Восстановление параметров систем с запаздыванием по временным рядам тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ
|
Караваев, Анатолий Сергеевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Саратов
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.03
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
КАРАВАЕВ Анатолий Сергеевич
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ
01.04 03 — радиофизика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Саратов — 2007
003161518
Работа выполнена на кафедре динамического моделирования и биомедицинской инженерии Саратовского государственного университета им Н Г. Чернышевского и Саратовском филиале Института радиотехники и электроники РАН
Научный руководитель
доктор физико-математических наук, профессор Безручко Борис Петрович
Официальные оппоненты
доктор физико-математических наук, профессор Казанцев Виктор Борисович
кандидат физико-математических наук, доцент Павлов Алексей Николаевич
Ведущая организация
Саратовский государственный технический университет
Защита состоится ноября 2007 г в часов на заседании
диссертационного совета Д 212 243 01 при Саратовском государственном университете им. Н Г Чернышевского (410023 Саратов, Астраханская, 83, корп /// , ау|'7 )
С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке им В А Артисевич Саратовского государственного университета
Автореферат разослан v октября 2007 г
Ученый секретарь диссертационного совета, д ф -м н
В М Аникин
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы.
Современные тенденции развития радиофизики во много связаны с решением задач обработки сложных сигналов с широким спектром, в том числе, хаотических, зачастую нестационарных Сложными в этом смысле является большинство движений, процессов и сигналов в системах живой природы, на изучение которых переносится центр тяжести естественнонаучных исследований, где интенсивно внедряются подходы и методы, развитые в радиофизике Повсеместное использование цифровых методов обработки информации определило представление временных зависимостей в виде дискретной последовательности отсчетов -временных рядов Такой вид имеют сигналы на выходе аналого-цифровых преобразователей, цифровых измерительных приборов Такое представление данных, зачастую, является естественным для экономики, метеорологии, популяционной динамики и других областей знаний Обработка таких временных зависимостей может производиться непосредственно - визуально, как оценивают кардио- и энцефалограммы врачи-диагносты, на основе расчетов классических статистических характеристик (Фурье- и вейвлет- спектры, функций корреляции и др ), а также - развитых в рамках теории колебаний и нелиненой динамики (качественный анализ портретов и оценки различных количественных мер аттракторов в фазовом пространстве, исследование бифуркационных множеств в пространстве параметров) Это позволяет решать задачи кластеризации сигналов, оценивать взаимосвязи между их источниками и пр
Дополнительные возможности представляет исследователю реконструкция математических моделей по временным рядам и последующий анализ исследуемых систем с помощью построенных моделей Наличие математической модели позволяет, помимо перечисленных выше, решать задачи прогноза дальнейшего поведения системы во времени или при изменении ее параметров, оценки адекватности представлений об устройстве объекта, наблюдения величин, недоступных прямому измерению Имея в своей предыстории классическую задачу аппроксимации точек на плоскости гладкой кривой, благодаря прогрессу в развитии вычислительной техники, достижениям нелинейной динамики, в частности, формированию концепции динамического хаоса, в настоящее время речь идет о реконструкции моделей в виде дифференциальных и разностных уравнений
Опыт реконструкции модельных уравнений по рядам, приобретенный в 70-90-е прошлого века, когда это занятие было очень популярным среди исследователей, показал, что использование универсальных конструкций (например, аппроксимация нелинейных функций в уравнениях ; степенными полиномами), не учитывающих особенностей объекта, как | правило, не приводит к успеху из-за громоздкости и не1рубос-™ ч /
получающихся решений На хороший результат более вероятно рассчитывать лишь при использовании специальных технологий, ориентированных на использование для достаточно узких классов объектов1'2'3 Представляемая диссертация посвящена созданию такой технологии для систем с запаздыванием
Системы с задержкой широко распространены в природе В частности, динамика изменения состава крови4, электрические сигналы мозга5, колебания во многих радиофизических6 7 и оптических8 системах и ряде других явлений могут быть описаны с использованием уравнений с задержкой Популярность уравнений с запаздыванием у исследователей, занимающихся проблемами нелинейной динамики, вызвана, в частности, тем, что системы с задержкой, описываемые даже уравнениями первого порядка, могут демонстрировать динамику очень высокой размерности, что роднит их с распределенными системами
В работе предложена оригинальная методика определения времени запаздывания, основанная на статистическом анализе временных интервалов между экстремумами временного ряда, на ее основе предлагаются методы реконструкции автономных и неавтономных систем с запаздыванием Работоспособность разработанных подходов демонстрируется в компьютерных и радиотехнических экспериментах и при решении практически важной задачи из области физиологии
Целью диссертационной работы является разработка методов реконструкции по временным рядам модельных дифференциальных уравнений, специализированных для работы с системами с запаздывающей обратной связью, и их апробация в численных и радиотехнических экспериментах
Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их воспроизводимостью в численном и радиофизическом эксперименте, хорошей согласованностью между собой и с результатами других авторов
1 Bezruchko В Р and Smirnov D A Constructing nonautonomous differential equations from experimental time senes//Phys Rev E -2001 -V 63 -P 016207
2 Horbelt W, Timmer J, Bunner M J, Meucci R, Ciofini M Identifying physical properties of a CO2 laser by dynamical modeling of measured time senes // Phys Rev E -2001 -V 64 -P 016222
3 Anishchenko V S , Pavlov A N, Janson N В Global reconstruction m the presence of a prion information // Chaos, Solitons & Fractals -1998 -V 8 -P 1267-1278
MackeyMC and Glass L Oscillations and chaos m physiological control systems // Science -1977 -V 197 -P 287-289
5 Gnbkov D and Gnbkova V Learning dynamics from nonstationary time series Analysis of electroencephalograms//Phys Rev E -2000 -V 61 -P 6538-6545
6 Кузнецов С П Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью (обзор) //Изв ВУЗов, Радиофизика -1982 -Т 25 -С 1410-1428
Дмитриев А С , Кислов В Я Стохастические колебания в радиофизике и электронике - М Наука -1989 - 280 с
8 Ikeda К Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by a ring cavity system//Opt Commun -1979 -V 30 -P 257-261
Научная новизна работы состоит в следующем
• Выявлены закономерности распределения экстремумов хаотических временных реализаций систем с запаздыванием, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздыванием первого порядка
• Предложен метод определения времени запаздывания по скалярной хаотической временной реализации системы с задержкой первого порядка, основанный на анализе распределения экстремумов во временной реализации этой системы
• Предложен метод, позволяющий по скалярной хаотической временной реализации системы с запаздывающей обратной связью первого порядка оценивать ее время инерционности и реконструировать нелинейную функцию В отличие от большинства известных подходов, предложенный метод реконструкции является более грубым к шуму и позволяет использовать все отсчеты временной реализации, что позволяет осуществлять реконструкцию по существенно более коротким временным реализациям
• Предложен подход, позволяющий осуществить реконструкцию модельного уравнения неавтономной системы с запаздыванием первого порядка по хаотической временной реализации системы и временному ряду сигнала внешнего воздействия, а также определять способ внесения внешнего воздействия в систему
• На основе разработанных методов реконструкции модельных уравнений систем с запаздывания по хаотическим временным рядам предложен подход, позволяющий определять направление связи между двумя связанными системами с задержкой первого порядка, а также оценивать величину этой связи
Теоретическая и практическая значимость результатов Наиболее значимым теоретическими результатом, полученным в ходе выполнения работ в рамках диссертации, является разработка методов реконструкции модельных уравнений автономных и неавтономных систем с запаздывающей обратной связью по временным реализациям систем
Практическая значимость показана при экспериментальной апробации разработанных подходов в ходе реконструкции моделей радиотехнических генераторов с запаздыванием по временным рядам этих устройств Кроме того, в рамках работы проводились исследования применимости развиваемых методов к анализу экспериментальных данных Для этого изучалась зависимость работоспособности методов реконструкции от интенсивности аддитивного шума и ширины полосы пропускания измерительного тракта
Апробация результатов. Результаты работы представлялись автором на научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн ФНП, кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии ФНиБМТ, а также на конференциях и научных школах Научные школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых", Саратов, 2001-
2006, Федеральной школе-конференции по инновационному малому предпринимательству в приоритетных направлениях науки и высоких технологий, г Москва, 2006; Научной конференции в рамках всероссийского конкурса инновационных проектов "Живые системы", г Киров, 2005, 2006, конференциях молодых ученых Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика, г. Саратов, 2006, 2007, VII международной научно-технической конференции "Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии - ФРЭМЭ 2006", г Владимир, 2006, научных школах "Нелинейные волны", Н Новгород, 2004, 2006, Всероссийских научных конференциях "Нелинейные колебания механических систем", Н Новгород, 2002, 2005, International Symposium Topical Problems of Nonlinear Wave Physics" (NWP), 2003, 2005, IV Всероссийском симпозиуме с международным участием "Медленные колебательные процессы в организме человека" и II междисциплинарной Школе-семинаре "Теоретические и прикладные аспекты нелинейной динамики в физиологии и медицине", Новокузнецк, 2005, 7-й международной школе "Хаотические автоколебания и образование структур" (ХАОС-2004), Саратов, 2004, конференциях молодых ученых, аспирантов и студентов НОЦ СГУ "Нелинейная динамика и биофизика", Саратов, 2002-2004, студенческих научных конференциях ФНП СГУ, Саратов, 2000-2004
Личный вклад автора включает обработку экспериментальных данных, алгоритмическую реализацию разработанных подходов, участие в разработке и изготовлении экспериментальной установки - гибридного генератора с запаздывающей обратной связью, нелинейный элемент и линия запаздывания которого реализованы программно на ЭВМ, а инерционный элемент представляет собой аналоговый RC-фияьтр, участие в разработке предложенных методов.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы из 101 наименования Общий объем диссертации составляет 127 страниц, включая 34 рисунка
Положения и результаты, выносимые на защиту. 1. Наличие четко выраженного абсолютного минимума зависимости числа пар экстремумов хаотической реализации системы от величины разделяющих их временных интервалов может служить признаком принадлежности исследуемого объекта к системам с запаздывающей обратной связью Величина соответствующего интервала может быть использована в качестве оценки времени задержки для модели в виде дифференциального уравнения первого порядка с запаздыванием 2 Наличие статистической оценки времени задержки непосредственно по временному ряду позволяет определять величину параметра инерционности и восстанавливать нелинейную функцию путем оптимизации вложения траектории в специально сконструированное
б
пространство, что может использоваться как новая методика восстановления моделей систем с запаздыванием
3 Продемонстрирована работоспособность разработанной методики реконструкции уравнений с запаздыванием при анализе временных рядов эталонных систем с задержкой и радиотехнических генераторов в условиях зашумления сигнала и ограничения полосы пропускания измерительного тракта.
4 Предложен метод, позволяющий по хаотическим временным рядам осуществлять оценку параметров связи для неавтономных и связанных автогенераторов с задержкой, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка с запаздыванием В основе подхода лежит метод реконструкции модельных уравнений систем с задержкой
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дана общая характеристика работы, обосновывается её актуальность и новизна, формулируются положения, выносимые на защиту
В первой главе сделан краткий обзор известных методов реконструкции модельных уравнений систем с запаздыванием В публикациях, проанализированных в обзоре, рассматриваются 2 группы подходов к реконструкции методы, основанные на проецировании бесконечномерного фазового пространства системы с запаздыванием в подпространства малой размерности и методики, основанные на применении регрессионного анализа Сопоставление известных методов реконструкции с подходами, предлагаемыми в диссертации, показывает, что развиваемые методики обладают, по сравнению с известными, рядом преимуществ
В первой главе рассматриваются системы, описываемые уравнениями первого порядка с запаздыванием вида
*,*(/) = -*(0+ /(*(*-*,)), (1) где ех - параметр, характеризующий инерционные свойства системы, -динамическая переменная, / - нелинейная функция, г, - время запаздывания
Было предположено, что распределение экстремумов в их хаотических временных реализациях имеет специфическую особенность Действительно, если система, описываемая уравнением вида (1), обладает существенными инерционными свойствами (е1 > 0, что является типичным случаем), то во временной реализации практически не будет экстремумов, разделенных временным интервалом, равным времени запаздывания (рис 1)
02
X,
Рис 1 качественный вид зависимости числа N пар экстремумов временного ряда системы с запаздыванием, удаленных друг от друга на время г, от величины т при наличии инерционности в системе > 0) Зависимость
нормирована на общее число экстремумов реализации
т
I !
00
1
о
г
Эта особенность распределения экстремумов лежит в основе предложенной методики восстановления по хаотической временной реализации времени запаздывания По полученному в эксперименте временному ряду системы с задержкой строится зависимость, по оси абсцисс которой откладывается величина временного интервала г, а по оси ординат - число N пар экстремумов анализируемой реализации, разделенных во времени такими интервалами Нормированная на количество всех экстремумов реализации, зависимость Щт) будет иметь смысл оценки плотности распределения вероятностей встречи во временной реализации пары экстремумов, разделенных интервалом г На рис 1 представлен типичный результат такого анализа Совокупность приведенных соображений и результатов их проверки на моделях и экспериментальных реализациях радиотехнических генераторов с запаздыванием, позволяет утверждать, что, для хаотических9 реализаций систем вида (1) при наличии в системе инерционности (е, > 0), что является наиболее типичной ситуацией, вероятность встретить во временной реализации пару экстремумов, разделенных временем запаздывания, минимальна (рис 1) В качестве примера, на рис 2 представлена зависимость Щт) полученная при применении предложенного подхода к временным реализациям модели генератора с запаздыванием
9 При исследовании временных реализаций процессов, близких к периодическим, использование распределения интервалов между экстремумами для оценки времени запаздывания обычно затруднительно в силу регулярности расположения экстремумов
Рис 2 результаты исследования
хаотической временной реализации, полученной с помощью численного решения модельного уравнения генератора с запаздыванием Построение распределения временных интервалов, разделяющих экстремумы реализации, №(т) позволило точно восстановить время запаздывания ?, = 200
100 150 200 250 300 Т
На основе указанных свойств распределения экстремумов в реализациях систем с задержкой нами предложена методика реконструкции модельного уравнения системы с запаздывающей обратной связью, описываемой уравнением вида (1), по скалярному хаотическому временному ряду, описание и проверка которой является основным содержание диссертационной работы Первым шагом при реализации этого подхода является определение времени запаздывания системы с помощью построения и анализа зависимости Ы(т) Для восстановления параметра инерционности £', и реконструкции нелинейной функции / (по аналогии с10) предложено проецировать фазовую траекторию системы на плоскость \р:({) + х((), х(1 где т,- восстановленное время
запаздывания Показано, что при е = £1 точки в указанной проекции ложатся на нелинейную функцию, позволяя получить на этой плоскости гладкую зависимость, а при удалении величины е от еу зависимость расплывается, становясь неоднозначной Используя в качестве количественной меры гладкости проекции, например, длину Ь ломаной, соединяющей все ее точки, при их пересортировке по возрастанию х(с — г,), перебором значения е, находим значение е = £х, при котором зависимость Ь(е) достигает минимума При этом ех = ¿Г, и зависимость на плоскости [^(г) + воспроизводит в табличном виде
нелинейную функцию / (рис 3)
Рис 3 реконструкция модельного уравнения генератора с
запаздыванием (а) оценка параметра инерционности с помощью расчета £(е) - меры гладкости проекции фазовой траектории системы на специальным образом выбранную плоскость (Ь) Це) нормирована на максимальное значение в исследуемом интервале
-1
Сопоставление предложенных и известных методов реконструкции моделей систем с запаздыванием позволяет отметить ряд преимуществ, предоставляемых подходами, предложенными в диссертации Так метод восстановления времени запаздывания обладает более высоким быстродействием и более груб к шуму, а предложенная методика оценки параметра инерционности и восстановления нелинейной функции позволяет осуществлять реконструкцию по существенно более коротким временным реализациям, чем другие известные методы
10 Bunner M J, Popp M, Meyer Th , Kittel A, Pansi J Tool to recover scalar time-delay systems from experimental time series // Phys Rev E -1996 -V 54 -No 4 -P R3082-R3085
Во второй главе работоспособность предложенных методик иллюстрируется на различных примерах
В ходе численного моделирования, с помощью разработанных подходов осуществлялась реконструкция модельного уравнения системы Маккея-Гласса
ах^-Ту)
х(/) = -&е(0 + -
(2)
1+хсу-т1)
Уравнение (2) может быть сведено к виду (1). Временные ряды этой системы были получены в ходе численного решения уравнения (2) на ЭВМ, причем параметры выбирались таким образом, что система функционировала в хаотическом режиме (а = 02, 6 = 0 1, с = 10, е=10, т>300)
Рис 4 реконструкция модели системы
Маккея-Гласса (2) в присутствии аддитивного 3%
гауссовского шума время задержки (Ь)
(а) Зависимость Щх) позволяет Восстановление нелинейной функции
точно восстановить
Работоспособность разработанных подходов исследовалась, в том числе, при наличии в реализациях достаточно интенсивного аддитивного шума (рис 4).
Было показано, что предложенный подход позволяет успешно осуществлять реконструкцию параметров модельного уравнения системы при уровне шума до 10%
Другим фактором, способным серьезно затруднить реконструкцию, является ограничение полосы пропускания канала измерения Возможности метода реконструкции при наличии такого ограничения также исследовались Для этого сигнал системы (2), демонстрирующей хаотические автоколебания, пропускался через низкочастотный фильтр Затем между собой сравнивались результаты реконструкции параметров модели при уменьшении частоты среза фильтра Было показано, что разработанный алгоритм реконструкции позволяет определить время запаздывания системы с ошибкой, не превышающей 3%, даже в том случае, если большая часть спектра системы, включая основной пик, лежит в полосе подавления фильтра
Метод также успешно применялся для реконструкции модельного уравнения системы Икеды8, в том числе, по зашумленным реализациям
В ходе апробации разработанного подхода на экспериментальных данных, с его помощью осуществлялась реконструкция модели радиотехнического генератора с запаздывающей обратной связью,
который может быть описан уравнением вида (1), по временной реализации этого генератора, зарегистрированной с помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП) (рис 5)
"0 1 2 3 4 5 У{1-х{\ В
Рис 5 реконструкция модели радиотехнического генератора с запаздыванием (а) Блок-схема генератора (Ъ) Зависимость Щх) (Мтт(х)=М(х=31 7 мс)) позволяет точно восстановить время запаздывания (с) Реконструкция передаточной характеристики нелинейного элемента
В ходе работы был изготовлен гибридный автогенератор с запаздыванием В нем линия запаздывания и нелинейная функция были реализованы в цифровом виде на ЭВМ, а инерционный элемент представлял собой аналоговый ЯС-фильтр, с выхода которого регистрировался экспериментальный временной ряд колебаний напряжения Такое устройство экспериментальной установки позволяет быстро и в широких пределах варьировать длину линии запаздывания и параметры нелинейной функции, а также с высокой точностью контролировать результаты таких изменений
В результате применения разработанных подходов для реконструкции моделей различных эталонных и радиотехнических систем, в том числе, при наличии в системах шума и существенном ограничении полосы пропускания, была продемонстрирована хорошая работоспособность предложенных методик
Третья глава посвящена разработке методов реконструкции неавтономных и связанных систем с запаздывающей обратной связью по временным рядам, а также восстановлению параметров связи в таких системах
Рассматривается задача реконструкции системы вида (1), находящейся под внешним воздействием, по хаотической временной реализации системы с запаздыванием и временному ряду внешнего воздействия
Уравнение (1) является математической моделью кольцевого генератора с запаздывающей обратной связью, состоящего из трех основных элементов нелинейного, инерционного и линии задержки В случаях добавления сигнала воздействующей системы перед нелинейным элементом, перед инерционным элементом или перед линией задержки, каждому из этих случаев можно сопоставить модельное уравнение
ехШ) = -*(') + /(*(* + куу(1)), (3)
£,х(0 = -*(0 + / (*(' -*,)) + куу{ 0, (4)
и
= ~х{1) + Дх(1 -т1) + куУ{1 - Г,)) , (5)
соответственно, где у(1) - временной ряд воздействующей системы, ку -
коэффициент связи
Ставится задача определить конфигурацию связи (т е точку добавления сигнала внешнего воздействия) и осуществить реконструкцию соответствующего модельного уравнения при условии, что доступен хаотический временной ряд динамической переменной х(/), регистрируемый на выходе инерционного элемента, а также временной ряд воздействующей системы у(() В работе показано, что в общем случае, время запаздывания неавтономной системы может быть определено по скалярной хаотической временной реализации х(г) методом, предложенным в гл 1 Для определения конфигурации связи была разработана специализированная методика При ее реализации осуществляется проецирование фазовой траектории неавтономной
системы на плоскости а \_х(1-?1)+ку^),8х(
и у\_хЦ-т1)+ку(?-т1),ех(1}+х(0]> гДе Ь ' восстановленное на первом этапе работы алгоритма реконструкции время запаздывания, ей к - перебираемые параметры Предложенный алгоритм реконструкции модельного уравнения содержит следующую последовательность действий 1) по скалярной хаотической временной реализации х(7) с помощью предложенной в гл 1 методики восстанавливается значение времени запаздывания системы т,, 2) осуществляется проецирование фазовой траектории системы на плоскость а, перебирая значения е и к, строится зависимость Ьа{е,к~), находится
ее минимум Ь™п (а = е™т, к = к^), 3) и 4) аналогично для проекций на плоскости Р и у находятся значения (е = , к - к™т) и Ь™п (<? = г™, к = к™т) соответственно, 5) находим минимальное из 3 найденных значений Ь™" (е™т, к™т) и делаем вывод о наиболее
адекватной структуре модельного уравнения (и соответственно, способе добавления внешнего воздействия) уравнение вида (3), если наименьшим является , при ] = а, (4) - при } = р и (5) - при ] = у, 6) считаем, что
для найденного у ^ = е""п » и ку- к]шп » ку, для реконструкции в табличном виде нелинейной функции временной ряд проецируется на плоскость у при параметре инерционности е = ¿г, и коэффициенте связи
к = ку
Работоспособность предложенного метода тестировалась на неавтономных и связанных эталонных осцилляторах с запаздыванием, а также в радиотехнических экспериментах Предложенный метод позволил успешно осуществлять реконструкцию модельного неавтономного
уравнения системы Маккея-Гласса при гармоническом внешнем воздействии, определять параметр связи и определять точку добавления внешнего воздействия для всех трех рассмотренных способов осуществления внешнего воздействия
Показано, что разработанные подходы можно обобщить на случай связанных систем с запаздыванием Решалась задача определения наличия, силы, направленности и структуры связи между двумя взаимодействующими системами с запаздывающей обратной связью по их хаотическим временным рядам
Рис 6
реконструкция моделей связанных радиотехнических генераторов X и Y с запаздыванием и восстановление конфигурации связи X действует на Y 5; способом I, Y на X способом III (а), (Ь) Временные
20 40 60 80 100 t ms
03 02 01 00
10 20 30 40
t, ras
генераторов, > J е
полученные при % 2 I- Л
значениях л ! \
параметров X 1 1 \
= 23 мс, tc + I \
в\ = 0 48 мс, h=- 0 1 ¡V 0 j \ t л
и Y 31 1 мс, ¿Г 1 1 1
Sl = l0ljnc,fc2=0 1
-1
-10 12 3
0 12 3
(o), (d) Зависимости А'(т) (e),(f) Восстановленные нелинейные функции Структура связи восстановлена верно
Работоспособность методики иллюстрируется серией экспериментов, в которых осуществляется определение параметров связи взаимодействующих эталонных систем с запаздыванием связанных различным образом, в том числе, при наличии шума, а также радиотехнических генераторов с запаздыванием
Методика позволила восстановить конфигурацию связи и оценить параметры модельных уравнений для случаев связанных различными способами систем Маккея-Гласса, в том числе, в присутствии шума
На рис 6 представлены результаты определения параметров связи и реконструкции модельных уравнений связанных радиотехнических генераторов с запаздыванием
Показано, что предложенный метод определения конфигурации связи связанных систем с запаздыванием по хаотическим временным рядам
демонстрирует высокую работоспособность, позволяя восстанавливать конфигурацию связи и с высокой точностью определять коэффициенты связи.
В приложении рассматривается пример реконструкции модельного уравнения системы симпатической барорефлекторной регуляции артериального давления человека в виде дифференциального уравнения первого порядка с запаздыванием. Согласно работе", эта система может рассматриваться как кольцевой автогенератор с запаздыванием, в котором инерционными свойствами обладают преимущественно артериальные барорецепторы, запаздывание сигнала происходит при его распространении по нервной системе. Сигнал, претерпев в центральной нервной системе нелинейное преобразование, воздействует на сосудодвигательные мышцы, меняя их тонус. Изменение тонуса сосудов приводит к изменению кровяного давления, которое воспринимается барорецепторами. Таким образом, замыкается цепь обратной связи. В работе" предлагается математическая модель этой системы регуляции, в виде (1).
Несмотря на значительный интерес к проблеме, успешных попыток осуществить реконструкцию модельного уравнения исследуемой системы непосредственно по экспериментальным данным до настоящего времени не было, что можно объяснить невозможностью применения для реконструкции систем с запаздыванием "универсальных" подходов и необходимостью применения специализированных методик, чему посвящено приложение. Экспериментальные данные представляли собой временные реализации инвазивно зарегистрированного артериального давления'".
Рис. 7: реконсгрукция модели системы барорефлекторной симпатической регуляции артериального давления, (а) Восстановленная нелинейная функция, состоящая из 2 ветвей (точки и кресты). (Ь) Сопоставление модельной (сплошная линия) и экспериментальной (нунктир) временных реализаций.
В ходе применения к экспериментальным данным метода реконструкции, ориентированного на реконструкцию моделей систем с запаздыванием были восстановлены значения параметра инерционности и
'1 Ringwood J-, Malpas S. Slow oscillations in blood pressure via a nonlinear feedback model // Am J Physiol Regulatory Integrative Comp Physiol. -2001. -V. 280. -P. R1 105-R1115. " www.physionet.org
временем запаздывания, лежащие в известном диапазоне физиологичных значений", и восстановлена в табличном виде нелинейная функция (рис 7а) Верификация модели демонстрирует ее хорошее качество (рис 7Ь)
В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
1 Предложен метод реконструкции модельного уравнения автономной системы с запаздывающей обратной связью в виде дифференциального уравнения с запаздыванием по хаотическим временным рядам В численных и натурных экспериментах показаны, преимущества разработанного подхода по сравнению с другими известными
2 В рамках выполнения работы создана радиотехническая установка -гибридный кольцевой генератор с запаздыванием, нелинейный элемент и линия запаздывания которого реализованы программно на ЭВМ, а инерционный элемент представляет собой аналоговый ЛС-фильтр, конструкция которого позволяет быстро в широких пределах и с высокой точностью задавать такие параметры системы с запаздыванием, как время запаздывания и вид нелинейной передаточной характеристики Хаотические временные ряды этого генератора в ходе работы использовались для тестирования разработанных методик
3 В экспериментах с реконструкцией модельных уравнений систем с запаздыванием по данным в условиях ограничения ширины полосы канала пропускания а также при добавлении в анализируемые реализации шума достаточно высокой интенсивности, показана применимость разработанных подходов к анализу экспериментальных данных
4 Работоспособность предложенных подходов проиллюстрирована в ходе реконструкции модельных уравнений таких эталонных автоколебательных систем с запаздыванием, как кольцевого генератора с запаздыванием, системы Маккея-Гласса и системы Икеды, хаотические временные ряды были получены путем численного решения уравнений указанных систем на ЭВМ Кроме того, проводись эксперименты, в ходе которых осуществлялась реконструкция моделей радиотехнических генераторов с запаздыванием по их экспериментальным временным рядам
5 Разработана методика, позволяющая осуществлять реконструкцию моделей неавтономных и связанных систем с запаздыванием и определять силу, направление и структуру связи по временным реализациям взаимодействующих систем Работоспособность подхода показана в ходе реконструкции уравнений эталонных автоколебательных систем с запаздыванием
6. С помощью специализированных методов, ориентированных на реконструкцию систем с запаздыванием, по экспериментальным
временным рядам артериального давления восстановлено модельное уравнение системы симпатической барорефлекторной регуляции в виде дифференциального уравнения с запаздыванием первого порядка
СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1 Караваев А С , Пономаренко В И , Прохоров М Д Восстановление моделей скалярных систем с запаздыванием по временным рядам // Письма в ЖТФ -2001 -Т 27 -В 10 -С 43-51
2 Bezruchko В Р, Karavaev A S , Ponomarenko V I, Prokhorov М D Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series // Phys Rev E -2001 -V 64 -P 056218
3 Bezruchko В P , Seleznev Ye P , Ponomarenko VI, Prokhorov M D , Smirnov D A, Dikanev T V , Sysoev IV , Karavaev A S Special approaches to global reconstruction of equations from time series // Izv VUZ "AND" -2002 -T 10 -№3 -C 137-158
4 Ponomarenko VI, Prokhorov M D , Karavaev A S , Seleznev Ye P, Dikanev T V. Recovery of dynamical models of time-delay systems from tune series//Izv VUZ "AND" -2003 -T 11 -No 3 -P 56-66
5 Прохоров M Д, Пономаренко В И, Караваев А С Восстановление уравнений систем с запаздыванием под внешним воздействием по временным рядам//Письма в ЖТФ -2004 -Т 30 -В 2 -С 81-88
6 Пономаренко В И, Гриднев В И , Прохоров М Д, Беспятов А Б , Бодров М Б , Караваев А С Синхронизация сердцебиения и ритма регуляции сосудистого тонуса с дыханием // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника -2004 -№8-9 -С 40-51
7 Пономаренко В И , Прохоров М Д, Караваев А С , Безручко Б П Определение параметров систем с запаздывающей обратной связью по хаотическим временным реализациям // ЖЭТФ -2005 -Т 127 - В 3 -С 515-527
8 Prokhorov М D , Ponomarenko V I, Karavaev A S , Bezruchko В Р Reconstruction of time-delayed feedback systems from time series // Physica D -2005 -V 203 -P 209-223
9 Prokhorov M D, Ponomarenko VI, Karavaev A S, Bezruchko В P Recovery of dynamical models of time-delay systems from time series Application to chaotic communication // m "Nonlinear Phenomena Research Perspectives", Ed. Wang С W. -Nova Science Publishers Inc -New York -2007.-P 7-53
10 Karavaev A S, Ponomarenko VI, Prokhorov M D Reconstruction of time-delay systems from experimental data // From Quanta to Societies, Proceedings of the 2nd European Interdisciplinary School on Nonlinear Dynamics for System and Signal Analysis (EUROATTRACTOR 2001), edited by W Klonowski -Pabst Science Publishers -Lengerich -2001 -P 298-304
11 Prokhorov M D, Karavaev A S, Ponomarenko VI Reconstruction of driven and coupled time-delay systems from time series // Proceedmgs of the
12 European International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES-2004) -Portugal -2004 -P 280-283
12 Безручко Б П, Бодров М Б, Диканев Т В , Караваев А С, Пономаренко В И, Прохоров М Д, Селезнев Е П, Сысоев И В , Смирнов Д А Некоторые проблемы реконструкции модельных уравнений по временным рядам и пути их решения // сборник трудов всероссийской научной школы-конференции "Нелинейные волны -2004" -Н-Новгород -2004 -С 381-396
13 Безручко Б П , Караваев А С , Смирнов Д А Реконструкция модельных уравнений по временному ряду и задачи диагностики // Сборник трудов IV Всероссийского симпозиума "Медленные колебательные процессы в организме человека" и II междисциплинарной Школы-семинара "Теоретические и прикладные аспекты нелинейной динамики в физиологии и медицине" -2005 -С 36-43
14 Карпеев И А , Караваев А С , Бодров М Б Развитие методов динамического моделирования в приложении к анализу физиологических данных // сборник докладов Всероссийского конкурса инновационных проектов "Живые системы" -Киров -2005 -С 126-130
15 Karavaev A S , Ponomarenko VI, Prokhorov М D Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series // Proceedings of the 9th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2001) -Delft, The Netherlands -P 101-104
16 Караваев А С, Пономаренко В И, Прохоров М Д Восстановление по временным рядам модельных уравнений систем с запаздыванием // Материалы международной межвузовской конференции "Современные проблемы электроники СВЧ" -Саратов -2001.-С 84-86
17 Караваев А С Восстановление параметров системы с запаздыванием по хаотическому временному ряду // Материалы научной школы-конференции "Нелинейные дни для молодых в Саратове 2001" -Саратов -С 102-105
18 Караваев А С, Пономаренко В И, Прохоров МД Определение параметров систем с запаздыванием по хаотическим временным реализациям // Тезисы докладов VI научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" -Н Новгород -2002 -С 82-83
19 Караваев АС , Пономаренко В И, Прохоров МД Восстановление параметров связи систем с запаздыванием по временным рядам // Материалы научной школы- конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2002" -Саратов -2002 -С 50-53
20 Bezrachko В Р , Karavaev A S , Ponomarenko VI, Prokhorov М D Method of reconstruction of the time-delay system from the time series // Abstracts of the 265 WE-Heraeus-Seminar "Synchronization in Physics and Neurosciences" -Bad Honnef, Germany -2001 -P 52
21 Prokhorov M D, Ponomarenko VI, Karavaev A S Detection of coupling between time-delay systems from time series // Proceedings of International
Symposium "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics" (NWP 2003) -Nizhny Novgorod -2003 P 46-47
22 Караваев А С Оценка параметров связи для связанных систем с запаздыванием по хаотическим временным рядам // Материалы научной школы- конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых-2003" -Саратов -2003 -С 143-146
23 Караваев А С , Пономаренко В И , Прохоров М Д Реконструкция уравнений систем с запаздыванием под внешним воздействием по временным рядам // Тезисы докладов конференции молодых ученых "Нелинейные волновые процессы" -Нижний Новгород -2004 -С 5960
24 Караваев А С , Пономаренко В И , Прохоров М Д Влияние ограничения полосы пропускания измерительного канала на качество реконструкции систем с запаздыванием по временным рядам // 7-я международная школа "Хаотические автоколебания и образование структур" (ХАОС-2004) -Саратов -2004 -С 182
25 Караваев А С , Пономаренко В И , Прохоров М Д Оценка уровня шума в системах с запаздыванием по временным рядам // 7-я международная школа "Хаотические автоколебания и образование структур" (ХАОС-2004) -Саратов -2004 -С 183
26 Власкин В С, Караваев А С , Бодров М Б Методики оценки параметров динамических моделей по временным рядам и их приложение в диагностике // Всероссийский конкурс среди учащейся молодежи высших учебных заведений Российской Федерации на лучшие научные работы по естественным наукам Тезисы научных работ -Саратов -2004 -С 79-81
27 Власкин В С , Караваев А С, Бодров М Б Методики оценки параметров динамических моделей по временным рядам и их приложение в диагностике // Всероссийский конкурс на лучшие научные работы студентов по естественным, техническим наукам (проекты в области высоких технологий) и инновационным научно-образовательным проектам Материалы итоговой конференции -Москва -2004 ~С 352-353
28 Караваев А С Влияние пропускной способности измерительного тракта на качество реконструкции систем с запаздыванием при наличии шума // Материалы научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2004" -Саратов -2004 -С 78-81
29 Караваев А С Оценка уровня шума в системах с запаздыванием по временным рядам // Материалы научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2004" -Саратов -2004 -С 102-105
30.Karavaev A S , Ponomarenko VI, Prokhorov М D Recovery of time-delay systems from filtered chaotic time series // Proceedings of International
Symposium Topical Problems of Nonlinear Wave Physics" (NWP-2005) -Nizhny Novgorod -2005 -P 41
31 Караваев AC., Пономаренко В И, ПрохоровМ.Д. Восстановление по временным рядам уравнений систем с запаздыванием высокого порядка // Труды VII Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем". -Н Новгород -2005 -С 94-96
32 Караваев А С , Пономаренко В И , Прохоров М Д Определение параметров неавтономных и связанных систем с запаздывающей обратной связью по временным рядам // Труды VII Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" -Н Новгород -2005 -С 97-99
33 Караваев А С, Пономаренко В И, Прохоров М Д Построение модели системы регуляции артериального давления по экспериментальному временному ряду // XIII научная школа "Нелинейные волны-2006", тезисы докладов конференции молодых ученых -Н Новгород -2006 -С 78-79
34 Безручко Б П, Пономаренко В И, Прохоров М Д, Караваев А С Реконструкция модели системы барорефлекторной регуляции кровяного давления человека по экспериментальным данным // тезисы VII международной научно-технической конференции "Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии - ФРЭМЭ 2006" —Владимир -2006 -С. 115-117
35 Караваев А С Метод реконструкции моделей систем с запаздыванием по временным рядам // тезисы I Конференции молодых ученых Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика -Саратов -2006.-С 48-49
Караваев Анатолий Сергеевич
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ
Автореферат
Подписано в печать <i 10 Формат 60x84 Бумага офсетная Гарнитура Times New Roman Уел печ л 1,16 (1,25) Тираж 100 Заказ ¿OS
Типография Издательства Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83
Введение
Глава 1 Метод реконструкции автономных систем с запаздыванием
1.1 Введение.
1.2 Обзор известных методов реконструкции систем с задержкой.
1.3 Метод восстановления времени запаздывания.
1.4 Реконструкция модельного уравнения первого порядка с запаздыванием.
1.5 Сопоставление методов реконструкции модельных уравнений систем с запаздыванием.
1.6 Выводы.
Глава 2 Численные и физические эксперименты
2.1 Введение.
2.2 Реконструкция модельного уравнения системы Маккея-Гласса.
2.3 Реконструкция в условиях ограничения полосы пропускания измерительного тракта.
2.4 Реконструкция модели системы Икеды.
2.5 Реконструкция модельного уравнения радиотехнического генератора с запаздывающей обратной связью.
2.6 Гибридный экспериментальный генератор с запаздыванием.
2.7 Выводы.
Глава 3 Реконструкция неавтономных и связанных систем с запаздыванием по временным рядам
3.1 Введение.
3.2 Метод реконструкции неавтономных систем с запаздыванием.
3.3 Реконструкция неавтономного уравнения системы Маккея-Гласса под внешним воздействием.
3.4 Методика реконструкция моделей двух связанных систем с запаздыванием.
3.5 Реконструкция моделей связанных систем Маккея-Гласса при наличии шума.
3.6 Восстановление параметров связи связанных радиотехнических генераторов с запаздывающей обратной связью.
3.7 Выводы.
Везде, где возможно измерение с представлением полученной информации в виде дискретной последовательности отсчетов (временного ряда), можно пытаться реконструировать прогностическую модель исследуемого объекта -динамическую или со случайными добавками (стохастическую) -направленную на анализ адекватности представлений об объекте, измерение его параметров, диагностику структурных связей и т.д. Повсеместное использование в измерительных приборах аналого-цифровых преобразователей и распространение высокопроизводительной вычислительной техники существенно расширило базу такого моделирования. Если раньше речь шла об аппроксимации экспериментальных точек простыми функциями, то теперь - о реконструкции систем нелинейных дифференциальных и разностных уравнений. Это сулит возможности построения моделей функционирования сложных реальных систем (включая живые и экологические) по их колебаниям, несмотря на то, что они, как правило, хаотичны и зашумлены.
Приложения эмпирических моделей разнообразны - от прогноза и управления до кластеризации и определения сигналов в недоступных измерению точках объекта.
Таким образом, конструирование динамических моделей представляется важной задачей, позволяющей пролить свет на природу явлений, разработать математические методы описания функционирования реальных систем, провести диагностику системы.
Вместе с тем, как стало понятно на современном этапе развития динамического моделирования, "универсальные" методы реконструкции при попытке их применения к решению практических задачи часто терпят неудачи. В настоящее время наиболее перспективным представляется разработка и использование при решении задач моделирования узкоспециализированных методов, ориентированных на определенные классы исследуемых систем [1-3].
Задача реконструкции модели может быть поставлена по-разному.
1. Если единственной доступной информацией об исследуемой системе являются порожденные ей временные ряды (ситуация "черного ящика"), то, обычно, для построения модели пытаются применить универсальные методы. Задача построения моделей черного ящика может иметь множество решений. Полученные модели могут сильно отличаться по структуре, позволяя вместе с тем, воспроизвести временной ряд.
2. Вторым предельным случаем является ситуация, когда структура уравнений и, возможно, значения некоторых параметров известны, и необходимо определить (или оценить) оставшиеся. В такой постановке задача может быть названа восстановлением (или оценкой) параметров системы. Несмотря на более простую, по сравнению с первым случаем, постановку, такая задача является нетривиальной, например, в присутствии шума, в условиях недостатка данных, если модельные уравнения имеют специфическую структуру и пр.
3. В промежуточном случае, кроме временного ряда доступна некоторая информация о системе, но точно структура модельных уравнений неизвестна. Это могут быть знания, полученные «из первых принципов», то есть когда известны правила, по которым функционирует система, ее состав, связи между элементами.
В диссертационной работе развивается направление глобальной реконструкции по временному ряду определенных классов систем с запаздывающей обратной связью, описываемых дифференциальным уравнением с запаздыванием первого порядка, на основе точного знания структуры уравнений или хотя бы предположения о каких-либо их свойствах. Математическая модель в виде дифференциального уравнения (динамической системы) первого порядка с запаздыванием строится в соответствии с априорными знаниями о системе и таким образом может быть отнесена ко 2 и 3 разделам классификации задачи реконструкции моделей. Такие системы и их математические модели успешно применяются во многих разделах физики, биологии и химии, а некоторые из них, например, уравнения Маккея-Гласса [4], Икеды [5] и генератора с запаздывающей обратной связью [6] стали эталонами систем с запаздыванием.
Системы с задержкой широко распространены в природе. В частности, динамика изменения состава крови [4], электрические сигналы мозга [7], колебания во многих радиофизических [8, 9] и оптических [5] системах и ряде других явлений могут быть описаны с использованием уравнений с задержкой [10-17]. Это во многом объясняет высокую популярность уравнений с запаздыванием у исследователей, занимающихся проблемами нелинейной динамики, в частности, задачей реконструкции уравнений по временным рядам, являющейся предметом диссертационной работы.
Так как даже уравнения с запаздыванием первого порядка могут демонстрировать хаотические колебания очень высокой размерности [18], для их реконструкции по временному ряду разрабатываются специальные подходы. Большинство таких методов основано на проецировании бесконечномерного фазового пространства системы с запаздыванием в подпространства малой размерности [19]. Известны также методы исследования систем с запаздыванием, основанные на применении регрессионного анализа [20].
В диссертации описывается оригинальная методика определения времени запаздывания, основанная на статистическом анализе временных интервалов между экстремумами временного ряда, и на ее основе предлагаются методы реконструкции для различных классов систем с запаздыванием. Показана высокая эффективность разработанных подходов по сравнению с другими известными.
Предложены новые подходы, позволяющие восстанавливать параметры модельного уравнения автономной хаотической системы с запаздыванием и определять силу, направленность и структуру связи в случае неавтономных и связанных систем с запаздыванием. Показано, что разработанные подходы обладают по сравнению с существующими рядом преимуществ.
Актуальность работы определяется тем, что развиваемые и предлагаемые в ней методики предназначены для решения теоретических (расширение и уточнение имеющихся представлений об объектах природы) и прикладных (разработка методов косвенного измерения, прогноз дальнейшего поведения, диагностика патологий, построение систем приёма и передачи информации и др.) задач. Для этого требуется разработка специализированных алгоритмов, рассчитанных на определённые ситуации, из которых в работе выделены случаи реконструкции автономных, а также неавтономных и связанных систем с запаздыванием. Существующие ранее специализированные методы имеют существенные ограничения по требуемой для реконструкции длине реализаций, уровню присутствующих в них шумов, кроме того, неизвестны их модификации на случаи восстановления неавтономных и связанных систем с запаздыванием при неизвестной априори структуре связи. Практическая важность работы определяется, тем, что в ней предложены алгоритмы реконструкции модельных уравнений, позволяющие решать практические задачи, которые невозможно или затруднительно решить другими методами. В частности, предложен новый метод определения времени запаздывания систем, описываемых уравнением вида (1.1), по их хаотическим временным реализациям. Предложенный метод выгодно отличается от ранее известных подходов грубостью к шуму и высоким быстродействием. Предлагается также модификация известного метода реконструкции модельных уравнений систем с запаздыванием, основанная на проецировании фазовой траектории системы с задержкой на специально выбранную плоскость, позволяющая осуществлять реконструкцию по более коротким реализациям. Преимущества предложенных подходов над ранее известными продемонстрированы в ходе их применения для реконструкции моделей эталонных автоколебательных систем с запаздыванием и моделей радиотехнических генераторов.
В работе предложены практически не имеющие аналогов подходы, позволяющие для неавтономных и связанных систем с запаздыванием восстанавливать структуру связи, определяя коэффициенты связи и способы добавления внешнего воздействия. В экспериментах с эталонными осцилляторами и связанными радиотехническими автогенераторами с запаздыванием показано, что методы демонстрируют хорошую точность работы даже в присутствии шума достаточно высокой интенсивности.
В работе показана возможность реконструкции с помощью специализированных методов по экспериментальным данным одной из подсистем нервной регуляции, что является важным и актуальным приложением специализированных методов реконструкции систем с запаздыванием, способным расширить возможности медицинской диагностики.
Целью диссертационной работы является разработка методов реконструкции по временным рядам модельных дифференциальных уравнений, специализированных для работы с системами с запаздывающей обратной связью и их апробация в численных и радиотехнических экспериментах. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
1. Предложен метод реконструкции модельного уравнения автономной системы с запаздывающей обратной связью в виде дифференциального уравнения с запаздыванием по хаотическим временным рядам. В численных и натурных экспериментах показаны, преимущества разработанного подхода по сравнению с другими известными.
2. В рамках выполнения работы создана радиотехническая установка -гибридный кольцевой генератор с запаздыванием, конструкция которого позволяет быстро в широких пределах и с высокой точностью задавать такие параметры системы с запаздыванием, как время запаздывания и вид нелинейной передаточной характеристики. Хаотические временные ряды этого генератора в ходе работы использовались для тестирования разработанных методик.
3. В экспериментах с реконструкцией модельных уравнений систем с запаздыванием по данным в условиях ограничения ширины полосы канала пропускания, а также при добавлении в анализируемые реализации шума достаточно высокой интенсивности, показана применимость разработанных подходов к анализу экспериментальных данных.
4. Работоспособность предложенных подходов проиллюстрирована в ходе реконструкции модельных уравнений таких эталонных автоколебательных систем с запаздыванием, как: кольцевого генератора с запаздыванием, системы Маккея-Гласса и системы Икеды, хаотические временные ряды были получены путем численного решения уравнений указанных систем на ЭВМ. Кроме того, проводись эксперименты, в ходе которых осуществлялась реконструкция моделей радиотехнических генераторов с запаздыванием по их экспериментальным временным рядам.
5. Разработана методика, позволяющая осуществлять реконструкцию моделей неавтономных и связанных систем с запаздыванием и определять силу, направление и структуру связи по временным реализациям взаимодействующих систем. Работоспособность подхода показана в ходе реконструкции уравнений эталонных автоколебательных систем с запаздыванием.
6. С помощью специализированных методов, ориентированных на реконструкцию систем с запаздыванием, по экспериментальным временным рядам артериального давления восстановлено модельное уравнение системы симпатической барорефлекторной регуляции в виде дифференциального уравнения с запаздыванием первого порядка.
Объекты исследования
Представленные в работе методы тестируются на эталонных автоколебательных системах с запаздыванием, таких как система Маккея-Гласса, которой могут описываться некоторые процессы, протекающие в имунной системе [4], система Икеды, моделирующая динамику оптического резонатора [5]. Методы реконструкции применяются также для восстановления моделей экспериментальных установок - радиотехнического генератора с запаздывающей обратной связью [68, 69, 70, 75] и гибридного генератора с запаздыванием [70, 75]. В приложении исследуется система барорефлекторной регуляции артериального давления, модели, для описания которой, предлагаются, в частности, в [21,49].
На защиту выносятся следующие положения и результаты:
1. Наличие четко выраженного абсолютного минимума зависимости числа пар экстремумов хаотической реализации системы от величины разделяющих их временных интервалов может служить признаком принадлежности исследуемого объекта к системам с запаздывающей обратной связью. Величина соответствующего интервала может быть использована в качестве оценки времени задержки для модели в виде дифференциального уравнения первого порядка с запаздыванием.
2. Наличие статистической оценки времени задержки непосредственно по временному ряду позволяет определять величину параметра инерционности и восстанавливать нелинейную функцию путем оптимизации вложения траектории в специально сконструированное пространство, что может использоваться как новая методика восстановления моделей систем с запаздыванием.
3. Продемонстрирована работоспособность разработанной методики реконструкции уравнений с запаздыванием при анализе временных рядов эталонных систем с задержкой и радиотехнических генераторов в условиях зашумления сигнала и ограничения полосы пропускания измерительного тракта.
4. Предложен метод, позволяющий по хаотическим временным рядам осуществлять оценку параметров связи для неавтономных и связанных автогенераторов с задержкой, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка с запаздыванием. В основе подхода лежит метод реконструкции модельных уравнений систем с задержкой.
Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их воспроизводимостью в численном и радиофизическом эксперименте, хорошей согласованностью между собой и с результатами других авторов.
Научная новизна работы состоит в следующем:
• Выявлены закономерности распределения экстремумов хаотических временных реализаций систем с запаздыванием, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздыванием первого порядка.
• Предложен метод определения времени запаздывания по скалярной хаотической временной реализации системы с задержкой первого порядка, основанный на анализе распределения экстремумов во временной реализации этой системы.
• Предложен метод, позволяющий по скалярной хаотической временной реализации системы с запаздывающей обратной связью первого порядка оценивать ее время инерционности и реконструировать нелинейную функцию. В отличие от большинства известных подходов, предложенный метод реконструкции является более грубым к шуму и позволяет использовать все отсчеты временной реализации, что позволяет осуществлять реконструкцию по существенно более коротким временным реализациям.
• Предложен подход, позволяющий осуществить реконструкцию модельного уравнения неавтономной системы с запаздыванием первого порядка по хаотической временной реализации системы и временному ряду сигнала внешнего воздействия, а также определять способ внесения внешнего воздействия в систему.
• На основе разработанных методов реконструкции модельных уравнений систем с запаздывания по хаотическим временным рядам предложен подход, позволяющий определять направление связи между двумя связанными системами с запаздыванием первого порядка, а также оценивать величину этой связи.
Теоретическая и практическая значимость результатов
Наиболее значимыми теоретическими результатами, полученными в ходе выполнения работ в рамках диссертации, является разработка методов реконструкции модельных уравнений автономных и неавтономных систем с запаздывающей обратной связью по временным реализациям систем.
Практическая значимость показана при экспериментальной апробации разработанных подходов в ходе реконструкции моделей радиотехнических генераторов с запаздыванием по временным рядам этих устройств. Кроме того, в рамках работы проводились исследования применимости развиваемых методов к анализу экспериментальных данных. Для этого изучалась зависимость работоспособности методов реконструкции от интенсивности аддитивного шума и ограничения ширины полосы пропускания измерительного тракта.
Личный вклад соискателя. Основные результаты диссертации получены лично автором. Автором была создана экспериментальная установка -гибридный генератор с запаздывающей обратной связью. Планирование и постановка экспериментов осуществлялись совместно с научным руководителем и другими соавторами. В совместных работах автором выполнялись компьютерные расчеты, включая обработку экспериментальных данных. Постановка задач, разработка методов их решения, выбор объектов исследования, объяснение и интерпретация результатов осуществлялись совместно с руководителем и другими соавторами.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации были представлены автором на:
• научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн ФНП,
• кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии ФНиБМТ, а также на конференциях и научных школах:
• научных школах "Нелинейные волны", Н.Новгород, 2004, 2006;
• международных конференциях Topical Problems of Nonlinear Wave Physics" (NWP), 2003, 2005;
• 7-й международной школе "Хаотические автоколебания и образование структур" (ХАОС-2004), Саратов, 2004;
• конференциях молодых ученых Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика, г. Саратов, 2006, 2007;
• VII международной научно-технической конференции "Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии - ФРЭМЭ 2006", г. Владимир, 2006;
• Научные школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых", Саратов, 2001-2006;
• Всероссийских научных конференциях "Нелинейные колебания механических систем", Н. Новгород, 2002, 2005;
• Федеральной школе-конференции по инновационному малому предпринимательству в приоритетных направлениях науки и высоких технологий, г. Москва, 2006;
• IV Всероссийском симпозиуме с международным участием "Медленные колебательные процессы в организме человека" и II междисциплинарной Школе-семинаре "Теоретические и прикладные аспекты нелинейной динамики в физиологии и медицине", Новокузнецк, 2005;
• Научной конференции в рамках всероссийского конкурса инновационных проектов "Живые системы", г. Киров, 2005, 2006;
• конференциях молодых ученых, аспирантов и студентов НОЦ СГУ "Нелинейная динамика и биофизика", Саратов, 2002-2004;
• студенческих научных конференциях ФНП СГУ, Саратов, 2000-2004.
По результатам, изложенным в диссертационной работе, опубликовано 35 печатных работ, включая 5 статей в реферируемых журналах, входящих в перечень, рекомендованный ВАК: 1 статья в коллективной монографии [67], 8 статей в реферируемых научных журналах [68-75], 26 статей в сборниках трудов и тезисов конференций [76-101].
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В ней содержатся 93 страницы текста, 34 рисунка, библиография из 101 наименования. Общий объем диссертации 127 страниц.
П1.5 Выводы
Заключение
В первой главе диссертации предложен оригинальный метод определения времени запаздывания системы с задержкой, описываемой уравнением вида (1.1) по хаотической реализации исследуемой системы. На основе этого метода предлагается методика реконструкции модельного уравнения автономной системы с запаздыванием в виде (1.1), в основе которой лежит проецирование траектории системы на специально выбранную плоскость, по аналогии с [19,25-27]. По результатам сопоставления подхода, предложенного в диссертации, с другими известными методиками [19, 20, 22-27], показан ряд его преимуществ. Показано, что предложенный метод определения времени запаздывания, основанный на построении распределения величин временных интервалов между экстремумами хаотической реализации, является достаточно грубым по отношению к шуму, обладая при этом более высоким, по сравнению с другими методами, быстродействием. Модификация метода восстановления модельного уравнения систем в виде (1.1) позволяет осуществлять реконструкцию по более коротким временным рядам.
Во второй главе работоспособность разработанных методов реконструкции иллюстрировалась в ходе численных и радиотехнических экспериментов. Было показано, что предложенные подходы позволяют с высокой точностью восстанавливать параметры и передаточные характеристики нелинейных элементов модельных уравнений систем Маккея-Гласса и Икеды по их хаотическим временным реализациям, полученным в ходе численного решения уравнений этих систем на компьютере.
В ходе изучения применимости разработанных подходов для анализа экспериментальных данных исследовалась зависимость точности реконструкции параметров модельного уравнения от уровня аддитивного шума, присутствующего в сигнале и ширины полосы пропускания канала измерения. Было показано, что разработанные методы реконструкции демонстрируют в этих условиях высокую работоспособность.
В рамках выполнения диссертационной работы была разработана экспериментальная установка - гибридный радиотехнический генератор с запаздыванием, нелинейный элемент и линия запаздывания в котором были реализованы программно, а инерционный элемент реализован в виде интегрирующей RC-цепочки. Для экспериментальной проверки разработанных подходов они успешно применялись к хаотическим временным реализациям такого генератора, а также генератора с запаздывающей обратной связью, созданного на основе дискретных радиотехнических элементов.
Серия проведенных экспериментов на различных эталонных и радиотехнических автоколебательных системах с запаздывающей обратной связью показывает высокую работоспособность разработанных методов реконструкции модельных уравнений систем с запаздыванием при обработке экспериментальных хаотических временных реализаций таких систем, в том числе, в присутствии аддитивного шума высокой интенсивности и существенного ограничения ширины полосы пропускания измерительного канала.
В третьей главе предлагается методика реконструкции моделей неавтономных и связанных систем с запаздыванием, а также определения конфигурации связи в исследуемой системе. Проверка работоспособности метода проводилась на эталонных связанных осцилляторах с запаздыванием в ходе компьютерного эксперимента и при восстановлении модельных уравнений связанных радиотехнических генераторов с запаздыванием по их временным рядам. Было показано, что предложенный подход позволяет успешно осуществлять реконструкцию моделей неавтономных систем с задержкой и восстанавливать структуру связи при различных способах связи при наличии в системе шума высокой интенсивности.
1. Bezruchko В.Р., SmirnovD.A. Constructing nonautonomous differential equations from experimental time series // Physical Review E. -2001. -V. 63. -P. 016207.
2. Horbelt W., Timmer J., BUnner M.J., Meucci R., Ciofini M. Identifying physical properties of a CO2 laser by dynamical modeling of measured time series // Physical Review E. -2001. -V. 64. -P. 016222.
3. Anishchenko V.S., Pavlov A.N., JansonN.B. Global reconstruction in the presence of a priori information // Chaos, Solitons & Fractals. -1998. -V. 8. -P. 1267-1278.
4. Mackey M.C., Glass L. Oscillations and chaos in physiological control systems // Science. -1977. -V. 197. -P. 287-289.
5. IkedaK. Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by a ring cavity system // Opt. Commun. -1979. -V. 30. -P. 257-261.
6. Дмитриев A.C., КисловВ.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: "Наука", 1989. -280 с.
7. GribkovD., GribkovaV. Learning dynamics from nonstationary time series: Analysis of electroencephalograms // Physical Review E. -2000. -V. 61. -P. 6538-6545.
8. Кузнецов С.П. Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью (обзор) // Изв. ВУЗов, Радиофизика. -1982. -Т. 25. -С. 1410-1428.
9. Дмитриев А.С., Кяргинский Б.Е., Панас А.И., Старков С.О. Прямохаотические схемы передачи информации в сверхвысокочастотном диапазоне // Радиотехника и электроника. -2001. -Т. 46. -№ 2. -С. 224-233.
10. Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics // Academic Press, Boston. -1993.
11. LangR., KobayashiK. External optical feedback effects on semiconductor injection lasers // IEEE J. Quantum Electron. -1980. -V. 16. -P. 347-355.
12. Bocharov G.A., RihanF.A., Numerical modelling in biosciences using delay differential equations // J. Сотр. Appl. Math. -2000. -V. 125. -P. 183-199.
13. Zhou C., Lai C.-H. Extracting messages masked by chaotic signals of time-delay systems // Physical Review E. -1999. -V. 60. -P. 320-323.
14. Udaltsov V.S., Goedgebuer J.-P., Larger L., Cuenot J.-B., Levy P., Rhodes W.T. Cracking chaos-based encryption systems ruled by nonlinear time delay differential equations // Physics Letters A. -2003. -V. 308. -P. 54-60.
15. Kaplan D.T., Glass L. Coarse-grained embeddings of time series: randomwalks, Gaussian random process, and deterministic chaos // Physica D. -1993. -V. 64. -P. 431-454.
16. MensourB., LongtinA. Synchronization of delay-differential equations with application to private communication // Physics Letters A. -1998. -V. 244. -P. 59-70.
17. Green P.J., Silverman B.W. Nonparametric regression and generalized linear models / ed. by Chapman and Hall. -London, 1994. -184 p.
18. Farmer J.D. Chaotic attractors of an infinite-dimensional dynamical system // Physica D. -1982. -V. 4. -P. 366-393.
19. Bunner M.J., Popp M., Meyer Th., Kittel A., Rau U., Parisi J. Recovery of scalar time-delay systems from time series // Physics Letters A. -1996. -V. 211. -P. 345-349.
20. Voss H. and Kurths J. Reconstruction of non-linear time delay models from data by the use of optimal transformations // Physics Letters A. -1997. -V. 234. -P. 336-344.
21. Fowler A.C., KemberG. Delay recognition in chaotic time series // Physics Letters A. -1993. -V. 175. -No. 6. -P. 402-408.
22. TianY.-C., GaoF. Extraction of delay information from chaotic time series based on information entropy // Physica D. -1997. -V. 108. -P. 113-118.
23. Hegger R., Bunner M.J., Kantz H. Identifying and modeling delay feedback systems // Physical Review Letters. -1998. -V. 81. -P. 558-561.
24. Bunner M.J., Popp M., Meyer Th., Kittel A., Parisi J. Tool to recover scalar time-delay systems from experimental time series // Physical Review E. -1996. -V. 54. -P. 3082-3085.
25. Bunner M.J., Meyer Th., Kittel A., Parisi J. Recovery of the time-evolution equation of time-delay systems from time series // Physical Review E. -1997. -V. 56. -P. 5083-5089.
26. Bunner M.J., Ciofini M., Giaquinta A., Hegger R., Kantz H., Meucci R., Politi A. Reconstruction of systems with delayed feedback: (I) Theory // Eur. Phys. J. D. -2000. -V. 10.-P. 165-176.
27. Ellner S.P., Kendall B.E., Wood S.N., McCauley E., Briggs C.J. Inferring mechanism from time-series data: delay differential equations // Physica D. -1997.-V. 110.-P. 182-194.
28. Voss H., Kurths J. Reconstruction of nonlinear time-delayed feedback models from optical data // Chaos, Solitons and Fractals. -1999. -Y. 10. -P. 805-809.
29. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление уравнений систем с задержкой по экспериментальному временному ряду // Изв. ВУЗов «ПНД». -2002. -Т. 10. -№1-2. -С. 52-64.
30. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Реконструкция уравнений систем с двумя временами запаздывания по временным рядам // Письма в ЖТФ. -2004. -Т. 30. -В. 22. -С. 23-30.
31. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I. Recovery of time-delay systems with two delays from time series // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. -2004. -V. 7:4. -P. 400-404.
32. Ikeda K., Matsumoto K. High-dimensional chaotic behavior in systems with time-delayed feedback // Physica D. -1987. -V. 29. -P. 223-235.
33. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Определение параметров уравнения Икеды по зашумленному временному ряду // Письма в ЖТФ. -2005. -Т. 31. -В. 6. -С. 73-78.
34. Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Extracting information masked by the chaotic signal of a time-delay system // Physical Review E. -2002. -V. 66. -P. 026215.
35. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Кодирование и извлечение информации, замаскированного хаотическим сигналом системы с задержкой // Радиотехника и электроника. -2004. -Т. 49. -№9. -С. 10981104.
36. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Корюкин И.В. Определение параметров полупроводникового лазера с оптической обратной связью по временным рядам // Письма в ЖТФ. -2005. -Т. 31. -В. 21. -С. 79-86.
37. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I. Estimation of coupling between time-delay systems from time series // Physical Review E. -2005. -V. 72. -P. 016210.
38. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление уравнений систем с запаздыванием по временным рядам // Письма в ЖТФ. -2005. -Т. 31. -В. 2. -С. 41-48.
39. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Оценка порядка и реконструкция модельного уравнения системы с запаздыванием // Письма в ЖТФ. -2006. -Т. 32.-В. 17.-С. 73-80.
40. Dikanev Т., Smirnov D., Ponomarenko V., Bezruchko В. Three subproblems of global model reconstruction from time series and their peculiarities // Izv. VUZ "AND".-2003.-V. 11. -No. 3. -P. 165-178.
41. Флейшман А.Н. Медленные колебания гемодинамики. Теория и практическое применение в клинической медицине и профилактике. Новосибирск: "НАУКА", 1998. -264 с.
42. Ursino М. Interaction between carotid baroregulation and the pulsating heart: a mathematical model // American Physiological Society. -1998. -P. H1733-H1747.
43. Kotani K., Struzik Z.R. Takamasu K. Eugene Stanley H., Yamamoto Y. Model for complex heart rate dynamics in health and diseases // Physical Review E. -2005.-V. 72.-P. 041904.
44. OttensenJ.T. Modelling the dynamical baroreflex-feedback control // Mathematical and computer modeling. -2000. -V. 31. -P. 167-173.
45. Ursino M., Magosso E. Short-term autonomic control of cardiovascular function: a mini review with the help of mathematical models // Journal of Integrative Neuroscience. -2003. -V. 2. -No. 2. -P. 219-247.
46. Ringwood J.V., Malpas S.C. Slow oscillations in blood pressure via a nonlinear feedback model // Am J Physiol Regulatory Integrative Comp Physiol. -2001. -V. 280. -P. R1105-R1115.
47. Cavalcanti S., Belardinelli E. Modeling of cardiovascular variability using a differential delay equation // IEEE transactions on Biomedical Engeneering. -1996. -V. 43. -No. 10. -P. 982-989.
48. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2005. -320 с.
49. ShelhamerM., Zalewski S. A new application for time-delay reconstruction: detection of fast-phase eye movements // Physics Letters A. -2001. -V. 291. -P. 349-354.
50. Faro J., Velasco S. An approximation for prey-predator models with time delay //Physica D. -1997. -V. 110. -P. 313-322.
51. Stojanovski Т., Parlitz U., Kocarev L., Harris R. Exploiting delay reconstruction for chaos synchronization // Physics Letters A. -1997. -V. 233. -P. 355-360.
52. Физиология человека / под ред. Шмидта Р. и Тевса Г. -Т. 2. -М.: "МИР", 1996.-313 с.57. http://www.physionet.org.58. http://www.phvsionet.org/physiobank/database/mghdb/.
53. Huang N.E., ShenZ., LongS.R., WuM.C., ShihH.H., Zheng Q., YenN-Ch., TungC.C., LiuH.H. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis // Proc. R. Soc. Lond. A. -1998. -V. 454. -P. 903-995.
54. SaabR., McKeownM.J., Myers L.J., Abu-Gharbieh R. A wavelet based approach for detection of coupling in EEG signals // Proc. of 2-nd Int. IEEE EMBS.-2005.-P. 616-620.
55. Taylor J.A., Eckberg D.L. Fundamental relations between short-term RR interval and arterial pressure oscillations in humans // Circulation. -1996. -V. 93. -P. 1527-1532.
56. Hale J.K., Lunel S.M.V. Introduction to functional differential equations. New York: "Springer", 1993. -466 p.
57. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., GridnevV.I., Bodrov M.B., Bespyatov A.B. Synchronization between main rhythmic processes in the human cardiovascular system // Physical Review E. -2003. -V. 68. -P. 041913.
58. Bespyatov A.B., Bodrov M.B., GridnevV.I., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Experimental Observation of Syncronization Between Rhythmsof Cardiovascular System // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. -2003. -V. 6.-No. 4.-P. 885-893.
59. Прохоров М.Д., Бодров М.Б., Пономаренко В.И., ГридневВ.И., БеспятовА.Б. Исследование синхронизации между ритмами сердечнососудистой системы человека по последовательностям R-R-интервалов // Биофизика сложных систем. -2005. -Т. 50. -В. 5. -С. 914-919.
60. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Караваев A.C., БезручкоБ.П. Определение параметров систем с запаздывающей обратной связью по хаотическим временным реализациям // ЖЭТФ. -2005. Т. 127. -В. 3. -С. 515-527.
61. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Karavaev A.S., Bezruchko B.P. Reconstruction of time-delayed feedback systems from time series // Physica D. -2005. -V. 203.-P. 209-223.
62. Bezruchko B.P., Karavaev A.S., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series // Physical Review E. 2001. - V. 64. - P. 056218.
63. Пономаренко В.И., ГридневВ.И., Прохоров М.Д., БеспятовА.Б., Бодров М.Б., Караваев А.С. Синхронизация сердцебиения и ритма регуляции сосудистого тонуса с дыханием // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. -2004. -№ 8-9. -С. 40-51.
64. Прохоров М.Д., Пономаренко В.И., Караваев А.С. Восстановление уравнений систем с запаздыванием под внешним воздействием по временным рядам // Письма в ЖТФ. -2004. -Т. 30. -В. 2. -С. 81-88.
65. Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D., Karavaev A.S., Seleznev Ye.P., Dikanev T.V. Recovery of dynamical models of time-delay systems from time series // Izv. VUZ "AND". -2003. -Т. 11. -No. 3. -P. 56-66.
66. Bezruchko B.P., Seleznev Ye.P., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D., Smirnov D.A., Dikanev T.V., Sysoev I.V., Karavaev A.S. Special approaches to global reconstruction of equations from time series // Izv. VUZ "AND". -2002. -T. 10. -№ 3. -C. 137-158.
67. Караваев A.C., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление моделей скалярных систем с запаздыванием по временным рядам // Письма в ЖТФ. -2001.-Т. 27.-В. 10.-С. 43-51.
68. Караваев А.С. Метод реконструкции моделей систем с запаздыванием по временным рядам // тезисы I Конференции молодых ученых Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. -Саратов. -2006. -С. 48-49.
69. Karavaev A.S., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Recovery of time-delay systems from filtered chaotic time series // Proceedings of International Symposium Topical Problems of Nonlinear Wave Physics" (NWP-2005). -Nizhny Novgorod. -2005. -P. 41.
70. КарпеевИ.А., Караваев А.С., Бодров М.Б. Развитие методов динамического моделирования в приложении к анализу физиологических данных // сборник докладов Всероссийского конкурса инновационных проектов "Живые системы". -Киров. -2005. -С. 126-130.
71. Караваев А.С., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Реконструкция уравнений систем с запаздыванием под внешним воздействием по временным рядам // Тезисы докладов конференции молодых ученых "Нелинейные волновые процессы" -Нижний Новгород. -2004. -С. 59-60.
72. Караваев А.С., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Оценка уровня шума в системах с запаздыванием по временным рядам // 7-я международная школа "Хаотические автоколебания и образование структур" (ХАОС-2004). -Саратов. -2004. -С. 183.
73. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Karavaev A.S. Detection of coupling between time-delay systems from time series // Proceedings of International Symposium "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics" (NWP 2003). -Nizhny Novgorod. -2003. -P. 46-47.
74. Karavaev A.S., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series // Proceedings of the 9th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2001). -Delft, The Netherlands.-P. 101-104.
75. Караваев A.C., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Определение параметров систем с запаздыванием по хаотическим временным реализациям // Тезисы докладов VI научной конференции "Нелинейные колебания механических систем". Нижний Новгород. -2002. -С. 82- 83.
76. Караваев А.С., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление по временным рядам модельных уравнений систем с запаздыванием // Материалы международной межвузовской конференции "Современные проблемы электроники СВЧ". -Саратов. -2001. -С. 84-86.
77. Караваев А.С. Влияние пропускной способности измерительного тракта на качество реконструкции систем с запаздыванием при наличии шума // Материалы научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых 2004". -Саратов. -2004. -С. 78-81.
78. Караваев А.С. Оценка уровня шума в системах с запаздыванием по временным рядам // Материалы научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых 2004". -Саратов. -2004. -С. 102-105.
79. Караваев А.С. Оценка параметров связи для связанных систем с запаздыванием по хаотическим временным рядам // Материалы научной школы- конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых 2003". -Саратов.-2003.-С. 143-146.
80. Караваев А.С., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление параметров связи систем с запаздыванием по временным рядам // Материалы научной школы- конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых 2002". -Саратов. -2002. -С. 50-53.
81. Караваев А.С. Восстановление параметров системы с запаздыванием по хаотическому временному ряду // Материалы научной школы-конференции "Нелинейные дни для молодых в Саратове 2001". -Саратов. -С. 102-105.
