Распространение собственных волн вцилиндрическом диэлектрическом волноводе с заполнением нелинейной средой по закону Керра тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Научно - исследовательский вычислительный центр

На правах рукописи

Куприянова Светлана Николаевна

Распространение собственных волн в цилиндрическом диэлектрическом волноводе с заполнением нелинейной средой по закону Керра

Специальность 01.01.07 - Вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена на кафедре математики и математического

моделирования Пензенского государственного университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Ю.Г. Смирнов

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор А. С. Ильинский; кандидат физико-математических наук, старший науч. сотрудник С.А. Горейнов

Ведущая организация — Московский государственный институт

радиоэлектроники и автоматики (технический университет).

Защита диссертации состоится "_"_2004 г.,

в_часов_минут, на заседании диссертационного совета

К 501. 001. 11 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992 ГСП-2, г. Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, научно -

исследовательский вычислительный центр.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан "_"_ 2004 года

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

В.В. Суворов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена решению нелинейной краевой задачи на собственные значения, к которой приводит вопрос об изучении распространения собственных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах круглого сечения, заполненных средой с нелинейностью по закону Керра.

Задачи распространения электромагнитных волн в различных средах были и остаются актуальными в связи с широким применением вызываемых ими эффектов в оптоволоконных линиях передачи и других оптических системах. Необходимость теоретического и численного исследования существования и свойств собственных волн диктуется практической потребностью передачи энергии поля на большие расстояния с минимальными потерями. Успехи в разработке данного направления электродинамики привели к построению различных классов волнове-дущих структур. В нелинейной оптике предметом изучения в электродинамике являются сильные волновые поля, в которых начинает проявляться нелинейность сред. Основным предметом исследований ряда авторов (R.Y. СЫао, Е. Gannire, C.H. Townes, Y.Chen, R.A. Sammut, С. Pask, D. Sjoberg,H.W. Shurmann, Д.И. Абакаров, А.А.Акопян, С.И.Пе-кар, В.И. Елеонский, В.П. Силин, B.C. Серов, Ю.Г. Смирнов, Ю.В. Шестопалов) стали как сами нелинейные среды, так и волноводы различных конфигураций, заполненные такими средами. Активное изучение вопросов устойчивости распространяющихся волн, сред с насыщенной нелинейностью, поведения поля в волноведущих структурах различной геометрии и изготовленных из различных материалов подтверждает высокий уровень интереса к рассматриваемой проблеме, однако при всем многообразии исследований многие вопросы до сих пор оставались открытыми: дисперсионные соотношения теоретически не исследованы, не выяснены до конца вопросы, связанные со сходимостью методов, пет базовых теоретических результатов о существовании и единственности решений, поэтому данная диссертационная работа, содержащая такого рода исследования, является актуальной.

Актуальность темы

Цель работы:

строгая постановка задачи о распространении собственных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах круглого сечения с нелинейным заполнением среды по закону Керра как краевой задачи на собственные значения для системы уравнений Максвелла;

разработка математического аппарата для исследования задачи о собственных волнах; доказательство базовых теоретических результатов о существовании и единственности решений дисперсионных уравнений относительно спектрального параметра и интегральных уравнений, отвечающих краевой задаче, относительно собственных функций;

построение, обоснование и реализация эффективных численных методов для расчета собственных значений и. соответствующих им собственных функций для поставленной задачи.

Научная новизна:

предложен метод функции Грина для сведения задачи распространения собственных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах к краевой задаче на собственные значения для уравнений Максвелла;

разработан новый математический аппарат для исследования дисперсионных уравнений. Доказана теорема о непрерывной зависимости решения краевой задачи от параметра. Применены принцип Шаудера и принцип сжимающих отображений для доказательства существования и единственности в интервалах локализации как точных, так и приближенных решений дисперсионных соотношений относительно спектрального параметра и интегральных уравнений самой краевой задачи относительно собственных функций;

разработан численный итерационный метод решения краевой задачи для нахождения собственных функций с любой заранее заданной точностью, доказана теорема о сходимости предложенного численного метода.

Практическая значимость

Диссертационная работа содержит утверждение о дискретности спектра, определяющее интервал локализации решений. Доказано, что условия распространения волн в структурах такого класса зависят от радиуса волновода R и диэлектрической проницаемости среды волновода. Это утверждение позволяет учитывать нелинейность при конструировании волноводов с заданными свойствами. С другой стороны, при расчетах волноводов с заданными параметрами предложенный численный метод обладает высокой точностью уже в первом приближении , сравнение производится с решением задачи полным мето-дом.Необходимо отметить, что при надлежащем выборе параметров сходимость метода полностью теоретически доказана.

Реализация и внедрение полученных результатов

Результаты, полученные в диссертации, включены в отчеты НИР и грантов, выполненных на кафедре математики и математического моделирования ПГУ: гранты РФФИ 01-01-00053 и 03-07-90274, грант ФЦП "Интеграция" И0983/90, индивидуальный грант автора ФЦП "Интеграция" 30005/1438, индивидуальный грант автора ФЦП "Интеграция" 34391.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на научных конференциях и семинарах:

— XII Международной школе-семинаре " Синтез и сложность управляющих систем" (Пенза, 2001);

— Международной конференции European Conference on Numerical Methods in Electromagnetism (Тулуза, Франция, 2002);

— 9-й Международной конференции по математическим методам в электромагнитной теории (Киев, Украина, 2002);

— 2-й Молодежной научной школе-конференции (Казань, 2002);

— XIII Международной школе-семинаре " Синтез и сложность управляющих систем" (Пенза, 2002);

— Международном юбилейном симпозиуме АПНО (Пенза, 2003);

— научном семинаре под руководством проф. А.Г. Свешникова и проф. А.С. Ильинского на физическом факультете МГУ (2002).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы, содержащего 68 наименований и двух приложений. Работа изложена на 84 страницах, содержит 21 график.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор работ по теме диссертации и вопросам, примыкающим к ней; обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, излагается краткое содержание и основные результаты работы.

Глава 1 посвящена постановке задачи о распространении собственных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах круглого сечения с заполнением среды по закону Керра

где а и £2 —вещественные положительные константы. Здесь £2 - постоянная составляющая проницаемости е, а—коэффициент нелинейнос-ти.Среда предполагается немагнитной, ц = цо и трехмерно-проницаемой. Для случая ТЕ - поляризации, когда Е={0;^;0}, П={Нр;0;Нх}, решение задачи будем искать в форме осесимметричных волн Е<р (р, 7, = - вещественная постоянная распространения волны.

Будем предполагать, что и(р, 7) - вещественная функция. Далее реализуется алгоритм сведения задачи распространения собственных волн к краевой задаче на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений

(1)

(2)

и

где в первом уравнении

во втором, Я — радиус волновода. Условия сопряжения на поверхности волновода преобразуются к виду что дает

Мр=я = 0, [и']р=й = О,

(3)

где - скачок предельных значений функции

в точке Я. Спектральным параметром задачи является 7. С учетом условий излучения решение линейного уравнения Бесселя может быть записано в виде

и = С\К\{кр), (4)

где К1 — действительная монотонная функция Макдональда. При этом Кп(\к\р) -4 0,в то время как р оо экспоненциально, и выполняются условия излучения. В диссертационной работе также формулируется аналогичная краевая задача на собственные значения для случая ТН-поляризации Е={0; ();.£]*}, Н={Яр;Яф;0}.

Глава 2, посвященная исследованию задач на собственные значения, содержит основные теоретические результаты. В первом пункте главы строится функция Грина для краевой задачи ¿(7 = —5(р — ро), (31р=0 = С'|р=д = 0 (0 < ро < Л), где

Функция Грина имеет вид

Л(кр)А(кро)

ро) = -г

ЩкЯ)

- МкР<)К1(кР>)

О < р, ро < Л,

где р< = тт{р, р0}, р> = тах{/>, /э0}.

Во втором пункте второй главы уравнения записываются сначала в операторном виде

Ьи + аВ(и) = О, В (и) = ри3.

(5)

Используя метод функции Грина, получаем интегральное представление решения на отрезке [0;И] в виде:

Третий пункт содержит утверждения о существовании и единственности решений интегральных уравнений краевой задачи, опирающиеся на принцип Шаудера и принцип сжимающих отображений. Сформулирована и доказана теорема , в которой дается также оценка коэффициента нелинейности, показывающая интервал применимости предложенного метода.

Теорема 1. Если а<А, где

||ЛГо|| = тах / \рС{р,рй)\йр, Роф.Я]}

11/11= ЖИЯРО)!

(10)

(А не зависит от а), то уравнение (6) имеет единственное решение и, являющееся непрерывной функцией, и 6 С[0, Щ, и верна оценка N1 < Г», где

(11)

Четвертый пункт главы решает вопрос о непрерывной зависимости решения краевой задачи от параметра Л = 72.

Теорема 2. Пусть ядро N(1э,ро) = аС(р,ро)р и правая часть / интегрального уравнения (6) непрерывно зависят от параметра Л 6 Лд, ЩХ,р,ро) С С(Л0 X [О, Л] х [О, Л]), /(А,ро) С С(Л0 х [0, Л]), на некотором отрезке Ло вещественной числовой оси. Пусть также

(12)

Тогда решения «(А,р) уравнения (6) при,\ 6 Ло существуют, единственны и непрерывно зависят от параметра А, и(А,р) С С(Ло X [0, Л]). Основной теоретический результат содержится в пятом пункте главы, где после приведения дисперсионного соотношения к нормализованному виду, даются достаточные условия существования решений дисперсионного уравнения относительно спектрального параметра и область их локализации.

Теорема 3. Пусть £2 и а удовлетворяют условиям £2>£1>0"0<а< ао, где

(13)

и выполняется условие

для определенного т >

> £1

m — 1,2,...

Тогда существует, по крайней мере, m значений 'fi,i= 1, • • • ) тп, Лц < 7? < Лгь таких, что задача Р имеет ненулевое решение.

Таким образом, при определенных теоремой условиях существуют осесимметричные ТЕ—поляризованные волны, распространяющиеся без затухания в цилиндрических диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных нелинейной средой по закону Керра. Заметим, что liniQ-to г* = II/IJ > 0. Из условия Ain, > £\ следует, что Я2 > Уи/(е2 _ Таким образом, радиус It не может быть произвольно малым (по аналогии.с существованием "отсечки" в линейном случае). Учитывая этот факт, достаточные условия для существования нетривиального решения, рассматриваемой.проблемы зависят не только от малости параметра нелинейности но также от радиуса R и постоянной части диэлектрической проницаемости волновода.

В шестом и седьмом пунктах второй главы приближенные решения «„ интегрального уравнения (6), представимого в виде и = .F(it), определены с помощью итерационного процесса

«n+1 = aj G(p, po]puzndp + f, n = 0,1,... (15)

Здесь же содержатся теоремы о существовании и единственности приближенных решений, а также о сходимости приближенных решений к точным.

Теорема 4. Пусть существуют ei, £2, и а,удовлетворяющие условиям £2 > êi > 0 и 0 < |а| < ао, где ао определяется теоремой 3, и выполняется условие (Ц) для определенных m = 1, 2, 3, ... Тогда для каждого п > 0 существует; по крайней мере, m значений i = 1,..., m, удовлетворяющих неравенствам Ац < < Лг» и являющихся корнями уравнения

kjh") RKi ( A R) JQ (k^ R) + =

= а I

где = £1, к^ = \Jti~ А(п), в ип определяется соотноше-

нием (15).

Теорема 5. Пусть А* и - соответственно, точное и приближенное решения значения проблемы Р на интервале [Ан,Аг»] > * < т, т = 1,2,3 или 4. Тогда — А<| 0 при п оо. Следующее утверждение позволяет оценить скорость сходимости итерационного процесса.

Утверждение 1. Последовательность приближенных решений ип уравнения (6), определяемых посредством итерационного алгоритма (15), существует и сходится в норме пространства С[0,Л] к(един-ственному) точному решению и этого уравнения, и верна оценка скорости сходимости

(16)

где # := З-Л/т, < 1 - коэффициент сжатия отображения F,

Щр,ро) = а<2(р,ро)р,

г„ определяется соотношением (11).

Заключительный восьмой пункт второй главы содержит оценки. операторов задачи на собственные значения, при которых выполняются условия полученных выше теоретических результатов, в первую очередь, теоремы о существовании решений дисперсионного уравнения.

Глава 3 посвящена разработке алгоритма и релизации программы на основе предложенного итерационного метода.

В первом пункте главы реализован алгоритм нахождения нулевого и первого приближения решения задачи на собственные значения. Достоинство этого метода в возможности достичь высокой степени точности (104) уже в первом приближении при достаточно простых формулах волновой функции и дисперсионного уравнения для нахождения параметра Такой вывод можно сделать, сравнивая полученные результаты с расчетами, выполненными с использованием метода

ч

||«п - «II < 1-/(«о), п-+оо

1-9

полного решения задачи, позволяющего находить решения с любой заранее заданной точностью. В формуле итерационного процесса

полагаем

где - решение Подстановка нулевой итерации

«оСро.Т2)

в приближенное дисперсионное соотношение дает уравнение

решениями которого является соответствующее нулевое приближение параметра (7^)2. Первое приближение «1 (ро, (7^)2) функции поля внутри волновода «(/Р0)72) достигается путем подстановки нулевых приближений (7^)2 и «о(РО) (т(0))2) в формулу итерационного процесса

Решения Аю <7$ < Аго существуют в силу теоремы 3 при

Первые приближения собственных функций, соответственно, внутри и вне волновода записаны в виде

Во втором пункте главы описан алгоритм полного решения задачи на собственные значения. Собственные значения 7 ищутся на отрезке [А1, A2] (выбор которого может быть сделан с помощью результатов теоремы 3 или исходя из практических соображений). На этом отрезке вводится сетка с узлами = А\ + ¡(Аз — j = где N

удовлетворяет условию если собственное значение тре-

буется найти с точностью 6. Вычисляются значения функции Ф в узлах 7^), причем при каждом 7^) решается интегральное уравнение (6) с помощью итерационного алгоритма (15) с требуемой точностью. Далее определяется перемена знака в последовательности чисел

Если

то приближенно полагаем Результаты вычислений с помощью двух вышеописанных алгоритмов хорошо согласуются при малом а. Графические результаты расчетов приведены в прил. 2.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Получены следующие теоретические результаты для исследования распространения собственных волн:

а) доказаны теоремы о существовании и единственности точных решений задачи на собственные значения;

б) определены интервалы локализации точных решений краевой задачи на собственные значения.

2. Предложен и обоснован численный метод расчета собственных значений и соответствующих им собственных функций:

а) доказаны теоремы о существовании приближенных решений задачи на собственные значения;

б) доказаны теоремы о сходимости приближенных решений к точным.

3. Разработан алгоритм и реализованы программы для расчета приближенных собственных значений и собственных функций.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ивлиева, С.Н О точках дискретности спектра в нелинейной задаче о собственных волнах цилиндрического волновода [Текст] / С.Н. Ивлиева // Материалы XII Междунар. школы - семинара "Синтез и сложность управляющих систем". — Пенза, 15-21 октября, 2001. - С. 104 - 109.

2. Ivleeva, S.N. Electromagnetic waves guided by a lossless nonlinear open structure/ S.N. Ivleeva, Yu.G. Smirnov // Proceedings of European Symposium on Numerical Methods in Electromagnetics.Toulou-se, France, 6 - 8 March, 2002. - P. 94 -97.

3. Ivleeva, S.N., Propagation of electromagnetic waves in open cilyndri-cal waveguides with nonlinear media/ Yu.G. Smirnov, S.N. Ivleeva// Proceedings of the 9-th International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. - Kiev, Ukraine, 10 - 13 September, 2002. - P. 33 - 37.

4. Куприянова С.Н. О некоторых решениях нелинейной задачи распространения волн в открытых волноводах с заполнением среды по закону Керра [Текст] / С.Н. Куприянова // Тр. математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казанского математического общества. - Т. 17. - 2002. - С. 152 -162.

5. Ивлиева, С.Н. О некоторых решениях солитонного типа в дискретных моделях для волноведущих структур [Текст] / С.Н. Ив-лиева// Материалы XIII Междунар. школы - семинара "Синтез и сложность управляющих систем". - Пенза, 14-20 октября, 2002. - С. 100 - 104.

6. Ивлиева, С.Н. Численный метод в задаче о распространении электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой [Текст] / Ю.Г. Смирнов, С.Н. Ивлиева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. - Вып. 5.- 2003. - С. 29 -42.

7. Куприянова, С.Н. Распространение электромагнитных волн в цилиндрических волноводах, заполненных нелинейной средой [Текст] / Ю. Г. Смирнов, С.Н. Ивлиева // Журнал вычислительной математики и математической физики. - Вып. 10. - 2004.

8. Куприянова, С.Н. Собственные электромагнитные волны в диэлектрических волноводах с нелинейной средой [Текст] / С.Н Куприянова // Тр. междунар. юбилейного симпозиума (АПНО 2003). -Т.1. - Пенза, 19-22 ноября, 2003. - С. 30 -32.

Куприянова Светлана Николаевна

Распространение собственных волн в цилиндрическом диэлектрическом волноводе с заполнением нелинейной средой по закону Керра

Специальность 01.01.07 — Вычислительная математика

Редактор Т. Н. Судовчихина Технический редактор И. А. Вьялкова

Корректор Ж. А. Лубенцова Компьютерный набор и верстка автора

ИД №06494 от 26.12.01 Сдано в производство 20 07.04. Формат 60х84'/16. Бумага писчая. Печать офсетная. Усл. псч. л. 0,93. Заказ № 524. Тираж 100.

Издательство Пензенского государственного университета. 440026, Пенза, Красная, 40.

»15867