Качественное исследование систем с гистерезисом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Р Г Б ОД ; - о МАП 1995

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В.ЛОМОНОСОВА

-• V МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

' • На правах рукописи

'.;ен 2. ... '«.и, ............УДК 517.9

н1 .

--и ЭДУЛЩОВ"ВЛАДИМИР АЛЕКСЕЕВИЧ

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ. СИСТЕЙ С ГИСТЕРЕЗИСОМ

-цотДифференциальные.:'уравйения)" ...,■. '

-......• "-АВТОРЕФЕРАТ ■ .

: диссертации'на■соисканий ученой степени кандидата физико-математических наук

: 1 ¡1^

МОСКВА 1995

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механшо-матаматического-:;факульieта Московского государственного университета им. M.B.Jl0MQH090Ba_.7_;. -4;л

Научный руковрщ»^:. доктор._:физиш:члат§матических наук,

профессор Филиппов А.Ф.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, КОЛЬЦУ'" -:; Профессор БОбЫЛвВ H.A.,

.; : доктор физико-математических наук,

профессор Зеликин М.И.

Ведущая организация - ;Инетитут проблем передачи

информации РАН.

... Зашита- состоится -¿^/¡¿CGtS/ftf/^ B^I^.qac; на

заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном :зшиверситета.им; ,МЛЗ.Ломоносова; по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, Гл. здание, механико-математический факультет, ауд.16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.(Главное-здание, 14 этаж). — ; • . ■ • ■•• г- .

Автореферат разослан /^¿¿¿¿-fuZsuS /PtfJ"?

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04- при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Нелинейные зависимости гистерезисного типа повсеместно .возникают в различных, разделах физики, .. механики, биологии и др.;-хорошо известны магнитный гистерезис, диэлектрический-гистерезис, пластический гистерезис и т.д. Различные модели гистерезиса были построены в Х1Х-ХХ веках Мизесом, Прандлем, Сен-Венаном, Треска, Я.З.Цыпкиным, Ю.М.Неймарком, Маделунгом, П.Прейсахом, А.Ю.Ишлинским, Гилтаем и др.

С конца шестидесятых ."годов нынешнего века к исследованию гистерезиса подключилась груша математиков во главе с М.А.Красносельским, которая предложила принципиально новый общий подход к гистерезису, предназначенный для изучения систем, отдельными звеньями которых являются звенья-с гистерезисом, где гистерезисные.нелинейности трактуются.как.преобразователи с пространством,состояний, соответствиями вход-выход'-и,-вход-состояние. Важным итогом этой работы явился-выход в свет в 1983 году монографии М.А.Красносельского и А.В.Покровского [ 1 ]. В качестве.основного элементарного" носителя гистерезиса в книге используется гистерон - детерминирований статический -преобразователь.со скалярным входом и выходом, обладающий свойствами управляемости и корректности по отношению к шумам малой амплитуды на входе. Для описания функционирования гистерона используется специальная^предельная^конструкция, позволяющая осуществить переход от, кусочно-монотонных входов к

1. М.А.Красносельский, А.В.Покровский. Системы.с-гистерезисом. - М., Наука, 1983. ,

произвольным непрерывным. Простыми примерами гистерона являются люфт и упор. Показано,., что гистерон также может быть описан дифференциальными уравнениями. С помощью данной конструкции в монографии были описаны известные модели гистерезиса, построен и был использован математический аппарат, составивший новую главу нелинейного анализа, связанную с виброкорректными дифференциальными уравнениями, стохастическими процессами, разрывными операторами и. т„.д. ,.

Исследования процессов в замкнутых системах,-содержащих, звенья с гистерезисом, проводились в разное время разными-, авторами, причем рассматривались как различные процессы так и различные носители гистерезиса. Следует отметить работы В.А.Якубовича, Дрю, Бьюхайта и Оуэна, а также М.А.Красносельского, А.В.Покровского и их учеников, см. [2-7 ]. Систематического исследования в данном направлении не

2. Б.А.Якубович. Частотные условия абсолютной устойчивости регулируемых систем с тистерезисными..нел}шейностяш. - ДАН СССР, 1963, Т. 149j JÉ2, С.288-291. ......,

3. J.H.Drew. Periodic solutions,pr a,lorcpdrsystem with hysteresis. - Int..J. Non-Linear Mechanics. Vol.„pjp.93-99, Pergamon Press, 1972. . N . v._,

4. J.L.Buiilte, D.Owen. An.ordinary^differentlal equation from ХЩ theory oi plasticity. - Arch. Ration. Mech. and Anal., 1979 , 71, J64, pp.357-383.

5..M.А.Красносельский, А.В.Покровский. Периодические колебания в системах с релейными нелинейностями. - ДАН СССР, . 1974, Т.216, М, с.733-736

6. Т.С.Гильман, А.В.Покровский. Вынужденные колебания осциллятора с учетом гистерезиса. - ДАН СССР, 1981, т. 260, & 4,

После появления в свет книги [ 1 3 появилась естественная

возможность начать такое исследование с простейшего случая,

когда замкнутая, система содержит одно единственное звено с

гистерезисом1- гистерон, описывается системой обыкновенных ~

дифференциальных уравнений как можно меньшего порядка, и не

содержит других источников разрывов в правой части системы.

Цель работы. Исследование замкнутой системы, содержащей

звена",с тетероном, которая описывается системой обыкновенных

—"•дифференциальных уравнений (с разрывной правой частью).

Методы исследования. В работе используются методы

качествёШай теории дифференциальных уравнений

Пуанкаре-Бендиксона, теории дифференциальных уравнений с

разрывной правой частью (см. [ 8 ]), теории систем с -Г-.. '

гистерезисом"(см. [1-]).

Научйая новизна диссертации. Для системы обыкновенных ^"диффёрёнциальшх уравнений (с разрывной правой частью), ■-' описывающих систему, содержащую звено с гистероном, установлена '-теорема существования и правой единственности; получена классификация вида отдельной положительной полутраектории "" автономной системы; проведено полное качественное исследование линейной автономной системы; для нелинейной автономной системы установлены достаточные условия ограниченности, диссипативности,

с.790-793.

•"77°А.А.Владимиров, М.А.Красносельский, В.В.Черноруцкий. Задача Кош для систем с гистерезисом. - ДАН, 1993, т.333, №3, с.285-287. '' . ' ; ■

8. А.'Ф-.-Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. - М., Наука, 1985.

устойчивости решений и т.п.; для системы с периодической по t правой частью установлены достаточные условия существования периодических решений и их асимпточической 'устойчивости в целом. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения и четырех глав, разбитых на 14 пунктов, изложена на 100 страницах. Библиографический список содержит 25 наименований.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер, ее результаты могут найти применение в теории автоматического управления, теории пластичности, в электродинамике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях Всероссийского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений (руководитель -проф. Миллионщиков В.М., 1994 г.), семинара проф. Красносельского М.А. (Москва 1994 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 3 работы (список приведен в конце автореферата). Работ,написанных в соавторстве, нет.

' СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ..Нс^оНи-

Во введении кратко изложены основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена описанию замкнутой системы, содержащей звено с гистероном, с помощью системы дифференциальных уравнений. В п.1. приводится определение тетерона (на основе [1 3). Пусть 7_(и) и т+(и) - абсолютно.

непрерывные функции,такие что

7_(и) £ 7+(и), -со < и < +оо;

функция ф(х,и) определена при -оо < и < +<»; 7_(и) £ х < 7+(и), непрерывна по совокупности переменных и удовлетворяет локальному условию Липшица по х; выполнено условие: для каждой точки (х0,и0), принадлежащей области определения функции ср, не лежащей на кривых х=7_(и) и х=7+(и), существуют 1Ц, и^ такие что решение уравнения ^ = <р(х,и.) с начальным условием х(и0)=х0 определено на отрезке [гц;^], так что и0 - внутренняя точка этого отрезка, х(и1)=т_(и1), х(и2)=7+(и2) или наоборот, 7_(и)<х(и)<7+ (и) при ие^.г^).

Для каждой непрерывно-дифференцируемой функции (входа) и(г) при условии 7_(и(1;0)) £ 5 7+(и(г0)) однозначно при

и-1;0 определена непрерывная функция х(Ю (выход) следующим соотношением, выполняемым почти всюду:

<3х

7'+(ц) и' < 1:>; х=7+(и), [ср(х,и)-7^(и)] и' (г) > 0 7'_(и) и' (I); х=7_(и), [ф(х,и)-7'_(и)] и' (г) < О _ (р(х,и) и' (г) в иных случаях (1-1)

и начальным условием

х(г0) = х0 (1.2)

Такой преобразователь и(Ю ■» х(Ю будем назывть гистероном. В п.2. указываются различные ответы на вопрос: что (какие уравнения) необходимо добавить к (1.1), чтобы совместно с (1.2) получить систему дифференциальных уравнений, позволяющую надеяться однозначно получить решение? Система, полученная в результате возможного ответа на этот вопрос, рассматривается в

- ь -

п.4.:

dx _ ат --

' v; x=7+(u), [ф(х,и)-г+(и)3 т > О

71.(u) v; х=7_(и), [ф(х,и)-г_(и)3 т < О Ф(х,и) v в иных случаях , ,

(4.1)

ат у

= 1(1,и, УД)

Устанавливается утверждение о существовании и правой единственности решений системы при гг1;0 (утверждение 4.1), для доказательства которого применен аппарат теории дифференциальных включений и дифференциальных уравнений с разрывной правой частью (см. [ 8 ]). Система третьего порядка в общем виде сложна, для качественного исследования (система такого вида встречалась в работе [ 3 ]), поэтому в п.5. естественным образом выделяется частный случай, когда система (4.1 ) приводится к двумерной системе:

dx Г

Ш ~ [

cLv

О ; |х|= 1, xv > О v в иных случаях

f(x,v,t)

(5.2)

где |х| <1. Случай, когда f(x,v,t) = -х + h(t) рассматривался в [ 4 ], В оставшейся части диссертации система (5.2) и ее частные случаи исследуются традиционными .методами .качественной теории дифференциальных уравнений второго порядка.....

Во второй главе-исследуется-возможный вид отдельной траектории двумерной автономной систещ:

О ; |х|- 1, xv > О у в иных случаях (6.1)

dx

сПГ

Ч

F(x,Y)

- ч -

определенной при |х|<1.

Третья глава посвящена полному качественному исследованию двумерной линейной автономной: системы:

О ; | х| = 1, хт > О

ч в иных случаях, ^ 1)

с!х Г сГС - [

6.7

ах + Ьу + с

определенной при |х|£1. В п.7. показывается, что для ее исследования достаточно рассмотреть три значения а (0;±1). Случаи а=-1, а=1, а=0 рассматриваются в ш.8., 9. и 10. соответственно.

Две качественные картины! ('топологические структуры) расположений траекторий на фазовой плоскости системы (6.1) в случае, если существует гомёоморфное отображение фазовой плоскости на себя, при котором траектории одной системы отображаются в траектории другой, будем называть:

а) топологически эквивалентными (тождественными), если точки (1,0) и (-1,0) инвариантны относительного этого отображения;

б) топологически симметричными, если точка (1,0) преобразуется при этом отображении в точку (-1,0), и наоборот.

В каждом случае строятся бифуркационные диаграммы на плоскости параметров Ьс, приводятся все соответствующие качественные картины. Наиболее'интересный случай а=-1 сопряжен с большим количеством алгебраических и численных вычислений (см. бифуркационную диаграмму, изображенную на стр. 8). В этом случае плоскость параметров Ь,е системы (7.1) разбивается на части, характеризуемые различными качественными картинами, следующими линиями:

г

■ \

-i N/\ 2 / g

/ "У

1) Ь=0,

2) с=1,

3) с=—1,

4) с = *(Ь) з

е+2 -ёч?

шг-1

__ Ъ-^4 т- —2

-1

5) С = -1(Ь), -оо<Ь^2,

; Ь<-2 ; Ь=-2

, где к=ехр ( —агссоэ (- Й)) ; -2<Ь<2

; Ь=2

6) с =g(Ъ) 5

Ь=-2

,где т=ехр (%Ъ/ Им?); -2<Ь<2

-1

;Ь=2

7) с=-й(Ь), -2<Ь<2,

8) Ь=Ь , С15С<1,

9) Ь=Ь1, -1 <с<-с1,

(всего на 53 множества). Кривые с=Г(Ь) и с=-$(Ь) пересекаются в точке (Ь .с^, кривые с=Г(й) И с=~£(Ь) - в точке (Ь2,0), Ь1й0,384, 0^0,298, Ь£«0,573.

Если не различать топологически симметричных качественных картину то плоскость параметров ь,с этой системы разбивается на 29 множеств (из них 24 - не связные).

В п.11. на базе исследований пл.7-10 формулируется ряд необходимых"и достаточных условий о поведении решений системы (7.1) при 1>+го (ограниченность, диссипативность, асимптотическая устойчивость в целом, существование автоколебаний, глобальная

неограниченность). Справедливо, например¿-'следущее условие существования устойчивого в малом непостоянного периодического решения этой системы: • дт ■■■">■ • • ^

УТВЕРВДЕНИЕ 11.4. Если а<0 и, либо Oibcb, / -а ;|с{<-а, "Либо -b^-a <b<b2/-a ', |с|<-аГ(b) (f(b), b1 ,b2- - см. стр. 9), то существует непостоянное.периодическое решение4*Й* (ut),av*'(:t:)) '^iO'kiV область fl на фазовой плоскости системы (f.i) такие/Что1 для :"'f • любого решения (x(t),v(t)) системы с (x(t0),v(t0))eQ будут существовать t1 и t2,.4T0 при t>t1: x(t)=x*(t-t2),

Изучение систем (6.1) и (5.2) продолжается в четвертой главе. В п.12. устанавливаются достаточные условия ограниченности, дассипативности, асимптотической устойчивости решений системы (6.1) при ■ 1>+л>. В nJ3. рассматривается система:

'¿й- f О ; |х|= 1, xv > О . .... " ,,

^ 1 v в иных случаях- - ■ . (13.1) •

g = F(x,v) + h(t)

Под системой (13.1) будем понимать систему (13.1 ) ' при h.(t)aO'.- . Справедливо следующее утверждение:

УТВЕРВДЕНИЕ 13.2. Пусть h(t): [ОДЬН - непрерывная

т

функция, для которой выполнено условие j h(t)dt = 0, F(x,v) -

функция, удовлетворящая локальному условию Липшица на [-1;1] х R по совокупности переменных, причем выполняются■следующие,. условия для соответствущей ей системы <13.1. • '

а) существует М>0, такое -что любое-решение (13:f)A"'C ■ — начальным условием z(0)=xo, v(0)=vQ,. |vq|>М определено на

С11 ,t2J (t1 <□, t2>0), так ЧТО vtett^tg] V(t) = sgn VQ, X(t1) = -sgn V0, x(t2) = Sgn VQ.

б) существуют wai и Ь>0, такие что для любых двух различных участков траекторий (13.1)д, представимых в виде v=v1(х) и у=у2(х), где xeta.b], -1ia<bs1, |v1(х)|>1. и |у2(х)|>1 при asx<b и для любых аир, a <а<Ъ, asßsb выполняется соотношение:

v2(ß) - ур)

v2 (а) - v1 (а) w*

в) существует N>0, такое что при |v|>N

F (sgn у, v) y s 0. .. ^ , .

Тогда (13.1) имеет решение, удовлетворяющее условиям: х(Т)=х(0), У(Т)=У(0).

Формулируются, .достаточные условия существования периодических решений системы (13.1 ), анализируется случай, когда входящая в эту систему функция f(x,y) - линейная. В п.14. устанавливается следущее утверждение: ,

.УТВЕРЖДЕНИЕ 14.1. Пусть а>0, h(t): [0; +oo)-.R - непрерывна^

Т-периодаческая (Т>0) функция, для которой выполнено условие i)dî~0

о

g(Y) - монотонно возрастающая на R функция, удовлетворяющая локальному условию Липшица, такая что:

lim g(v)<a (или не существует),

Ilm g(Y)>-a (или не существует),

v-»+co

Тогда система:

dx

ш- -

О ; |х|= 1, XV > О у в иных случаях (14.1)

Ц = -ах - g(v) + h(t)

имеет Т-периодическое решение, асимптотически устойчивое в целом.

Автор выражает'глубокую благодарность йаучному руководителю доктору физико-математических наук, профессору1Филиппову Алексею Федоровичу"за "предложение интересной темы и помощь при работе над диссертацией. • ""' - . -

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ * '; *

1. В.А.Шулюпов. Дифференциальные уравнения, описывающие замкнутую систему, содержащую звено с гистероном..-г-Вестник МГУ, Серия 1, 1995, Л62, с. 25-29.

2. В.А.Шулюпов. Дифференциальные уравнения, описывающие замкнутую систему, содержащую звено с гистероном. Дифференциальные, уравнения, 1995, Ш (0 семинаре, по^качественной, теории дифференциальных-., уравнений в Московском, университете).

3. В.А. Шулюпов., Качественное исследование. дифференциальных уравнений, описывающих систему с гистероном. - ТЦЩ, Тула 1994, 28 С. - Деп. В ВИШ1ТИ, 11.11.94, # 2554 г В94.