О некоторых самосопряженных и несамосопряженных смешанных задачах математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Исмати Мухаммаджон

О некоторых самосопряженных и несамосопряженных смешанных задачах математической физики

Специальность 01.01.02 дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Душанбе 2003

1

*

На правах рукописи

ИСМАТИ МУХАММАДЖОН

О НЕКОТОРЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ И НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Душанбе - 2003

РАБОТА ВЫПОЛНЕНА В таджикском государственном университете И В ИНСТИТУТЕ предпринимательства и сервиса министерства промышленности республики таджикистан

Научные консультанты: доктор физико-математических наук, профессор, академик АН РФ Ильин В.А.,

Я

доктор физико-математических наук, профессор Арсеньев A.A.

V

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, академик АН РТ Михайлов Л.Г.,

доктор физико-математических наук, профессор Сатгоров A.C.,

доктор физико-математических наук, профессор Байзоев С.

Ведущая организация: Московски государственный университет

им. М.В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и киберенетики

Защита состоится «12» ноября 2003 г. в 1100 часов на заседании диссертационного совета ДР 047.007.04 при Институте математики АН РТ по адресу: 734063, г.Душанбе, ул.Айни 299/1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИМ АН РТ Автореферат разослан «8» октября 2003 г.

I'üt или

1.ИБЛИ01 ЬКА ( Петербург ¿(Лty PK

Ученый секретарь диссертационного совета,

^$Щ"йрофессор

Исхоков С.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Разложение по собственным функциям дифференциальных операторов давно привлекает внимание многих математиков и физиков.

Если проблемам суммируемости и сходимости разложений по собственным функциям самосопряженных дифференциальных операторов посвящены достаточно много работ (см. например, работы В А. Стеклова (1901), Н М. Понтера (1934), C.JI. Соболева (1945), Ю.М. Березанского (1965), В.А. Ильина (1955-1968гг), Е.И. Моисеева (1976), М.А. Красносельского, Е.И. Пус-•гыльниха (1958), O.A. Ладыженской (1950-1958), Б.М. Левитана (1950-1955), А.Я. Повзнера (1953), Э.Ч. Титчмарша (1960-1961), К. Фридрихса (1947), Г. Вейля (1915), Т. Иксбе (1967), И.К. Кенджаева (1967,1968) и других авторов), то наоборот исследованию этих проблем для несамосопряженных дифференциальных операторов посвящено сравнительно мало работ и эти проблемы далеки от своего полного разрешения. Это, прежде всего, относится и к спектральному разложению несамосопряженных операторов. Хотя в последние несколько десятилетий и относительно этой проблеме также появились достаточно много работ (см. например, работы Я.Д. Тамаркина (1917), В.А. Ильина (1976, 1983,1986), М.В. Келдыша (1951), В.Б. Лидского (1962), М.Г. Крейна, И.Ц. Гохберга (1965), М.А. Наймарка (1969), А.Г. Рамма (1970), Н.И. Ионкина (1977,1979) и имеющуюся там библиографию).

При исследовании сходимости рядов Фурье по собственным функциям дифференциальных операторов следует существенно различать случай абсолютной и неабсолютной сходимости. Здесь и всюду далее в этой работе мы будем рассматривать только абсолютную и равномерную сходимость рядов Фурье. Относительно более тонкого вопроса о неабсолютной сходимости рядов Фурье мы лишь отметим работы Э.Ч. Ткгчмарша и С. Минакшисундара-ма (1960), Б.М. Левитана (1955), В.А. Ильина (1957,1958, 1960,1966). Среди вышеупомянутых авторов самые точные и окончательные условия равномерной сходимости рядов Фурье установлены В.А. Ильиным.

Установлению абсолютной сходимости посвящены связанные с обоснованием метода Фурье работы O.A. Ладыженской (1950,1953), которые явились первыми в этом направлении. В этих работах абсолютная и равномерная сходимость рядов Фурье устанавливается в классах С.Л. Соболева W ■[

(с целыми /) и затем применяются теоремы вложения. Сюда же относятся использующая метод ддобных степеней операторов работа М.А. Красносельскою и Е И Пустыльника (1958) и работы В.А Ильина (1958), в которых в терминах абсолютной сходимости даются некоторые обобщения истокообразно преде гавимой функции, изучается случай областей с «плохими» границами и строятся примеры, определяющие нижнюю границу условий на разлагаемую функцию

Более точные, чем у всех перечисленных авторов (и в определенном Ч

смысле окончательные в классах IV" (с нецелыми а)) условия абсолютной сходимости установлены в работах И.К. Кенджаева (1967,1968) ученика В.А. Ильина. ^

Теперь остановимся на вопросах обоснования метода Фурье. Одним из важных приложений теорем о сходимости рядов Фурье по собственным функциям является проблема обоснования метода Фурье решения смешанных задач. Здесь мы остановимся на работах, относящихся к обоснованию метода Фурье решения смешанной задачи для гиперболического уравнения и„ - Ьи=/(хЛ) в 07=Ях/0<2<77, - и(х,0)=<р(х), щ(х,0)=ф(х), и/г=0.

Здесь ¿-самосопряженный эллиптический оператор второго порядка с переменными коэффициентами, П -произвольная N -мерная область с границей 5, Г=50/0, Т] -боковая поверхность цилиндра Qт.

Конечно задачу (1) можно решать разными методами (например, метод обобщенных функций, метод преобразования Фурье и Лапласа, энергетический метод, метод конечных разностей, метод функциональных уравнений и т.д.), но метод Фурье приведет к установлению наиболее точных условий существования классического решения. Методу Фурье для задачи (1) и для задачи с ¿=Д за последние четырех десятилетий посвящено большое число работ. Среды них мы отметим лишь работы Х.Л. Смолицкого (1949), О.А Ладыженской (1950), и В.А. Ильина (1957-1960). Наиболее точные условия существования классического решения смешанной задачи (1) установил В.А Ильин (1960). Им доказано, что метод Фурье дает классическое решение смешанной задачи (35) для произвольной нормальной1 области £2.

' Области О называется нормальной, если для этой области разрешима задачи Дирихле для уравнения Лапласа при любой непрерывной граничной функции

При этом начальные функции <р(х) и ф(х) и правую часть уравнения f(x,t)

B.А. Ильин подчиняет требованиям гладкости, совпадающим с теми, которые

C.JI. Соболев нашел для соответствующей задачи Коши, а коэффициенты оператора L (для случая звездной области) даже менее жестким требованиям гладкости, чем те, которые C.JI. Соболев установил для соответствующей задачи Коши.

В более ранних работах O.A. Ладыженской (1953) были установлены точные условия сходимости формально полученного методом Фурье ряда в метрике соболевского пространств wj для любого целого /, но в таком пути классическое решение задачи (1) получается лишь при завышенных требованиях гладкости на границу S, неограниченно растущих с увеличением числа измерений.

Весьма интересным и трудным вопросом является исследование смешанной задачи для гиперболических систем и уравнений высших порядков До 60-х годов 20-го столетия для гиперболических систем при числе независимых переменных больше двух не были доказаны даже теоремы единственности решения смешанных задач.

Следовательно, вышеупомянутые проблемы являются актуальными.

Проблемам абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным функциям различных самосопряженных и несамосопряженных смешанных задач математической физики, обоснованию метода Фурье и корректной разрешимости таких задач посвящена настоящая диссертационная работа.

цель и задачи исследования. Установление точных и окончательных условий абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным функциям дифференциальных операторов в частных производных и доказательство существования классического и обобщенного решения рассматриваемых смешанных задач при минимальных требованиях налагаемых на границу рассматриваемой области и на разлагаемых исходных данных является основной целю данной работы.

Методы исследования. Основными методами исследования являются метод разложения по собственным функциям дифференциальных операторов, метод Фурье или метод разделения переменных, метод априорных оценок и современные методы теории функций, функционального анализа и математической физики.

Отметим, что наш метод исследования краевых задач охватывает как дискретный так и непрерывный спектры.

Научная новизна. В диссертационной работе установлены следующие новые результаты:

- Доказано существование матрицы Грина соответствующего оператора

д д-

Для первых трех основных краевых условий теории упругости. Получены оценки для самой матрицы Грина и ее производных. 4

- Для произвольной трехмерной области ограниченной замкнутой поверхностью типа Ляпунова получены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям (вектор- ; функциям) оператора теории упругости, соответствующее первому основному однородному краевому условию в строго внутренней подобласти

О.'основной области П в терминах пространства С.Л. Соболева , где

а - целое или нецелое число.

- Для произвольной трехмерной области О ограниченной замкнутой поверхностью типа Ляпунова 5 установлены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям оператора теории упругости, соответствующие первым двум основным однородным краевым условиям во всей замкнутой области {2и$ в терминах пространства (У " (с целыми и нецелыми а)

а) при условии сходимости некоторых поверхностных интегралов

б) при выполнении соответствующих однородных граничных условий.

- Для произвольной трехмерной области £2 ограниченной замкнутой поверхностью 5 типа Ляпунова, найдены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье нефинитных вектор-функции /(х) в классах С.Л. Соболева IV" с целыми а, по собственным функциям оператора теории упругости соответствующие второму однородному граничному условию во всей замкнутой области ПиБ.

- Установлены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям первых трех основных однородных краевых условий и граничного оператора псевдонапряжения в теории упругости во всей замкнутой области в компонентах тензоров деформации и напряжения.

- Для произвольной трехмерной области В=Ез\(£2иБ) в терминах пространства С.Л. Соболева найдены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости обобщенных интегралов Фурье соответствующие

а) нулевым краевым первых трех родов теорий упругости в произвольной подобласти D основной области D.

б) второму внешнему однородному краевому условию теории упругости во всей замкнутой области DuS при условии сходимости некоторых поверхностных интегралов.

в) первому внешнему однородному краевому условию теории упругости во всей замкнутой области DuS в компонентах тензоров деформации и напряжения.

- Исследованы необходимые и достаточные условия равномерной сходимости разложений в обобщенный ряд Фурье по собственным функциям ко-вариации случайной функции.

- Дано обоснование метода Фурье для обобщенного и классического решения первой внутренней и внешней смешанных задач теории упругости. При этом условия наложенные на разлагаемые начальные вектор-функции <р (х), ф(х) и на правую часть уравнения движения изотропной однородной упругой среды /(*,<) являются окончательными в классах С Л. Соболева

W" с целыми и нецелыми а. При этом поверхность S является поверхностью типа Ляпунова.

- Найдены окончательные условия существования и единственности классического в смысле В.А. Ильина решения первой смешанной задачи теории упругости в терминах пространства СЛ. Соболева W" с целыми и нецелыми а.

- Найдены окончательные условия корректной разрешимости классического в смысле В.А. Ильина решения первых трех основных смешанных (начально-краевых) задач в классах С.Л. Соболева Wf с нецелыми а в компонентах тензоров деформации и напряжений.

- Дано обоснование метода Фурье и тем самым установлены окончательные условия существования классических решений второй внутренней и внешней смешанных задач теории упругости при условии сходимости некоторых поверхностных интегралов.

- Найдены окончательные условия существования классического решения третьей (в частности второй) смешанной задачи теории упругости и соответствующей смешанной задачи с граничным оператором «псевдонапряжения» в терминах пространства С. Соболева W" с целыми и нецелыми а.

- Найдены предельно-точные условия корректной разрешимости смешанных задач в терминах пространства СЛ. Соболева W° (с целыми и нецелыми а) для

а) дифференциальных уравнений в частных производных порядка 2т специального вида с нефинитными исходными данными.

б) самосопряженного эллиптического оператора любого порядка 2т с переменными коэффициентами и с финитными исходными данными.

Доказано существование в целом обобщенного решения первой смешанной задачи для нелинейной системы уравнений Власова в неограниченной области.

Найдены окончательные условия существования и единственности классического решения первой смешанной задачи для

а) одного уравнения (неклассического) неразрешенного относительно старшей производной по времени в (N+1) - мерном параллелепипеде;

б) уравнения описывающего распространение звука в вязком газе в двухмерной прямоугольной области Qr=[0,l]\[0,T]);

в) уравнения Lu = ^-±au = / в N+1 - мерном параллелепипеде;

dt

Э2 Э2и

г) оператора C.JI. Соболева -~-г(Ли)+-—- и операторов типа Соболева

Л dr,

в параллелепипедальных областях с кусочно-гладкими границами.

По обратным задачам теории рассеяния в теории упругости доказано, что асимптотическим поведением амплитуды рассеяния рассеивающий объект (препятствия) определяется единственным образом.

Найдена асимптотика энергий классического и обобщенного решения первой внешней смешанной задачи для системы уравнений Ляме при больших временах излученной в пространстве

а) почти периодическими источниками колебаний;

б) случайными источниками колебаний.

Изучен метод нахождения характеристических значений и собственных функции ядра ковариации случайной функции.

Для двухмерного и трехмерного (по пространственным координатам) уравнения теплопроводности доказано существование и единственность классического решения одной несамосопряженной задачи у которой имеется бесконечное число собственных и присоединенных функций. Решения этих задач получены в виде биортогонального разложения по полученной биортогональной системе собственных и присоединенных функций. Доказано, что система всех собственных и присоединенных функций взаимно-сопряженных задач образуют базис Рисса в L2.

Доказано существование и единственность классического решения несамосопряженных смешанных задач для уравнения вынужденных колебаний струны.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Все результаты изложенные в диссертации являются новыми. Они могут быть использованы для дальнейшего изучения аналогичных задач теории самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных операторов теоретической и математической физики. Их можно использовать в гидродинамике, теории поля, теории упругости, теории рассеяния, в обратных задачах квантовой теории рассеяния, при изучении задач физики плазмы, в теории кратных ортогональных рядов и интегралов Фурье

Исследования автора также имеют большое прикладное значение в математической физике, так как они могут быть использованы для обоснования метода разделения переменных при решении краевых задач.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре профессора В.П. Михайлова (МИАН, СССР, Москва, 1970), на всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными, посвященной 75-летию со дня рождения академика И.Г. Петровского (МГУ, 1978г.), на научном семинаре под руководством академика В.А. Ильина, профессора Ш.А. Алимова, профессора А.А Арсеньева (МГУ, 1980), на республиканской научной конференции по уравнениям математической физики, Душанбе, 27-28 сентября 1983г., на всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений, Душанбе, 28-30 сентября 1987 г., на всесоюзной школе молодых ученных «Функциональные методы в прикладной математике и математической физике», Ташкент, 11-17 мая 1988г., на республиканской научной конференции, посвященной памяти Т. Собирова «О некоторых применениях функционального анализа в теории дифференциальных уравнений», Душанбе, 1990г., на Международной конференции «Некорректно поставленные задачи в естественных науках», Москва, 19-25 августа 1991 г., на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их применения», Санкт-Петербург, 12-17 июня 2000 г., на ежегодных апрельских научно-практических конференциях II У, 1970-1992г.г., на ежегодных научно-практических конференциях ИПС, 1992-2003 годов.

Публикации. По теме диссертации опубликована 51 работа.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Работа изложена на 306 страницах машинописного текста. Библиографии насчитывает 173 наименований.

При написании работы придерживались следующие правила. Для обозначения теорем, лемм, иногда и определений, используется тройная нумерация Первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа, третья -текущий номер утверждения. Для параграфа, состоящего из нескольких пунктов используется четверная нумерация, например, теорема 1.5.2.1 и т.д.

Во введение дается краткий исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам, обосновывается актуальность темы и излагаются основ-

ные результаты диссертации.

В первой главе устанавливаются окончательные в классах С.Л. Соболева - Л.Н. Слободецкого условия абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным функциям самосопряженных дифференциальных операторов.

В § 1 строится фундаментальная матрица решений задача Коши для параболической системы Ьи = ~-Аи = 0. §2 посвящен построению матрицы

Грина первой смешанной задачи для оператора £и=0. В § 3 установлены оценки для матрицы Грина первой смешанной задачи и ее производных. В §4 исследуется вопрос о существовании матрицы Грина второй, третьей и других смешанных задач для системы уравнений параболического типа ¿ц=0 и справедливость оценки вида § 3 для них. В § 5установлены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям (вектор-функциям) первых четырех основных однородных краевых задач теории упругости.

В пункте 5.1.1 главы 1 дается определение классов С.Л. Соболева - Л.Н. Слободецкого IV " (а-любое действительное неотрицательное число). В пункте 5.1.2 главы 1 исследован вопрос об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям первой однородной краевой задачи для оператора теории упругости в строго внутренней подобласти т.е. по собственным вектор-функциям задачи

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Д*у(.х) + = 0, хеП у(х)\=0

где Д = /1А + (г+JI )graJdiv -оператор тсоршш WHUfl MC'HHL. Д

Лапласа, О-Вфшпаошяая трехмерная область, верхностью Sima Ляяунова. Имеет мвеж

Теорема LS1U. Преть О-произвояышя трехмерная область, ограниченная поверхностью S ятю Ляпунова, а /(х)-праизво 1ышя вектор-функция вещественного аргужяшва х, заданная в этой области и удовлетворяющая сте-дующшяусяотшж

1) /(х)е W'(Q\ гдеа>

2) вектор-фушарвш Jfx) равна нулю на 5.

Тогда ряд Фурье веюшор-функции ffx) но собственным вектор-функциям \'j(x) задачи (2):

Г/хм,

/Ы

где fm = {/,9т}-шоэффициенты Фурье вектор-функции Jfx) но системе у Л') = ("К'Х *ZixXvl(.x)). сходится абсолютно и равномерно в каждой строго внутренней замкнутой подобласти £2' области Í1

В пущие 52. пятого параграфа главы 1 установлены окончательные условия абсоишшиА ■ равномерной сходимости во всей замкнутой области £2uS рядов Фдос по собственным вегтор-функциям второй краевой задачи для оператора iui|— упругости, т.е. задачи

A*v(jc)+Av(x) = 0, xeQl

7^4<x)!s=o f <3'

где А* -опери op теории упругости, dr

жени*, я,-орт оси (Ьу, ^^чтаюкиш теяжря

напряжений. Эт результаты получены при выполнении сходимости т*кото-рых повероопеган интегралов (см. интегралы (2 1 )н (22) в опрежкпш А. п. 5.2, глан! 1 двцщиацви).

Имеет!

Теорема 1.5.2.2. Пусть {Л, ^^-последовательность собственных чисел задачи (3), a -соответствующая последовательность собственных вектор-функций этой задачи Тогда при выполнении условии А ряд Фурье вектор-функции f(x) по собственным вектор-функциям задачи (3) сходится абсолютно и равномерно во всей замкнутой области QuS.

В пунктах 5.2i и 5.3 пятого параграфа в терминах пространства C.JI. Со- -4

болева W " с целыми и нецелыми а установлены близкие к окончательным условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям задачи (3) и (2) соответственно. А именно, имеет место

Лемма 1.5.2(.3. Пусть вектор-функция f(x,t) удовлетворяет следующим условиям: f(x,i)e (ft) и непрерывна по t при ¡¿0 в метрике пространство И?(С2). Кроме того, пусть Г00/=0 на Г=5'х[0,7]; Г<~. Тогда ряд Фурье вектор-функции f(x,t) по собственным вектор-функциям задачи (3)

Х/„«К(*) (4)

сходится абсолютно и равномерно во всем замкнутом цилиндре Q=(£2uS)x[0, Т].

Имеет место

Лемма 1.5.3.2. Пусть f(x,t) произвольная вектор-функция удовлетворяющая следующим условиям:

3

1) f(x,t)e W" (ft ) при а >-, Vie [О,Г] и непрерывна по t при t>0 в

метрике пространства W" (£2 ).

2) /(*,/)=0 при (;е,г)еГ=5х[0,7].

Тогда ряд Фурье вида (4) по собственным вектор-функциям задачи (2) сходится абсолютно и равномерно во всем замкнутом цилиндре Q=(£2uS)x[0, Т].

В пункте 5.4 пятого параграфа в терминах пространства С.Л. Соболева W 2 (с целыми а) в компонентах тензора напряжений установлены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-ф> нкциям первой основной краевой задачи для оператора теории упругости во всей замкнутой области £2uS.

Имеет место

Теврема 1.5.4.1. Пусть О-яроизвожышя ограниченная область в Ез с границей 5 типа Ляпунова, а /(*)-произвольная вектор-функция удовлетворяющая

требованиям■ /(х)е (□), а>— и /(х)|, = 0 Тогда ряд Фурье этой

вектор-функции по собственным вектор-функциям задачи (2) сходится абсолютно и равномерно всюду в замкнутой области ПиБ. Лемма 1.5.4.5. Пусть О-произвольная ограниченная область с границей Б типа Ляпунова. Тогда ряды Фурье

1

а*,

1

ЭЧМ

dx,dxj

(i, j = 1,2,3)

при сходится абсолютно и равномерно во всей замкнутой подобласти 2/

Q' области £1.

В пункте S.5. пятого параграфа главы 1 установлены окончательные в классах С.Л. Соболева W" (с целыми а) условия абсолютной и равномерной сходимости во всей замкнутой области рядов Фурье по собственным функциям второй и третьей однородных краевых условий, т.е. краевой задачи

Т{\ =0 „ли + =0, (5)

где А(х)-положительно определенная квадратная матрица третьего порядка, л-внешняя нормаль к поверхности S. Имеет место

Теорема 1.5.5.1. Пусть Q-произвольная конечная трехмерная область в Е3 с границей S типа Ляпунова, f(x) заданная в области £2uS вектор-функция удовлетворяющая следующим требованиям:

1) f(x)efV2"(£i\ а>|

2) Г<">/(4 = 0 (или И/ + А(*)Д = 0 )

Тогда ряд Фурье этой вектор-функции по собственным вектор-функцям любой из краевых условий (5) сходится абсолютно и равномерно во всей замкнутой области ПиБ.

Теорема 1.5.5.4. Пусть О-произвольная ограниченная трехмерная область с границей Б типа Ляпунова.

Тогда, если

1) /(*)€ 1УГ2(П), а>|

2) Тм/(х1=0, то имеет место равенство

1/дг = I //Ьсд ♦/(*))-*;, (а*/о>Шо*ь,у)ыу, (6) *

<1=1 «Л) =1 п ¡1

где Сг(х,у)-ядро дробного порядка у>0.

В частности, числовой ряд стоящий в левой части равенства (6), сходится. <

В пункте 5.6 пятого параграфа первой главы установлены абсолютная и равномерная сходимость ряда Фурье по собственным функциям оператора теории упругости, соответствующая граничному оператору псевдонапряжения, т.е. задачи

Д * Яу(х)= 0, х€йс£, [М/+<г(х)к]5 = 0,

где

- (V ♦ Я >, ♦ *[.,(*)£■¿г]+а£> ■

к = А* (V + Д XV + 3/1х-(х,,х2,х3,) П-произвольная конечная область с границей в типа Ляпунова, о(х)-неп-рерывная положительно-определенная матрица заданная на в. Имеет место Теорема 1.5.6.1. Пусть вектор-функция /(х) удовлетворяет следующим условиям:

1) /(х)е о>|; 2) ЛГ(*)Д = 0.

Тогда ряд Фурье вектор-функции /(х) по собственным вектор -функциям задачи (7):

/00= !/>.(*) сходится абсолютно и равномерно во всей замкнутой области Оий.

(7)

I

15

Замечания 1. Условия, наложенные на разлагаемые вектор-функции в теоремах 1.5.1.1, 1.5.2.2, 1.5.3.2, 1.5.4.1, 1.5.5.1 и леммы 1.5.2|.3, являются окончательными в классах \У " , где а-любое вещественное число, удовле-

3 3

гворяюшее неравенству а > — ■ Действительно, при а > ~ мы доказываем

абсолютную и равномерную сходимость ряда Фурье, а при

-И

казывает пример функции построенной в работе В.А Ильина [19], существует

функция /С*)6 №р2 (й) (р-любое!) удовлетворяющая некоторому краевому условию, такая, что ряд Фурье этой функции абсолютно расходится во всех внутренних точках области £1

2. Все результаты §5 верны и для плоских задач. Более того, они легко переносятся на случай произвольных Ы(>3)-мерных областей с границами типа Ляпунова. Например, теорема 1.5.5.1 для случая >1(>2)-мерной области О формулируется следующим образом.

Теорема 1.5.6.2. Пусть £Жкроизвольиая конечная мерная область в Е\, (N¿2), с границей Б типа Ляпунова, а /(х)-произволышя задания в обчасти вектор- функция, удовлетворяющая требованиям.

1)/(*)<= ^(£2* а>у;

2) /(х) такова, что функции /,...,Ак/ [ к = •

| удовлетворяют 2-му (или

3-му краевому условию). Тогда ряд Фурье этой вектор-функции по собственным вектор-функциям любой из краевых условий (5) схобится абсолютно и равномерно во всей замкнутой области

Основные результаты главы I опубликованы в работах [1, 3, 5-8, 21-23, 27,28].

Глава 2 посвящена проблеме абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным функциям самосопряженных расширений дифференциальных операторов в случае непрерывного спектра

В §1 главы 2 установлены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости обобщенных интегралов Фурье в произвольной подобласти &соответствующие нулевым краевым условиям любого из четырех родов:

4=0, И + й(х)^=0, И + (8)

Определение 2.1.1. Функция (точнее вектор-функция) у(х,к) называется вектор-функцией непрерывного спектра оператора А (А есть самосопряженное расширение оператора - Л*, соответствующее первому однородному краевому условию из (8)), если: '

1)она имеет непрерывные производные до второго порядка включительно внутри

2) удовлетворяет уравнению

Д *\{х,к)+ Яу(х,к)= 0, хе А (9)

при Я = ц\к\2 или Я = (у + 2р]к\2.

3) граничному условию у(л:,Л)=0 при хе Б.

4) представима в виде у(х,к)= и(х,к)+ <р(х,к)

Здесь и есть решение во всем пространстве уравнения (9), а <р(х,к)=^,<р2,<р3) удовлетворяет следующим требованиям: а) <р(X, к) удовлетворяет условиям 1), 2) для у(х,к).

в) при '"Щ ~~удовлетворяет условиям излучения в теории упругости (см. формулу (8),§1, главы2).

Аналогично определяются собственные вектор-функции второй и других краевых условий в случае непрерывного спектра. Определение 2.1.3. Интеграл вида

Е, |фя

где

/(*) = (2Ж У I/<*>(*,

о

называется обобщенным интегралом Фурье функции /(х). Предел в (10) понимается в смысле метрики пространства Ьгф). Имеет место Лемма 2.1.1. Обобщенный интеграл Фурье

<

где а > —, сходится абсолютно и равномерно во всей замкнутой трехмер-2

ной области DuS.

Лемма 2.1.2. Пусть вектор-функция f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) /(■*)= а>1;

2) f(x) финитна по отношению к области D Тогда имеет место неравенство

В,

В частности, интеграл стоящий в левой части этого неравенства, сходится. Имеет место

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия 1)-2) леммы 2.1.2, Тогда обобщенный интеграл Фурье (10) сходится абсолютно и равномерно в произвольной строго внутренней подобласти 7Р области D.

В §2 главы 2 результаты § 1 распространяются на функции равной нулю на S и вне некоторого шара.

В том числе, имеет место Лемма 2.2.1. Пусть D — произвольная трехмерная область, ограниченная поверхностью S типа Ляпунова Пусть далее, вектор-функция f(x) удовлетворяет условиям:

1) /(*)€ W"(D), а>|; 2) A*)|s=0 и f(x) = 0

в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки.

Тогда справедливо неравенство

е>

где С - положшнеяшфЦ постоянная зависящая от v,fip и не зависящая от х В частности, инШЩШ стоящий * явтй части этого неравенства, сходится.

Для такой функции будут установлены окончательные в классах , с нецелыми а, условия абсолютной и равномерной сходимости обобщенного интеграла Фурье (10) во всей замкнутой области DuS (т.е. утверждения теоремы 2.1.1. имеют места и во всей области DuS).

В §3 главы 2 установлены окончательные в классах Иг°, с нецелыми а, условия абсолютной и равномерной сходимости обобщенного интеграла Фурье соответствующее второму внешнему однородному граничному условию 7''")у(х, = О во всей замкнутой области при сходимости некоторых поверхностных интегралов.

Например, имеет место

Лемма 2.3.1 Обобщенный интеграл Фурье 3

где а >—, сходится абсолютно и равномерно во всей замкнутой области

Здесь же даны доказательства лемм 2.3.2-2.3.7 нужные в дальнейшем для обоснования метода Фурье.

В конце отметим, что замечания 1 и 2 главы 1, §5 п. 5.6 о неулучшаемости условий разложимости сохраняют свою силу и в случае непрерывного спектра, т.е. для всех теорем и лемм главы 2.

Основные результаты главы 2 опубликованы в работах [2,4,27,29].

Глава 3 посвящена проблемам обоснования метода Фурье и корректной разрешимости некоторых самосопряженных смешанных задач математической физики.

В § 1 главы 3 дается обоснование метода Фурье для обобщенного решения первой смешанной задачи теории упругости.

Имеет место при р=1 Теорема 3.1.1. Пусть <р(х)е Ь(С1), г(г)е ¿г(П), /(*,/)е ¿2(вг), а С1-произвольная трехмерная ограниченная область с кусочно-гладкой границей 5. Тогда ряд

^ __| I

<р„ сов 7Г„/ + + -7=-1 /„ (т^Ш дДГС - т)с/Т

.СО (12)

сходится в (д.,) равномерно по ге[0,Т] и его сумма и(х,1) является в

о

обобщенным из А(£?г) решением смешанной задачи (1)-(3).

Кроме того, в этом же параграфе дана постановка первой внутренней смешанной задачи для системы уравнений теории упругости (уравнения Ламе); дано определение обобщенного и классического в смысле В.А. Ильина

решения первой смешанной задачи теории упругости, определения обобщенных и классических собственных вектор-функций.

В §2 главы 3 результаты пункта 5.1.2 главы 1 используются для доказательства существования классического в смысле В.А. Ильина решения первой смешанной задачи теории упругости:

А'и = /(*,,) (*,/)е <2Т =Пх(0,Г)

от

и(*,0)=4>(4 и,(х,0)=ф(х\хеПи8 ■ (и)

и(х,1]г=0,

где /ЧЙс/0,77 есть боковая поверхность цилиндра бг=йх[0,г] высоты Т<~, $(х,1) - правая часть уравнения движения изотропной однородной упругой среды, <р(х), ф(х)- заданные начальные вектор-функции. Имеет место

Теорема 3.2.1. Пусть начальные вектор-функции <р(х\ ф(х) и правая часть /(х,() удовлетворяют следующим требованиям:

1) <р(х)е ф(х)е ^(П) где р>1,г>1 и, кроме того

<р, Аф, ф, Д ф равны нулю на 5;

2) Дх, I) удовлетворяет условиям леммы 3.2.1.

Тогда ряд (12) и ряды, полученные однократным и двукратным почленным дифференцированием ряда (12) по < сходятся равномерно во всем замкнутом цилиндре 0Т =(Пи5)х[0,Т], а ряды, полученные однократным и двукратным почленным дифференцированием по любим переменным хьх2 ,х3,, / сходятся абсолютно и равномерно в любой строго внутренней подобласти Q■T цилиндра (}т- При этом сумма ряда (12) дает классическое решение первой смешанной задачи (11) в смысле В.А. Ильина.

Кроме того, попутно в этом параграфе доказываются леммы 3.2.1 и 3.2.2. В §2 главы 3 также дается обоснование метода Фурье для классического в смысле В.А. Ильина решения первой смешанной задачи теории упругости в неограниченном цилиндре

Определение. Смешанную задачу вида (11), в которой конечная область & заменена на неограниченную область 0=Ез\(0и8) назовем задачей А. Тогда имеет место

Теорема 3.3.1. Пусть D- неограниченная область с границей S типа Ляпунова, а вектор-функции f(x,t) удовлетворяют следующим условиям

7 5

1) <р(х)е Wf(D), 4/(x)eW2'(D)^deP>—,8>— и, кроме того вектор-функции <р, А'<р, ц/, АV равны нулю на S.

2) f(x,i) Vi е {о, г] ко jr удовлетворяет такими же условиями что и у(х) в пункте I).

Тогда вектор-функция u(x,t) определяемая интегралам

U(x,t) = j |<p(t) + + Щ J /<г, *:) 8ш}ф - Jv(jc, A:) (13)

будет классическим решением задачи А. При этом дважды под знаком интеграла продифференцированные интегралы % и ц, сходятся абсолютно и равномерно в любой строго внутренней подобласти Q'T"= 2)'х[0,Г] области

вг-

Доказательство теоремы 3.3.1 основывается на леммах 3.3.1 и 3.3.2. Замечание 3. Требования, налагаемые на вектор-функции (р, ф, f(x, t) в теореме 3.2.1 и 3.3.1 также являются окончательными в классах С.Л. Соболева W ® с нецелыми а. Действительно, если в условиях 1)-2) при N=3 тре-

7 5

бования В >—, г >— заменить на 0 =

н 2 ' 2

= 3 ,Г =

= 2, то смешанная задача

(11) и соответствующая, смешанная задача из §2 главы 3 могут оказаться неразрешимыми в классическом смысле. Примеры, подтверждающие эти утверждения для волнового уравнения построены в работе С.Л. Соболева [I*]1 и для общего самосопряженного эллиптического оператора второго порядка -в работе В.А. Ильина [2*]2.

Замечание 4. М.Л. Расуловым в (1970), методом контурного интеграла в произвольных трехмерных ограниченных областях с грантами типа Ляпунова доказано существование классического решения задачи (11) из §2 при несколько завышенных требованиях по сравнению с соответствующими требованиями наших теорем 3.2.1 и 3.3.1 на нефинитные вектор-функции (р, ф,

/(х,0-

1 1 * Соболев С.Л Некоторые применен«« фуишаючлмюго анализа в математической физике-М.гНйуиц 1988, -336с.

2* Ильин В.А. О разрешимости системных задач для гиперболического и параболического уравиений//Усвехи мат.наук, -1960, т. 15, в.2, -с.97-154

В параграфах 4 и 5 главы 3 найдены окончательные в классах С Л. Соболева IV 2 (с целыми и нецелыми а) условия существования и единственности классического в смысле В.А. Ильина решения смешанной задачи (11) (теоремы 3.4.1 и 3.5.1).

Например, приведем формулировку теоремы 3 4.1. Теорема 3.4.1. Пусть вектор-функции <р(х),у/ (х), и /(х, 0 удовлетворяют следующим условиям.

1) <р(х) непрерывна в области и обладает в этой области непрерывными производными до 3-го порядка и интегрируемыми с квадратом производными 4-го порядка и <р, Д*<р|х = 0;

2) уфс) непрерывна в области £2иБ и обладает в этой области непрерывными производными до 2-го порядка и интегрируемыми с квадратом производными 3-го порядка и У, А = 0;

3) Дх,0 для всех ¡¿0 удовлетворяет такими же условиями, что и у/(х) в пункте 2.

Тогда ряд (12) для произвольной трехмерной области Ц ограниченной поверхностью 5 типа Ляпунова, и для любого отрезка времени 0<1<Г определяет классическое в смысле В. А. Ильина решение смешанной задачи (11)

Доказательство теоремы 3.4.1 основывается на леммах 3.4.1 .-3.4.5.

Относительно неулучшаемости результатов §§4-5 также сохраняет свою силу замечание 3.

Замечание 5. В работе Р.В. Рухадзе (1974) классическая разрешимость смешанной задачи (11) доказана при несколько завышенных требованиях на данные задачи по сравнению с нашими результатами полученными в §§2-4 главы 3.

В параграфе 6 главы 3 установлена в классах С.Л. Соболева РУ" (с целыми и нецелыми а) корректная разрешимость первой смешанной задачи теории упругости для уравнёния Ламе в компонентах тензоров напряжений и деформации (теоремы 3.6.1-3.6.4 и л^ммы 3.6.1-3.6.4).

Приведем лишь формулировки леммы 3.6.1 и теорем 3.5.1, 3.6.2. Лемма 3.6.1. Пусть О- произвольная трехмерная область с границей 5 типа Ляпунова. Тогда для УДх)еИ^УЦ), (1=2к+1, к=0,1,...), удовлетворяющей граничным условиям

справедливо равенство

где

Д =•••=№/] =0,

Теорема 3.6.1. Пусть начальные вектор-функции задачи (11) <р(х), \fffx) и правая часть /(х, 0 удовлетворяют условиям I) и 2) теоремы 3.2.1 соответственно и /(*,/)« С(ВТ).

Тогда ряд (12) для произвольной трехмерной области Д ограниченной поверхностью 5 типа Ляпунова и для любого отрезка времени 0&£Г определяет классическое решение первой смешанной задачи (11). При этом мы считаем р=1.

При этом установленные условия существования классического в смысле В.А. Ильина решения первой внутренней смешанной задачи теории упругости являются окончательными. Несколько позже в работах Р.В. Рухадзе (1974) эти результаты были получены при довольно завышенных требованиях, налагаемые на начальные вектор-функции <р(х),ф(х). и правую часть /(хЛ) по сравнению с нашими результатами.

В §7 главы 3 результаты пункта 5.2 главы 1 будут применены к обоснованию метода Фурье для классического решения второй внутренней смешанной задачи теории упругости (теорема 3.7.1). При этом требования, наложенные на разлагаемые вектор-функции <р(х),ф(х), я /(х,0 являются окончательными классах С.Л. Соболева ж2а с нецелыми а.

В §8 главы 3 дано обоснование метода Фурье для классического решения второй внешней смешанной задачи теории упругости. Точнее здесь используя результаты полученные в леммах 2.3.1, 2.3.4-2.3.7 главы 2, установлены окончательные в классах С.Л. Соболева (с нецелыми а.) условия существования классического решения второй смешанной задачи теории упругости в неограниченном цилиндре (теорема 3.8.1).

В §9-10 третьей главы, используя результаты пункта 5.2ь главы 1, доказывается существование, единственность и непрерывная зависимость клас-

сического решения второй я третьей сметанных задач от исходных данных для уравнения Ламе. При этом установленные условия существования классических решений этих задач являются окончательными в классах " (Ох{ОхТ]) с нецелыми а (теоремы 3.10.1-3.10.5). Приведем лишь формулировку теорем 3 10.3,3.10.4. Теорема 3.103 Пусть ОиБте же самые, что в теореме 3 61 Тогда если /(х)еИг21*1(Ц), и / + А(х)=0, то имеет место неравенство

Л1 ^"п — где - коэффициенты Фурье вектор-

я-1

функцииЯх)

Теорема 3.10.4. Третья (в частности -вторая) внутренняя смешанная задача для уравнения Ляме умеет не более одного решения.

В §11 главы 3 установлены окончательные условия существования классического решения внутренней смешанной задачи для уравнении Ламе с граничным оператором псевдонапряжения (теорема 3.11.2).

В §12 и §13 найдены окончательные условия корректной разрешимости некоторых смешанных задач с нефинитными исходными данными для дифференциальных уравнений в частных производных порядка 2т специального вида в классах С* с целыми положительными к и для общего самосопряженного эллиптического оператора порядка 2т с переменными коэффициентами в классах с нецелыми а соответственно.

В том числе, рассмотрены следующие смешанные задачи:

к(х,0)=ф(4 и1(х,0)=ф(х), 0<х<1 (¿ = 0Д,2,-,т-1)

и

¡)и

Уак(х)&и*1и, Мебг=Ях[о,г] м(х,0)= <р(х\ х е £2 с

ВАГ =

= 0, (/'=1.'")

где Ь - эллиптический самосопряженный дифференциальный оператор порядка 2т: 0<т;<2т-1

Основные результаты главы 3 опубликованы в работах [1-8, 17, 21-23,

30].

Глава 4 работы посвящена приложениям полученных результатов автора к разрешимости некоторых классических и неклассических задач математической физики. Хотя, некоторые из параграфов этой главы могут иметь и самостоятельный характер.

В §1 главы 4 установлено существование в целом обобщенного решения первой смешанной задачи для нелинейной системы уравнений Власова в неограниченной области.

А именно, задачи

1

о< т± I т±с

= 0;хе £3,/>0

4

= /±(х,у,0)= /„*(*,у), <р(хД=0

В §2 главы 4 для уравнения

3 2Ам д2и ,, ч

(4.1.1)

(4.2.1)

Э*2 Эх2*

установлены окончательные в классах (с нецелыми а) условия существования и единственности классического решения первой смешанной задачи в (Н+1)-мерном параллелепипеде с кусочно-гладкой границей. Отметим, что уравнение (13) не принадлежит к типу Коши-Ковалевской. Это уравнение при N=3 возникло в работах СЛ. Соболева (1951, 1954, 1960) при изучении малых колебаний вращающейся жидкости.

Рассмотрим следукнцую смешанную задачу: Найти классическое решение уравнения (4.2.1) при (х,0е()т, удовлетворяющее начальным условиям и(х,0)=(р(х), и1(х,0)=у/(х), хеПиБ (4.2.2)

и граничному условию

и/г=0, Г=5х/0, Т] (4.2.3)

где £}т=£2х[0,Т'] -(п+1) -мерный параллелепипед.

Имеет место Теорема 4.2.1. Пусть

I) Функция <р(х)е с121 (П)

и обладает в области £2 интегрируемые с квад-

+ 3 Кроме того, <р, Л(р, ,Л <р, где

ратом производными порядка

ь Г^ + 41 С-

k = —-— равны нулю на У

2) Функция v(*)e С^2 ^ (п) и обладает в области Q интегрируемые с квадратом производными порядка j^y j + 4. Кроме того, уг, Ащ. ,АкЩ где

. Глг+б! Р

к - —-— равны нулю на S.

3) /(x,i)eC(gr) и Vte[0,T] по X/, ... xN обладает непрерывными производными порядка j^-yj + 1 и интегрируемые с квадратом производными порядка j^y| + 2. Кроме того, Vte[0,T] функции f,Af,...,AkfJs-0, где

Тогда сумма N кратного ряда

«м«х

<р. cos УЛ./ ^ sin t -

где Л,

м

tit)+

J/.(T)sln •fill1

.(4

/ ч . n.n3C|

"» v,(*)=sm—^—-x-'-xsm

if)

а»

определяет классическое решение смешанной задачи (4.2.1)-(4.2.3) В §3 главы 4 для уравнения

описывающего распространение звука в вязком пве, установлены окончательные условия существования и единственности классического решения первой смешанной задачи. Отметим, что это уравнение принадлежит к составному типу.

В §4 главы 4 установлены окончательные в классах W^ (с нецелыми а)

условия существования и единственности классического решения смешан-

дАи . . .

ных задач для уравнения —г— ± аи = / в (W+Z^-мерном параллелепипеде.

О t

Отметим, что нуль является предельной точкой спектра.

В §5 главы 4 найдены окончательные условна существования и единственности классического решения смешанных задач дяя уравнения C.JI. Соболева и уравнения типа СЛ. Соболева в (№-1)-мсрвом параллелепипеде с кусочно-гладкой границей.

В §6 главы 4 посвящен обратной задаче цатни в теории упругости. Доказано, что асимптотическим поведением амшииудн рассеяния, рассеивающий объект (препятства) определяется едины витым образом.

В параграфах 7 и 8 главы 4 исследованы пошета энергии классического и обобщенного решения первой внешней смешанной задачи для уравнения движения изотропной однородной трехмерной упругой среды при больших временах.

В §9 главы 4 исследована асимптотика иц»м вцчеввой в пространстве случайными источника»« колебаний пря вашшшх временах в теории упругости.

Наконец, в §10 главы 4 исследован один мстя ■вождения характеристических значений и собственных функций шоваркамш случайной функции.

Основные результаты гжавы 4 опубликованы в рабшдх [9-13,16-20,24].

Последняя 5-ая глава посвящена яссяеяршяяяю некоторых несамосо-пряжеиных смешанных задач математической фкявж. _

В первом параграфе гяаиы 5 для двухмерного (во цюстранствеяным координатам i,y) уравнения тешипроводностя и, ~ип ~ /(Х>У>1) дока-яш существование и едияствеяность класснсоваго у ния одной несамо-апршяам задачи, у которой имеется бшм ми veno собственных и аркаещаеаних функций. Решете згой зздгш нащутлю в виде биортого-вшиго рада по получеямой бяортогонавывой шекж функции v^x.y). Показано, что система всех собственных и првеооввменнх функций данной

и сопряженной к нему задачи образуют базисы Рисса в ¿ДодЭДо,^. (Более подробно см. лемму и теоремы 1-3 из [14]).

В §2 главы 5 доказана корректная разрешимость в классическом смысле одной несамосопряженной задачи для уравнения вынужденных колебаний струны. Эта задача является несамосопряженной в силу нелокального граничного условия. Собственные и присоединенные функции этой задачи, которых бесконечно много, впервые встречаются в исследованиях А А Самарского и Н.И. Ионкина при изучении вопроса об устойчивости разреженной плазмы в работах (1977,1979).

В частности, при \)Г(х)=Р(х,0=О имеет место Теорема 5.2.1. Пусть в задаче

«„=«„, бг =(1;1)х(0,Г)

и(х,0) = <р(х), и,(х,0) = 0, хе [0,1] • (5Л)

И(0,0 = 0, их(0,0 = их(1,(), *е[0,Г],]

начальная функция <р(х) удовлетворяет условиям:

<р(х)е С2([0;1]), производная <р (*) кусочно-непрерывная на отрезке [0;1] удовлетворяет граничным условиям задачи (5.1) и условию <р"(0) = 0 Тогда сумма ряда

и(х,()в Wv]s созД^ х со$1\х }

ы

где Л, =(2л£)2, А: = 0,1Д,---, % =(<р(х),у,(х))- коэффициенты Фурье начальной

функции (р{х) по системе {у* (•*■)}<: =о определяет классическое в смысле В.А. Ильина решение смешанной задачи (5.1).

Заметим, что условия гладкости, наложенные на функцию (р(х) являются окончательными в том смысле, что наибольший порядок производных указанных в теореме, нельзя понизить хотя бы на единицу. Более подробно см. работу [15].

В §§3-4 этой главы для трехмерного неоднородного и однородного уравнения теплопроводности и,~&и(х,у,г,() в области О-=ЛхЛхЛх(0,7); Я=(0(1)

рассматривается задача вида (5.1). Будет построена последовательность собственных и присоединенных функций данной и сопряженной к нему задачи на собственные значения. При этом каждому собственному значению Д*^ =4л2(/с2 +тг +пг) при к,т,п>0 соответствует одна собственная функ-

ция и и семь присоединенных функций Здесь же показывается, что последовательность собственных и присоединенных функций взаимно сопряженных задач " образуют базис Рисса в Ь2. Здесь же по аналогии с параграфом 2 доказывается теорема существования и единственности классического решения задачи вида (5.1) (см. теоремы 5.3.1, 5.3.2 и 5.4.1 или работу [26]) Решение этой задачи получено в виде суммы биортогонального ряда (см. формулу (25) в параграфе 4 главы 5).

В параграфе 5 главы 5 доказано существование и единственность классического в смысле В.А. Ильина решения сопряженной к смешанной задаче, рассмотренной в параграфе 2 данной главы. Более подробно см. работу [31, с. 24-30].

Основные результаты главы 5 опубликованы в работах [14-15, 25-26,

31].

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить глубокую и искреннюю благодарность академику АН РФ, профессору В.А. Ильину и профессору А А. Арсеньеву за поддержку, ценные советы и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Исматов М. (Исмати М.) Разложение по собственным функциям оператора теории упругости.//Всесоюзный журнал «Диф.уразнения», Минск, 1972, т.8, № 4, с. 659-670.

2. Исматов М. О сходимости рядов и обобщенных интегралов Фурье по собственным функциям оператора теории упругости.//Известия АН Тадж ССР, 1974,4(53), с. 15-27.

3. Исматов М. Разложение по собственным функциям второй краевой задачи теории упругости и обоснование метода Фурье .//Всесоюзный журнал «Диф.уравнения», Минск, 1975, т.П, № 2, с. 2220-2230.

4. Исматов М. Об абсолютной и равномерной сходимости обобщенных интегралов Фурье и обоснование метода Фурье. //ДАН Тадж. ССР, 1975, т. 18, №10, с.3-6.

5. Исматов М. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям оператора теории упругости и обоснование метода Фурье .//Всесоюзный журнал «Диф.уравнения», Минск, 1976, т. 12, № 10. с. 1824-1831.

6 Исматов М. О разрешимости первой основной смешанной задачи динамики трехмерного упругого тела.//Всесоюзный журнал «Диф.уравнения», Минск, 1976, т. 12, № 12, с. 2223-2232.

7. Исматов М. О разрешимости смешанных задач теории упругости. //ДАН Тадж. ССР, 1977, т.20, №3, с. 7-10.

8. Исматов М. Абсолю тная и равномерная сходимость разложений по собственным функциям оператора теории упругости и обоснование метода Фурье.//Труды Всесоюзной конференции по уравнениям с частными, Изд-во МГУ, 1978, с.319-320.

9. Исматов М. О существовании в целом обобщенного решения системы уравнений Власова для неограниченной области.//Всесоюзный журнал «Диф.уравнения», Минск, 1982, т. 18, № 3, с 530-533.

10 Исматов М. О разрешимости некоторых неклассических смешанных за-дач.//ДАН Тадж. ССР, 1982, т.ХХХУ, № 9, с.519-522.

11. Исматов М. О корректной постановке некоторых смешанных задач дчя дифференциальных уравнений порядка 2т.//Изв. АН Тадж. ССР, Душанбе,

1983, №21,с.З-10.

12. Исматов М. О смешанной задаче для одного уравнения, не разрешенного относительно старшей производной по времени.//ДАН Тадж. ССР,

1984, т. XXXVI, № 3, с.121-125.

13 Исматов М. Об одной смешанной задаче для уравнения описывающий распространение звука в вязком газе.//Всесоюзный журнал «Диф.уравнения», Минск, 1984, с. 1023-1036.

14. Исматов М. Решение одной смешанной задачи с неклассическом краевым условием .//ДАН Тадж. ССР, 1985, т. XVIII, № 8, с.427-430.

15. Исматов М. Об одной несамосопряженной задаче.//ДАН Тадж. ССР,

1985,т. XVIII, № 11, с.619-622.

16. Исматов М. О разрешимости неклассических задач.//Изв. АН Тадж. ССР, Душанбе, 1986, № 3, -с.З-10. ^

17. Исматов М. Обратная задача рассеяния в теории упругости.//Тезисы докладов всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений. - Душанбе, 28-30 сентября, 1987, с.136.

18. Исматов М. Обратная задача рассеяния в теории упруго-сти.//Всесоюзный журнал «Диф.уравнения», Минск, 1988, т.24, № 9, с. 1586-1591.

19. Исматов М. Смешанные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных 2т-го порядка.//ДАН Тадж ССР, 1989, т.ХХХП, № 3, с. 159-162.

20 Исматов М. Об асимптотике энергии случайных источников колебаний при больших временах в теории упругости.// Душанбе, Вестник Таджикского Госуниверситета, 1990, Математика, №5, с.21-24.

21. Исматов М. О корректной разрешимости второй и третьей смешанных задач теории упругости .//Материалы респуб. науч. практ. конференции, Душанбе, ИБО, 1990, с. 196-197.

22 Исматов M. О корректной разрешимости первой смешанной задачи в теории упругости.//Тезисы докладов Международной конф. «Некорректно-поставленные задачи в естеств. науках», Москва, 19-25 августа

1991, с 158.

23 Исматов M О корректной разрешимости первой основной смешанной задачи в теории упругости.//ДАН Тадж. ССР, 1992, t.XXV, № 1, с. 1013.

24 Исматов М. Об асимптотике энергии обобщенного решения системы уравнений теории упругости при больших временах.//Всесоюзный журнал «Диф уравнения», Минск, 1992, т.28, № 6, с.1038-1044.

25 Исматов М. Решение одной несамосопряженной задачи теории тепло-проводности.//Тез. докл. респ. науч.-прак. конф., Душанбе, ИПС, 1996, с.163-168.

26 Исматов М. О существовании и единственности классического решения одной несамосопряженной задачи для однородного уравнения тепло-проводности.//Проблемы социально-экономического развития Таджикистана (Тез. докл. Респ. Научно-прак. конф.), Душанбе, ИПС, 1997, с. 218-

27 Исматов М. Абсолютная и равномерная сходимость обобщенных интегралов Фурье в произвольной подобласти.//Материалы респ. науч.-прак. конференции, Душанбе, ИПС, 1997, с.222-225.

28 Исматов М. О матрицах Грина второй и третьей смешанных задач теории упругости.//Тез. докл. респ. науч.-прак. конф., ИПС, Душанбе, 1998,

29 Исматов М. Абсолютная и равномерная сходимость обобщенного интеграла Фурье соответствующее первому внешнему однородному граничному условию теории упругости в всей замкнутой области.//Душанбе, ИПС, 1998, Пайём№1, с.23-26.

30 Исматов М. О корректной разрешимости первой смешанной задачи в теории упругости //The Third International conference. «Differential equations and applications», Saint Petersburg, State Technical University,2000, p.150

31 Исмати М.(Исматов M.). О некоторых несамосопряженных смешанных задачах математической физики.//Проблемы математики и информатики, ИПС, «Сохибкор» 2001, с. 17-30.

221.

с.77-79.

t

ИСМАТИ МУХАММАДЖОН

О НЕКОТОРЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ И НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

*

Сдано в печать 02.10.03г. Подписано к печати 03.10.03г. Формат 60x84 '/^.Печать офсетная. 2 усл. печ. лист.3аказ №55.Тираж 100. Изготовлено в ООО «Ому».

« i.

РНБ Русский фонд

2003-4 20752

ВВЕДЕНИЕ.:.

глава i абсолютная и равномерная сходимость разложений по собственным функциям самосопряженных дифференциальных операторов

§ 1. Фундаментальная матрица решений параболической системы.

§2. Матрица Грина первой смешанной задачи.

§3. Оценки для матрицы Грина первой смешанной задачи.

§4. О матрицах Грина второй, третьей и других смешанных задач.

§5. Окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор функциям оператора теории упругости.

5.1.1. О классах Соболева С.Л-Слободецкого JI.H.

5. 1.2. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям первой однородной краевой задачи для оператора теории упругости в строго внутренней подобласти.

5.2. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям второй однородной краевой задачи для оператора теории упругости в строго внутренней подобласти.

5.3. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям первой однородной краевой задачи для оператора теории упругости во всей замкнутой области.

5.4. Окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям первой основной краевой задачи для оператора теории упругости во всей замкнутой области.

5.5. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям второй и третьей однородных краевых задач для оператора теории упругости во всей замкнутой области.

5.6. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям оператора теории упругости с граничным оператором псевдонапряжения.

§6. О равномерной сходимости разложений по собственным функциям ковариации случайной функции.

глава ii абсолютная и равномерная сходимость разложений по собственным функциям самосопряженных дифференциальных операторов в случае непрерывного спектра

§1. Абсолютная и равномерная сходимость обобщенных интегралов Фурье в произвольной подобласти.

§2. Абсолютная и равномерная сходимость обобщенного интеграла Фурье соответствующее первому однородному граничному условию теории упругости во всей замкнутой области.

§3. Абсолютная и равномерная сходимость обобщенных интегралов Фурье соответствующие второму внешнему однородному граничному условию теории упругости во всей замкнутой об-. ласти.

глава iii обоснование метода фурье и корректная разрешимость некоторых самосопряженных смешанных задач матматической физики

§1. Обоснование метода Фурье для обобщенного решения первой смешанной задачи теории упругости.

§2. Обоснование метода Фурье для классического решения первой смешанной задачи теории упругости.

§3. Обоснование метода Фурье для классического решения первой смешанной задачи теории упругости в неограниченном цилиндре.

§4. О разрешимости первой основной смешанной задачи динамики трехмерного, упругого тела.

§5. Обоснование метода Фурье для классического решения первой смешанной задачи теории упругости в терминах пространства

Соболева C.JI. - Слободецкого JI.H.

§6. О корректной разрешимости первой основной смешанной задачи теории упругости.

§7. Обоснование метода Фурье для классического решения второй смешанной задачи теории упругости в ограниченном цилиндре

§8. Обоснование метода Фурье для классического решения второй внешней смешанной задачи теории упругости.

§9. О разрешимости смешанных задач теории упругости.

§ 10. О корректной разрешимости второй и третьей смешанных задач теории упругости.

§11. О разрешимости смешанной задачи теории упругости с граничным оператором псевдонапряжения.

§12. О корректной постановке некоторых смешанных задач для дифференциального уравнения порядка 2т.

§13. Смешанные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных 2т -го порядка.

Актуальность темы. Разложение по собственным функциям дифференциальных операторов давно привлекает внимание как отечественных, так и зарубежных математиков и физиков.

Если проблемам суммируемости и сходимости разложений по собственным функциям самосопряженных дифференциальных операторов посвящено достаточно много работ (см. Например [5, 15-25, 73-76, 82-87, 92-93, 106-107, 111, 118, 125, 133-138, 4*,6*,8*-10*, 27*, 30*-32*]), то, наоборот, исследованию этих проблем для несамосопряженных дифференциальных операторов посвящено сравнительно мало работ и эти проблемы далеки от своего полного разрешения. Это, прежде всего, относится и к спектральному разложению несамосопряженных операторов. Хотя в последние четыре десятилетия и относительно этой проблемы также появилось достаточно много работ (см. [11, 27-31, 72, 95, 105, 113, Г, 2*, 5*, 7*, 22*, 23*, 25*, 28*, 33*] и имеющуюся там библиографию).

При исследовании сходимости рядов Фурье по собственным функциям дифференциальных операторов следует существенно различать случай абсолютной и неабсолютной сходимости. Здесь и всюду далее в этой работе мы будем рассматривать только абсолютную и равномерную сходимость рядов Фурье. Относительно более тонкого вопроса о неабсолютной сходимости рядов Фурье мы лишь отметим работы Э.Ч. Титмарша и С. Минакшисундерама (Их изложение см. работе [125], Б.М. Левитана [93], В.А. Ильина [17, 18, 21, 23-25]). Среди вышеупомянутых авторов самые точные и окончательные условия равномерной сходимости рядов Фурье установлены В.А. Ильиным.

Установлению абсолютной сходимости посвящены связанные с обоснованием метода Фурье работы [82-84] O.A. Ладыженской, которые явились первыми в этом направлении. В этих работах абсолютная и равномерная сходимость рядов Фурье устанавливается в классах С.Л. Соболева W2l (с целыми /) и затем применяются теоремы вложения. Сюда же относятся использующая метод дробных степеней операторов работа [76] М.А. Красносельского и Е.И. Пустылника (см. также работу [77]) и работы [19, 20] В.А. Ильина, в которых в терминах абсолютной сходимости даются некоторые обобщения истокообразно представимой функции, изучается случай областей с «плохими» границами и строятся примеры, определяющие нижнюю границу условий на разлагаемую функцию.

Более точные, чем у всех перечисленных авторов (и в определенном смысле окончательные в классах W ■f (с нецелыми а) условия абсолютной сходимости установлены в работах [73-75] ученика В.А. Ильина (в работах [73, 74] рассмотрен самосопряженный эллиптический оператор второго порядка, а в [75] -порядка 2т).

Теперь остановимся на вопросах обоснования метода Фурье. Одним из важных приложений теорем о сходимости рядов Фурье по собственным функциям является проблема обоснования метода Фурье решения смешанных задач. Здесь мы остановимся на работах, относящихся к обоснованию метода Фурье решения смешанной задачи для гиперболического уравнения и а - Lu ~f(x, t) в QT=nx[0<t<T], ^ и(х,0)=<р(х), щ(х,0)-ф(х), и\г=0.

Здесь L-самосопряженный эллиптический оператор второго порядка с переменными коэффициентами, Q -произвольная N -мерная область с границей S, r=Sx[0, Т] -боковая поверхность цилиндра Qj.

Конечно задачу (1) можно решать разными методами (например, метод обобщенных функций, метод преобразования Фурье и Лапласа, энергетический метод, метод конечных разностей, метод функциональных уравнений и т.д.), но метод Фурье приведет к установлению наиболее точных условий существования классического решения. Методу Фурье для задачи (1) и для задачи с Ь=Д. за последние четыре десятилетия посвящено большое число работ. Среды них мы отметим лишь работы X.JI. Смолицкого [119], O.A. Ладыженской [82-84], и В.А. Ильина [16] и [22]. Наиболее точные условия существования классического решения смешанной задачи (1) установил В.А.

Ильин [22]. Им доказано, что метод Фурье дает классическое решение смешанной задачи (1) для произвольной нормальной1 области Q.

При этом начальные функции (р(х) и ф(х) и правую часть уравнения f(x,t)

B.А. Ильин подчиняет требованиям гладкости, совпадающим с теми, которые

C.JI. Соболев нашел для соответствующей задачи Коши, а коэффициенты оператора L (для случая звездной области) даже менее жестким требованиям гладкости, чем те, которые C.JI. Соболев установил для соответствующей задачи Коши.

В более ранних работах O.A. Ладыженской (см. [84] и [90]) были установлены точные условия сходимости формально полученного методом Фурье ряда в метрике соболевского пространства W-1 для любого целого /, но на таком пути классическое решение задачи (1) получается лишь при завышенных требованиях гладкости на границу S, неограниченно растущих с увеличением числа измерений.

Весьма интересным и трудным вопросом является исследование смешанной задачи для гиперболических систем и уравнений высших порядков. До 60-х годов 20-го столетия для гиперболических систем при числе независимых переменных больше двух не были доказаны даже теоремы единственности решения смешанных задач.

Следовательно, вышеупомянутые проблемы являются актуальными.

Проблемам абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным функциям различных самосопряженных и несамосопряженных смешанных задач математической физики, обоснованию метода Фурье и корректной разрешимости таких задач посвящена настоящая диссертационная работа. цель и задачи исследования. Установление точных и окончательных условий абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным функциям дифференциальных операторов в частных производных и доказа

1 Области С! называется нормальной, если для этой области разрешима задачи Дирихле для урав нения Лапласа при любой непрерывной граничной функции тельство существования классического и обобщенного решения рассматриваемых смешанных задач при минимальных требованиях налагаемых на границу рассматриваемой области и на разлагаемых исходных данных является основной це^ данной работы.

Методы исследования. Основными методами исследования являются метод разложения по собственным функциям дифференциальных операторов, метод Фурье или метод разделения переменных, метод априорных оценок и современные методы теории функций, функционального анализа и математической физики.

Отметим, что наш метод исследования краевых задач охватывает как дискретный так и непрерывный спектры.

Научная новизна. В диссертационной работе установлены следующие новые результаты:

1. Для произвольной трехмерной области,ограниченной замкнутой поверхностью типа Ляпунова, получены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям (вектор-функциям) оператора теории упругости, соответствующее первому основному однородному краевому условию в строго внутренней подобласти П' основной области О в терминах пространства С.Л. Соболева ¡У" , где а - целое или нецелое число.

2. Для произвольной трехмерной области О, ограниченной замкнутой поверхностью типа Ляпунова 5, установлены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям (вектор-функциям) оператора теории упругости, соответствующее второму основному однородному краевому условию во всей замкнутой области Ои8 в терминах пространства IV 2 (с нецелыми а) при условии сходимости некоторых поверхностных интегралов.

3. Для произвольной трехмерной области О,ограниченной замкнутой поверхностью 5 типа Ляпунова, найдены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье нефинитных вектор-функции {(х) в классах С.Л. Соболева с целыми а, по собственным функциям оператора теории упругости соответствующие второму однородному граничному условию во всей замкнутой области Пиб.

4. Для произвольной трехмерной области О уограниченной замкнутой поверхностью Б типа Ляпунова, установлены окончательные условия обсо-лютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям оператора теории упругости соответствующие первому краевому условию во всей замкнутой области ПШ> в терминах пространства ¡V 2а (где а > — ) при условии сходимости некоторых поверхностных интегралов.

5. Установлены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям первой, второй и третьей однородных краевых задач теории упругости во всей замкнутой области в компонентах тензоров деформации и напряжения.

6. Найдены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям оператора теории упругости соответствующие однородному граничному оператору псевдонапряжения.

7. Найдены близкие к окончательному условия абсолютной и равномерной сходимости обобщенных интегралов Фурье в произвольной подобласти О' основной области 0=Ез\(£2и6>) соответствующей нулевым краевым условиям первых трех родов теории упругости.

8. Найдены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости обобщенных интегралов Фурье,соответствующие первому внешнему однородному краевому условию теории упругости во всей замкнутой области БиБ в компонентах тензоров деформации и напряжения.

9. Найдены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости обобщенных интегралов Фурье, соответствующие второму внешнему однородному краевому условию теории упругости во всей замкнутой области ЭиБ при условии сходимости некоторых поверхностных интегралов.

10. Исследованы необходимые и достаточные условия равномерной сходимости разложений в обобщенный ряд Фурье по собственным функциям ковариации случайной функции.

11. Дано обоснование метода Фурье для обобщенного и классического решения первой смешанной задачи теории упругости. При этом условия,наложенные на разлагаемые начальные вектор-функции (р (х), ф(х) и на правую часть уравнения движения изотропной однородной упругой среды /(*,/) являются окончательными в классах С.Л. Соболева Ж2а с целыми и нецелыми а. При этом поверхность Б является поверхностью типа Ляпунова.

12. При тех же условиях что в пункте 11 на функции (р (х), ф(х), /(*,/) и на граничную поверхность Б дано обоснование метода Фурье для классического решения первой смешанной задачи теории упругости в неограниченном цилиндре Qт=!(DUS)x[0,T].

13. Найдены окончательные условия существования и единственности классического в смысле В.А. Ильина решения первой смешанной задачи теории упругости в терминах пространства С.Л. Соболева с целыми и нецелыми а.

14. Найдены окончательные условия корректной разрешимости классического в смысле В.А. Ильина решения первой смешанной задачи теории упругости в компонентах тензоров деформации и напряжений.

15. Дано обоснование метода Фурье и тем самым установлены окончательные условия существования классических решений второй внутренней и внешней смешанных задач теории упругости при условии сходимости некоторых поверхностных интегралов.

16. Найдены окончательные условия существования классического решения третьей (в частности второй) смешанной задачи теории упругости и соответствующей смешанной задачи с граничным оператором «псевдонапряжения» в терминах пространства С.Л. Соболева УУ " с целыми и нецелыми а.

17. Найдены окончательные условия корректной разрешимости классических решений второй и третьей смешанных задач теории упругости в классах с нецелыми а в компонентах тензоров напряжения и деформации.

18. Найдены окончательные условия корректной разрешимости некоторых смешанных задач для дифференциальных уравнений в частных производных порядка 2т специального вида.

19. Найдены окончательные условия корректной разрешимости смешанных задач для самосопряженного эллиптического оператора любого порядка 2т с переменными коэффициентами в терминах пространства (с нецелыми а) с финитными начальными функциями и финитной правой частью

20. Доказано существование в целом обобщенного решения первой смешанной задачи для нелинейной системы уравнений Власова в неограниченной области.

21. Доказано существование и единственность классического решения смешанной задачи для одного уравнения (неклассического), неразрешенного относительно старшей производной по времени в (N+1) — мерном параллелепипеде.

22. Для уравнения,описывающего распространение звука в вязком газе, доказано существование и единственность классического решения первой смешанной задачи в прямоугольнике Qf=[0,l]x[0,T]).

23. Найдены окончательные условия существования и единственности классического решения смешанных задач для операторов Ьи = ^-±аи = / в N+1 - мерном параллелепипеде.

24. Найдены окончательные условия существования и единственность классического решения смешанных задач для уравнения С.Л. Соболева (уравнения малых колебаний вращающейся жидкости) и уравнений типа С.Л. Соболева в (N+1) -мерном параллелепипеде.

25. По обратным задачам теории рассеяния в теории упругости доказано, что асимптотическим поведением амплитуды рассеяния рассеивающий объект (препятствия) определяется единственным образом.

26. Исследована асимптотика энергии классического и обобщенного решения первой внешней смешанной задачи для системы уравнений Ляме при больших временах.

27. Исследована асимптотика энергии случайных источников колебаний при больших временах в теории упругости.

28. Изучен метод нахождения характеристических значений и собственных функции ядра ковариации случайной функции.

29. Для двухмерного (по пространственным координатам х,у) уравнения теплопроводности доказано существование и единственность классического решения одной несамосопряженной задачи,у которой имеется бесконечное число собственных и присоединенных функций. Решение этой задачи получено в виде биортогонального разложения по полученной биортогональной системе функций. Доказано, что эта система образует базис Рисса в Ь2([0,1]х[0,1]).

30. Доказано существование и единственность классического решения одной несамосопряженной смешанной задачи для уравнения вынужденных колебаний струны. Задача является несамосопряженной в силу нелокального граничнсгоусловиия.

31. Доказано существование и единственность классического решения одной несамосопряженной задачи для трехмерного оператора теплопроводности (по пространственным координатам х,у,г). Построен последовательность всех собственных и присоединенных функций данной и сопряженной к нему задачи на собственные значения. Показано, что построенная система собственных и присоединенных функций образуют базисы Рисса в Ь2([0,1]х[0,1]х[0,1]).

Практическая и научная ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты полученные в работе,являются новыми. Они могут быть использованы для дальнейшего изучения аналогичных задач теории самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных операторов теоретической и математической физики. Их можно использовать в гидродинамике, теории поля, теории упругости, теория рассеяния, в обратных задачах квантовой теории рассеяния при изучении задач физики плазмы и в теории кратных ортогональных рядов и интегралов Фурье.

Исследования автора также имеют большое прикладное значение в математической физике, так как они могут быть использованы для обоснования метода разделения переменных при решении краевых задач.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре профессора В.П. Михайлова (МИАН, СССР, Москва, 1970), на всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными, посвященной 75-летию со дня рождения академика И.Г. Петровского (МГУ, 1978г.), на научном семинаре под руководством академика В.А. Ильина, профессора Ш.А. Алимова, профессора A.A. Арсеньева (МГУ, 1980), на республиканской научной конференции по уравнениям математической физики, Душанбе, 27-28 сентября 1983г., на всесоюзной школе молодых ученных «Функциональные методы в прикладной математике и математической физике», Ташкент, 11-17 мая 1988г., на республиканской научной конференции, посвященной памяти Т. Собирова «О некоторых применениях функционального анализа в теории дифференциальных уравнений», Душанбе, 1990г., на Международной конференции «Некорректно поставленные задачи в естественных науках», Москва, 19-25 августа 1991 г., на ежегодных апрельских научно-практических конференциях ТГУ, 1970-1992г.г., на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их применения», Санкт-петербург, 12-17 июня 2000 г., на ежегодных научно-практических конференциях ИПС, 1992-2003 годов.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 61 работа.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Работа изложена на 305 страницах машинописного текста. Библиографии насчитывает 173 наименований.

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации.-М., 1965, -407с.

2. Арсеньев. A.A. //Журнал вычисл. матем. и мат. физики, -1970. т 10, №4, -с. 1037-1041.

3. Арсеньев.A.A. //Журнал вычисл. матем. и мат. физики, -1975, т 15, №4, -с. 1062-1066.

4. Арсеньев.А.А. О существовании обобщенных и стационарных статистических решений системы уравнений Власова в ограниченной области. -М., Препринт. ИПМ. 1976, .№107.

5. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. -"Hayкова думка", Киев. 1965, -798с.

6. Бурчуладзе Т.В., Рухадзе Piß. //Дифференц. уравнения,-Минск, 1974. Т. 10, №10,-С.1849-1865.

7. Векуа И.Н. // Докл. АН CCP.-I95I. Т.80, №3- с.341-343.

8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики, -М., Наука, 1971.-512с

9. Гальперн С.А. //Сибирский матем. журнал,-1963, №4, -с.758-774Ю. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории диффе-ренц.уравнений. -М. .-физматгиз, 1958.

10. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных не самосопряженных операторов. -М.: Наука, -1965,- 448с.

11. Денчев Р. //ДАН СССР. -1959, т 126, №2, -с.229-262.

12. Зеленяк Т.М //ДАН СССР, -1965, т 164, .№6,-с.1225-1228.

13. Зеленяк Т.М. //Сиб. мат.журнал. -1968, т 9, №5 -с.1075 -1092

14. Ильин В. А. //ДАН СССР, -1955.t. 105, №2,-с. 210-213.

15. Ильин В.А.//Успехи мат. наук, -1957, т. 12. в.4 (76), -с. 289-296.17.- Ильин В.А. //ДАН СССР,-1957, т.114, №4, -с.698-701.

16. Ильин В.А. //ДАН СССР,-1957, т.115,№4, -с.650-652

17. Ильин В. А. О равномерной сходимости разложений по собственным функциям во всей замкнутой области. //Матем. Сб.,-1958, т.45,№2, -с. 195-232

18. Ильин В. А. Достаточные условия разложимости функции в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям//Матем. сб.-1958, т.46, №1, -с. 3-26

19. Ильин В.А. //УМН.-1958, В.13, №1,-с.87-180.

20. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параб.-го уравнений.//Успехи мат. наук, -1960, т. 15. в.2, -с. 97-154.

21. Ильин В. А. //ДАН СССР.-1966, т. 170, .№2. -с. 257-260.

22. Ильин В.А. //ДАН СССР.-1967, т.177, №2. -с.258-260.

23. Ильин В.А. //УШ.-1968, В.23, №2, -с.61-120.

24. Ильин В. А. Позняк ЭГ. Основы мат. анализа. -М: Наука, 1973 ч.2.

25. Ильин В.А. //ДАН СССР. -1976.-Т. 227, №4, -с.796-799.

26. Ильин В. А. //ДАН СССР, -1983,-т. 273, .№5,-с. 1048-1053.

27. Ильин В. А. //Дифференциальные уравнения,-1986, т. 22, .№12, с. 20592071

28. Ионкин Н.И. //Дифференциальные уравнения, -1977, т. 13, .№2, -с.294-304

29. Ионкин Н.И. //Дифференциальные уравнения, -1979, Т.15,№7, с.1279-1283

30. Исматов М. Достаточные условия абсолютной сходимости ряда Фурье по собственным функциям оператора теории упругости //Докл. АН Тадж.ССР.-1970 г. т. XIII № 5,- стр. 7-9.

31. Исматов М. Обоснование метода Фурье и достаточные условия существования классического решения для системы уравнений теории упругости. //Докл. АН Тадж.ССР. -1970, г. т. XIII, № 10,- стр. 6-9.

32. Исматов М. Обоснование метода Фурье и достаточные условия существования классического решения для системы уравнений теории упругости. //Материалы III Юб. конф.молодых ученных Тадж.ССР. посвященной 100-летию со дня рождения В.И.Ленина.-1970, -стр.114.

33. Исматов М. Разложение по собственным функциям оператора теории упругости. //Всесоюзный журнал "Дифференц. уравнения" -Минск, 1972, т.8, №4. -стр.659-670.

34. Исматов М. Разложение по собственным функциям оператора теории упругости в неограниченной области и обоснование метода Фурье для системы уравнений теории упругости. //ДАН Тадж. ССР.-1972. т. 15,№3, -с. 7-10.

35. Исматов М. Об условиях абсолютной сходимости разложений по собственным функциям оператора теории упругости и обоснование метода Фурье. //ДАН Тадж. ССР, 1973, т. 16, № 7, с. 3-6.

36. Исматов М. О сходимости рядов и обобщенных интегралов Фурье по собственным функциям оператора теории упругости. //Известия АН Тадж ССР, 1974,4(53), с. 15-27

37. Исматов М. Разложение по собственным функциям второй краевой задачи теории упругости и обоснование метода Фурье. //Всесоюзный журнал «Диф. уравнения». Минск, 1975, т.И, № 2, с. 2220-2230

38. Исматов М. Об абсолютной и равномерной сходимости обобщенных интегралов Фурье и обоснование метода Фурье. //ДАН Тадж. ССР, 1975, т.18, №10, с.3-6.

39. Исматов М. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям оператора теории упругости и обоснование метода Фурье. //Всесоюзный журнал «Диф. уравнения». Минск, 1976, т. 12, № 10. с. 1824-1831.

40. Исматов М. О разрешимости первой основной смешанной задачи динамики трехмерного упругого тела. //Всесоюзный журнал «Диф. Уравнения». Минск, 1976, т.12, № 12, с. 2223-2232.

41. Исматов М. О разрешимости смешанных задач теории упругости. //ДАН Тадж. ССР, 1977, т.20, №3, с. 7-10.

42. Исмати М.(Исматов М.). О некоторых несамосопряженных смешанных задачах математической физики. // Проблемы математики и информатики, ИПС, «Сохибкор» 2001, с.17-30. СХОДИМОС№

43. Исматов М. Абсолютная и равномерная/обобщенных интегралов Фурье В сборнике «Исследования по математике», Душанбе, Ротапринт, 1977, с. 44-58.

44. Исматов М. Абсолютная и равномерная сходимость разложений по собственным функциям оператора теории упругости и обоснование метода Фурье. //Труды Всесоюзной конференции по уравнениям с частными. Изд-во МГУ, 1978, с.319-320.

45. Исматов М. О существовании в целом обобщенного решения системы уравнений Власова для неограниченной области. //Жур. «Диф. Уравнения», //Минск, 1982, т.18, № 3, с.530-533.

46. Исматов М. О разрешимости некоторых неклассических смешанных задач. //ДАН Тадж. ССР, 1982, т.ХХХУ, № 9, с.519-522.

47. Исматов М. О корректной постановке некоторых смешанных задач для дифференциальных уравнений порядка 2т. //Изв. Тадж. ССР, Душанбе, 1983, №21, с.3-10.

48. Исматов М. О поведении энергии решения системы уравненийтеории упругости при больших временах. //Тезисы республ. конф. по уравн. мат. физ.-Душанбе 1983.-е. 32-35.

49. Исматов М. О смешанной задаче для одного уравнения, не разрешенного относительно старшей производной по времени. //ДАН Тадж.ССР.-1984,т.ХХХУ1, №3, -с. 121-125. г0

50. Исматов М. Об одной смешанной задаче для уравнения, описываюшёТГраспространение звука в вязком газе.//Все союзный журнал "Диф. уравнения",-Минск, 1984 т. 20, .№6,-с.1023-1036.

51. Исматов М. Решение одной смешанной задачи с неклассическим краевым условием.//ДАН Тадж. ССР,-1985, т. XXVI И, №8, -с. 427-430.

52. Исматов М. Об одной несамосопряженной задаче.//ДАН Тадж.ССР, Душан-бе.-1985, Т.ХХУ1П, №11, -с. 619-622.

53. Исматов М. О разрешимости неклассических смешанных задач. //Изв АН Тадж. ССР, -Душанбе, 1986, №3, с. 3-10.

54. Исматов М. Смешанные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных ¡2ш-го порядка. //Тезисы Всесоюзной школы молодых учен^йых "Функ. методы в прик. математики и матем. физике", ч.1,-Ташкент,1988. с.32-33.

55. Исматов М. Обратная задача рассеяния в теории упругости. //Всесоюзный журнал "Диф. уравнения -Минск, 1988.т. 24,№9,- с. 1586-1591.

56. Исматов М. Смешанные задачи для дифференциальных уравнения в частных производных 2т-го порядка. //ДАН Тадж.ССР, -1989. т.ХХХП, №3, -с. 159-162.

57. Исматов М. Об асимптотике энергии обобщенного решения системы урав-• нений теории упругости при больших временах. //Всесоюзный журналДиф.уравнения",-Минск, 1992. т.28, №6, с. 1038 - 1044.

58. Исматов М. Об асимптотике энергии обобщенного решения системы уравнений теории упругости при больших временах. //Материалы Респуб-лик.конф.посвященной памяти Т.Собирова. -Душанбе, 1990, с.54-57.

59. Исматов М. Об асимптотике энергии случайных источников колебаний теории упру гости.//Вестник ТГУ.-1990. Душанбе, №5, с.21-24.

60. Исматов М. О корректной разрешимости первой основной смешанной задачи в теории упругости //ДАН Тадж.ССР.-1992, т.ХХХУ, №1,-с. 10-14.

61. Исматов М. О корректной разрешимости второй и третьей смешанных задач теории упругости. //Материалы Респуб. научн. практич. конференции. -Душанбе, ИБО,-1993, -с.196-197.

62. Исматов М. О разрешимости смешанной задачи теории упругости с граничным оператором псевдонапряжения. //Социально-экономические проблемы перехода к рыночным отношениям. Тезисы докл. респ.научно-практич.конф.-Душанбе. ИБО, 1994,-с.119-120.

63. Исматов М. Решения одной не самосопряженной задачи теории теплопро-водности.//Тезисы докл. Респ. научно-прак. конференц. ИПС, Душанбе, 1996. -с.163-168.

64. Исматов М. Абсолютная и равномерная сходимость обобщенных интегралов Фурье в произвольной подобласти. //Материалы республиканской научно-практической конференции."Проблемахои тараккиети иктисодй ва ичтимоии Точикистон", ИПС, Душанбе-1997 .-с.222 225.

65. Исматов М. О матрицах Грина второй и третьей смешанных задач теории упругости //Тезисы докладов научно- практической конференции. ИПС, Душанбе, 1998, -с.77-79.

66. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений.//ДАН СССР,-1951. т.77, №1, -с. 11-14.

67. Кенджаев И.К. //ДАН Тадж.ССР.-1967,т. 10, № 12,-с.12-17

68. Кенджаев И.К. //ДАН Тадж.ССР,-1968, т.11, №1.,-с.10-15

69. Кенджаев И.К.//ДАН СССР,-1968,-т. 181,№6,-с. 1317-1319.

70. Красносельский М.А., Пустыльник Е.И. //ДАН СССР,-1958.-т.122, .№6, -с. 978-981.

71. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. -М. : Наука,-1966, -с.499.

72. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. ГТТИ, -1950.

73. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости,-М., 1963.

74. Купрадзе В.Д. Гегелиа Т.Г., Башелешвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. -М:, Наука,-1976,-с. 663.

75. Курант Р. Уравнения с частными производными, М.: мир.-1964

76. Ладыженская O.A. //ДАН СССР,-1950,-т.74, №3.-с. 417-420.

77. Ладыженская O.A. //ДАН CCCP.-I950.-T.75, .№6,-с. 763-768.

78. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения.-М., 1953,-с. 279

79. Ладыженская O.A. //ДАН CCCP.-I954.-T.97, №63.-С. 395-398.

80. Ладыженская О.А.//ДАН СССР, -1955,-т. 102, .№2,-с. 207-210.

81. Ладыженская O.A. //Матем. сб.-1958, т. 45 (87), №62.-С.123-158.

82. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа,-М.,Наука,-1967

83. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа,-М., Наука,-1973,-576с.

84. Ладыженская O.A. Докторская диссертация. -МГУ. 1953.

85. Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния.-М., 1971.

86. Левитан Б.М. Разложения по собственным функциям. ГИТТЛ. Москва-Ленинград,-! 950,-с. 159.

87. Левитан Б.М. //ДАН СССР,-1955, т. 102, №6, -с.1073-1076.

88. Лежнев В.А. //Дифференц. уравнения. -1973, т. 9, №3.с.511-526.

89. Лидский В. Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов. Труды Московского матем. об-ва.} -1962. -с.3-35.

90. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.-Мир, 1972

91. Лопатинский Б.Я. //Укр. матем. журнал,-1951, т5., №2

92. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. -М.: Мир, 1957

93. Михайлов В.П. //ДАН СССР,-i960,-т. 132, №2,-с. 291-294.

94. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных, -М.: Наука,-1976.-391с.

95. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. -ПТТИ, -1952.

96. Михлин С.Г. Курс математической физики. -М.: Наука, 1968.-е. 575.

97. Михлин С.Г. и др. Линейные уравнения математической физики. СМБ-М.: Наука,-1964. -с. 368.

98. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике.— М.,1970.

99. Наймарк М.А. Линейные дифф. операторы. -М.: Наука,-1969. -с. 526.

100. Петрашень Г. И. //ДАН СССР. -1945,-т. 47, №3,-с. 177-181.

101. Петрашень Г.И.//Уч.зан. ЛГУ, сер-мат. наук,-1950. вып. 21,-с. 24-70.

102. Петровский 'ИТ. Лекции об уравнениях с частными производными -М. :1961.-с.400.

103. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений -М.: 1965.

104. Пиранишвили З.А. Асланиди Н.П.//Сообщ. АН Груз. ССР, -1977,-т. 86, №2.-С. 267-271.

105. Повзнер А.Я.//Мат. сб.-1953.Т.32(74),№1. с. 109-156.

106. Повзнер А.Я. //ДАН СССР, -1955.-T. 104, -с. 306-363.

107. Рамм А.Г. Разложение по собственным функциям несамосопряженного оператора Шредингера.//ДАН СССР,-1970. т.191, №1, -с. 50-53.

108. Расулов М.Л.//Дифференц. уравнения, -1970, т. 6, №9.

109. Рухадзе Р.В. Разрешимости первой основной задачи динамики трехмерного упруго тела.//Сообщ. АН Груз. ССР, -I974.-T.73 ,№2-с. 289-292.

110. Рухадзе Р. В. О разрешимости второй основной и некоторых других смешанных трехмерных задач динамики теории упругости.//Сообщ. АН Груз. ССР,-1974,-т.74.№1.

111. Слободецкий Л.Н. Обобщенные прост-ва Соболева С. Л. и их приложения к краевым задачам в частных производных //Уч. зап. Ленингр.пед.ин-та им А.И Герцена. -1958.-т. 197.-c.54-l 12.

112. Смирнов В.М. Курс высшей математики. -М.: ГМФМИ, 1959, Т.5, -с. 655; -1957, т.4, с. -812;

113. Смолицкий Х.Л. Докторская диссертация, -ЛГУ, 1949.

114. Соболев С.Л.//ДАН СССР, -1951,-т. 81. №6,-с. 1007-1009.

115. Соболев С.Л. //Изв.АН СССР, серия математич.,-1954, т. 18, № 1,-с. 3-50.

116. Соболев С.Л. //Прикладн. матем. и технич. физика, -I960, №3. -с. 20-55.

117. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. -М.:Наука, 1988. -с.336.

118. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида. Труды МИАН, т. 83. (1965)

119. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям связанные с дифференциальными уравнениями второго пордка. т.1, ИЛ., Москва,- I960; т.2. ИЛ.,М.,-1961,-с.555.

120. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики, -М., Наука, 1972

121. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа .М.: Мир, 1968.-423с.

122. Эйдельман С.Д. Параболические системы,-М.: Наука, 1964,-с.445,

123. Эйдельман С.Д. Ивасишен С.Д//ДАН СССР,-1967,-т. 172, .№6,-с.1262-1265.

124. Эйдус Д.М. Принцип предельного поглашения в теории упруго-сти//Вестник Ленингр. ун-та,-1963, №7.-с.141-154

125. Agmon S //Comm. Pure Appl. Math.,-1962, v. 15, .№2.-p. 119-147.

126. Arima R //-J. Math. Kyoto Univ, 1964, v.4., -p. 207-244.

127. Friedrichs.K. On the boundary-valye problems of the theory of elesticity and Korn's inequality. //Ann.Math., -1947, V. 48„№2

128. Ikebe T //Jap. J. Math.-1967, v.36, -p. 33-55.

129. Kotake K, Narasimhan M.S. //Bull. Soc. Math. France,-1962. v.90 -p. 449-471.

130. Shizuta Y.//Proc. Japan Acad.-1963,V.39, P. 656-660.

131. Shenk N.A.//Arc. for Rat. mech. and analysis.-1966.V.21, №3