Неустановившееся движение эллиптического цилиндра под свободной поверхностью и ледовым покровом тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Костиков Василий Константинович

НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА ПОД СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ И ЛЕДОВЫМ ПОКРОВОМ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г 6 СЕН 2013

Новосибирск — 2013

005533663

Костиков Василий Константинович

НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА ПОД СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ И ЛЕДОВЫМ ПОКРОВОМ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2013

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук

Научный доктор физико-математических наук

руководитель: Макаренко Николай Иванович

Научный доктор физико-математических наук,

консультант: Коробкин Александр Алексеевич

Официальные доктор физико-математических наук

оппоненты: Стурова Изольда Викторовна

доктор физико-математических наук Хакимзянов Гаяз Салимович

Ведущая организация:

Федеральное государственное

бюджетное учреждение науки

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского

Российской академии наук

Защита состоится <■<> 2013 г. в ^ ч.ОО Мин. на заседании дис-

сертационного совета Д003.054.01 при Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН по адресу 630090, г. Новосибирск, проспект Лаврентьева 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИГиЛ СО РАН. Афтореферат разослан г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н.

Ждан С.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи о волновых движениях жидкости при наличии погруженных тел традиционно являются объектом интенсивного исследования. В последние годы этот интерес связан с необходимостью решения ряда новых практических задач морской гидродинамики, таких как моделирование поведения на волнении больших морских сооружений (нефтяных платформ, подводных трубопроводов и т.п.), моделирование устойчивого движения автономных плавающих устройств вблизи свободных границ, учет ледовых нагрузок на стационарные и подвижные конструкции в полярных условиях. Рассматриваемая в диссертации задача представляет также интерес в качестве модельной постановки для изучения процессов генерации волн, возникающих в результате подводных землетрясений и оползней.

Цель работы. Основной целью является аналитическое исследование начальной стадии волнового движения жидкости и свободно плавающего ледового покрова при неустановившемся движении погруженного эллиптического цилиндра.

Методы исследования. В диссертации используются следующие аналитические методы: метод редукции нелинейных начально-краевых задач для уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости к системе граничных интегродифференциальных уравнений, асимптотические методы разложения по степеням малых параметров и времени t.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Успехи в решении нелинейных задач о взаимодействии тел со свободными и контактными границами к настоящему времени в значительной степени связаны с развитием численных методов. Эффективные алгоритмы численного решения задач со свободными границами для гидродинамических уравнений Эйлера разработаны рядом авторов: Д.В. Маклаковым, А.Г. Терентье-вым, К.Е. Афанасьевым, М.М. Афанасьевой, С.И. Горловым, H.J. Hosling, R.M. Coleman, R. Yeung, A. Hamilton, M. Greenhow, S. Moyo, D. Clamond, J. Grue, K. Bai, M. Kashiwagi, R. Eatock Taylor, G.X. Wu, O.M. Faltinsen. Аналитические исследования актуальны для этого класса задач, поскольку анализ точных постановок и получение приближенных решений полезны для оптимизации морских конструкций, для предсказания опасных режимов их эксплуатации (например, резонансного воздействия волн на несущие элементы платформ), а также для тестирования численных алгоритмов. Осново-

полагающие результаты в теории волновых движений жидкости при наличии погруженных тел принадлежат Г. Ламбу, Дж. Хэвелоку, Н.Е. Кочину, Л.И. Седову, Л.Н. Сретенскому, Дж. Вехаузену, Дж. Ньюмену, Дж. Стокеру. Задачи о движении погруженного тела под свободной поверхностью и ледовым покровом в однородной и стратифицированной жидкостях рассматривались в линейной постановке в работах И.В. Стуровой, Е.В. Ерманюка, Н.Г. Кузнецова, В.Г. Мазья, В.М. Козина, Ю.Д. Чашечкина, Г.Г. Тумашева, Н.Д. Черепенина, Е.О. Tuck, M. Mclver, С.M. Linton, В. Voisin и других авторов. Линеаризованная задача о гидроупругом поведении плавающей пластины конечных размеров исследована A.A. Коробкиным и Т.И. Хабахпашевой. Задача о бегущих нелинейных гидроупругих волнах в свободно плавающем ледовом покрове рассматривалась П.И. Плотниковым и Дж. Толандом. Разрешимость нелинейной задачи о неустановившемся движении кругового цилиндра в идеальной жидкости со свободной границей в классе аналитических функций установлена Н.И. Макаренко, пространственная задача о движении погруженной сферы исследована Е.В. Пяткиной. Начальная по времени асимптотика решения нелинейной задачи о движении погруженного кругового цилиндра с ускорением из состояния покоя впервые была исследована в работах P. Tyvand и T. Milloh. Задача о нестационарном движении эллиптического цилиндра в жидкости с образованием растущей присоединенной каверны рассматривалась в недавних работах М.В. Норкина. Представленное в диссертации исследование развивает аналитические подходы в нелинейной задаче о генерации волн цилиндрическими телами некругового сечения при безотрывных режимах движения.

Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертацию, были представлены на 27-ой международной конференции «International Workshop on Water Waves and Floating Bodies» (Копенгаген, Дания, 2012 г.), на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011 г.), на двух ежегодных конгрессах Европейского геофизического союза EGU General Assembly (Вена, Австрия, 2012 г. и 2013 г.), на Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2011 г.), на Всероссийской конференции «Нелинейные волны: теория и новые приложения», посвященной памяти чл.-корр. РАН В.М. Тешукова и приуроченной к 65-летию со дня его рождения (Новосибирск, 2011 г.), на Всероссийской научной школе молодых ученых «Вихри и волны в сложных

средах» (Москва, 2012 г.).

Результаты данной работы докладывались на семинаре «Нелинейные волновые процессы» лаборатории нелинейных волн Новосибирского государственного университета под руководством академика РАН В.Е. Захарова, на семинаре лаборатории математического моделирования фазовых переходов ИГиЛ СО РАН под руководством чл.-корр. РАН П.И. Плотникова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, из них 3 статьи в реферериуемых журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК.

Личный вклад автора. Автором диссертации исследованы аналитические свойства нелинейных ядер граничного интегрального уравнения, играющие ключевую роль при построении начальной по времени асимптотики решения. Получены явные формулы для коэффициентов асимптотического разложения решения в виде элементарных функций. Выполнена визуализация решений и проведен их сравнительный анализ в широком диапазоне параметров.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Объем работы — 101 страница. Список цитируемой летиратуры содержит 65 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обзор литературы, близкой к теме данной работы, кратко характеризуется ее содержание, формулируются основные результаты и резюмируются сведения об их апробации.

Первая глава, состоящая из трех параграфов, носит подготовительный характер. В ней приводится постановка основных задач о неустановившемся движении цилиндрического тела под свободной поверхностью и ледовым покровом, а также излагается математический аппарат, используемый в последующих главах. Двумерное безвихревое движение бесконечно глубокой идеальной несжимаемой жидкости и перемещение тела, полностью погруженного в жидкость, рассматриваются в неподвижной декартовой системе координат Оху в плоскости (х, у) 6 К2 с осью Оу, направленной вертикально вверх (см. рис. 1). При введении безразмерных переменных в качестве единицы длины выбирается характерное начальное заглубление цилиндра ко,

стью.

единицы скорости — характерная скорость движения цилиндра щ, единицы времени — отношение /го/ио, единицы давления — величина рид (здесь р — плотность жидкости). Тогда гидродинамические уравнения Эйлера для безразмерных компонент вектора скорости жидкости и = (1Г, V) и безразмерного давления р будут иметь вид

' и1 + иих + уиу+Рх = о,

< Уг + иУх + УУу +ру = -А, (1)

их + Уу = О, иу-Ух = о,

где А = дко/и§ — квадрат величины, обратной к числу Фруда (здесь д — ускорение силы тяжести). Область течения представляет собой двусвязную область

где х^^) = (хсу1(1),Усу№)) — заданный закон поступательного движения эллиптического цилиндра с полуосями а, Ь. Граничные условия на свободной поверхности Г(<) : у = г](х, ¿) имеют форму

т + ищ = у, р = о, (®,у)ег(0. (2)

Условие непротекания на поверхности цилиндра записывается в виде

(и — ЧсуО • п = 0, (ж, у) е БфЦ). (3)

Отметим, что при слишком быстром разгоне тела за ним может возникать область низкого давления с образованием присоединенной каверны. Как было показано в численных расчетах М.В. Норкина, в случая кругового цилиндра безотрывное обтекание реализуется при числах Фруда Рг < 1.6, что соответствует значениям параметра Л > 1.13.

В начальный момент времени 4 = 0 задаются форма свободной поверхности и поле скоростей в области течения:

и(а;,7/,0) = щ(х,у), т]{х,0) = т]0(х). (4)

Предполагается, что при 4^0 жидкость сохраняет состояние покоя на бесконечности, так что и,У,г] —> 0, когда |х| —» оо. При этом начальное поле скоростей жидкости ио = (С/о,14)) И заданный закон движения цилиндра со скоростью \icyiit) = (х'су1({),у'си1(1,)) должны удовлетворять условиям согласования

и0х + у0у = о, и0у-у0х = о, Ог,г/)еП(о), (5)

(и0 - 4^,(0)) • по = 0, (х, у) е 5^,(0).

Таким образом, в задаче о движении цилиндра под свободной поверхностью требуется определить поле скоростей жидкости и, давление р и форму свободной границы Г(4) : у = г]{х,1), удовлетворяющие уравнениям (1), граничным условиям (2)-(3), начальным условиям (4) и условиям согласования (5).

В задаче о движении цилиндра подо льдом сплошной ледовый покров моделируется тонкой упругой пластиной, свободно плавающей на поверхности жидкости. Форма этой пластины у = т](х, 4) заранее неизвестна и подлежит определению в процессе решения задачи. Уравнения (1), (3)—(5) в этой постановке остаются неизменными, а вместо граничного условия (2) на поверхности контакта льда и жидкости должны выполняться кинематическое и динамическое условия

т + иг]х = У, р- ащ + Р-Цхххх (у = Г1(х, £))> (6)

где а = р^К/{р1го) и ¡3 = ЕН3/— безразмерные параметры, от-

вечающие соответственно за инерцию ледового слоя и его изгибную жесткость. Здесь pice — ПЛОТНОСТЬ льда, р — ПЛОТНОСТЬ ЖИДКОСТИ (р > Pice), h — толщина ледового покрова, и Е — модуль Юнга для льда. Динамическое условие в (6) соответствует хорошо известной математической модели упругой балки Эйлера. Таким образом, задача о волнах в ледовом покрове на поверхности жидкости сформулирована здесь в полной нелинейной гидродинамической постановке, но граничное динамическое условие в (6) учитывает упругие свойства льда в линейном приближении.

Для исследования поставленных задач используется способ сведения исходных уравнений к системе граничных интегродифференциальных уравнений, предложенный Л.В.Овсянниковым в задаче о свободных поверхностных волнах и модифицированный Н.И.Макаренко применительно к задаче о генерации волн погруженным круговым цилиндром. Введем функции

и{х, t) = {U + r]xV)\v=v, v{x, t) = (V - T]XU)|у=ч.

Величины и vi v задают соответственно касательную и нормальную скорости жидкости на искомой поверхности у = r]{x,t). В случае, когда эта поверхность является свободной границей, уравнения для функций и, v и г) имеют следующий вид:

15 /и2 - 2rixuv - v2\ . „ * = ^ + 2д-х{ 1 + т& = Ю

Данная система замыкается граничным интегральным уравнением, вытекающим из интегрального представления для комплексной скорости жидкости F(z, t) = U — iV, аналитической по г = х + гу в области течения. В случае кругового цилиндра радиуса г такое представление имеет вид:

г

| г2 ТЖЩ | 7 (

{z-ZcylYJ С-2. Z-Zcyl (z-Zcyl)2' Г

где z. = гф + г2/(z — Zcyi) - инверсия точки z относительно окружности |z — Zcyi\ = г (черта сверху означает комплексное сопряжение), j — циркуляция скорости вокруг цилиндра.

Для этих уравнений известно асимптотическое решение, описывающее начальную стадию волнового процесса в случае движения цилиндра с постоянным ускорением из состояния покоя. В частности, начальная асимптотика формы свободной поверхности при вертикальном всплытии кругового цилиндра имеет вид

ф.0 = - + 0(И + (9)

Вторая глава, содержащая четыре параграфа, является основной, в ней излагаются центральные результаты диссертации. Эта глава полностью посвящена задаче о неустановившемся движении эллиптического цилиндра под свободной поверхностью. В ее первом параграфе (§4) дается вывод граничного интегрального уравнения, замыкающего систему дифференциальных уравнений (7). Его построение в случае эллиптического цилиндра существенно усложняется геометрией тела. В этом случае используется представление комплексной скорости

г

+ ^(7 -*/ ^^Л^ + аы (10)

т(С) - *".(*) I т(С) - кт.{г)) Лг)

где внеинтегральное слагаемое б имеет вид

= + 2™2 - кЪ®) Ш-

Здесь г = (а + 6)/2, параметр к дается формулой к = |а — Ь\/(а + Ь),

т(С;г,с) = 1 (с - ^(0 + \/(С-^))2-с2), с2 = |а2 - ь2\.

Конформное отображение С —»• т(£; с) при выборе ветви корня, положительной при вещественных положительных значениях подкоренного выражения, преобразует внешность эллипса в плоскости £ на внешность круга ра-

диуса г = (а + 6)/2 с центром в нуле.

Интегральное уравнение в действительной форме получается из соотно-

шения (10), если в нем выполнить предельный переход, устремив точку г, лежащую внутри области к точке гг(х, £) = х+гг](х, £) на свободной поверхности Г(4). В результате получаем сингулярное интегральное уравнение Фредгольма второго рода, связывающее касательную компоненту и и нормальную компоненту V скорости жидкости на свободной поверхности:

оо +оо

7п;(х) + у.р. У А(х,8)у(з)<1з = у.р. ! В{х,8)и{з)йз + уа1Г1{х) + у1цр(х). (11)

—ОО -00

Ядра А к В, нелинейно зависящие от функции г], имеют вид

А = А} + г2Аг, В = В/ + Г2Вг,

где сингулярные ядра А/ и В/, имеющие особенность в точке я = х, определяются формулой

А/(х, в) + я)

г[1 + гг]х{х)]

X — й + «[^(х) — 77(5)]'

Эти ядра отвечают задаче о волнах на свободной поверхности у = т](х, ¿) в отсутствие цилиндра. Регулярные ядра АГ и ВГ, описывающие взаимодействие цилиндра со свободной границей, даются соотношением

Аг(х, в) + гВГ(х, в) = к

г(й 4- г7?(й)) — т,(х 4- щ{х)) т(в 4- ¿^(в)) — кт,(х + гг](х))

т(х + гг}(х))

А внеинтегральные члены в правой части (11) выражаются формулами Усин(х) = тЯе [1пг(а;-|-г7?(а;))]:Е, = г2Ые

т(х + гт?(х))

Функции ^сиг/ и ^р дают нормальные скорости жидкости, индуцируемые на свободной границе Г(4) конформными образами точечного вихря и диполя соответственно.

В §5 исследуется начальная по времени асимптотика решения задачи в случае движения эллиптического цилиндра с постоянным ускорением из со-

стояния покоя: Zcyi(t) = t2cos0 + i(—1 + í2sin0), где в — угол наклона траектории движения цилиндра к горизонту. Решение ищется в виде ряда по целым положительным степеням времени t:

r¡(x, t) = trn(x) + í27y2(x) + t%{x) + ...,

u{x, t) = tui(x) + í2u2(x) + t3u3(x) + ..., (12)

v{x, t) = tv i(x) + t2v2(x) + t3v3(x) + ...

Сравнение степеней í в дифференциальных уравнениях (7) дает щ = щ = щ = 0, а функции r¡n{x) для п ^ 2 и функции ип{х) для п ^ 3 рекуррентным образом выражаются через коэффициенты разложения нормальной скорости «i, ...,vn-i. В свою очередь, для коэффициентов vn (п = 1,2,...), остающихся неизвестными, получаются рекуррентные интегральные соотношения, вытекающие из интегрального уравнения (11):

+00

1TVn(x) + г s)v„(s)ds = <рп(х), (п = 1,2,...), (13)

—со

где ядро Лг°' включает члены ядра Ат низшего порядка относительно функции r¡, а функции <рп в правой части зависят только от коэффициентов vi, ... , u„_i, причем для п > 2 они зависято от этих функций нелинейно и нелокально.

Решение уравнений (13), играющих здесь ключевую роль, строится методом возмущений по малому параметру г, характеризующему малость отношения полуосей цилиндра к глубине его первоначального погружения. Главные члены асимптотики искомого решения имеют порядок 0(г2), и одним из препятствий к получению их в явном виде является наличие интегральных операторов типа преобразования Гильберта в выражениях для правых частей <р„. Эта трудность обходится путем использования свойств аналитического продолжения функции 1/т(г;0,с), имеющей точки ветвления в комплексной плоскости. В результате для коэффициентов асимптотического разложения формы свободной поверхности получается следующие выражение с точностью до членов порядка 0(г4):

т?2 = 2r2 ((1 + k)Qx sin в - (1 - к)Рх cos б), щ = О,

щ = Г2 (~QXX sin 20 + (cos 29 - k)Pxx) +

Ar2 / \

+ — ((1 + k)Pxx sin9 + (1 - k)Qxx cos 0J,

где функция P(x; с) четна по ж, a Q(x; с) — нечетна, и при х ^ О они имеют следующий вид:

Р(х; с) = + -I)2 + 4х2 -х2 + С2 + 1,

<?(х; с) = Щ- ^V/v/(*2-c2-l)2 + 4x2 + *2-c2-l.

В §6 на основе визуализации построенного асимптотического решения проводится сравнительный анализ качественных свойств волновых структур, возникающих при вариации входных параметров задачи. Так, в случае вертикального погружения цилиндра это решение описывает характерные стадии процесса формирования вертикальной струи всплеска на свободной поверхности жидкости (см. рис. 2). Аналогично, в случае вертикального всплытия можно наблюдать процесс формирования инерционного слоя жидкости над цилиндром с последующим выносом этого слоя над уровнем равновесия свободной границы (рис. 3). При этом заметно, что с увеличением горизонтального размера тела расширяется и область возмущенного течения, вовлекаемого в инерционный слой. Рисунок 4 показывает начальную стадию генерации сопутствующей поверхностной волны, распространяющейся в направлении горизонтального движения погруженного цилиндра.

Заключительный §7 во второй главе посвящен анализу эволюции поля скоростей внутри области течения на основе представления комплексной скорости (8) и (10). Учет в асимптотическом решении членов до порядка г4 включительно в разложении по параметру г позволяет промоделировать возникновение и развитие нелинейной фазы взаимодействия тела со свободной поверхностью. В случае кругового цилиндра эти нелинейные поправки выписываются в явном виде через рациональные функции. Соответствующее приближенное решение, уточняющее асимптотику (9), имеет коэффициенты разложения по степеням í следующего вида:

т?2(х) = 2 (г2 - г4) (д'(х) sind - р\х) cos 6») + 0(г6),

Рис. 3. Вертикальное всплытие цилиндров, имеющих полуоси а = 0.8, Ь = 0.2 (штрих-пунктирные линии), а = 0.6, Ь = 0.2 (пунктирные линии), а = 0.4, 6 = 0.2 (сплошные линии) в момент времени í = 0.8 при Л = 5.

Рис. 2. Вертикальное погружение цилиндра с полуосями а = 0.8, 6 = 0.4 в моменты времени Ь = 0.6 (тонкие линии), £ = 0.7 (штриховые линии), < = 0.8 (толстые линии) при А = 10.

Рис. 4. Горизонтальное движение цилиндра, имеющего полуоси а = 0.8, 6 = 0.4, в моменты времени 4 = 0.5 (штрихпунктирные линии), 4 = 0.7 (штриховые линии), t = 0.9 (сплошные линии) при А = 5.

щ(х) = г2 (У'(ж) cos 2в - q"{х) sin 2б) + ^ ^ (р"{х) sin в + <?"(ж) cos б) + + £ (р""(х) cos 2в - q""(x) sin 2в) + j (р"(х) - q'(x)) + 0(re), (14)

где р(х) = 1/(1 + х2) и q{x) = ж/(1 + ж2). Согласно этим решениям нелинейность проявляет себя, если радиус цилиндра сравним с начальной глубиной

погружения его оси (см. рис. 5). Рис. 6 иллюстрирует структуру мгновенного поля скоростей в приповерхностном слое жидкости при движени цилиндра вблизи свободной границы.

Рис. 5. Вертикальное всплытие кругового цилиндра г = 0.5 при А = 5. Момент времени < = 0.7. Штриховые линии — решение (9), сплошные линии — решение (14).

Рис. 6. Мгновенно поле направлений скорости жидкости при вертикальном погружении цилиндра радиуса г = 0.5 при Л = 10 в момент времени 4 = 0.6.

В третье главе, содержащей три параграфа, рассматривается задача о движении эллиптического цилиндра под ледовым покровом. В первом параграфе данной главы (§8) дается эквивалентная формулировка исходной задачи в виде системы граничных интегродифференциальных уравнений на поверхности контакта жидкости и льда. Задача усложняется здесь тем, что давление жидкости на этой поверхности не постоянно и зависит от деформации ледового покрова. Вследствие этого в эволюционной системе граничных дифференциальных уравнений появляются дополнительные производные высшего порядка по времени t и пространственной переменной х:

% = и, щ +

19 (и2 — 2г)хию — V2

2дх \ Гйй

+ А г)х + ащх + Рт) X.

= 0.

Граничное интегральное уравнение (11) для нормальной скорости жидкости V здесь остается таким же, как и в главе 2.

В §9 в рамках сформулированной математической постановки решается задача о начальной асимптотике волнового процесса при равноускоренном движении подо льдом эллиптического цилиндра из состояния покоя. Исходная система граничных интегродифференциальных уравнений здесь тоже сводится к рекуррентным соотношениям для коэффициентов разложения ис-

комых функций по степеням í (таковыми здесь являются компоненты скорости жидкости и прогиб ледовой пластины). Однако в явном виде разрешить эти соотношения сразу не получается, поскольку исходная система не имеет нормальной формы Коши — Ковалевской из-за наличия в уравнениях старших производных по времени. Для преодоления этой трудности используется итерационный метод вычисления коэффициентов разложения формы прогй-ба ледового слоя

= П? - aHdtig, v?+1 = VN - -aH^rff - ^, (15)

который комбинируется с методом возмущений по малым параметрам, характеризующим инерционные и упругие свойства льда (Н в уравнении (15) — преобразование Гильберта). Фактически это есть метод итерационного вычисления распределения давления на поверхности контакта льда и жидкости по динамическому граничному условию (6). В частности, после первой итерации (N = 1) получаются следующие приближенные выражения для первых двух ненулевых коэффициентов в разложении вида (12) для формы прогиба ледовой поверхности по степеням времени í:

r¡l = 2r2((l + к) sin 6(QX + aPxx) - (1 -к) cos в{Рх - aQxx)) + 0(r4),

vi = r2 ((Qxx + аРххх) sin 26+^(1 +к) cos б) +

+{рхх - ctQxxx) (cos 20 - к + ^(1 + к) sin fl) ) +

+ ^r2 ((1 + к)д6хР sin в + (1 - k)dlQ cos (?) + 0(r4).

В заключительном параграфе третьей главы (§10) на основе полученных таким образом приближенных решений анализируются формы нестационарных изгибно-гравитационных волн в ледовом покрове в широком диапазоне параметров. На рис. 7 показано распределение гидродинамического давления на поверхности контакта льда и жидкости при вертикальном погружении эллиптического цилиндра. Здесь видно, что пики давления приходятся на узкие зоны наиболее интенсивных изгибных деформаций ледовой пластины в окрестности точек х = ±0.4, х = ±0.9, х = ±1.5. В литературе уже отмечалось, что экстремумы изгибных напряжений, полученные аналитическими

}

Рис. 7. Вертикальное всплытие эллиптического цилиндра с полуосями а — 0.8, b = 0.2 под сплошным льдом при а = 0.2, /3 = 0.05, Л = 10, t = 0.8. а) — деформация ледового покрова; б) — распределение давления по поверхности контакта льда и жидкости.

методами, могут удовлетворительно соответствовать расположению трещин в реальном льду. Таким образом, моделирование изгибных напряжений в рамках модели сплошного упругого льда в принципе позволяет прогнозировать трещинообразование в ледяном покрове.

В Приложении содержится текст программы, написанной на языке пакета символьных вычислений «Wolfram Mathematica 8.0». Эта программа позволяет оперативно осуществлять визуализацию построенных асимптотических решений. В качестве входных параметров в данной программе можно задавать геометрические характеристики цилиндра, направление движения, значение числа Фруда и упругие характеристики ледового покрова. Вариация указанных параметров позволяет в реальном времени наблюдать и сравне-нивать картины возникающих волновых структур.

Основные результаты. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Для задачи о нестационарном движении погруженного эллиптического цилиндра выведена эквивалентная система интегродифференциальных уравнений для функции, описывающей форму свободной поверхности, и компонент вектора скорости на ней. Исследованы свойства нелинейных операторов, входящих в граничное интегральное уравнение для нормальной скорости.

2. Построена начальная асимптотика волнового движения для случая равноускоренного движения цилиндра из состояния покоя. Получены и проанализированы явные формулы для первых четырех коэффициентов в разложении решения по времени f, исследована асимптотика решения по параметру заглубления.

3. Задача о нестационарном движении эллиптического цилиндра под ледовым покровом сведена к эквивалентной системе интегродифференциальных уравнений на поверхности контакта жидкости и льда и построена начальная по времени асимптотика решения.

4. Исследовано влияние коэффициентов изгибной жесткости и массы ледового слоя, а также числа Фруда, на картины изгибно-гравитационных волн в ледовом покрове.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Макаренко Н.И., Костиков В.К. Неустановившееся движение эллиптического цилиндра под свободной поверхностью // ПМТФ. 2013. Т.54. № 3. С. 30-41.

2. Коробкин A.A., Костиков В.К., Макаренко Н.И. Движение эллиптического цилиндра под ледовым покровом // Вестник НГУ. 2012. Т.12. Вып. 4. С. 76-81.

3. Макаренко Н.И., Костиков В. К. Нелинейная задача о движении цилиндра под свободной поверхностью // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. С. 963-965.

4. Kostikov V.K., Makarenko N.I., Korobkin A.A. Unsteady motion of elliptic cylinder under ice cover // Proceedings of 27th International Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Denmark, Copenhagen. 2012. P. 89-92.

5. Костиков В. К. Начальная по времени асимптотика волнового движения при наличии погруженного эллиптического цилиндра // Тезисы докладов Всероссийской конференции «Нелинейные волны: теория и новые приложения», посвященной памяти чл.-корр. РАН В.М. Тешукова и пруроченная к 65-летию со дня его рождения. 2-4 марта 2011 г. Новосибирск. С. 40-^41.

6. Макаренко Н.И., Костиков В.К. Неустановившееся движение эллиптического цилиндра под свободной поверхностью // Тезисы докладов 4-й Всероссийской конференция с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения». Тезисы докладов. Бийск. 5-10 июля 2011 г. С. 62.

7. Коробкин А.А., Костиков В.К., Макаренко Н.И. Неустановившееся движение эллиптического цилиндра под ледовым покровом // Тезисы докладов Всероссийской конференции «Полярная механика». 2-9 июня 2012. Новосибирск.

8. Костиков В.К., Макаренко Н.И., Коробкин А.А. Нестационарное движение цилиндра под свободной поверхностью и ледовым покровом // Тезисы докладов Всероссийской научной школы молодых ученых «Волны и вихри в сложных средах». 3-5 декабря 2012 г. М.: МАКС Пресс. С. 128-131.

9. Korobkin A., Kostikov V., Makarenko N. Unsteady waves generated by the obstacle moving under ice cover // Geophisical Research Abstracts. 2013. V. 15. EGU2013-6792.

10. Makarenko N., Kostikov V. Nonlinear water waves generated by impulsive motion of submerged obstacle // Geophysical Research Abstracts. 2012. V.14. EGU2012-4772.

Подписано в печать Формат бумаги 60 * 84 1/16 Тираж 75 экз.

Заказ № 135 Объем 1 п.л. Бесплатно

Отпечатано на полиграфическом участке Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 630090, Новосибирск, просп. акад. Лаврентьева, 15

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт гидродинамики имени М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук

На правах рукописи

04201364526

Костиков Василий Константинович

НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА ПОД СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ И ЛЕДОВЫМ ПОКРОВОМ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Н.И. Макаренко

Научный консультант: доктор физико-математических наук

A.A. Коробкин

Новосибирск, 2013

Содержание

Введение....................................................................3

Глава 1. Предварительные сведения..................................13

§1. Формулировка основных уравнений..................................13

1.1. Задача о неустановившемся движении цилиндра под свободной поверхностью..................................................13

1.2. Задача о неустановившемся движении цилиндра под ледовым покровом...................................15

§ 2. Редукция к граничным интегродифференциальным уравнениям 17

2.1. Поверхностные волны без погруженного тела..................17

2.2. Поверхностные волны при наличии кругового цилиндра. . . 20 § 3. Начальная асимптотика волнового движения......................26

Глава 2. Движение эллиптического цилиндра под свободной поверхностью ......................................................28

§ 4. Граничное интегральное уравнение..................................29

4.1. Вспомогательное конформное отображение......................30

4.2. Интегральное представление комплексной скорости............32

4.3. Вещественная форма интегрального уравнения................36

§ 5. Построение начальной асимптотики решения в случае движения

цилиндра с постоянным ускорением..................................38

5.1. Рекуррентные уравнения для коэффициентов асимптотического разложения..................................................38

5.2. Моделирование по параметру заглубления......................44

§ 6. Графическое представление решений................................52

6.1. Влияние нелинейности в случае движения кругового цилиндра с постоянным ускорением....................................52

6.2. Динамика свободной поверхности при разгоне эллиптического цилиндра......................................................54

6.3. Влияние геометрии тела..........................................56

§ 7. Структура поля скоростей в области течения......................59

Глава 3. Движение цилиндра под ледовым покровом ............67

§ 8. Задача о нестационарных гидроупругих волнах при наличии эллиптического цилиндра................................................67

8.1. Исходные уравнения................................................67

8.2. Интегродифференциальные уравнения на поверхности контакта льда и жидкости............................................69

§ 9. Итерационная процедура построения решения......................70

§ 10. Анализ режимов движения............................................74

Заключение................................................................81

Приложение. Текст программы визуализации асимптотических

решений в пакете «Wolfram Mathematica 8.0» ..........83

Список литературы......................................................93

Введение

В диссертации рассматривается задача о нестационарных волнах на поверхности глубокой жидкости и изгибно-гравитационных волнах в ледовом покрове, возникающих в результате движения погруженного эллиптического цилиндра. Основной целыо работы является аналитическое исследование начальной стадии волнового движения в случае ускоренного разгона цилиндра. Нелинейная задача о генерации волн погруженным телом ставится следующим образом. Требуется найти поля скорости и давления в жидкости, удовлетворяющие уравнениям Эйлера идеальной несжимаемой жидкости, граничному условию непротекания на поверхности тела, динамическому и кинематическому условиям на свободной границе или поверхности контакта свободно плавающего ледового покрова с жидкостью, а также условию затухания движения на бесконечности. При этом предполагается, что тело перемещается по заданному закону, и начальное состояние жидкости и ледового покрова известны.

Задачи о волновых движениях жидкости при наличии погруженных тел традиционно являются объектом интенсивного исследования [24, 31, 32, 41]. В последние годы этот интерес связан с необходимостью решения ряда новых практических задач морской гидродинамики [6, 44, 52, 56, 58], таких как моделирование поведения на волнении больших морских сооружений (нефтяных платформ, подводных трубопроводов и т.п.), обеспечение устойчивого движения автономных плавающих устройств (глайдеров) вблизи свободных границ,

учет ледовых нагрузок на стационарные и подвижные тела в полярных условиях. Рассматриваемая в диссертации задача имеет также и определенный геофизический аспект. С этой точки зрения она представляет интерес в качестве модельной постановки для изучения процессов генерации волн типа цунами, возникающих в результате подводных землетрясений, подвижек дна (оползней), схода лавин [13, 27].

Для решения задач о взаимодействии погруженных и плавающих тел со свободными поверхностями и упругими границами часто используется линейная теория [50]. В ней предполагается, что амплитуда волн мала по сравнению с другими характерными параметрами. Это допущение оправдано, например, когда источник волновых возмущений находится достаточно далеко от подвижных границ области течения. Нелинейные эффекты проявляют себя, как правило, в случае движения тел вблизи свободных границ. Успехи в решении нелинейных нестационарных волновых задач в значительной степени связаны с развитием численных методов. Наиболее полные обзоры результатов по данной тематике имеются в работах И.В. Стуровой [33] и С.И. Горлова [2]. Эффективные алгоритмы численного решения задач со свободными границами для гидродинамических уравнений Эйлера — «численные волновые бассейны» — разработаны рядом авторов: D. Ciamond, J. Grue [40], M. Greenhow, S. Moyo [42], R. Yeung, A. Hamilton [43], M. Kashiwagi [45], K. Bai с соавторами [46], G.X. Wu, Eatock R. Taylor [64] и др. Численные результаты, относящиеся к нелинейной задаче о движении погруженных тел или аппроксимирующих их особенностей, получены Д.В. Маклаковым [18], А.Г. Терентьевым, К.Б. Афанасьевым, М.М. Афанасьевой [59], С.И. Горловым [3]. Большое число работ посвящено также задачам о движении тела в неоднородной (стратифицированной по плотности) жидкости с образованием внутренних волн [1, 4, 34, 37].

Аналитические исследования актуальны для этого класса задач, посколь-

ку анализ точных постановок и получение приближенных решений полезны для оптимизации морских конструкций, для предсказания опасных режимов их эксплуатации (например, резонансного воздействия волн на несущие элементы платформ), а также для тестирования численных алгоритмов. Разрешимость задачи о неустановившемся движении тела в идеальной жидкости со свободной границей до недавнего времени оставалась не исследованной даже в локальной постановке. Однозначная разрешимость двумерной задачи в случае кругового цилиндра в классе аналитических функций установлена Н.И. Макаренко [14, 53], пространственная задача о движении погруженной сферы исследована Е.В. Пяткиной [30]. В этих же работах была построена и обоснована асимптотика решения по малому параметру, характеризующему малость размеров тела по сравнению с глубиной его погружения (нелинейная модель дипольного приближения). Повышенное внимание к этому вопросу обусловлено тем, что дипольные и мультипольные приближения получили широкое применение в задаче о генерации волн, начиная с классической работы Ламба [51] (см. также более поздние работы Е.О. Tuck [60]; J. Wehausen, Е. Laitone [63]).

Начальная по времени асимптотика решения нелинейной задачи о движении погруженного кругового цилиндра с ускорением из состояния покоя впервые была исследована в работах P. Tyvand, Т. Milloh [61, 62]. Построенные ими ряды возмущений используют конформное отображение искомой области течения на фиксированную двухсвязную область во вспомогательной комплексной плоскости. В работе [53] был предложен другой метод построения асимптотического ряда непосредственно в плоскости течения. На этом пути было получено качественное объяснение наблюдаемого эффекта инерционного выноса массы жидкости при быстром всплывании кругового цилиндра. В [29] данным методом была решена трехмерная задача об импульсивном движении погруженной сферы. В упомянутых здесь работах рассматривались постановки нестационарных

задач о безотрывном обтекании погруженного тела при умеренных скоростях его движения. Родственный круг вопросов возникает также при исследовании задач высокоскоростной гидродинамики, требующих учета кавитационных явлений [5]. В недавней работе М.В. Норкина [21] с помощью полуаналитических методов рассмотрена задача о развитии присоединенной каверны при быстром разгоне погруженного кругового цилиндра. В работах [22, 23] с помощью аналогичных подходов изучалась задача о движении эллиптического цилиндра под свободной поверхностью идеальной и вязкой жидкости.

Задача о движении погруженного тела под ледовым покровом в однородной и стратифицированной жидкостях рассматривалась в линейной постановке в работах И.В. Стуровой [35], [36]. Линеаризованная задача о гидроупругом поведении плавающей пластины конечных размеров была исследована A.A. Ко-робкиным [7]. Обзору линейных моделей взаимодействия упругого ледового покрова с жидкостью посвящена работа C.B. Музылева [20]. Вывод уравнений нелинейной гидроупругой структуры на основе вариационных принципов дан в работе П.И. Плотникова и И.В. Кузнецова [28]. Задача о бегущих нелинейных гидроупругих волнах рассматривалась П.И. Плотниковым и Дж. Толандом в [57]. Учитывая все сказанное, становится ясно, что дальнейшее развитие аналитических подходов в нелинейной задаче о генерации волн телами сложных геометрических форм, отличных от круговой или сферической, представляет несомненный интерес.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Во введении дается обзор литературы, близкой к теме данной работы, кратко характеризуется ее содержание, формулируются основные результаты и резюмируются сведения об их апробации. Первая глава, состоящая из трех параграфов, носит подготовительный характер. В первом параграфе приводится постановка основных задач о неустановившемся движении ци-

линдрического тела произвольного сечения под свободной поверхностью и ледовым покровом. Во втором параграфе излагается математический метод, используемый в последующих главах. А именно, здесь описывается способ сведения исходных уравнений движения идеальной несжимаемой жидкости к системе нелинейных интегродифференциальных уравнений на свободной границе. Этот метод был предложен Л.В. Овсянниковым [26] в задаче о свободных поверхностных волнах и модифицирован Н.И. Макаренко [53] применительно к задаче о генерации волн погруженным круговым цилиндром. В третьем параграфе первой главы в качестве примера приложения данного метода приведена известная начальная асимптотика формы свободной поверхности при вертикальном всплытии кругового цилиндра. Вторая глава, содержащая четыре параграфа, является основной, в ней излагаются центральные результаты диссертации. Эта глава полностью посвящена задаче о неустановившемся движении эллиптического цилиндра под свободной поверхностью. В ее первом параграфе (§4) дается подробный вывод граничного интегрального уравнения, замыкающего систему дифференциальных уравнений для неизвестных функций на искомой свободной поверхности. По своей структуре оно напоминает аналогичное уравнение для кругового цилиндра, однако его построение в случае эллиптического цилиндра существенно осложняется геометрией тела. В диссертации основное внимание уделяется характеристике свойств двулистного отображения, с помощью которого получается интегральное представление комплексной скорости жидкости, содержащее интегралы только по свободной границе (схема его вывода ранее была дана в работе [54]). Эти аналитические свойства в конечном итоге оказываются решающими при получении всех явных формул для асимптотических решений. В §5 исследуется начальная по времени асимптотика решения задачи о поступательном движении эллиптического цилиндра с постоянным ускорением из состояния покоя. Решение ищется в виде ряда по целым положительным

степеням времени и часть коэффициентов может быть найдена стандартным методом Коши — Ковалевской из эволюционной системы граничных дифференциальных уравнений. Нетривиальная часть работы состоит в отыскании коэффициентов разложения для нормальной скорости жидкости на свободной границе. Упомянутое выше интегральное уравнение Фредгольма второго рода играет при этом ключевую роль. Для его приближенного решения используется метод возмущений по малому параметру, характеризующему отношение полуосей цилиндра к глубине его первоначального погружения. Известно [53], что в случае кругового цилиндра этот метод дает в главном порядке решение, соответствующее дипольному приближению (т.е. когда погруженный цилиндр аппроксимируется точечной особенностью поля скоростей жидкости). Получение такой начальной асимптотики нестационарного решения в случае эллиптического цилиндра является новым результатом. В §6 на основе визуализации найденных асимптотических решений проводится сравнительный анализ волновых структур, возникающих при различных углах направления движения эллиптического цилиндра. Согласно этим решениям эволюция свободной поверхности на начальной стадии движения хорошо описывается линейной теорией, если параметр заглубления г достаточно мал. Данная временная стадия развития течения характеризуется формированием инерционного слоя жидкости при разгоне цилиндра. Вместе с тем найденные решения успевают промоделировать и начало образования системы расходящихся поверхностных воли па последующей временной фазе, все еще описываемой линейной теорией. Кроме того, учет в асимптотическом решении членов до порядка г4 включительно в разложении по параметру г позволяет дополнительно описать временную эволюцию интенсивности точечной особенности, моделирующей движение погруженного тела вблизи свободной границы. А в случае кругового цилиндра на этом пути удается продвинуться еще дальше: построенные здесь новые асимптотические

решения описывают и начало нелинейной фазы взаимодействия тела со свободной поверхностью. Заключительный §7 во второй главе посвящен анализу картины поля скоростей течения в целом, а не только вблизи свободной поверхности. Его результаты дают предварительную основу для определения силовых реакций жидкости на тело, хотя данный важный вопрос, требующий отдельного рассмотрения, и вынесен за рамки диссертации. В третье главе, содержащей три параграфа, предлагается обобщение используемого метода на случай движения эллиптического цилиндра под ледовым покровом. В первом параграфе данной главы (§8 в сквозной нумерации) дается эквивалентная формулировка исходной задачи в виде системы граничных интегродифференциальных уравнений на поверхности контакта жидкости и льда. Задача усложняется здесь тем, что давление жидкости на этой поверхности не постоянно и зависит от деформации ледового покрова. Упругое поведение тонкого слоя льда в диссертации рассматривается в рамках линейной модели балки Эйлера. Вследствие этого в эволюционной системе граничных дифференциальных уравнений появляются дополнительные производные высшего порядка по времени £ и пространственной переменной х, а граничное интегральное уравнение для нормальной скорости жидкости остается таким же, как и в главе 2. В §9 в рамках сформулированной математической постановки решается задача о начальной асимптотике волнового процесса при равноускоренном движении подо льдом эллиптического цилиндра из состояния покоя. Исходная система граничных интегродифференциальных уравнений здесь тоже сводится к рекуррентным соотношениям для коэффициентов разложения искомых функций по степеням £ (таковыми здесь являются компоненты скорости жидкости и прогиб ледовой пластины). Однако в явном виде разрешить эти соотношения сразу не получается, поскольку исходная система не имеет нормальной формы Коши — Ковалевской из-за наличия в уравнениях старших производных по времени. Для преодоления этой

трудности используется итерационный метод вычисления коэффициентов, который комбинируется с методом возмущений по малым параметрам, характеризующим инерционные и упругие свойства льда. В заключительном параграфе третьей главы, §10, на основе полученных таким образом приближенных решений анализируются различные формы изгибно-гравитационных волн в ледовом покрове в широком диапазоне параметров, включая случай модели битого льда. Сравнение этих режимов с аналогичными волновыми режимами в случае движения цилиндра под свободной по�