Нелинейная краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений распространяющихся электромагнитных ТМ-волн в круглом нелинейном волноводе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

У04612605

На правах рукописи

ХОРОШЕВА Эльвира Александровна

НЕЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМ-ВОЛН В КРУГЛОМ НЕЛИНЕЙНОМ ВОЛНОВОДЕ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 1 НОЯ 2010

КАЗАНЬ 2010

004612605

Работа выполнена на кафедре «Математика и суперкомпьютерное моделирование» Пензенского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор

Смирнов Юрий Геннадьевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация - Московский государственный институт

радиотехники, электроники и автоматики (технический университет), г. Москва.

Защита диссертации состоится 18 ноября 2010 г., в 14 часов 30 минут, на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: Российская Федерация, 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета. Автореферат разослан и размещен на сайте Казанского (Приволжского) федерального университета www.ksu.ru

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук,

профессор

Ильинский Анатолий Серафимович;

доктор физико-математических наук, доцент

Карчевский Евгений Михайлович.

доцент

Липачев Е. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена решению нелинейной краевой задачи на собственные значения распространяющихся ТМ-поляризованных электромагнитных волн в круглом диэлектрическом волноводе с нелинейностью, выраженной законом Керра.

Актуальность темы.

Изучение задач распространения электромагнитных волн в нелинейных средах является актуальным в связи с тем, что эти явления находят широкое применение в физике плазмы, в современной микроэлектронике, оптике и лазерной технике. Кроме того, они представляют и самостоятельный математический интерес, поскольку такие задачи являются нелинейными краевыми задачами на собственные значения, общие методы решения которых недостаточно разработаны. Таким образом, прогресс в аналитическом исследовании подобных задач важен и с теоретической, и с практической точек зрения. Разработка численных методов для решения задач этого класса также является актуальной. Результаты аналитического исследования могут существенно помочь при разработке численных методов. Данное направление было и является предметом исследования многих авторов (В. П. Силин, П. Н. Елеонский, К. М. Ьеш^, Н. \У. БЬигшапп, В. С. Серов, Ю. В. Шестопалов, Ю. Г. Смирнов).

Цель работы:

- Строгая постановка задачи о распространении ТМ-поляризованных (собственных) волн в цилиндрических диэлектрических волноводах круглого сечения с нелинейным заполнением среды по закону Керра как краевой задачи на собственные значения для системы уравнений Максвелла.

- Разработка математического аппарата для исследования задачи о собственных волнах; доказательство базовых теоретических результатов о существовании решений дисперсионных уравнений и интегральных уравнений, отвечающих краевой задаче.

- Построение, обоснование и реализация эффективных численных методов для расчета собственных значений и соответствующих им собственных функций для поставленной задачи.

Научная новизна:

- впервые получено дисперсионное уравнение для задачи распространения электромагнитных ТМ-волн в нелинейном круглом волноводе с нелинейностью, выраженной законом Керра;

- предложен метод сведения нелинейной краевой задачи на собственные значения к решению дисперсионного уравнения и доказана теорема о спектральной эквивалентности краевой задачи и дисперсионного уравнения;

- доказаны базовые теоретические результаты о существовании и единственности решений дисперсионных уравнений (относительно спектрального параметра) и интегральных уравнений, отвечающих краевой задаче (относительно собственных функций);

- с помощью дисперсионного уравнения приближенно вычислены собственные значения и собственные функции краевой задачи.

Практическая значимость.

Большое практическое значение в представленной работе имеет полученное дисперсионное уравнение, анализ которого позволяет не только доказать существование решений краевой задачи (а значит, и исходной задачи о распространении волн), но и исследовать свойства распространяющихся ТМ-волн в зависимости от различных параметров. Кроме того, полученное дисперсионное уравнение может быть решено численно на компьютере. Систему дифференциальных уравнений задачи также можно записать в виде, удобном для численных расчетов. Таким образом, имеется возможность вычислять не только собственные значения краевой задачи, но и собственные функции, отвечающие этим собственным значениям, а, следовательно, изучать структуру поля электромагнитной волны.

Реализация и внедрение полученных результатов.

Результаты, полученные в диссертационной работе, включены в отчеты НИР и гранта, выполненных на кафедре «Математика и суперкомпьютерное моделирование»; грант Минобрнауки «Исследование трехмерных векторных задач электродинамики в нелинейных средах методом математического моделирования на многопроцессорных системах».

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на научных конференциях и семинарах:

- XXVIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2006);

- X Международной научно-методической конференции «Университетское образование» (Пенза, 2006);

- научном семинаре кафедры «Математика и суперкомпьютерное моделирование» Пензенского государственного университета;

- научном семинаре кафедры «Прикладная математика» Казанского федерального (Приволжского) университета.

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано шесть печатных работ, список которых приведен в конце автореферата, две работы - в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Объем и структура диссертации.

Работа состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы, содержащего 90 наименований. Работа изложена на 98 страницах машинописного текста, содержит б графиков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор работ по теме диссертации и вопросам, примыкающим к ней; обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы; излагаются краткое содержание и основные результаты работы.

Первая глава посвящена постановке задачи для распространяющихся поляризованных электромагнитных ТМ-волн в круглом нелинейном волноводе с нелинейностью, выраженной законом Керра. Из системы уравнений Максвелла выводится система дифференциальных уравнений, для которой в дальнейшем ставится краевая задача.

Рассмотрим задачу о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода. Пусть все трехмерное пространство R заполнено изотропной средой без источников с диэлектрической проницаемостью £ = EqE! = const, где е0 > 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума, а е, >1 — относительная диэлектрическая проницаемость среды В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод W = {(x,y,z):x2 + >>2 <R2} радиуса R однородного заполнения с образующей, параллельной оси Oz, и поперечным круговым сечением.

Пусть диэлектрическая проницаемость £ внутри волновода определяется по закону Керра:

s = (e2+a|E|2)e0,

где а и е2 - вещественные положительные константы; а - коэффициент нелинейности; в2 - постоянная составляющая проницаемости £.

Среда предполагается изотропной и немагнитной, ц = ц0, где > 0 - магнитная проницаемость вакуума.

Требуется отыскать поверхностные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода, т.е. собственные волны структуры. Электромагнитное поле собственной волны Е, Н удовлетворяет системе уравнений Максвелла:

(rot Н = -/соеЕ, [rot Е = /юцН,

условиям непрерывности касательных составляющих поля Нт и Ет при переходе через границу волновода и условиям экспоненциального затухания поля на бесконечности.

Перейдем к цилиндрической системе координат (р,ц>,г). В случае

ТМ-поляризации Е = (£р Д£2),Н = (0,#ф,0). Из уравнений Максвелла следует, что Ez = Ez(p,z) и Ер - Ер(р,z) не зависят от ср. Решение задачи будем искать в форме осесимметричных волн:

где у - вещественная постоянная распространения волны.

Предполагаем, что внутри и вне волновода ц = ц0 > £ = Щ > где б > 1 - относительная диэлектрическая проницаемость. Обозначим также к02 =со2е0ц0, где /с0 >0 ~ волновое число вакуума.

Из уравнений Максвелла получим нелинейную систему дифференциальных уравнений:

£p(p,z;y) = ep(p;y)eiyz; Ez(p,z\y)~ez (р; y)elJZ; Hq (P> Z'>Y) = \ (P' y)e'YZ»

(2)

(3)

(4)

г'тер ~ ~ Ф'

de.

у/1ф=сй80Ёер;

(5)

Обозначим

ер(р;у)=И|(р;у). (6)

Мр;у) = и2(р;У)- (7)

Будем предполагать, что щ (р; у), и2(р; у) - вещественные функции.

Обозначая к2 = к0ге2 - у2 , получим систему дифференциальных уравнений внутри волновода:

-к2\+уи2

К V К \> ,2 , (8)

- Г ■—(р«1> —(р«2 ) ~КЕ2иг =J2> р р

где производная означает дифференцирование по р и

/х=к1а\хх^щ, f2=kla\ufu2, (9)

|u|2 =и\ + и\, и = (щ,и2)Т. (10)

Вне волновода e = £jS0, а = 0, тогда

u2sEz= СК0(к]р),

u^Ep=-^CKo(klP), (11)

кх

где С = const - произвольная постоянная; К0 (z) = ^ - функ-

ция Макдональда.

С учетом условий сопряжения на границе волновода

[и2] = 0, [ёи,] = 0 (12)

получим:

= 0. (13)

£?h,L_d n -Ei «iI__n . п + ащ |u¡2

р = Я-0

i2"l|p = JR_0 1 1 (р = л + 0

Сформулируем краевую задачу на собственные значения (задана Р): требуется отыскать не равные одновременно тождественно нулю на полубесконечном интервале р>0 функции и,(р),м2(р) класса

и,, и2 е С2 (0, R) п С2 (R,+оо) n С[0, R] о С[Я,+°о) и соответствующие собственные значения у такие, что и, (р), и2 (р) удовлетворяют системе уравнений (8) на интервале (0,R), уравнени-

ям (11) на интервале (/?,+°о), условиям сопряжения (12) и условиям экспоненциального убывания функций и, (р), и2 (р) на бесконечности при р -» ад. Спектральным параметром задачи является вещественное число у.

Определение 1. Вещественное число у называется собственным значением, отвечающим собственному вектору (собственным функциям) (М)(р),и2(р)) , если при этом у существует нетривиальное решение м, (р), и2 (р) краевой задачи Р.

Во второй главе из системы нелинейных уравнений (8) получаем дифференциальное уравнение второго порядка

I 2

с линейной частью Ьиг = (ри2 У + к2 ри2, дифференциальный оператор которой определяется формулой Ь = р

Уравнение (14) перепишем в виде / ~

(ри2 )' + к2 ри2 =Р,0<р<Я,

(15)

где

Л.п Ьт 1 Лл

■О ь2 \л2

(16)

Построим функцию Грина для краевой задачи:

(17)

Получим

п

(18)

Из условий сопряжения следует дисперсионное уравнение:

Д(у) е г2их (Л - 0) + ям, (Л - 0)|и(Л - 0)|2 + е, (А, Л) = 0.(19)

К

Внутри волновода при г е {О, Я) решения имеют представление 2 я ^-п .. к:

"1М = -,2 ' , 2 -7Г~ -ТТ-АО)+ А(г)>

Кг2к2 ^дгдр

¿0£2 ^ Эг

V ^ дй к 2 ^

*ое2 о Р о о

(20)

где

(г) = тт——-л-о (^л),

фЭг

Эр

Для представления системы (20) в виде матричного оператора введем матрицу ядер:

'Уп^рг Я12^г

К(г,р) = -р и матрицу коэффициентов

е=

Яп Ча _ 1 Чу/Лг2)2 У "

Яг\ 422. е2 У ¿2.

(21)

(22)

а также матричный линейный интегральный оператор К = {Кпт} п

с операторами , связанный с системой (24),

Я

К8= /К(г,р^(р)</р, (23)

о

Т

где g = ■

Тогда система интегральных уравнений (20) может быть записана в операторном виде

(24)

и = аК(|и| и) - а1(|и|2 и) + Ь,

т

где b = (hi,h2) , а оператор J определяется формулой

¿oTl О

Операторы КД являются линейными. Введем также линейные

операторы М:?=сг(К-1) и М0:= К- ].

Будем рассматривать уравнение (24) в пространстве непрерыв-

нее м L = max и(х). с хе[0,Щ

Пусть П = (0,Я)х(0,Л), Т¥ = {(r,p) е П,р > r),f- = {(r,p) е П,р ^г}.

Под непрерывностью функции f(r,р) в Т+ (в Т~ ) понимается,

что для любой точки (r0,p 0) е Т+( (r0,p 0) е Т )

lim f(r,p) = /(r0,p0)( lim /(r,p) = /(r0, p0)). /■-wb.P-^Po _ r->'"o>P_>Po

(г,р)€Г+,(г0,р0)еГ+ (г,р)еГ~,(г0,р0)еГ~

Под непрерывностью функции f(r,p) в Т~ \{0} понимается, что

функция непрерывна во всех точках Т~ (в вышеуказанном смысле), за исключением точки г- 0, р = 0. При этом функция / (г, р), непрерывная в Т+ и в Т~, не будет, вообще говоря, непрерывна в П .

Утверждение 1. Функции кп(г,р) и к22{г,р) непрерывны в квадрате П = [0, R] х [0,7?]. Функция к12(г,р) ограничена в П и непрерывна в Т+ ив Т~ \ {0}, функция к21{г,р) ограничена в П и непрерывна в Т+ ив Т~.

Утверждение 2. Пусть интегральный оператор К: С[0, i?] -> С[0, if]

задан формулой K<p= jK(x,y)cp(y)dy с кусочно-непрерывным в квад-

ных функций С[0, R] = С[0, R] х С[0, R] с нормой

R

рате [0,Л]х[0,Л] ядром К(х,у). Тогда он ограничен и верна оценка для его нормы

Ис-С*^. (26)

где

Я

(27)

М0= шах \\К{х,у)\(1у.

Утверждение 3. Пусть интегральный оператор К: С[0,Л] -> С[0,Л]

Л

задан формулой К<р = ^(х,уУ$(у)с1у с ограниченными в квадрате

О

[0,Я]х[0,Л] ядрамиКпт(х,у), заданными формулами (21) и (22). Тогда он ограничен и верна оценка для его нормы

(28)

где

М2 - 2

шах & ,• + шах Ш-у ,■

С->С у=1,2" ;11 С->С

(29)

0=1,2" с-и- у=1,211 -»с-н^

Приближенные решения и" (г) = (и " (г), и2" (г))Т, г е [0, /?] системы интегральных уравнений (20) могут быть определены с помощью итерационного процесса метода сжимающих отображений

р|ия(р)|2М1й(р)ф-

е2к2 5 дгдр

аук,дО(г, р)

и г |

е2 о дг

«+1/.Л - _

ау ув(г,р)с

(30)

«2н+1(г) = -

""2 2 О

дР

и"(р) щн(р)4р-

ак

г я

О

/С(г,р)рии(р) ^(рУр + ^Сг).

Теорема 1. Пусть ВГо =|и:||и|<г0| - шар радиуса Г0 с центром в нуле и выполнены два условия

чи+1=аК(

и"

?:=Заг02||К-;|<1 (31)

и

аг03||К-;|Н|Ь||<г0. (32)

Тогда существует и единственное решение и е ВГо уравнения (24) [или системы (20)], и последовательность приближенных решений и" £ ВГо уравнения (24) [или системы (20)], определяемых посредством итерационного алгоритма

аи")-а1(и,,2и") + Ь, (33)

сходится в норме пространства С[0,/?] к (единственному) точному решению и е ВГ() уравнения (24) [или системы (20)] при любом

начальном приближении и0 е ВГо со скоростью геометрической

прогрессии с показателем д.

Рассмотрим вспомогательное числовое кубическое уравнение

МкоЧиН*. (34)

где норма оператора ЦыЦ = а||К -1|| > 0. Лемма 1. Если выполняется неравенство

0<|У<--7=1=, (35)

то уравнение (34) имеет два неотрицательных решения г, и г*, г,<г*. Теорема 2. Если а<А2,

где А = --р--(36)

3 и#и

и

|К||:Н|К-1||(>0), то уравнение (24) имеет единственное решение в шаре = |и: ||и|| < г. |, являющееся непрерывной функцией

ибС[0,Л], ||и||<г,.

В третьей главе доказано утверждение о существовании собственных значений для нелинейной задачи на собственные значения, т. е. существование решений дисперсионного уравнения (19) при некоторых достаточных условиях, наложенных на параметры задачи. Основным методом при доказательстве будет метод малого параметра.

Теорема 3. Пусть ядра матричного оператора N = а(К -1) и правая часть Ь уравнения (24) непрерывно зависят от параметра у € Г0, Ы(у) с С(Г0), Ь(у)сС(Г0) на некотором отрезке Г0 вещественной числовой оси. Пусть также

мИдЬг

Тогда решения и(у) уравнения (24) при у е Г0 существуют, единственны и непрерывно зависят от параметра у, и(у) с С(Г0).

Теорема 4. Пусть числа б15е2,а удовлетворяют условиям е2 > б, >0 и 0 < а < а0,

где а0 = гшп(тт А2 (у),—), (38)

уеГ С(тахг (у))

уеГ

ЖУ) = ™:-„ К-п <39>

и выполняется условие

Х1т>$е1 (40)

для определенного т> 1. Тогда сущес?пвует, по крайней мере, т собственных значений у,-, г = 1,... ,т, < у,- < д/Х^" - 5,- краевой задачи Р.

В четвертой главе рассмотрен численный метод для отыскания приближенных решений нелинейной краевой задачи на собственные значения Р.

Приближенные решения ип(г) = (и"(г),и2п(г))Т системы интегральных уравнений (20) могут быть определены с помощью итерационного процесса

<2и") + Ь. (41)

и"+1 = а(К -1)(

о Т

Утверждение 4. Пусть и =(0,0) . Последовательность приближенных решений и" = (и" ,и2п)Т системы уравнений (20), определяемых посредством итерационного алгоритма (41), существует и сходится в норме пространства С[0,^?] к (единственному) точному решению и системы уравнений (24), и верна оценка скорости сходимости:

<^!_|Ь||, „_>«>, (42)

1 — а

и-и"

где д := Зог2 (¡К -< 1 - коэффициент сжатия отображения.

Теорема 5. Пусть существуют еие2,а, удовлетворяющие условиям £2 > е, > 0,0<а<а0, где а0 определяется соотношением (38), и выполняется условие (40) для определенного т>\. Тогда для каждого п> 0, существует, по крайней мере, т значений

¿ = 1,...,т, удовлетворяющих неравенствам <у^ <тД^У_$ и являющихся корнями уравнения

кх{п\2Кх (к{хп)К)Мк[п)Щ + к^К^Щ^к^К) = (43)

где =>/(у(п))2 "^оЧЛ^ = ^е2 -(у(п>)2 , а ип определяется соотношением (41).

Теорема 6. Пусть существуют £,,£2,й, удовлетворяющие условиям е2 > е, > 0,0 < а < аа, где а0 определяется соотношением (38), и выполняется условие (40) для определенного т>1. Пусть у;- и

у^ соответственно точное и приближенное собственные значения проблемы Р на отрезке Г,- (у;- и у^ - корни точного и приближенного дисперсионных уравнений, соответственно г <т,т>\).

Тогда

У!П)-Т,-

► 0 при П—»со.

На рисунке представлен график зависимости спектрального параметра у от радиуса волновода для дисперсионного уравнения (19). Сплошными линиями на графике показана зависимость у(Я), пунктирными - решения уравнения J0(k2R) = 0 (полюса функции Грина).

Выбор параметров: диэлектрическая проницаемость среды вне волновода е, = 1; диэлектрическая проницаемость среды внутри волновода е2 = 7,2; радиус волновода 1,5 <Л<6; волновое число свободного пространства = 1; коэффициент нелинейности а = 0,01.

В заключении сформулированы основные результаты работы. В приложении содержатся постановка и решение соответствующей линейной задачи о распространении ТМ-волн в волноводе, а также вывод дисперсионного уравнения для этого случая.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Нелинейная краевая задача на собственные значения, отвечающая процессу распространения поверхностных ТМ-поляризованных электромагнитных волн в круглом диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой, описываемой по закону Керра, сведена к эквивалентной задаче на собственные значения доя системы интегральных уравнений.

2. Доказано существование единственного решения системы интегральных уравнений при фиксированных значениях спектрального параметра при выполнении определенных достаточных условий.

3. Получено дисперсионное уравнение, спектрально эквивалентное исходной краевой задаче на собственные значения; доказаны теоремы о существовании и локализации собственных значений нелинейной краевой задачи.

4. Предложен итерационный численный алгоритм для нахождения приближенных собственных значений и приближенных собственных функций нелинейной краевой задачи; доказана сходимость приближенных собственных значений и приближенных собственных функций к точным собственным значениям и собственным функциям задачи; выполнены численные расчеты приближенных собственных значений и приближенных собственных функций для различных значений параметров.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Хорошева, Э. А. Задача о распространении электромагнитных ТМ-волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Э. А. Хорошева // Тр. XXVIII конф. молодых ученых механико-математического факультета МГУ. -М.: МГУ, 2006. - С. 218-223.

2. Хорошева, Э. А. Распространение электромагнитных ТМ-волн в цилиндрических диэлектрических волноводах с нелинейной средой, выраженной законом Керра / Э. А. Хорошева // Надежность и качество : тр. Междунар. симп. В 2 томах. Том 1 / под ред. Н. К. Юркова. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2006. - 410 с.

3. Хорошева, Э. А. О распространении электромагнитных ТМ-волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Э. А. Хорошева // Надежность и качество : тр. Междунар. симп. В 2 томах. Том 1 / под ред. Н. К. Юркова. -Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2006. - 410 с.

4. Хорошева, Э. А. Применение функций Грина к решению систем нелинейных дифференциальных уравнений / Э. А. Хорошева // Университетское образование: сб. ст. X Междунар. науч.-метод. конф. - Пенза, 2006. - С. 58-60.

5. Хорошева, Э. А. Распространение электромагнитных ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Э. А. Хорошева, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. - 2006. -№5.-С. 106-114.

6. Хорошева, Э. А. Численное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Э. А. Хорошева, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 1. - С. 2-13.

Научное издание

Хорошева Эльвира Александровна

НЕЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМ-ВОЛН В КРУГЛОМ НЕЛИНЕЙНОМ ВОЛНОВОДЕ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Редактор Т. В. Веденеева Корректор Н. А. Сиделъникова Компьютерная верстка С. В. Денисовой

Подписано в печать 08.10.10. Формат 60х841/16. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100. Заказ № 615.

Издательство ПГУ 440026, Пенза, Красная, 40.

Введение.

1. Нелинейные краевые задачи на собственные значения.

1.1. Постановка задачи.

2. Исследование систем дифференциальных и интегральных уравнений

2.1. Функция Грина.

2.2. Сведение краевой задачи к системе нелинейных интегральных уравнений.

2.3. Исследование ядер интегральных операторов.

2.5. Итерационный метод решения системы интегральных уравнений.

3. Теоремы о разрешимости нелинейной краевой задачи на собственные значения.

3.1. Теорема о непрерывной зависимости решения от спектрального параметра.

3.2. Теорема о существовании решений дисперсионного уравнения и задачи на собственные значения.

4. Численный метод решения задачи и результаты расчетов.

4.1. Итерационный метод решения системы интегральных уравнений и оценка скорости сходимости.

4.2. Теорема о сходимости итерационного метода.

4.3. Результаты расчетов.

Задачи распространения электромагнитных волн в различных средах были и остаются актуальными в связи с их широким практическим применением. Необходимость теоретического исследования существования и свойств собственных волн диктуется практической потребностью передачи энергии поля на большие расстояния с минимальными потерями. Успехи в разработке данного направления электродинамики привели к построению различных классов волноведущих структур.

Распространение электромагнитных волн в волноводах с заполнением линейной средой (то есть когда диэлектрическая и магнитная проницаемости не зависят от электромагнитного поля) - тема классической электродинамики [78], [6], [8], [49].

В случае волновода кругового сечения и постоянных электрической и магнитной проницаемостей уравнения Максвелла решаются в цилиндрических координатах. При использовании метода разделения переменных появляется линейное обыкновенное дифференциальное уравнение — уравнение Бесселя, решение которого является линейной комбинацией цилиндрических функций. Собственные функции и собственные значения определяются как решения краевых задач с дополнительными условиями на контуре для решений и их первых производных [78]. С появлением нелинейной оптики предметом изучения в электродинамике стали сильные волновые поля, в которых начинает проявляться нелинейность сред. Качественно новыми эффектами нелинейной оптики стали порождение средой высших гармоник, а также самовоздействие волнового процесса, распространяющегося в нелинейной среде [78]. При распространении через жидкость или газ волны, создаваемой лазером, учитывают нелинейность поляризации среды, вызываемую целым рядом факторов [78]. Помимо поведения электронов в сильном электромагнитном поле существенно механическое воздействие поля на вещество: возникает давление, пропорциональное средней мощности волны, в результате чего в областях сгущения увеличивается диэлектрическая проницаемость. При распространении резко неоднородной волны - луча лазера - можно сказать, что увеличивается оптическая* плотность среды в области сильного поля. Иными словами, в определенных условиях волновому процессу сопутствует образование канала, направляющего его энергию - нечто вроде* диэлектрического волновода. Это эффект называется самоканализацией, и если канал сужается, наступает так называемая самофокусировка [78].

Исследования данной тематики претерпели значительную эволюцию в течение последних 50 лет, с того времени, как было обнаружено явление самофокусировки электромагнитного поля в нелинейной среде. Впоследствии основным предметом исследований стали волноводы различных конфигураций и с различным заполнением среды. Эффекты самофокусировки используются в лазерах и оптоэлектронных приборах, для построения устройств обработки сигнала или блокировки моды в волоконных лазерах.

Квантовая теория самофокусировки была разработана Талановым для плазмы и группой американских ученых К.У.СЫао, Е. Оаггшге, С.Н. ТохупеБ [15] для твердых тел в 1964 году, где исследуются условия, при которых электромагнитный луч может распространяться без затухания в средах с диэлектрической проницаемостью, возрастающей пропорционально интенсивности электромагнитного поля, и постоянной в его отсутствие. В работе [15] представлено теоретическое объяснение самофокусировки. Если при воздействии электромагнитного поля диэлектрическая постоянная обуславливает критический угол внутреннего отражения, превышающий дифракционный угол отклонения луча, то рассеяние путем дифракции не будет иметь места. Таким образом, при мощности луча (уменьшающейся пропорционально квадрату длины волны), выше некоторого критического уровня этот луч может быть сфокусирован при любом произвольном радиусе. В обычных диэлектрических материалах для достижения самофокусировки достаточно мощности обычного лазерного светового луча, т.е. порядка 108Вт.

Авторами [15] получено точное решение волнового уравнения в форме линейно поляризованного плоского светового луча и в форме цилиндрически поляризованного луча кругового сечения с поперечной составляющей электромагнитного поля.

Исследование [15] вызвало большой интерес и послужило толчком к началу других многочисленных исследований. Так, например, в работе [1] советских авторов Д.И. Абакарова, A.A. Акопяна и С.И.Пекара рассматривается новый вид самофокусирующегося луча, на этот раз с поперечным сечением произвольной формы и поперечными размерами, значительно превосходящими длину световой волны. Применение численных методов в этом случае в нулевом приближении дает результат [15], а в более высоком приближении констатируется появление продольного электромагнитного поля.

Расслоение среды на области, в одних из которых электромагнитное поле поперечно, а в других появляется также и продольная составляющая, было обнаружено также В.И.Елеонским и В.П.Силиным [20] при исследовании сходной задачи отражения наклонно падающих р -поляризованных волн от среды с нелинейной диэлектрической проницаемостью. Рассматривается отражение плоско-поляризованных волн (вектор электрической составляющей которых лежит в плоскости падения) от полупространства, заполненного средой с нелинейной диэлектрической проницаемостью. Чередование областей с поперечной и продольной составляющими поля объясняется чередованием продольной и поперечной степеней свободы электромагнитного поля в нелинейной среде.

Наряду с рассматриваемыми проблемами плоской геометрии, В. И. Елеонский представил теорию цилиндрических самофокусирующихся волноводов, в основном базирующуюся на качественном анализе фазовых траекторий [18], а также численные расчеты основной и низшей неосновной ТЕ-мод.

Y. Chen, осргавываясь на вариационной технике, получил аналитические решения для фундаментальной моды в свободном пространстве в нелинейных средах, используя аппроксимацию, гауссовой функцией [10], [11].

R.A.Sammut, C.Pask [35] использовали вариационную формулировку волнового уравнения для волноводов с произвольной нелинейностью оптического волокна и представили аналитическую аппроксимацию для поля.

Позже D.Sjoberg [41] анализировал распространение электромагнитных волн в нелинейных цилиндрических волноводах методом возмущений, используя коэффициент нелинейности как параметр возмущения.

Для моделирования распространения волн в средах с нелинейностью Керра также используются методы распространяющегося луча [21], метод линий [7], конечно - разностные методы [33].

Наряду с , вышеописанными разработками существуют также направления, посвященные проблемам устойчивости. Изучение устойчивости распространения волн необходимо при исследовании возможности практического применения эффекта самофокусировки. Важными в этой области являются исследования Н. Н. Ахмедиева [2], [4], [5], которые посвящены нестационарной проблеме нестабильности модуляции основной моды цилиндрического волновода с нелинейным заполнением среды по закону Керра. Эффект нестабильности модуляции в одномодовом оптическом волокне к этому времени был уже предсказан, исследован теоретически и практически наблюдаем [23], [3], [50], [51], [24], [30]. Рассматривается распространение высоко- и низкочастотного поля в волноводе круглого сечения, диэлектрическая проницаемость среды внутри и вне волновода описывается законом' Керра. В одномодовом оптическом волокне- при нелинейных эффектах поперечная структура пучка определяется самим волноводом в линейном режиме, а продольная функция для относительно низких частот определена сочетанием нелинейности и дисперсии волокна. Для высоких частот или больших радиусов волновода должна также быть учтена дифракция. Ее влияние при высоких частотах на нестабильность модуляции исследовано автором вышеуказанных работ. Эффект нестабильности модуляции вызывает проявление отдельных световых групп, однако, дальнейшее поведение этих групп является открытым вопросом. Наиболее их вероятное поведение в среде с нелинейностью по закону Керра - это пространственно - временное затухание или коллапс. Таким образом, в результате нестабильности модуляции на выходе оптического волокна имеем затухание в пространстве и времени вибраций. В среде с насыщенной нелинейностью, где также существуют подобные эффекты, световые группы при определенных условиях могут распространяться на достаточно длинные дистанции в виде трехмерных стационарных солитонов.

Вопросу нелинейных волновых взаимодействий посвящена работа А.П. Сухорукова [84]. Распространение волн в нелинейной среде в слое изучала группа исследователей под руководством В.П. Шестопалова [63], [53-55], [42], сходной проблемой о плоском трехслойном волноводе занимались H.W. Shurmann, B.C. Серов и Ю.В. Шестопалов [36] - [39], в работав которых описываются отражение и распространение плоской ТЕ-поляризованной волны. Аналогично случаю, рассматриваемому в настоящей диссертационной работе, ищутся решения уравнений Максвелла, удовлетворяющие условиям непрерывности на границе раздела сред. При этом также используется метод разделения переменных.

Представлено общее аналитическое решение уравнения Гельмгольца, описывающее рассеяние плоской монохроматичной волны в слое с нелинейностью по закону Керра. Все среды предполагаются непоглощающими, немагнитными, изотропными и однородными. Полученные результаты содержат условия существования физически допустимых решений, исследование зависимости решений от различных параметров задачи, проведено сравнение с линейным случаем.

Изучая распространение волн в слое, разные авторы использовали различные подходы, вводя специальные условия по отношению к нелинейной системе Фабри - Перота: J.H.Marburger и F.S.Felber [29] упростили анализ путем введения граничных условий, предполагающих, что нелинейный слой отделен от линейных сред идеальными зеркалами; J.Danikaert [17] рассматривает реакцию твердого резонатора Фабри -Перота, включающую нелинейное поглощение и наклонное падение поперечно - электрического и поперечно - магнитного полей; M.Haeltermann [22] и G. Vitrant [52] представили объединенную нелинейную теорию для поперечных эффектов резонаторов Фабри -Перота, упростив численные расчеты и хорошо объяснив понятие оптической бистабильности.

Решения нелинейных уравнений Гельмгольца были представлены (частично, для специальных случаев) в виде эллиптических функций Якоби [13], [27-28], [32]. Как показано в работе одного из авторов [40], общее решение более эффективно может быть представлено в форме эллиптических функций Вейерштрасса. Хорошо известно [73], [67], что эллиптические функции, в общем случае, обладают полюсами, однако, в предыдущих исследованиях общее решение может быть использовано непосредственно для определения критических значений коэффициента отражения в различных случаях. Также отсутствовал анализ неограниченных решений в случае отрицательной константы Керра, в частности, никаких условий для существования таких решений.

В исследованиях [36] - [39] представлено аналитическое решение нелинейного уравнения Гельмгольца в слое, которое используется при анализе физической проблемы. Показано, как линейный случай появляется из нелинейного.

В работах [36] - [39] также проводится анализ так называемой "отсечки". Это случай неограниченной напряженности поля, который особо выделяется с физической точки зрения, так как ему нет аналогов в линейной оптике. Необходимым условием для существования неограниченной напряженности поля является отрицательное значение коэффициента нелинейности. Как следствие, диэлектрическая проницаемость может равняться нулю внутри слоя. В постановке других физических задач явление неограниченной напряженности поля хорошо известно. По отношению к рассматриваемой ситуации случай неограниченного поля является, скорее всего, артефактом [39]. Существует вероятность, что эта особенность пропадет в случае введения в диэлектрическую проницаемость условий поглощения, но, с другой стороны, нельзя назвать такую диэлектрическую проницаемость нефизичной или искусственной, так как она дает начало многим хорошо известным явлениям нелинейной оптики. С математической точки зрения случай неограниченности поля не нуждается в особом пояснении, так как нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, к которым сводится задача, обладают особенностью в полюсах. Тем не менее, физическая интерпретация "почти неограниченного" поля, например, для слабо поглощающих сред, пока не изучена [39].

Проводя сравнительный анализ этой работы с предыдущими исследованиями [12], [13], [28], можно отметить, что» построение диэлектрической проницаемости е, процедура решения нелинейного уравнения Гельмгольца и формулировка граничных условий являются традиционными, в то время как подход представления решений в виде эллиптических функций Вейерштрасса вместо использующихся ранее Якобиановых является более эффективным и имеет явное преимущество, описывая более общий физический случай.

Тем не менее, и данный подход оказался не универсальным, аналитического решения для общей задачи не было получено. Применение этого метода к изучению задачи о распространении волн в структурах кругового сечения приводит к неразрешимым дифференциальным уравнениям. Изучение задачи в такой постановке потребовало разработки нового математического аппарата. Кроме того, при всем многообразии проведенных исследований, дисперсионные соотношения теоретически не исследованы, не выяснены до конца вопросы, связанные со сходимостью методов, нет базовых теоретических результатов о существовании и единственности решений, поэтому данная диссертационная работа, в которой проведены такого рода исследования, является актуальной и практически важной.

Работа посвящена решению нелинейной краевой задачи на собственные значения для нелинейного уравнения Гельмгольца, к которой приводит вопрос об изучении распространения собственных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных средой с нелинейностью, описываемой по закону Керра. Такого рода задачи так или иначе сводятся к изучению сложной оператор -функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра, которое весьма затруднительно традиционными методами теории, дифракции. В связи с этим перспективным является метод оператор - функций, впервые примененный к задачам электродинамики в работах А.С. Ильинского и Ю.В. Шестопалова [71-72], [90] , и в дальнейшем использованный для исследования ряда задач электродинамики [14]и [66].

Однако в рассматриваемой задаче оператор-функция не только нелинейно зависит от спектрального параметра, но и нелинейно зависит от решения, то есть является нелинейным оператором при фиксированном значении спектрального параметра. Общие математические методы исследования такого класса задач к настоящему времени не разработаны. Наиболее перспективным методом исследования такого рода задач оказался метод интегральных дисперсионных соотношений (уравнений), предложенный Ю.Г. Смирновым в 2002 году. С помощью этого метода удалось детально исследовать задачи на собственные значения для ТЕ-поляризованных электромагнитных волн в круглом цилиндрическом волноводе и ТМ-поляризованных электромагнитных волн в трехслойном плоском волноводе [79-80], [34], [58-62], [44], [81-82], [45]. Были доказаны теоремы о существовании и локализации собственных значений для соответствующих нелинейных краевых задач на собственные значения, а также предложены, обоснованы и реализованы численные методы для получения приближенных решений.

В настоящей работе для исследования нелинейной краевой задачи используется метод интегральных дисперсионных соотношений. Однако эта задача оказывается существенно более сложной по сравнению с указанными выше. В отличие от задачи на собственные значения для ТЕ-поляризованных электромагнитных волн в круглом цилиндрическом волноводе эта задача оказывается векторной и приводит к системе нелинейных интегральных уравнений. В отличие от задачи для ТМ-поляризованных электромагнитных волн в трехслойном плоском волноводе, система дифференциальных уравнений не является автономной, что не позволяет найти для нее первый интеграл и понизить порядок системы. В результате получается векторное интегральное дисперсионное соотношение (уравнение).

Для сведения задачи о собственных волнах к задаче на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра для интегральных уравнений используется метод функции Грина. Для доказательства существования решений краевой задачи на собственные значения используются методы, базирующиеся на принципе сжимающих отображений. Следует отметить, что такие методы использовались ранее для решения интегральных уравнений [85], но не были использованы в целом при решении задачи на собственные значения. При использовании предлагаемого метода спектральный параметр у изначально не фиксируется, для каждого его значения решается краевая задача, а затем полученное решение подставляется в дисперсионное соотношение. Принцип сжимающих отображений применяется для доказательства существования решения системы интегральных уравнений. В качестве численного метода- предлагается итерационный метод, сходимость которого теоретически обоснована в работе.

Основными целями настоящей работы являются: 1. Строгая постановка задачи о распространении ТМ-поляризованных (собственных) волн в цилиндрических диэлектрических волноводах круглого сечения с нелинейным заполнением среды по закону Керра как краевой задачи на собственные значения для системы уравнений Максвелла.

2. Разработка математического аппарата для исследования задачи о собственных волнах; доказательство базовых теоретических результатов о существовании решений дисперсионных уравнений и интегральных уравнений, отвечающих краевой задаче.

3. Построение, обоснование и реализация эффективных численных методов для расчета собственных значений и соответствующих им собственных функций для поставленной задачи.

Работа состоит из четырех глав и приложения.

Первая глава посвящена постановке задачи. Описывается класс волноведущих структур, которые будут рассмотрены в работе, формулируется задача о собственных волнах для однородной системы уравнений Максвелла. Для рассматриваемого случая распространяющихся ТМ-волн используется алгоритм сведения поставленной краевой задачи для системы уравнений Гельмгольца к нелинейной краевой задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода разделения переменных. В конце главы формулируется основная краевая задача на собственные значения и дается определение собственного значения и собственного вектора этой задачи:

Вторая глава посвящена исследованию систем дифференциальных и интегральных уравнений. В первом параграфе главы строится функция Грина для линейной части системы дифференциальных уравнений. Во втором параграфе краевая задача для системы дифференциальных уравнений сводится к эквивалентной задаче для системы интегральных уравнений с помощью построенной функции Грина. Выводится дисперсионное уравнение для определения собственных значений. Формулируется задача в операторном виде. Третий параграф содержит исследование ядер интегральных операторов. В четвертом параграфе получены оценки норм интегральных операторов, необходимые для дальнейшего анализа. В пятом параграфе формулируются и доказываются утверждения о существовании и единственности решений системы интегральных уравнений, опирающиеся на принцип сжимающих отображений. Приведена и доказана соответствующая, теорема, в которой также дается оценка коэффициента нелинейности, показывающая границы применимости предложенного метода.

Третья глава является центральной • и посвящена вопросу о разрешимости краевой задачи на собственные значения. Первый параграф решает вопрос о непрерывной зависимости решения краевой задачи от спектрального параметра. Это утверждение будет одним из ключевых при доказательстве существования нетривиального решения поставленной задачи. Основной теоретический результат содержится во втором параграфе второй главы, где даются достаточные условия существования решений дисперсионного уравнения относительно спектрального параметра. Таким образом, при определенных теоремой условиях, существуют осесимметричные ТМ-поляризованные волны, распространяющиеся без затухания в цилиндрических диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных средой с нелинейностью, выраженной законом Керра.

Это утверждение является обобщением известного соответствующего результата в линейной оптике. В этом же параграфе установлены границы каждого из т интервалов, внутри которых существует, по крайней мере, одно решение дисперсионного уравнения. Достаточные условия для распространения ТМ-волн в волноводе зависят не только от малости параметра нелинейности, но также и от других параметров задачи.

Четвертая глава посвящена разработке и реализации численного итерационного метода для решения задачи. В первом параграфе главы приводится формулировка численного метода решения системы интегральных уравнений (в качестве которого используется итерационный метод) и доказывается его сходимость. Приводится оценка скорости ходимости итерационного метода.

Во втором параграфе доказывается существование приближенных собственных значений на каждом из рассматриваемых промежутков. Приближенные собственные значения определяются < как решения дисперсионного уравнения с приближенными собственными векторами, взятыми на п-ой итерации. Далее доказывается утверждение о сходимости приближенных собственных значений к точным.

В третьем параграфе приводятся результаты расчетов приближенных собственных значений и приближенных собственных функций при различных параметрах задачи. Результаты расчетов представлены в графическом и табличном виде.

В Заключении сформулированы основные результаты работы.

В Приложении содержится постановка и решение соответствующей линейной задачи о распространении ТМ-волн в волноводе, а также вывод дисперсионного уравнения для этого случая.

Далее приводится список литературы, состоящий из 90 источников, в том числе 6 работ автора.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В Заключении сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Нелинейная краевая задача на собственные значения, отвечающая процессу распространения поверхностных ТМ-поляризованных электромагнитных волн в круглом диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой, описываемой по закону Керра, сведена к эквивалентной задаче на собственные значения для системы интегральных уравнений.

2. Доказано существование единственного решения системы интегральных уравнений при фиксированных значениях спектрального параметра при выполнении определенных достаточных условий.

3. Доказаны теоремы о существовании и локализации собственных значений нелинейной краевой задачи.

4. Предложен итерационный численный алгоритм для нахождения приближенных собственных значений и приближенных собственных функций нелинейной краевой задачи; доказана сходимость приближенных собственных значений и приближенных собственных функций к точным собственным значениям и собственным функциям задачи; выполнены численные расчеты приближенных собственных значений и приближенных собственных функций для различных значений параметров.

1. Akhmediev N.N., Eleonskii V.M., Kulagin N.E. // Zh. Eksper. Teor. Fiz.,89, 1542 (1985) Sov. Phys. JETP 62,894 (1985).

2. Akhmediev, N.N. Spatial solutions in Kerr and Kerr-like media/ N.N. Akhmediev // Invited Paper, Optical and Quantum Electronics. 1998. -V.30. No 7-10. - P.535-570.

3. Akhmediev, N.N. Modulation instability of the lowest nonlinear mode of a cylindrical waveguide/ N.N. Akhmediev, V.I. Korneev, R.F. Nabiev // Physical Review A. 1991. V.46. - No.l. - P.430-435.

4. Bartling, J.Q. Propagation of an electromagnetic wave in an infinite rectangular dielectric waveguide/ J.Q. Bartling // Journal of the Franclin . May 1969. V.287. - No.5. - P.303-305.

5. Bertolotti, M. Method of lines numerical analysis of nonlinear plener waveguide/ M. Bertolotti, P. Masciulli, C. Sibilia // J Lightwave Technol 12 (1994), P.784-789.

6. Borgnis, F. Electromagnetic Theory. Electromagnetic Waveguides/ F. Borgnis, Papas, J.A. Stratton // Handbuch der Physic 16, Editor Flugge.

7. Born, M. Principles of optics. 3rd Edition/ M. Born, E. Wolf. -Pergamon Press, Oxford, 1965, P. 61-66.

8. Yijiang Chen. Nonlinear fibers with arbitrary nonlinearity/Yijiang Chen // Journal of the Optical Society of America B.- 1991. V.8. - No.ll. -P.2338-2341.

9. Yijiang Chen. TE family of self-guided beams in saturable nonlinear media/ Yijiang Chen // Journal of Light wave Technology. V.9. - No.9. -P. 1208-1213.

10. Chen, W. S polarized guided and surface electromagnetic waves supported by a nonlinear dielectric film/ W. Chen, A.A. Maradudin // J. Opt. Soc. Am. B 5 (1988) P. 529 - 538.

11. Chen, W. Optical behavior of a nonlinear thin film with oblique S -polarized incident wave/ W. Chen, D.L. Mills // Phys. Rev. B 38 (1988) P.12814- 12822.

12. Chernokozhin, E.V. Logarithmic Integral Equations in Electromagnetics/ E.V. Chernokozhin, Yu.V. Shestopalov, Yu.G. Smirnov.- Utrecht, the Netherlands, VSPublisher, 2000.

13. Chiao, R.Y. Self-trapping of optical beams/ R.Y.Chiao, E. Garmire, C.H. Townes // Physical Review Letters. 1964. V. 13. - No. 15. - P.479-482.

14. Davies, J.R. Laser Propagation in Cylindrical Waveguides/ J.R. Davies, J.T. Mendonca // Physical Review E. 2002.- E.66.046604

15. Danikaert, J. Self-consistent stationary description of a nonlinearly Fabry Perot/ J. Danikaert, H. Thienpont, I. Veretennikoff // Opt. Commun. 71 (1989) P.5.

16. Eleonskii, V.N. Cylindrical nonlinear waveguides/ V.N. Eleonskii, L.G. Oganes'yants, V.P. Silin // Soviet Physics JEPT. 1972. - V.35. - No. 1. -P.44-47.

17. Eleonskii, V.N. Self-focusing of a vector field/V.N. Eleonskii, V.P.Silin // ZhETF Fis. Red. 1971. V.13. -No.3. - P.l 17-121.

18. Eleonskii, V.N. Nonlinear theory of penetration of TE-polarized waves into a conductor/ V.N. Eleonskii, V.P. Silin // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1971. -V.33. No.5. - P.1039-1044.

19. Gonthier, F. Mode copling in non-uniform fibers: comparison between coupled mode theory and finite-difference beam-propagation method simulation/ F. Gonthier, A. Henault, S. Lacroix, R. Black, J. Bures // J. Opt. Soc. Amer. B 8 (1991), P.416-421.

20. Haeltermann M. Transverse effects in nonlinear planar resonators/ M. Haeltermann // Modal Theory, J. Opt. Soc. Am. B 7 (1990) P. 1309.

21. Hasegawa A., Brinkman W.F. IEEE J. Quantum Electron, QE-16, 694 (1980)

22. Leung, K.M. Scattering of transverse electric electromagnetic waves with a finite nonlinear film / K.M. Leung // J. Opt. Soc. Am. B 5(2) (1988) P.571 -574.

23. Leung, K.M. Exact results for the scattering of electromagnetic waves with a nonlinear film/ K.M. Leung // Phys. Rev. B.- 1988. №39.- P.3590 - 3598.

24. Marburger, J. H. Theory of lossless nonlinear Fabry -Perot interferometer/ J.H. Marburger, F.S. Felber // Phys. Rev. A . 1978.- №17.- P.335.

25. Mollenauer L.F., Stolen R.H.//Laser Focus 18, 193 (1982).31 .Novotny, L. Light propagation in a cylindrical waveguide with a complex, metallic, dielectric function/ L. Novotny, C. Hafner. // Physical Review E. 1995. V.50. - No.5. - P.4094-4106.

26. Peschel, Th. Investigation of optical tunneling through nonlinear films/ Th. Peschel, P. Dannberg, F. Lederer // J. Opt. Soc. Am. B 5 (1) (1988) P.29 36.

27. Romanova, E.A. Light Guiding in Optical Fibers with Kerr-like Nonlinearity/ E.A. Romanova, L.A. Melnikov, E.V. Bekker // Microwave and optical technology letters. 2002. - V.30, No 3.

28. Schurmann, H.W. Propagation of TE-waves in cylindrical nonlinear dielectric waveguides/ Y.W. Schurmann, Yu. Smirnov, Yu. Shestopalov // Physical Review E.- 2005, 71, №1, pp. 016614-1--016614-10.

29. Sammut, R.A. Gaussian and equivalent-step-index approximations for nonlinear waveguides/ R.A. Sammut, C. Park // Journal of the Optical Society of America B.- 1991. V.8. - No.2. - P.3 95-402.

30. Serov, V.S. Existence of eigenwaves and solitary waves in lossy linear and lossless nonlinear layered waveguides/ V.S. Serov, Yu.V. Shestopalov, H.W. Schurmann // Dokl. Maths. -1996. -P.98-100.

31. Serov, V.S. Propagation of TE waves through a layer having permittivity depending on the transverse coordinate and lying between two halfinfinite nonlinear media/ V.S. Serov, Yu.V. Shestopalov, H.W. Schurmann // Dokl. Maths. 1999. P.742-744.

32. Schurmann, H.W. TE-polarized waves guided by a lossless nonlinear three-layer structure / H.W. Schurmann, V.S. Serov, Yu.V. Shestopalov// Phys. Rev. E. 1998. P.1040-1050.

33. Schurmann, H.W. Solutions to the Helmholtz equation for TE-guided waves in a three-layer structure with Kerr-type nonlinearity/ H.W. Schurmann, V.S. Serov, Yu.V. Shestopalov // J. Phys. A: Math. Gen. 2002. P.10789-10801.

34. Schurmann, H.W. On the theory of reflectivity and trassmissivity of a lossless nonlinear dielectric slab/ H.W. Schurmann, R. Schmoldt HZ. Phys. B.- 1993.-№92.-P. 179-186.

35. Daniel Sjoberg. Guided waves in nonlinear media //

36. Shestopalov, V.P. Equations of Dispersional and Space Time Evolutions of Field of Quasiuniform Electrodynamic Structure Near Morse Critical

37. Point/ V.P. Shestopalov, V.V. Yatsyk// Radiotechnica i Electronica.-2002.- Vol. 45, no. 2, pp.157 164.

38. Smirnov, Yu. Integral Equation Approach for the Propagation of TE-Waves in a Nonlinear Dielectric Cylinrical Waveguide/ Yu. Smirnov, H.W. Schurmann, Yu. Schestopalov// Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 2004, 11, №2, 256-268.

39. Smirnov Y.G., Schurmann H.W., Shestopalov Yu.V. Propagation of TE-waves in a Nonlinear Dielectric Waveguide. Proceedings of Progsess in

40. Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2004), Italy, Pisa, March 28-31,2004, p.28.

41. Snyder, A. Optical Waveguide Theory/ A. Snyder, J. Love.- London: Chapman and Hall, 1983.

42. Stakgold, I. Green's Functions and Boundary Value Problems. -Wiley. 1998. New York.

43. Stratton J.A. Electromagnetic Theory.// Mc Graw Hill, New York 1941.

44. Tai K., Hasegawa A., Tomita A. // Phys. Rev. Lett. 56, 132 (1986).51 .Tai K., Tomita A., Jewell J.L., Hasegawa A. // Appl. Phys. Lett. 49, 236 (1986).

45. Vitrant, G. Transverse effects in nonlinear planar resonators. Modal analysis for normal and oblique incidence/G. Vitrant, M. Haeltermann, R. Reinisch // J. Opt. Soc. Am. B 7 (1990) P.13-19.

46. Yatsyk, V.V. Own Modes Nonlinear Dielectric of a Layer and Algorithm of the Decision of Nonlinear Spectral Problems/ V.V. Yatsyk // Dopovidi Nacionalnoi Akademii Nauk Ukrainy, no. 11,2000, pp. 114-117.

47. Yatsyk, V.V. Numerically Analytical Methods of Solution of the Diffraction Problem on the Nonlinear Dielectric Layer/ V.V. Yatsyk // Computational Physics, no. 12,2003, pp. 1-6.

48. Yatsuk, V.V. Calculation of Own Oscillation Wave Modes Nonlinear Spectral Problems/ V.V. Yatsyk // European Symposium on Numerical Methods in Electromagnetism, JEE"02, Toulouse, France, 6-8 March 2002, part 2, session CW, pp. 1-6.

49. Zeidler, E. Applied Functional Analysis/E. Zeidler. Springer, New York, Berlin, Heidelberg, 1997.

50. Валовик, Д.В. Нелинейная задача на собственные значения для ТМ — поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое/ Д.В. Валовик, Ю.Г. Смирнов // Известия вузов. Математика. — 2008. № 10.-С. 70-74.

51. Валовик, Д.В. О существовании решений нелинейной краевой задачи на собственные решения для ТМ-поляризованных электромагнитных волн/ Д.В. Валовик // Известия Высших учебных заведений. Физико-математические науки. 2008, №2 - С. 86- 94.

52. Валовик, Д.В. Расчет постоянных распространения и полей для поляризованных электромагнитных ТМ — волн в нелинейном анизотропном слое / Д.В. Валовик, Ю.Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. 2009. - Т.54.- № 4. - С. 411-417.

53. Валовик, Д.В. Расчет постоянных распространения ТМ -поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое/ Д.В. Валовик, Ю.Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. 2008. -Т.53.- № 8. - С. 934-940.

54. Виноградова, М.Б. Теория волн/ М.Б. Виноградова, О.В. Руденко, А.П. Сухоруков.- М.: Наука, 1990.

55. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров. М.: Наука, 1981.

56. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 4-е изд./ И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. Москва: Физматгиз, 1963.

57. Даутов, Р. 3. Метод интегральных уравнений и точные нелокальные граничные условия в теории диэлектрических волноводов/ Р.З. Даутов, Е.М. Карчевский. — Казань: Казан, гос. ун-т, 2009. — 271 с.

58. Зайцев, В.Ф. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям/В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. М.: Факториал, 1997г.

59. Ивлиева, С.Н. О некоторых решениях солитонного типа в дискретных моделях для волноведущих структур.// Материалы XIII Международной школы семинара "Синтез и сложность управляющих систем", Пенза, 14-20 октября, 2002. - С. 100 - 104.

60. Ильинский, A.C. Математические модели электродинамики/ A.C. Ильинский, В.В. Кравцов, А.Г. Свешников. М.: Высшая школа, 1991.

61. Ильинский, A.C. О спектре нормальных волн щелевой линии передачи/ A.C. Ильинский, Ю.В. Шестопалов. Радиотехника и электроника, 1981, т.26, 10, с. 2064 - 2073.

62. Ильинский, A.C. Математическая модель для задачи распространения волн в микроволновых устройствах/ A.C.

63. Ильинский, Ю.В. Шестопалов. Вып. 32. М.: Изд - во МГУ, 1980, с. 85 - 103.

64. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров/ Г. Корн, Т. Корн.- М.: Наука, 1968.

65. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. -М.: Наука, 1977

66. Куприянова, С.Н. Собственные электромагнитные волны в диэлектрических волноводах с нелинейной средой/ С.Н. Куприянова // Труды международного юбилейного симпозиума (АПНО 2003), Пенза, 19-22 ноября, 200, т. 1 - с. 30-32.

67. Левин, JI. Теория волноводов. Методы решения волноводных задач/ JI. Левин. -М.: Радио и связь, 1981.

68. Медведик, М.Ю. Численное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой /М.Ю. Медведик, Ю.Г. Смирнов, Э.А. Хорошева // Известия высших учебных заведений.

69. Поволжский регион. Физико математические науки. - 2010. № 1. — С. 2-13.

70. Никольский, В.В. Электродинамика и распространение радиоволн/ В.В. Никольский. М., Наука, 1978.

71. Смирнов, Ю.Г. Математические методы исследования задач электродинамики/ Ю.Г. Смирнов.- НИЦ ПензГУ, 2009. 267 с.

72. Смирнов, Ю.Г. О распространении электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой/ Ю.Г. Смирнов// Радиотехника и электроника. 2005, Т. 50, №2, С. 196-202.

73. Смирнов, Ю.Г. Распространение электромагнитных волн в цилиндрических волноводах, заполненных не линейных средой/

74. Ю.Г. Смирнов, С.Н. Куприянова// Журнал вычислительной математики и математической физики выпуск 10, 2004.

75. Сухоруков, А.П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике/ А.П. Сухоруков.- М., Наука, 1975.

76. Треногин, В.А. Функциональный анализ/ В.А. Треногин. М.: Наука, 1993.

77. Хорошева, Э.А. Применение функций Грина к решению систем нелинейных дифференциальных уравнений/ Э.А. Хорошева // Университетское образование: сборник статей X Международной научно-методической конференции.- Пенза, 2006. С 58-60.

78. Шестопалов Ю.В. Существование дискретного спектра нормальных волн микрополосковых линии передачи со слоистым диэлектрическим заполнением/Ю.В, Шестопалов.- ДАН СССР, 1983, т. 273, 3, с. 594-596.