Нелинейная краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений распространяющихся электромагнитных ТМ-волн в нелинейном слое тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВАЛОВИК Дмитрий Викторович

На правах

■копкси

003452514

НЕЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМ-ВОЛН В НЕЛИНЕЙНОМ СЛОЕ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

„ло да

КАЗАНЬ 2008

003452514

Работа выполнена на кафедре математики и IV атематического моделирования Пензенского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Смирнов Юрий Геннадьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Ильинский Анатолий Серафимович;

доктор физико-математических наук, доцент Карчевский Евгений Михайлович;

Ведущая орган изация: Московский государственный институт

радиотехники, электроники и автоматики (технический университет), г. Москва

Защита диссертации состоится 4 декабря 2008 г., в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете им. В. И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина.

Автореферат разослан 24 октября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент Е. К. Липачев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена решению нелинейной краевой задачи на собственные значения распространякмцихся ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра.

Актуальность темы

Изучение задач распространения электромагнитных волн в нелинейных средах является актуальным в связи с тем, что эти явления находят широкое применение в физике плазмы, в современной микроэлектронике, в оптике, в лазерной технике. Кроме того, они предсгавляют и самостоятельный математический интерес, поскольку такие задачи являются нелинейными краевыми задачами на собственные значения, общие методы решения которых недостаточно разработаны. Таким образом, прогресс в аналитическом исследовании подобных задач важен и с теоретической, и с практической точек зрения. Разработка численных методов для решения задач этого класса также является актуальной. Результаты аналитического исследования могут существенно помочь при разработке численных методов. Данное направление было и является предметом исследования многих авторов (В. П. Силин, П. Н. Елеонский, К. М. Ьеигщ, Н. V/. БЬигшапп, В. С. Серов, Ю. В. Шестопалов, Ю. Г. Смирнов).

Цель работы:

- исследование задачи распространения ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра;

- формулировка краевой задачи на собственные значения для распространяющихся ТМ-волн и исследование ее разрешимости;

- формулировки и доказательства тгорем о существовании и локализации собственных значений краевой задачи, а также теорем о предельном переходе к случаю линейной среды в слог и о первом приближении для собственных значении относительно параметра нелинейности.

Научная новизна:

— впервые получено дисперсионное уравнение для задачи распространения электромагнитных ТМ-волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра. Введены понятия собственного значения и собственной функции для нелинейной краевой задачи;

- предложен метод сведения нелинейной краевой задачи на собственные значения к дисперсионному уравнению и доказана теорема об эквивалентности решений краевой задачи и решений дисперсионного уравнения;

— доказаны теоремы о существовании и локализации собственных значений краевой задачи на основе изучения дисперсионного уравнения, а также теоремы о предельном переходе к случаю линейной среды в слое и о первом приближении для собственных значений;

- с помощью дисперсионного уравнения приближенно вычислены собственные значения и собственные функции краевой задачи.

Практическая значимость

Большое практическое значение в представленной работе имеет полученное дисперсионное уравнение, анализ которого позволяет не только доказать существование решений краевой задачи (а значит и исходной задачи о распространении волн), но и исспедовать свойства распространяющихся ТМ-волн в зависимости от различных параметров. Кроме того, полученное дисперсионное уравнение легко поддается численному решению на компьютере. Систему дифференциальных уравнений задачи также можно записать в виде, удобном для численных расчетов. Таким образом, имеется возможность вычислять не только собственные значения краевой задачи, но и собственные функции, отвечающие этим собственным значениям, а следовательно, изучать структуру поля электромагнитной волны.

Реализация и внедрение полученных результатов

Результаты, полученные в диссертации, включены в отчеты НИР и грантов, выполненных на кафедре математики и математического моделирования ПТУ: РФФИ 06-07-89063а.

Апробация работы

Основные результаты работы догадывались на научных конференциях и семинарах:

- Международной конференции «Days on diffraction» (Saint Petersburg, Russia, 2007);

- научном семинаре кафедры математики и математического моделирования Пензенского государственного университета (2008);

- научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина (2008).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 8 печатньп работ, список которых приведен в конце автореферата, две работы - из списка журналов, рекомендованных ВАК РФ.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы, содержащего 60 наименований. Работа изложена на 100 страницах машинописного текста, содержит 9 графиков.

СОДЕРЯСАНИЕ РАБОТЫ

Введение

Во введении приводится обзор работ по теме диссертации и вопросам, примыкающим к ней; обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, излагаются краткое содержание и основные результаты работы.

Первая глава

Эта глава посвящена постановке задачи для распространяющихся поляризованных электромагнитных ТМ-вотн в нелинейном слое с

нелинейностью, выраженной законом Керра. Из системы уравнений Максвелла выводится система дифференциальных уравнений, для которой в дальнейшем ставится краевая задача. В этой главе также находится алгебраический первый интеграл для указанной системы уравнений и доказывается формальная интегрируемость системы уравнений в квадратурах.

Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой с нелинейностью типа Керра, расположенный между двумя полубесконечными полупространствами х<0 и х> к в декартовой системе координат Охуг (рис. 1). Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость £1 > е0 и £3 > £(), соответственно, где £д - диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду ц. = ц0 — магнитная проницаемость вакуума.

X Е = Ез

и

о' / /' / ' / / / / / /е = е2 + вИ2/ /

Е = Е}

Рис. 1

Диэлектрическая проницаемость г внутри слоя 0 < х < /г определяется по закону Керра:

2

б = £2+Я|Е| ,

где а>0 и £2> тах(е1>ез) ~~ константы. Здесь Е2 - постоянная составляющая диэлектрической проницаемости е; а — коэффициент нелинейности.

Требуется отыскать собственные значения задачи, отвечающие поверхностным волнам, распространяющим« вдоль границ слоя 0 < х < И, т.е. собственным волнам структуры. Мы будем искать волны, гармонически зависящие от третьей координаты, и называть их собственными волнами структуры. Следует иметь в вид;,', что система дифференциальных уравнений, описывающая задачу, является нелинейной как относительно входящих в нее функций и >

соответствующих компонентам поля, так и относительно спектрального параметра у. Краевые условия, вытекающие из условий сопряжения, также являются нелинейными относительно искомого спектрального параметра. Электромагнитное поле Е, Н удовлетворяет уравнениям Максвеллам

го(Н = -/'озеЕ,

(1)

го1Е = /шр.Н,

где Е и Н - комплексные амплитуды, удовлетворяющие условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред дг = 0 и х = Н и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально за'г/хает при ->ю в областях лг<0 и х>Ь.

Рассмотрим ТМ-поляризованные волны

, , 8 ' И = |0, //у,0|. Обозначим — = (...) и, предполагая, что компоненты поля

гармонически зависят от г, получаем систему уравнений:

/уНу (х) = тгЕх (х);

Н'у(х) = -ко еЕ2 (х); (2)

/уЕх (дг) - Е1 (д:) = т\1Ну (х),

здесь у - неизвестный спектральный параметр - постоянная распространения электромагнитной волны. Дальше будем считать у

2

действительным (так что |е| не зависит от г).

2 2

Вводя обозначения к = ш Ц£() с ц = и вып°лияя нормировку в соответствии с формулами

х = кх, 4-= ¿4:, у = (¡= !'2' 3)' 5 =

ах их к £о ео

мы переобозначаем Е2 = Z(x} и ¡Ех = Х(х).

Опуская значок тильды, из системы (2) получаем следующую систему в нормализованной форме:

<р-г Ж

+ у— = гг,

е =

ск1 сЬ (3)

ск у

Будем искать те значения спектрального параметра у, которые отвечают действительным решениям X, 2 системы (3), где

Е|, х <0,

г2+а\хг+22^,0<Х<И, (4)

Е3, х > /г.

Также будем полагать, что функции Х(х), £(*) дифференцируемы в слое так, что

X(х)еС(-оо; 0]пС[0;/г]п[А; +<»)п пс^-оо^пс'^/^пс'^ + ю); (5)

г(х) е С(-оо; + оо) п С2 (-оо; 0) п С2 (0; А) пС2 (А;+оо).

Считаем, что у удовлетворяет условию тах(Е1,£з)<у2 <Е2-Решение уравнений Максвелла будем искать во всем пространстве. Для полупространств х<0, £ = £] и х>И, к = Ез решение системы (3) не представляет трудностей.

Внутри слоя 0<х<Ь система (3) становится нелинейной и допускает алгебраический первый интеграл:

X2 ¡2^2 + аХ2 + aZ1^{z1 + аХ2 + а7? - у2) - ау2Х2) +

\

где С] - константа интегрирования.

(б)

Вторая глава

Во второй главе рассмотрена постановка краевой задачи (задачи сопряжения) для системы дифференциальных уравнений, полученной из системы (3).

Сформулируем для этой системы определение собственного значения и собственной функции.

2

Внутри слоя 0 < х < Н, е = 82 + а|Е| система имеет вид

с1Х 1

2 а(е2 " У2 + а (х2 + 22 ))х2 + у2 [г2 + а^Х2 + 22 )) у е2+3 аХ2+а72

= -ЦЧ-у2+а(х2+72))х.

(7)

1,

сЬс у*

Условия сопряжения дают

Их=о=0' ии=0' И,=0 =°> ®

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор первого порядка

— и определим оператор Б: ск

Б--

й 0

(Ьс

0

(Ьс,

9

Пусть F и G(F, у) обозначают векторы-столбцы:

где и являются искомыми функциями, а 0\ и являются

правыми частями уравнений системы (7). Число у является спектральным

. , [еХ(Х)

параметром. Также будем рассматривать вектор-столбец N[x)= . .

V 2\х)

Перепишем задачу, используя введенные обозначения.

Для полупространства л; < 0, е = ej , N =

ЕгХ У Z ,

получаем

уDF-

Ь 0

F = 0.

Внутри слоя 0<x<h, Е = е2+а|Ер, N = система принимает вид

(£2+a(*2+Z2))x

(9)

, и

V

L(F,y) = DF-G(F, у) = 0.

(10)

Для полупространства х> h, £ = £3, N =

К Z у

получаем

уDF-

V< —Е3 О

F = 0.

Условия сопряжения (8) приводят к условиям

№)Lo=°> ["MiU=«•

od

(12)

где [/(*)] = lim fix)- Hm fix), что для вектора обозначает l ;jx=X0 х^х0+0

переход к пределу по каждой компоненте вектора.

Сформулируем краевую задачу (задачу сопряжения). Требуется найти ненулевой вектор Р и соответствующие собственные значения у, такие, что Р удовлетворяет уравнениям (9)-(11) и условиям сопряжения (12). Кроме того, компоненты вектора Р удовлетворяют условию

(1 (Г|

Х(х) = 0 п и г(х) = 0 п при [дс|->00. (13)

\\хи 1И,

Определение 1. Число у - у(), при котором существует ненулеБое решение Р задачи (9)—(11) при условиях (12) и (13), будем называть собственным значением задачи. Решение Р, которое соответствует собственному значению, будем называть собственным вектором задачи, а компоненты А'(х) и 2(х) вектора Р - собственными функциями.

Найденное дисперсионное уравнение имеет вид

у -е,

\ /с1ч + ^ + 1)Т = >1, (14)

£з

Ез

где / = /(т|) =22 V-//¿П.

и (V > 0 является целым числом. Кроме того, функции т. и г) связаны алгебраическим уравнением (первым интегралом)

у^р-с,)

ц =---^---, где С\ - постоянная интегрирования.

С1+Зт2-2т3-2т(2-т)т0

Легко показать, что все необходимые интегралы сходятся.

Постоянная интегрирования С\ вычисляется из условий сопряжения

и равна

С,=т2(й)-

2^т(й)(2-х(Л))(т(А)-т0)

где

I_

Н(и)

т(Л) = —у—, = ~г=£3 - начальное условие

(падающее поле), а Л^/г) является корнем уравнения третьей степени:

\2

е2 +

+-

м

= 0:

2а \

¿Ы^'Я 40 К>):

1/3

уя;

(а)

2а \

У

-а/з

Формула (14) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого Л. Нужно отметить, что когда /У=гО, то возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать относительно у каждое из получающихся уравнений. Все полученные у будут составлять множество постоянных распространения, на которых, и только на которых, будут распространяться волны в слое при данном И. На самом

деле N будет принимать все целые значения от 0 до ~ , где [•] - целая

_Т _

часть числа.

Теорема 1. Краевая задача на собственные значения (9}-(11) с условиями (12) и (13) имеет решение - собственное значение, тогда и только тогда, когда это собственное значение является решением дисперсионного уравнения (14).

Дисперсионное уравнение в случае линейной среды в слое выглядит следующим образом:

arctg

Е2а/£2-72(£1 Vr2 ~еЗ + !-3Л2-El

+(Лг + 1)л = /ф2-'/2-

(16)

Тогда справедлива

Теорема 2. Пусть у = у(а) является решением краевой задачи на собственные значения (9)-{11) с условиями (12) и (13). Тогда

у(0)= lim у (а)

а->0

является решением дисперсионного уравнения (16).

Используя дисперсионное уравнение, можно найти первое приближение к собственным числам. Пусть

J(a,y) = h,

(17)

где J{cг,y) - левая часть уравнения (14).

Выражение (17) определяет неявную функцию у = у(а). Поскольку эта

функция является дифференцируемой в окрестности точки а = О, ее разложение в ряд Тейлора имеет вид

у = у(а) = у(0) +

dy(a)

da

а=0

a + o(a2) = yo+yia+0(a2), (18)

где уд является решением уравнения (16), рассматриваемого как уравнение относительно у. И имеет место

Теорема 3. Пусть краевая задача на собственные значения (9)-(11) с условиями (12) и (13) имеет решения у = у(я).

Тогда

у(а) = у(0) + у1а + о(а2),

(19)

где у(0) - решение дисперсионного уравнения (16), а у] выражается следующей формулой:

сЬ

а= О

8ув32(в2-у2)(у2-н3) 61'

(20)

где

Р1=2е1(е2-2у2)>

Е1\ Г

ч

Ез

(Ы

+ (зе2+2у2)(Е2-2у2)х ____е3л/у2-£3_

"е2(у2-Е1) + Е2(Е2-у2)"е2(у2-ез)+£з2(Е2-У2) | Зе2 - 4у2е2 + 4у4 ^

е2

(21)

а =

£1(£2~£1)

_£з (£2 ~Ез)_<

^(в|(У2-£з) + В32(Е2-У2)) ^

(22)

Таким образом, дисперсионное уравнение позволяет вычислять приближенные значения собственных чисел.

На основе полученных результатов, сформулируем теоремы о существовании и локализации собственных значений рассматриваемой краевой задачи. Пусть функция J = .l(a,y,N) обозначает левую часть

уравнения (14). Отметим, что inf J (а, у, N)>0, а

у2б(шг1х(Е1,Е3), е2)

sup J [а, у, N)<cc для любого целого неотрицательного y2e(max(E1;E3)t е2)

конечного N. Более того, из самого вида дисперсионного уравнения следует, что при уменьшении N значения нижней и верхней границ уменьшаются, а при увеличении N - увеличиваются. Теорема 4. Пусть

А}°)= inf J (а, у, 0), 4°)= sup J (а, у,0),

у2 e(max(El, е3 ), е2 ) f e(max(ei, е3 ), е2 )

тогда для любого существует, по крайней мере, одно

собственное значение задачи (9)-(11) с условиями (12) и (13). Теорема 5. Пусть

lif} = inf j(a,y,£), А^ = sup J (а,у, к),

y2e(max(£b e3 ), e2) y; e(max(E,, e3), e2 )

и пусть Ae^A^, A^j для всех k = 0,N, тогда существует, по крайней

мере, N +1 собственных значений задачи (9)-(11) с условиями (12) и (13). Теорема 6. Пусть

inf J(a,y,k),^ = sup J (а,у, к)

у2 e(max(El, б3 ), е2 ) у! 6(max(E,, е3 ), е;! )

и А таково, что найдутся такие / и j, что А^'-' < A, a > А и < А, а

> А, тогда существует, по крайней мере, j-i собственных значений задачи (9)-(11) с условиями (12) и (13).

Рассмотренный метод применим к аналогичной задаче в случае анизотропного нелинейного слоя. Для такого случая рассмотрены постановка задачи, решение системы дифференциальных уравнений, условия сопряжения и выведено дисперсионное уравнение дня собственных значений.

Третья глава

Данная глава посвящена численным результатам и обсуждению некоторых свойств дисперсионного уравнения. Проведено сравнение между решениями дисперсионного уравнения в случае линейной среды в слое, нелинейного дисперсионного уравнения, а также первого приближения для собственных значений. Результаты расчетов проиллюстрированы графиками соответствующих зависимостей. Также проведены расчеты поведения решений нелинейного дисперсионного уравнения при различных значениях параметров. Проведено вычисление собственных значений в зависимости от толщины слоя, коэффициента нелинейности и начальных данных. Кроме того, рассматривается случай, когда краевая задача имеет три собственных значения: вычислены собственные значения и построены графики собственных функций для каждого из них.

На рис. 2 представлены графики решений дисперсионного уравнения как функции Л. Сплошная линия характеризует решение дисперсионного уравнения для случая линейной среды в слое (16), штриховая — расчеты по первому приближению (20), а пунктирная — решения дисперсионного уравнения для случая нелинейной среды в слое (14). Расчеты проведены при следующих значениях параметров и

начальных данных: е^ = Б3 = 1, £3 = 9, = 1. В случае первого приближения и дисперсионного уравнения в случае нелинейной среды в слое а было взято равным 0,1.

Рис 2

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Впервые получено дисперсионное уравнение, позволяющее делать заключение о существовании решений крас:вой задачи на собственные значения. Доказаны теоремы о существовании и локализации собственных значений нелинейной краевой задачи.

2. Решение краевой задачи на собственные значения распространяющихся ТМ-волн в нелинейном слое бьшо проведено методом сведения ее к эквивалентному дисперсионному уравнению. Доказана теорема эквивалентности решения краевой задачи на собственные значения и дисперсионного уравнения.

3. Найдена асимптотика первого порядка для собственных значений в зависимости от коэффициента нелинейности. Выполнены численные расчеты собственных значений, соответствующих им собственных функций краевой задачи и проведено сравнение с результатами расчетов по первому приближению.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.Валовик, Д. В. Электромагнитная задача дифракции TM-волн на нелинейном полубесконечном слое / Д. В. Валовик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2007.-№2.-С. 19-25.

2. Валовик, Д. В. Распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2007. -№ 3. - С. 35-45.

3. Валовик, Д. В. Нелинейная задача на собственные значения для ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия вузов. Математика. - 2008. -№10.-С. 70-74.

4. Валовик, Д. В. Расчет постоянных распространения ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. - 2008. -Т. 53,-№8. -С. 934-940.

5. Валовик, Д. В. Распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном анизотропном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2007. - № 4. -С. 51-59.

6. Валовик, Д. В. О распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. - Т. 48. - №12. -С. 2186-2194.

7. Валовик, Д. В. О существовании решений нелинейной краевой задачи на собственные значения для ТМ-поляризованных электромагнитных волн / Д. В. Валовик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 2 - С. 86-94.

8. Valovik D. V. Analysis of the TM-wave propagation in nonlinear dielectric layer planar waveguides with Kerr nonlinearity / D. V. Valovik, Yu. G. Smirnov // Days on diffraction: International Conference (Saint Petersburg), 2007. - P. 81.

ВАЛОВИК Дмитрий Викторович

НЕЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМ-ВОЛН В НЕЛИНЕЙНОМ СЛОЕ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Редактор Ю. В. Коломиец Технический редактор А. Г. Темникова

Подписано в печать 21.10 08. Формат 60;<84'/16. Уел печ. л. 1,16 Заказ № 008852. Тираж 100.

Отпечатано в Информационно-издательском центре ПТУ Пенза, Красная, 40, т.: 56-47-33

Введение.

1 Система дифференциальных уравнений распространяющихся электромагнитных ТМ-волн в нелинейном слое.

1.1 Постановка задачи для случая изотропной среды в слое.

1.2 Решение системы дифференциальных уравнений распространяющихся электромагнитных ТМ-волн.

1.3 Краевые условия и условия сопряжения.

2 Нелинейная краевая задача на собственные значения.

2.1 Формулировка краевой задачи на собственные значения.

2.2 Дисперсионное уравнение для собственных значений.

2.3 Предельный переход к случаю линейной среды в слое.

2.4 Первое приближение для собственных значений.

2.5 Теоремы существования и локализации собственных значений.

2.6 Случай анизотропного нелинейного слоя.

2.6.1 Постановка задачи.

2.6.2 Решение системы дифференциальных уравнений.

2.6.3 Условия сопряжения и дисперсионное уравнение.

3 Результаты расчетов собственных значений и собственных функций.

3.1 Сравнение результатов расчетов собственных значений в случае линейной и нелинейной среды в слое с первым приближением для собственных значений.

3.2Расчет собственных значений и собственных функций в зависимости от различных параметров.

Задачи распространения электромагнитных волн в нелинейных средах интенсивно изучаются в течение нескольких десятилетий. К таким задачам относится распространение волн в волноведущих структурах и, в частности, распространение волн в диэлектрическом слое. Явления распространения электромагнитных волн в нелинейных средах представляют как самостоятельный интерес, так и находят широкое применение, например: в физике плазмы, в современной микроэлектронике, в оптике, в лазерной технике. Нелинейные эффекты наблюдаются в таких соединениях, как жидкие кристаллы [1], полупроводники 1п8Ь и ЩСс1Те и т.д. Вследствие этого большое значение приобретает разработка математических моделей для таких задач и методов их решения. Математические модели с учетом нелинейных эффектов и некоторые результаты представлены в работах П. Н. Елеонского и В. П. Силина [2, 3].

К основным нелинейным эффектам, возникающим в веществе при распространении в нем электромагнитных волн, относятся явления самофокусировки, дефокусировки и самоканализации лучей и т.д. [4-6]. В связи с большим количеством нелинейных эффектов и различным их влиянием на распространение электромагнитных волн в веществе большое значение приобретает аналитическое и численное изучение таких явлений. Учет нелинейных эффектов при построении математических моделей для описания подобных явлений приводит к задачам решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, точнее, к нелинейным краевым задачам на собственные значения [2, 3, 7, 8], которые в большинстве случаев не поддаются решению в аналитическом виде. Подобные трудности приводят к тому, что исследователи рассматривают такие задачи при некоторых упрощениях [9] или аппроксимируют решения простыми функциями [10] без достаточного обоснования.

Впервые уравнения, описывающие распространение волн в нелинейной среде, с нелинейностью, выраженной законом Керра, были выведены в 1971—1972 гг. в пионерских работах П. Н. Елеонского и В. П. Силина [2, 3].

Наиболее изучены явления распространения ТЕ-поляризованных электромагнитных волн. Результаты, связанные с распространением электромагнитных ТЕ-волн в различных волноведущих структурах как в волноводе, так и в слое, представлены в [6-8, 11-14]. Работы Ю. Г. Смирнова и С. Н. Куприяновой [7, 8] посвящены изучению краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТЕ-волн, распространяющихся в нелинейном круглом (цилиндрическом) волноводе с нелинейностью, выраженной законом Керра. Для решения краевой задачи на собственные значения в [7, 8] применяется метод функций Грина, а решение получающегося нелинейного интегрального уравнения находится итерационным методом. Статья [6] посвящена изучению распространения электромагнитных волн в нелинейном диэлектрическом слое с поглощением, причем отдельно изучается случай нелинейности по закону Керра. В работе Н. W. ЗсЬигшапп, В. С. Серова и Ю. В. Шес-топалова [13] изучается отражение и прохождение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейном слое. Слой расположен между двумя полубесконечными линейными средами. Все среды предполагаются средами без потерь, а также немагнитными изотропными и однородными. В этом случае удается проинтегрировать получившиеся обыкновенные дифференциальные уравнения и выразить компоненты электромагнитного поля в терминах эллиптической функции Вейерштрасса.

Случай распространения электромагнитных ТМ-волн в нелинейных средах является более сложным, чем случай ТЕ-волн, т.к. наличие двух компонент электрического поля сильно усложняет анализ [15]. Это связано с тем, что диэлектрическая проницаемость достаточно просто выражается в терминах компонент электрического поля и наличие двух компонент электрического поля приводит к более сложной зависимости диэлектрической проницаемости от интенсивности электромагнитного поля. А это в свою очередь приводит к усложнению уравнений, описывающих распространение волн. В уже упоминавшейся работе [9] рассматривается линейный диэлектрический слой, окруженный с одной или двух сторон нелинейной средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Подобная задача для ТЕ-волн решена аналитически [16, 17]. Для случая ТМ-волн в [9] получено дисперсионное уравнение для собственных значений задачи, которое представляет собой алгебраическое уравнение. Ранее в [18] было получено аналогичное уравнение при условии, что в законе Керра учитывается только продольная компонента Ех электрического поля. Позднее в [19] было показано, что доминирующий нелинейный вклад в диэлектрическую проницаемость пропорционален поперечной компоненте Ег . В работах [20, 21] рассматривается распространение электромагнитных ТМ-волн в нелинейном полупространстве с нелинейностью по закону Керра. Приводятся формальные решения получающихся дифференциальных уравнений в квадратурах. В [20] также представлены дисперсионные уравнения как для случая изотропной, так и анизотропной среды в нелинейном полупространстве. Дисперсионные уравнения для собственных значений представляют собой рациональные функции значений компонент поля на границе раздела сред и находятся аналитически из простейших алгебраических уравнений. Авторы находят первый интеграл системы, описывающей распространение волн (так называемый закон сохранения). Уравнения поля являются дифференциальными уравнениями первого порядка, разрешенными относительно производной. Это и позволяет формально проинтегрировать получающиеся уравнения при условии, что необходимую компоненту можно выразить из первого интеграла. Авторами приводится необходимое и достаточное условие того, чтобы дифференциальное уравнение, связывающее компоненты поля, являлось уравнением в полных дифференциалах, и, следовательно, его решение (первый интеграл) можно было найти аналитически. Это условие выглядит следующим образом: dsrY дг77 —Цт, где exv и z2Z - компоненты диагонального тензора диэлек-дЕ22 дЕ2х трической проницаемости в направлениях Ох и Oz соответственно. Однако складывается впечатление, что это условие является тривиальным, т.к. закон Керра влечет за собой это условие, а если использовать более сложную нелинейность, то это условие не выполняется. В некоторых случаях более сложной нелинейности уравнение удастся проинтегрировать, найдя подходящий интегрирующий множитель (авторы упомянули об этом в конце указанной работы). В случае аналогичной задачи для ТЕ-волн наличие всего лишь одной компоненты электрического поля позволяет получить точные результаты [22-27]. В работах [28, 29] распространение ТМ-волн изучается в терминах магнитной компоненты электромагнитного поля. В работе К. М. Leung [28] изучается распространение ТМ-волн в нелинейном изотропном полупространстве, причем нелинейность - это произвольная функция квадрата интенсивности электрического поля, в качестве примера найденные результаты применяются к случаю нелинейности типа Керра. Такие среды экспериментально изучены в [30, 31]. Также в [28] получен первый интеграл системы и дисперсионное уравнение для собственных значений. Также в указанной работе рассматриваются эффекты самофокусировки и дефокусировки электромагнитных волн. Работа [29] посвящена изучению рассеяния электромагнитных ТМ-волн в тонком нелинейном слое. В качестве диэлектрической проницаемости выступает произвольная функция от квадрата интенсивности электрического поля. Также представлено формальное решение в квадратурах. В [19] проводится обоснование с физической точки зрения возможности учета только одной из компонент электрического поля в выражении для диэлектрической проницаемости в случае распространения электромагнитных ТМ-волн в нелинейном слое. Проводится сравнение с аналогичным случаем для ТЕ-волн.

Необходимо заметить, что большинство авторов при рассмотрении задач о распространении волн в нелинейной среде основное внимание уделяют решению получающихся дифференциальных уравнений и не акцентируют внимание на выводе дисперсионных уравнений для собственных значений. Подобные задачи представляют собой задачи на отыскание собственных значений, и поэтому рассматривать их необходимо именно как краевые задачи на собственные значения. Это связано с тем, что главный интерес представляет нахождение тех значений спектрального параметра (по сути собственных чисел), при которых волна в указанной структуре распространяется. Нахождение же решений системы дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемое явление, дает математическое выражение компонент электромагнитного поля и ничего не говорит о том, при каких значениях спектрального параметра волны существуют. С математической точки зрения дисперсионное уравнение является уравнением относительно спектрального параметра, анализ которого позволяет делать заключение о существовании решений краевой задачи на собственные значения.

Надо отметить, что дополнительные трудности в данной работе связаны с тем, что дисперсионное уравнение для собственных значений хоть и получено в замкнутой форме, однако не проинтегрировано в явном виде. Этот факт осложняет анализ количества собственных значений для одних и тех же начальных данных и краевых условий, в отличие от, например, работы [20], где рассматривается задача для полупространств и собственные значения являются рациональными функциями начальных данных и краевых условий.

Таким образом, можно сказать, что наиболее важные результаты по распространению ТМ-волн в нелинейном слое (система дифференциальных уравнений, первые интегралы, а из них, фактически, следует интегрируемость в квадратурах) были получены в работах П. Н. Елеонского и В. П. Силина [2, 3], выполненных в 1971-1972 гг. и работах К. М. Leung [28,

29]. Но основной интерес в таких задачах связан с нахождением дисперсионного уравнения, а как раз его долгое время не удавалось получить и исследовать. Впервые это сделано в работах автора сначала для случая слоя малой толщины [32], а затем и для слоя произвольной толщины [33-38].

При исследовании линейных спектральных задач теории волноводов применялись различные методы (см. [39] и имеющуюся там библиографию). Основными методами являются: вариационный метод [40-42], метод оператор-функций [43], метод интегральных уравнений [44], метод операторных пучков [45, 46] и некоторые другие.

Будем считать, что собственным значением описываемой ниже задачи является такое значение спектрального параметра (константы распространения) у = уд, при котором задача имеет ненулевое решение. Это ненулевое решение называется собственной функцией, соответствующей собственному значению уд. В пункте 2.1 главы 2 определения собственного значения и собственной функции будут сформулированы строго.

Настоящая работа посвящена изучению распространения электромагнитных ТМ-волн в нелинейном диэлектрическом слое, находящемся между полупространствами с не зависящими от интенсивности поля диэлектрическими проницаемостями (см. рис. 1 ниже). В слое диэлектрическая проницаемость выражается законом Керра. Поглощение не учитывается. Все среды предполагаются однородными и немагнитными. Предположения о доминирующей доле вклада одной из компонент электрического поля в выражение для диэлектрической проницаемости не учитываются, и все уравнения выводятся в общем виде.

X е = Сз А / / / / '///// / / / / / / / / / / / / / / /' / / / / -''У / / / / / / / / / / / / / <е = Е2+аИ / /' / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 0 / / / / / / .' .' / / / //.'// ¿ г = £\

Рис. 1

Распространение электромагнитных волн описывается уравнениями Максвелла: го 1Н = -¿соеЕ;

1) го1Е = /соцН.

Рассмотрим ТМ-поляризованные волны

Будем предполагать, что компоненты поля гармонически зависят от г, Ну = Ну (х)ехр(/у2;); Ех = Ех (х) ехр(/уг); Е2 = Е2 (х) ехр (/уг), здесь у неизвестный спектральный параметр - постоянная распространения электромагнитной волны [3]. Дальше будем считать у действительным (так что

I |2

Е не зависит от т).

Обозначим Е2=2{х) и 1ЕХ = Х(х). Пусть Е и 0[Е, у) обозначают векторы-столбцы где Х(х) и Z(x) являются искомыми функциями, а 0\ и ~ некоторые непрерывные функции. Число у является спектральным параметром. Также будем рассматривать вектор-столбец N(x) задачу, используя введенные обозначения. Для полупространства х<0, е = е1? N

2Л гХ{х)

А*)

Сформулируем

V 2 у получаем у/Ж0 у2-8! О = 0.

2) у

Внутри СЛОЯ 0<х<и, 8 = 82+Я|Е| , ДГ = и система принимает вид

ЦЕ,у) = ВЕ-в(Е,у) = 0.

О)

Для полупространства x>h, 8 = 83, N = z3X Z получаем уDF0 У у 0

4)

Cd \ 0 dx

0 d

V dx) где D =

Условия сопряжения, накладываемые на функции Х(х) и Z{x) на границах раздела сред, приводят к условиям

5) где Г/(х)1 = lim /(х) — lim f(x) и f - вектор, а предельный переход совершается по каждой компоненте вектора.

Требуется найти ненулевой вектор F и соответствующие собственные значения у такие, что F удовлетворяет уравнениям (2)—(4) и условиям сопряжения (5). Кроме того, компоненты Х[х) и Z(x) вектора F удовлетворяют условию

Г , \

Х(х) = 0 и Z(х) = О vrly

VIх! У при X —^ 00.

Известно (см., например [20, 29, 32-35, 37]), что функции Х(х) и

Z{x) связаны алгебраическим уравнением (первый интеграл), используя которое можно выразить функции Х(х) и Z{x) в квадратурах. Первый интеграл позволяет перейти от условий сопряжения к краевым условиям и, таким образом, от задачи сопряжения к краевой задаче.

Из вышесказанного видно, что явление распространения электромагнитных ТМ-волн сводится к нелинейной краевой задаче на собственные значения. Еще более усложняет задачу то обстоятельство, что спектральный параметр входит как в сами уравнения, так и в краевые уеловия нелинейным образом. Дисперсионное уравнение для собственных значений задачи получено в диссертации и имеет вид 1

- | /с1г[ + {Ы + \)Т = к, (6) з

00 где / ^/(г|)=——---, N> О является целым числом, Т= | /с1г\, ух + г| (т — 1) а переменные г| и х связаны с переменными X ж 2 следующими фор

8 2+а1х2 + г2) х мулами: х =-=-- и г\ = ух—. у

Формула (6) - дисперсионное уравнение, справедливое для любого к. Когда N * 0, возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать относительно у каждое из получающихся уравнений. Все полученные у будут составлять множество собственных значений задачи для данной толщины к слоя. На самом деле N будет принимать все Л

Т.

Также сформулированы и доказаны теоремы о существовании и локализации собственных значений. Уравнение для собственных значений найдено как для случая изотропного нелинейного слоя, так и для случая анизотропного нелинейного слоя.

Случай, когда диэлектрическая проницаемость в слое постоянна 8 = 82, является классическим в электродинамике и хорошо изучен (см., например [47]). Дисперсионное уравнение для собственных значений в этом случае имеет следующий вид: целые значения от 0 до где [•] - целая часть числа. г Ч

Г-(-2) 2 12 /2 * у 8^3(82-у ]-е2>/У -¿зф -£1

Уже в случае линейной среды в слое уравнение для собственных значений является трансцендентным.

Данная работа содержит следующие основные результаты:

1. Впервые получено дисперсионное уравнение, позволяющее делать заключение о существовании решений краевой задачи на собственные значения. Доказаны теоремы о существовании и локализации собственных значений нелинейной краевой задачи.

2. Решение краевой задачи на собственные значения распространяющихся ТМ-волн в нелинейном слое было проведено методом сведения ее к эквивалентному дисперсионному уравнению. Доказана теорема эквивалентности решения краевой задачи на собственные значения и дисперсионного уравнения.

3. Найдена асимптотика первого порядка для собственных значений в зависимости от коэффициента нелинейности. Выполнены численные расчеты собственных значений, соответствующих им собственных функций краевой задачи и проведено сравнение с результатами расчетов по первому приближению.

Диссертация содержит три главы.

В главе 1 описывается постановка задачи для распространяющихся электромагнитных ТМ-волн в нелинейном изотропном слое с нелинейностью типа Керра.

В первом пункте проведен формальный вывод системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих распространение ТМ-волн из уравнений Максвелла.

Во втором пункте для полученной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений найден алгебраический первый интеграл и доказана формальная интегрируемость системы в квадратурах.

В третьем пункте из условий сопряжения и первого интеграла находятся все необходимые значения функций на границах раздела сред. Первый интеграл позволяет перейти от изучения задачи сопряжения к изучению краевой задачи.

Вторая глава посвящена формулировке и исследованию разрешимости краевой задачи на собственные значения. Показано, что краевую задачу можно свести к дисперсионному уравнению, и, таким образом, вопрос о разрешимости краевой задачи сводится к вопросу существования корней дисперсионного уравнения.

В первом пункте формулируется в операторном виде краевая задача на собственные значения.

Второй пункт посвящен выводу дисперсионного уравнения относительно спектрального параметра; показано, что краевая задача сводится к дисперсионному уравнению. Также сказано о возможном применении теории алгебраических и абелевых функций для изучения собственных функций задачи и приведены многочисленные ссылки.

В третьем пункте доказывается возможность осуществления предельного перехода в дисперсионном уравнении к случаю линейной среды в слое. А также проводится этот переход и показано, что в результате получается классический случай, хорошо изученный в электродинамике [47].

Четвертый пункт посвящен выводу первого приближения для собственных значений как функции от коэффициента нелинейности.

В пятом пункте доказано, что вопрос о разрешимости краевой задачи на собственные значения сводится к вопросу о существовании решений у дисперсионного уравнения, а также приведены теоремы о существовании собственных значений.

Шестой пункт посвящен обобщению полученных результатов на случай нелинейного анизотропного слоя. Рассмотрена постановка задачи, найден первый интеграл, который также является алгебраическим; при помощи условий сопряжения и первого интеграла найдены значения функций на границах раздела сред. Все это позволяет выписать дисперсионное уравнение и для этой задачи, которая является менее изученной по сравнению с рассматриваемой.

Глава 3 посвящена численным результатам и обсуждению некоторых свойств дисперсионного уравнения. Проведено сравнение между решениями дисперсионного уравнения в случае линейной среды в слое, нелинейного дисперсионного уравнения, а также первого приближения для собственных значений. Результаты расчетов проиллюстрированы графиками соответствующих зависимостей. Также проведены расчеты поведения решений нелинейного дисперсионного уравнения при различных значениях параметров.

Первый пункт посвящен вычислению собственных значений в зависимости от толщины слоя, коэффициента нелинейности и начальных данных. Также проведено сравнение результатов расчетов собственных значений в случае нелинейной среды в слое по первому приближению и линейной среды в слое. Результаты представлены в графическом виде.

Второй пункт посвящен как расчету собственных значений, так и расчету собственных функций. Представлен случай, когда имеется три собственных значения, для каждого из них вычислены и построены собственные функции.

1. Khoo 1. С. Phys. Rev. - 1982. - A 25. - P. 1040.

2. Eleonskii, P. N. Nonlinear theory of penetration of p-polarized waves into a conductor / P. N. Eleonskii, V. P. Silin // Soviet Physics JETP. — 1971. — M. 33. № 5. - P. 1039-1044.

3. Eleonskii, P. N. Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oganes'yants, V. P. Silin // Soviet Physics Jetp. 1972. - V. 35. -№ l.-P. 44-47.

4. Бломберген, H. Нелинейная оптика / H. Бломберген. М. : Мир, 1966.

5. Маныкин, Э. А. Взаимодействие излучения с веществом. Феноменология нелинейной оптики / Э. А. Маныкин. — М. : МИФИ, 1996.

6. Schurmann, Н. W. Optical response of a nonlinear absorbing dielectric film / H. W. Schurmann, R. Schmoldt // Optics Letters. 1996. - V. 21. -№- P. 387-389.

7. Ivleeva, S. N. Electromagnetic waves guided by a lossess nonlinear open structure / S.N. Ivleeva, Yu. G. Sminov // Proceedings of European Symposium on Numerical Methods in Electromagnetics, 6-8 March 2002. -Toulouse, France, 2002. P. 94-97.

8. Смирнов, Ю. Г. Распространение электромагнитных волн в цилиндрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов, , С. Н. Куприянова // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. - № 10. - С. 1850-1860.

9. Chen Qin. Exact dispersion relation for TM waves guided by thin dielectric films bounded by nonlinear media / Chen Qin, Zi Hua Wang // Optics letters. 1993.-V. 18.-№4.-P. 1-3.

10. Sammut, R. A. Gaussian and equivalent-step-index approximations for nonlinear waveguides / R. A. Sammut, C. Pask // Journal of the Optical Society of America B. 1991. - V. 8. - № 2. - P. 395-402.

11. Yijiang Chen. ТЕ family of self-guided beams in saturable nonlinear media / Yijiang Chen // Journal of Lightwave Technology. — 1991. — V. 9. — № 9. -P. 1208-1213.

12. Deepak Kumar. Introduction to modes and their designation in circular and elliptical fibers / Deepak Kumar, P. K. Choudliury // Am. J. Phys. 2007. -V. 75.-№6.-P. 546-551.

13. Schurmann, H. W. Reflection and transmission of a plane TE-wave at a lossless nonlinear dielectric film / H. W. Schurmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // Physica D. 2001. - № 158 (2001). - P. 197-215.

14. Chiao R. Y., Garmire E., Townes C., Phys. Rev. Lett. 1964. - № 13. -P. 479.

15. Boardman A. D., Maradudin A. A., Stegeman G. I., Twardowski Т., Wright E. M. Phys. Rev. 1987. - A 35. - P.l 159.

16. Seaton С. T., Valera J. D., Shoemaker R. L., Stegeman G. I., Chilwel J. Т., Smith S. D. IEEE J. Quantum Electron 1985. - № 21. - P. 774.

17. Boardman A. D., Egan P. IEEE J. Quantum Electron 1985. - № 21. -P. 1701.

18. Agranovich V. M., Babichenko V. S., Chernyak V. Ya. Sov. Phys. JETP Lett. 1981. - № 32. - P. 512.

19. Seaton С. Т., Valera J. D., Svenson В., Stegeman G. I. Opt Lett. 1985. -№ 10.-P. 149.

20. Joseph, R. I. Exact field decomposition for TM waves in nonlinear media / R. I. Joseph, D. N. Christodoulides // Optics Letters. 1987. - V. 12. -№ 10.-P. 826-828.

21. Валовик, Д. В. Электромагнитная задача дифракции ТМ-волн на нелинейном полубесконечном слое / Д. В. Валовик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2007. - № 2. - С. 19-25.

22. Kaplan A. E. JETP Lett. 1976. - № 24. - P. 114.

23. Kaplan A. E. Sov. Phys. JETP. 1977. - № 45. - P. 896.

24. Miyagi M., Nishida S. Sci. Rep. Res. Inst. Tohoku Univ. Ser. B. 1972. -№24.-P. 53.

25. Miyagi M., Nishida S. Sci. Rep. Res. Inst. Tohoku Univ. Ser. B. 1973. -№25.-P. 53.

26. Tomlinson W. J. Opt. Lett. 1980. - № 5. - P. 323.

27. Langbein U., Lederer F., Peschel Т., H.-E. Ponath Opt. Lett. 1985. -№ 10.-P. 571.

28. Leung, К. M. p-polarized nonlinear surface polaritons in materials with intensity-dependent dielectric functions / К. M. Leung // Physical Review B. -1985. V. 32. -№ 8. - P. 5093-5101.

29. Leung, К. M. Scattering of transverse-magnetic waves with a nonlinear film: Formal field solutions in quadratures / К. M. Leung, R. L. Lin // Physical Review B. 1991. - V. 44. - № 10. - P. 5007-5012.

30. Chen Y. J., Carter G. M. J. Phys. (Paris) Colloq. 1984. - № 45. -P. 5-261.

31. Agranovich V. M., Chernyak V. Ya. Solid State Commun. 1982. -№44.-P. 1309.

32. Валовик, Д. В. Нелинейная задача на собственные значения для ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия вузов. Математика. 2008. -№ 10. - С. 70-74.

33. Валовик, Д. В. Расчет постоянных распространения ТМ-поляризо-ванных электромагнитных волн в нелинейном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. 2008. - Т. 53. - № 8. -С. 934-940.

34. Валовик, Д. В. Распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном анизотропном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2007. - № 4. - С. 51-59.

35. Ильинский, А. С. Математические модели электродинамики / А. С. Ильинский, В. В. Кравцов, А. Г. Свешников. М. : Высшая школа, 1991.

36. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. -М.: Наука, 1970.

37. Курант, Р. Методы математической физики / Р. Курант, Д. Гильберт. -М.: Гостехиздат, 1951. — Т. 1.

38. Бирман, М. Ш. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / М. Ш. Бирман, М. 3. Соломяк. JL : ЛГУ, 1980.

39. Ильинский, А. С. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн / А. С. Ильинский, Ю. В.Шестопалов. — М. : Изд-во МГУ, 1989.

40. Даутов, Р. 3. Существование и свойства решений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов / Р. 3. Даутов, Е. М. Карчевский // Журнал вычислительной математики и математической физики. -2000. Т. 40. - № 8. - С. 1250-1263.

41. Смирнов, Ю. Г. Метод операторных пучков в краевых задачах сопряжения для системы эллиптических уравнений / Ю. Г. Смирнов // Дифференциальные уравнения. 1991. - Т. 27. - № 1. - С. 140-147.

42. Делицин, A. JI. Об одном подходе к вопросу о полноте нормальных волн волновода с магнитодиэлектрическим заполнением / A. JI. Делицин // Дифференциальные уравнения. 1999 (в печати).

43. Snyder, A. Optical Waveguide Theory / A. Snyder, J. Love. London : Chapman and Hall, 1983.

44. Еругин, H. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений / Н. П. Еругин. Минск : Наука и техника, 1979.

45. Понтрягин, JI. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / JI. С. Понтрягин. М. : Наука, 1982.

46. Гохберг, И. Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн. — М. : Наука, 1965.

47. Маркушевич, А. И. Введение в классическую теорию абелевых функций / А. И. Маркушевич. М. : Наука, 1979.

48. Спрингер, Дж. Введение в теорию римановых поверхностей / Дж. Спрингер. М.: ИЛ, 1960.

49. Чеботарев, Н. Г. Теория алгебраических функций / Н. Г. Чеботарев. -М.: ГИТТЛ, 1953.

50. Голубев, В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки / В. В. Голубев. М. : ГИТТЛ, 1953.

51. Baker, Н. F. Abel's theorem and the allied theory including the theory of the theta functions / H. F. Baker. Cambridge : At the university press, 1897.

52. Риман, Б. Сочинения / Б. Риман. М. : ГИТТЛ, 1948.

53. Эрмит, Ш. Курс анализа / Ш. Эрмит. М.: ОНТИ, 1936.

54. Гурса, Э. Курс математического анализа / Э. Гурса. М.: ГТТИ, 1933. -Т. 2. -Ч. 1: Теория аналитических функций.

55. Зигель, К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных / К. Зигель. М. : ИЛ, 1954.

56. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа / Л. Д. Кудрявцев. -М.: Высшая школа, 1981. Т. 2.