Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического и параболического типов с разрывными нелинейностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Ульянова Оксана Владиславовна

МЕТОД ВЕРХНИХ И НИЖНИХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ

УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО И ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С РАЗРЫВНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

01.01.02. - дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор В.Н.Павлеяко

ЧЕЛЯБИНСК - 1999

Содержание ВВЕДЕНИЕ

I Абстрактная схема метода верхних и нижних реше-

ний 21

1.1 Предварительные сведения..............................21

1.1.1 Монотонные операторы в полуупорядоченных банаховых пространствах..................21

1.1.2 Обобщенные производные. Пространства Соболева и теоремы вложения для них............26

1.2 Основная теорема (формулировка)......................31

1.3 Доказательство основной теоремы...............32

II Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностя-ми 34

2.1 Постановка задачи. Основные определения и обозначения........................................................34

2.2 Вспомогательные результаты............................37

2.3 План доказательства теоремы 2.1.1......................40

2.4 Завершение доказательства теоремы 2.1.1..............45

2.5 Следствие основной теоремы. Пример..................49

III Метод верхних и нижних решений для уравнений параболического типа с разрывными нелинейностя-

ми. 52

3.1 Постановка задачи.Основные определения и обозначения..... ...... ............ ..... 52

3.2 Вспомогательные утверждения. .......................55

3.3 План доказательства теоремы 3.1.1. ................58

3.4 Завершение доказательства теоремы 3.1.1. ...... 62

3.5 Следствия основной теоремы. .......... . . . 66

Список литературы . . .......................................69

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

Предметом исследования диссертации являются следующие краевые задачи:

- для уравнений эллиптического типа

Lu(x) = д(х,и(х)), (0.1)

Ви\г = 0, (0.2)

в ограниченной области Ü С Rn , п > 2 с границей Г класса С^а, а G (0,1], [14], где дифференциальный оператор

п ß d п д

L = ~ +jg ¥х)щ+с(ж)

равномерно эллиптический вО, а (0.2) - либо однородное граничное условие Дирихле м|г — 0, либо третье краевое условие

ди

dnL

du

+ сг(ж)м|г = 0,

= а^(х)их.со8(п,хА, п - внешняя нормаль к границе дпь ¿¿=1

Г, соэ- направляющие косинусы нормали п, функция а £ СЛДГ) неотрицательна на Г.

Коэффициенты а у, Ь^ с оператора Ь непрерывны по Гельдеру с показателем а вместе с частными производными на О,,

а

у

|г е Ci>e(r).

Нелинейность д(х,и) равна разности суперпозиционно измеримых функций д2(х,и) и д\(х, и), неубывающих по переменной и. Непрерывность д{х./и) по и не предполагается.

Сильным решением задачи (0.1)—(0.2) называют функцию и £ д > 1, удовлетворяющую уравнению (0.1) почти всюду на О, для которой след Ви{х) на Г равен нулю.

Будем говорить, что для уравнения (2.1) выполнено А1-условие, если найдется не более, чем счетное семейство поверхностей {Д-,г 6 /},

5,- = {(ж, и) € Нп+1 и = <рг(х),х е ,

(Рг 6 W/2oc,l(0) для которых при почти всех ж Е О неравенство дх^х^и—) < д\(х,и+) влечет существование г 6 I такого, что и = <Р{(х) и либо

(Ь(рг(х) + дг(х, (рг(х)-) - д2(х, <Р{(х))) X X (1(рг(х) + дг(х, (р{(;х)+) - д2(х, <р{(х))) > 0, либо Ь(рг(х) = д(х, (рг(х)).

- для уравнений параболического типа

Ьи(х,{) = д(х^,и(х^)), (0.3)

"|гт = 0, (0.4)

в цилиндрической области С}т = О х (О, Г), где О, - ограниченная область в^с границей $ класса О2 [15], где

д п д д п д

- равномерно параболический дифференциальный оператор в С^т, коэффициенты а^, Ь^ с которого и прозводные (а^)^ принадлежат пространству Ьоо ((¿т)-

Тт = (Б х [О, Г)) и {(ж,0)|ж Е П} - параболическая граница цилиндра С^т-

Функция д : (¿т х И И равна разности суперпозиционно измеримых функций д2(х^,и) и б/1 (ж, и), неубывающих по и. Непрерывность д(х^,и) по фазовой переменной и не предполагается.

Сильным решением задачи (0.3)-(0.4) называется функция и Е тоу (Ят) с нулевым следом на Гу, которая для почти всех (х, ¿) Е <5т удовлетворяет уравнению (0.3).

Требуется, чтобы для уравнения (0.3) было выполнено А1-условие, то есть найдется не более, чем счетное семейство поверхностей {5,-,г Е /}, 5,- = Е 11п+2 и = (р{(х,£),(х,£) Е фг}, 2 1

Уг € такое, что для почти всех (х,{) Е (¿т неравенство

д\{х^^и—) < дх(х, м+) влечет существование г Е /, для которого и = ц>{(х, ¿) и либо

(Ь(рг(х, £) + 01 (х, *, и-) - д2(х, и)) х

х + (ж, м+) - д2(х, и)) > 0, (0.5)

либо Ь(рг(х,1) = д(х^, (рг(х,{)).

Устанавливаются предложения о существовании сильных решений задач (0.1)—(0.2) и (0.3)-(0.4) в предположении, что существуют верхнее и нижнее решения и и и этой задачи, причем, й > и почти всюду на фг- Доказательства базируются на абстрактной схеме метода верхних и нижних решений, обобщающей соответствующий результат В.Н. Павленко из [23].

Далее будем пользоваться следующими обозначениями:

д-(х,и) = )mg(x,s), д+(х,и) =

8—*U

-(М,«) = ]img(x,t,s), g+(x,t,u) = lim g(x,t,s).

s—*u

g(x, u+) = limi g(x,s), g(x,u~) = lim g(x,s)\

§—s—

g(x,t,u+) = lini g(x,t,s), g(x,t,u—) = lim g(x,t,s).

Разрыв нелинейности g(x,u) в точке и будем называть "падающим", еслж д(х,и—) > д(х,и+)] "прыгающим", если д(х,и—) < д(х,и+).

Аналогично определим "падающий" и "прыгающий" разрыв в точке и для нелинейности g(x,t,u), если g(x,t,u—) > g(x,t,u-\-) и если g(x,t,u—) < g(x,t,u+), соответственно.

Математические модели ряда прикладных задач сводятся к краевым задачам эллиптического и параболического типов с разрывными по фазовой переменной нелинейностями. Так к задаче (0.1)—(0.2) сводятся математическая модель М.А.Гольдштика [5] отрывных течений несжимаемой жидкости; рассмотренная H.J. Kuiper [69] задача о нагреве проводника при постоянном напряжении и постоянной температуре на поверхности проводника в случае, когда электропроводность материала при переходе через определенные температуры меняется скачком. К задаче (0.3)-(0.4) сводятся задачи о нагреве проводника при постоянном напряжении (нестационарный случай) и о подземной газификации угля в постановке Г.И. Баренблатта [35]. На необходимость исследования

распределенных систем с разрывной нелинейностью было указано в монографии [15] O.A. Ладыженской, H.H. Уральцевой, В.А. Со-лонниковым в 1967 г.

Дадим краткий обзор основных результатов, полученных ранее в этой области. В связи с изучением проблемы существования корректных по отношению к различного рода возмущениям решений М.А. Красносельским и A.B. Покровским в [9] было введено

понятие полуправильного решения интегрального уравнения вида

ь

x(t) = / K(t, s)g(s,x(s)) ds

a

с непрерывным ядром K(t, s) и нелинейностью g(s,x) непрерывной по s, неубывающей но х, для которой

lim sup х~гд^,х) ~ 0.

(решение такой задачи называют полу правильным, если для почти всех х £ О, значения и(х) являются точками непрерывности функции д(х, •)). При этих предположениях в [9] устанавливается существование полуправильных решений с помощью теорем о неподвижных точках для уравнений с монотонными операторами в полуупорядоченных банаховых пространствах. В [10] этими же авторами был рассмотрен вопрос о существовании полуправильного решения задачи Дирихле

Ли + д(х, и) = 0, м|г = 0

в ограниченной области О, с достаточно гладкой границей Г, при условии, что нелинейность д(х, и) ограничена на О х R, суперпози-

ционно измерима и удовлетворяет одностороннему условию Липшица по переменной и:

(■и — v)(g(x, и) — g(x,v)) > —ц(г)(и — v)2,

|i/|,|v| < г, х G О, ¡1 : R+ R. Отметим, что последнее условие допускает лишь "падающие" разрывы по и у функции д(х,и).

В работе [13] этими же авторами были получены достаточные условия существования решения задачи Дирихле для уравнения (0.1), значения которых лишь на множестве нулевой меры могут быть точками разрыва нелинейности д(х, и). Требуется, чтобы д(х,и) как и в [10] удовлетворяла по переменной и одностороннему условию Липшица, и, кроме того,

\д(х,и)\ < ß < со, х ей, и G R.

Доказательство проводится с помощью метода неподвижных точек монотонных операторов в полуупорядоченных банаховых пространствах.

В [8] М.А. Красносельским и A.B. Лусниковым были получены общие предложения о неподвижных точках, являющихся точками непрерывности изучаемого монотонного отображения обобщающие [9], [10]. Здесь вводятся определения монотонного и монотонно компактного (ММК) оператора в полуупорядоченном конусом К банаховом пространстве Е, приводятся достаточные условия существования неподвижной точки ММК-оператора на конусном отрезке, обладающей свойством /¿-непрерывности, при этом х* -

точка h-непрерывности оператора А, если \\А(х*-\-eh) — —»■ О и \\A{x* — £h) — Ax*\\ —> 0 при е —► +0; полученные результаты применительно к задаче (0.1)-(0.2) позволяют установить существование полуправильного решения в предположении, что нелинейность д(х: и) удовлетворяет односторонннему условию Липшица и ограничена (см. [9], [10]).

Наиболее общие теоремы о существовании сильных решений краевых задач для уравнений в частных производных эллиптического и параболического типов с разрывными по фазовой переменной нелинейностями были получены К.-С. Chang, S. Carl, S Heikkila и B.H. Павленко. В [63] К.-С. Chang было доказано существование обобщенного решения задачи (0.1)—(0.2) методом обобщенных градиентов Кларка в случае, когда оператор L имеет вид

ь J—1

о

Напомним [63], что элемент и £ W* (О) называет-

ся обобщенным решением задачи (0.1)—(0.2), если для него почти всюду на О имеет место включение

L(u(x)) £ [д~(х,и(х)),д+(х,и(х))],

где д~(х,и(х)) = тт(д(х, и(х)—), д(х, и(х)+)), д+(х,и(х)) = maх.(д(х, и(х)—),д(х, м(ж)+)).

Кроме того, К.-С. Chang были найдены условия, при выполнении которых обобщенные решения первой краевой задачи являются сильными решениями, а именно: для почти всех х £ Q значение д(х,и) £ [д-(х,и),д+(х,и)] и для любого и £ R функция

д(х, и) удовлетворяет С-условию, т.е. множество D = {(ж, и) G fix R|g(x,w—) ф д(х,и+)} является объединением не более чем счетного семейства поверхностей класса Wf ioc за исключением, быть может, множества, проекция которого на О имеет меру нуль, причем, если какие-либо две из этих поверхностей совпадают в некоторой точке, то они совпадают и в некоторой окрестности этой точки, и для почти всех х G О из неравенства д(х,и—) ф д(х,и+) следует, что (х,и) лежит на одной из поверхностей D, и, если (р(х) -локальное представление этой поверхности вблизи точки (х, и), то либо L(<p(x)) G [д-(х,(р(х)),д+(х,(р(х))], либо L(<p(x)) =д(х,(р(х)).

Аналогично формулируются условия, при которых обобщенное решение задачи (0.3)-(0.4) является сильным решением этой задачи.

В [62] К.-С. Chang к исследованию краевых задач (0.1)—(0.2) и (0.3)-(0.4) применил теорию топологической степени для многозначных операторов. Предполагая, что нелинейность g(x,t,u) су-перпозиционно измерима и для нее верна оценка

\g(x,t,u)\ <M(x,t)

V(x,t) G Qt, и G R, M G Lp(Qr), p > n, L = ^ — Д, он доказал существование обобщенного решения задачи (0.3)-(0.4).

В [64] К.-С. Chang было доказано предложение о существовании сильного положительного решения задачи (0.1)—(0.2) в предположениях, что

(i) —д(х, и) = д0(х, u) + gi(x,u)-g2(x,u), где д0(х, и) - каратеодо-

риева функция, , и) - непрерывная по х при фиксированном и ж неубывающая по и при фиксированном х функция, причем существует конечное или счетное множество {мг-, ъ Е /} в R, такое, что для почти всех х Е О из д{(х,и—) ф gi(x,u+) следует, что и = щ

для некоторого i Е I.

(и) функция д(х,и) ограничена снизу положительной функцией, не зависящей от и.

Основы метода исследования краевых задач для уравнений эллиптического и параболического типов (в том числе с нелинейными граничными условиями) с гладкими нелинейностями, основанного на использовании верхних и нижних решений были заложены в работах H.Amman [39]—[43], Н. Amann и М. Crandal [43], Н. Brill [51] и других авторов. Эти результаты получили дальнейшее развитие в работах Badial М.[45] , N.Basil и M.Mininni [46], I.Massabo [72] , C.A.Stuart и J.F.Toland [75]. Характерным для этих работ является предположение о существовании верхнего Ш и нижнего и решений соответствующей краевой задачи с и < й. Как правило, помимо существования решения краевой задачи в конусном отрезке < и, й >, изучается проблема существования максимального и минимального решения в этом отрезке. В случае, когда нелинейность д(х,и) в уравнении (0.1) гладкая и возрастающая по и, минимальное (максимальное) решение в < и,ü > задачи (0Л)—(0.2) может быть найдено с помощью итерационной схемы:

Luk+i = д(х,щ) в О, 11

Вщ+1 = 0 на сЮ,

к = 0,1,2,...; «о = и (щ = w) [41]. Более тонкая техника используется в случае, когда предположение о неравенстве и < й отсутствует [65], с такой стуацией приходится сталкиваться при изучении резонансных краевых задач. Важно отметить, что предположение о существовании упорядоченных верхнего и нижнего решений краевой задачи позволяет сильно ослабить ограничения на рост нелинейности по фазовой переменной на бесконечности. C.A.Stuart и J.F.Toland применяя вариационные методы и метод верхних и нижних решений установили существование сильных решений задачи (0.1)—(0.2) в случае, когда коэффициент с дифференциального оператора L равен нулю и д(х,и) = д(и) не зависит от ж и имеет ограниченную вариацию на любом отрезке прямой.

Различные подходы к изучению краевых задач для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями, использующие верхнее и нижнее решения, были реализованы в работах S.Heikkila, S. Carl и V.Lakshmikantham. Предложенный S.Heikkila в [67] метод обощенных итераций был применен в [56] к задаче (0.3)—(0.4), в предположении, что существуют слабые нижнее и и верхнее и решения этих задач, и < м, и постоянная М > 0 такие, что д(х, t, s) + Ms - возрастающая по s на [и, й]. Устанавливается существование минимального и максимального слабых решений задачи (0.3)-(0.4) на < и, и >. В [57] рассматривается включение

Au + ß(u) Э F(u) в П, (0.6)

и = 0 на Ш, (0.7)

где О - ограниченная область в Rn с достаточно гладкой границей «90, А = - Е -¡¡¿:(a,ij(x)-£-) + Е - - равномерно эллиптиче-

ский дифференциальный оператор с а^, Ьг; £ L°°, Fu(x) = f(u(x)), / : R —> R, такая, что для некоторой М > 0 /(s) + М - неубывающая на R, ß : R —> имеет максимально монотонный график в R2. Доказывается, что, если существуют нижнее м и верхнее й решения задачи (0.6)—(0.7) и и < м, то в конусном отрезке < и,й > существуют минимальное и максимальное слабые решения этой задачи. Доказательство использует метод обобщенных итераций из [67]. При этом задача (0.6)-(0.7) заменяется на эквивалентное вариационное неравенство, порождающее монотонное в < > отображение, неподвижные точки которого совпадают с решениями вариационного неравенства.

В [59] эти же авторы изучают задачу

Au = f(u,u) в О, (0.8)

ди

— = д(и,и) на <90, (0.9)

где О и А те же, что и в (0.6), Jj - конормальная производная на <90, f(u,v), g(u,v) - непрерывны по первой переменной на R и существует М > 0 такая, что f(u,s)+ Ms, g(u,s) + Ms неубывающие по s функции на R. В предположении, что задача (0.8)-(0.9) имеет слабые нижнее и и верхнее й решения, и < й, устанавливается, что в конусном отрезке < и, й > она имеет минимальное

и максимально е слабые решения. Доказательство базируется на результатах о существовании решений вспомогательной краевой

задачи вида

Аи = /(ж, и) в О,

— = д(х,и) на <90,

с непрерыыными по и нелинейностями / и д. и обобщенном итеративном методе из [58].

В [61] изучается задача Дирихле для нелинейного эллиптического дифференциального включения вида

Аи + Р(и, и) Э д(и, и) в О, и = 0 на <90,

в ограниченной области О 6 R" с достаточно гладкой границей,

где Аи = — £ нелинейный равномерно эллипти-

—1 ^

ческий дифференциальный оператор в О, : R х R —{0} имеет максимально монотонный график в R по отношению ко второму аргументу, и /?(г, s) = [/(г, s — 0), /(г, s + 0)], где / непрерывная по первому аргументу и неубывающая по второму функция. Нелинейность д : R х R —> R предполагается непрерывной по первому аргументу и неубывающей по второму. В предположении о существовании нижнего и и верхнего и слабых решений, и<й, и некоторых дополнительных технических ограничениях устанавливается существование минимального и максимального слабых решений этой задачи. Доказательство проводится с помощью пе-

рехода от исходной задачи к эквивалентному квазивариационному неравенству с разрывной нелинейностью.

В [68] рассматривается начальная задача

х1 = A(t)x + g(t,x), ж(0) = ж0, (О.Ю)

t е J — [0, с], в банаховом пространстве Е, где {A(t),t Е J} семейство замкнутых линейных операторов с плотными областями определения D(A(t)) из Е, действующих в Е. С этим семейством связано семейство (T(t,s), 0 < s < t < с}, линейных ограниченных операторов в Е, таких, что A{t)x ~ lim T(t+hJ)x х £ D(A(t)) и

(i) T(t, t) = I, I - тождественный в Е оператор;

(и) T(t, s) • T(s, г) = T(t, v), 0 <r < s<t<c;

(iii) отображение T(t, s)x сильно непрерывно на Г = {(¿, s)| 0 < s < t < cj.

Непрерывность g(t, x) по x не предполагается. Если g : J xE —» E непрерывная и, если x дифференцируемое решение интегрального уравнения

t

x(t) = T(i, 0)х0 + J T(t, s)g(s, x(s))ds (0.11)

о

на J, то x решение задачи (0.10). Решение уравнения (0.11) называют тг'Ы-решением задачи (0.10). Устанавливаются результаты о существовании и единственности mild решений уравнения (0.11) и характере их зависимости от начальных данных, в предположении, что д(х, s) неубывающая по х (Е предполагается полуу-

порядоченным) и задача (0.10) имеет верхнее х и нижнее х mild-решения, х<х. Общие теоремы применяются к задаче (0.3)-(0.4) в случае неограниченной области О, когда g(x,t,u) неубывающая по и и существуют верхнее и и нижнее и решения, такие, что и<Ш.

Исследованию вопроса разрешимости поставленных задач посвящен ряд работ В.Н. Павленко [16]—[34]. В [16]—[19], [21], [24] к исследованию задач (0.1)—(0.2) и (0.3)-(0.4) применяется метод монотонных операторов. Приводятся общие теоремы существования операторного уравнения

Ах + F(x) = 0, (0.12)

являющихся точками радиал