Некоторые вопросы качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. А. СТЕКЛОВА

РГБ ОД

2 8 АВГ 1995 На правах рукописи

УДК 517.95

КУРТА Василий Васильевич

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

(01.01.02 — дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва — 1995

Работа выполнена в отделе теории функций Математического института имени В.А. Стеклова Российской Академии наук

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ю.А. Дубинский доктор физико-математических наук, профессор Е.М. Ландис доктор физико-математических наук, профессор Г.И. Лаптев

Ведущая организация:

Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша Российской Академии наук

Защита состоится года

V

на заседании специализированного совета Д 002.38.01 по защите диссертаций при Математическом институте имени В. А. Стеклова Российской Академии наук по адресу: Москва, 117333, Вавилова, 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института имени В. А. Стеклова Российской Академии наук

М* л/^/гУ^

Автореферат разослан " _ "___ 1995 года

Ученый секретарь совета

д.ф.-м.н.,профессор — аУ ") А.К.Гущин

ВВЕДЕНИЕ.

Данная диссертация по проблематике принадлежит к качественной теории нелинейных уравнений, вопросы которой занимают одно из центральных мест в дифференциальных уравнениях с частными производными.

Основными объектами изучения в работе являются нелинейные уравнения эллиптического и параболического типов, вопросы качественного поведения решений которых относятся к числу малоисследованных.

Научная новизна, тп е. о р с т и ч п с к а я и практическая значимость р а 6 о т ы. В диссертации осуществлен новый подход к исследованию асимптотических свойств решений квазилинейных вырождающихся уравнений эллиптическогоипараболического типов, основанныйна оптимальном выборе пробных функций, интегральных опенках и аппарате нелинейной емкости. О а позволил достаточно полно изучить вопросы о росте решений таких уравнений в неограниченных областях евклидова пространства в зависимости от геометрии области и нелинейности уравнения одновременно для широких классов квазилинейных уравнений. На этом пути обнаружен новый эффект в вопросе о единственности решений задачи Коши для уравнений параболического типа. Достоинством предлагаемого подхода является и то, что он непосредственно может быть применен для изучения асимптотических свойств решений соответствующих нелинейных уравнений высокого порядка, а также уравнений, изучаемых на рима-новых многообразиях.

Работа носит теоретический характер в области теории дифференциальных уравнений в частных производных, хотя уравнения, исследуемые в ней, непосредственно связаны со многими физическими, химическими, механическими и другими явлениями и процессами.

Основными рея/льтатами диссертации являются:

- построение теории Фрагмсна-Линделсфа для широких классов квазилинейных эллиптических и параболических уравнений дивергентного вида, допускающих произвольное вырождение в главной части;

- принцип сравнения суб- и супсррешений задач Дирихле и Дирихле-Коши для широких классов квазилинейных дивергентных уравнений эллиптического и параболического типов, обладающих свойством а-монотонности (определение а-монотонности для дифференциальных операторов, обобщающее известное определение монотонности., введено автором); как следствие, установлена теорема о единственности решений задачи Коши для уравнения быстрой неньютоновской фильтрации и( = divx(\Vxu\a~'2Vxu), 2 > а > 1, без всяких предположений о росте решений на бесконечности.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

С то р у к те у р а диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, посвяшенных соответственно нелинейным уравнениям эллиптического и параболического типов, и списка литературы. Первая глава разбита на четыре раздела. Общий объем диссертации - 323 страницы машинописного текста.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 17 работах, без соавторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на:

- конференциях по дифференциальным уравнениям (Донецк, 1987; Черновцы,

1989; Донецк, 1991);

- Всесоюзной школе-семинаре по комплексному анализу (Ташкент, 1989);

- совместных заседаниях семинара имени И.Г. Петровского и Московского математического общества (Москва, 1994,1995);

- Международном Конгрессе математиков (Цюрих, 1994, стендовый доклад);

- Международной конференции "Комплексный анализ и задачи со свободной границей" (Санкт-Петербург, 1994);

- семинарах академика B.C. Владимирова (МИ РАН, 1992-1994);

- семинарах академика С.М. Никольского и члена-корреспондента АН России Л.Д. Кудрявцева (МИ РАН, 1992-1994);

- семинарах члена-корреспондента АН России С.И. Похожаева (МИ РАН, 1991 -1994);

-семинарахпроф. В.П. Михайловаипроф. А.К.Гуншна(МИ РАН, 1993-1994);

- семинарах проф. В.А.Кондратьева и проф. Е.М. Ландиса(МГУ, 1991-1994);

- семинарах проф. Ю.А. Дубинского (МЭИ, 1993);

- семинарах академика АН Украины И.В.Скрыпника (ИПММ АН Украины, 1990-1993);

- семинарах проф. В.Я. Гутлянского (ИПММ АН Украины, 1990-1992).

Первая глава диссертации посвящена исследованию качественных свойств обобщенных в смысле интегрального тождества решений квазилинейных дифференциальных уравнений вида

где А(х, и, Уи) и /(г, и, Vи) - векторная и соответственно скалярная каратеодо-риевы функции, определенные на множестве К" х Ш1 х Е" и удовлетворяющие дополнительным, в каждом разделе своим, условиям.

В первых двух разделах изучаются коэрцитивные квазилинейные задачи, в третьем - некоэрцитивные квазилинейные задачи, а в четвертом - коэрцитивные и некоэрцитивные полулинейные задачи.

Основными модельными уравнениями вида (1) служат следующие:

Содержание работы.

divA(x,u, Vu) = /(г, u, V&),

(1)

1

^ (|Vu|a-2Urj) = ±|м|«(1 + |Vu|)^sgn и,

Е J- (КГ-2««,-) = ±М'(1 + |V«|)<V и,

п

и

(2)

п

и,

(3)

f^Oxi ^Trrivip

д / Uj,

(4)

sgn Ц,

(5)

где </ > 0, п ^ 1, /? - произвольные действительные фиксированные числа, а измеримые функции такие, что л,-,-(х) = а^(х) и

п

для почти всех х и всех £ из К", г,; = 1,...тг;п > 2 и некоторого положительного К.

Свойства дифференциальных операторов приведенных выше примеров объясняют многое в теории общих классов квазилинейных уравнений эллиптического и параболического типов, исследуемых в диссертации. К тому же они являются наиболее известными квазилинейными дифференциальными операторами с явным и неявным вырождениями.

Отдельные работы для уравнений вида (1) с нелинейной правой частью появились лишь со второй половины пятидесятых годов нашего века. К ним, преждевсе-го, следует отнести работы Д. Келлера [Кел], Р. Оссермана [Ос], С.И. Похожаева [П], Р. Реяхеффера [Р]. Широкое же изучение таких уравнений началось в восьмидесятых годах. Наиболее близкими исследованиями к тематике, которой посвящена первая глава диссертации, занимались В. Бенси, X. Берестицкий, X. Брезис, Х.Васкес, Л.Верон, Б.Гидас, X. Диас, Ю.А. Дубинский, Н.Кавано, Г.Керами, В.А.Кондратьев, Е.М.Ландис, П.Линдквист, П.Лионе, Дж.Морел, М.Найто, В. Ни, Л.Ниренберг, Л.Освальд, С.И. Похожаев, И.В.Скрыпник, К.Стюарт, Б. Спрук, П. Трабек, С. Ченг, С. Яо и многие другие.

Основкь1Л1.и результатами первой главы являются: (в случае коэрцитивных задач)

- аналоги теорем Фрагмена-Лиидслефа для обобщенных решений квазилинейных эллиптических уравнений вида (1), допускающих произвольное вырождение эллиптичности, (теоремы 1.5, 1.7-1.9,1.20-1.21);

- утверждения о единственности решений однородной задачи Дирихле в произвольных областях пространства К" для уравнений вида (1), допускающих произвольное вырождение эллиптичности, (теоремы 1.3, 1.4,1.18-1.19);

- принцип сравнения суб- и суперрешсний для уравнений вида (2)-(5) и некоторых более общих уравнений вида (1), обладающих свойством а-монотонности, в произвольных областях пространства К" (теоремы 1.11-1.15) (определение а -монотонности дано на с. 10);

(в случае пехоэрцитпвпых задач)

- доказательство отсутствия обобщенных положительных целых решений у квазилинейных уравнений вида (1), не обладающих свойством коэрцитивности и до-. пускающих произвольное вырождение эллиптичности, (теоремы 1.22-1.24).

Полученные в первой главе основные результаты являются новыми для уравнений вида (2)-(5) привсех пф1,<1 >0, произвольных действительных /3. Исключение составляет работа В. А. Кондратьева и Е.М. Ландиса [КЛ], где были рассмотрены полулинейные уравнениявида (5) с некоторыми функциями /(я, и), достаточно быстро растущими по и (д > 1, /? = 0). Заметим, что предлагаемый в диссертации подход позволяет в отличиеот исследований, проведенных В. А. Кондратьевым и Е.М. Ландисом [КЛ], учитывать зависимость поведения решений полулинейных уравнений вида (5) от характера вырождения матрицы а,у(лг).

Уаерждения о зависимости асимптотического поведения решений (модулей их градиентов) однородной задачи Дирихле от геометрии области и нелинейности уравнения ( теоремы 1.8, 1.21) являются новыми и для уравнения вида Ли = f(x,u,Vu).

Сравнительный анализ основных результатов первой главы с имеющимися в научной литературе приведен также в комментариях перец описанием основных результатов второй главы.

РАЗДЕЛ I. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВИДА Cu=f(x,u).

КОЭРЦИТИВНЫЙ СЛУЧАЙ.

В первом параграфе первого раздела вводятся основные объекты исследования и определяются обобщенные решения уравнения вида Си = f(x,u). Пусть D произвольная область в Е",п > 2, и А,(х, г = 1,2,..., п, - каратеодориевы на множестве DxR'x Rn функции такие, что

п

(С)

¿=1

дляп.в. х из D и всех (;;, £) из R1 х R".

Обозначим через С "дифференциальный оператор", определяемый равенством

" d

= (7)

i=l '

Известно, что равенство Си = j(x, и, Vu), которому удовлетворяет решение, может быть определено для более широкого класса коэффициентов А{(х,г/,£) и функций и, нежели те, которые формально допускаются в (1). Так, в случае и € CUD) говорят, что функция и удовлетворяет в обобщенном смысле уравнению Си = Дз:,и,'Уи)вобласти1>,если

Vu)dx = / f{x, и, Vu)ip(x)dx

Jd JD

о

для всех функций if> £ C'(D). Если коэффициенты А{(х,ц,£) достаточно гладкие, и € Cfoc(D), то это определение эквивалентно классическому. В дальнейшем обобщенные решения уравнения вида Си = f(x, u, Vu) будут определены как функции из более широких и более подходящих пространств. В таком обобщенном интегро-дифференциальном смысле мы понимаем действие оператора С, и в дальнейшем кавычки в выражении "дифференциальный оператор" будут опускаться.

Пусть а ^ 1 - произвольное фиксированное число. Будем говорить, что оператор С, определенный соотношением (7), принадлежит классу -А(а), если существует положительная постоянная 1С такая, что для любых вех-торов ф из R", (х,г/) из D х R1 выполнено неравенство:

^ ЦФ\" - . (8)

Условия (0),(8) обладают рядом преимуществ по сравнению с традиционными

и(*.ч,01 < ^г-' и ке х ж®.»»,0)1 > (so

где í'i , V'i - произвольные положительные фиксированные постоянные.

Основное из них - условия (С), (8) менее ограничительны. Приведем соответствующий пример. Пусть п(х,т),£) - произвольная неотрицательная, равномерно ограниченная функция Каратеодори, определенная на множестве D х R1 х Rn. Легко проверяется, что дифференциальный оператор С, определяемый соотношением вида

п ~

Си (a(x,u,Vu)IVula-2uT¡)

и допускающий произвольное вырождение эллиптичности, принадлежит классу В то же время коэффициенты этого оператора не удовлетворяют, вообще говоря, условиям (8'), если на функцию а(х,т;,£) не наложить дополнительных, весьма жестких ограничений. Заметим, что дифференциальные операторы С, определенные соотношением (7), коэффициенты которых удовлетворяют условиям (8') при а > 1, принадлежат классу

Классы А(а) содержат достаточно широкий спектр линейных и нелинейных дифференциальных операторов, центральными представителями которых для нас будут дифференциальные операторы, определяемые соотношениями вида (2)-(5).

Отметим, что ограничения на рост коэффициентов дифференциального оператора С в виде неравенства (8) введены в рассмотрение В.М. Миклюковым [Ми]. В первом разделе изучаются решения уравнений вида

£«=/(*,«), (9)

где оператор £ принадлежит некоторому классу при произвольном фиксированном а > 1, а функция f(z,u) предполагается каратеодориевой и локально ограниченной на множестве D х R™. Вудем также считать, что она удовлетворяет следующим условиям:

J{t.,Q) = 0 и uf(x,u)> a\u\i+4{x), (10)

где

Ыт) = J сслн 1*1 ^

V '' I если И > 1,

а. > 0, д > 0, тп > —(У - произвольные фиксированные числа.

Определим обобщенное решение уравнения вида (9) в произвольной области D С R" и введем понятие равенства нулю на границе dD для этого решения.

Пусть а > 1- произвольное фиксированное число, оператор С принадлежит классу А(о). Функцию и(х) будем называть о6обу1,енным решением уравнения вида Си = /(г, и) в области D, если и е W* loc(D) П £oo,íoc(f ) « для о

произвольной функции ф 6 T'K^(Z)) выполняется интегральное тождество:

¿'Vu) + Л1- UWX)

dx = 0. (11)

Пусть г - произвольное положительное фиксированное число, В(г) - шар радиуса г с центром в начале хоординат и а - произвольное множество в R", принадлежащее dD. Обозначим через И^(.ОЛ.В(г),<тЛВ(г))- пополнение по норме пространства П В(г)) множества всех, принадлежащих

C°°(D) функций, равных нулю в окрестности а. Будем говорить, что и £ W* ;ос(А с), если и е Wl{D ПВ(г),а П В(г)) при любом г > 0. Наконец, будем говорить, что решение и(х) уравнения вида (9) обращается в нуль на а С dD, если и € W^ tac(D,o).

Во втором параграфе приведены хорошо известные понятия и свойства нелинейной вариационной емкости.

Получению двух априорных оценок для обобщенных решений однородной задачи Дирихле для уравнений вида (9) посвящен третий параграф (теоремы 1.1 и 1.2).

В следующем, четвертом, параграфе исследуется вопрос о единственности решений однородной задачи Дирихле для уравнений вида (9) в ограниченных областях пространства R".

В пятом параграфе исследуется вопрос о единственности решений однородной задачи Дирихле для уравнений вида (9) в неограниченных областях пространства R".

ТЕОРЕМА 1.4. Пусть а > l,q > а — 1,т > -а, D - произвольная область в R", Е - зажккутаое множество а-емхости нуль, принадлежащее dD. Пусть оператор С принадлежит классу ■А(о') и и(х) - обобщенное в смысле интегрального тождества (11) решение уравнения вида (9) в области D с нулевыми данными на dD\E такое, что и С Loo{D П В(г)) для любого положительного т. Тогда. и(х) = 0 я.в. в D.

В частности, область D может совпадать со всем пространством.

Для решений полулинейных, вообще говоря, вырождающихся уравнений аналог этой теоремы в случае т = 0 и пустого множества Е получен другим методом В.А. Кондратьевым и Е.М. Ландисом [КЛ].

Основным содержанием шестого параграфа являются пришит максимума (теорема 1.6) и аналоги теоремы Фрагмена-Линделефа ( теоремы 1.7 и 1.9). Первые публикации, касающиеся аналогов теоремы Фрагмена-Линделефа для решений уравнений эллиптического типа, принадлежат, по-видимому, Е.М. Ландису [Лав] и П. Д. Лаксу [Л]. В качестве характеристики, отвечающей за скорость роста решения, в указанных работах выступает объем. Первые результаты, сформулированные в терминах емкости, принадлежат В.Г. Мазье [М]. Общее количество работ, выполненных по данной тематике, очень велико. Основное отличие теорем 1.6 и 1.7 от аналогичных теорем, полученных ранее, состоит, главным образом, в нелинейности рассматриваемого класса уравнений, включающего в себя, как частный случай, полулинейные уравнения.

Пусть D - произвольная неограниченная область в R", и- произвольная функция, принадлежащая L00{DC\B(R)} при любом Я, !—произвольное положительное число. Обозначим через

Мь{т)~ lim esssupDnK(r_Ä|r)|t)(r)|,

о—►()

где K(r,R) = B(R)\B(r). Если Di) В (г)-пусто, Mv(r) считаем равным, нулю.

я

Т к о р в м л 1.7. Пусть о* — 1 > q > 0,т > -а, Т> - произвольная неограниченная область в Ж", которая может совпадать со всем пространством, Е замкнутое множество пг-емкости нуль, принадлежащее дО. Пусть оператор С принадлежит классу А(а) пи(х)-о6оби1,енное в смы.сле интегрального тождества (11) решение уравнения вида (9) я области Г) с нулевыми данными на дй \ Е такое, что и 6 Ь<х>(0 П для любого положительного г. Тогда либо 11.(1) = 0 п.в. ей, либо

Точность сформулированного результата демонстрируется примером.

Следующее утверждение характеризует скорость возрастают абсолютной величины обобщенного решения уравнения вида (9) в зависимости от геометрии области Б и нелинейности уравнения.

ТЕОРЕМА 1.8. Пусть а — 1 > 9 > 0,т > —а, Б-произвольная неограниченная область в Л", Е - замкнутое множество а-емкости нуль, принадлежащее дО. Пусть оператор С принадлежит, классу А(а) и и(х)~обобщенное в смысле интегрального тождества (11) решение уравнения вида (9) в области £) с. нулевыми данными на дО\Е такое, что и £ Ьоо(0 Г\ В(г)) для любого положительного г. Тогда либо и(х) — 0 п.в. в О, либо для любого фиксированного 7 большего, чем тах{п, } и с = а(1 + 5) — 1 — 5)7

справедливо следующее неравенство:

В частности, область й может совпадать со всем пространством.

Замене верхнего предела нижним в формулировке теоремы 1.7 посвящена теорема 1.9, являющаяся простым следствием теоремы 1.8.

ТЕОРЕМА 1.9. Пусть а — 1 > д > 0,т > —а, В-произвольная неограниченная область в К", которая может совпадать со всем пространством, Е - замкнутое множество а-емкости нуль, принадлежащее дТ). Пусть оператор С принадлежит классу ^(о) и и(х) - обобы,енное в смысле интегрального тождества (11) решение уравнения вида (9) в области £> с нулевыми данными на дО\Е такое, что и £ Ь00(ОПВ(г)) для любого положительного г. Тогда либо 11.(1) = 0 п.в. в Ю, либо для любого положительного числа <5

II—ЮО

Нт > о.

Бт Тсар7(Д П В(Я/2),ВП С(Л); 0))а/сМп{П) > 0.

Н—юо

11т > 0.

Я-4оо

В седьмом параграфе рассмотрены уравнения вида

частным случаем которых при f(x, и) = аи является хорошо известное уравнение капиллярных поверхностей. Поскольку оператор средней кривизны, определяющий уравнение (12), является элементом класса А(1), то для решений (12) имеют место все результаты, полученные нами в этой главе, в случае, когда параметр с« = 1 ( предложения 1.1 и 1.2 ). Однако, используя структуру оператора средней кривизны, утверждение предложения 1.1 можно усилить, а именно: не предполагать априори локальную ограниченность решений уравнения (12). В следующей теореме предполагается, что и(х)- обобщенное в смысле интегрального тождест-ва(11)са = 1 решение уравнения вида (12) с функцией /(х, и), удовлетворяющей условиям (10) при т = 0.

ТЕОРЕМА 1.10. Пусть I) - произвольная область в Кп, Е-замкнутое множество 1-емкости нуль, принадлежащее дБ. Если и(х) - обобщенное в смысле интегрального тождества (11) с а =1 решение уравнения вида (12) в области И с нулевыми данными на сЮ \ Е, то и(х) — 0 п.в. в X).

В частности, область О может совпадать со всем пространством.

Основным результатом последнего, восьмого, параграфа является принцип сравнения суб- и суперрешений для уравнений вида (2)-(5) при фиксированных д > 1,2><*>1,/9 = 0и некоторых более общих квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений вида (9), с оператором С из класса А(а).

От известных результатов о принципе сравнения (см., напр. [ГТ, с. 248]) наш отличает следующее:

- отсутствие требования дифферендируемости главной части квазилинейного уравнения;

- отсутствие требования на ограниченность области, в которой рассматривается уравнение;

- отсутствие требования принадлежности субрешения (суперрешения) соответствующему пространству Соболева в целом по области.

В этом параграфе речь идет о решениях неравенств вида

или, что то же, о субрещениях (суперрешениях) уравнения вида (9).

Пусть а > 1 - произвольное фиксированное число. Будим говорить, что дифференциальный оператор С, определяемый равенством

является а-монотонным, если его коэффициенты А{(х,^), удовлетворяющие условиям Каратеодори на множестве И х К", таковы, что = 0, и

существует положительная постоянная К такая, что для почти всех х из О, всех ф-из К" выполнены следующие условия:

Си > f(x, и) (Си < /(х, и))

(13)

(7')

и

Из соотношения (15) очевидным образом следует, что всякий о - монотонный оператор принадлежит соответствующему классу Л(а). Проверяется (леммы 1.8 - 1.11), что дифференциальные операторы, определяющие уравнения (2)-(5), являются о-монотонными соответственно при 1 < а <2,о = 1ип = 2.

Под решением неравенства Си > /(х,и) (Си </(х, и)) « области О с а-монотонным оператором С понимается функция и £ И^ ¡0С(0)ПЬоо1ос(0)

о

такая, что для всякой неотрицательной функции ф € ^¿(.О) выполняется инт.егральное соотношение:

1П

& < О

<1х > О

(16)

Введем для решений неравенств вида (13) понятие неравенства на границе ЭХ). Следуя, например, [ГТ, с. 172], будем говорить, что решение и(х) неравенства вида (13) удовлетворяет неравенству и < 0 ко 92?, если его положительная часть = тах{и,0} принадлежит пространству ТУ^ (ос(1),90).

К введенному понятию неравенства на границе легко сводятся и другие типы неравенств: и > 0 на сЮ, если —и < 0 на сШ; V < V на дБ, если и — V < 0 на

Эй.

Вплоть до коша этого параграфа наряду с условиями (10) при т = 0 предполагается, что функция /(х, и) для п.в. I С О и всех к, и из К1 удовлетворяет также следующему условию:

(Дх,и)-Дх,и))(и-и) >а|и-и|1+7 (17)

при данных числах а > 0 и д > 0.

Ясно, что выполнимость второго условия в (10) немедленно следует из выполнимости (17). Заметим также, что всем этим требованиям удовлетворяет функция /(х,н), равная |и|чя£пи при любом фиксированном ? > 1.

теорема 1.11 (принцип срлпнения). Пусть 1<а<2, а-1 <q, Б -

произвольная область в К", оператор С является а-монотонным. Пусть и и V - с.убррлаение (Си > /(х,и)) и суперрешение (Су < f(x,v)) уравнения вида (0) в И такие, что и, V (Е ПВ(г)) д./мг произвольного положительного

г и и < V на ЗО. Тогда и < V п.е. в О.

В частности, область X) может совпадать со всем пространством, т.е. множество сШ может быть пустым.

Прямыми следствиями теоремы 1.11 являются принципы максимума и минимума соответственно для суб- и суперрешений уравнения вида (9) с а- монотонными операторами.

Теорема 1.12 (принцип максимума). Пусть 1 < а < 2, а - 1 < q, с - произвольное фиксированное неотрицательное число, D - произвольная область в R", оператор С является а-монотонным. Пусть и - субрешение {Си > /(я, и)) уравнения вида (9) в D такое, что и € Loo(D П В(г)) для произвольного положительного г и и < с на 3D. Тогда и < с п.в. в D.

В частности, если область D совпадает с о всем пространством, то и < 0 п.в. в R".

Теорема 1.13 (принцип минимума). Пусть 1 < а < 2, » - 1 < д, с -произвольное фиксированное неположительное число, D - произвольная область в R", оператор С является а-монотопным. Пусть и - суперрешение (Си < /(i,u)) уравнения вида (9) в D такое, что и 6 Х00(D П В(г)) для произвольного положительного г и и > с на OD. Тогда и > с п.в. в D.

В частности, если область D совпадает со всем пространством, то и > 0 п.в. в R".

Из лемм 1.8-1.11 следуют аналогичные результаты для суб- и суперрешений уравнений вида (2)-(5) соответственно при 1 < о < 2, о = 1 и а = 2 ( теоремы 1.14-1.15).

Очевидным следствием приведенных утверждений являются теоремы о единственности решений задачи Дирихле для уравнений вида (2)-(5) и некоторых более общих квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений вида (9) с о-моно-тонными операторами при 1 < а < 2.

ТЕОРЕМА 1.16. Пусть 1 < а < 2,о—1 < q, D-произвольная область в R", оператор С является а-моногпонным. Пусть и и v - решения уравнения вида (9) в D такие, что u,v 6 Loo(DnB(r)) для произвольного положительного г и и = V на dD. Тогда и — v п.в. в D.

В частности, если область D совпадает со всем пространстволг, то и = V = О п.в. в R".

РАЗДЕЛ II.

КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВИДА Си = f(x,u,Vu). КОЭРЦИТИВНЫЙ СЛУЧАЙ.

В этом разделе изучаются решения уравнения вида

Cu = f(x,u,Vu), (18)

где оператор С, как и раньше, принадлежит некоторому классу А(а) при произвольном фиксированном а > 1, а функция f(x, г/,£) предполагается локально ограниченной и удовлетворяющей условиям Каратеодори на мнолсестве Rn х R1 х R". Будем также на протяжении этого раздела считать, что она удовлетворяет следующим предположениям:

/(«,0,0 = 0 и !?/(*, 7, е)>аМ1+*(1 + |е1)'» (19)

для любых (х, ц, 4) G R" х R' х R™ и произвольных фиксированных действительных ß,a > 0 и q > 0.

Все утверждения этого раздела являются новыми и для уравнений вида Д и =

В первом параграфе второго раздела вводится понятие обобщенного решения уравнения вида (18) в произвольной области Б пространства К".

Функцию а(х) будем называть обобщенным решением уравнения вида (18)

в области Б С К", если и 6 И7^, ¡ос(Б) и для любой функции ф £ С°°(Б) выполняется интегральное тождество:

Пусть о > 1. Будем говорить, что обобщенное в области Б решение уравнения вида (18) с оператором С из класса А(г») обраы,ается в нуль на дБ,

о о

если для всякой функции ф £ С°°(К") произведение иф £

Во втором и третьем параграфах исследуется вопрос о единственности решений однородной задачи Дирихле для уравнений вида (18) в произвольных областях пространства К".

Т е о р е м л 1.18. Пусть (ч > 1, д > а — 1, 0 > О, Б - произвольная область в Ш.",Е - замкнутое множество 1-емкости нуль, принадлежаи^ее дБ. Пусть оператор С принадлежит классу Л(а) и и(х) - обобщенное в смысле интегрального тождества (20) решение уравнения' вида (18) в области Б с нулевыми данными на дБ \ Е такое, что и £ У/^Б П В(г)) для любого положительного г. Тогда и(х) = 0 в Б.

В ч.ас.тности, область Б может совпадать со всем пространством.

ТЕОРЕМА 1.19. Пусть а — 1><7>0, /3 > а — 1— <7, Б - произвольная область в К", В - замкнутое множество 1-емкости нуль, принадлежащее дБ. Пусть оператор С принадлежит классу Л(о) и и(х)-обобщенное в смысле интегрального тождества (20) решение уравнения вида (18) в области Б с нулевыми данными на дБ \ Е такое, что и £ П В (г)) для любого

положительного г. Тогда и(х) = 0 в Б.

В частности, область Б может совпадать со всем пространством.

Аналоги теоремы Фрагмена-Линделефа для модулей градиентов решений уравнений вида (18) установлены в четвертом параграфе.

Пусть Б-произвольная неограниченная область в Шп, а г(х)-произволь-ная функция, принадлежащая п В(г)) при любом положительном г.

Обозначим через

Теорема 1.20. Пусть а - I > q > 0, а — I - q > (}, Б - произвольная неограниченная область в К" с достаточно гладкой границей, Е - замкнутое множество 1-емкости нуль, принадлежащее дБ. Пусть оператор С. принадлежит классу /1(о) и. и(х) - обобщенное в смысле интегрального тождества (20) решение уравнения вида (18) в области Б с нулевыми граничными значениями на дБ \ Е и такое, что и £ №¿>(.0 П В{г)) при любом положительном г. Тогда либо и(х) = 0 в Б, либо

/(.т,и, Ун).

о

(20)

т„(г) = С85йир£)пв(г)(1 + |Уи|).

П—Юо

В частности, область D может совпадать со всем пространством.

Приведен пример, иллюстрирующий точность сформулированной теоремы.

Следующее утверждение характеризует скорость возрастания величины т„ (Л) для решений уравнений вида (18) в зависимости от геометрии области, выраженной в терминах емкости.

ТЕОРЕМА 1.21. Пусть а — 1 > g > О, а — 1— q > ß, D - произвольная неограниченная область в W,E - замкнутое множество 1 —емкости нуль, принадлежащее OD. Пусть оператор С. принадлежит классу .А(а) и и(х)— обобщенное в смысле интегрального тождества (20) решение уравнения вида (18) в области D, принимающее нулевые данные на dD \ Е и такое, что и G W^D П В(т)) для любого г > 0. Тогда либо и(а;) = 0, либо для любого числа 7, большего, чем тах{п,^^}, и с = ^ справедливо

неравенство:

lim mu(R)(yicaPl(D П В(П/2), D П C(R); D)f > 0.

R-+oo

В частности, область D может совпадать со всем пространством.

РАЗДЕЛ III. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВИДА £u = ~f(x,u). НЕКОЭРЦИТИВНЫЙ СЛУЧАЙ.

В этом разделе предложенный выше подход применяется для доказательства ряда утверждений об отсутствии целых положительных решений у уравнений вида

£u=-f(x,u), (21)

где оператор С принадлежит некоторому классу А(а) при произвольном фиксированном а > 1,афункция/(х,и) удовлетворяетусловиям(Ю) при гп =0.

В частности, получено обобщение хорошо известной теоремы Гидаса и Спрука [ГС] об отсутствии целых неотрицательных нетривиальных С^ос(К")-решений у уравнения вида А и = —и4 (теорема 1.24).

Заметим, что основными требованиями метода, предложенного авторами в работе [ГС], являются равномерная эллиптичность оператора Лапласа и принадлежность решения и(х) пространству Cpoc(R").

Определим понятие обобщенного целого решения уравнения вида (21) в пространстве R™. Пусть а > 1-произвольное фиксированное число, оператор £ принадлежит классу А(а). Функцию и(х) будем называть обобщенным целым решением уравнения вида (21) в пространстве R", если и € IF^ |ос(1Кп)П

о

£oo,ioc(R") и для произвольной функции ф G W„(R") выполняется интегральное тождество:

dx = 0. (22)

/ Vu)-¡(х,и)ф(х)

Jd L^i

Т ео I' е М л 1.22. Пусть а > 1, а —1 > </, оператор С принадлежит классу Л(а). Тогда уравнение вида (21) не имеет обобщенных целых положительных решений в пространстве К".

ТЕО г Е М л 1.23. Пусть а > 1, </ > а —1, оператор С. принадлежит классу Тогда уравнение вида (21) не имеет обобщенных целых ограниченных снизу положительной константой решений в пространстве К".

ТЕОРЕМА 1.24. Пусть а > 1, гс > а, > д > а — 1, оператор С при-

надлежит классу А(а), и(х) - обобщенное целое неотрицательное решение уравнения вида (21) в К". Тогда и(х) =0 п.в. в К".

РАЗДЕЛ IV. ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Этот раздел посвящен полулинейным уравнениям вида:

Ьи = ±!(х,и), (23)

где Ь - оператор вида

Г!

Ох, У'-'^'дх

¡.¿=1

аи(х)-измеримые функции, а;Дх) = а^,(х), такие, что 0 < -=1 —

для почти всех х и веет £ из К", г, = 1,...и;гг> 2 и некоторого положительного К, а функция /(х, и) удовлетворяет условиям (10).

Выше мы неоднократно отмечали, что линейный дивергентный, вообще говоря, вырол<дающийся оператор вида (24) принадлежит классу Л (2). В связи с этим для обобщенных в смысле интегрального тождества (11) решений уравнений вида (23) справедливы все полученные в этой главе результаты при а = 2.

Однако, эти же результаты из разделов I и II справедливы для решений уравнений вида (23), вообще говоря, из более широких функциональных пространств, непосредственно связанных с оператором

Для определения обобщенного решения уравнения вида (23) введем специальное функциональное пространство, связанное с оператором Ь.

Пусть в-произвольная ограниченная область в К". Через 17Л(С) обозначим. пополнение пространства С°°(0) по норме

1М1и".(<5) = ( / £ а,>

Ч 1/2

, , 0у до \

Функцию и(х) будем называть обобщенным решением уравнен-ия вида (23)

в произвольной области О С К™, если и 6 17,^(1)) ^ и для любой

о

ф 6 \¥ (-О) выполняется интегральное тождество:

I

<1X = 0. (25)

Левая часть в формуле (25) может быть определена как в [OPJ или в [К Л].

Пусть г -произвольное положительное фиксированное число и а-произвольное множество в r", принадлежащее. dD. Обозначим через WL(D п В(г),с П В(г))-пополнение по норме пространства WL(D П В(г)) множества всех, принадлежащих C°°(D) функций, равных нулю в окрестности а. Будем: говорить, что и £ Wfec(D,<r), если и 6 WL(D П В(г), а ПВ(г)) при любом г > 0. Наконец, будем говорить, что решение уравнения вида (23) o6pavi,acmcx в нуль на а С dD, если и 6 er).

П р е л л о,ж е ii и е 1.3. Утверждения теорем 1.1-1.16, 1.22-1.24 справедливы при а = 2 для обобщенных в смысле интегрального тождества (25) решений полулинейных уравнении вида (23).

Приведем для примера лишь один результат.

ТЕОРЕМА. 1.7'. Пусть 1 > q > О, m > —2, D - произвольная неограниченная область в Rn, которая может совпадать со всем пространством, Е - замкнутое множество 2-емкости нуль, принадлежащее dD. Пусть и(х)-обобщепное в смысле интегрального тождества (25) решение уравнения вида (2,9) в области D с нулевыми данньши на dD \ Е, такое, что и 6 Loo(Dn В(г)) для любого положительного г. Тогда либо и = 0 п.е. в D, либо

ТЫ я-(т+2)/(1-?)м„(Л) > о.

Ii—V СО

Комментарии. Остановимся на ситуаиии, когда т = 0 и Е - пустое множество. В этом случае:

- аналоги теорем 1.1 - 1.4дляэллиптичсскихполулинейнЬ1Хуравненийвида(5), допускающих произвольное вырождение эллиптичности, получены другим методом В. А. Кондратьевым и Е.М. Л андисом [КЛ];

- аналоги теорем 1.7 и 1.24 для равномерно эллиптических полулинейных уравнений вида (5) установлены другими методами, существенно использующими свойство равномерной эллиптичности, соответственно, В. А. Кондратьевыми Е.М. Ла-ндисом [КЛ] и В. Гидасом и Д. Спруком [ГС);

- утверждение теоремы 1.7' является новым;

-аналоги теоремы 1.8,1.9являютсяновымиидляуравненийвида Д и — /(г,и);

- все основные утверждения второго раздела являются новыми и для уравнений вида Д« = /(х,и, V«);

- новыми являются принцип сравнения суб- и суперрешений, а также утверждения о единственности решений задачи Дирихле для уравнений вида (2)-(4).

ГЛАВА II.

Вторая глава диссертации посвящена изучению асимптотического поведения решений, суб- и суперрешегаш первой начально-краевой задачи (в частности, задачи Коши) для различных классов существенно нелинейных дивергентных вырождающихся параболических уравнений, выявлению зависимости поведения решений, суб- и суперрешений от структуры нелинейности уравнений и геометрии области их задания. Установлены принципы сравнения и аналоги теоремы фраг-мсна-Линделефа для суб- и суперрешений в широких классах квазилинейных параболических уравнений. IIa их основе получены результаты о единственности решений первой начально-краевой задачи в этих классах.

Теоремы о единственности решений задачи Коши для уравнения теплопроводности в классах растущих функций были впервые доказаны Е. Леви, Е.Хольмгре-ном, А.Н.Тихоновым, С.Тэклиндом. А.Н. Тихоновым на основе построенного примера отличной от тождественного нуля функции u(t, х), удовлетворяющей урав-нснию теплопроводности

u, = Au (26)

в полосе St = (О, Г) х R" и начальному условию

U|i=o = 0, (27)

впервые был установлен, в определенном смысле, точный класс единственности решений задачи (26)-(27). Несколько более широкий класс единственности решений задачи Коши для уравнения теплопроводности нашел С. Тэклинд.

Изучению начально-краевых задач для линейных параболических уравнений и систем посвящены работы И.Г.Петровского, O.A. Ладыженской, O.A. Олейник,

A.К. Гущина, В.А. Кондратьева, Е.М. Ландиса, В.П. Михайлова, Е.В. Радкевича,

B. А. Солонникова, H.H. Уральцевой и многих других.

В отличие от линейного случая вопросы асимптотического поведения и единственности решений первой начально-краевой задачи для нелинейных параболических уравнений изучены в существенно меньшей степени. Это объясняется тем, что здесь оказывается малопригодным большинство методов и подходов, разработанных и используемых в линейной ситуации.

Мы остановимся только на некоторых важных примерах нелинейных параболических уравнений с неявным вырождением.

Рассмотрим при тп > 1, а > 1 уравнение вида

«t = Е (|VI(Mm-1«0|a-2(Mra-,«)xj)Xi. , (28)

¿=i

которое описывает нестационарное течение в пористой среде жидкостей со степенной зависимостью касательного напряжения от скорости сдвига при политропическом режиме.

При'а =2, m > 1уравнениевида(28)прсвращаетсявуравнениеньютоновской политропической фильтрации

1=1

IS

а нестационарное течение в пористой среде при упругом режиме описывается уравнением нсньютоновской упругой фильтрации

п

u« = E(iv«ui""2u*<)ri.. (3°)

i=i

получающееся формально из (28) при т = 1,« > 1.

Еще одним модельным примером нелинейных вырождающихся параболических уравнений в работе служит уравнение вида

■'-¿(тот),; ,31)

которое описывает эволюцию поверхности (x,u(t, х)), распространяющейся с нормальной скоростью, равной средней кривизне поверхности в момент времени i.

Количество работ, посвященных вырождающимся параболическим уравнениям вида (28)-(31), весьма велико. Среди авторов этих работ С.Н.Антонцев, С. Бэндл, М. Берч, X. Брезис, X. Васкес, Л.Верон, А.И.Вольперт, В.А.Галактионов, Ю. Гига, X. Диас, Ю.А. Дубинский, A.B. Иванов, Р.Каикья, В.К.Каланта-ров, A.C. Калашников, С. Камин, С.Н. Кружков, С.П.Курдюмов, О.А.Ладыженская, Г.И. Лаптев, Л.К. Мартинсон, Ж.Моутуссами, О.А.Олейник, Л. Пелетье, С.А.Посашков, А.А.Самарский, В.А.Солонников, H.H. Уральцева, А. Фридман , М. Эрсро, С.И. Худяев, А.Е. Шишков и многие другие.

Отметим лишь, что построение математической теории нелинейных параболических уравнений с неявным вырождением восходит к O.A. Олейник [О]. В этой работе рассмотрена задача Коши для одномерного уравнения ньютоновской фильтрации и некоторых его обобщений. A.C.Калашниковым [К] установлена однозначная разрешимость задачи Копщ для уравнения вида (30) при а > 2 и п = 1, В 1989 году Е. Венедетто и М. Эрсро [БЭ,1] изучен вопрос существования и установлены классы единственности для решений уравнения вида (30) при а > 2 и п > 2. Аналогичные вопросы для уравнений вида (30) при 1 < а < 2, а также для уравнений вида (28), (31) и более общих, оставались открытыми. Даже в классах неотрицательных решений задачи Коши для уравнения (30) наиболее полные результаты о единственности были получены при дополнительных, весьма жестких, предположениях ([БЭ, 2]), хотя и само условие знакоопределенности решения является очень сильным требованием в вопросах единственности. Ведь хорошо известно, что для уравнения (29) единственность в задаче Коши в классе неотрицательных решений без всяких предположений на рост решения при |х| —> оо установлена Д. Уиддером [У] при т = 1, Б. Дальбергом и С. Кенигом [ДК] при т > 1, М. Пьерреи М.Эреро [ПЭ] приО < m < 1.

Основными результатами второй главы являются: - утверждение о единственности решений первой начально-краевой однородной задачи для уравнений вида щ = Си с оператором С, являющимся элементом класса В (т., а) при всех m > 1, с* > 1,1 > т(а — 1) > 0 без всяких предположений о росте решений на бесконечности (теорема 2.1), (определение классов В(т,а), типичными представителями которых являются уравнения вида (t8)~(Sl), дано ниже на этой же странице;)

- принцип сравнения суб- и суперрешений (теорема 2.15) и теорема о единственности решений первой начально-краевой задачи (теорема 2.18) для широкого класса кв<1зилинейных параболических уравнений, обладающих свойством а-монотонности, типичными предст.шителями которого являются уравнения

- аналоги теоремы Фрагмена-Линделефа (анализ асимптотического поведения решений, суб- и суперрешений в зависимости от геометрии области) для уравнений вида и( = Си с оператором С, являющимся элементом класса В(тп,а) при всех т > 1,а > 1,т(с* — 1) > 1 (теоремы 2.7-2.9).

Прежде чем приступить к изложению этих и других результатов дгшной главы, определим классы исследуемых уравнений и понятия решений первой начально-краевой задачи для уравнений из этих классов, что и проделано в первом параграфе этой главы.

Пусть Т— произвольное положительное число. На протяжении всей второй главы будем считать, что О- произвольная область в К", которая, вообще говоря, может совпадать со всем пространством и Вт = (О, X) х В,

Рассмотрим в Эт дифференциальный оператор С, определяемый равенством

Функции г/, £), г = 1,..., га, предполагаются определенными при почти

всех (<, х) е Вт, всех I) £ Е'и всех удовлетворяющими условиям Кара-

теодори: непрерлвнылш по при почти всех (1.,х) 6 От и измеримыми по (, х при всех [т], £) € К1 х К".

Пусть т > 1,а > 1- произвольные положительные фиксированные числа. Будем ■¿овортпь, что оператор £ принадлежит классу В(т,а), если существует положительная постоянная 1С такая, что для почти всех х) из £)'/•, всех г] из К1 и всех (_, ф из К" коэффициенты оператора С удовлетворяют следующим двум условиям:

(30) -(31);

1=1

(32)

П

(33)

1=1

и

¿=1

п

а

п

(34)

Заметим, что условие (34) можно записать в виде

в том случае, если коэффициенты А{ и В, связаны соотношением

В1{г,х,9) = А1(1,х,Г1,()

при в = |г/)'" г = 1,..., ге. Условие же (33) в этом случае не изменится:

тг

0 < (30)

¿=1

для произвольного вектора в из Е" и (<, х) из .

Важно заметить, что операторы, стоящие спрадав формулах (28)—(31), принадлежат соответственно классам В(т,а),В(т, 2), В(1,а) и 23(1,1).

Условия (33), (34) на коэффициенты оператора С не относятся к числу традиционных в теории дифференциальных уравнений с частными производными, однако те преимущества, которые мы отмечали для условий (6), (8), в равной мере относятся и к ним.

Заметим также, что дифферендиальные операторы С, определенные соотношением (32), коэффициенты которых удовлетворяют при фиксированных тп > 1,« > 1 и некоторых фиксированных положительных V1, г/2 следующим условиям:

|А0,х,1ь01<Н?1(га~,)(о,~1)1е1а,~1 (37)

1(ех^,®,ч,о)|>^к1(т-1)1п-1)|{Г ■ (зв)

при всех (1),()е К1 х К" и почти всех (¿, х) £ От, принадлежат классу В(т, а). Ниже определим понятия обобщенных решений уравнения вида

и( = Си (39)

и неравенств вида

щ < Си (и, > Си) (40)

или, что то же, субрешений (суперрещений) уравнения вида (39) в том случае, когда оператор С принадлежит классу В(т,а) при некоторых фиксированных т > 1 и а > 1.

Под обобщенным решением уравнения вида (39) в области От будем понимать функцию «(¿,х) из пространства

1а(0,Т-,\У^1ас (2?))Л £оо(01Т;£оо,,о(: (2)))

с производной

«16X1(0.Т-.Ьх./ос (С)), удовлетворяющую интегральному тождеству

/ "('/> + и, Чхи)

•>"т [ ^

Л,6х = 0 (41)

длл произвольной функции г/> е £а(0, Г; Т-К^Х))) П Хоо(0, (23)).

(Определения используемых здесь функциональных пространств заимствованы из |Д] и ¡Ли}).

и

Отметим, что под обозначением " lo с" в В на протяжении всей второй главы мы понимаем, что то или иное свойство имеет место на множестве D П В (г) при любом г > 0. Под обобщенным решением неравенства ut < Си (u¡ > Си) в области Dr. будем понимать функцию u(t,x) из пространства

Lo(0,T¡W¿i/oc (D)) П Loo(0, Т; Хоо, /„с (D))

с производной

и, е bi(0,T;¿1>íoc (D)),

удовлетворяющую интегральному соотношению

Ídt Ídt

щф + Vxu)

dtdx < 0

dtdx > 0

«t Ф + Vxu)

¿=i

Л/ijí произвольной неотрицательной функции

Ф е ¿„(о,Г; и^Р)) п 1^(0,Г;д», /ос (¿>)).

(42)

Из приведенных выше определений следует, что всякое обобщенное решение уравнения вида (39) является в то же время обобщенным суб- и супсррешением того же уравнения. Поэтому все утверждения, установленные нами в этой главе для обобщенных суб- и суперрешений уравнения вида (39), справедливы для обобщенных решений того же уравнения.

Введем для суб- и суперрешений уравнений вида (39) понятие неравенства на параболической части границы дОт =1)и([0,Т)х сШ} области От. Для этого определим специальное функциональное пространство.

Будем говорить, что и £ Ха(0, Г; 1ос (£))), если и е£а(0,Т; ,„с(£>)),

о о

и для любой функции ¡р € С°°(КП) произведение (ри £ Ха(0,Г; 1У'(В)).

Итак, пусть а > 1,гп> 1- произвольные фиксированные числа. Будем говорить, что решение и^, х) неравенства вида (40) с оператором С из класса В(т,а) удовлетворяет неравенству и < 0 на дО?, если его положительная часть = тах{0,и) принадлежит пространству Ьа(й,Т\У/1п /ос(Д)) и и+ ->0 в ) при < 0.

Если область £) совпадает со всем пространством, то ООт совпадает с К™. И в этом случае и < 0 при * = 0, если и+ —> 0 в £1,/ос.(1Кп) при £ —> 0.

К введенному понятию неравенства на дОт легко сводятся и другие типы неравенств: и > 0 на дОт, если —и < 0 на дОт, и < V па дИ?, если и — V < 0 на

Центральным результатом второго параграфа данной главы является теорема о единственности решений первой начально-краевой однородной задачи для уравнения вида и1 — Си с оператором С, являющимся элементом класса В(т, <?) при

произвольных фиксированных m > 1,а > 1, таких, что 1 > m(at — 1) > 0 (теорема 2.1). Утверждение этой теоремы является новым эффектом в теории квазилинейных уравнений параболического типа. Она, в свою очередь, есть простое следствие двух результатов для суб- и супсррешсний уравнений того же толка ( теоремы 2.1а и 2.16).

ТЕОРЕМА 2.1. а. Пусть т > 1 ,о > 1,1 > т{а — 1) > О, оператор С принадлежит классу В(т,а) и и^,х)-обобщенное субрешение (ut < Си) уравнения вида (39) в области Dt такое, что и < 0 на ODt- Тогда и < О

п. в. в Dt-

В частности, область D может совпадать со всем пространством.

ТЕОРЕМА 2.1. Í. Пусть т > 1,а > 1,1 > т(о - 1) > 0, оператор С принадлежит классу В(т,а) и u(t,x)~o6o5wleHHoe суперрешение (ut > Си) уравнения вида (39) в области Dt такое, что и > 0 на dDx ■ Тогда и > О п.в. в Dt ■

В частности, область D может совпадать со всем пространством.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть т > 1,о > 1,1 > т(а — 1) > 0, оператор С принадлежит классу В(т,а) »u(f,i)- обобщенное решение уравнения вида (39) в области Dt такое, что и = 0 на 3Dt- Тогда и = 0 п.в. в Dt-

В частности, область D может совпадать со всем пространством.

Как уже отмечалось, эти утверждения одни из основных во второй главе. Их следствиями являются аналогичные утверждения для суб- и суперрешений уравнений вида (28)-(31) (теоремы 2.2 - 2.4 а и б). Другими приложениями этих результатов являются георемы о единственности решений первой начально-краевой однородной задачи для уравнений вида (28)—(31) (теоремы 2.2, 2.3, 2.4).

Заметим, что утверждения сформулированных теорем несправедливы при а = . 2. Подтверждением этому служит факт существования нетривиальных классических решений задачи Коши для уравнения теплопроводности [Т].

Третий параграф посвящен изучению асимптотических свойств суб- и суперрс-шений первой начально-краевой однородной задачи для уравнения вида (39), изучаемых в неограниченной области Dt в случае, когда начально-краевые данные не заданы на компактной части границы области Dt (теоремы 2.5 (а и б), теоремы 2.0 (а и б)). Причем в теоремах 2.6 анализируется зависимость асимптотического поведения суб- и суперрешений уравнения вида (39) от геометрии области D.

В четвертом параграфе устанавливаются аналоги теоремы фрагмена-Линделе-фа для обобщенных суб- и суперрешений уравнений вида (39) в случае, когда оператор С принадлежит классу В(т, а) прит > 1, а > 1, т(а — 1) > 1.

Пусть г > 0,Т > т > 0, г)-обобщснное суб- или суперрешение уравнения вида (39) в области Dt■ Обозначим через

М^(г,т) - Jim esssup0r(r^z,T(r_Ä)|u±(t,a:)|, М(г,т) = lim esssupDr(r^£)T(r_6)|u(i!,x)|,

где DT(r) = (0,г) х {ВПД(г)),

i

Т Е О 1> Е М л 2.7. а. Пусть гп> 1,а > 1,т(п — 1) > 1, Г > г > 0, оператор С принадлежит классу В(т,а) и и^,х)-обобщенное субрешеп-ие (ч< < Си) уравнения вида (39) в области Dt такое, что и < О па dDj. Тогда либо u[t, х) < О п.в. в Dr, либо

lim М+(Л,г)Л~'"(«-1)-1 >0.

R-Лаа

В частности, область D может совпадать со всем, пространством.

Аналогичные утверждения имеют место для решений, су б- и суперрешений уравнения вида (39) (теоремы 2.7 и 2.76). При то = 1 близкие к теореме 2.7 утверждения получены в работе [БЭ,1].

. Приведем аналог теорем 2.7, в котором оценки зависят от геометрии области D (теоремы 2.8 а,б , 2.8). Ограничимся здесь суперрешениями уравнения вида (39).

Теорема 2.8. 6. Пусть т > 1,о > 1 ,т(а - 1) > 1 ,Т > т > О, оператор С принадлежит классу В{т,а) и и(1,х)-обобщенное супсрреше-ние (ut > Си) уравнения вида (39) в области Dt такое, что и > 0 на ODr-Тогда либо u{t,x) > 0 п.в. в DT, либо для произвольного f > max{a,n} и ß 1 агп+а-1-у(сутп—l—m) спРаве^лив0 неравенство:

lim M-(R,t)(cap^{DnB(R/2),DnC{R)-,D)f >0.

/i—Юо

В частности, область D может совпадать со всем пространством.

Замене верхнего предела нижним в оценках теорем 2.7 посвящены теоремы 2.9.

В следующем, пятом, параграфе рассматриваются уравнения вида (39) с оператором £ из класса В(т,а) при m = 3, а > 2, определяемым соотношением

п J

Си = У" — A,(t,x,Vxu). (43)

^—* ах; i=i '

В этом случае будем говорить, что оператор £ принадлежит классу В(о), а > 1.

Итак, пусть а > 1 - произвольное фиксированное число, оператор С принадлежит классу В(а) и u(t, x)-cyb- или суперрешение уравнения вида U( = Си. Из (43) ясно, что для произвольного числа с функция u{t,x) — с также является соответственно суб- или суперрешением того же уравнения. На этом наблюдении основаны соответствующие обобщения изложенных выше теорем для суб- и суперрешений уравнений вида (39) с оператором С из класса В(а), а > 1, ( теоремы 2.11-2.14). Обратим внимание на следующие.

ТЕОРЕМА 2.11. а. Пусть 2 > а > 1, оператор С принадлежит классу В(а) и u(t,x)~ обобщенное субрешение (ut < Си) уравнения вида (39) в области Dt такое, что и < с на ODt- Тогда и < с п.в. в Dt.

В частности, область D может совпадать со всем пространством.

2-1

ТЕОРЕМА 2.12. 6. Пусть се > 2,Г > т > 0, оператор С принадлежит классу В(а) и и(1,х)-о6общснное суперрешение (и( > Си) уравнения вида (39) в области От такое, что и > с на дОт- Тогда либо и> с п.в. в От, либо

11т М_(Я,г)/Г^ >о.

Д-Юо '

В частности, область О может, совпадать со всем пространством.

Основным результатом шестого параграфа является принцип сравнения суб- и суперрешений лля уравнения вида (39) с »-монотонным оператором С. Прямым следствием этого результата является теорема о единственности решений первой начально-краевой задачи для уравнения вида (39) с а-монотонным оператором С.

Пусть а > 1-произвольное фиксированное число. Будем говорить, что оператор С, определяемый соотношением (43), является а-монотонным, если его коэффициенты, удовлетворяющие условиям Каратеодори таковы, . что А{(¿,1,0) = 0, г = 1 ,...,п, и существует положительная постоянная К. такая, что для почт.«, всех (<,е) из Ох, всех и £2 из К" выполнены следующие условия:

о < ¿ш - Фш^^1) -

(33')

•'=1

а/2

(34')

^ к (¿а.1 -

ТЕОРЕМА 2.15. Пусть 1 < а < 2, оператор С является а-монотонным, гг,г; - обобщенные субрешение < Си) и суперрешение (г;; > Си) уравнения вида (39) в области От такие, что и < и на дОт- Тогда и < г> п.в. в ОтВ частности, область Б может совпадать со всем пространством.

Так же, как и в первой главе, важно отметить (леммы 1.8-1.11), что дифференциальные операторы, определяющие параболические уравнения вида (30)—(31), являются «-монотоннымисотзетственно при 1 < о < 2иа= 1. Поэтому аналогичные утверждения для таких уравнений непосредственно следуют из теоремы 2.15 (теорем 2.16-2.17).

Прямыми следствиями теорем 2.15-2.17 являются утверждения о единственности решений первой начально-краевой задачи для уравнения вида (39) с а-монотонным оператором С и, следовательно, для уравнений (30) - (31) (теоремы 2.18 -2.20).

ТЕОРЕМА 2.18. Пусть 1 < а < 2, оператор С является а- монотонным, и,г>-о5общенные решения уравнения вида (39) в области Ит такие, что и = V на ОО-р. Тогда и = V п.в. в ОтВ частности, область £) может совпадать со всем пространством.

Теоремы 2.15-2.10, 2.18-2.19 несправедливы при а = 2. 06 этом, в частности, свидетельствует факт существования нетривиального классического решения задачи Кощи с нулевыми начальными данными для уравнения теплопроводности (см. [Т]).

В последнем, седьмом, параграфе исследована проблема разрешимости задачи Коши для уравнений вида Уц — Си.

2(i

Список цитируемой литературы

[БЭД] Benedetto E.D., Herrero М.А. On the Cauchy Problem and initial traces for a degenerate parabolic equation // Trans. Amer. Math. Soc. - 1989. - V. 314, N 1. - P. 187-224.

[БЭ,2] Benedetto E.D., Herrero M. A. Nonncgative Solutions of the Evolution p-La-placian Equation. Initial Traces and Cauchy Problem when 1 < p < 2. // Arch. Rat. Mech. Anal, - 1990,- V. Ill, N 3.- P. 225-290.

[ГС] Gidas В., Spruck J. Global and Local Behavior of Positive Solutions of Nonlinear Elliptic Equations // Comm. Pure and Appl. Math.- 1981.- V. 34, N 4.-P.525-598.

[ГТ] Гилбарг Д., Трудингер H. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка.- М.: Наука - 1989.- 464 с.

[Д] Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.- М.: ВИНИТИ.-1976,- Т. 9.- С. 5-130.

[ДК] Dahlberg B.E.J., Kcnig С.Е. Non-negative solutions of the porous medium equation // Comm. Part. Diff. Equat. - 1984,- V. 9, N 5 .- P. 409-437.

[К] Калашников А.С. Об условиях единственности обобщенного решения задачи Копш для одного класса квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Дифф. уравн.- 1973.-Т. 9, N 12. - С. 2207-2212.

[Ксл] Keller J.B. On solutions of Д и = f(u) // Comm. Pure Appl. Math.- 1957-V. 10, N4,-P. 503-510.

[KJI] Кондратьев В.А., Ландис E.M. Полулинейные уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Матем. заметки.- 1988.- Т. 44, N 4.- С. 457-468.

[Л] Lax P.D. A Phragmen-Lindeloef theorem in harmonic analysis and its applications to some questions in the theory of elliptic equations // Comm. Pure Appl. Math - 1957.- V. 10, N 3.- P. 361-389.

[Лан] Ландис E.M. О принципе Фрагмена-Линделефа для решений эллиптических уравнений // ДАН СССР. - 1956. - Т. 107, N 4. - С. 508-511.

[Ли] Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. -М.: Мир. - 1972. - 588 с.

[М] Мазья В.Г. О поведении вблизи границы решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме // Матем. заметки,- 1967.- Т. 9, вып. 2 - С. 209-220.

[Ми] Миклюков В.М. Об одном новом подходе к теореме Бернштсйна и близким вопросам уравнений типа минимальной поверхности // Матем. сб. - 1979. Т. 108 (150), N 2. - С. 268-289.

[О] Олейник О.А. Об уравнениях типа нестационарной фильтрации // ДАН СССР- 1957. - Т. ИЗ, N 6. - С. 1210-1213.

[ОР] ОлейникО.А., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой (/ Итоги науки. Мат. анализ. - М.: ВИНИТИ.-1971.-252 с.

[Ос] Osserman R. On the inequality Д и > f(u) // Pacific Journ. Math.- 1957.-V. 7, N4.-P. 1641-1647.

[П] Похожаев С.И. О краевой задаче для уравнения Л и = и2 // ДАН СССР.-1961.-Т. 140, N 3.- С. 518-521.

[ПЭ] Herrero М.А., Pierre М. The Cauchy problem for ut = A(«"') when 0 < m < 1 //Trans. Amer. Math. Soe.-19S5.-V. 291, N l.-P. 145-158.

[P] Redheffer R. On the Inequality А и > /(u,|Vu|)// Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1960. - V. 1.- P. 277-299.

[T] Тихонов A. H. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности // Матем. сборник.- 1935.- Т. 42, N 2,- С. 199-215.

[У] Widder D.V. Positive temperatures in an infinite rod // Trans. Amer. Math. Soc.- 1944,-V. 55,- P. 85-95.

Основные результаты диссертациии опубликованы в работах:

1. Курта В.В. О качественных свойствах решений некоторых классов квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка// Докл. АН УССР, Сер. А. -1990.-N12.-С. 12-14.

2. Курта В.В. О поведении решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в неограниченных нецилиндрических областях // Докл. АН УССР, Сер. А. - 1991. - N 5. - С. 11-14.

3. Курта В.В. О поведении решений.некоторых классов квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях // Докл. АН УССР, Сер. А. - 1991. - N 11. - С. 12-15.

4. Курта В.В. О некоторых качественных свойствах решений уравнений типа средней кривизны// Докл. АН СССР. -1991.-Т. 320, N 4,-С. 804-807.

5. Курта В.В. О теоремах Фрагмена-Линделефа для полулинейных уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Матем. заметки. - 1992. - Т. 52, N 1. - С. 62-66.

6. Курта В.В. О поведении решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях // Украинский математ. журнал. -1992. - Т. 44, N 2. - С. 285-289.

7. Курта В.В. Качественные свойства решений некоторых классов квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка // Дифф. уравн.- 1992. - Т. 28, N 5. - С. 867-873.

8. Курта В.В. О теоремах Фрагмена-Линделефа для эллиптических уравнений// Успехиматем. наук. - 1992. - Т. 47, вып. 3(285). - С. 165-166.

9. Курта В.В. О теоремах Фрагмена-Линделефа для полулинейных уравнений// Докл. АН России. - 1992. - Т. 322, N 1. - С. 38-40.

10. Курта В.В. О теоремах Фрагмена-Линделефа для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка // Украинский математ. журнал. - 1992. -Т. 44, N 10. - С. 137G-1381.

11. Курта В.В. О поведении решений смешанной начально-краевой задачи для уравнения неньютоновской политропической фильтрации / / Дифф. уравн. -1993. -Т. 29, N3,-С. 402-413.

12. КуртаВ.В. О единственности решений задачи Дирихле для уравнений типа средней кривизны // Матем. заметки.- 1993.- Т. 53 , N 4 . - С. 53-С1.

13. КуртаВ.В. О поведении решений смешанной начально-краевой задачи для уравнения неньютоновской политропической фильтрации // Докл. АН России. -1993. - Т. 329, N б . - С. G98-700.

14. Курта В.В. О поведении решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в неограниченных нецилиндрических областях// Украинский матсмат. журнал. -1993. - Т. 45, N 4. - С. 492-499.

15. КуртаВ.В. О единственности решений задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений второго порядка// Докл. АН России.- 1994. - Т. 337, N 5 . - С. 574-576.

16. Курта В.В. О поведении решений задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений второго порядка// Дифф. уравн. - 1994. - Т. 30, N 10. -С. 1782-1791.

17. Курта В.В. О принципе сравнения для одного семейства квазилинейных параболических уравнений // Успехи матем. наук. - 1994. - Т. 49, вып. 4 (298). -С. 1(37-168.