Метод задачи Коши для решения нелинейных краевых задач сопряжения на собственные значения для электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На пдавах рукописи

і и7

005052794

ЗАРЕМБО Екатерина Викторовна

МЕТОД ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СОПРЯЖЕНИЯ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ- И ТМ-ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В СЛОЕ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

о 4 0КТ 2012

КАЗАНЬ 2012

005052794

Работа выполнена на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, зав. кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет» Смирнов Юрий Геннадьевич

Официальные оппоненты: Карчевский Евгений Михайлович

доктор физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Самохин Александр Борисович

доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики ФГБОУ ВПО «Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики»

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Московский

государственный университет им. М. В. Ломоносова»

Защита состоится 18 октября 2012 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, ауд. 218.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35.

Автореферат разослан «Ш сентября 2012 года и размещен на официальном сайте ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»: www.kpfu.ru

Ученый секретарь диссертационного совета

Липачев Е. К.

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена решению нелинейных краевых задач сопряжения на собственные значения для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих распространение электромагнитных ТМ- и ТЕ-волн в нелинейной среде с произвольной нелинейностью.

Актуальность темы

Задачи распространения электромагнитных волн в нелинейных средах интенсивно изучаются несколько десятилетий. К таким задачам относится распространение волн в волноведущих структурах и, в частности, распространение волн в диэлектрических слоях и диэлектрических цилиндрических волноводах. Явления распространения электромагнитных волн в нелинейных средах находят широкое применение, например: в физике плазмы, в современной микроэлектронике, в оптике, в лазерной технике. Они представляют и самостоятельный математический интерес, поскольку описываются нелинейными задачами сопряжения на собственные значения, общие методы решения которых недостаточно разработаны. Таким образом, прогресс в аналитическом исследовании подобных задач важен и с теоретической, и с практической точек зрения. Разработка численных методов для решения задач этого класса также является актуальной. Данное направление было и является предметом исследования многих авторов (В. П. Силин, П. Н. Елеонский1, В. С. Серов, Ю. В. Шестопалов, H. W. Shürmami2, Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов3, A. D. Boardman4, К. М. Leung5).

Цели работы:

- исследовать задачи о распространении ТМ- и ТЕ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с произвольной нелинейностью;

- сформулировать метод исследования нелинейных краевых задач сопряжения на собственные значения, описывающих процессы распространения ТМ- и ТЕ-волн;

- исследовать разрешимость рассматриваемых нелинейных задач;

- разработать метод нахождения приближенных собственных значений рассматриваемых задач.

JEIconskii Р. N., Silin V. P. Nonlinear theory of penetration of p-polarized waves into a conductor // Soviet Physics JETP. - 1971. - V. 33, № 5. - P. 1039-1044.

2Schürraann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. Reflection and transmission of a plane TE-wave at a lossless nonlinear dielectric film // Physic* D. - 2001. - .V* 158. - P. 197-215.

3Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Распространение электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2010. - 2S4 с.

4Ponath Н.-Е., Stegeman G. I. (editors) Modern problems in condensed matter sciences. V. 29. Nonlinear surface electromagnetic phenomena. - North-Holland: Elsevier Science Publishers, 1991.

5Leung К. M. P-polarized nonlinear surface polaritons in materials with intensity-dependent dielectric functions // Physical Review B. - 1985. - V. 32, ,V> 8. - P. 5093-5101.

Основные результаты диссертационной работы:

1. Для исследования процессов распространения электромагнитных ТМи ТЕ-волн в нелинейных слоях, сводящихся к нелинейным задачам сопряжения на собственные значения, разработан, обоснован и реализован метод задачи Коши.

2. Для рассматриваемых нелинейных задач сопряжения на собственные значения доказаны теоремы существования и локализации собственных значений.

3. Предложен модифицированный метод интегральных дисперсионных уравнений для нелинейных краевых задач сопряжения на собственные значения, описывающих распространение электромагнитных ТМ- и ТЕ-волн в нелинейных слоях. Проведено сравнение численных результатов.

Научная новизна:

для теоретического и численного исследования рассматриваемых нелинейных задач сопряжения на собственные значения применен метод задачи Кошн;

- доказаны теоремы существования и локализации собственных значений для рассматриваемых нелинейных задач сопряжения.

Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для разработки методов исследования нелинейных задач сопряжения (в том числе на собственные значения) в многосвязных областях для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Отметим, что предложенный в рассматриваемой работе метод нахождения приближенных собственных значений может быть использован для практического нахождения постоянных распространения волноведущих структур и обладает следующими достоинствами: метод эффективен и прост в реализации; метод позволяет находить приближенные собственные значения с любой заданной точностью.

Перечисленные достоинства позволяют говорить о большой практической значимости предложенного метода.

Реализация и внедрение полученных результатов

Результаты, полученные в диссертации, включены в отчеты НИР и грантов, выполненных на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет»: РФФИ 11-07-00330-а.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на научных конференциях и семинарах:

- Международной конференции «Days on Diffraction - 2007» (Россия, Санкт-Петербург, 2007);

- V Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (Россия, Санкт-Петербург, 2008);

- IX Всероссийской школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» («Волны-2008») (Россия, Москва, 2008);

- VI Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (Россия, Санкт-Петербург, 2009);

- X Всероссийской школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» («Волны-2009») (Россия, Москва, 2009);

- Научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета (Россия, Казань, 2012);

Международной конференции «32nd Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS)» (Россия, Москва, 19-23 августа 2012 г.);

- Международной конференции «14th Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET2012)» (Украина, Харьков, 27-31 августа 2012 г.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7]. Работы [1-5] опубликованы в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы, содержащего 65 наименований, и приложения. Полный объем диссертации 109 страниц текста с 24 рисунками.

Содержание диссертации

Во введении приводится обзор работ по теме диссертации и вопросам, примыкающим к ней; обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, излагаются краткое содержание и основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена постановке и решению нелинейной краевой задачи сопряжения на собственные значения для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих распространение

электромагнитных ТМ-волн в анизотропном однородном немагнитном диэлектрическом слое. Сформулировано понятие собственного значения рассматриваемой нелинейной задачи. Доказаны теоремы о существовании и единственности решения и непрерывной зависимости решения от параметра вспомогательной задачи Коши; доказана теорема о существовании и локализации собственных значений. Предложен модифицированный метод интегральных дисперсионных уравнений.

Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, анизотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами х<0ях>Ив декартовой системе координат Охуг. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость £1 и £3 соответственно (ех, £3 - произвольные действительные числа). Всюду ц - магнитная проницаемость вакуума. Геометрия задачи представлена на рис. 1.

/////,, III' II 1 ''I'll/ ' II ' / / / / /lililí

е\ '//'•// £3

Х(0 Z( 0 -0) -0) / ' //' ! ! ' '.''''','' 'Хо / t Xh, Zo / ¡ Zh ! X{h + 0) Z(h + 0)

0 'lililí lililí , h X

Рнс. 1. Геометрия задачи

Электромагнитное поле Е и Н удовлетворяет уравнениям Максвелла

J rot Н =—шеЕ, 1 rot Е = iuifiH,

условию непрерывности касательных составляющих электромагнитного поля на границе раздела сред i = 0 и i = ft, а также условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |х| —> оо в областях х < 0 и х > h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид

1 f £xx 0 0

0 0

! lo 0 £zz

где ехх = £/ + е0/(\Ех\2, \Ег\2) и £гг = £д + £од(\Ех\2, \Ег\2). Вид элемента Еуу здесь не описан, поскольку в силу поляризации этот элемент не входит

в изучаемые уравнения. Здесь £/, ед - постоянные составляющие диэлек-. трических проницаемостей ехх, £гг\ ¡(и, у) - однократно непрерывно дифференцируемая по обоим аргументам функция; д(и, у) непрерывная но обоим аргументам функция.

Будем искать решения уравнений Максвелла во всем пространстве.

Рассмотрим ТМ-волны Е = (Ех,0,Ег)т, Н = (0,ЯУ,0)Г, где Ех = Ех(х,у,г), Е, = Ег{х,у,г), Ну = Ну(х,у,г).

Можно показать, что для рассматриваемой геометрии компоненты Ех, Ег, Ну не зависят от переменной у. Волны, распространяющиеся;вдоль границы 2 раздела сред, гармонически зависят от 2. Учитывая сказанное, получаем, что компоненты полей Е и Н имеют представление

Ех — Е1(х)е'7", Ег = Яу = Ну(х)е^г, (2)

где 7 - неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения).

Подставив (2) в (1), выполнив нормировку в соответствии с формулами х = кх, £ = к-^, 7 = ё] = ^ У = 1,2,3), где к% = используя

обозначения Z(x) := Ег, Х(х) гЕх и опуская значок тильды, получаем

-Z" + 7Х' = ezzZ, -Z' + -уХ = ~<~l£xxX.

(3)

Считаем, что

j £Ь г < О, £=<£, 0 < х < h, [ £3, х> h,

и £ тензор, определенный выше. При X < 0 и х > h в системе (3) мы полагаем, что ехх = £zz = const и равно Ei или £3 соответственно.

Решения системы (3) в полупространствах i < 0 и i > Л с учетом условия на бесконечности имеют вид

Х(х) = 1Х{°-°)еХ^Г1> Х<0' (4)

4- х>И-

(5)

7 - £зХ(к + Ез, х>Н,

где Х(0 - 0) известна; Х(Н + 0) определяется из условий сопряжения. Внутри слоя система (3) в нормальной форме имеет вид

нх Та(е,+д)+2(г/-'>'+/)Х»Л,у

~3х - 7(2 ' (б)

где = Л = (далее эти производные понимаются в этом смысле).

Из условий сопряжения для компонент электромагнитного поля получаем следующие условия сопряжения для функций X и Z:

[eX]U = 0, М1=Л=0, [Z]\x=0 = 0, [Z]\x_h = О, (7)

где = ДТ-с/^ - JzJ{x)-

Введем обозначения для граничных значений функций Х(х) и Z(x) на границах слоя 0 < х < h изнутри:

Х0 := Х(0 + 0), Xh:=X(h- 0), Z0 := Z (0 + 0), Zh := Z (h - 0).

Из формул (4), (5) получаем начальные условия для (6):

Х(0):=Х0, Z(0)-.= Z0l (8)

где Хо определяется из условий (7); Z0 = ■у~1\/'у2 — £iX(0 — 0).

Обозначим /о = / {XI, Zg), fh=f (Х%, Z%), тогда из (7) получаем

£iX(0-0) = (Sf + /o)Xo; £3X(h + 0) = (£/ + fh)Xh. (9)

Определение 1. Число 7 = 7, при котором существуют нетривиальные решения Х{х) и Z(x) системы уравнений (б) внутри слоя, удовлетворяющие уаповиям сопряжения (7) и представимые в виде (4), (5) в полупространствах х < 0 и х > h, будем называть собственным значением рассматриваемой задачи. Функции Х(х) и Z(х), которые соответствуют найденному собственному значению 7, будел1 называть собственными функциями задачи.

Теперь мы можем сформулировать нелинейную задачу сопряжения на собственные значения (задача Рм)'- необходимо найти собственные значения 7, для которых существуют нетривиальные функции Х(х) и Z(x) такие, что при х < 0 и х > h функции X и Z определяются выражениями (4), (5), гдеХ(0 —0) известная величина, aX(/i + 0) находится из условий сопряжения (7); при 0 < х < h функции X и Z удовлетворяют системе (6); функции X и Z удовлетворяют условиям сопряжения (7).

Введем некоторые обозначения. Пусть у/тах(гь£з) < 7, < 7* < оо, 7 € [7», 7*] и Ь, 67 < оо некоторые постоянные. Определим множества

П:= {(X, Z) : |Л--Х0| <b,\Z - Z0\ < 6} , П7 := {(X, Zn) ■ \Х - < blt \Z - Z0\ < 67)7 € [7.,7*]} •

Пусть P и Q - правые части уравнений системы (6), и числа М, М7 таковы, что

М > max |Р|, М > max \Q\, M1 > max |P|, M1 > max \Q\.

Можно показать, что имеют место следующие утверждения.

Утверждение 1. Решение задачи Коши для системы (6) с начальными условиями (8) непрерывно дифференцируемо, единственно и существует при всех х е [О, Н], где /г < Ь/М.

Утверждение 2. Решение X {х, 7), Z (х, 7) задачи Коши для системы (6) с начальными условиями (8) непрерывно дифференцируемо относительно х, единственно и существует при всех х £ [О, /1], где /1 < Ь7/М7, и непрерывно зависит отп у, для всех 7 € [7»|7*] •

Величина X (Н + 0,7) является неизвестной и подлежит определению. Из условий сопряжения (7) получаем

X (/г + 0,7) = ез"1 (е/ + / (X2 (А - 0,7), г2 {И - 0,7))) X (Л - 0,7)

и + 0,7) = ~ТЧ12 - £зХ(/г + 0,7).

Величины Х(Л - 0,7) и - 0,7) определяются из решения рассматриваемой задачи Коши. Пусть

1,7) := - 0,7) - + 0,7) = г (к - 0,7)+

+ 7_1£з1 ч/т13^ (е/ + А*а(Л - 0,7), - 0, 7))) Х(Н - 0,7).

Тогда если число 7 = 7 таково, что ^ (/г, 7) = 0, то 7 является собственным значением задачи Рм-

Теорема 1. Пусть выполняются условия утверждения 2 и пусть отрезок [7,7] С [7«, 7*] таков, что F(/г, 7)^(^,7) < 0. Тогда существует по крайней мере одно собственное значение 7 6 [7,7] задачи Рм-

Перейдем к формулировке модифицированного метода интегральных дисперсионных уравнений (МИДУ), который позволяет найти точное дисперсионное уравнение для спектрального параметра задачи Рм.

Введем новые переменные: т(х) = £/ + Х2(х) и г)(х) = Х(х)Е~1(х)т(х), откуда получим, что X2 = г - е2, Хг = (т - £/)гг/-1, Я2 = (г - е2)т2г]~2. Полагаем, что / = / (т - £/, (т - £/)т2гГ2), д = д {т - е{,{т - £/)т2гГ2).

Система (6) в новых переменных примет вид

(Ю)

Г т' = 27 1тг) - £/)х. \ ^ = 7"1 [г?т-1 (ef -72 + /) + (Зг - 2ff/)x] ,

л/ df(u.v) I j-/ Of (и,v) I

здесь и далее /„ = , , „, ,,. Л, = —&Г , 2 _2, W

X = (72(£5 + <?) + 2(Т - sf)(ef - 72 + /)/» - £j)fu + е{ + /J"1. Тогда получим

J = [гг^-Чт - ej)x\ [rfr~l (ef -72 + /) + (Зт - 2£/)x] • (11)

ат]

Будем полагать функции fug таковыми, что правая часть второго уравнения системы (10) положительна.

Теперь мы можем найти знаки выражений г](0) и rj(h). Как видно из (4), (5), (9), величины Х0 и Zq либо одновременно положительны, либо одновременно отрицательны. В то же время из (4), (5), (9) следует, что Хн и Zh противоположных знаков. Учитывая сказанное для г](0) и r](h), получаем

7?(0) = XoZo1 {ef + Xl) > 0, 7,(Л) = -XhZ? (ef + Xl) < 0. (12)

Правая часть второго уравнения (10) положительна, это значит, что функция г) возрастает при х G (0, h). Но из (12) видно, что функция т)(х) не может быть дифференцируема на всем интервале (0, h), а необходимо имеет точку разрыва.

Можно показать, что решения X, Z системы (6) при аналитических правых частях являются аналитическими функциями. Значит, функция Г) может иметь разрывы только второго рода. Эти разрывы есть полюса функции г/, которые находятся в нулях функции Z.

Дисперсионное уравнение имеет вид niW

/ wdrj +{N + 1 )Т = h, (13)

J,,{ о)

где N > 0 - целое число; т](0), r/(h) определяются формулами (12); w = w(r]) = [г]2т~1(е/ - 72 + /) + (Зт — 2е/)х]и т = т(г}) определяется из решения задачи Коши для уравнения (11) с начальными условиями г,(0) = ад-Че/ + ^о). г(0) = Ef + XI и Т = S^wdr,.

Дисперсионное уравнение (13) справедливо для любого конечного h. Когда N ф 0, возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать относительно 7 каждое из получающихся уравнений.

Для того чтобы вычислить значение h для конкретного 7* из уравнения (13), поступаем следующим образом. Пределы интегрирования в (13) при заданном 7* известны. Для вычисления интегралов в (13) используем какой-либо из известных численных методов. Важный момент заключается в том, что при вычислении любого слагаемого в интегральной сумме (квадратурной формуле) необходимо вычислить значение подынтегральной функции в некоторой точке fj. Но в подынтегральную функцию входит Т ЕЕ т(г}). Поскольку мы решили задачу Коши для уравнения (13) с начальными данными 77(0), т(0), то теперь, находя из этого решения значение т, соответствующее значению г}, мы получаем т(г}).

Вторая глава посвящена постановке и решению нелинейной краевой задачи сопряжения на собственные значения для распространяющихся поляризованных электромагнитных ТЕ-волн в изотропном однородном немагнитном диэлектрическом слое. Сформулировано понятие собственного значения рассматриваемой нелинейной задачи. Доказаны теоремы о существовании и единственности решения и непрерывной зависимости решения от параметра вспомогательной задачи Коши; доказана теорема о существовании и локализации собственных значений. Предложен модифицированный метод интегральных дисперсионных уравнений.

Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между полупространствами I < 0 и г > Л в декартовой системе координат Охуг. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость £1, £3 соответственно (еь £3 - произвольные действительные числа). Всюду ц - магнитная проницаемость вакуума. Геометрия задачи представлена на рис. 2.

z 11111,1

'/'////

£1 i'll!'1 ■'//// ' < £3

У (0 - 0) У'(0 - 0) 'Yq'//Yh. yi' ' , yl r0 ' , 'h / Y(h + 0) Y'(h + 0)

0 h x

Рис. 2. Геометрия задачи

Электромагнитное поле Е и Н удовлетворяет уравнениям Максвелла

| TotH = —iu)eE, ^^

| rot Е = шцН,

условию непрерывности касательных составляющих электромагнитного поля на границе раздела сред х = 0 и х = h, а также условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |а;| —» оо в областях х < О и х > h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид

e = e2 + eQf(\E\2),

где £2 - постоянная составляющая диэлектрической проницаемости £\ £о -диэлектрическая проницаемость вакуума; f(x) - непрерывная функция. Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве. Рассмотрим ТЕ-волны: Ё = (0,ЕУ,0)Т, Н = (Hx,0,Hz)T, где Еу = Еу{х, у, z), #х = Нх(х, у, z), Нг = Нг(х, у, z).

Можно показать, что для рассматриваемой геометрии компоненты электромагнитного поля не зависят от у. Волны, распространяющиеся вдоль границы г раздела сред, гармонически зависят от г. Учитывая сказанное, получаем, что компоненты полей Е п Н имеют представление

Еу = Еу(х)е'^, Нх = Нх(х)е^, Нг = Hz{x)eilz, (15)

где 7 - неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения).

Подставив (15) в (14), выполнив нормировку в соответствии с формулами х = кх, £ = 7 = 2 ё}. = | 0' = 1,2,3), где к1 = шиспользуя обозначение У(х) :— Е^ и опуская значок тильды, получаем

У"(х) = {-у2-ё)У(х). (16)

Считаем, что

!£и х<0,

£2 + /(У2), 0 < х < И,

£3, X > к.

Решения уравнения (16) в полупространствах 1<0иг>Ас учетом условия на бесконечности имеют вид

Г(х) = / - х < О,

где У(0 - 0) известна; У (/г + 0) определяется из условий сопряжения.

Внутри слоя уравнение (16) имеет вид

¥"(х) = (72 - е2 - /(У2)) У(х). (19)

Из непрерывности касательных составляющих электромагнитного поля получаем следующие условия сопряжения для функций У и У':

№-о = 0, ши = 0, [У]1х=о = пи = 0, (20)

Введем обозначения для граничных значений функций У(х) и У (ж) на границах слоя 0 < х < /г изнутри

Уо := У(0 + 0), У„ := У(Л - 0), У0' := У'(0 + 0), УЛ' := У'(/г - 0).

Из условий сопряжения (20) получаем У0 = У(0-0), УЛ = У(Л + 0), Уо^ч/У^Уо, УЛ' = -У7^¡п. (21)

Определение 2. Число 7=7, при котором существует нетривиальное решение У(х) уравнения (16) внутри слоя, удовлетворяющее условиям сопряжения (20) и представимое в виде (17) в полупространствах х < 0 и х > Н, будем называть собственным значением рассматриваемой задачи. Функцию У(х), которая соответствует найденному собственному значению 7 = 7, будем называть собственной функцией задачи.

Теперь мы можем сформулировать нелинейную задачу сопряжения на собственные значения (задача Ре): необходимо найти собственные значения 7, для которых существуют нетривиальные функции Y(x) и У такие, что при х < 0 и х > h функция У определяется выражениями (17), где У(0 — 0) - известная величина, a Y(h + 0) определяется из условий сопряжения; при 0 < х < h функция У удовлетворяет уравнению (19); функции Y и Y' удовлетворяют условиям сопряжения (20).

Запишем уравнение (19) в виде системы. Пусть Yj := У, У2 := У', тогда

{^' = (?-е2-/(У12))У1. (22)

Из формул (21) получаем начальные условия для (22)

У1(0) = Yq, У2(0) = vV - £IY0. (23)

Введем некоторые обозначения. Пусть y/max(ei,е3) < -у, < у* < оо, 7 € [7,,7*] и 6, Ь7 < оо - некоторые постоянные. Определим множества

П := {(УЬУ2) : |У1 - Ус1 < Ь, |У2 - vV - eiVol < -П7 := {(УьУ2,7) : - Y0\ < 67, |У2 - V72 - < 6,„7 6 [7.,7*]} •

Пусть Р и Q — правые части уравнений системы (22), числа М, М7 таковы, что

М > max|P|, М > max|Q|, > max|F|, М7 > max ¡Q|.

Можно показать, что имеют место следующие утверждения.

Утверждение 3. Решение задачи Коши для системы (22) с начальными условиями (23) непрерывно дифференцируемо, единственно и существует при х е [0, h], где h < Ь/М.

"Утверждение 4. Решение Y\(x, 7), Уг(х, 7) задачи Коши для системы (22) с начальными условиями (23) непрерывно дифференцируемо относительно х, единственно и существует при всех х € [0, h], где h < Ь7/М7, и непрерывно зависит от 7 для всех 7 € ¡7»! 7*]-

Используя условия сопряжения (20), мы получаем, что

Yi(h — 0,7)= Y\(h + 0,7), Yi(h — 0,7) = У2(Л + 0,7), (24)

причем У1 (h — 0,7) и У2 (h — 0,7) есть предельные значения решения задачи Коши на границе изнутри слоя. Из формул (21) получаем, что Yi (h + 0,7) = Yh и У2 (h + 0,7) = - vV - e3Yh. Теперь, учитывая формулы (24), получаем, что

Yi(h — 0,7) = Y/,, У2(Л-0,7) = -\/72-езП- (25)

Но величина У/, является неизвестной и подлежит определению. Из первой формулы (25) получаем, что У/, := Ух (/г — 0,7). Пусть ^(/г, 7) := := ?2(Л — 0,7) + у/'у2 — гзУц'/г — 0,7). Тогда, если число 7 = 7 таково, что = 0, то 7 является собственным значением задачи Ре-Теорема 2. Пусть выполняются условия утверждения 4 и пусть отрезок [7,7] С [7«,7*] таков, что ^(Л,7)^(/г,7) < 0. Тогда существует по крайней мере одно собственное значение 7 € (7,7) задачи Ре-

Перейдем к формулировке модифицированного метода интегральных дисперсионных уравнений, который позволяет найти точное дисперсионное уравнение для спектрального параметра задачи Ре.

Введем новые переменные: т{х) = £2 + ^{х), т]{х) — (ее)1 (сс)-г(а;), откуда получим, что У2 = т — е2> У1У2 = (т — £2)т?7~\ У22 = (т ~ ^г)7"2'?-2-Система (22) примет вид (мы обозначили то = £27~~2)

Г т' = 2(т-£2)тг,~\

I г/' = 72 (то - 1 + 7_2/(т - £2)) ^т"1 + Зт - 2е2, ¿г 2(т — б:2 )т?7_1

(26)

(27)

йт) 72 (то - 1 + 7"2/(г - е2)) ^т"1 + Зт - 2еа'

Будем полагать функцию / такой, что правая часть второго уравнения системы (26) положительна.

Из начальных условий и условий сопряжения получаем т(0) = £2+У12(0), т(К) = £2 + У^СО; поскольку значение Ух(0) известно, то и т(0) известно.

Для 77(0) и 7?(/г) получаем

,(„).£^т>„, „№)=_Й±2Ш<„, (28)

у7 ~ £1 УТ'1 - £з

Правая часть второго уравнения (26) положительна, это значит, что функция 77 возрастает при х € (0, К). Но из (28) видно, что функция г)(х) не может быть дифференцируема на всем интервале (0, К), а необходимо имеет точку разрыва.

Можно показать, что решения У уравнения (19) при аналитической правой части являются аналитическими функциями. Значит, функция 77 может иметь разрывы только второго рода. Эти разрывы есть полюса функции 77, которые находятся в нулях функции У.

Дисперсионное уравнение имеет вид

- / -шйт] + (ЛГ + 1) Т = Л, (29)

Л,( о)

где N > 0 - целое число; 77(0), 77(^1) определены формулами (28); г = т(?7) определяется из решения задачи Коши для уравнения (27) с начальными условиями 77(0) = т(0) = £2 + У^О) и Т = юсСт].

Дисперсионное уравнение (29) справедливо для любого конечного h. Когда N ф О, возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать относительно -у каждое из получающихся уравнений.

Для того чтобы вычислить значение h для конкретного 7* из уравнения (29), поступаем следующим образом. Пределы интегрирования в (29) при заданном 7* известны. Для вычисления интегралов в (29) используем какой-либо из известных численных методов. Важный момент заключается в том, что при вычислении любого слагаемого в интегральной сумме (квадратурной формуле) необходимо вычислить значение подынтегральной функции в некоторой точке r¡. Но в подынтегральную функцию входит т = г(т?). Поскольку мы решили задачу Коши для уравнения (29) с начальными данными 77(0), т(0), то теперь, находя из этого решения значение т, соответствующее значению r¡, мы получаем т(т}).

Третья глава посвящена формулировке и обоснованию метода нахождения приближенных собственных значений рассматриваемых нелинейных задач. На основе результатов, изложенных в первых двух главах, изучены конкретные виды нелинейностей. Приведены как новые численные результаты, так и проведено сравнение с МИДУ.

Рассмотрим метод нахождения приближенных собственных значений для ТМ-волн (формулировка метода для ТЕ-волн аналогична).

Пусть 0 < К < h* < 00 и у^шах (гь £3) < 7, < 7* < оо - некоторые числа. Считаем, что h € [h„h*] и 7 6 [7.,7*]- Разбиваем отрезки [h„h'\ и [7»!7*] на п и m частей соответственно. Имеем сетку {/i¿,7j}> * = 0>n> j = Ü~m; причем h0 = К, hn = h\ 70 = ъ, 7m = 7*- Тогда для каждой пары индексов (i,j) будем иметь пару начальных значений 0), Z¿j(0)),

где Хц{0) = Х0 и Zij(0) = ~ - 0), а Х0 определяется из

уравнения £1Х(0 - 0) = (е/ + f(X$, Z$)) Х0.

Поставим задачу Коши для системы (6) с начальным условием Хц (0), Z¡j(0). Величина 7 является параметром в системе (6), и решения этой системы зависят от 7. Решив указанную задачу Коши, получаем значения Xij(h) = Xj (Ы) и Zíj (h) = Zj(hi). Поскольку eX непрерывна при x = h, то это позволяет вычислить Xij(h+0) = (с/ + f(Xj{hi),Zj{hi))) Xj(h¡).

Теперь, используя вторую формулу (5) и найденное Хц{к + 0), находим Zij(h + 0) = Xij{h + 0). Но значение Z^h - 0) известно из решения задачи Коши. Принимая во внимание непрерывность Z(x) на границе х = h, построим функцию

F(hhlj) = Zy(fc + 0) - Zjj(h - 0) =

= -7-Vv4?-£3(£/ + /(4(4-4W)) ~ z«w-

В диссертации показано, что F(fc¡,7j) является непрерывной функцией параметра 7. Пусть для заданного h¡ существуют такие 7и 7J+i, что

(Л;, 7^+1) < 0. Значит, существует по крайней мере одно значение 7; € (Т; >7.7+1) такое, что 7,- является собственным значением рассматриваемой задачи о распространении волн и этому собственному значению соответствует толщина слоя /¡.¡.

Обозначим (7(7) := Г(/г;,7)- Пусть е > 0 — погрешность нахождения собственного значения. Пусть интервал (71>71) такой, что С'(71)61(71) < 0. Обозначим 7 б (ТрТь) искомое собственное значение.

Определим середину отрезка 7! = и вычислим значение <3(71).

Проверяем следующие условия:

1. Если (71)1 < е, то 71 - искомое приближенное собственное значенне.

2. Если £7(7^(3 (7^ < 0, то 7 £ (7^70- Тогда полагаем 72 := 7 и 72 '= 71, и, значит, приближенное собственное значение 72 € (72, 7г)-

3. Если б (71) (3(7[) < 0, то 7 6 (71.71)- Тогда полагаем 72 := 7! и 72 := 71, и, значит, приближенное собственное значение 72 € (72>7г)-

Выполнив п итераций, получаем, что искомое приближенное собственное значение^ 6 (7п.7п)- Ясно, что |7п —7„| = 2~"|71 — 1- Выберем п таким образом, чтобы 2тг |71 — 711 < £■ Тогда за приближенное собственное значение 7п можно принять, например, середину отрезка (7п,7п)> те- % = ""2''"■

Теорема 3. Пусть F(■2l)F(:y1) < 0, выполняются условия теоремы 1 и {Тп} ~ последовательность приближенных собственных значений, тогда Нт„-,ю7п = 7-

Для задачи Ре имеет место аналогичная теорема.

Теорема 4. Пусть -^(7^-^(71) < 0, выполняются условия теоремы 2 и {7п} ~ последовательность приближенных собственных значений, тогда Нгпп-юс 7„ = 7.

Результаты расчетов

Нелинейность с насыщением (ТМ-волны). Диэлектрическая проницаемость внутри слоя является скалярной функцией и имеет вид

а {\ЕХ\2 + \Ег\2) £2 + £о1+р(\Ех\1 + \Ег\*У

результаты расчетов дисперсионных кривых представлены на рис. 3 слева.

Керровская нелинейность (ТЕ-волны). Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид

£ = е2 + еаа\Ё2\,

результаты расчетов дисперсионных кривых представлены на рис. 3 справа.

7 3.5

2.5'

1.5-

3

2

5 10 15 20 25 30 35 Л

0

10

20

30 Л

Рис. 3. Дисперсионные кривые для линейного (пунктирные линии) и нелинейного (сплошные линии и ромбы) слоев: слева - £1 = 1, е2 = 4, ез = I, Zo = 1, а = 0.001, 0 = 0.001; сплошные кривые рассчитаны с помощью предложенного в этой диссертации метода; справа - ц = 1.1, е2 = 1-7, £з = 1-1, " = 0-02, = 1; сплошные кривые рассчитаны МИДУ, ромбы вычислены с помощью предложенного в этой диссертации метода

Публикации автора по теме диссертации Статьи в научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Зарембо, Е. В. Об одном численном методе решения нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТМ-волн, распространяющихся в слое с керровской нелинейностью / Е. В. Зарембо // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 1. - С. 75-82.

2. Зарембо, Е. В. Численный метод решения нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТЕ-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью / Е. В. Зарембо // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 2. - С. 00-75.

3. Зарембо, Е. В. Численный метод решения нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТМ-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью / Е. В. Зарембо // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 3. - С. 58-71.

4. Сысова, Е. В. Решение задачи дифракции электромагнитной ТЕ-волны на диэлектрическом слое с нелинейностью некерровского типа / Е. В. Сысова, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Сер. «Естественные науки». 2006. № 5. С. 116 121.

5. Сысова, Е. В. Итерационные решения уравнения непараксиальной динамики пространственного спектра монохроматической двумерной ТЕ-волны в среде с кубичной по полю нелинейностью / Е. В. Сысова // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. Сер. «Оптотехника, Оптоинформати-ка, Оптические материалы». - 2008. - № 58. - С. 47-50.

Публикации в других изданиях

6. Сысова, Е. В. Непараксиальная динамика пространственного спектра монохроматической двумерной ТЕ-волны в среде с кубичной по полю нелинейностью / Е. В. Сысова // Оптоинформатика, наносистемы и теплотехника : сборник трудов конференции молодых ученых. - СПб. - 2009. -Вып. 3. - С. 162-166.

7. Zarembo, Е. V. Electromagnetic ТМ wave propagation in nonlinear multilayered waveguides. Numerical technique to obtain propagation constants / E. V. Zarembo, D. V. Valovik // 2012 International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Proceedings. - Kharkov, 2012. -P. 105-108.

Научное издание

ЗАРЕМБО Екатерина Викторовна

МЕТОД ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СОПРЯЖЕНИЯ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ- И ТМ-ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В СЛОЕ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Редактор А. Г. Темпикова Технический редактор Ф. Д. Фафурин Компьютерная верстка Е. В. Зарембо

Подписано в печать 10.09.2012. Формат 60 х 841/1б-Усл. печ. л. 0,98 Заказ № 672. Тираж 100.

Пенза, Красная, 40, Издательство ПГУ Тел./факс: (8412) 56-47-33; е-шаіі: iic@pnzgu.ru

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Метод задачи Коши для решения нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для ТМ-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью

1.1 Постановка задачи.

1.2 ТМ-поляризованные электромагнитные волны

1.3 Решение системы дифференциальных уравнений.

1.4 Условия сопряжения и задача сопряжения.

1.5 Существование собственных значений

1.6 Модифицированный метод интегральных дисперсионных уравнений

ГЛАВА 2. Метод задачи Коши для решения нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для ТЕ-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью

2.1 Постановка задачи.

2.2 ТЕ-поляризованные электромагнитные волны.

2.3 Решение системы дифференциальных уравнений.

2.4 Условия сопряжения и задача сопряжения.

2.5 Существование собственных значений

2.6 Модифицированный метод интегральных дисперсионных уравнений

ГЛАВА 3. Вычисление приближенных собственных значений

3.1 ТМ-поляризованные волны.

3.1.1 Метод нахождения приближенных собственных значений.

3.1.2 Керровская нелинейность.

3.1.3 Нелинейность с насыщением.

3.2 ТЕ-поляризованные волны.

3.2.1 Метод нахождения приближенных собственных значений.

3.2.2 Керровская нелинейность.

3.2.3 Нелинейность с насыщением.

Задачи распространения электромагнитных волн в нелинейных средах интенсивно изучаются последние несколько десятилетий [1, 2, 6, 40, 44, 55, 63]. К таким задачам относится распространение волн в волноведу-щих структурах и, в частности, распространение волн в диэлектрических слоях и диэлектрических цилиндрических волноводах (интерес привлекают и изучаются, в том числе и многослойные структуры см, например, [48, 54]). Явления распространения электромагнитных волн в нелинейных средах представляют как самостоятельный математический интерес, так и находят широкое применение, например: в физике плазмы, в современной микроэлектронике, в оптике, в лазерной технике [1, 2, 3, 6, 40, 50].

Задачи с правильной геометрией (плоские слои, круглые цилиндрические волноводы) привлекают внимание, как широкими практическими приложениями (см., например, [1, 3, 40]), так и возможностью получать точные решения, по крайней мере, для некоторых типов нелинейностей и некоторых типов волн (см., например, [8, 9, 10, 11, 12, 30, 31, 47, 49, 52, 57, 58, 63, 64]). С другой стороны, такие задачи являются источником новых математических результатов, поскольку многие проблемы о распространении электромагнитных волн в нелинейных средах, при строгой формулировке их как краевых задач математической физики, представляют собой нелинейные задачи (начально-краевые задачи, краевые задачи, задачи сопряжения, задачи на собственные значения [12, 63]), которые не удается решать известными методами. Вследствие этого большое значение приобретает разработка математических моделей для таких задач и методов их решения, как аналитических, так и численных.

К основным нелинейным эффектам, возникающим в веществе при распространении в нем электромагнитных волн, относятся явления самофокусировки, дефокусировки и самоканализации лучей и т.д. [3, 6, 28].

Самофокусировка света в средах с положительной нелинейностью показателя преломления представляет собой классическое явление нелинейной оптики, основные особенности которого уже хорошо изучены. В настоящее время это явление опять привлекло значительное внимание в связи с практическими задачами предельной локализации световых полей, например, в лазерной литографии при создании вычислительных устройств все меньших размеров.

В [37] пространственная локализация светового излучения при его самофокусировке в поперечные размеры, соизмеримые и меньшие длины волны, изучается на основе спектрального подхода, в рамках которого выводятся и решаются уравнения динамики пространственных спектров излучения. Преимущества такого подхода перед полевым (в котором изучаются решения уравнений динамики поля световой волны) при изучении однонаправленной эволюции спектров непараксиального монохроматического излучения были продемонстрированы в [27], а непараксиальных световых волн из малого числа колебаний в [24]. В [37], по-видимому, впервые получены аналитические решения нелинейных уравнений динамики пространственного спектра непараксиального монохроматического излучения, описывающие как сверхуширение пространственного спектра в нелинейной среде, так и возможную генерацию при этом обратного излучения. Для нелинейного спектрального уравнения удобно строить решения, с помощью итерационного процесса. Поскольку линеаризованное уравнение, в отличие от его полевого аналога, легко решается в квадратурах. Эти решения естественно выбирать за начальное приближение. Итерационный метод позволяет свести нелинейное интегро-дифференциальное уравнение к системе линейных однородных и неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Уравнения, описывающие распространение волн в нелинейной среде, с нелинейностью, выраженной законом Керра, были выведены в 19641965 гг. [38], где представлены расчеты цилиндрических самоподдерживающихся волноводных каналов в изотропном нелинейном диэлектрике с положительным волновым числом и керровской нелинейностью.

Задачи распространения монохроматических плоских поляризованных волн в линейном слое и линейном круглом цилиндрическом волноводе хорошо изучены (см., например, [1, 7]). Такие задачи представляют собой задачи сопряжения на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти задачи сводятся к отысканию тех значений спектрального параметра (по сути собственных чисел - значений постоянной распространения), при которых волна может распространяться. Собственные значения рассматриваемых задач удовлетворяют некоторому уравнению, которое называется дисперсионным уравнением. Именно на нахождении дисперсионного уравнения необходимо сосредоточить внимание в рассматриваемых задачах. Однако в случае нелинейных задач многие авторы [49, 52, 53] уделяют большее внимание нахождению решений дифференциальных уравнений. Нахождение решений системы дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемое явление, дает математическое выражение компонент электромагнитного поля и ничего не говорит о том, при каких значениях спектрального параметра волны существуют. Ясно, что нелинейные дифференциальные уравнения не всегда удается проинтегрировать. В этом случае до дисперсионного уравнения дело просто не доходит. Конечно, имея явные решения дифференциальных уравнений, описывающих распространение волн можно получить дисперсионное уравнение. Однако в некоторых случаях дисперсионное уравнение можно найти в явной форме и при этом не обладать решениями дифференциальных уравнений [12, 15, 63]. С математической точки зрения дисперсионное уравнение является уравнением относительно спектрального параметра, анализ которого позволяет делать заключение о существовании решений краевой задачи на собственные значения.

Задачи распространения плоских монохроматических поляризованных электромагнитных волн в нелинейных слоях и нелинейных круглых цилиндрических волноводах для случая керровской нелинейности изучены в работах [3, 9, 11, 12, 30, 55, 58, 63]. Керровская нелинейность имеет вид е = S2 + а\Е\2, где е - диэлектрическая проницаемость внутри слоя, £2 - постоянная составляющая диэлектрической проницаемости е, а - коэффициент нелинейности, Е - напряженность электрического поля. Результаты, связанные с распространением электромагнитных ТЕ-волн в различных волноведущих структурах, как в круглом цилиндрическом волноводе, так и в слое, представлены в [15, 30, 43, 47, 51, 57, 59, 61, 63]. Работы Ю.Г. Смирнова и С.Н. Куприяновой [12, 30, 47] посвящены изучению краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТЕ-волн, распространяющихся в нелинейном круглом (цилиндрическом) волноводе с нелинейностью, выраженной законом Керра. Для решения краевой задачи на собственные значения в применяется метод функций Грина, а решение получающегося нелинейного интегрального уравнения находится итерационным методом. Работы Ю.Г. Смирнова и Э.А. Хоро-шевой [12, 32, 33, 34, 39] посвящены аналогичной задаче для ТМ-волн. В работе H.W. Schiirmann, B.C. Серова и Ю.В. Шестопалова. [57] изучается отражение и прохождение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейном слое. Слой расположен между двумя полубесконечными линейными средами. Все среды предполагаются средами без потерь, немагнитными изотропными и однородными. В этом случае удается проинтегрировать получившиеся обыкновенные дифференциальные уравнения и выразить компоненты электромагнитного поля в терминах эллиптической функции Вейер-штрасса. Задача о распространении ТЕ-поляризованных волн в однородной нелинейной среде с нелинейностью вида £ = £о + а\Е\2 + /3\Е\4 была решена в [13, 31], где были получены аналитические решения соответствующих дифференциальных уравнений, выраженных через эллиптическую функцию Вейерштрасса (см. также [60]), а также представлены результаты расчетов.

Случай распространения электромагнитных ТМ-волн в нелинейных средах является более сложным, чем случай ТЕ-волн, т.к. наличие двух компонент электрического поля усложняет анализ [12, 41]. В уже упоминавшейся работе [56] рассматривается линейный диэлектрический слой, окруженный с одной или двух сторон нелинейной средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Подобная задача для ТЕ-волн решена аналитически [42, 62]. Для случая ТМ-волн в [56] получено дисперсионное уравнение для собственных значений задачи, которое представляет собой алгебраическое уравнение. Существенный прогресс при изучении распространения ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью достигнут в работе [11]. Слой располагается между двумя линейными полубесконечными средами без потерь. Предложенный в [11] метод, получивший название метода интегральных дисперсионных уравнений (МИДУ) далее был развит [12, 14, 63] и применен к широкому классу задач о распространении ТЕ-и ТМ-волн в слоях с произвольными нелинейностями. Для ТЕ-волн МИДУ позволяет получать дисперсионное уравнение для произвольных нели-нейностей, однако для ТМ-волн есть существенное ограничение. А именно, пусть диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диагоку в силу поляризации этот элемент не входит в изучаемые уравнения. Здесь е/, Ед - постоянные составляющие диэлектрических проницаем0-стей ехх, егг. Для вывода дисперсионного уравнения используется условие дехх дсгг дЩ ~ дЕ1

49], где Е = (Ех, 0, Ег) - вектор электрического поля.

Методы, предложенные в этой диссертации (метод задачи Коши и модифицированный МИДУ), позволяют находить собственные значения даже в том случае, когда условие = не выполняется.

Математические модели с учетом нелинейных эффектов, строгие постановки задач электродинамики и некоторые результаты представлены в работах П.Н. Елеонского и В.П. Силина [45, 46].

При исследовании линейных спектральных задач теории волноводов применялись различные методы (см. [25, 26] и имеющуюся там библиографию). Основными методами являются: вариационный метод [5, 29], метод оператор-функций [26], метод интегральных уравнений [19, 35], метод операторных пучков [35, 36] и некоторые другие.

Построение математических моделей для описания нелинейных эффектов при распространении плоских монохроматических поляризованных электромагнитных волн в веществе приводит к нелинейным задачам сопряжения на собственные значения [30, 45, 46, 47, 63], которые в большинстве случаев не поддаются решению известными методами. Таким образом, приобретает все большее значение аналитическое и численное изучение явлений, связанных с нелинейными эффектами и различным их влиянием на распространение электромагнитных волн в веществе.

В данной диссертации рассматриваются краевые задачи сопряжения для плоских монохроматических поляризованных электромагнитных волн, распространяющихся в анизотропном однородном немагнитном диэлектрическом слое с произвольной зависимостью диэлектрической проницаемости от модуля напряженности электрического поля. Отдельно рассматриваются задачи для ТМ- и ТЕ-волн. Слой располагается между двумя изотропными однородными немагнитными полупространствами без источников с постоянными диэлектрическими проницаемостями. Здесь имеется ввиду, что дифференциальные уравнения, описывающие явление нелинейно зависят от искомых функций и нелинейно зависят от спектрального параметра, кроме того, условия сопряжения нелинейно зависят от спектрального параметра. Отметим, что такие задачи не могут быть переформулированы как краевые задачи на собственные значения. Кратко представим результаты работы.

Электромагнитное поле Е и Н удовлетворяет системе уравнений Максвелла rot Н = —гсоеЕ * (1) rot Е = гицН, условию непрерывности касательных составляющих электромагнитного поля на границе раздела сред х = 0 и х = h, а также условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |х| —>• оо в областях х < 0 и х > h.

Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:

E = (Ex,0,Ez)T, Н = (0, Ну, 0)т, где Ех = Ex(x,y,z), Ez = Ez(x,y,z), Ну = Hy(x,y,z). Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диагональным тензором: f £хх 0 0 \ О Еуу О о 0 ezz ) щеехх = £f+£0f (\ЕХ\2 , \EZ\2^ U£zz = Ед+£0д (\ЕХ\2 , \Ez\2y Вид элемента £уу здесь не описан, поскольку в силу поляризации этот элемент не входит в изучаемые уравнения.

Здесь е/, Eg - постоянные составляющие диэлектрических проницае-мостей ехх, £zz; f (u,v) - однократно непрерывно дифференцируемая по обоим аргументам функция; g{u,v) - непрерывная по обоим аргументам функция.

Можно показать, что для волн, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред компоненты полей Е и Н имеют представление

Ех = Ex (х) Ez = Ez (х) ег7~\ Ну = Ну (х) е'7*, (2) где 7 - неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

Подставляя (2) в (1), нормируя, используя обозначение Z (х) :— Ег, X (х) := гЕх, опуская значок тильды, получаем г" + 7х' = егхг, ■г, + 1х = 1-1ЕХХх. з)

Будем искать те значения спектрального параметра 7 (собственные значения), для которых существует действительные решения X (х), Z (х) уравнения (3), 7 полагаем действительным числом (так что \Е\2 не зависит от г).

Геометрия задачи представлена на рис. 1.

2 уі / ' / / / / ' / ' / / / / / 11/11,1 ' / / / / / / / /////// ' !''■// !

II' Є II ■ ! ' , , / / ' І' II II > ' / / / / / / < ¿3

Х(0 -0) 'Хо / / Хь / Х(/і + 0)

2(0 -0) ' / / ^ / ' ' ! ! ,' ! ! ' 1 1 ,,!, ! £(/і + 0)

0 ' II ! / / / 1111///, /і ж

Рис. 1. Геометрия задачи

В полупространствах х < 0 и х > И из (3) получаем

X (0 - 0) е^ч/^, х < 0

Х{х) = 7

-і

X (Н + 0) е-^-Цу/ї*-**, Х>К - єхХ (0 - 0)

4) х < 0

5)

-7-1л/72 — Є3Х {Н + 0) х > К. где X (0 — 0) - начальное условие, а. X {К + 0) определяется из условий сопряжения.

Внутри слоя 0 < х < к уравнении (3) принимает вид

X 72(£g+ff)+2(£/-72+/)X2/; dx 7(2X2 f^+ef+f) f = ±b*-ef-f)X,

ГПР f - df{X2,Z2) ff df(X2,Z2) 1ДС Ju ~ dX2 ' Jv ~ dZ2

Условия сопряжения для функций X и Z ии = », ИЦ = », [2]U = 0, [Z]и = о, (7) где [/] = Jm о / (х) - Jmo f (х).

Формулировка задачи Рм- необходимо найти собственные значения 7, для которых существуют нетривиальные функции X (х) и Z (х), такие, что при х < 0 и х > к функции X и Z определяются выражениями (4), (5), где X (0 — 0) - известная величина, а X (к + 0) находится из условий сопряжения (7); при 0 < х < к функции X и Z удовлетворяет системе (6); функции X и Z удовлетворяют условиям сопряжения (7).

Опишем кратко метод, позволяющий находить приближенные собственные значения рассматриваемой задачи с любой заданной точностью.

Пусть 0 < /1* < к* < оо и д/тах (£1, £3) < 7* < 7* < оо - некоторые числа. Будем считать, что к £ [/г*, к*) и 7 Е [7*>7*]- Разбиваем интервалы [/&*,/&*] и [7*,7*] на п и т частей соответственно. Имеем сетку {/гг>7?}> г = 0,71, ^ — 0, га; причем Но = /г*, кп = к*, 70 = 7*, 7т = 7*- Тогда для каждой пары индексов (г, будем иметь пару начальных значений

Хгз (0), г%3 (0)), где (0) = Х0 и г13 (О) = 7;У7,2 - ехХ (О - О), а х0 определяется из уравнения є\Х (0 — 0) = (є/ + / ^р)) Х0.

Теперь можно поставить задачу Коши для уравнения (6) с начальным условием Хгз (0), Zl3 (0). Решив указанную задачу Коши, получаем значения Хгз (к) = Х3 (кг) и Zгз (к) = Z3 (кг). Поскольку еХ непрерывна при х = к, то это, позволяет вычислить X (к + 0), а именно: к + 0) = £3-1 (Є/ + / ({Х3 {К))2, (гз (кг))2)) х3 (кг) , откуда находим Хгз (к + 0). Теперь используя вторую формулу (5) и найденное Хгз (к + 0), находим ZlJ (/г + 0) = ~ £зХ13 (к + 0). Но значение ZгJ (к — 0) известно из решения задачи Коши. Принимая во внимание непрерывность Z (ж) при х — к построим функцию кг,ъ) = г13 (к + о) - г13 {к- о) = = -7"Ч"У7? - ез + f > (^))2)) ХЧ СО - ^ СО •

Можно показать, что Е (кг, ^у3) - непрерывная функция параметра 7.

Пусть для заданного кг существуют такие числа /у3 и 7^+1, что Е (кг, 7^) ^ (/гг, 7^+1) < 0. Это значит, что существует 73 е (7^,7^+1) такое, что 7^ является собственным значением рассматриваемой задачи о распространении волн и этому собственному значению соответствует толщина слоя кг. Значение 73 может быть найдено с любой степенью точности, например, методом дихотомии.

Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны: = (0,Еу,0)т, Н = (Нх, 0, #г)т, где Еу = Еу(х,у,г), Нх = Нх(х,у,г), Нг = Н2(х,у,г). Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид £ = £2 + Ео/{\Е\2), гДе £2 - постоянная составляющая диэлектрической проницаемости £', £о~ диэлектрическая проницаемость вакуума; /(х) € С[0, к].

Можно показать, что для волн, распространяющиеся вдоль границы г раздела сред компоненты полей Е и Н имеют представление

Еу = Еу(х) ег7г, Нх = Нх (х) е**х, Нг = Я2(х)ег^, (8) где 7 - неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

Геометрия задачи представлена на рис. 2.

Подставляя (8) в (1), нормируя, используя обозначение У (х) := Е^ и, опуская значок тильды, получаем

У" (х) = (72 - е) У (х). (9)

13 г |/ ! ' / ' / / ' / / / / / / / II II II , ' ' lililí ' lililí ■II' III ! < £ II ■'',,//' 1 1 II II 1 ' / / / / / / • £3

У(0 -0) 'Уо i i Yh i Y(h + 0)

У'(0 -0) Y>' '/ Y' ■ Г0 1 1 /h 1 1 1 1 / / 1 1 Y'{h + 0)

0 'lililí 'lililí. h x

Y(x) =

10)

И)

Рис. 2. Геометрия задачи

Будем искать те значения спектрального параметра 7 (собственные значения), для которых существует действительные решения У (х) уравнения (9), 7 полагаем действительным числом (так что \Е\2 не зависит от г). В полупространствах х < 0 и х > к из (9) получаем х<0 где Уо ~ начальное условие, а У^ определяется из условий сопряжения. Внутри слоя 0 < х < Н уравнении (9) принимает вид

Условия сопряжения для функций У и У имеют вид ми = 0, ми = 0, пи = 0> пи = 0, (12) да 1/1 и, = f м - л™ о7 м •

Формулировка задачи Ре', необходимо найти собственные значения 7, для которых существуют нетривиальные функции У (х), такие, что при х < 0 и х > /г функция У определяется выражениями (10), где Уо -известная величина, а Ун определяется из условий сопряжения (12); при 0 < х < к функция У удовлетворяет уравнению (11); функции У и У удовлетворяют условиям сопряжения (12)

Опишем кратко метод, позволяющий находить приближенные собственные значения рассматриваемой задачи с любой заданной точностью.

Пусть 0 < /г,* < к* < оо и у/тах (£1, £3) < 7* < 7* < оо - некоторые числа. Будем считать, что Н £ [/г*, /г*] и 7 е [7*, 7*]. Разбиваем отрезки [/г*,/г*] и [7*, 7*] на п и т частей соответственно. Имеем сетку {Кн.?}) ^ — 0, гг, 2 = 0, т. Тогда для каждой пары индексов (г,^) будем иметь пару начальных значений {У13 (0) , У^ (0)), где Угз (0) = Уд и

Теперь можно поставить задачу Коши для уравнения (11) с начальным условием Угз (0), У[ (0). Решив указанную задачу Коши, получаем значения У13(К) = У3{Нг) и Уг'3{Ь) = У3{кг). Из непрерывности У при х = Н, находим Угз (/г + 0) = У3 (Нг). Теперь используя вторую формулу (10) и найденное Угз (Н + 0), находим Уг^ (/г + 0) = ~у73~ Е\^гз + 0). Но значение У[ {К — 0) известно из решения задачи Коши. Принимая во внимание непрерывность У (х) при х — И, построим функцию р (К,ъ) = у;3 (И + 0) - у;3 (/I - 0) = (/о - у:3 (л) .

Можно показать, что .Р(/гг,7) - непрерывная функция параметра 7.

Пусть для заданного кг существуют такие числа 73 и у3+1, что Р (/гг, у3) ^ (/гг, 7^+1) <0. Это значит, что существует, по крайней мере, одно значение у3 е (7.7 >7.7+1) такое> чт0 1з является собственным значением рассматриваемой задачи о распространении волн и этому собственному значению соответствует толщина слоя /гг. Значение у3 может быть найдено с любой степенью точности, например, методом дихотомии.

Отметим, что численный метод, предложенный в работе [17], отличается от метода, предложенного в этой диссертации. В работе [17] численный метод применяется для численного решения краевой задачи с параметром для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (нелинейного). В диссертации численный метод развит для задач сопряжения, как для уравнений второго порядка, так и для систем второго порядка. Ясно, что нелинейную систему двух уравнений первого порядка не всегда легко представить в виде одного уравнения второго порядка.

Диссертация содержит следующие основные результаты:

1. Изучены нелинейные краевые задачи сопряжения на собственные значения, возникающие при исследовании процессов распространения плоских монохроматических электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн в диэлектрических слоях с произвольной зависимостью диэлектрической проницаемости от модуля интенсивности электрического поля (задача Ре и задача Рм соответственно, точные формулировки см. на стр. 29 и 49 соответственно).

2. Для задачи Ре и задачи Рм доказаны теоремы существования и локализации, по крайней мере, одного собственного значения (постоянной распространения). Предложен модифицированный метод интегральных дисперсионных уравнений.

3. Для задачи Ре и задачи Рм предложен метод нахождения приближенных собственных значений. Доказано, что последовательность приближенных собственных значений сходится к точному собственному значению. Выполнены расчеты дисперсионных кривых и полей в рассматриваемых задачах для различных типов нелиней-ностей. Проведено сравнение с известными результатами.

Отметим, что задачи, рассматриваемые в диссертации сформулированы в строгой электродинамической постановке как задачи математической физики.

Диссертация содержит три главы и приложение.

В Главе 1 рассматривается задача о распространении электромагнитных ТМ-волн в анизотропном однородном немагнитном диэлектрическом слое. Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диагональным тензором ё = 0 £уу О 0 0 £гг ) и е22 = Ед + Еод [\ЕХ\2 , \Ег\и / (и,у) - однократно непрерывно дифференцируемая по обоим аргументам функция; д (и, г>) - непрерывная по обоим аргументам функция.

В первом и втором пункте представлена постановка задачи и вывод из уравнений Максвелла системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих распространение ТМ-волн.

Третий пункт посвящен решению линейных дифференциальных уравнений для полупространств.

В четвертом пункте, представлены условия сопряжения на границах раздела сред для искомых функций. Из условий сопряжения для электромагнитного поля находятся условия сопряжения, которым удовлетворяют собственные функции задачи. Сформулировано понятие собственного значения рассматриваемой нелинейной задачи. Строго формулируется задача сопряжения (задача Рм) для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым свелась исходная задача о распространении ТМ-волн.

В пятом пункте формулируются и доказываются теоремы о существовании и единственности решения и непрерывной зависимости решения от параметра вспомогательной задачи Коши, а также теорема о существовании и локализации, по крайней мере, одного собственного значения задачи Рм

Шестой пункт посвящен изложению модифицированного МИДУ.

В Главе 2 рассматривается задача о распространении электромагнитных ТЕ-волн в изотропном однородном немагнитном диэлектрическом слое. Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается произвольной непрерывной функцией от модуля напряженности электрического поля.

В первом и втором пункте представлена постановка задачи и вывод из уравнений Максвелла системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих распространение ТЕ-волн.

Третий пункт посвящен решению линейных дифференциальных уравнений для полупространств.

В четвертом пункте представлены условия сопряжения на границах раздела сред для искомых функций. Из условий сопряжения для электромагнитного поля находятся условия сопряжения, которым удовлетворяют собственные функции задачи. Сформулировано понятие собственного значения рассматриваемой нелинейной задачи. Строго формулируется задача сопряжения (задача Ре) для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения, к которому свелась исходная задача о распространении ТЕ-волн.

В пятом пункте формулируются и доказываются теоремы о существовании и единственности решения и непрерывной зависимости решения от параметра вспомогательной задачи Коши, а также теорема о существовании и локализации, по крайней мере, одного собственного значения задачи Ре

Шестой пункт посвящен изложению модифицированного МИДУ.

Глава 3 посвящена формулировке метода нахождения приближенных собственных значений задачи Ре и задачи Рм■ Доказано, что последовательность приближенных собственных значений (полученных, например, методом дихотомии) сходится к точному собственному значению. Вычислены приближенные собственные значения, полученные с использованием предложенного метода. Результаты расчетов представлены в графическом виде. Для каждого типа волн (ТЕ- и ТМ-) были рассмотрены по две нелинейности: 1) керровская нелинейность е — £2 + сс|Е\2\ 2) нелинейность с насыщением е = £2 + • Для нелинейности типа 1) и частично для типа 2) было проведено сравнение с уже известными результатами, рассчитанными МИДУ. Также построены собственные функции. Проверены критерии существования и единственности решения вспомогательной задачи Коши.

В первом пункте рассматривается случай ТМ-поляризованных электромагнитных волн, распространяющихся в слое, с керровской нелинейностью и нелинейностью с насыщением. Выполнен расчет собственных значений и собственных функций [9, 15, 21].

Во втором пункте рассматриваются ТЕ-поляризованные волны в слое с керровской нелинейностью и нелинейностью с насыщением. Выполнен расчет собственных значений и собственных функций. Полученные результаты сравниваются с уже известными [13].

Приложение посвящено применению эллиптических функций в задаче о распространении ТЕ-поляризованных электромагнитных волн в слое с обобщенной керровской нелинейностью.

Благодарю за помощь в работе и ценные научные советы к.ф.-м.н, доцента каф. МСМ Д.В. Валовика и д.ф.-м.н, профессора, зав. каф. МСМ Ю.Г. Смирнова.

1. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. - М.: Мир, 1984 - 512 с.

2. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. М.: ВИНИТИ, 1964. - 512 с.

3. Ахмедиев H.H., Анкевич А. Солитоны. М.: Физматлит, 2003. - 297 с.

4. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических сисетм на плоскости. М.: Наука, 1990. -490 с.

5. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: ЛГУ, 1980. - 264 с.

6. Бломберген Н. Нелинейная оптика. М.: Мир, 1966. - 424 с.

7. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988. - 440 с.

8. Валовик Д.В., Смирнов Ю.Г. Распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном анизотропном слое // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2007. № 4. - С. 51-59.

9. Валовик Д.В., Смирнов Ю.Г. Расчет постоянных распространения TM-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое // Радиотехника и электроника. 2008. - Т. 53. № 8. - С. 934-940.

10. Валовик Д.В., Смирнов Ю.Г. Нелинейная задача на собственные значения для ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое // Известия вузов. Математика. 2008. № 10. - С. 70-74.

11. Валовик Д.В., Смирнов Ю.Г. О распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48. № 12. -С. 2186-2194.

12. Валовик Д.В., Смирнов Ю.Г. Распространение электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах. Пенза: Изд-во ПГУ, 2010. -264 с.

13. Валовик Д.В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в слое из нелинейного метаматериала // Радиотехника и электроника. 2011. Т. 56. № 5. - С. 587-599.

14. Валовик Д.В. Задача о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с произвольной нелинейностью // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. Т. 51. № 9. - С. 17291739.

15. Валовик Д.В., Смирнов Ю.Г. Нелинейные эффекты в задаче о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью // Радиотехника и электроника. 2011. Т. 56. № 3. - С. 309314.

16. Валовик Д.В.Распространение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейной среде с насыщением // Радиотехника и электроника. 2011. Т. 56. № 11. - С. 1329-1335.

17. Волков Е.А. Об исследовании и решении разностным методом нелинейных задач для обыкновенного дифференциального уравнения // Труды МИАН СССР. 1976. Т. 140. - С. 103-129.

18. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965. - 448 с.

19. Даутов Р.З., Карчевский Е.М. Существование и свойства решений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. Т. 40. № 8. - С. 1250-1263.

20. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1979. - 744 с.

21. Изъюров С.А., Козлов С.А. Динамика пространственного спектра световой волны при ее самофокусировке в нелинейной среде // Письма в ЖЭТФ. 2000. - Т. 71. № 11. - С. 666-670.

22. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991. - 224 с.

23. Ильинский A.C., Шестопалов Ю.В. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн. М.:Изд-во МГУ, 1989. -183 с.

24. Козлов С.А., Самарцев В.В. Оптика фемтосекундных лазеров. -СПб.: СПбГУ ИТМО, 2007. 220 с.

25. Маныкин Э.А. Взаимодействие излучения с веществом. Феноменология нелинейной оптики. М.: МИФИ, 1996. - 104 с.

26. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. - 512 с.

27. Смирнов Ю.Г., Куприянова С.Н. Распространение электромагнитных волн в цилиндрических волноводах, заполненных нелинейной средой // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. № 10. - С. 1850-1860.

28. Смирнов Ю.Г., Сысова Е.В. Решение задачи дифракции электромагнитной ТЕ-волны на диэлектрическом слое с нелинейностью некер-ровского типа // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. (Естественные науки). 2006. № 5. - С. 116-121.

29. Смирнов Ю.Г., Хорошева Э.А. Распространение электромагнитных TM-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. 2006. № 5. - С. 106-115.

30. Смирнов Ю.Г. Математические методы исследования задач электродинамики. Пенза: Изд-во ПГУ, 2009. - 268 с.

31. Смирнов Ю.Г. Метод операторных пучков в краевых задачах сопряжения для системы эллиптических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1991. - Т. 27. № 1. - С. 140-147.

32. Таланов В.И. О самофокусировке волновых пучков в нелинейных средах // Письма в ЖЭТФ. 1965. - Т. 2. № 5. - С. 218-222.

33. Хорошева Э.А. Задача о распространении электромагнитных ТМ-волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой // Труды XXVIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. М.: МГУ, 2006. -С. 218-223.

34. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики. М.: Наука, 1989. - 281 с.

35. Boardman A. D., Maradudin A. A., Stegeman G. I., Twardowski Т., Wright Е. М. Exact theory of nonlinear p-polarized optical waves // Phys. Rev. 1987. - A 35. - P. 1159.

36. Boardman A. D., Egan P. ¿"-polarized waves in a thin dielectric film asymmetrically bounded by optically nonlinear media // IEEE J. Quantum Electron 1985. № 21. - P. 1701-1713.

37. Chen Y. TE family of self-guided beams in saturable nonlinear media // Journal of Lightwave Technology. 1991. - V. 9. № 9. - P. 1208-1213.

38. Chiao R. Y., Garmire E., Townes C. Self-trapping of optical beams // Phys. Rev. Lett. 1964. № 13. - P. 479.

39. Eleonskii P.N., Oganes'yants G., Silin V.P. Cylindrical Nonlinear Waveguides // Soviet Physics JETP. 1972. - V. 35. № 1. - P. 44-47.

40. Eleonskii P.N., Silin V.P. Nonlinear theory of penetration of p-polarized waves into a conductor // Soviet Physics JETP. 1971. - V. 33. № 5. -P. 1039-1044

41. Ivleeva S.N., Smirnov Yu.G. Electromagnetic waves guided by a lossess nonlinear open structure // Proceedings of European Symposium on Numerical Methods in Electromagnetics, 6-8 March 2002. Toulouse, France, 2002. - P. 94-97.

42. Joannopoulos J.D., Johnson S.G., Winn J.N., Meade R.D. Photonic Crystals. Molding the flow of light. Princeton and Oxford: Princeton University Press, 2008. - 304 p.

43. Joseph R.I., Christodoulides D.N. Exact field decomposition for TM waves in nonlinear media // Optics Letters. 1987. - V. 12. № 10. -P. 826-828.

44. Khoo I.C. Nonlinear light scattering by laser- and dc-field-induced molecular reorientations in nematic-liquid-crystal films // Phys. Rev. -1982. A 25. - P. 1040.

45. Kumar D., Choudhury P.K. Introduction to modes and their designation in circular and elliptical fibers // Am. J. Phys. 2007. - V. 75. № 6. -P. 546-551.

46. Leung K.M., Lin R.L. Scattering of transverse-magnetic waves with a. nonlinear film: Formal field solutions in quadratures // Physical Review B. 1991. - V. 44. № 10. - P. 5007-5012.

47. Leung, K. M. p-polarized nonlinear surface polaritons in materials with intensity-dependent dielectric functions // Physical Review B. 1985. -V. 32. № 8. - P. 5093-5101.

48. Lourtioz J.-M., Benisty H., Berger V., Gérard J.-M., Maystre D., Tchelnokov A. Photonic Crystals. Towards nanoscale photonic devices. -Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005. 430 p.

49. Ponath H.-E., Stegeman G.I. (editors) Modern problems in condensed matter sciences. Vol. 29. Nonlinear surface electromagnetic phenomena. -North-Holland: Elsevier Science Publishers, 1991.

50. Qin C., Wang Z.H. Exact dispersion relation for TM waves guided by thin dielectric films bounded by nonlinear media // Optics letters. 1993. -V. 18. № 4. - P. 1-3.

51. Schùrmann H.W., Serov V.S., Shestopalov Yu. V. Reflection and transmission of a plane TE-wave at a lossless nonlinear dielectric film // Physica D. 2001. № 158. - P. 197-215.

52. Schiirmann H.W., Serov V.S., Shestopalov Yu. V. TE-polarized wavesguided by a lossless nonlinear three-layer structure / / Phys. Rev. E. 1998. - V. 58. № 1. - P. 1040-1050.

53. Schiirmann H.W., Smirnov Yu.G., Shestopalov Yu. V. Propagation of TE waves in cylindrical nonlinear dielectric waveguides // Phys. Rev. E. -2005. V. 71. № 1-2. - P. 016614-1-016614-10.

54. Schiirmann H.W. traveling wave solutions of the cubic-quintic nonlinear Schrodinger equation // Phys. Rev. E. 1996. - V. 54. № 4B. - P. 43124320.

55. Schiirmann H.W., Schmoldt R. Optical response of a nonlinear absorbing dielectric film // Optics Letters. 1996. - V. 21. № 6. - P. 387-389.

56. Seaton C. T. , Valera J. D., Shoemaker R. L., Stegeman G. I., Chilwel J. T, Smith S. D. IEEE J. Quantum Electron. 1985. № 21. - P. 774.

57. Smirnov Yu.G., Valovik D.V. Electromagnetic wave propagation in nonlinear layered waveguide structures. Penza: PSU Press, 2011. - 248 c.

58. Valovik D.V. Electromagnetic TM wave propagation through a nonlinear metamaterial layer with arbitrary nonlinearity, p. 1676-1680, PIERS Proceedings, Kuala Lumpur, Malaysia, March 27-30, 2012.