами возникают на сфере, а с эллиптическим - на торе.

Параллельно развивался теоретико-групповой подход к изучению интегрируемых систем. Например, в работах М.Олыпанецкого и А.Переломова [6] было показало, что динамика некоторых многочастичных интегрируемых систем может быть получена в результате редукции свободного движения на фазовом пространстве большей размерности.

Оказалось, что применение теоретико-группового подхода к описанию систем Хитчина позволяет описывать интегрируемую динамику сразу в терминах представления Лакса со спектральным параметром [7]. Изначально свободная динамика задается на пространстве сечений голоморфного векторного расслоения Е над римановой поверхностью £„ с п отмеченными точками с помощью матричнозначных полей Ф € Е) и связности Л, задающей на Е комплексную структуру.

Для этого вводится симплектическая форма где ц - некоторые (1 — ], 1)-дифференциалы на £„. Тогда динамика по временам tj, соответствующим ^'-ым гамильтонианам, свободна: и гамильтонианы

Э(,.Ф = О,

Заметим также, что для преобразованного поля Ф' = /-1Ф/ уравнение движений имеет вид: то есть записывается в лаксовой форме. Инвариантность симплектической формы позволяет провести гамильтонову редукцию относительно калибровочных преобразований. В результате этой редукции поле Ф становится лаксовой матрицей со спектральным параметром (локальной координатой на £„) и определяется как решение уравнения моментов:

Л,Ф) = дФ + [Л,Ф] = 0.

Наличие отмеченных точек фиксирует полюса и вычеты Ф(-г).

В то же время решение уравнения моментов зависит и от некоторых дополнительных данных, например, от степени расслоения Е. По сути, этот топологический инвариант определяет граничные условия для решения уравнения момента. Так, для deg Е = 0 на эллиптической кривой решением будет лаксова матрица модели Калоджеро, а для &щЕ = 1 - эллиптического б1(.ЛГ, <С) волчка. Вообще, все явные результаты, излагаемые в работе, относятся к эллиптическому случаю. Преобразование, меняющее степень, называется модификацией расслоения Е. На языке лаксо-вых матриц соответствующих систем оно выглядит как сингулярное калибровочное преобразование ад нмадэд-1, где под сингулярностью имеется в виду вырожденность 2 (г) в некоторой точке. Оказывается возможным определить явно и, тем самым, установить калибровочную эквивалентность некоторого семейства систем, включающую эллиптическую модель Калоджеро и эллиптический волчок [8].

Таким образом, описанная выше конструкция с одной стороны выполняет классификационную роль, с другой - позволяет получать новые интегрируемые модели, такие как, например, системы взаимодействующих волчков. Кроме того, гапкЕ-кратное применение модификации переводит исходную систему в себя, то есть описывает преобразования Бэклунда.

На данный момент далеко не все вполне интегрируемые системы удалось описать как системы Хитчина. Так, например, до сих пор нерешенной остается проблема доказательства алгебраической интегрируемости для бесспиновых систем, построенных по полупростым алгебрам Ли. В рамках подхода Хитчина воспроизведены системы только для А# серии. Проблема состоит в том, что размерность многообразия Якоби спектральной кривой с1е1;(£(г) — А) оказывается для указанных систем больше размерности фазового пространства. Один из естественных способов решения - проведение редукции по некоторым дискретным симметриям из спиновой Аы системы, замораживающей степени свободы, связанные с орбитами коприсоеди-ненного действия. Пример такой процедуры используется для описания системы Калоджеро-Иноземцева [9] с одной степенью свободы, и алгебраическая интегрируемость в этом случае доказана [10]. Важность этой системы заключается еще и в том, что ее уравнения движения представляют из себя автономный аналог знаменитого уравнения Пенлеве VI: где т - модуль эллиптической кривой £, иа = {0, §, а ^ - произвольные константы. Неавтономность означает, что потенциал явно зависит от времени, роль которого играет модуль т. Оказывается, что данное уравнение можно записать в виде: с теми же Ь(г) и М(г), что и для автономной системы. Вообще, описанная выше конструкция систем Хитчина допускает обобщение на уравнения изомондромных деформаций. При этом, модификации используются для описания и вычисления дискретных групп симметрий.

Метод обратной задачи рассеяния, разработанный Л.Фаддеевым, В.Захаровым и А.Шабатом [11,12], позволяет получать законы сохранения для уравнений в частных производных в случае, когда они записываются в виде уравнений нулевой кривизны:

Например, использование метода обратной задачи рассеяния позволило А.Белавину и В.Захарову получить инстантонные решения уравнений дуальности для полей Янга-Миллса [13]. Оказывается, существует обобщение систем Хитчина, дающее конструктивный метод построения теоретико-полевых обобщений классических интегрируемых систем. Другими словами, в классе систем Хитчина можно указать способ получения Ь(г), М(г).

Для многочастичной системы это означает, что импульсы и координаты частиц Р1, qj должны рассматриваться как поля: дь1{г)-дхМ{г) = [Цг),М{*)]р,д} = 1 —>• М*), ?(!/)} = %-у)

Переменная х может быть координатой на вещественной прямой или окружности. В последнем случае все поля считаются периодическими функциями на этой окружности, а гамильтониан задается интегралом Н = § И(х). Вычисление плотности /г(х) является нетривиальной задачей, так как 1т(Ьк) уже не являются сохраняющимися величинами.

Интегрируемые системы проявили себя во многих областях теоретической физики. Оказалось, что многие известные системы описывают эффективное низкоэнергетическое действие в суперсимметричных калибровочных теориях [14]. Например, чистые калибровочные N = 2 теории связаны с цепочками Тоды, XXX спиновой цепочке отвечает N = 2 суперсимметричная квантовая хромодинамика с группой 5{/(Л/с) и числом мультиплетов материи И/ < 2ЫС. Модель Калоджеро появляется с введением присоединенного М = 2 гипермультиплета. Также активно изучается связь квантовых интегрируемых систем с уравнениями ренормгруппы в калибровочных теориях. Показано, что в однопетлевом приближении спектр аномальных размерностей некоторых операторов в суперсимметричных калибровочных теориях совпадает со спектром квантовых интегрируемых цепочек. Методы интегрируемых систем активно используются в исследовании задач лапласовского роста и матричных моделях.

В работе также изучаются некоторые вопросы деформационного квантования. Задача ставится следующим образом. Пусть на некотором гладком пуассоновом многообразии М задана скобка Пуассона. В локальных координатах {х*} для пары функций /и д имеем:

5} = а*д,/д£д, где по повторяющимся индексам предполагается суммирование. Скобка Пуассона, по определению, должна быть антисимметричной и удовлетворять тождеству Якоби: а« = -а* ¿пдпа>к + акпдпа{> + сх>пдпан = 0.

Стандартная каноническая скобка для {а:1} = {р, д} € К2" записывается с помощью постоянной 2п х 2п матрицы , которая в виде блоков п х п выглядит следующим образом: и-и ;>

При квантовании функции / ставится в соответствие некоторый оператор /. Для того, чтобы это соответствие было однозначным, необходимо зафиксировать упорядочение. Далее, произведение двух операторов /д тоже должно быть упорядочено. В результате получиться выражение, соответствующее уже не просто произведению д, а тому, что называется квантовым умножением / * д:

9 —► 1,9 4

9 —* /*9

Формула для квантового умножения в случае стандартной пуассоновой структуры на Е2" давно известна. Для симметрического (вейлевского) упорядочения она имеет следующий вид: §№дк10тяд>дкдт/д&дпд +. =

ОО {^п п п п

71=0 ¿п*=1 к=1 *=1 *»*т*т1Мд{*<я) I

Однако, часто фазовое пространство динамической системы не является плоским. Простейшим примером такой ситуации является вращение твердого тела. Фазовым пространством является двумерная сфера. Таким образом, возникает задача написания формулы для квантового умножения в случае произвольного пуассонова бивектора ааЬ. Рецепт написания такого квантового умножения был сформулирован М.Концевичем [15]:

ОО *д := ]Г Нп £ ьтЯг.аСЛд), п=о гевп где выражения Вг,а(/,д) строятся с помощью графов Г € (7„ (или диаграмм) Кон-цевича, о>г - постоянные коэффициенты, отвечающие графам Г € Для значений коэффициентов указаны интегральные формулы. Однако вычислить эти коэффициенты в произвольном случае оказывается очень сложной задачей, и для их нахождения используются различные технические приемы. В диссертации предлагается воспользоваться теоремой Концевича, утверждающей, что все формулы квантового умножения эквивалентны по модулю диффеоморфизмов и некоторой калибровочной группы, действующей на пространстве квантовых умножений. Тем самым, сделав замену переменных х -* г(х) в известной формуле Вейля, можно ожидать, что с помощью калибровочной группы полученное выражение можно будет представить в виде формулы Концевича в координатах г с некоторой ааЬ(№, г) [16]. В работе такие вычисления проделаны до третьего порядка по Н. Таким образом, можно получить формулу Концевича с численными значениями коэффициентов. Кроме того, выясняется, что при замене переменных пуассонов бивектор преобразуется нековариантным образом. Более точно, при замене переменных к пуассоновому бивектору появляются квантовые поправки вида а0* = §ijdiZadiZb + n2af{z, х) + .

Содержание диссертации

В главе 2 описана конструкция систем Хитчина. Динамика на пространстве модулей голоморфных векторных расслоений возникает в ней в результате редукции из свободной гамильтоновой теории поля. В результате редукции это матричнознач-ное поле становится лаксовой матрицей для некоторой интегрируемой системы, а пространство модулей (параметров) расслоений является для этой интегрируемой системы конфигурационным пространством. Системы, получаемые вышеуказанным способом, существенно различаются в зависимости от топологического инварианта (степени) рассматриваемых расслоений. Так, например, может быть описана система Калоджеро

HKU=1¿v!+9>jrP(Ui-Uj), «=1 i>j где Vk - импульсы частиц, a«t- сопряженные им координаты, или эллиптический волчок |tr(S^S), где S - матрица N х N с нулевым следом (матрица моментов), р(а) - обратные компоненты главных моментов инерции и pS = ^ Sap(&)cra. а

Однако, как показано в главе 2, существует преобразование (модификация расслоений), которое изменяет этот инвариант, и, соответственно, переводит одну систему в другую. На языке лаксовых матриц это преобразование устанавливает калибровочную эквивалентность: Lxiz) = E{z)L2(z)S(z)-1. На эллиптическои кривой размерность пространства модулей голоморфных стабильных расслоений равна НОД(Лг, deg), где N - ранг, deg - степень расслоений. Поэтому, N последовательных применений верхних (или нижних) модификаций переводит систему в себя. Тем самым, такая процедура описывает преобразования Бэклунда.

В главе 3 методы и конструкции, описанные в главе 2, демонстрируются на различных примерах. Эллиптическая система Калоджеро и волчок описаны как системы Хитчина с degf? = 0 и deg Е = 1, соответственно. Матрица B(z) построена таким образом, что

Ltop = E(z)LKME(z)~i.

Таким образом устанавливается калибровочная эквивалентность между указанными системами. Интересен случай, когда НОД(Лг, с^) ф 1, N. Этой ситуации отвечают системы взаимодействующих волчков. В главе 3 эти системы описаны явно. Гамильтониан таких систем имеет вид:

Н = § £ V] - \ £ £ Гг(5/^т,п)Гг(5'/£:тп)р(^)

1=1 I тп,п

ТфЗ т,п где Етп - некоторый базис в алгебре Ли б1(]\Г, С), 5/ - матрица, соответствующая I-ому волчку, а VI, щ - его импульс и координата.

В главе 4 описан конструктивный метод построения теоретико-полевых обобщений для некоторых классических интегрируемых систем. Другими словами, для систем Хитчина указан способ получения Ь, М по паре Лакса в механике Ь, М. Метод продемонстрировал на примере двухчастичной системы Калоджеро, уравнения движения которой можно записать в виде: щ = уг = 2/ф'(2и)

Результатом теоретико-полевого обобщения являются следующие уравнения

Щ = вкдх(у2их) - 2(3и\ - к)р'(2и) + 6дх(ихр(2и)) + представимые в виде уравнения нулевой кривизны для некоторых Ь(г),М(г), выписанных в главе 4 явно.

При этом, процедура модификации = ЕХ2£-1 + дх£Н~1 устанавливает калибровочную эквивалентность полученного уравнения с уравнением Ландау-Лифшица [17,18], описывающим непрерывный предел в ХУ2 магнетике и являющимся полевым обобщением б1(2, С) волчка:

Этот результат можно изобразить на диаграмме:

БЬ(2, С) — эллиптический волчок 4 уравнение Ландау-Лифшица

2-х частичная система КМ I

2-х частичная теория поля КМ

В главе 5 предложено представление Лакса со спектральным параметром для эллиптической модели Калоджеро-Иноземцева, задаваемой гамильтонианом: ¡V N лг з яКИ = 2 ^ ^+з2 X) ~ +^+«*))+X] X) +

1 1=1 а=0

В случае ЛГ-частичной задачи пара Лакса задана ЗЛГ х ЗА^ матрицами. Однако, как показано в главе 5, в случае одной степени свободы существует 2x2 представление. Гамильтониан в этом случае имеет вид: а=0 где "П" напоминает о связи этой системы с уравнением Пенлеве VI. Показано, что та же пара Лакса удовлетворяет кроме уравнения Лакса и уравнению изомонодромных деформаций: д(Ь-дгМ = [Ь,М].

При этом, последнее уравнение эквивалентно уравнению Пенлеве VI.

В главе 6 проверяется утверждение М.Концевича об эквивалентности формул деформационного квантования пуассоновых многообразий по модулю диффеоморфизмов и некоторой группы симметрий. Установление такой эквивалентности между формулами Вейля и Концевича дает метод нахождения коэффициентов в формуле для квантового умножения. Явные вычисления проведены до третьего порядка.

Показано, что если в формуле Вейля, записанную в терминах постоянного пуас-сонова бивектора $ для функций f(x) и д(х), сделать замену переменных х —> г{х), то используя калибровочные преобразования, можно получить формулу Концевича с фиксированными численными коэффициентами:

1*9 = 19 + ПсРьда1дь9+ +П2 [\ааЬас*даде/дъдод + 1ааад3с^(дадь/дс9 + дадьддс/)] + +Гь3 {¡ааЬаыо>10дадА/дьд<1д09 + 1о^дро^дАс^(дадс/дьд - 3„дс5Эь/)+ +[1а^драа'дяаЬс + \а^дра,^д8асЬ]дад^дьдлд+ Цаавас1д3д1ам(дадьдс!дад - дадьдсдд(1/)+ Цааад3аЬс(^л{дадьдн!дсдлд - ЭЛдпддЛ/)] + 0(П*).

Члены бивекторного типа отсутствуют, так как они не влияют на ассоциативность в третьем порядке. Однако, они могут быть использованы для переопределения а(г). Показано, что при замене координат пуассонов бивектор приобретает поправки по Н: паЬ fiijdz* ôzi , t.2 Г I .aii.akl.amn Pz* d3zb u ~U дх1 дх> ~ [3!У V " дх*дх*дхт дхЗдх1дхп дрдЛааЬ - + Я2(бивекторные члены), rlja cote Aij.akl ( d2za dzb dzc , d2zc dz" dzb , W VV^ 1ДО J — U U удх,дхк QXJ faX T dxidxk dxj 0X1 T a^k dx'lh? J

В заключении подводятся итоги и перечисляются нерешенные проблемы.

Благодарности

Я выражаю благодарность соавторам по совместным работам Г. Брадену, В. Дол-гушеву, А. Левину, М. Ольшанецкому и Ю. Чернякову, а также искреннюю признательность за ценные советы и полезные обсуждения А. Александрову, Э. Ахмедову, Д. Васильеву, И. Горделию, А. Горскому, А. Герасимову, А. Городенцеву, В. До-лотину, А. Дымарскому, А. Забродину, С. Клевцову, И. Кричеверу, Д. Лебедеву, С. Локтеву, А. Лосеву, Д. Малышеву, А. Маршакову, А. Миронову, Т. Мироновой, Г. Нозадзе, В. Пестуну, В. Побережному, И. Полюбину, А. Рослому, В. Рубцову, К. Сарайкину, К. Селиванову, А. Соловьеву, Т. Султанову, А. Червову, Л. Чехову, С. Харчеву и С. Хорошкину.

Я многим обязан своему научному руководителю М.А.Олынанецкому, который помог мне сделать первые шаги в области интегрируемых систем. Я искренне признателен ему за предложенные задачи и большое внимание к моей научной работе.

Также я хочу выразить особую благодарность А.М.Левину и А.Ю.Морозову за поддержку и многочисленные разъяснения научных вопросов.

Я благодарен С.В.Облезину за плодотворные научные дискуссии и ценные замечания при прочтение предварительного текста диссертации.

Мне приятно поблагодарить Е.С.Суслову за неоценимую поддержку и помощь, оказываемую в течение всей моей работы.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

7 Заключение

В качестве итога приведем основные результаты диссертации:

• Показана связь между системой Калоджеро-Мозера и эллиптическим волчком.

• Получено полевое обобщение системы Калоджеро-Мозера и эллиптической модели Годена.

• Описаны системы взаимодействующих эллиптических волчков.

• Показано появление квантовых поправок к пуассоновому бивектору при замене координат.

• Предложен метод получения коэффициентов в формуле Конпевича для деформационного квантования.

Результаты диссертации могут быть использованы для исследования различных задач из области интегрируемых систем и деформационного квантования. В частности, было бы интересным получить полевое обобщение уравнения Пенлеве VI. Из полученных результатов следует, что такое уравнение должно будет обобщать уравнение Ландау-Лифшица, соответствующую ей дискретную ХУЪ модель и алгебру Склянина. Также можно надеяться, что предложенный в диссертации метод нахождения коэффициентов в формуле Концевича поможет получить полную формулу.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Зотов, Андрей Владимирович, Москва

1. И. Кричевер, Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии,, Функц. Анал. и Прил. Т.11 Вып.1 15-31 (1977);

2. И. Кричевер, С. Новиков, Векторные расслоения на алгебраических кривых и нелинейные уравнения, УМН Т. 35 № 6 47-68 (1980);

3. N.Hitchin, Stable bundles and integrable systems, Duke Math. Jour. 54 ), 91-114 (1987);

4. A. Gorsky, N. Nekrasov, Elliptic Calogero-Moser system from two dimensional current algebra, hep-th/9401021 (1994);

5. N.Nekrasov, Holomorphic Bundles and Many-Body Systems, Commun.Math.Phys. 180 , 587-604, hep-th/9503157 (1996);

6. F.Calogero, J.Math.Phys. 12 419 (1971); J.Moser, Adv.Math. 16 197-220 (1975);

7. M-Olshanetsky, A.Perelomov Classical integrable finite-dimensional systems related to Lie algebras, Phys.Rep 71C 313-400 (1981);

8. A.Levin, M.01shanetsky, Double coset construction of moduli space of holomorphic bundles and Hitchin systems, Commun.Math.Phys. 188 449-466 (1997);

9. A.Levin, M.Olshanetsky, A.Zotov, Hitchin Systems Symplectic Hecke Correspondence and Two-dimensional Version, Comm.Math.Phys. 236 93-133 (2003);

10. V.I.Inozemtsev, Lax Representation with Spectral Parameter on a Torus for Particle Systems, Lett.Math.Phys. 17 11-17 (1989);

11. A.Zotov, Elliptic Linear Problem for Painlevé VI Equation with Spectral Parameter, Czech.J.Phys, Vol.53 No.ll 1147-1152 (2003);

12. Л.Фаддеев, Л.Тахтаджан, Гамилътонов подход в теории солитонов, Наука (1986);

13. V.V.Sokolov and A.B.Schabat, Classification of integrable evolution equations, Soviet Sci. Rev. C4 221-280 (1984);

14. A.V.Mikhailov, A.B.Schabat and R.I.Yamilov, The symmetry approach to classification of nonlinear equations. Complete list of integrable systems, UspekhiMat. Nauk 42 3-53 (1987); A.S.Fokas, Symmetries and integrability, Stud.Appl.Math. 77 253-299 (1987);

15. А.А.Белавин, В.Е.Захаров, Многомерный метод обратной задачи рассеяния и уравнения дуальности для поля Янга-Миллса, Письма в ЖЭТФ, 25 603-607 (1977);

16. A.Gorsky, S.Gukov, A.Mironov, Mvltiscale N=2 SUSY field theories, integrable systems and their stringy/brane origin 1,П, Nucl.Phys. B517 409-461, Nucl.Phys. B518 689-713 (1998);

17. M.Kontsevich, Deformation quantization of Poisson manifolds I, IHES Preprint, q-alg/9709040 (1997);

18. A.Zotov, On Relation Between Moyal and Kontsevich Quantum Products. Direct Evaluation up to the h3-Order, Mod.Phys.Lett. A16 615-626 (2001);

19. Л.Д.Ландау, Е.МЛифшиц, К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел, "Собрание трудов Л.Д.Ландау", том 1, 128-143, "Наука" 1969;

20. E.Sklyanin, On complete integrability of the Landau-Lifshitz equation, Preprint LOMI E-3-79 (1979);

21. A.E.Borovik, V.N.Robuk Linear pseudopotentials and conservation laws for the Landau-Lifshitz equation Theor.Math.Phys. 46 371-381 (1981);

22. V.B. Mehta and C.S. Seshardi, Moduli of vector bundles on curves with parabolic structures, Math. Annalen, 248 205-239 (1980);

23. M.F. Atiyah, Vector Bundles over an Elliptic Curve, Proc. London Math. Soc., 7 414-452 (1957);

24. Arinkin, Lysenko, Isomorphisms between moduli spaces of SL(2)- bundles with connections on P1\{arb.,x4}, Math.Res.Lett. 4 181-190 (1997);

25. A.P. Veselov, Integrable maps, Russian Math. Surveys 46 1-51 (1991);

26. E.Markman, Spectral curves and integrable systems, Сотр. Math. 93, 255-290 (1994);

27. G.Arutyunov, L.Chekhov, S.Frolov, Quantum Dynamical R-Matrices, Amer. Math. Soc. Traiisl. (2) Vol. 191, 1999.

28. Yu.B.Suris, Elliptic Ruijsenaars-Schneider and Calogero-Moser hierarchies are governed by the same r-matrix, solv-int/9603011 (1996);

29. A.A.Belavin, Dynamical symmetry of integrable system, Nucl.Phys. 180 FS2] (1981), 189-200

30. E.Billey,J.Avan,O.Babelon, Exact Yangian Symmetry in the classical Euler-Calogero-Moser Model, hep-th/9401117 (1994);

31. V. Kuznetsov and E. Sklyanin, On Backlund transformations for many-body systems, J. Phys. A 31 2241-2251 (1998);

32. J.Avan,O.Babelon,M.Talon, Construction of the classical R-matrces for the Toda and Calogero models, hep-th/9306102 (1993);

33. S.N.M.Ruijsenaars, Complete integrability of relativistic Calogero-Moser systems and elliptic function identities, Commun.Math.Phys. 110:191, (1987);

34. S.N.M.Ruijsenaars, Action-Angle maps and Scattering Theory for Some Finite-Dimensional Integrable systems, Comm.Math.Phys. 115 127-165 (1988);

35. A.Gorsky, Integrable many-body problems from the field theories, Theor.Math.Phys. 103 681-700 (1995);

36. A.Mironov, Seiberg-Witten theory and duality in integrable systems, hep-th/0011093 (2000);

37. K.Hasegawa, Ruijsenaars' commuting difference operators as commuting transfer matrices, q-alg/9512029 (1995);

38. R. J.Baxter, Eight-vertex model in lattice statistics and one-dimensional anisotropic Heisenberg chain, I.Ann.Phys. 76 (1973);

39. M.Jimbo, T.Miwa, M.Okado, Local state probabilities of solvable lattice models: an family, NucLPhys. B300, FS22. 74-108 (1988);

40. Faddeev, L.Takhtajan, The quantum method of the inverse problem and the Heisenberg XYZ model, Uspekhi Mat.Nauk 34:5, 11-68 (1979);

41. B.Dubrovin, V.Matveev, S.Novikov, Nonlinear equations of KdV type and finite gap linear operators and abelian manyfolds, UMN XXXI, 1 187 (1976);

42. V.I.Inozemtsev, The Finite Toda Lattices, Commun.Math.Phys. 121 629-638 (1989);

43. I.Krichever, Elliptic solutions of the Kadomtsev-Petviashvili equation and integrable systems of particles, Punct.Anal.Appl. 14 282-290 (1980);

44. E. D'Hoker, D.H. Phong, Calogero-Moser Lax Pairs with Spectral Parameter for General Lie Algebras ,Nucl.Phys. B530 537-610 (1997);

45. Eric D'Hoker and D.H.Phong, Calogero-Moser and Toda systems for twisted and untwisted affine Lie algebras, hep-th/9804125 (1998);

46. S.P.Khastgir,R.Sasaki and K.Takasaki Calogero-Moser Models IV: Limits to Toda theory, hep-th/9907102 (1999);

47. I.Krichever, Vector bundles and Lax equations on algebraic curves, hep-th/0108110 (2001);

48. I. Krichever, O. Babelon, E. Billey, M. Talon, Spin generalization of the Calogero-Moser system and the Matrix KP equation , Amer.Math.Soc.Transl. 170 83-119 (1995);

49. A.G. Reyman, M.A Semenov-Tyan-Shanskii, Lie algebras and Lax equations with spectral parameter on elliptic curve, Notes from Sci. Seminar LOMI Vol. 150 104-118 (1986);

50. B.Gambier, Sur les équations différentielles du second odre et du premier degré dont l'intégral générale a ses points critiques fixes, Acta Math. Ann, 33 1-55 (1910);

51. Painléve, Sur les équations différentielles du second ordre à points criticues fixes, C.R. Acad. Sei. 143 1111-1117 (1906);

52. Yu.I.Manin, Sixth Painlevé equation, universal elliptic curve, and mirror of P2, alg-geom/9605010, Amer.Math.Soc.Transl. (2) 186 131-151 (1998);

53. A.Babich, L.Bordag The elliptic form of the sixth Painlevé equation, Preprint NTZ 25/1997;

54. R.Puchs, Uber lineare homogene Differentialgleichungen zweiterordnung mit im endlich gelegne wesentlich singulären Stellen, Math. Annalen, 63 301-323 (1907);

55. M. Jimbo, T.Miwa, Monodromy preserving deformation of linear ordinary differential equations with rational coefficients. II, Physica 2D 407-448 (1981);

56. L.Schlesinger, Uber eine Klasse von Differentialsystemen beliebiger Ordnung mit festen kritischen Punkten, J. Reine Angew. Math, 141 96-145 (1912);

57. D.Korotkin, Isomonodromic deformations tn genus zero and one: algebrogeometric solutions and Schlesinger transformations, math-ph/0003016 (2000);

58. A.V.Kitaev, D.A.Korotkin, On solutions of the Schlesinger Equations in Terms of 6-Functions, Int. Math. Research Notices No.17 877-905 (1998);

59. A.Levin, M.Olshanetsky, Isomonodromic deformations and Hitchin systems, Ainer. Math. Soc. Transi (2) (1999);

60. I-Krichever, Isomonodromy equations on algebraic curves, canonical transformations and Whitham equations, hep-th/0112096 (2001);

61. M.A.Olshanetsky, Generalized Hitchin systems and Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard equation on elliptic curves, hep-th/9510143 (1995);

62. S.Slavyanov, Painlevé equations as classical analogues of Heun equations, J. Phys.A. Gen. . 29 7329-7335 (1996);

63. E.Mathieu, Liouville, J. de Math. (2) 13 (1868);

64. E.G.C.Poole, Theory of linear differential equations, Oxford at the Clarendon press, (1936);

65. B.V.Fedosov, A simple geometrical construction of geometric quantization, J.Differential Georn. 40 213-238 (1994);

66. M.Penkava, Pol Vanhaecke, Deformation quantization of polynomial poisson algebras, q-alg/9804022 (1998);

67. A.Weyl, Elliptic functions according to Eisenstein and Kronecker, Springer-Verlag, BerlinHeidelberg, (1976);

68. D.Mumford, Tata Lectures on Theta I, II, Birkhàuser Boston, 1983, 1984.