Динамика нелинейных волн в дискретных системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

РГо ОД

на правах рукописи

Рыженкова Ирина Валерьевна

ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ

01.04.05 - оптика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

1

Новосибирск - 1995

Работа выполнена п Институте автоматики и электрометрии СО РАН г. Новосибирска

Научные руководители :

Официальные оппоненты:

Ведущая организация -

ч

Защита состоится " ' "

доктор физико-математических наук, профессор С.Л.Мушер,

кандидат физико-математических наук С.К.Турицын.

доктор физико-математических

наук Д.А.Шапиро (Институт автоматики

и электрометрии СО РАН, Новосибирск),

доктор физико-математических наук О.Ю.Цвелодуб (Институт теплофизики СО РАН, Новосибирск).

Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород.

199

¿J- в '»ас.

на заседании диссертационного совета К 003.06.01 в

институте автоматики и электрометрии СО РАН 630090, Новосибирск,

Университетский проспект 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИАиЭ СО РАН. Автореферат разослан 3 " шш/^т

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

Л.В.Ильичев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Усиление интереса к изучению дискретных нелинейных моделей в последние годы связано с ростом числа практических приложений, таких как системы связанных оптических световодов; модели переноса энергии в биофизических системах; нелинейные электрические сети; дискретные нелинейные системы, моделирующие динамику ДНК. Дискретный подход к решению таких задач, развитый в диссертации, может быть более адекватен и интересен в приложениях, чем континуальный, т.к. последний часто описывает только предельные случаи дискретных задач.

Помимо многочисленных практических приложений дискретные нелинейные модели представляют интересный класс фундаментальных проблем. Это задачи, в которых характерный масштаб фиксирован и не может рассматриваться как малый параметр. Дискретизация непрерывных уравнений Шредин-гера, Кортевега-де Фриза и других ранее использовалась для построения разностных схем при численном моделировании. Следует подчеркнуть, что в диссертации не рассматривается дискретизация непрерывных задач. Речь идет о классах моделей, где дискретность принципиально важна. Впервые вопросы влияния дискретности в стационарной постановке рассматривались Холстейном (1959 г.) при изучении поляронов. Затем этот подход был развит Давыдовым (1976 г.) в рамках дискретного нелинейного уравнения Шредингера (ДНУШ) для

описания переноса энергии в биологических системах. Идея "солитонов Давыдова" связана с дискретностью атомарной структуры в протеине. Позднее Кенкре, Кэмпбелом (1986 г.) и Циронисом (1989 г.) было проанализировано влияние асимметрии на волновую динамику в рамках ДНУШ. Горшков, Островский, Степанянц и др. (1972 г.) изучали дискретные системы в приложении к нелинейным электрическим сетям.

Основной целью диссертации является описание новых свойств, которые дискретность вносит в динамику нелинейных оптических систем. Известно, что непрерывные нелинейные системы с дисперсией демонстрируют три основных типа динамики волн в зависимости от соотношения нелинейности и дисперсии: самофокусировка или коллапс, - если нелинейность доминирует, солитоны - если нелинейность и дисперсия уравновешивают друг друга, и квазилинейное поведение, если дисперсия преобладает. Дискретность вносит вклад в дисперсию системы и одновременно играет роль механизма насыщения нелинейности. Этим объясняются новые свойства динамики дискретных систем, которые интересны как с точки зрения фундаментальной науки, так и в приложениях.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней последовательно отражено влияние дискретности на волновую динамику. Объяснена важная новая черта дискретных задач - совместное существование устойчивых и неустойчивых со-

стояний; изучено влияние диссипации на волновую динамику дискретных моделей; предложены новые разностные методики для численного решения дискретных уравнений.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1) Установлен критерий неустойчивости солитонов двумерного дискретного уравнения Шредингера, описывающего поперечную структуру поля в системе связанных волоконных световодов.

2) Показано, что солитоны двумерного дискретного уравнения Шредингера могут быть устойчивыми. Коллапс в дискретной системе невозможен, а самофокусировка приводит к квази-коллапсу, т.е. к локализации энергии в нескольких модах системы за конечное время.

3) Аналитически определен порог по амплитуде волны накачки (как функции частоты) в электрических дискретных передающих линиях. Для любой амплитуды накачки, превышающей этот порог, происходит усиление солитонного сигнала.

4) С помощью численного моделирования найден колмогоров-ский спектр слабой оптической турбулентности, сохраняющий поток энергии. Показано, что в системе волн с конечным дискретным набором частит должны существовать как источники, так и стоки энергии волн для реализации колмогоровского спектра. Время установления колмогоровского спектра в конечной волновой системе уменьшается с ростом числа мод.

5) Обнаружено, что в волновой системе с конечным дискрет-

ным набором частот происходит накопление волн с определенной частотой, обусловленное эффектом типа "узкого горла".

Практическая ценность. Результаты диссертации применимы для анализа широкого круга нелинейных явлений в различных средах, так как получены либо в рамках кинетического уравнения для волн, в котором специфика среды отражена только в виде матричного элемента, либо в рамках нелинейных уравнений Шредингера и Кортевега - де Фриза, имеющих универсальный характер. Результаты диссертации могут быть использованы при проектировании широкополосных оптических линий связи. Предложенные оптимальные режимы компрессии солитонов в электрических передающих линиях могут быть использованы для передачи и хранения информации. В качестве информационных битов могут применяться новые объекты - устойчивые многомерные солитоны, свойства которых изучены в работе. Обнаруженный эффект взрывообразной локализации энергии в ДНУШ может играть роль механизма сжатия и переключения оптических импульсов в волоконных световодах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре института Динамических систем в Бре-менском университете (Германия, 1993), на семинаре кафедры Оптоэлектроники в Дуисбургском университете (Германия, 1995), на семинаре под руководством проф. Д.А. Шапиро

в Институте автоматики и электрометрии СО РАН (т.г.1-1-4, 1995), а также на конференциях " Nonlmearity and Disorder" (Мадрид, Испания, сентябрь 1994), "Nonlinear Coherent Structures in Physics and Biology" (Эдинбург, Шотландия, апрель 1995), "Complex Dynamics in Spatially Extended Systems" (Копенгаген, Дания, сентябрь 1995).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 5 печатных работ [I-V], перечень которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, 27 рисунков и списка цитированной литературы из 78 наименований. Общий объем диссертации -105 страниц.

Содержание работы. Во введении сформулирована тема работы, указаны причины, по которым она актуальна, дана общая характеристика результатов работы.

В диссертации рассмотрен ряд физических систем, имеющих приложения в нелинейной оптике и объединенных в первую очередь общим подходом к ним, как к нелинейным дискретным моделям. Рассматриваемые модели нелинейной оптики являются также универсальными моделями нелинейной физики, поэтому полученные результаты важны не только в конкретных приложениях в оптике, но и представляют общий ин-

терес в теории волновых движений в сплошных средах.

Глава 1. Солитоны и квази-коллапс в двумерных дискретных системах

В последние годы нелинейным световолоконным связанным волноводам уделяется большое внимание из-за их возможного использования в качестве оптических переключателей. Была развита специальная технология для производства связанных волноводов, расположенных регулярным образом друг относительно друга в стеклянном капилляре. Несмотря на то, что в оптических световолокнах нелинейный коэффициент Керра невелик (для кварцевого стекла ~ Ю-20), нелинейность играет важную роль, потому что потери в них малы (< 0.2дб/км) и поле сосредоточено в относительно небольшой области (~ 3 Ом км2). Линейные коэффициенты взаимодействия между волокнами определяются перекрытием соответствующих поперечных мод и могут варьироваться в широком диапазоне значений с изменением расстояния между волокнами. Эволюция комплексных амплитуд огибающих Фп,т соответствующих мод описывается системой нелинейных дискретных уравнений Шредингера:

¿д*^'"' + Ф„ + 1,т + Фп- 1,т + Фп,т+1 + Ф„,т-1-

-4Ф„,т + 2|Ф„,т|2Ф„,т =0.

В 1.1 приведены его интегралы движения - гамильтониан Н и мощность Р, в основном определяющие динамику системы.

Показано, что начальное состояние с отрицательным гамильтонианом не может трансформироваться в волновой пакет малой амплитуды. Оценка значения дискретного гамильтониана в терминах Р показывает ограниченность его снизу функцией, зависящей от Р :

Я >8Р(1-2Р).

Поскольку Р = £ \ф n,m| — const, то в дискретной системе образование сингулярности волнового поля (коллапс) невозможно. Дискретным аналогом коллапса является конденсация энергии в нескольких модах системы. Такой механизм локализации энергии существенно отличается от линейного и соли-тонного механизмов. Это явление может быть использовано в оптических устройствах для обработки сигналов: сжатия, переключения и хранения оптических импульсов.

В 1.2 рассмотрен континуальный аналог системы и подробно описан механизм возникновения узких состояний и процесс распределения энергии в устойчивых локализованных структурах. В 1.3 показано, как дискретность изменяет характер устойчивости солитонов, которая играет основную роль при формировании состояний большой амплитуды. Стационарная задача решена новым безусловно устойчивым численным методом экспоненциальной квазилинеаризации, описанным подробно в 1.4.

Из результатов исследования стационарной задачи следует важная новая характеристика, вносимая дискретностью -совместное существование устойчивых солитонов и неустой-

чивых состояний в рамках модели нелинейного дискретного уравнения Шредингера. В 1.5 приведено доказательство неустойчивости солитонного решения. Нелинейная стадия развития этой неустойчивости приводит к появлению "бризеров", описанных в 1.6.

Глава 2. Дискретные системы в электронике

Вторая глава посвящена использованию дискретных солито-нов в оптоэлектронике для достижения пикосекундных импульсов в нелинейных микроволновых передающих линиях. В работах Горшкова, Островского и других (1972 г.) продемонстрировано, что нелинейный электрический контур допускает непосредственную реализацию солитонной концепции. Такие модели, как решетки Тода, уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение Буссинеска - основные модели для описания бегущего электрического сигнала по нелинейным передающим линиям. Модельные образцы передающих линий представляют собой цепочку диодов Шоттки. Такие линии активно используются в качестве экспериментальной модели для волн, распространяющихся в нелинейной диспергирующей среде с диссипацией.

Глава организована следующим образом. В 2.1 рассмотрена непрерывная модель для длинных волн, бегущих в одном направлении - обобщенное уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ). Обычная постановка задачи здесь - получение из входного синусоидального сигнала цепочки "сжатых" солитонных импульсов. Потери в линии обычно можно считать малым возмуще-

нием в уравнении КдФ. Такое предположение позволяет использовать адиабатическую теорию распространения солито-на, предложенную Карпманом (1978 г.). В рамках этой теории может быть описано затухание солитонного решения. Чтобы преодолеть расплывание солитона из-за диссипации, в 2.2 предложено использовать низкочастотную параметрическую накачку, допускающую эффективное преобразование энергии в энергию бегущего импульса. В 2.3 аналитически найден порог усиления солитона по амплитуде и частоте накачки и по этим результатам предложены оптимальные режимы компрессии солитона. Следует отметить, что экспериментально достаточно трудно возбуждать входные сигналы в виде одиночных солитонов. Обычно реализуется экспериментальная ситуация, когда один синусоидальный сигнал усиливается другим синусоидальным сигналом, отличающимся от первого амплитудой, фазой и частотой. Показано, что компрессия входного сигнала, основанная на солитонном эффекте, может успешно использоваться для генерации ультракоротких электрических импульсов даже в передающих линиях, в которых отсутствует неоднородность, приводящая к сжатию импульса.

Применимость теоретического анализа, основанного на уравнении КдФ, подтверждена экспериментами Гаша, Бернинга, Егера (1983 г.) и др., однако КдФ не позволяет описывать динамику нелинейных волн в случае, если длины волн сравнимы с расстоянием между диодами Шоттки. Существование и свойства очень узких состояний, соответствующих концентра-

ции всей энергии в нескольких модах, можно анализировать только в рамках дискретных моделей. Поэтому в 2.4 для каждого элементарного контура, эквивалентно представляющего действие одного диода, сформулированы дискретные уравнения, представляющие собой законы Кирхгофа для напряжения и силы тока. Исключив из рассмотрения ток, мы получим дискретное уравнение Буссинеска - основное уравнение модели. Граничные условия выводятся из условия отсутствия отраженного сигнала. Приведено сравнение результатов дискретной и континуальных моделей, полученных для одних и тех же режимов. Показано, что если количество диодов в цепи невелико < 50, то для описания распространения сигнала необходимо использовать дискретную модель. Так, например, в режимах, когда КдФ в присутствии параметрической накачки демонстрирует компрессию солитона, в эксперименте и в дискретной модели начальный сигнал затухает.

Глава 3. Дискретные модели в кинетике

В третьей главе рассматривается слабо нелинейное взаимодействие волн, обладающих дисперсией. Такое взаимодействие описывается в терминах парных корреляторов, которые удовлетворяют кинетическому уравнению, и спектр является его точным решением.

В теории развитой волновой турбулентности в работах Захарова, Мушера, Рубенчика, Фальковича (с 1973 г.) в основном уже вычислены стационарные колмогоровские спектры и изучена их устойчивость при наличии бесконечного инерцион-

ного интервала. В 3.1 изучается турбулентность в более реальных ситуациях - в системе волн с конечным дискретным набором частот при наличии диссипации. Анализируется функция, описывающая поведения декремента затухания волн в к-пространстве. Для того, чтобы существовало стационарное распределение, эта функция должна быть знакопеременной, т.е. описывать как источники, так и стоки энергии. Второе условие, которое должно быть выполнено для существования стационарного неравновесного решения - внешнее окружение должно обеспечивать постоянный отток энтропии из системы.

В 3.2 показано, что в конечном дискретном ¿-пространстве время установления стационарного спектра падает с ростом числа мод в системе. Конечность масштаба стока приводит к увеличению чисел заполнения в инерционном интервале. Накопление волн обусловлено эффектом типа "узкого горла", (см. эксперимент Леонарта и Блэкмана, 1989 г.).

В 3.3 в рамках скалярного уравнения Шредингера изучена так называемая слабая "оптическая турбулентность" - турбулентность световых волн в нелинейных диэлектриках, рассмотренная впервые Ньюеллом и Захаровым (1989 г.). В численном эксперименте найдена колмогоровская экспонента, соответствующая сохранению потока энергии. Показано, что постоянство потока энергии, который не зависит от частоты накачки, обеспечивается высокочастотной частью спектра. Вычисленное значение колмогоровской экспоненты согласуется с результатами экспериментов Ареччи и др. (1991 г.).

Список работ по теме диссертации

I. Рыженкова И.В., Фалькович Г.Е., Влияние диссипации на структуру стационарного спектра волновой турбулентности. ЖЭТФ, т.98, 6(12), 1930 (1990).

II. Falkovich G.E., Ryzlienkova I.V., Kolmogorov spectra of Laugmuir and optical turbulence, Pliys. Fluids B, 21, 594 (1992).

III. Мезенцев В.К., Мушер С.JI., Рыженкова И.В, Турицын С.К., Дискретные солитоны и квазиколлапс в двумерных нелинейных системах. Письма в ЖЭТФ, 22 (11) (1994).

IV. Mezentsev V.K., Ryzlienkova I.V., Huelsewede R., Soliton compression on nonlinear transmission lines. Fachbereich des Oproelectroniks Universitaet Duisburg, Jahresbericht (1994).

V. Mezentsev V.K., Muslier S.L., Ryzlienkova I.V., Turitsyn S.K., Discrete solitons and quasicollaps in two-dimensional nonlinear systems, in Proc. of Workshop: Noiilinearity and Disorder (Madrid, Spain, 1994)

VI. Laedke E.W, Mezentsev V.K., Muslier S.L., Spatscliek K.H., Ryzlienkova I.V., Turitsyn S.K., Instability of two-dimensional discrete solitons, Письма в ЖЭТФ, 62(8), (1995).

VII. Mezentsev V.K., Ryzlienkova I.V., Turitsyn S.K., Huelsewede R., Jaeger D., Pulse compression on parametric driven liomogenious nonlinear transmission lines, Elect. Lett. 1995 (submitted).

VIII. Huelsewede R., Jaeger D., Chi Lee, Ryzlienkova I.V., Turitsyn S.K., Periodic restoring of electrical pulse energy ill nonlinear transmission lines, IEEE Microwave and Waveguidess Lett. 1995 (in press).