Нелинейные динамические модели пространственно-развитых систем (решетки связанных отображений, системы с запаздыванием)

Прохоров, Михаил Дмитриевич

Нелинейные динамические модели пространственно-развитых систем (решетки связанных отображений, системы с запаздыванием) тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Прохоров, Михаил Дмитриевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2008 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Нелинейные динамические модели пространственно-развитых систем (решетки связанных отображений, системы с запаздыванием)»

Автореферат диссертации на тему "Нелинейные динамические модели пространственно-развитых систем (решетки связанных отображений, системы с запаздыванием)"

На правах рукописи

ПРОХОРОВ МИХАИЛ ДМИТРИЕВИЧ

нелинейные динамические модели пространственно-развитых систем (решетки связанных отображений, системы с запаздыванием)

01.04.03 — Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

СЮЗ165542

Москва 2008

Работа выполнена в Саратовском филиале Института радиотехники и электроники РАН

Официальные оппоненты- Дмитриев Александр Сергеевич,

доктор физико-математических наук, профессор,

Волков Евгений Израилевич,

доктор физико-математических наук,

Осипов Григорий Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация:

Институт прикладной физики РАН

Защита состоится 11 апреля 2008 года в 10-00 на заседании диссертационного совета Д 002 231 02 при Институте радиотехники и электроники РАН по адресу 125009, Москва, ГСП-9, ул Моховая, д 11, корп 7

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИРЭ РАН Автореферат разослан « 4 » марта 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук

Потапов

общая характеристика работы

Актуальность работы Исследование динамики систем, имеющих развитую пространственную структуру, является актуальной задачей современной радиофизики. Актуальность изучения пространственно-развитых систем обусловлена их чрезвычайно широким распространением в природе и технике Под такими системами будем понимать в работе объекты, состоящие из большого числа взаимодействующих между собой элементов (цепочки и решетки осцилляторов и автогенераторов, кристаллические решетки, нейронные сети), и системы с запаздывающей обратной связью Построение и исследование моделей пространственно-развитых систем опирается на основные достижения теории нелинейных колебаний и волн и предполагает привлечение современных методов нелинейной динамики Ключевая роль отводится при этом радиофизическим объектам, традиционно использующимся в качестве полигона для изучения сложных колебательно-волновых явлений Исследования комплексов связанных радиофизических элементов [Аншценко В С, Рабинович МИ], распределенных автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью [Ки-слов В Л, Залогин Н Н Мясин Е А ], системы электронный пучок — обратная электромагнитная волна [Трубецков Д И , Безручко Б П , Кузнецов СП], кольцевых генераторов (Дмитриев А С, Кислов В Я ] позволите разобраться во многих фундаментальных проблемах нелинейной динамики

Для описания динамики пространственно-развитых систем, состоящих из большого числа элементов, используются различные модели, отличающиеся выбором дискретного или непрерывного преде явления времени, пространства и локального состояния Наиболее широко привлекаемые модели — ансамбли связанных обыкновенных дифференциальных уравнений [Талонов-Грехов А В , Афраймович В С, Некоркин В И, Осипов Г В , Шалфеев В Д, Астахов В В , Белых В Н , Волков Е И, Казанцев В Б , По-номаренко В П ], решетки связанных отображений [Канеко К , Капрал Р , Кузнецов А П , Кузнецов С.П, Пиковский А С , Дмитриев А С , Некоркин В И , Майстренко Ю Л ] и клеточные автоматы [фон Нейман Д, Малинец-кий Г Г ] Пространственные свойства в таких системах проявляются в наличии решений, при которых мгновенные состояния разных элементов ансамбля отличны друг от друга Эту особенность пространственно-развитых систем из сосредоточенных элементов можно рассматривать в ряде случаев как аналог пространственных мод ограниченной распределенной системы Характерной особенностью многоэлементных колебательных систем является мультистабильность, перекликающаяся с пространственной мно-гомодовостью Именно принципиальная многомодовость, когда возмож-

ные варианты движений многочисленны, а бассейны притяжения нескольких сосуществующих в фазовом пространстве аттракторов образуют сложную и даже фрактальную структуру, является типичным свойством пространственно-развитых нелинейных систем

Во многих случаях наиболее эффективными моделями ансамблей связанных систем оказываются решетки связанных отображений, использующие дискретное описание времени и пространства и непрерывную переменную состояния Выбор базового отображения и вида связи вносит свою специфику в поведение моделей, но феномен мультистабильности в динамике многоэлементных систем всегда является определяющим Использование хорошо изученных отображений для моделирования цепочек и решеток из базовых элементов со сложной динамикой позволяет продвинуться в понимании нелинейных явлений в связанных системах, классифицировать и исследовать их колебательные состояния Следуя естественной логике «от простого к сложному», мультистабильность в связанных системах исследуется в работе сначала на примере связанных квадратичных отображений, как с постоянными, так и с изменяющимися во времени параметрами. В последнем случае наибольший интерес представляет исследование связанных систем при изменении их параметров в интервале, содержащем бифуркационные значения Эта задача до настоящего времени остается мало изученной Вместе с тем, актуальность ее изучения определяется фундаментальной значимостью явлений, возникающих при бифуркационных переходах в системах с быстро меняющимся параметром в присутствии шумов Речь идет, в первую очередь, о явлении спонтанного нарушения симметрии постбифуркационных состояний системы [Кравцов Ю А, Бутковский О Я ], которое имеет место в разных областях естествознания и тесно связано с возникновением пространственной и временной упорядоченности в химических и биохимических процессах

многие аспекты поведения решеток связанных отображений, базовый элемент которых обладает мультистабильностью и имеет несколько управляющих параметров Учет в моделях мультистабильности элементов обо-I ащает динамику пространственно-развитой системы в целом и приводит к появлению новых видов мультистабильных состояний Представляет интерес изучение бифуркационных механизмов образования мультистабильности в решетке неавтономных осцилляторов, моделируемых многопараметрическими мультимодальными отображениями, исследование пространственно-временных структур, изучение влияния шума и неидентичности элементов на вид пространственного распределения и управление пространственно-временных хаосом Мультисгабильность типична для нелинейных колебательных систем различной природы и ее учет при моделировании динамики отдельных элементов ансамбля связанных систем расширяет степень общности результатов исследования

Для описания пространственно-развитых систем, характеризуемых наличием запаздывающей обратной связи, обычно используются бесконечномерные модели в виде дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом [Икеда К, Гласс Л, Маккей М К, Кащенко С А , Ланда ПС] Такие модели являются бесконечномерными, поскольку требуют задания непрерывного множества начальных значений динамической переменной на отрезке времени, равном времени задержки В пространственно-развитых радиофизических системах запаздывание обусловлено тем, что сигналы распространяются с конечной скоростью и им требуется время на преодоление расстояний Исследованию динамики автоколебательных систем с запаздыванием, как теоретическому, так и экспериментальному уделено достаточно много внимания Изучение нелинейных динамических моделей различных генераторов с запаздывающей обратной связью (ЛБВ-генераторов, генераторов на основе пролетных клистронов, радиотехнических кольцевых генераторов с фильтрами низких частот) позволило существенно продвинуться в понимании сложной динамики многих практически важных радиоэлектронных устройств. Значительно менее изученной является задача восстановления модельных дифференциальных уравнений систем с запаздыванием по временным рядам наблюдаемых величин Решение этой проблемы позволило бы не только предсказать поведение ряда практически важных устройств и систем с запаздыванием при изменении параметров, но и оценить адекватность заложенных в модели представлений об объекте, осуществить классификацию систем и режимов их функционирования, определить значения параметров, недоступных непосредственному измерению в эксперименте Вызывает также интерес использование систем с запаздывающей обратной связью в системах передачи информации Разработка коммуникационных систем, использующих хаоти-

ческие сигналы, представляет собой активно развиваемое в последние годы направление радиофизики [Дмитриев А С , Панас А И , Старков С О , Хаслер М ] Способность даже простых систем с запаздыванием первого порядка генерировать широкополосные хаотические колебания очень высокой размерности привлекает к ним внимание как к потенциальным элементам, которые могут быть использованы в системах скрытой передачи информации Однако, вопрос о маскирующих свойствах сигналов систем с запаздыванием остается открытым и требует тщательного исследования

На настоящем этапе развития нелинейной динамики весьма актуален вопрос о синхронизации сложных движений вообще и в пространственно-развитых системах в частности Изучение синхронизации находится в центре внимания многих исследователей Вместе с тем, проблема диагностики синхронизации автоколебаний по экспериментальным временным рядам, особенно при короткой длине ряда и высоком уровне шума, требует дальнейшего изучения Например, проблематично проведение анализа синхро-низованности колебательных процессов по экспериментальным данным, представляющим собой суперпозицию нескольких сигналов Кроме того, взаимодействующие системы могут обладать сложным набором собственных ритмов, что типично для многих физиологических систем Большой интерес вызывает исследование синхронизации колебательных процессов в таких жизненно важных физиологических системах, как сердечнососудистая и респираторная системы Информация о синхронизованности ритмов этих систем может оказаться полезной при медицинской диагностике их состояния

Современная тенденция направленности многих научных исследований на изучение систем живой природы обуславливает актуальность использования аппарата нелинейной динамики для описания колебательных процессов в физиологических системах. При этом имеются основания для привлечения в качестве базовых моделей дифференциальных уравнений с запаздыванием. Наличие запаздывающей обратной связи во многих физиологических автогенераторах обусловлено конечной скоростью распространения нервных импульсов и конечным временем их обработки со стороны управляющих систем В работе предлагаются и исследуются модели с запаздыванием для описания системы медленной регуляции кровяного давления Построение и исследование моделей позволяет лучше понять особенности функционирования и взаимодействия элементов сердечнососудистой системы

Таким образом, тематика диссертационной работы затрагивает сферы фундаментальных вопросов радиофизики, нелинейной динамики и теории колебаний и является актуальной

Цель диссертационной работы состоит в моделировании пространственно-развитых систем, включая исследование пространственно-временных структур и мультистабильности в решетках связанных отображений, разработку новых методов восстановления по временным рядам модельных дифференциальных уравнений систем с запаздыванием, разработку новых методов диагностики синхронизации автоколебаний по экспериментальным временным рядам и их применение к реальным пространственно-развитым системам

Для достижения дели решались следующие основные задачи

- исследование мультистабильных состояний и бассейнов их притяжения в системе связанных элементов, как с постоянными, так и с изменяющимися параметрами,

- исследование пространственно-временной динамики и управление пространственно-временным хаосом в решетках неавтономных бистабильных осцилляторов, моделируемых мультимодальными отображениями,

- разработка новых эффективных методов построения по хаотическим временным рядам нелинейных динамических моделей для широкого класса автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью, включая системы высокого порядка с запаздыванием, системы с несколькими временами задержки, неавтономные и связанные системы с запаздыванием,

- разработка методики выделения скрытого сигнала сообщения в системах передачи информации исгюиьзующих нелинейное подмешивание информационного сигнала в хаотический сигнал системы с запаздыванием,

- разработка новых методов детектирования синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой по многомерным и одномерным временным рядам и их применение для исследования внешней синхронизации в экспериментальных системах с запаздыванием,

- исследование на модельных и экспериментальных данных синхронизации между основными колебательными процессами в сердечно-сосудистой системе человека, характеризуемой наличием запаздывающих обратных связей

Научная новизна работы заключается в следующем

- обнаружено и исследовано существование устойчивых несинфазных колебательных состояний в области сильной связи двух иден-

тичных систем, демонстрирующих удвоения периода при изменении управляющего параметра,

- впервые показано, что в системе двух связанных одинаковых элементов с изменяющимися во времени параметрами в зависимости от величины коэффициента связи может наблюдаться запаздывание бифуркаций не только несинфазных, но и синфазных состояний,

- проведено управление пространственно-временным хаосом в цепочке неавтономных бистабильных осцилляторов, моделируемых мульгамодальными отображениями,

- выявлены характерные особенности расположения экстремумов во временных реализациях систем с запаздывающей обратной связью,

- предложены новые методы реконструкции модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием для различных классов автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью по их хаотическим временным рядам,

- впервые продемонстрирована возможность восстановления кольцевых автоколебательных систем с запаздыванием по временным рядам динамических переменных, измеренных в различных точках кольцевой системы,

- исследована возможность определения по временному ряду порядка модельного уравнения системы с запаздыванием,

- впервые предложены методы восстановления по временным рядам модельных уравнений неавтономных и связанных систем с запаздыванием,

- разработана методика выделения информационного сигнала в системах связи с нелинейным подмешиванием при различных конфигурациях передатчика, построенного на основе системы с запаздыванием с неизвестными параметрами,

- предложены оригинальные, основанные на непрерывном вейвлет-ном преобразовании сигналов, методы диагностики по экспериментальным временным рядам наличия или отсутствия синхронизации автоколебаний внешним воздействием с модулированной частотой,

- обнаружено существование синхронизации между дыханием и медленными автоколебаниями кровяного давления человека при различных режимах дыхания

системы в условиях воздействия шума Для целей обработки информации могут оказагься полезными результаты исследований мультистабильности и динамического копирования в решетках бистабильных элементов Автоколебательные системы с запаздыванием очень широко распространены не только в радиофизике и электронике, но и в нелинейной оптике, биофизике, физиологии и многих других научных дисциплинах Предложенные в диссертационной работе методы определения их параметров по экспериментальным временным рядам представляют интерес для широкого круга исследователей Результаты по исследованию систем скрытой передачи информации, построенных на основе систем с запаздыванием, позволяют выработать рекомендации для повышения степени защиты конфиденциальной информации Предложенные методы диагностики синхронизации автоколебаний представляют практический интерес при исследовании синхронизации колебательных процессов в реальных системах по экспериментальным, сильно зашумленным временным рядам Анализ синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы оказывается полезен при диагностике ее состояния и контроле эффективности лечения Подготовленный программный продукт («Программа расчета суммарного процента фазовой синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы человека», свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2005610960) передан в Саратовский НИИ кардиологии и Нижегородскую государственную медицинскую академию, в которых он используется для медицинской диагностики

Результаты работы используются в учебном процессе на факультете нелинейных процессов и факулътеге нано- и ииомццицинских технологий Саратовского государственного университета

Основные положения и результаты, выносимые на защиту

1) В системе связанных элементов с изменяющимися во времени параметрами с уменьшением скорости изменения управляющего параметра в области мультистабильности уменьшается вероятность установления состояний, соответствующих видам колебаний, возникающим в результате более поздних бифуркаций

2) Метод последовательной стабилизации движений элементов позволяет осуществить управление пространственно-временным хаосом в цепочке связанных бистабильных осцилляторов, моделируемой связанными мультимодальными отображениями Величина управляющего воздействия, необходимого для перевода цепочки из режима пространственно-временного хаоса в области бистабильности в пространственно однородный режим, может быть существенно уменьшена, если на начальном этапе управления воздействовать на систему малым шумом

3) Предложенные методы восстановления по хаотическим временным рядам модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием, основанные на статистическом анализе временных интервалов между экстремумами временного ряда системы с запаздыванием и проецировании ее бесконечномерного фазового пространства в подпространства малой размерности, обеспечивают высокое качество реконструкции различных классов систем с запаздывающей обратной связью, включая системы с запаздыванием высокого порядка, системы с несколькими временами задержки, неавтономные и связанные системы с запаздыванием

4) Разработанная методика выделения скрытого сигнала сообщения в системах связи, использующих нелинейное иодмешивание информационного сигнала в хаотический сигнал системы с запаздыванием, основанная на реконструкции передающей системы с запаздыванием по временному ряду передаваемого сигнала, обеспечивает высокое качество восстановления информационного сигнала при различных конфигурациях передатчика, параметры которого априорно неизвестны

5) Анализ разности между мгновенными фазами автоколебаний, вычисленными в моменты времени, сдвинутыми друг относительно друга на некоторую постоянную величину, позволяет определить наличие синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой по одномерным временным рядам

6) Медленные колебания кровяного давления человека с собственной частотой около 0 1 Гц могут быть синхронизованы с дыханием Предложенная для их описания модель, имеющая вид неавтономной системы с запаздывающей обратной связью, демонстрирует явления захвата частот и фаз медленных колебаний кровяного давления и дыхания, качественно подобные наблюдающимся в эксперименте Показатели синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы могут быть использованы для диагностики ее состояния

national Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA) (Crans-Montana, Switzerland, 1998, Dresden, Germany, 2000), международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (ХАОС) (Саратов, 1998, 2001, 2004), International School "Synchronization Theory and Application" (Yalta, Ukraine, 2002), International Conference "European Dynamics Days" (Palma de Mallorca, Spam, 2003), Workshop on Detecting and Processing Regularities in High Throughput Biological Data (Piscataway, USA, 2005), школе-семинаре «Динамический хаос и его приложения» (Звенигород, 2007)

Материалы работы использовались при выполнении ряда НИР и научных проектов, поддержанных грантами РФФИ (№96-02-16755, 99-0217735, 00-02-17441, 01-02-06038, 03-02-17593, 07-02-00589), CRDF (REC-006) и INTAS (93-2492, 03-55-920)

По теме диссертации опубликовано 85 научных работ, включая 35 статей в рецензируемых журналах, 24 статьи в сборниках и трудах конференций, 26 тезисов докладов Список основных публикаций приведен в конце автореферата

Достоверность научных выводов подтверждается согласованностью результатов аналитического исследования, численного моделирования и физического эксперимента между собой, а гакже с результатами других авторов

Личный вклад автора заключается в выборе направления исследований, в формулировке и постановке основных задач диссертации, определении методов и подходов к их решению, проведении большей части численных расчетов и некоторых экспериментальных исследований, в проведении теоретического анализа и интерпретации полученных результатов Исследование связанных квадратичных отображений проводилось совместно с Безручко Б П , Селезневым Е П и Ивановым Р H Построение моделей и исследование систем с запаздыванием выполнено на паритетных началах с Пономаренко В И Методы диагностики синхронизации автоколебаний предложены в соавторстве с Храмовым А Е, Короновским А А и Пономаренко В И

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы Она содержит 389 страниц, включая 140 рисунков, 3 таблицы, 311 наименований цитируемой литературы и 47 наименований работ по теме диссертации

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проводимых в работе исследований, их научная новизна и практическая значимость, сформулированы цель и задачи диссертации, основные положения и результаты, выносимые на защиту, приведены сведения об апробации результатов и кратко изложено содержание работы

Первая глава посвящена исследованию дискретной модели пространственно-развитой системы, состоящей в простейшем случае из двух связанных между собой элементов. Изучение мультистабильности колебательных состояний и бассейнов их притяжения в системе двух симметрично связанных нелинейных элементов, демонстрирующих при изменении управляющего параметра переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, проведено на примере двух связанных квадратичных отображений

где X— параметр нелинейности, а к— коэффициент связи В отличие от известных ранее работ, система (1) исследована в более широкой области изменения параметра к

Сначала рассмотрен случай, когда значения параметров обеих подсистем постоянны Аналитически обнаружено и численно исследовано существование несинфазных режимов колебаний при сильной связи подсистем В частности, установлено, что в системе (Д; существуют два несинфазных, симметричных относительно замены х на у и у на х цикла периода 1, устойчивых в широкой области параметров Показано, что области несинфазных колебаний в пространстве параметров связанной системы симметричны относительно линии к- 0 5, но сами несинфазные режимы в области слабой и сильной связи качественно различны Продемонстрировано, что введение связи между элементами приводит к появлению устойчивых режимов, существующих при таких значениях параметра нелинейности, достижение которых в отсутствие связи было бы невозможным Например, устойчивые несинфазные режимы периода 1 и 2 существуют в системе (1) при значении параметра Л, более чем в 3 раза превышающем критическое (Ас= 2), при котором все синфазные решения уходят на бесконечность Показано хорошее качественное совпадение результатов исследования мультистабильности колебательных состояний, в том числе хаотических, и их бассейнов притяжения, полученных при численном исследовании системы (1) с дискретным временем, с результатами экспериментального исследо-

(1)

вания системы двух периодически возбуждаемых Л1-диод цепей, связанных через резистор и функционирующих в непрерывном времени

Затем рассмотрен случай, когда параметр Л системы (1) зависит от времени по кусочно-линейному закону, причем изменение X происходит в интервале, содержащем бифуркационные значения, то есть, рассмотрена система с динамическими бифуркациями После достижения параметром нелинейности конечного значения ).р выполнялось еще достаточное количество итераций с этим значением для выхода системы на аттрактор Исследовано явление нарушения равенства вероятностей постбифуркационных состояний связанной системы с изменяющимися во времени параметрами Проведено исследование вероятности установления и бассейнов притяжения конечных состояний связанной системы (1) в зависимости о г скорости изменения управляющего параметра

Установлено, что в зависимости от величины коэффициента связи в системе наблюдается запаздывание бифуркаций либо несинфазных, либо синфазных состояний, то есть, часть конечных состояний, возможных при Ар в стационарном случае, не реализуются при динамических бифуркациях, пока скорость изменения параметра Я не превысит некоторого критического значения Это объясняется тем, что в системе (1) с постоянными параметрами на плоскости параметров имеются области, в которых в связанной системе существуют только синфазные или только несинфазные режимы колебаний. В динамическом случае при очень малой скорости изменения управляющего параметра в таких областях система успевает выйти на синфазный или несинфазный аттрактор, соответственно В результате, даже с переходом в область мультистабильности вся область конечных решений системы остается при любых начальных условиях бассейном притяжения ранее возникшего аттрактора и соответствующих ему конечных состояний, отличающихся друг от друга фазой колебаний Показано, что с уменьшением скорости изменения управляющего параметра в области мультистабильности наблюдается уменьшение вероятности установления состояний, соответствующих видам колебаний, возникающим в результате более поздних бифуркаций

Исследовано влияние шума на выбор конечного состояния связанной системы с динамическими бифуркациями Показано, что в результате действия шума вероятности нахождения связанной системы в каждом из возможных конечных состояний начинают выравниваться, причем эффект выравнивания вероятностей тем больше, чем выше уровень шума и меньше скорость изменения управляющего параметра

Во второй главе изучается динамика пространственно-развитых систем, состоящих из большого числа взаимодействующих элементов В качестве моделей таких систем исследуются решетки связанных отображений, сконструированные из многопараметрических мультимодальных отображений

описывающих в широкой области параметров динамику диссипативных нелинейных осцилляторов, возбуждаемых периодической внешней силой Отображения (2), используемые в качестве базовых элементов решеток, демонстрирует мультистабильность, а их параметры характеризуют А — амплитуду внешнего периодического воздействия, N— частоту внешнего воздействия, нормированную на частоту собственных колебаний осциллятора, <1— диссипацию, Р— нелинейность, то есть, представляют собой типичные характеристики неавтономных осцилляторов Базовые отображения построены с использованием эмпирического подхода по временным реализациям тока в неавтономном колебательном контуре с диодом, являющемся одним из эталонных объектов при экспериментальном исследовании динамического хаоса и широко используемом во многих радиофизических устройствах, таких как параметрические генераторы, перестраиваемые фильтры, умножители и делители частоты Таким образом, исследуемые в главе модели многоэлементных пространственно-развитых систем более приближены к реальным системам, чем, например, решетки связанных квадратичных или кубических отображений

Исследование различных моделей ансамбля связанных систем начинается в главе с рассмотрения одномерной решетки (цепочки) неавтономных мультистабильных осцилляторов

где и — дискретное время, т — номер элемента цепочки, к — коэффициент связи, а функция fix), определяющая локальную динамику, имеет вид (2) Граничные условия выбраны периодическими х' = х^*1, где М— число элементов в цепочке Проведено исследование пространственно-временных структур в цепочках с различным числом элементов и их эволюции при изменении параметров Получено уравнение эволюции во времени пространственных мод возмущений цепочки в окрестности неподвижных точек Показано, что однородные состояния вначале теряют устойчивость по отношению к длинноволновым возмущениям, причем устойчивость к неоднородным возмущениям повышается при увеличении

*«♦! =/(*„) = х* exp(~c//A'r)cos

(2)

(3)

связи между элементами Эволюция однородных пространственных состояний кольца к хаосу происходит только через последовательность бифуркаций удвоения периода Для неоднородных состояний показано, что в кольце с нечетным числом элементов переход к хаосу может происходить только через последовательность бифуркаций удвоения периода, а в кольце с четным числом элементов в зависимости от пространственного периода структуры наблюдаются как бифуркации удвоения периода, так и бифуркации рождения тора Показано, что для пространственно периодических структур длинных цепочек при бифуркации рождения тора наблюдается пространственная модуляция по цепочке (пространственно-временная квазипериодичность), а при бифуркации удвоения временного периода — удвоение пространственного периода структуры Рассмотренная модель с дискретным временем хорошо качественно описывает пространственно-временные структуры, наблюдаемые в натурном эксперименте в замкнутой цепочке неавтономных резистивно связанных колебательных контуров с диодом, и отражает характер их перехода к хаосу при изменении параметров в зависимости от числа элементов в цепочке

В области параметров, в которой элементы цепочки обладают биста-бильностью, исследована зависимость пространственных режимов от величины коэффициента связи и способа задания начальных условий С целью учета влияния шума и неидентичности элементов на динамику системы проведены исследования одномерных решеток при добавлении внешнего шума и модуляции одного из управляющих параметров

С помощью метода последовательной стабилизации движений элементов впервые проведено управление пространственно-временным Лаосом в цепочке неавтономных мультистабильных осцилляторов (3) Стабилизация неустойчивых однородных состояний цепочки проведена в режиме развитого пространственно-временного хаоса для двух типичных случаев при значениях параметров, соответствующих отсутствию гистерезиса и связанной с ним бистабильности в элементах цепочки и при наличии бистабильности одиночных элементов, при которой в них сосуществуют два хаотических аттрактора Показано, что величина управляющего воздействия, необходимого для перевода цепочки из режима пространственно-временного хаоса в области бистабильности в пространственно однородный режим, может быть существенно уменьшена, если на начальном этапе управления воздействовать на систему малым шумом Благодаря наличию шума, становятся возможными переключения между бистабильны-ми состояниями элементов Подавая на систему шум и одновременно воздействуя на нее управляющим сигналом, можно добиться того, что колебания всех элементов цепочки переводятся в окрестность лишь одного вы-

бранного хаотического аттрактора После чего шум может быть отключен и легко достигнута стабилизация неустойчивого пространственно однородного режима периода 1, входящего в этот аттрактор

Дальнейшее усложнение модели ансамбля связанных мультистабиль-ных элементов проводится в главе путем пространственного развития модели через увеличение количества элементов и усложнение способа связи между ними В качестве модели двумерной решетки исследовалось уравнение

а в качестве модели трехмерной решетки уравнение

где i и j определяют положение элемента в двумерной решетке, I— номер слоя, к— коэффициент связи между элементами внутри отдельного слоя, представляющего собой двумерную решетку, h— коэффициент связи между слоями двумерных решеток, а функция f(x) является мноюпараметри-ческой мультимодальной вида (2) Рассматривался случай связанных квадратных решеток г= 1, ,М, j~l, ,М, 1=1, -,L с различным способом задания граничных условий Проведено исследование пространственно-временных структур в двумерных и трехмерных решетках (4) и (5) при таких значениях параметров, при которых элементы решеток обладают бис-табильностью Исследовано явление динамического копировании о трехмерных решетках (5) при случайных и различных регулярных начальных пространственных распределениях динамической переменной

В третьей главе рассматриваются пространственно-развитые системы, описываемые бесконечномерными моделями в виде дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

£„xM(t) + s„_lx^\t)+ +six(t) = F(x{t),x(t-Tl), ,x(t-4)), (6) где x(t)— состояние системы в момент времени t, х("'(/) производная по времени порядка п, т1г ,тк—времена запаздывания, ,е„—параметры, характеризующие инерционные свойства системы, F— некоторая функция Исследованы особенности временных реализаций автоколебательных систем с запаздыванием Установлено, что во временных реализациях систем с запаздыванием, описываемых дифференциальным уравнением первого порядка с одним временем задержки, практически отсутст-

вуюг экстремумы, удаленные друг от друга на время запаздывания В результате, при наличии инерционности в системе (£]>0) зависимость числа N пар экстремумов хаотической временной реализации, удаленных друг от друга на время т, от величины г, имеет четкий минимум при времени А, соответствующем времени запаздывания системы, рис 1 Положение абсолютного максимума на графике Л/(г) определяется величиной параметра £\ с увеличением е1 расстояние между минимумом и максимумом увеличивается Показано, что качественные особенности зависимости N(7), обусловленные динамикой системы с запаздыванием, сохраняются при умеренном шуме Они сохраняется и для временных реализаций систем с запаздыванием высокого порядка, при условии, что параметры е„ характеризующие инерционные свойства системы, достаточно малы А для хаотических временных реализаций систем с запаздыванием с двумя и более временами задержки показано, что число экстремумов, разделенных временными интервалами, равными этим задержкам, существенно меньше, чем число экстремумов, разделенных другими интервалами времени

Основное внимание уделяется в главе разработке новых методов восстановления по хаотическим временным рядам модельных уравнений автоколебательных систем с запаздыванием Предложены оригинальные методы реконструкции дифференциальных уравнений с запаздыванием для различных классов автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью Методы опираются на закономерности расположения экстремумов во временных рядах систем с запаздыванием и проецирование бесконечномерного фазового пространства системы с запаздыванием в специальным образом выбираемые подпространства малой размерности Выбор пространства вложения определяется при этом общим видом модельного уравнения Разработанные методы позволяют восстановить время запаздывания, параметры инерционных элементов и вид нелинейной функции Оригинальный метод определения времени запаздывания требует существенно меньше вычислительных затрат, чем любые другие известные методы Предложенные способы восстановления нелинейной функции и всех параметров инерционности системы с запаздыванием используют все точки временного ряда, что позволяет успешно применять их к коротким вре-

Рис 1 Качественный вид зависимости числа N пар экстремумов хаотического временного ряда системы с запаздыванием, удаленных друг от друга на время т, от величины г Лт(г) нормировано на общее число экстремумов во временном ряду

менным рядам и полно восстанавливать нелинейную функцию даже в случаях слаборазвитого хаоса Для оценки качества восстановления модельного уравнения использованы различные количественные критерии

Разработанные методы применены для восстановления эталонных дифференциальных уравнений с запаздыванием по их коротким, сильно зашумленным временным рядам Получено хорошее качество реконструкции модельного уравнения Маккея-Гласса и уравнения Икеды, описывающего динамику пассивного оптического резонатора и имеющего мульти-модальную нелинейную функцию Методы также применены для построения по экспериментальным временным рядам модельных уравнений различных радиотехнических генераторов с запаздывающей обратной связью В простейшем случае такой генератор может быть представлен кольцом из трех идеализированных элементов нелинейного, инерционного и задержки Запаздывание сигнала на время ц обеспечивается линией задержки, роль нелинейного элемента исполняет усилитель с передаточной характеристикой/, а инерционность определяется фильтром, параметры которого задают величину £\ В случае, когда инерционным элементом является низкочастотный Ж'-фильтр первого порядка, такой генератор описывается уравнением

= (7)

где (7(7) и £/(? - тх) — напряжения, соответственно, на входе и выходе линии задержки, Я и С— сопротивление и емкость элементов фильтра, В£~еI Показано, что метод позволяет с хорошей точностью определить параметры генератора и передаточную характеристику усилителя по экспериментальному хаотическому временному ряду

Метод успешно применен для восстановления по временным рядам модельных и экспериментальных автоколебательных систем второго и третьего порядка с запаздыванием, включая реальные радиотехнические генераторы с запаздывающей обратной связью с различным числом инерционных элементов Предложена методика определения по временному ряду априорно неизвестного порядка системы с запаздыванием Показано, что критерием правильного выбора порядка модельного дифференциального уравнения может служить однозначность восстановленной нелинейной функции Исследовано влияние ограниченной полосы пропускания измерительного канала, характерной при экспериментальных исследованиях, на качество реконструкции систем с запаздыванием по временным рядам

Исследована возможность восстановления кольцевых автоколебательных систем с запаздыванием по временным рядам различных наблю-

даемых динамических переменных, полученным из различных точек системы Показано, что для реконструкции модельного уравнения такой системы по временному ряду переменной, измеренной между нелинейным и инерционным элементами системы, необходимо провести фильтрацию наблюдаемой переменой низкочастотным фильтром Предложена процедура, позволяющая подобрать априорно неизвестную частоту среза этого фильтра

Разработан метод восстановления по хаотическим временным рядам модельных уравнений систем с запаздыванием, характеризуемых наличием двух различных времен задержки Метод позволяет определить по временному ряду оба времена запаздывания, восстановить вид нелинейных функций с запаздывающим аргументом и определить параметр, характеризующий инерционные свойства системы Предложена процедура последовательного уточнения параметров, позволяющая существенно повысить быстродействие метода Работоспособность метода продемонстрирована на примере модельных хаотических временных рядов дифференциального уравнения с двумя временами запаздывания, а также на примере экспериментальных временных рядов радиотехнического генератора с двумя временами запаздывания

Предложен метод оценки времени задержки и порядка модельного уравнения для автоколебательных систем с запаздыванием, находящихся в периодическом режиме колебаний Метод основан на анализе отклика этих систем на слабое периодическое импульсное воздействие

В четвертой главе исследуются пространственно-развитые системы, моделируемые связанными дифференциальными уравнениями с заисиды-ванием Построение нелинейных динамических моделей связанных бесконечномерных систем с запаздыванием представляет собой следующий шаг в направлении увеличения сложности пространственно-развитых систем Впервые решается задача реконструкции модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием для связанных автоколебательных систем с запаздыванием по их хаотическим временным рядам Предложен метод, позволяющий восстановить параметры связанных систем с запаздыванием, а также установить наличие некоторых видов линейной связи между системами, определить априорно неизвестный тип связи, величину связи и ее направление по хаотическим временным рядам при достаточно высоких уровнях шума Показано, что методика работоспособна в широком диапазоне изменения коэффициентов связи между системами при различных способах связи систем между собой Метод применен для восстановления цепочек связанных систем с запаздыванием, описываемых уравнением

= + /, - т,)}+ к[х,^)-2x.it) + *..,(/)], (8)

где I — номер элемента цепочки, а к — коэффициент связи

Эффективность метода продемонстрирована на примере хаотических временных рядов связанных уравнений Маккея-Гласса, в том числе для случая, когда системы неидентичны, огличаются способом воздействия друг на друга и находятся под действием шума Метод успешно применен также для восстановления связанных радиотехнических генераторов с запаздывающей обратной связью по экспериментальным временным рядам напряжения на входе их линий задержки

Предложен метод восстановления по временным рядам нелинейных динамических моделей систем с запаздывающей обратной связью, находящихся под внешним воздействием Рассмотрены различные способы внесения внешнего воздействия в систему с запаздыванием Показано, что вид модельного уравнения для каждого из этих случаев определяет при реконструкции неавтономной системы с запаздыванием выбор пространства вложения малой размерности, в которое траектория движения системы проецируется из ее бесконечномерного фазового пространства Метод позволяет реконструировать неавтономные системы с запаздыванием даже в случаях, когда способ внесения внешнего воздействия в систему априорно неизвестен В этом случае, процедура реконструкции позволяет дополнительно установить, каким именно образом осуществлено воздействие на систему Метод работоспособен в широком диапазоне изменения величины внешнего воздействия, в том числе при уровнях воздействия на систему с запаздыванием, сопоставимых с уровнем собственных колебаний в системе в отсутствие воздействия Ме»Од протестирован при наличии шума. Его эффективность продемонстрирована на примерах коротких временных рядов при различных видах внешнего воздействия

Рассмотрены различные способы кодирования и извлечения информации в системах связи, использующих нелинейное подмешивание информационного сигнала в хаотический сигнал системы с запаздыванием Разработана новая методика выделения скрытого сигнала сообщения в таких системах связи Методика основана на реконструкции модельного уравнения передающей системы с запаздыванием по временному ряду передаваемого сигнала Она обеспечивает высокое качество восстановления передаваемого информационного сигнала при различных конфигурациях передатчика, параметры которого априорно неизвестны

На рис 2 представлена блок-схема системы передачи информации, в которой информационный сигнал т(/) добавляется с помощью сумматора к хаотическому сигналу х(г) передающей системы, колебания которой описываются уравнением

s(t)=x(t)+m(t)

Рис 2 Блок-схема системы связи с нелинейным подмешиванием информационного сигнала в сигнал системы с запаздыванием

= -*(0 + / (х(( - г,) + т{1 - г,)), (9)

и сигнал = *(0 + м(0 передается в канал связи Возможность выделения в приемнике информационного сигнала, присутствие которого незаметно в передаваемом сигнале проиллюстрирована для случая, когда хаотический сигнал х({) передатчика генерируется системой Маккея-Гласса с неизвестными параметрами, а сигнал т(1) представляет собой частотно-модулированный гармонический сигнал На рис 3 приведены временные реализации информационного передаваемого и выделенного сигналов и их спектры мощности Исследована эффективность метода при наличии шума в канале связи

001-§ 000-001-

100050001 000 -001

У I

ШЛИ

S У

(а)

(б)

(в)

1000

2000 3000 t

4000 5000

Рис 3 (а) Частотно-модулированный гармонический сигнал m(t) (б) Передаваемый сигнал s(t) (в) Выделенный информационный сигнал m'(t) (г) Спектры мощности сигналов m(f), s(t) и m'(t), обозначенные цифрами 1,2 и 3, соответственно

Показано, что скрытое сообщение может быть успешно выделено в системах связи, имеющих более сложную конфигурацию, при которой ин-

формационный сигнал вводтся в кольцо обратной связи передающей системы с запаздыванием в одной точке, а в канал связи передается сигнал из другой точки В этом случае требуется дополнительная обработка сигнала на выходе вычитающего элемента приемника Хорошее качество восстановления скрытого сообщения продемонстрировано на различных численных примерах при передаче часто гао-модулированного гармонического сигнала, подмешанного в хаотический сигнал системы Маккея-Гласса для различных конфигураций передающей системы, и в экспериментальной радиофизической системе при передаче гармонического сигнала, подмешанного в хаотический сигнал генератора с запаздывающей обратной связью с неизвестными параметрами

Предложен метод определения параметров одномодового полупроводникового лазера с оптической обратной связью, описываемого уравнениями Ланга-Кобаяши В основе метода лежит хаотическая синхронизация двух однонаправленно связанных лазеров Предложен способ начальной оценки времени запаздывания в цепи обратной связи лазера, основанный на статистическом анализе специальным образом выбираемых точек временного ряда колебаний интенсивности излучения Эффективность метода продемонстрирована численно на примере двух однонаправленно связанных систем Ланга-Кобаяши

В пятой главе разрабатываются новые методы диагностики синхронизации автоколебаний по экспериментальным временным рядам и рассматривается их применение к исследованию внешней синхронизации в модельных радиофизических системах и реальных пространственно-развитых сшшколебсиельных системах, характеризуемых наличием запаздывающей обратной связи

Предложен метод, позволяющий диагностировать по временным рядам автогенератора и внешнего воздействия наличие синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой Метод основан на непрерывном вейвлетном преобразовании сигналов и позволяет отличить внешнюю синхронизацию автоколебаний от случая просачивания внешнего сигнала в наблюдаемый сигнал Под просачиванием будем понимать линейное перемешивание сигналов автоколебательной системы и внешнего воздействия без изменения частоты автоколебаний, которое часто приводит к ошибочному выводу о наличии синхронизации сигналов Показано, что случаи синхронизации генератора внешним сигналом и просачивания можно различить, анализируя в вейвлетном спектре мощности динамику временных масштабов, соответствующих основной частоте и ее гармоникам. В случае синхронизации 1енератора внешним сигналом с линейно изменяющейся частотой в вейвлетном спектре мощности набдюда-

ются изломы в моменты времени когда частота внешнего сигнала близка к частоте автономного генератора или ее второй гармонике, отражающие эффект затягивания частоты генератора внешним сигналом Наряду с изломом на основном временном масштабе наблюдается и излом на масштабе л'о/2, соответствующем второй гармонике В случае эффекта просачивания какие-либо изменения динамики основного временного масштаба в моменты времени, когда частота внешнего сигнала близка к частоте автоколебаний, не приводят к изменению динамики других характерных временных масштабов Показано, что случаи синхронизации и просачивания можно также различить, исследуя динамику разностей фаз неавтономного автогенератора и внешнего воздействия, вводимых с помощью непрерывного вейвлетного преобразования и вычисляемых вдоль переменного временного масштаба, соответствующего линейно изменяющейся частоте внешнего сигнала В области внешней синхронизации автоколебаний исследуемая разность фаз меняется монотонно на величину я, а в случае линейного перемешивания сигналов разность фаз меняется по параболическому закону вблизи моментов времени, когда частота внешнего сигнала близка к частоте автономного генератора или ее второй гармонике Показано, что метод не требует очень точной настройки масштаба наблюдения на временной масштаб, соответствующий изменяющейся частоте внешнего воздействия Метод протестирован на временных рядах модельной автоколебательной системы (асимметричном генераторе Ван-дер-Поля под внешним воздействием) и применен для исследования по экспериментальным многомерным временным рядам синхронизации автоколебаний кровяного давления с собственной частотой около 0 1 Гц дыханием в сердечно-сосудистой системе человека, характеризуемой наличием запаздывающей обратной связи в системе регуляции кровяного давления

Предложен новый метод диагностики синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой по одномерным временным рядам Метод основан на анализе разности между мгновенными фазами автоколебаний, вычисленными в моменты времени, сдвинутыми друг относительно друга на некоторую постоянную величину Мгновенные фазы колебаний вводятся с помощью непрерывного вейвлетного преобразования с материнским вейвлетом Морле для временного масштаба, соответствующего основной частоте автономных автоколебаний Показано, что исследуемая разность фаз остается постоянной в областях отсутствия синхронизации и демонстрирует монотонное, часто близкое к линейному, изменение в областях синхронизации Метод обладает высокой чувствительностью благодаря тому, что динамика разности фаз рассматривается на временных масштабах, амплитуда которых в вейвлетном спектре велика

Он позволяет диагностировать наличие синхронизации даже в том случае, если закон изменения частоты внешнего воздействия неизвестен Показано, что метод остается эффективным при высокой зашумленности исследуемого временного рада и неточной настройке на основной временной масштаб Метод применен к экспериментальным временным рядам колебаний напряжения на выходе радиотехнического генератора с запаздывающей обратной связью вида (7), возбуждаемого внешним сигналом с частотой, монотонно изменяющейся по нелинейному закону Динамика генератора описывается дифференциальным уравнением с запаздыванием ДС£/(0 = -£/(/) + /(и и - г,)) + и0 8т(2*/ДО0. (Ю)

где £/0 и //() — амплитуда и частота внешнего сигнала, соответственно Рассмотрены случаи внешнего воздействия с малой и большой амплитудой Для различных значений Ъо показано, что метод позволяет по одномерным временным рядам отчетливо диагностировать режимы синхронизации автоколебаний генератора внешним сигналом и определить их границы

С помощью предложенного метода диагностики внешней синхронизации автоколебаний по одномерным временным рядам на основе анализа только экспериментальных временных рядов сердцебиения человека исследована синхронизация медленных автоколебаний кровяного давления с собственной частотой около 0 1 Гц дыханием с линейно увеличивающейся частотой Метод позволяет выявить режим синхронизации 1 1 между медленными колебаниями кровяного давления и дыханием, частота которого меняется вблизи частоты 0 1 Гц

Шестая глава посвящена построению и исследованию нелинейных моделей с запаздывающей обратной связью для описания системы медленной регуляции кровяного давления и исследованию на модельных и экспериментальных данных синхронизации между основными колебательными процессами в сердечно-сосудистой системе человека, характеризуемой наличием запаздывающих обратных связей

Исследована возможность восстановления параметров модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием, описывающих медленные автоколебания кровяного давления с собственной частотой около 0 1 Гц, по экспериментальным временным рядам артериального давления Восстановленные значения параметров модели хорошо согласуются с известными теоретическими оценками

Предложена новая модель системы медленной регуляции кровяного давления, учитывающая влияние дыхания Модель имеет вид неавтономной системы с запаздывающей обратной связью, в которой в качестве

внешнего воздействия выступает сигнал дыхания Параметры модели имеют физиологическую интерпретацию и могут быть оценены из эксперимента Исследована синхронизация автоколебаний модельной системы внешним сигналом Показано, что при гармоническом внешнем воздействии с линейно изменяющейся частотой предложенная модель демонстрирует явления захвата чаи от и фаз медленных колебаний кровяного давления и дыхания, качесгвенно подобные наблюдающимся в натурном эксперименте Результаты модельных и экспериментальных исследований свидетельствуют в пользу того, что система, задающая ритм, отвечающий за низкочастотные колебания кровяного давления, может быть рассмотрена как автогенератор под внешним воздействием при наличии шума

Проведено исследование синхронизации между основными ритмами сердечно-сосудистой системы человека на основе анализа как многоканальных экспериментальных данных (записей электрокардиограмм, дыхания и пульсограмм), так и одноканальных данных в виде временных рядов сердцебиения Исследования проведены при различных режимах дыхания произвольном, с постоянной частотой и с линейно изменяющейся частотой Продемонстрировано существование у здоровых людей областей синхронизации между дыханием и основным сердечным ритмом и между дыханием и колебаниями кровяного давления с собственной частотой вблизи О 1 Гц Синхронизация между указанными ритмами наблюдалась у всех испытуемых при различных режимах дыхания Показано, что фазы и частоты исследуемых ритмов могут быть захвачены с различными соотношениями п т, причем в ходе одного эксперимента может наблюдаться несколько различных порядки» синхронизации В эки1еримен1ах с заданной частотой дыхания (постоянной или линейно меняющейся) длительность участков синхронизации между дыханием и сердцебиением и между дыханием и медленными колебаниями кровяного давления в среднем больше, чем в случае произвольного дыхания. Исследована зависимость качества синхронизации от положения тела человека и величины вариабельности сердечного ритма

С помощью различных методов (полосовой фильтрации с последующим преобразованием Гильберта, эмпирической декомпозиции мод и вейвлетного преобразования) продемонстрирована возможность определения из временных рядов сердцебиения (последовательности Я-Я интервалов) мгновенных фаз и мгновенных частот основных колебательных процессов сердечно-сосудистой системы — основного сердечного ритма, дыхания и медленных колебаний кровяного давления Показано, что фазы и частоты ритма с собственной частотой вблизи 0 1 Гц, выделенные из ряда Я-Я интервалов и из ряда кровяного давления здорового человека, доста-

точно близки, однако демонстрируют между собой большее отличие, чем временные ряды дыхания и респираторного ритма, выделенного из ряда Н-[< интервалов Показано, что результаты исследования синхронизации между основными ритмами сердечно-сосудистой системы здоровых людей по одномерным временным рядам сердцебиения качественно совпадают с результатами, полученными при исследовании синхронизации по многоканальным данным.

Исследована синхронизация колебательных процессов с частотой О 1 Гц, выделенных из рядов К-К интервалов и пудьсограмм, у 32 пациентов с ишемической болезнью сердца, находившихся на стационарном лечении в клинике Саратовского НИИ кардиологии по поводу острого инфаркта миокарда Одновременная регистрация ЭКГ и пульсограмм пациентов проводились дважды в первые 3-5 дней с момента наступления инфаркта и на третьей неделе течения заболевания Контрольная группа состояла из здоровых людей без признаков сердечной патологии (23 записи) Обнаружено, что у здоровых людей длительность участков синхронизации исследуемых ритмов в среднем в 3 раза больше, чем у больных, перенесших инфаркт миокарда, а длительность участков синхронизации ритмов у пациентов через 3 недели после инфаркта в среднем в 1 5 раза больше, чем у тех же пациентов на первой неделе после инфаркта Показано, что показатели синхронизации мемеду ритмами сердечно-сосудистой системы могут быть использованы для диагностики ее состояния и контроля эффективности лечения Создан и зарегистрирован программный продукт, предназначенный для определения степени фазовой синхронизации между колебательными процессами ссрдсчно-сосуднсток системы человека на основе расчета суммарного процента фазовой синхронизации колебаний Программа используется в Саратовском НИИ кардиоло! ии и Нижегородской государственной медицинской академии, где с ее помощью формируется и апробируется новая методика медицинской диагностики

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

но, что области несинфазных колебаний при слабой и сильной связи симметричны друг другу в пространстве параметров системы, но сами несинфазные режимы качественно различны Показано, что введение связи между элементами приводит к появлению устойчивых режимов, существующих при таких значениях параметра нелинейности, достижение которых в отсутствие связи было бы невозможным Исследована структура бассейнов притяжения мультистабильных состояний системы связанных квадратичных отображений и их эволюция при изменении параметров

2) Исследовано явление нарушения равенства вероятностей постбифуркационных состояний системы связанных квадратичных отображений с изменяющимися во времени параметрами Показано, что в зависимости от величины коэффициента связи в системе наблюдается запаздывание бифуркаций либо несинфазных, либо синфазных состояний В области мультистабильности с уменьшением скорости изменения управляющего параметра наблюдается уменьшение вероятности установления состояний, соответствующих видам колебаний, возникающим в результате более поздних бифуркаций В результате действия шума вероятности нахождения связанной системы в каждом из возможных конечных состояний начинают выравниваться, причем эффект выравнивания вероятностей тем больше, чем выше уровень шума и меньше скорость изменения бифуркационного параметра

3) Для пространственно-развитой системы, представляющей собой замкнутую цепочку синфазно возбуждаемых бистабильных осцилляторов, предложена и исследована дискретная модель в виде кольца связанных мультимодальных отображений Получено уравнение эволюции во времени пространственных мод возмущений цепочки в окрестности неподвижных точек Показано, что эволюция однородных пространственных состояний кольца к хаосу происходит только через последовательность бифуркаций удвоения периода Для неоднородных состояний показано, что в кольце с нечетным числом элементов переход к хаосу может происходить только через последовательность бифуркаций удвоения периода, а в кольце с четным числом элементов в зависимости от пространственного периода структуры наблюдаются как бифуркации удвоения периода, так и бифуркации рождения тора Рассмотренная модель хорошо качественно описывает характер перехода к хаосу пространственно-временных структур, наблюдаемых в натурном эксперименте в замкнутой цепочке неавтономных резистивно связанных колебательных контуров с диодом

4) Осуществлено управление пространственно-временным хаосом в цепочке связанных бистабильных осцилляторов Показано, что воздействие на систему малого шума на начальном этапе управления может существенно уменьшить величину управляющего воздействия, необходимого для перевода цепочки из режима развитого пространственно-временного хаоса в области бистабильности в пространственно однородный режим

5) Проведено исследование пространственно-временных структур в двумерных и трехмерных решетках неавтономных бистабильных осцилляторов, моделируемых мультимодальными точечными отображениями

6) Установлено, что во временных реализациях систем с запаздыванием, описываемых дифференциальным уравнением первого порядка с одним временем задержки, практически отсутствуют экстремумы, удаленные друг от друга на время запаздывания Эта особенность сохраняется и для временных реализаций систем с запаздыванием высокого порядка, при условии, что параметры, характеризующие инерционные свойства системы, достаточно малы Во временных реализациях систем с запаздыванием с двумя и более временами задержки число экстремумов, разделенных интервалами времени, равными этим задержкам, существенно меньше, чем число экстремумов, разделенных другими интервалами времени

7) Предложены оригинальные методы восстановления по хаотическим временным рядам модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием для различных классов пространственно-развитых систем с запаздывающей обратной связью, включая системы с запаздыванием высокого порядка и с несколькими временами задержки Методы опираются на закономерности расположения экстремумов во временных рядах систем с запаздыванием и проецирование бесконечномерного фазового пространства системы с запаздыванием в подпространства малой размерности Предложена методика определения по временному ряду априорно неизвестного порядка системы с запаздыванием Разработанные методы протестированы на эталонных системах с запаздыванием и применены для построения по экспериментальным временным рядам модельных уравнений радиотехнических генераторов с запаздывающей обратной связью с различным числом линий задержки и последовательно соединенных низкочастотных ЛС-фильтров

9) Предложен метод восстановления по временным рядам нелинейных динамических моделей систем с запаздывающей обратной связью, находящихся под внешним воздействием Рассмотрены различные способы внесения внешнего воздействия в систему с запаздыванием Метод работоспособен в широком диапазоне изменения величины внешнего воздействия, в том числе при уровнях воздействия на систему с запаздыванием, сопоставимых с уровнем собственных колебаний в системе в отсутствие воздействия

10) Предложен метод реконструкций модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием для связанных систем с запаздыванием по их временным рядам Метод позволяет восстановить параметры связанных систем с запаздыванием, а также установить наличие некоторых видов линейной связи между системами, определить априорно неизвестный тип связи, величину связи и ее направление по хаотическим временным рядам при достаточно высоких уровнях шума Эффективность метода продемонстрирована на примере хаотических временных рядов связанных уравнений Маккея-Гласса, в том числе с добавленным шумом, а также на примере экспериментальных временных рядов связанных радиотехнических генераторов с запаздыванием

11) Разработана методика выделения скрытого сигнала сообщения в системах связи, использующих нелинейное подмешивание информационного сигнала в хаотический сигнал системы с запаздыванием Она обеспечивает высокое качество восстановления передаваемого информационною сшнала при различных конфигурациях передающей системы, параметры которой априорно неизвестны Работоспособность метода продемонстрирована на численных примерах и в эксперименте

12) Предложен метод определения параметров одномодового полупроводникового лазера с оптической обратной связью, описываемого уравнениями Ланга-Кобаяши

13) Предложены методы диагностики синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой по многомерным и одномерным сильно зашумденным временным рядам Методы применены для исследования по экспериментальным временным рядам внешней синхронизации неавтономного радио гехнического генератора с запаздывающей обратной связью и системы медленной регуляции кровяного давления, характеризуемой наличием запаздывания

14) Для описания медленных колебаний кровяного давления с собственной частотой около 0 1 Гц предложена модель в виде неавтономной системы с запаздывающей обратной связью, учитывающая влияние дыха-

ния Показано, что при гармоническом внешнем воздействии с линейно изменяющейся частотой предложенная модель демонстрирует явления захвата частот и фаз медленных колебаний кровяного давления и дыхания, качественно подобные наблюдающимся в эксперименте Исследована возможность восстановления параметров модельных уравнений с запаздыванием по экспериментальным временным рядам артериального давления

15) Проведено исследование синхронизации между основными колебательными процессами сердечно-сосудистой системы человека на основе анализа как многоканальных, так и одноканальных данных Продемонстрировано существование у здоровых людей областей синхронизации между дыханием и основным сердечным ритмом и между дыханием и медленными автоколебаниями кровяного давления с собственной частотой вблизи 0 1 Гц Исследована зависимость качества синхронизации от режима дыхания и величины вариабельности сердечного ритма Показано, что показатели синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы могут быть использованы для диагностики ее состояния

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в научных журналах

1) Bezruchko В Р, Prokhorov M D, Seleznev E P Multiparameter model of a dissipative nonlinear oscillator m the form of one-dimensional map // Chaos, Sohtons and Fractals, 1995, V 5, N 11, P 2095-2107

2) Безручко Б П, Прохоров M Д, Селезнев Е П Особенности устройства пространства параметров двух связанных неавтономных неизохронных осцилляторов // Письма в ЖТФ, 1996, Т 22, В 6, С 61-66

3) Прохоров МД Виды колебаний диссипативно связанных систем с удвоением периода при сильной связи // Изв ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 1996, Т 4, N 4,5, С 99-107.

4) Безручко Б П. Прохоров M Д Управление пространственно-временным хаосом в цепочке бистабильных осцилляторов // Письма в ЖТФ, 1999, Т 25, В 12, С 51-57.

5) Bezruchko В Р, Karavaev A S , Ponomarenko VI, Prokhorov M D Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series // Phys Rev E, 2001, V 64, 056216

6) Караваев А С , Пономаренко В И, Прохоров M Д Восстановление моделей скалярных систем с запаздыванием по временным рядам // Письма в ЖТФ, 2001, Т 27, В 10, С 43-51

7) Ponomarenko VI, Prokhorov M D Extracting information masked by the chaotic signal of a time-delay system//Phys Rev E, 2002, V 66,026215

8) Безручко Б П , Прохоров M Д , Селезнев Е П Виды колебаний, муль-тистабильность и бассейны притяжения аттракторов симметрично связанных систем с удвоением периода // Изв ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 2002, Т 10, N 4, С 47-68

9) Пономаренко В И, Прохоров M Д Выделение информационной компоненты хаотического сигнала системы с запаздыванием // Письма в ЖТФ, 2002, Т 28, В 16, С 37-44

10) Bezruchko В Р , Seleznev Ye Р , Ponomarenko VI, Prokhorov M D , Smirnov D A, Dikanev T V, Sysoev IV , Karavaev A S Special approaches to global reconstruction of equations from time series // Изв ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 2002, Т 10, N 3, С 137-158

11) Пономаренко В И, Прохоров M Д Восстановление уравнений системы с задержкой по экспериментальному временному ряду // Изв ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 2002, Т. 10, N 1-2, С 52-64

12) Prokhorov M D , Ponomarenko V I, Gndnev VI, Bodrov M В , Bespyatov A B. Synchronization between mam rhythmic processes m the human cardiovascular system//Phys Rev E,2003,V 68, 041913

13) Bezruchko В P , Prokhorov M D , Seleznev Ye P Oscillation types, multistability, and basins of attractors m symmetrically coupled period-doublmg systems // Chaos, Solitons and Fractals, 2003, V 15, N 4, P 695711

14) Ponomarenko VI, Prokhorov M D , Karavaev A.S., Seleznev Ye P, Dikanev TV Recovery of dynamical models of time-delay systems from u® series // Изв ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 2003, Т 11, N 3, С 56-66

15) Bespyatov А В , Bodrov M В , Gndnev V I, Ponomarenko V.I, Prokhorov M D Experimental observation of synchronization between rhythms of cardiovascular system//Nonhn Phen mCompl Syst,2003,V6,"N4,P885-893

16) Пономаренко В И, Прохоров M Д Кодирование и извлечение информации, замаскированной хаотическим сигналом системы с запаздыванием // Радиотехника и электроника, 2004, Т 49, N 9, С 1098-1104

17) Пономаренко В И, Прохоров M Д Реконструкция уравнений систем с двумя временами запаздывания по временным рядам // Письма в ЖТФ, 2004, Т 30, В 22, С 23-30

18) Пономаренко В И, Гриднев В И . Прохоров M Д , Беспятов А Б , Бодров M Б , Караваев А С Синхронизация сердцебиения и ритма регуля-

ции сосудистого тонуса с дыханием // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника, 2004, N 8-9, С 40-51

19) Прохоров МД, Пономаренко ВИ, Караваев АС Восстановление уравнений систем с запаздыванием под внешним воздействием по временным рядам // Письма в ЖТФ, 2004, Т 30, В 2, С 81-88

20) Prokhorov М D, Ponomarenko VI Recovery of time-delay systems with two delays from time series // Nonlin Phen m Compl Syst, 2004, V 7, N 4, P 400-404

21) Пономаренко В И, Прохоров М Д, Караваев А.С, Безручко Б П Определение параметров систем с запаздывающей обратной связью по хаотическим временным реализациям // ЖЭТФ, 2005, Т 127, В 3, С 515-527

22) Prokhorov М D, Ponomarenko VI Estimation of coupling between time-delay systems from time series // Phys Rev E, 2005, V 72, 016210

23) Пономаренко В И, Прохоров М Д, Корюкин И В Определение параметров полупроводникового лазера с оптической обратной связью по временным рядам // Письма в ЖТФ, 2005, Т 31, В 21, С 79-86

24) Prokhorov М D , Ponomarenko VI, Karavaev A S , Bezruchko В Р Reconstruction of time-delayed feedback systems from time series // Physica D, 2005, V 203, N 3-4, P 209-223

25) Прохоров M Д, Бодров M Б, Пономаренко В И, Гриднев В И, Беспя-тов А Б Исследование синхронизации между ритмами сердечнососудистой системы человека по последовательности R-R интервалов // Биофизика, 2005, Т 50, В 5, С 914-919

26) Пономаренко В И , Прохоров М Д Определение параметров уравнения Икеды по зашумленному временному ряду // Письма в ЖТФ, 2005, Т 31, В 6, С 73-78

27) Пономаренко В И , Прохоров М Д Восстановление уравнений связанных систем с запаздыванием по временным рядам // Письма в ЖТФ,

2005, Т 31, В 2, С 41-48

28) Ponomarenko VI, Prokhorov М D, Bespyatov А В, Bodrov М В, Grid-nev V I Deriving mam rhythms of the human cardiovascular system from the heartbeat time series and detecting their synchronization // Chaos, Solitons and Fractals, 2005, V 23, N 4, P 1429-1438

29) Hramov A E, Koronovskn A A, Ponomarenko V I., Prokhorov M D Detecting synchronization of self-sustained oscillators by external driving with varying frequency // Phys Rev E, 2006, V 73,026208

30) Пономаренко В.И , Прохоров M Д Оценка порядка и реконструкция модельного уравнения системы с запаздыванием // Письма в ЖТФ,

2006, Т 32, В 17, С 73-80

31) Короновский АА, Пономаренко ВИ, Прохоров М.Д, Храмов АЕ Изучение синхронизации автоколебаний по унивариантным данным при изменении частоты внешнего воздействия с использованием вейв-летного анализа // Письма в ЖТФ, 2006, Т 32, В 11, С 81-88

32) Киселев А Р, Беспятов А.Б , Посненкова О М, Гриднев В И, Пономаренко В И , Прохоров М Д, Довгалевский П Я Внутренняя синхронизация основных 0.1 Гц-частотных ритмов в системе вегетативного управления сердечно-сосудистой системой // Физиология человека, 2007, Т 33, N 2, С 69-75

33) Hramov А.Е, Koronovskn А А, Ponomarenko VI, Prokhorov М D Detection of synchronization from univariate data using wavelet transform // Phys Rev E, 2007, V 75,056207

34) Короновский A A, Пономаренко В И., Прохоров М.Д, Храмов А Е Диагностика синхронизации автоколебательных систем при изменении частоты внешнего воздействия с использованием вейвлетного анализа // Радиотехника и электроника, 2007, Т 52, N 5, С 581-592

35) Короновский А А., Пономаренко В И, Прохоров М Д, Храмов А Е Метод исследования синхронизации автоколебаний по унивариантным данным с использованием непрерывного вейвлетного анализа // ЖТФ, 2007, Т 77, В 9, С 6-17

Статьи в сборниках и трудах научных конференций

36) Prokhorov М D Multistable states at strong symmetric coupling of identical period doubling systems 11 Proceedings of Int Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA'98), Crans-Montana, Switzerland, 1998, V3,P 1055-1058

37) Bezruchko ВP, Ivanov RN, Prokhorov MD Discrete modeling of 1-D and 2-D lattices of driven bistable oscillators // Proceedings of Int Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA'98), Crans-Montana, Switzerland, 1998, V 3, P 1113-1116

38) Bezruchko В P, Prokhorov M D Controlling spatiotemporal chaos in a chain of bistable oscillators // Proceedings of 7th Int. Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES'99), Ronne, Denmark, 1999, P 81-84

39) Bezruchko В , Ivanov R, Kravtsov Y., Prokhorov M Basins of attraction of final states for a system of coupled elements with varying parameters // Proceedings of Int Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA 2000), Dresden, Germany, 2000, V 2, P 543-546

40) Караваев А С., Пономаренко В И , Прохоров М Д. Восстановление по временным рядам модельных уравнений систем с запаздыванием II Материалы международной межвузовской конференции

«Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ», Саратов, 2001, С 84-86

41) Karavaev A S , Ponomarenko VI, Prokhorov М D Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series // Proceedings of 9th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2001), Delft, The Netherlands, 2001, P 101-104

42) Prokhorov M D., Karavaev A S , Ponomarenko VI Reconstruction of driven and coupled time-delay systems from time series // Proceedings of 12th Int Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2004), Evora, Portugal, 2004, P 280-283

43) Безручко Б П, Бодров М Б , Диканев Т В , Караваев А С , Пономаренко В И , Прохоров М Д, Селезнев Е П, Сысоев И В , Смирнов Д А Некоторые проблемы реконструкции модельных уравнений по временным рядам // в сб «Нелинейные волны'2004» под ред Гапонова-Грехова А В , Некоркина В И, Нижний Новгород ИПФ РАН, 2005, С 381-397

44) Пономаренко В И, Прохоров М Д, Гриднев В И, Бодров МБ., Беспя-тов А Б , Безручко Б П Синхронизация дыхания и процесса с частотой 0 I Гц в сердечно-сосудистой системе человека // Материалы IV Всероссийского симпозиума «Медленные колебательные процессы в организме человека теория и практическое применение» и И Междисциплинарной школы-семинара «Нелинейная динамика в физиологии и медицине», Новокузнецк, 2005, С 51-56

45) Безручко Б П, Пономаренко В И , Прохоров М Д, Караваев А.С Реконструкция модели системы барорефлекторной регуляции кровяного давления человека по экспериментальным данным // Доклады VII международной научно-технической конференции «Физика и радиоэлектроника в медицине и jko.toi ии - ФРЭМЭ 2006», Владимир, 2006, С 115-117

46) Безручко Б П, Караваев А С , Пономаренко В И, Прохоров М Д , Гриднев В И , Киселев А.Р., Посненкова О М Синхронизация низкочастотных ритмов сердечно-сосудистой системы // Материалы V Всероссийского симпозиума и III школы-семинара «Медленные колебательные процессы в организме человека Теоретические и прикладные аспекты нелинейной динамики в физиологии и медицине», Новокузнецк, 2007, С 50-54

47) Prokhorov М D , Ponomarenko VI, Karavaev A S , Bezruchko В Р Recovery of dynamical models of time-delay systems from time series. Application to chaotic communication // In Nonlinear Phenomena Research Perspectives, Ed Wang С W , New York Nova Science Publishers, 2007, P 753

Подписано в печать 28 01 2008 Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Гарнитура Тайме Печать методом ризографии Объем 2,0 п л Тираж 100 Заказ № 3

Отпечатано в типографии ООО «Поли-Экс», ИНН 6450921958 г Саратов, ул Горького, 6 Тел 227-277, 59-48-78

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Прохоров, Михаил Дмитриевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. СВЯЗАННЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (МУЛЬТИ-СТАБИЛЬНОСТЬ И БАССЕЙНЫ ПРИТЯЖЕНИЯ).

1.1. Введение.

1.2. Колебательные состояния диссипативно связанных систем.

1.2.1. Классификация мультистабильных состояний.

1.2.2. Эволюция колебательных состояний при слабой связи подсистем.

1.2.3. Несинфазные режимы колебаний при сильной связи.

1.3. Бассейны притяжения мультистабильных состояний и их эволюция при изменении параметров.

1.3.1. Бассейны притяжения периодических и квазипериодических режимов.

1.3.2. Бассейны притяжения хаотических аттракторов.

1.4. Бассейны притяжения конечных состояний в связанных отображениях при быстром изменении управляющего параметра и воздействии шумов.

1.5. Выводы.

2. РЕШЕТКИ НЕАВТОНОМНЫХ БИСТАБИЛЬНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ (ДИСКРЕТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ).

2.1. Введение.

2.2. Одномерная дискретная модель возбуждаемого бистабильного осциллятора.

2.2.1. Вид модели и определение ее параметров по временному ряду.

2.2.2. Устройство пространства параметров модели.

2.3. Дискретное моделирование замкнутой цепочки возбуждаемых бистабильных осцилляторов.

2.3.1. Пространственно-временные структуры в цепочке бистабильных элементов.

2.3.2. Влияние начальных условий, неидентичности элементов и шума на вид пространственного распределения.

2.4. Управление ' пространственно-временным хаосом в цепочке бистабильных осцилляторов.

2.4.1. Метод последовательной стабилизации движений элементов цепочки.

2.4.2. Стабилизация неустойчивых пространственно однородных состояний цепочки.

2.5. Модель двумерной решетки бистабильных осцилляторов.

2.6. Моделирование трехмерной решетки бистабильных осцилляторов

2.6.1. Конструирование трехмерных решеток.

2.6.2. Динамическое копирование в связанных между собой двумерных решетках.

2.7. Выводы.

3. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ (ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ).'.

3.1. Введение.

3.2. Восстановление систем с запаздыванием первого порядка по хаотическим временным рядам.

3.2.1. Особенности временных реализаций автоколебательных систем с запаздыванием.

3.2.2. Методика реконструкции и ее апробация на модельных и экспериментальных данных.

3.2.3. Восстановление кольцевых систем с запаздыванием по временным рядам различных динамических переменных

3.3. Реконструкция модельных дифференциальных уравнений систем с запаздыванием высокого порядка.

3.4. Определение порядка модельного уравнения системы с запаздыванием

3.5. Определение параметров и нелинейных функций систем с несколькими временами задержки.

3.6. Оценка характеристик автоколебательных систем с запаздыванием в периодическом режиме.

3.7. Выводы.

4. СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ (МЕТОДЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К СИСТЕМАМ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ).

4.1. Введение.

4.2. Восстановление связанных систем с запаздыванием и оценка характеристик связи по временным рядам.

4.2.1. Метод реконструкции динамических моделей связанных систем с запаздыванием.

4.2.2. Применение метода к модельным и экспериментальным временным рядам связанных систем с запаздыванием.

4.2.3. Реконструкция по временным рядам неавтономных систем с запаздыванием.

4.2.4. Восстановление уравнений цепочек связанных систем с запаздыванием.

4.3. Выделение информационного сигнала в системах связи, построенных на основе систем с запаздыванием.

4.4. Определение параметров полупроводникового лазера с оптической обратной связью.

4.5. Выводы.

5. ДИАГНОСТИКА СИНХРОНИЗАЦИИ АВТОКОЛЕБАНИЙ

ВНЕШНИМ СИГНАЛОМ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ЧАСТОТОЙ В

МОДЕЛЬНЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ И РЕАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ.

5.1. Введение.

5.2. Применение вейвлетного анализа для диагностики синхронизации

5.3. Исследование синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой по многомерным временным рядам.

15.4. Диагностика внешней синхронизации автоколебаний по одномерным временным рядам.

5.4.1. Описание метода.

5.4.2. Диагностика синхронизации генератора Ван-дер-Поля внешним воздействием с линейной модуляцией частоты

5.4.3. Экспериментальное исследование синхронизации генератора с запаздывающей обратной связью гармоническим сигналом с изменяющейся частотой.

5.4.4. Синхронизация медленных автоколебаний кровяного давления дыханием с линейно увеличивающейся частотой

5.5. Выводы.

6. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ДЛЯ СИСТЕМЫ РЕГУЛЯЦИИ КРОВЯНОГО ДАВЛЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ СИНХРОНИЗАЦИИ РИТМОВ СЕРДЕЧНО-СОСУДИСТОЙ

СИСТЕМЫ.

6.1. Введение.

6.2. Нелинейные модели с запаздывающей обратной связью для системы медленной регуляции кровяного давления.

6.2.1. Восстановление модели по экспериментальному временному ряду артериального давления.

6.2.2. Неавтономная модель с запаздыванием и синхронизация ее колебаний внешним сигналом.

6.3. Исследование синхронизации дыхания и основных ритмов сердечно-сосудистой системы по многоканальным данным.

6.3.1. Методы анализа экспериментальных данных.

6.3.2. Синхронизация ритмов сердечно-сосудистой системы при различных режимах дыхания.

6.4. Исследование синхронизации между колебательными процессами в сердечно-сосудистой системе по временным рядам сердцебиения.

6.5. Возможности применения параметров синхронизации ритмов сердечно-сосудистой системы человека для медицинской диагностики

6.6. Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Нелинейные динамические модели пространственно-развитых систем (решетки связанных отображений, системы с запаздыванием)"

Исследование динамики систем, имеющих развитую пространственную структуру, является актуальной задачей, современной радиофизики. Актуальность изучения; пространственно-развитых систем обусловлена их чрезвычайно = широким распространением в природе и технике. Под такими системами; будем-понимать в работе объекты, состоящие из большого числа взаимодействующих между собой элементов (цепочки и решетки осцилляторов^ и автогенераторов, кристаллические решетки, нейронные сети), и: системы с запаздывающей обратной: связью. Построение и исследование моделей пространственно-развитых систем опирается на основные достижения' теории; нелинейных колебаний и волн [1- 8] и предполагает привлечение современных методов нелинейной динамики; [9-21]. Ключевая! роль отводится при5 этом радиофизическим объектам, традиционно использующимся в качестве полигона для изучения сложных колебательно-волновых явлений. Исследования комплексов связанных радиофизических элементов [Анищенко; B.C., Рабинович М.И.], распределенных автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью [Кислов В.Я., Залогин H.H., Мясин Е.А.], системы электронный пучок — обратная электромагнитная волна [Трубецков Д.И., Безручко Б.П., Кузнецов С.П.], кольцевых генераторов [Дмитриев A.C., Кислов В.Я.] позволили разобраться во многих фундаментальных проблемах нелинейной динамики.

Для описания динамики пространственно-развитых систем, состоящих из большого числа элементов, используются различные модели, отличаю-щиесягвыбором дискретного или непрерывного представления времени, пространства и локального состояния. Наиболее широко привлекаемые модели— ансамбли связанных обыкновенных дифференциальных уравнений [Гапонов-FpexoB A.B., Афраймович B.C., Некоркин В.И:, ОсиповГ.В., Шалфеев В.Д., Астахов В.В., Белых В.Н., Волков Е.И., Казанцев В.Б., Пономаренко В.П.], решетки связанных отображений [Канеко К., Капрал Р.", Кузнецов А.П:, Кузнецов С.П., Пиковский A.C., Дмитриев A.C., Некоркин В.И., Майстренко Ю.Л.] и клеточные автоматы [фон Нейман Д., Малинецкий Г.Г.]. Пространственные свойства в таких системах проявляются в наличии' решений, при которых мгновенные состояния разных элементов ансамбля отличны друг от друга. Эту особенность пространственно-развитых систем из* сосредоточенных элементов можно'рассматривать в,ряде случаев как аналог пространственных мод ограниченной распределенной системы. Характерной особенностью многоэлементных колебательных систем является мультиста-бильность, перекликающаяся с пространственной*многомодовостью. Именно-принципиальная, многомодовость, когда возможные варианты движений многочисленны, а бассейны притяжения нескольких сосуществующих в фазовом пространстве аттракторов образуют сложную и даже фрактальную структуру, является типичным свойством пространственно-развитых нелинейных систем.

Во многих случаях наиболее эффективными моделями ансамблей связанных систем оказываются решетки связанных отображений, использующие дискретное описание времени и пространства и непрерывную переменную состояния. Выбор базового отображения и вида связи вносит свою специфику в поведение моделей, но феномен мультистабильности в динамике многоэлементных систем всегда является определяющим. Использование хорошо изученных отображений для моделирования цепочек и решеток из базовых элементов со сложной динамикой позволяет продвинуться в понимании нелинейных явлений в связанных системах, классифицировать и исследовать их колебательные состояния. Следуя естественной логике «от простого к сложному», мультистабильность в связанных системах исследуется в работе сначала на примере связанных квадратичных отображений, как с постоянными, так и с изменяющимися во времени параметрами. В последнем случае наибольший интерес представляет исследование связанных систем при изменении их параметров в интервале, содержащем бифуркационные значения. Эта задача до настоящего времени остается мало изученной. Вместе с тем, актуальность ее изучения определяется фундаментальной значимостью явлений, возникающих при бифуркационных переходах в системах с быстро меняющимся параметром в присутствии шумов. Речь идет, в первую очередь, о явлении спонтанного нарушения симметрии постбифуркационных состояний системы [Кравцов Ю.А., Бутковский О.Я.], которое имеет место в разных областях естествознания и тесно связано с возникновением пространственной и временной упорядоченности в химических и биохимических процессах.

Дальнейшее усложнение модели ансамбля связанных систем ведется в работе как по линии использования более сложных моделей для базовых элементов, так и путем пространственного развития модели через увеличение количества элементов и усложнение способа связи между ними. Наличие собственной нетривиальной динамики отдельных элементов пространственно-развитой системы наряду со свойствами и архитектурой межэлементных взаимодействий определяет пространственно-временное поведение системы в целом. Особый интерес при этом представляет исследование таких явлений, как синхронизация колебаний, формирование структур, регуляризация и хаотизация колебаний в ансамбле, пространственно-временной хаос и управление им. В силу большого разнообразия многоэлементных систем ряд важных вопросов их поведения остается нерассмотренным или недостаточно изученным. К ним, в частности, относятся многие аспекты поведения решеток связанных отображений, базовый элемент которых обладает мультиста-бильностью и имеет несколько управляющих параметров. Учет в моделях мультистабильности элементов обогащает динамику пространственно-развитой системы в целом и приводит к появлению новых видов мультиста-бильных состояний. Представляет интерес изучение бифуркационных механизмов образования мультистабильности в решетке неавтономных осцилляторов, моделируемых многопараметрическими мультимодальными отображениями, исследование пространственно-временных структур, изучение влияния шума и неидентичности элементов на вид пространственного распределения и управление пространственно-временных хаосом. Мультиста-бильность типична для нелинейных колебательных систем различной природы и ее учет при моделировании'динамики отдельных элементов ансамбля связанных систем расширяет степень общности результатов исследования.

Для описания пространственно-развитых систем, характеризуемых наличием запаздывающей обратной связи, обычно- используются бесконечномерные модели в виде дифференциальных уравнений с запаздывающим-аргументом [Икеда К., Гласс Л., Маккей М.К., Кащенко С.А., Ланда П.С.]. Такие модели являются бесконечномерными, поскольку требуют задания непрерывного множества начальных значений динамической переменной на отрезке времени, равном времени задержки. В пространственно-развитых радиофизических системах запаздывание обусловлено тем, что сигналы распространяются с конечной скоростью и им требуется время на преодоление расстояний. Исследованию динамики автоколебательных систем с запаздыванием, как теоретическому, так и экспериментальному, уделено достаточно много внимания. Изучение нелинейных динамических моделей различных генераторов с запаздывающей обратной связью (ЛБВ-генераторов, генераторов на основе пролетных клистронов, радиотехнических кольцевых генераторов с фильтрами низких частот) позволило существенно продвинуться в понимании сложной динамики многих практически важных радиоэлектронных устройств. Значительно менее изученной является задача восстановления модельных дифференциальных уравнений систем с запаздыванием по временным рядам наблюдаемых величин. Решение этой проблемы позволило бы не только предсказать поведение ряда практически важных устройств и систем с запаздыванием при изменении параметров, но и оценить адекватность заложенных в модели представлений об объекте, осуществить классификацию систем и режимов их функционирования, определить значения параметров, недоступных непосредственному измерению в эксперименте. Вызывает также интерес использование систем с запаздывающей обратной связью в системах передачи информации. Разработка коммуникационных систем, использующих хаотические сигналы, представляет собой активно развиваемое в последние годы направление радиофизики [Дмитриев A.C., Панас А.И., Старков С.О., Хаслер М.]. Способность даже простых систем с запаздыванием первого порядка генерировать широкополосные хаотические колебания очень высокой размерности привлекает к ним внимание как к потенциальным элементам, которые могут быть использованы в системах скрытой передачи информации. Однако, вопрос о маскирующих свойствах сигналов систем с запаздыванием остается открытым и требует тщательного исследования.

На настоящем этапе развития нелинейной динамики весьма актуален вопрос о синхронизации сложных движений вообще и в пространственно-развитых системах в частности. Изучение синхронизации находится в центре внимания многих исследователей. Вместе с тем, проблема диагностики синхронизации автоколебаний по экспериментальным временным рядам, особенно при короткой длине ряда и высоком уровне шума, требует дальнейшего изучения. Например, проблематично проведение анализа синхронизован-ности колебательных процессов по экспериментальным данным, представляющим собой суперпозицию нескольких сигналов. Кроме того, взаимодействующие системы могут обладать сложным набором собственных ритмов, что типично для многих физиологических систем. Большой интерес вызывает исследование синхронизации колебательных процессов в таких жизненно важных физиологических системах, как сердечно-сосудистая и респираторная системы. Информация о синхронизованности ритмов этих систем может оказаться полезной при медицинской диагностике их состояния.

Современная тенденция направленности многих научных исследований на изучение систем живой природы обуславливает актуальность использования аппарата нелинейной динамики для описания колебательных процессов в физиологических системах. При этом имеются основания для привлечения в качестве базовых моделей дифференциальных уравнений с запаздыванием. Наличие запаздывающей обратной связи во многих физиологических автогенераторах обусловлено конечной скоростью распространения нервных импульсов и конечным временем^х обработки со стороны управляющих систем. В работе предлагаются и исследуются модели с запаздыванием для описания системы медленной регуляции кровяного давления. Построение и исследование моделей позволяет лучше понять особенности функционирования и взаимодействия элементов сердечно-сосудистой системы.

Таким образом, тематика диссертационной работы- затрагивает сферы фундаментальных вопросов радиофизики, нелинейной динамики и теории колебаний и является актуальной.

Для достижения цели решались следующие основные задачи:

- исследование мультистабильных состояний и бассейнов их притяжения в системе связанных элементов, как с постоянными, так и с изменяющимися параметрами;

- разработка методики выделения скрытого сигнала сообщения в системах передачи информации, использующих нелинейное подмешивание информационного сигнала в хаотический сигнал системы с запаздыванием;

- исследование на модельных и экспериментальных данных синхронизации между основными колебательными процессами в сердечнососудистой системе человека, характеризуемой наличием запаздывающих обратных связей.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- обнаружено и исследовано существование устойчивых несинфазных колебательных состояний в области сильной связи двух идентичных систем, демонстрирующих удвоения периода при изменении управляющего параметра;

- проведено управление пространственно-временным хаосом в цепочке неавтономных бистабильных осцилляторов, моделируемых мульти-модальными отображениями;

- выявлены характерные особенности расположения экстремумов во временных реализациях систем с запаздывающей обратной связью;

- предложены новые методы реконструкции модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием для различных классов^ автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью по их хаотическим временным рядам;

- исследована возможность определения по временному ряду порядка модельного уравнения системы с запаздыванием;

- впервые предложены методы восстановления по временным рядам модельных уравнений неавтономных и связанных систем с запаздыванием;

- предложены оригинальные, основанные на непрерывном вейвлетном преобразовании сигналов, методы диагностики по экспериментальным временным рядам наличия или отсутствия синхронизации автоколебаний внешним воздействием с модулированной частотой;

- обнаружено существование синхронизации между дыханием и медленными автоколебаниями кровяного давления человека при различных режимах дыхания.

Практическая значимость работы. Результаты исследования бифуркационных переходов в связанных системах с изменяющимися параметрами могут быть использованы для управления бифуркационными процессами и для достижения заданного постбифуркационного состояния системы в условиях воздействия шума. Для целей обработки информации могут оказаться полезными результаты исследований мультистабильности и динамического копирования в решетках бистабильных элементов. Автоколебательные системы с запаздыванием очень широко распространены не только в радиофизике и электронике, но и в нелинейной оптике, биофизике, физиологии и многих других научных дисциплинах. Предложенные в диссертационной работе методы определения их параметров по экспериментальным временным рядам представляют интерес для широкого круга исследователей. Результаты по исследованию систем скрытой передачи информации, построенных на основе систем с запаздыванием, позволяют выработать рекомендации для повышения степени защиты конфиденциальной информации. Предложенные методы диагностики синхронизации автоколебаний представляют практический интерес при исследовании синхронизации колебательных процессов в реальных системах по экспериментальным, сильно зашумленным временным рядам. Анализ синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы оказывается полезен при диагностике ее состояния и контроле эффективности лечения. Подготовленный программный продукт («Программа расчета суммарного процента фазовой синхронизации между ритмами сердечнососудистой системы человека», свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2005610960) передан в Саратовский НИИ кардиологии и Нижегородскую государственную медицинскую академию, в которых он используется для медицинской диагностики.

Результаты работы используются в учебном процессе на факультете нелинейных процессов и факультете нано- и биомедицинских технологий Саратовского государственного университета.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту

2) Метод последовательной стабилизации движений элементов позволяет осуществить управление пространственно-временным хаосом в цепочке связанных бистабильных осцилляторов, моделируемой связанными мультимодальными отображениями. Величина управляющего воздействия, необходимого для перевода цепочки из режима пространственно-временного хаоса в области бистабильности в пространственно однородный режим, может быть существенно уменьшена, если на начальном этапе управления воздействовать на систему малым шумом.

4) Разработанная методика выделения скрытого сигнала сообщения в системах связи, использующих нелинейное подмешивание информационного сигнала в хаотический сигнал системы с запаздыванием, основанная на реконструкции передающей системы- с запаздыванием по временному ряду передаваемого сигнала,, обеспечивает высокое качество восстановления информационного сигнала при различных конфигурациях передатчика, параметры которого априорно неизвестны.

5) Анализ разности между мгновенными фазами автоколебаний;.вычисленными в моменты времени, сдвинутыми друг относительно друга на некоторую постоянную величину, позволяет определить наличие синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой по одномерным временным рядам.

6) Медленные колебания кровяного;давления человека с собственной частотой около 0.1 Гц могут быть синхронизованы с дыханием. Предложенная для их описания модель, имеющая вид неавтономной системы с запаздывающей обратной связью, демонстрирует явления захвата частот и фаз медленных колебаний кровяного давления и дыхания, качественно подобные наблюдающимся в эксперименте. Показатели синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы могут быть использованы для диагностики ее состояния.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах в Саратовском филиале ИРЭ РАН, СГУ, Саратовском НИИ кардиологии, университете г. Потсдама (Германия), федеральном политехническим институте г. Лозанны (Швейцария), а также на следующих российских и международных научных конференциях: международной школе по нелинейным явлениям (ISNS) (Нижний Новгород, 1995); International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine (ICND) (Саратов, 1996); International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES) (Москва, 1997; Budapest, Hungary, 1998; Delft, The Netherlands, 2001); International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA)-(Crans-Montana, Switzerland, 1998; Dresden, Germany, 2000); международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (ХАОС) (Саратов, 1998, 2001, 2004); International School "Synchronization: Theory and Application" (Yalta, Ukraine, 2002); International Conference "European Dynamics Days" (Palma de Mallorca, Spain, 2003); Workshop on Detecting and Processing Regularities in High Throughput Biological Data (Piscataway, USA, 2005), школе-семинаре «Динамический хаос и его приложения» (Звенигород, 2007).

Материалы работы использовались при выполнении ряда НИР и научных проектов, поддержанных грантами РФФИ (№96-02-16755; 99-02-17735, 00-02-17441, 01-02-06038, 03-02-17593, 07-02-00589), CRDF (REC-006) и;Ш-TAS (93-2492, 03-55-920).

По теме диссертации опубликовано 85 научных работ, включая 35 статей в рецензируемых журналах, 24 статьи в сборниках и трудах конференций, 26 тезисов докладов. Список основных публикаций приведен в конце диссертационной работы.

Достоверность научных выводов подтверждается согласованностью результатов аналитического исследования, численного моделирования и физического эксперимента между собой, а также с результатами других авторов.

Личный вклад автора заключается в выборе направления исследований, в формулировке и постановке основных задач диссертации, определении методов и подходов к их решению, проведении большей части численных расчетов и некоторых экспериментальных исследований, в проведении теоретического анализа и интерпретации полученных результатов. Исследование связанных квадратичных отображений проводилось совместно с Без-ручко Б.П., Селезневым Е.П и Ивановым Р.Н. Построение моделей и исследование систем с запаздыванием выполнено на паритетных началах с Поно-маренко В.И. Методы диагностики синхронизации автоколебаний предложены в соавторстве с Храмовым А.Е., Короновским А.А. и Пономаренко В.И.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Она содержит 389 страниц, включая 140 рисунков, 3 таблицы, 311 наименований цитируемой литературы и 47 наименований работ по теме диссертации.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

6.6. Выводы

1) Для описания медленных колебаний кровяного давления предложена модель в виде неавтономной системы с запаздывающей обратной связью, учитывающая влияние дыхания. Показано, что при гармоническом внешнем воздействии с линейно изменяющейся частотой предложенная модель демонстрирует явления захвата частот и фаз медленных колебаний кровяного давления и дыхания, качественно подобные наблюдающимся в эксперименте. Результаты модельных и экспериментальных исследований свидетельствуют в пользу того, что система, задающая ритм, отвечающий за низкочастотные колебания кровяного давления, может быть рассмотрена как автогенератор под внешним воздействием при наличии шума. Исследована возможность восстановления параметров модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием, описывающих медленные колебания кровяного давления, по экспериментальным временным рядам артериального давления.

2) Для случаев произвольного дыхания и дыхания с постоянной и линейно изменяющейся частотой проведено исследование синхронизации между основными колебательными процессами сердечно-сосудистой системы человека на основе анализа как многоканальных данных (записей электрокардиограмм, дыхания и пульсограмм), так и одноканальных данных в виде временных рядов сердцебиения. Продемонстрировано существование у здоровых людей областей синхронизации между дыханием и основным сердечным ритмом и между дыханием и медленными автоколебаниями кровяного давления с собственной частотой вблизи 0.1 Гц. Показано, что фазы и частоты указанных ритмов могут быть захвачены с различными соотношениями п:т, причем в ходе одного эксперимента может наблюдаться несколько различных порядков синхронизации. В экспериментах с заданной частотой дыхания (постоянной или линейно меняющейся) длительность участков синхронизации между дыханием и сердцебиением и между дыханием и медленными колебаниями кровяного давления в среднем больше, чем в случае произвольного дыхания. Исследована зависимость качества синхронизации от величины вариабельности сердечного ритма.

3) С помощью различных методов (полосовой фильтрации с последующим преобразованием Гильберта, эмпирической декомпозиции мод и вейвлет-ного преобразования) продемонстрирована возможность определения из последовательности Я-Я интервалов мгновенных фаз и мгновенных частот основных колебательных процессов сердечно-сосудистой системы — основного сердечного ритма, дыхания и медленных колебаний кровяного давления. Показано, что фазы и частоты ритма с собственной частотой вблизи 0.1 Гц, выделенные из ряда Я-Я интервалов и из ряда кровяного давления здорового человека, достаточно близки, однако демонстрируют между собой большее отличие, чем временные ряды дыхания и респираторного ритма, выделенного из ряда Я-Я интервалов. Показано, что результаты исследования синхронизации между основными ритмами сердечно-сосудистой системы здоровых людей по одномерным временным рядам сердцебиения качественно совпадают с результатами, полученными при исследовании синхронизации по многоканальным данным.

4) Исследована синхронизация колебательных процессов с частотой 0.1 Гц в вариабельности сердечного ритма и сигнале кровяного давления. Показано, что показатели синхронизации между ритмами сердечнососудистой системы могут быть использованы для диагностики ее состояния и контроля эффективности лечения. Создан и зарегистрирован программный продукт, предназначенный для определения степени фазовой синхронизации между колебательными процессами сердечнососудистой системы человека на основе расчета суммарного процента фазовой синхронизации колебаний. Программа используется в Саратовском НИИ кардиологии и Нижегородской государственной медицинской академии, где с ее помощью формируется и апробируется новая методика медицинской диагностики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с поставленными целями в диссертационной работе проведено моделирование пространственно-развитых систем, исследованы пространственно-временные структуры и мультистабильность в решетках связанных отображений, разработаны новые методы восстановления по временным рядам модельных дифференциальных уравнений систем с запаздыванием, разработаны новые методы диагностики синхронизации автоколебаний по экспериментальным временным рядам и исследована возможность применения разработанных подходов на практике. Основные результаты работы заключаются в следующем:

1) Проведено исследование явления мультистабильности колебательных состояний и бассейнов их притяжения в системе двух диссипативно связанных квадратичных отображений с использованием способа различения мультистабильных состояний по фазовому признаку. Аналитически обнаружено и численно исследовано существование несинфазных режимов колебаний при сильной связи подсистем. Установлено, что в системе двух диссипативно связанных квадратичных отображений существуют два несинфазных, симметричных относительно замены х на у и у на х цикла периода 1, устойчивых в широкой области параметров. Области несинфазных колебаний при слабой и сильной связи симметричны друг другу в пространстве параметров системы, но сами несинфазные режимы качественно различны. Показано, что введение связи между элементами приводит к появлению устойчивых режимов, существующих при таких значениях параметра нелинейности, достижение которых в отсутствие связи было бы невозможным. Исследована структура бассейнов притяжения мультистабильных состояний системы связанных квадратичных отображений и их эволюция при изменении параметров.

2) Исследовано явление нарушения равенства вероятностей постбифуркационных состояний системы связанных квадратичных отображений с изменяющимися во времени параметрами. Показано, что вероятности установления и бассейны притяжения конечных состояний связанной системы зависят от скорости изменения управляющего параметра. В зависимости от величины коэффициента связи в системе наблюдается запаздывание бифуркаций либо несинфазных, либо синфазных состояний. В области мультистабильности с уменьшением скорости изменения управляющего параметра наблюдается уменьшение вероятности установления состояний, соответствующих видам колебаний, возникающим в результате более поздних бифуркаций. В результате действия шума вероятности нахождения связанной системы в каждом из возможных конечных состояний начинают выравниваться, причем эффект выравнивания вероятностей тем больше, чем выше уровень шума и меньше скорость изменения бифуркационного параметра.

3) Для пространственно-развитой системы, представляющей собой замкнутую цепочку синфазно возбуждаемых бистабильных осцилляторов, предложена и исследована дискретная модель в виде кольца связанных муль-тимодальных отображений. Получено уравнение эволюции во времени пространственных мод возмущений цепочки в окрестности неподвижных точек. Показано, что однородные состояния вначале теряют устойчивость по отношению к длинноволновым возмущениям, причем устойчивость к неоднородным возмущениям повышается при увеличении связи между элементами. Эволюция однородных пространственных состояний кольца к хаосу происходит только через последовательность бифуркаций удвоения периода. Для неоднородных состояний показано, что в кольце с нечетным числом элементов переход к хаосу может происходить только через последовательность бифуркаций удвоения периода, а в кольце с четным числом элементов в зависимости от пространственного периода структуры наблюдаются как бифуркации удвоения периода, так и бифуркации рождения тора. Рассмотренная модель с дискретным временем хорошо качественно описывает пространственно-временные структуры, наблюдаемые в натурном эксперименте в замкнутой цепочке неавтономных резистивно связанных колебательных контуров с диодом и отражает характер их перехода к хаосу при изменении параметров в зависимости от числа элементов в цепочке.

4) Осуществлено управление пространственно-временным хаосом в цепочке связанных бистабильных осцилляторов. Показано, что воздействие на систему малого шума на начальном этапе управления может существенно уменьшить величину управляющего воздействия, необходимого для перевода цепочки из режима развитого пространственно-временного хаоса в области бистабильности в пространственно однородный режим.

6) Установлено, что во временных реализациях систем с запаздыванием, описываемых дифференциальным уравнением первого порядка с одним временем задержки, практически отсутствуют экстремумы, удаленные друг от друга на время запаздывания. Эта особенность сохраняется и для временных реализаций систем с запаздыванием высокого порядка, при условии, что параметры, характеризующие инерционные свойства системы, достаточно малы. Во временных реализациях систем с запаздыванием с двумя и более временами задержки число экстремумов, разделенных интервалами времени, равными этим задержкам, существенно меньше, чем число экстремумов, разделенных другими интервалами времени.

7) Предложены оригинальные методы восстановления по хаотическим временным рядам модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием для различных классов пространственно-развитых систем с запаздывающей обратной связью, включая системы с запаздыванием высокого порядка и с несколькими временами задержки. Методы опираются на закономерности расположения экстремумов во временных рядах систем с запаздыванием и проецирование бесконечномерного фазового пространства системы с запаздыванием в подпространства малой размерности. Разработанные методы позволяют восстановить время запаздывания, вид нелинейной функции и оценить параметры инерционных элементов. Предложена методика определения по временному ряду априорно неизвестного порядка системы с запаздыванием. Разработанные методы применены для восстановления эталонных дифференциальных уравнений с запаздыванием по их коротким, сильно зашумленным временным рядам и для построения по экспериментальным временным рядам модельных уравнений радиотехнических генераторов с запаздывающей обратной связью с различным числом последовательно соединенных низкочастотных ЯС-фильтров.

8) Предложены методики восстановления кольцевых автоколебательных систем с запаздыванием по временным рядам различных наблюдаемых динамических переменных, полученным из различных точек системы. Показано, что для реконструкции модельного уравнения системы с запаздыванием по временному ряду переменной, измеренной между нелинейным и инерционным элементами системы, необходимо провести фильтрацию наблюдаемой переменой низкочастотным фильтром. Предложена процедура, позволяющая подобрать априорно неизвестную частоту среза этого фильтра.

9) Предложен метод восстановления по временным рядам нелинейных динамических моделей систем с запаздывающей обратной связью, находящихся под внешним воздействием. Рассмотрены различные способы внесения внешнего воздействия в систему с запаздыванием. Метод позволяет реконструировать неавтономные системы с запаздыванием даже в случаях, когда способ внесения внешнего воздействия в систему априорно неизвестен. В этом случае, процедура реконструкции позволяет дополнительно установить, каким именно образом осуществлено воздействие на систему. Метод работоспособен в широком диапазоне изменения величины внешнего воздействия, в том числе при уровнях воздействия на систему с запаздыванием, сопоставимых с уровнем собственных колебаний в системе в отсутствие воздействия.

10) Предложен метод реконструкции модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием для связанных систем с запаздыванием по их временным рядам. Метод позволяет восстановить параметры связанных систем с запаздыванием, а также установить наличие некоторых видов линейной связи между системами, определить априорно неизвестный тип связи, величину связи и ее направление по хаотическим временным рядам при достаточно высоких уровнях шума. Эффективность метода продемонстрирована на примере хаотических временных рядов связанных уравнений Маккея-Гласса, в том числе с добавленным шумом, а также на примере экспериментальных временных рядов связанных радиотехнических генераторов с запаздыванием.

11) Разработана методика выделения скрытого сигнала сообщения в системах связи, использующих нелинейное подмешивание информационного сигнала в хаотический сигнал системы с запаздыванием. Методика основана на реконструкции модельного уравнения передающей системы по временному ряду передаваемого сигнала. Она обеспечивает высокое качество восстановления передаваемого информационного сигнала при различных конфигурациях передающей системы, параметры которой априорно неизвестны. Хорошее качество восстановления скрытого сообщения продемонстрировано на численных примерах при передаче частотно-модулированного гармонического сигнала, подмешанного в хаотический сигнал системы Маккея-Гласса для различных конфигураций передающей системы, и в экспериментальной радиофизической системе при передаче гармонического сигнала, подмешанного в хаотический сигнал генератора с запаздывающей обратной связью.

12) Предложен метод определения параметров одномодового полупроводникового лазера с оптической обратной связью, описываемого уравнениями Ланга-Кобаяши. Предложен способ начальной оценки времени запаздывания в цепи обратной связи лазера, основанный на статистическом анализе специальным образом выбираемых точек временного ряда колебаний интенсивности излучения. Эффективность метода продемонстрирована численно на примере двух однонаправленно связанных систем Ланга-Кобаяши.

13) Предложены методы диагностики синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой по многомерным и одномерным временным рядам. Методы основаны на непрерывном вейвлетном преобразовании сигналов и позволяют отличить внешнюю синхронизацию автоколебаний от случая просачивания внешнего сигнала в наблюдаемый сигнал. Методы не требуют точной настройки масштаба наблюдения и остаются эффективными при высокой зашумленности исследуемых временных рядов. Методы протестированы на временных рядах модельной автоколебательной системы (асимметричном генераторе Ван-дер-Поля под внешним воздействием) и применены для исследования по экспериментальным временным рядам внешней синхронизации неавтономного радиотехнического генератора с запаздывающей обратной связью и реальной пространственно-развитой автоколебательной системы (сердечнососудистой системы человека).

14) Для описания медленных колебаний кровяного давления предложена модель в виде неавтономной системы с запаздывающей обратной связью, учитывающая влияние дыхания. Показано, что при гармоническом внешнем воздействии с линейно изменяющейся частотой предложенная модель демонстрирует явления захвата частот и фаз медленных колебаний кровяного давления и дыхания, качественно подобные наблюдающимся в эксперименте. Исследована возможность восстановления параметров модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием, описывающих медленные колебания кровяного давления, по экспериментальным временным рядам артериального давления.

15) Проведено исследование синхронизации между основными колебательными процессами сердечно-сосудистой системы человека на основе анализа как многоканальных данных (записей электрокардиограмм, дыхания и пульсограмм), так и одноканальных данных в виде временных рядов сердцебиения. Продемонстрировано существование у здоровых людей областей синхронизации между дыханием и основным сердечным ритмом и между дыханием и медленными автоколебаниями кровяного давления с собственной частотой вблизи 0.1 Гц. Исследована зависимость качества синхронизации от режима дыхания и величины вариабельности сердечного ритма. Показано, что показатели синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы могут быть использованы для диагностики ее состояния и контроля эффективности лечения.

Список источников диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Прохоров, Михаил Дмитриевич, Саратов

1. БутенинН.В., НеймаркЮ.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987, 384 с.

2. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1992, 456 с.

3. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980, 360 с.

4. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997, 496 с. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972, 472 с.

5. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М.: Физматлит, 2002, 292 с.

6. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны. М.: Наука, 2000, 272 с.

7. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987, 424 с.

8. Дмитриев A.C., КисловВ.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989, 280 с.

9. АнищенкоВ.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990, 312 с.

10. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988, 368 с.

11. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988, 240 с.

12. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990, 312 с.

13. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991, 368 с.

14. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Изд-во СГУ, 1999, 368 с.

15. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000, 336 с.

16. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005, 320 с.

17. Gaponov-Grekhov A.V. Rabinovich M.I. Dynamic chaos in ensembles of structures and spatial development of turbulence in unbounded systems // Ed. Ebeling W., N.Y.: Springer, 1986.

18. Анищенко B.C., АрансонИ.С., ПостновД.Э., Рабинович М.И. Пространственная синхронизация и бифуркация развития хаоса в цепочке связанных генераторов // ДАН СССР, 1986, Т.286, N.5, С.1120-1124.

19. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации // Под ред. Гапонова-Грехова А.В., Рабиновича М.И., Горький: ИПФ АН СССР, 1989, 256 с.

20. Afraimovich V.S., Nekorkin V.I., Osipov G.V., Shalfeev V.D. Stability, Structures, and Chaos in Nonlinear Synchronization Networks. Singapore: World Scientific, 1995, 260 p.

21. Астахов B.B., Сильченко A.H., Стрелкова Г.И., ШабунинА.В., Анищенко B.C. Управление и синхронизация хаоса в системе связанных генераторов // Радиотехника и электроника, 1996, Т.41, N.11, С.1323-1331.

22. Nekorkin V.I., Kazantsev V.B., Chua L.O. Chaotic attractors and waves in one-dimensional array of modified Chua's circuits // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1996, V.6, N.7, P. 1295-1317.

23. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Kazantsev V.B., Velarde M.G. Spatial disorder and pattern formation in lattices of coupled bistable systems // Physica D, 1997, V.100, P.330-342.

24. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Сложные колебания в системе взаимодействующих автогенераторов с фазовым управлением // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1998, T.41,N.12, С. 1604-1611.

25. Belykh V.N., Belykh I.V., Hasler М. Hierarchy and stability of partially synchronous oscillations of diffusively coupled dynamical systems // Phys. Rev. E, 2000, V.62, N.5, P.6332-6345.

26. Volkov E.I., Volkov D.V. Multirhythmicity generated by slow variable diffusion in a ring of relaxation oscillators and noise-induced abnormal interspike variability // Phys. Rev. E, 2002, V.65, 046232.

27. Belykh I., Belykh V., Nevidin K., Hasler M. Persistent clusters in lattices of coupled nonidentical chaotic systems // Chaos, 2003, V.13, N.l, P. 165-178.

28. Belykh V.N., Belykh I.V., Hasler M., Nevidin K.V. Cluster synchronization in three-dimensional lattices of diffusively coupled oscillators // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2003, V.13, N.4, P.755-780.

29. Volkov E.I., Stolyarov M.N., Zaikin A.A., Kurths J. Coherence resonance and polymodality in inhibitory coupled excitable oscillators // Phys. Rev. E, 2003, V.67, 066202.

30. Kuznetsov A.S., Shalfeev V.D., Tsimring L.S. Regularization of dynamics in an ensemble of nondiffusively coupled chaotic elements // Phys. Rev. E, 2005, V.72, 046209.

31. Belykh V.N., Osipov G.V., Kucklander N., Blasius В., Kurths J. Automatic control of phase synchronization in coupled complex oscillators // Physica D, 2005, V.200, N.l—2, P.81-104.

32. Volkov E.I., Ullner E., Kurths J. Stochastic multiresonance in the coupled relaxation oscillators // Chaos, 2005, V. 15, 023105.

33. Kaneko К. Period-doubling of kink-antikink patterns, quasi-periodicity in antiferro-like structures and spatial intermittency in coupled map lattices — toward a prelude to a field theory of chaos // Prog. Theor. Phys., 1984, V.72, N.3, P.480-486.

34. Waller I., Kapral R. Spatial and temporal structures in systems of coupled nonlinear oscillators // Phys. Rev. A, 1984, V.30, P.2047-2055.

35. Кузнецов С.П. О модельном описании цепочки связанных динамических систем вблизи точки перехода порядок-беспорядок // Изв. ВУЗов, Физика, 1984, Т.27, N.6, С.87-96.

36. Kapral R. Pattern formation in two-dimensional arrays of coupled, discrete-time oscillators // Phys. Rev. A, 1985, V.31, P.3868-3879.

37. Crutchfield J.P., Kaneko K. Phenomenology of spatio-temporal chaos // In: Directions in Chaos, Ed. Bai-lin H., Singapore: World Scientific, 1987, V.l, P.272-353.

38. Oppo G.-L., Kapral R. Domain growth and nucleation in a discrete bistable system //Phys. Rev. A, 1987, V.36, P.5820-5831.

39. Alstrom P., Ritala R.K. Mode-locking in an infinite set of coupled circle maps //Phys. Rev. A, 1987, V.35,N.l, P.300-311.

40. Chate H., Manneville P. Spatiotemporal intermittency in coupled map lattices // Physica D, 1988, V.32, P.409-422.

41. Kaneko K. Pattern dynamics in spatiotemporal chaos // Physica D, 1989, V.34, P.1-41.

42. Kaneko K. Spatiotemporal chaos in one- and two-dimensional coupled map lattices // Physica D, 1989, V.37, P.60-82.

43. Kaneko K. Clustering, coding, switching, hierarchical ordering, and control in network of chaotic elements // Physica D, 1990, V.41, P. 137-172.

44. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Пространственные структуры в дисси-пативных средах у порога возникновения хаоса // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1991, Т.34, N.2, С. 142-146.

45. Pikovsky A.S. Chaotic wavefront propagation in coupled map lattices // Phys. Lett. A, 1991, V.156, P.223-226.

46. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика решеток связанных отображений (обзор) // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1991, Т.34, N.10-12, С.1079-1115.

47. Kaneko К. Globally coupled circle maps // Physica D, 1991, V.54, P.5-19.

48. Kaneko K. The coupled map lattice: introduction, phenomenology, Lyapunov analysis, thermodynamics and applications // In: Theory and Applications of Coupled Map Lattices, Ed. Kaneko K., Jonh Wiley & Sons, 1993, P.1-49.

49. Afraimovich V.S., Nekorkin V.I. Chaos of traveling waves in a discrete chain of diffusively coupled maps // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1994, V.4, N.3,P.631-637.

50. Pikovsky A.S., Kurths J. Collective behavior in ensembles of globally coupled maps // Physica D, 1994, V.76, P.411^119.

51. Zhilin Q., Gang H. Spatiotemporally periodic states, periodic windows, and intermittency in coupled map lattices // Phys. Rev. E, 1994, V.49, N.2, P. 1099-1108.

52. Дмитриев A.C., Старков C.O., Широков M.E. Синхронизация ансамблей диссипативно связанных отображений // Препринт ИРЭ РАН, М., 1995, N.9 (609).

53. Rudzick О., Pikovsky A. The unidirectionally coupled map lattice as a model for open flow systems // Phys. Rev. E, 1996, V.54, P.5107-5115.

54. Rudzick О., Pikovsky A., Scheffczyk C., Kurths J. Dynamics of chaos-order interface in coupled map lattices // Physica D, 1997, V.103, P.330-347.

55. Dmitriev A.S., Shirokov M.E., Starkov S.O. Chaotic synchronization in ensembles of coupled maps // IEEE Trans, on Circuits and Systems, 1997, V.44, N.10, P.918-926.

56. Nekorkin V.I., Kazantsev V.B., Velarde M.G. Synchronization in two-layer bistable coupled map lattices // Physica D, 2001, V.151, P. 1-26.

57. Фон Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М.: Мир, 1971.

58. Тоффоли Т., Марголус Н. Машина клеточных автоматов. М.: Мир, 1991,280 с.

59. Малинецкий Г.Г., Степанцев М.Е. Моделирование движения толпы при помощи клеточных автоматов // Изв. ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 1997, Т.5, N.5, С.75-79.

60. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990, 272 с.

61. Froyland J. Some symmetric, two-dimensional, dissipative maps // Physica D, 1983, V.8, P.423-434.

62. Yuan J.-M., Tung M., Feng D.H., Narducci L.M. Instability and irregular behavior of coupled logistic equations // Phys. Rev. A, 1983, V.28, P.1662-1666.

63. Buskirk R., Jeffries C. Observation of chaotic dynamics of coupled nonlinear oscillators // Phys. Rev. A, 1985, V.31, N.5, P.3332-3357.

64. Sakaguchi H., Tomita K. Bifurcations of the coupled logistic map // Prog. Theor. Phys., 1987, V.78, P.305-315.

65. Satoh K. Quasiperiodic route to chaos in a coupled logistic map // J. Phys. Soc. Jpn., 1991, V.60, P.718-719.

66. Reick С., Mosekilde E. Emergence of quasiperiodicity in symmetrically coupled, identical period-doubling systems // Phys. Rev. E, 1995, V.52, N.2, P.1418-1435.

67. Satoh K., Aihara T. Self-similar structures in the phase diagram of a coupled-logistic map // J. Phys. Soc. Jpn., 1990, V.59, P. 1123-1126.

68. Satoh K., Aihara, T. Numerical study on a coupled-logistic map as a simple model for a predator-prey system // J. Phys. Soc. Jpn., 1990, V.59, P. 1184—1198.

69. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1985, Т.28, N.8, С.991-1007.

70. Kim S.-Y. Universal scaling in coupled maps // Phys. Rev. E, 1995, V.52, P.1206-1209.

71. Kim S.-Y. Period p-tuplings in coupled maps // Phys. Rev. E, 1996, V.54, P.3393—3418.

72. Kook H., Ling F.H., Schmidt G. Universal behavior of coupled nonlinear systems // Phys. Rev. A, 1991, V.43, P.2700-2708.

73. Ferretti A., Rahman N.K. A study of coupled logistic maps and their usefulness for modeling physico-chemical processes // Chem. Phys. Lett., 1987, V.133, P.150-153.

74. Ferretti A., Rahman N.K. Coupled logistic maps in physico-chemical processes: Coexisting attractors and their applications // Chem. Phys. Lett., 1987, V.140, P.71-75.

75. Астахов B.B., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнев Е.П. Мультиста-бильные состояния диссипативно связанных фейгенбаумовских систем // Письма в ЖТФ, 1989, Т.15, В.З, С.60-65.

76. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова Е.Н. Селезнев Е.П. Виды колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах //ЖТФ, 1990, Т.60, В. 10, С. 19-26.

77. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пудовочкин О.Б., Селезнев Е.П. Фазовая мультистабильность и установление колебаний в нелинейных системахс удвоением периода // Радиотехника и электроника, 1993, Т.38, N.2, С.291-295.

78. Pikovsky A.S. On the interaction of strange attractors // Z. Phys. B, 1984, V.55, P.149-154.

79. Кузнецов С.П., Пиковский A.C. Переход от симметричного к несимметричному режиму хаотической динамики в системе диссипативно связанных рекуррентных отображений // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1989, Т.32, С.49-54.

80. Kapitaniak Т., Maistrenko Yu.L. Chaos synchronization and riddled basins in two coupled one-dimensional maps // Chaos, Solitons and Fractals, 1998, V.9,P.271-282.

81. Yang H.L., Pikovsky A.S. Riddling, bubbling, and Hopf bifurcation in coupled map systems // Phys. Rev. E, 1999, V.60, P.5474-5478.

82. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L., Popovich A., Mosekilde E. Transverse instability and riddled basins in a system of two coupled logistic maps // Phys. Rev. E, 1998, V.57, P.2713-2724.

83. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L., Popovych O., Mosekilde E. Desyn-chronization of chaos in coupled logistic maps // Phys. Rev. E, 1999, V.60, P.2817—2830.

84. Popovych O., Maistrenko Yu., Mosekilde E., Pikovsky A., Kurths J. Tran-scritical riddling in a system of coupled maps // Phys. Rev. E, V.63, 2001, 036201.

85. Udwadia F.E., Raju N. Some global properties of a pair of coupled maps: Quasi-symmetry, periodicity, and synchronicity // Physica D, 1998, V.lll, P. 16-26.

86. Mira C., Fournier-Prunaret D., Gardini L., Kawakami H., Cathala J.C. Basin bifurcations of two-dimensional noninvertible maps: Fractalization of basins // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1995, V.4, N.2. P.343-381.

87. Астахов В.В., Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Особенности возникновения квазипериодических движений в системе диссипа-тивно связанных нелинейных осцилляторов под внешним периодическим воздействием // Письма в ЖТФ, 1988, Т.14, B.l, С.37-41.

88. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Муль-тистабильность в системе радиотехнических осцилляторов с емкостной связью // Радиотехника и электроника, 1991, Т.36, N.11, С.2167-2170.

89. Brush J.S., Butkovskii O.Ya., Kravtsov Yu.A. The bifurcation paradox // In: Predictability of Complex Dynamics of System, Eds. Kravtsov Yu.A., Kad-tke J.B., Berlin: Springer Verlag, 1995, 143 p.

90. Бутковский О.Я., БрашДж.С., Кравцов Ю.А., Суровяткина Е.Д. Нарушение симметрии при быстрых бифуркационных переходах // ЖЭТФ,1996, Т.109, В.6, С.2201-2207.

91. ХорсхемкеВ., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. Теория и приложения к физике, химии и биологии // М: Мир, 1987, 397 с.

92. Гольданский В.И., Кузьмин В.В. Спонтанное нарушение зеркальной симметрии в природе и происхождение жизни // УФН, 1989, Т. 157, В.1, С.3-50.

93. ЖелудевИ.Н. Поляризационные неустойчивость и мультистабиль-ность в нелинейной оптике // УФН, 1989, Т. 157, В.4, С.683-717.

94. Безручко Б.П, Иванов Р.Н., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Экспериментальное исследование бифуркаций в системах с быстро меняющимся параметром // Письма в ЖТФ, 2002, Т.28, В.11, С.58-65.

95. Безручко Б.П., Иванов Р.Н. Нарушение вероятностной симметрии при быстрой бифуркации удвоения периода // Письма в ЖТФ, 2000, Т.26, В.22, С.7-15.

96. Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Суровяткина Е.Д. Использование гистерезиса в бифуркационных системах для измерения шума// ЖТФ,1997, Т.67, N.9, С.128-131.

97. Defontaines A.-D., Pomeau Y., Rostand В. Chain of coupled bistable oscillators: A model // PhysicaD, 1990, V.46, P.201-216.

98. Erneux Т., Nicolis G. Propagating waves in discrete bistable reaction-diffusion systems // Physica D, 1993, V.67, P.237-244.

99. Mackay R.S., Sepulchre J.-A. Multistability in networks of weakly coupled bistable units // Physica D, 1995, V.82, P.243-254.

100. Velarde M.G, Nekorkin V.l., Kazantsev V.B., Ross J. The emergence of form by replication // Proc. Natl. Acad. Sei. USA, Biophysics, 1997, V.94, P.5024-5027.

101. Ott E., Grebogi C., Yorke J.A. Controlling chaos // Phys. Rev. Lett., 1990, V.64,P.l 196-1199.

102. Auerbach D., Grebogi C., Ott E., Yorke J.A. Controlling chaos in high dimensional systems // Phys Rev. Lett., 1992, V.69, P.3479-3482.

103. Petrov V., Mihaliuk E., Scott S.K., Showalter K. Stabilizing and characterizing unstable states in high-dimensional systems from time series // Phys. Rev. E, 1995, V.51, N.5, P.3988-3996.

104. Ding M., Yang W, In V., Ditto W.L., Spano M.L., Gluckman B. Controlling chaos in high dimensions: Theory and experiment // Phys. Rev. E, 1996, V.53, N.5, P.4334-4344.

105. Christini D.J., Collins J.J., Linsay P.S. Experimental control of high-dimensional chaos: The driven double pendulum // Phys. Rev. E, 1996, V.54, P.4824-4827.

106. Rhode M.A., Thomas J., Rollins R.W., Markworth A.J. Automated adaptive recursive control of unstable orbits in high-dimensional chaotic systems // Phys. Rev. E, 1996, V.54, P.4880-4887.

107. Hu G., Qu Z. Controlling spatiotemporal chaos in coupled map lattice systems // Phys. Rev. Lett, 1994, V.72, N.l, P.68-71.

108. Qu Z, Hu G. Spatiotemporally periodic states, periodic windows, and intermittency in coupled-map lattices // Phys. Rev. E, 1994, V.49, N.2, P. 1099-1108.

109. Auerbach D. Controlling extended systems of chaotic elements // Phys. Rev. Lett, 1994, V.72, N.8, P. 1184-1187.

110. Lai Y.C, Grebogi C. Synchronization of spatiotemporal chaotic systems by feedback control // Phys. Rev. E, 1994, V.50, P.1894-1899.

111. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Strelkova G.I., Shabunin A.V. Controlling spatiotemporal chaos in a chain of the coupled logistic maps // IEEE Trans, on Circuits and Systems, 1995, V.42, N.6, P.352-357.

112. Sole R.V., Prida L.M. Controlling chaos in discrete neural networks // Phys. Lett. A, 1995, V.199, P.65-69.

113. Johnson G.A., Locher M., Hunt E.R. Stabilized spatiotemporal waves in a convectively unstable open flow system: Coupled diode resonators // Phys. Rev. E, 1995, V.51, N.3, P.1625-1628.

114. Bleich M.E., Socolar J.E.S. Controlling spatiotemporal dynamics with time-delay feedback//Phys. Rev. E, 1996, V.54, N.l, P. 17-20.

115. Grigoriev R.O., Cross M.C., Shuster H.G. Pinning control of spatiotemporal chaos // Phys. Rev. Lett., 1997, V.79, N.l5, P.2795-2798.

116. Nekorkin V.I., Kazantsev V.B., Velarde M.G. Image transfer in multi-layered assemblies of lattices of bistable oscillators // Phys. Rev. E, 1999, V.59, P.4515-4522.

117. Hale J.K., Lunel S.M.V. Introduction to Functional Differential Equations. N.Y.: Springer, 1993.

118. Kuang Y. Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics. Boston: Academic Press, 1993.

119. Кислов В.Я., Залогин H.H., Мясин E.A. Исследование стохастических автоколебательных процессов в автогенераторах с запаздыванием // Радиотехника и электроника, 1979, Т.24, N.6, С.1118-1130.

120. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Экспериментальное наблюдение стохастических автоколебаний в системе электронный пучок— обратная электромагнитная волна // Письма в ЖЭТФ, 1979, Т.29, В.З, С.180-184.

121. Кислов В.Я. Теоретический анализ шумовых колебаний в электронно-волновых системах // Радиотехника и электроника, 1980, Т.25, N.8, С.1683—1690.

122. Кислов В.Я., Мясин Е.А., Залогин H.H. О нелинейной стохастизации автоколебаний в электронно-волновом генераторе с задержанной обратной связью // Радиотехника и электроника, 1980, Т.25, N.10, С.2160-2168.

123. Кузнецов С.П. Бифуркации удвоения в простой модели распределенной системы // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1982, Т.25, N.11, С. 1364-1368.

124. Кузнецов С.П. Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью (обзор) // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1982, Т.25, N.12, С.1410-1428.

125. Солнцев В.А., Андреевская Т.М. Условия амплитудной модуляции в автогенераторе с запаздыванием // Радиотехника и электроника, 1983, Т.28, N.3, С.561-568.

126. Безручко Б.П., Булгакова JI.B., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Стохастические автоколебания и неустойчивость в лампе обратной волны // Радиотехника и электроника, 1983, Т.28, N.6, С.1136-1139.

127. Калинин В.И., Залогин H.H., Кислов В.Я. Нелинейный резонанс и сто-хастичность в автоколебательной системе с запаздыванием // Радиотехника и электроника, 1983, Т.28, N.10, С.2001-2007.

128. Кац В.А., Трубецков Д.И. Возникновение хаоса при разрушении квазипериодических режимов и переходе через перемежаемость в распределенном генераторе с запаздыванием // Письма в ЖЭТФ, 1984, Т.39, В.З, С.116-119.

129. Кац В.А. Возникновение хаоса и его эволюция в распределенном генераторе с запаздыванием // Радиотехника и электроника, 1985, Т.30, N.2, С.161—176.

130. Кальянов Э.В. Синхронные и стохастические колебания в неавтономном транзисторном генераторе с запаздывающей обратной связью // ЖТФ, 1986, Т.56, N.II, С.2284-2287.

131. Ikeda К., Matsumoto К. High-dimensional chaotic behavior in systems with time-delayed feedback // Physica D, 1987, V.29, P.223-235.

132. Bestehorn M., Grigorieva E.V., Haken H., Kaschenko S.A. Order parameters for class-B lasers with a long time delayed feedback // Physica D, 2000, V.145, N.l-2, P.l 10-129.

133. Ikeda K. Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by a ring cavity system // Opt. Commun., 1979, V.30, P.257-261.

134. Lang R., Kobayashi K. External optical feedback effects on semiconductor injection lasers // IEEE J. Quantum Electron., 1980, V.16, P.347-355.

135. Mackey M.C., Glass L. Oscillations and chaos in physiological control systems // Science, 1977, V.197, P.287-289.

136. Bocharov G.A., Rihan F.A. Numerical modelling in biosciences using delay differential equations // J. Сотр. Appl. Math., 2000, V.125, P.183-199.

137. Glass L., Mackey M.C. From Clocks to Chaos: The Rhythms of Life. Princeton: Princeton University Press, 1988.

138. Landa P.S., Rosenblum M.G. Modified Mackey-Glass model of respiration control //Phys. Rev. E, 1995, V.52, N.l, P.36-39.

139. Ланда П.С. Об одной модели системы управления дыханием // Биофизика, 1996, Т.41, N.2, С.494-501.

140. Ringwood J.V., Malpas S.C. Slow oscillations in blood pressure via a nonlinear feedback model // Am. J. Physiol. Regulatory Integrative Сотр. Physiol., 2001, V.280, R1105-R1115.

141. Рубаник В.П. Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Минск: Изд-во Университетское, 1985.

142. Farmer J.D. Chaotic attractors of an infinite-dimensional dynamical system // Physica D, 1982, V.4, P.366-393.

143. Fowler A.C., Kember G. Delay recognition in chaotic time series // Phys. Lett. A, 1993, V.175, P.402-408.

144. Hegger R., Biinner M.J., Kantz H., Giaquinta A. Identifying and modeling delay feedback systems // Phys. Rev. Lett., 1998, V.81, P.558-561.

145. Zhou C., Lai C.-H. Extracting messages masked by chaotic signals of time-delay systems // Phys. Rev. E, 1999, V.60, P.320-323.

146. Udaltsov V.S., Goedgebuer J.-P., Larger L., Cuenot J.-B., Levy P., Rhodes W.T. Cracking chaos-based encryption systems ruled by nonlinear time delay differential equations // Phys. Lett. A, 2003, V.308, P.54-60.

147. Tian Y.-C., Gao F. Extraction of delay information from chaotic time series based on information entropy // Physica D, 1997, V.108, P. 113-118.

148. Kaplan D.T., Glass L. Coarse-grained embeddings of time series: Random walks, gaussian random process, and deterministic chaos // Physica D, 1993, V.64,P.431-454.

149. Biinner M.J., Popp M., Meyer Th., Kittel A., Rau U., Parisi J. Recovery of scalar time-delay systems from time series // Phys. Lett. A, 1996, V.211, P.345-349.

150. Biinner M.J., Popp M., Meyer Th., Kittel A., Parisi J. Tool to recover scalar time-delay systems from experimental time series // Phys. Rev. E, 1996, V.54, P.3082-3085.

151. Biinner M.J., Meyer Th., Kittel A., Parisi J. Recovery of the time-evolution equation of time-delay systems from time series // Phys. Rev. E, 1997, V.56, P.5083-5089.

152. Biinner M.J., Ciofini M., Giaquinta A., Hegger R., Kantz H., Meucci R., Politi A. Reconstruction of systems with delayed feedback: (I) Theory // Eur. Phys. J. D, 2000, V.10, P.165-176.

153. Biinner M.J., Ciofini M., Giaquinta A., Hegger R., Kantz H., Meucci R., Politi A. Reconstruction of systems with delayed feedback: (II) Application // Eur. Phys. J. D, 2000, V.10, P. 177-187.

154. Cimponeriu L., Rosenblum M., Pikovsky A. Estimation of delay in coupling from time series // Phys. Rev. E, 2004, V.70, 046213.

155. Voss H, Kurths J. Reconstruction of non-linear time delay models from data by the use of optimal transformations // Phys. Lett. A, 1997, V.234, P.336-344.

156. Ellner S.P, Kendall B.E., Wood S.N, McCauley E, Briggs C.J. Inferring mechanism from time-series data: Delay differential equations // Physica D, 1997, V.l 10, P.182—194.

157. Voss H, Kurths J. Reconstruction of nonlinear time-delayed feedback models from optical data // Chaos, Solitons and Fractals, 1999, V.10, P.805-809.

158. Voss H.U, Schwache A, Kurths J, Mitschke F. Equations of motion from chaotic data: A driven optical fiber ring resonator // Phys. Lett. A, 1999, V.256, P.47-54.

159. Horbelt W, Timmer J, Voss H.U. Parameter estimation in nonlinear delayed feedback systems from noisy data // Phys. Lett. A, 2002, V.299, N.5-6, P.513-521.

160. Eurich C.W, Milton J.G. Noise-induced transitions in human postural sway // Phys. Rev. E, 1996, V.54, P.6681-6684.

161. Ohira T, Sawatari R. Delay estimation from noisy time series // Phys. Rev. E, 1997, V.55, P.2077-2080.

162. Mensour B, Longtin A. Synchronization of delay-differential equations with application to private communication // Phys. Lett. A, 1998, V.244, P.59-70.

163. Green P.J, Silverman B.W. Nonparametric Regression and Generalized Linear Models. London: Chapman and Hall, 1994.

164. Bezruchko B.P, Dikanev T.V, Smirnov D.A. Role of transient processes for reconstruction of model equations from time series // Phys. Rev. E, 2001, V.64, 036210.

165. Харкевич А.А. Борьба с помехами. M.: Наука, 1965, 276 с.

166. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 2000, 462 с.

167. Войшвилло Г.В. Усилительные устройства. М.: Радио и связь, 1983, 264 с.

168. Pyragas К. Transmission of signals via synchronization of chaotic time-delay systems // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1998, V.8, N.9, P.1839-1842.

169. Udaltsov V.S., Goedgebuer J.-P., Larger L., Rhodes W.T. Communicating with optical hyperchaos: Information encryption and decryption in delayed nonlinear feedback systems // Phys. Rev. Lett., 2001, V.86, P.1892-1895.

170. Koryukin I.V., Mandel P. Two regimes of synchronization in unidirection-ally coupled semiconductor lasers // Phys. Rev. E, 2002, V.65, 026201.

171. Shahverdiev E.M., Sivaprakasam S., Shore K.A. Parameter mismatches and perfect anticipating synchronization in bidirectionally coupled external cavity laser diodes // Phys. Rev. E, 2002, V.66, 017206.

172. Seidel H., Herzel H. Bifurcations in a nonlinear model of the baroreceptor-cardiac reflex //PhysicaD, 1998, V.115, P. 145-160.

173. Kotani K., Takamasu K., Ashkenazy Y., Stanley H.E., Yamamoto Y. Model for cardiorespiratory synchronization in humans // Phys. Rev. E, 2002, V.65, 051923.

174. Pyragas K. Synchronization of coupled time-delay systems: Analytical estimations //Phys. Rev. E, 1998, V.58, N.3, P.3067-3071.

175. Buric N., Todorovic D. Synchronization of hyperchaotic systems with delayed bidirectional coupling // Phys. Rev. E, 2003, V.68, 066218.

176. Buric N., Vasovic N. Global stability of synchronization between delay-differential systems with generalized diffusive coupling // Chaos, Solitons and Fractals, 2007, V.31, N.2, P.336-342.

177. Pecora L.M., Carroll T.L. Synchronization in chaotic systems // Phys. Rev. Lett., 1990, V.64, N.8, P.821-824.

178. Kocarev L., Halle K.S., Eckert K., Chua L.O., Parlitz U. Experimental demonstration of secure communications via chaotic synchronization // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1992, V.2, N.3, P.709-713.

179. Parlitz U., Chua L.O., Kocarev L., Halle K.S., Shang A. Transmission of digital signals by chaotic synchronization // Int. J. of Bifurcation and Chaos,1992, V.2, N.4, P.973-977.

180. Hayer S., Grebogi C., Ott E. Communication with chaos // Phys. Rev. Lett.,1993, V.70,P.3031-3034.

181. Cuomo K.M., Oppenheim A.V. Circuit implementation of synchronized chaos with applications to communications // Phys. Rev. Lett., 1993, V.71, N.l, P.65-68.

182. Вельский Ю.Л., Дмитриев A.C. Передача информации с помощью детерминированного хаоса // Радиотехника и электроника, 1993, Т.38, N.7, С.1310-1315.

183. Волковский А.Р., Рульков Н.Ф. Синхронный хаотический отклик нелинейной системы передачи информации с хаотической несущей // Письма в ЖТФ, 1993, Т. 19, В.З, С.71-75.

184. Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О. Эксперименты по передаче музыкальных и речевых сигналов с использованием динамического хаоса // Препринт ИРЭ РАН, М., 1994, N.12 (600).

185. Dmitriev A.S., Panas A.I., Starkov S.O. Experiments on speech and music signals transmission using chaos // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1995, V.5, N.4, P. 1249-1254.

186. Hasler M. Engineering chaos for encryption and broadband communication //Phil. Trans. Royal Soc. London A, 1995, V.353, P. 115-126.

187. Дмитриев A.C., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 1997, N.10, С.4-26.

188. Шалфеев В.Д., Осипов Г.В., Козлов А.К., Волковский А.Р. Хаотические колебания — генерация, синхронизация, управление // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 1997, N.10, С.27-49.

189. Pecora L.M., Carroll T.L., Johnson G.A., Mar D.J., Heagy J.F. Fundamentals of synchronization in chaotic systems, concepts, and applications // Chaos, 1997, V.7, N.4, P.520-543.

190. Дмитриев A.C., Кузьмин JI.B., Панас А.И., Старков С.О. Радиосвязь с использованием хаотических сигналов // Препринт ИРЭ РАН, М., 1997, N.1 (615).

191. Шалфеев В.Д., Матросов В.В., Корзинова М.В. Динамический хаос в ансамблях связанных фазовых систем// Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 1998, N.11, С.44-56.

192. Дмитриев А.С., Кузьмин Л.В., Панас А.И., Старков С.О. Эксперименты по передаче информации с использованием хаоса через радиоканал // Радиотехника и электроника, 1998, Т.43, N.9, С.1115-1128.

193. Дмитриев А.С., Кузьмин Л.В, Панас А.И. Схема передача информации на основе синхронного хаотического отклика при наличии фильтрации в канале связи // Радиотехника, 1999, N.4, С.75-80.

194. Кальянов Э.В. Передача информации через радиоканал с использованием маскирующих колебаний // Письма в ЖТФ, 2001, Т.27, В. 16, С. 1-9.

195. Дмитриев А.С., Кяргинский Б.Е., Панас А.И., Старков С.О. Прямохао-тические схемы передачи информации в сверхвысокочастотном диапазоне // Радиотехника и электроника, 2001, Т.46, N.2, С.224-233.

196. Дмитриев А.С., Кяргинский Б.Е., Панас А.И., Пузиков Д.Ю., Старков С.О. Сверхширокополосная прямохаотическая передача в СВЧ-диапазоне // Письма в ЖТФ, 2003, Т.29, В.2, С.70-76.

197. Дмитриев А.С., Клецов А.В., Лактюшкин A.M., Панас А.И., Старков С.О. Сверхширокополосная беспроводная связь на основе динамического хаоса // Радиотехника и электроника, 2006, Т.51, N.10, С. 1193— 1209.

198. Short К.М. Steps toward unmasking secure communications // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1994, V.4, N.4, P.959-977.

199. Short K.M. Unmasking a modulated chaotic communications scheme // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1996, V.6, N.2, P.367-375.

200. Short K.M. Signal extraction from chaotic communications // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1997, V.7, N.7, P. 1579-1597.

201. Kulkarni D.R, Amritkar R.E. Decoding of signal from phase modulated unstable periodic orbit // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2001, V.ll, N.12, P.3133-3136.

202. Pérez G, Cerdeira H.A. Extracting messages masked by chaos // Phys. Rev. Lett, 1995, V.74, N.l 1, P.1970-1973.

203. Zhou C.-S, Chen T.-L. Extracting information masked by chaos and contaminated with noise: Some considerations on the security of communication approaches using chaos // Phys. Lett. A, 1997, V.234, P.429-435.

204. Yang T, Yang L.-B, Yang C.-M. Cryptanalyzing chaotic secure communications using return maps // Phys. Lett. A, 1998, V.245, N.6, P.495-510.

205. Short K.M, Parker A.T. Unmasking a hyperchaotic communication scheme //Phys. Rev. E, 1998, V. 58, N. 1,P. 1159-1162.

206. Parlitz U, Kocarev L. Using surrogate data analysis for unmasking chaotic communication systems // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1997, V.7, N.2, P.407^13.

207. Yang T, Yang L.-B, Yang C.-M. Breaking chaotic secure communication using a spectrogram // Phys. Lett. A, 1998, V.247, N. 1-2, P. 105-111.

208. Yang T, Yang L.-B, Yang C.-M. Application of neural networks to unmasking chaotic secure communication // Physica D, 1998, V.124, N.l-3, P.248-257.

209. Huang X., Xu J., Huang W., Lu Z. Unmasking chaotic mask by a wavelet multiscale decomposition algorithm // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2001, V.11,N.2,P.561-569.

210. Madan R.A. Chua's Circuit: A Paradigm for Chaos. Singapore: World Scientific, 1993.

211. Voss H.U. Anticipating chaotic synchronization // Phys. Rev. E, 2000, V.61, N.5,P.5115-5119.

212. Ahlers V., Parlitz U., Lauterborn W. Hyperchaotic dynamics and synchronization of external-cavity semiconductor lasers // Phys. Rev. E, 1998, V.58, P.7208—7213.

213. Sivaprakasam S., Shore K.A. Demonstration of optical synchronization of chaotic external-cavity laser diodes // Opt. Lett., 1999, V.24, N.7, P.466-468.

214. Fischer I., Liu Y., Davis P. Synchronization of chaotic semiconductor laser dynamics on subnanosecond time scales and its potential for chaos communication // Phys. Rev. A, 2000, V.62, 011801.

215. Parlitz U. Estimating model parameters from time series by autosynchroni-zation // Phys. Rev. Lett., 1996, V.76, P.1232-1235.

216. Maybhate A., Amritkar R.E. Use of synchronization and adaptive control in parameter estimation from a time series // Phys. Rev. E, 1999, V.59, P.284-293.

217. Sakaguchi H. Parameter evaluation from time sequences using chaos synchronization // Phys. Rev. E, 2002, V.65, 027201.

218. Konnur R. Synchronization-based approach for estimating all model parameters of chaotic systems //Phys. Rev. E, 2003, V.67, 027204.

219. Tao C., Zhang Y., Du G., Jiang JJ. Estimating model parameters by chaos synchronization // Phys. Rev. E, 2004, V.69, 036204.

220. Huang D. Synchronization-based estimation of all parameters of chaotic systems from time series //Phys. Rev. E, 2004, V.69, 067201.

221. Alsing P.M., Kovanis V., Gavrielides A., Erneux T. Lang and Kobayashi phase equation // Phys. Rev. A, 1996, V.53, P.4429-4434.

222. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981, 351 с.

223. Pikovsky A., Rosenblum М., Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Science. Cambridge: Cambridge University Press, 2001.

224. Mosekilde E., Maistrenko Yu., Postnov D. Chaotic Synchronization, Applications to Living Systems. Series A, V.42. Singapore: World Scientific, 2002.

225. Glass L. Synchronization and rhythmic processes in physiology // Nature, 2001, V.410, P.277-284.

226. Boccaletti S., Kurths J., Osipov G., Valladares D.L., Zhou C. The synchronization of chaotic systems // Physics Reports, 2002, V.366, P. 1-101.

227. Rulkov N.F., Sushchik M.M., Tsimring L.S., Abarbanel H.D. Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems // Phys. Rev. E, 1995, V.51, P.980-995.

228. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett., 1996, V.76, P.1804—1807.

229. Pyragas K. Weak and strong synchronization of chaos // Phys. Rev. E, 1996, V.54, N.5, P.4508-4511.

230. Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Osipov G.V., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators by external driving // Physica D, 1997, V.104, P.219-238.

231. Rosenblum M., Pikovsky A., Kurths J. From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett., 1997, V.78, P.4193-4196.

232. Hasler M., Maistrenko Yu., Popovych O. Simple example of partial synchronization of chaotic systems // Phys. Rev. E, 1998, V.58, N.5, P.6843-6846.

233. Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. Phase synchronization in regular and chaotic systems // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2000, V.10, P.2291— 2305.

234. Osipov G.V., Hu B., Zhou C., Ivanchenko M.V., Kurths J. Three types of transitions to phase synchronization in coupled chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett., 2003, V.91, 024101.

235. Hramov A.E., Koronovskii A.A. An approach to chaotic synchronization // Chaos, 2004, V.14, N.3, P.603-610.

236. Hramov A.E., Koronovskii A.A. Time scale synchronization of chaotic oscillators // Physica D, 2005, V.206, N.3-4, P.252-264.

237. Hramov A.E., Koronovskii A.A., Kurovskaya M.K., Moskalenko O.I. Synchronization of spectral components and its regularities in chaotic dynamical systems // Phys. Rev. E, 2005, V.71, N.5, 056204.

238. Goldobin D.S., Pikovsky A. Synchronization of self-sustained oscillators by common white noise // Physica A, 2005, V.351, P. 126-132.

239. Tass P., Rosenblum M.G., Weule J., Kurths J., Pikovsky A., Volkmann J., Schnitzler A., Freund H.-J. Detection of n:m phase locking from noisy data: Application to magnetoencephalography // Phys. Rev. Lett., 1998, V.81, P.3291-3294.

240. Meinecke F.C., Ziehe A., Kurths J., Miiller K.-R. Measuring phase synchronization of superimposed signals // Phys. Rev. Lett., 2005, V.94, 084102.

241. Chavez M., Adam C., Navarro V., Boccaletti S., Martinerie J. On the intrinsic time scales involved in synchronization: A data-driven approach // Chaos, 2005, V.15, N.2, 023904.

242. Lai Y.-C., Frei M.G., Osorio I., Huang L. Characterization of synchrony with applications to epileptic brain signals // Phys. Rev. Lett., 2007, V.98, 108102.

243. Schäfer С., Rosenblum M.G., Kurths J., Abel H.-H. Heartbeat synchronized with Ventilation // Nature, 1998, V.392, P.239-240.

244. Schäfer С., Rosenblum M.G., Abel H.-H., Kurths J. Synchronization in the human cardiorespiratory system // Phys. Rev. E, 1999, V.60, P.857-870.

245. Bracic-Lotric M., Stefanovska A. Synchronization and modulation in the human cardiorespiratory system // Physica A, 2000, V.283, P.451—461.

246. Rzeczinski S., Janson N.B., Balanov A.G., McClintock P.V.E. Regions of cardiorespiratory synchronization in humans under paced respiration // Phys. Rev. E, 2002, V.66, 051909.

247. Bartsch R., Kantelhardt J.W., Penzel Т., Havlin S. Experimental evidence for phase synchronization transitions in the human cardiorespiratory system // Phys. Rev. Lett., 2007, V.98, 054102.

248. Stefanovska A., Hozic M. Spatial synchronization in the human cardiovascular system //Prog. Theor. Phys. Suppl., 2000, V.139, P.270-282.

249. Rosenblum M., Pikovsky A., Kurths J., Schäfer С., Tass P. Phase synchronization: From theory to data analysis // In: Handbook of Biological Physics, Eds. Moss F., Gielen S., Amsterdam: Elsevier Science, 2001, V.4, P.279-321.

250. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е. Синхронизация автоколебаний и колебаний, индуцированных шумом // Радиотехника и электроника, 2002, Т.47, N.2, С.133-162.

251. Grossmann A., Morlet J. Decomposition of hardy functions into square integrable wavelets of constant shape // SIAM J. Math. Anal., 1984, V.15, P.723-736.

252. Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992.

253. Короновский A.A., Храмов A.E. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения. Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2002, 216 с.

254. Короновский А.А, Храмов А.Е. Анализ хаотической синхронизации динамических систем с помощью вейвлетного преобразования // Письма в ЖЭТФ, 2004, Т.79, N.7, С.391-395.

255. Adler R. A study of locking phenomena in oscillators // Proc. IRE, 1947, V.35, P.1415-1423.

256. Janson N.B, Balanov A.G, Anishchenko V.S, McClintock P.V.E. Phase synchronization between several interacting processes from univariate data // Phys. Rev. Lett., 2001, V.86, P. 1749-1752.

257. Janson N.B, Balanov A.G, Anishchenko V.S, McClintock P.V.E. Phase relationships between two or more interacting processes from one-dimensional time series. I. Basic theory // Phys. Rev. E, 2002, V.65, 036211.

258. Rossberg A.G, Bartholom6 K, Voss H.U, Timmer J. Phase synchronization from noisy univariate signals // Phys. Rev. Lett, 2004, V.93, 154103.

259. Rossberg A.G, Bartholome K, Timmer J. Data-driven optimal filtering for phase and frequency of noisy oscillations: Application to vortex flow metering // Phys. Rev. E, 2004, V.69, 016216.

260. Jamsek J, Stefanovska A, McClintock P.V.E, Khovanov I.A. Time-phase bispectral analysis // Phys. Rev. E, 2003, V.68, 016201.

261. Jamsek J, Stefanovska A, McClintock P.V.E. Nonlinear cardio-respiratory interactions revealed by time-phase bispectral analysis // Phys. Med. Biol, 2004, V.49, P.4407-4425.

262. Malliani A. Principles of cardiovascular neural regulation in health and disease. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000.

263. Stefanovska A, Bracic M. Physics of the human cardiovascular system // Contemp. Phys, 1999, V.40, P.31-55.

264. Malpas S. Neural influences on cardiovascular variability: Possibilities and pitfalls // Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol, 2002, V.282, H6-H20.

265. DeBoer R.W., Karemaker J.M., Stracker J. Relationships between short-term blood pressure fluctuations and heart variability in resting subjects. II: A simple model // Med. Biol. Eng. Comput., 1985, V.23, N.4, P.359-364.

266. DeBoer R., Karemaker J., Strackee J. Hemodynamic fluctuations and baroreflex sensitivity in humans: A beat-to-beat model // Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol., 1987, V.253, H680-H689.

267. Madwed J.B., Albrecht P., Mark R.G., Cohen R.J. Low-frequency oscillation in arterial pressure and heart-rate: A simple computer model // Am. J. Physiol., 1989, V.256, N.6, P.1573-1579.

268. Ottensen J.T. Modelling the dynamical baroreflex-feedback control // Math, and Comp. Modeling, 2000, V.31, P. 167-173.

269. Ursino M., Magosso E. Short-term autonomic control of cardiovascular function: A mini review with the help of mathematical models // J. of Integrative Neuroscience, 2003, V.2, N.2, P.219-247.

270. McGuiness M., Hong Y., Galletly D., Larsen P. Arnold tongues in human cardiorespiratory systems // Chaos, 2004, V.14, N.l, P. 1-6.

271. Ludwig C. Beiträge zur Kenntnis des Einflusses der Respirationsbewegung auf den Blutlauf im Aortensystem // Arch. Anat. Physiol., 1847, V.13, P.242-302.

272. Dornhorst A.C., Howart P., Leathart G.L. Respiratory variations in blood pressure // Circulation, 1952, V.6, P.553-558.

273. Taylor J.A., Eckberg D.L. Fundamental relations between short-term RR interval and arterial pressure oscillations in humans // Circulation, 1996, V.93, P.1527—1532.

274. Cooke W.H., Hoag J.B., Crossman A.A., Kuusela T.A., Tahvanainen K.U.O., Eckberg D.L. Human responses to upright tilt: A window on central autonomic integration // J. Physiol. (London), 1999, V.517, P.617-628.

275. Keyl C., Dambacher M., Schneider A., Passino C., Wegenhorst U., Bernardi L. Cardiocirculatory coupling during sinusoidal baroreceptor stimulation and fixed-frequency breathing // Clin. Sei., 2000, V.99, P. 113-124.

276. Rosenblum M.G., Kurths J., Pikovsky A., Schäfer C., Tass P., Abel H.-H. Synchronization in noisy systems and cardiorespiratory interaction // IEEE Eng. Med. Biol. Mag., 1998, V.17, P.46-53.

277. Seidel H., Herzel H. Analyzing entrainment of heartbeat and respiration with surrogates // IEEE Eng. Med. Biol. Mag., 1998, V.17, P.54-57.

278. Mrowka R., Patzak A., Rosenblum M.G. Quantitative analysis of cardiorespiratory synchronization in infants // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2000, V. 10, P.2479—2518.

279. Stefanovska A. Cardiorespiratory interactions // Nonlin. Phen. in Compl. Syst., 2002, V.5, P.462-469.

280. Hyndman B.W., Kitney R.I., Sayers B.M. Spontaneous rhythms in physiological control systems //Nature, 1971, V.233, P.339-341.

281. Akselrod S.D., Gordon D., Madwed J.B., Snidman N.C., Shannon D.C., Cohen R.J. Power spectrum analysis of heart rate fluctuations: A quantitative probe of beat-to-beat cardiovascular control // Science, 1981, V.213, P.220-222.

282. Malliani A., Pagani M., Lombardi F., Cerutti S. Cardiovascular neural regulation explored in the frequency domain // Circulation, 1991, V.84, P.482-492.

283. Bernardi L., Leuzzi S., Radaelli A., Passino C., Johnston J.A., Sleight P. Low-frequency spontaneous fluctuations of R-R interval and blood pressure in conscious humans: A baroreceptor or central phenomenon? // Clin. Sei., 1994, V.87, P.649-654.

284. Cevese A, Gulli G, Polati E, Gottin L, Grasso R. Baroreflex and oscillation of heart period at 0.1 Hz studied by alpha-blockade and cross-spectral analysis in healthy humans // J. Physiol. (London), 2001, V.531, P.235-244.

285. Janson N.B, Balanov A.G, Anishchenko V.S, McClintock P.V.E. Phase relationships between two or more interacting processes from one-dimensional time series. II. Application to heart-rate-variability data // Phys. Rev. E, 2002, V.65, 036212.

286. Gabor D. Theory of communication // J. IEE (London), 1946, V.93, P.429-457.

287. Task Force of the European Society of Cardiology and the North American Society of Pacing and Electrophysiology "Heart rate variability: Standards of measurement, physiological interpretation, and clinical use // Circulation, 1996, V.93, P.1043-1065.

288. Kurths J, Voss A., Saparin P, Witt A, Kleiner H.J, Wessel N. Quantitative analysis of heart rate variability // Chaos, 1995, V.5, P.88-94.

289. Mormann F, Lehnertz K, David P, Elger C.E. Mean phase coherence as a measure for phase synchronization and its application to the EEG of epilepsy patients // Physica D, 2000, V.144, P.358-369.

290. Quiroga R.Q, Kraskov A, Kreuz T, Grassberger P. Performance of different synchronization measures in real data: A case study on electroencepha-lographic signals //Phys. Rev. E, 2002, V.65, 041903.

291. Kreuz T, Mormann F, Andrzejak R.G, Kraskov A, Lehnertz K, Grassberger P. Measuring synchronization in coupled model systems: A comparison of different approaches // Physica D, 2007, V.225, N.l, P.29-42.

292. DeShazer D.J, Breban R, Ott E, Roy R. Detecting phase synchronization in a chaotic laser array // Phys. Rev. Lett, 2001, V.87, 044101.

293. Huang N.E, Shen Z, Long S.R, Wu M.C, Shih H.H, Zheng Q„ Yen N.-C, Tung C.C, Liu H.H. The empirical mode decomposition and the Hilbertspectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis // Proc. R. Soc. Lond. A, 1998, V.454, P.903-995.

294. Huang N.E., Wu M.C., Long S.R., Shen S.S.P., Qu W., Gloersen P., Fan K.L. A confidence limit for the empirical mode decomposition and Hilbert spectral analysis //Proc. R. Soc. Lond. A, 2003, V.459, P.2317-2345.

295. Bezruchko B.P., Prokhorov M.D., Seleznev E.P. Multiparameter model of a dissipative nonlinear oscillator in the form of one-dimensional map // Chaos, Solitons and Fractals, 1995, V.5, N.l 1, P.2095-2107.

296. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Особенности устройства пространства параметров двух связанных неавтономных неизохронных осцилляторов // Письма в ЖТФ, 1996, Т.22, В.6, С.61-66.

297. Прохоров М.Д. Виды колебаний диссипативно связанных систем с удвоением периода при сильной связи // Изв. ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 1996, Т.4, N.4,5, С.99-107.

298. Безручко Б.П., Прохоров М.Д. Управление пространственно-временным хаосом в цепочке бистабильных осцилляторов // Письма в ЖТФ, 1999, Т.25, В.12, С.51-57.

299. Bezruchko В.Р., Karavaev A.S., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series // Phys. Rev. E, 2001, V.64, 056216.

300. Караваев A.C., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление моделей скалярных систем с запаздыванием по временным рядам // Письма в ЖТФ, 2001, Т.27, В. 10, С.43-51.

301. Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Extracting information masked by the chaotic signal of a time-delay system // Phys. Rev. E, 2002, V.66, 026215.

302. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Виды колебаний, муль-тистабильноеть и бассейны притяжения аттракторов симметрично связанных систем с удвоением периода // Изв. ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 2002, Т. 10, N.4, С.47-68.

303. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Выделение информационной компоненты хаотического сигнала системы с запаздыванием // Письма в ЖТФ, 2002, Т.28, В. 16, С.37-44.

304. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление уравнений системы с задержкой по экспериментальному временному ряду // Изв. ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 2002, Т. 10, N.1-2, С.52-64.

305. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Gridnev V.I., Bodrov M.B., Bespyatov A.B. Synchronization between main rhythmic processes in the human cardiovascular system //Phys. Rev. E, 2003, V.68, 041913.

306. Bezruchko B.P., Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P. Oscillation types, multistability, and basins of attractors in symmetrically coupled period-doubling systems // Chaos, Solitons and Fractals, 2003, V.15, N.4, P.695-711.

307. Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D., Karavaev A.S., Seleznev Ye.P., Dikanev T.V. Recovery of dynamical models of time-delay systems from time series // Изв. ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 2003, T.l 1, N.3, С.56-66.

308. Bespyatov А.В., Bodrov М.В., Gridnev V.I., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Experimental observation of synchronization between rhythms of cardiovascular system // Nonlin. Phen. in Compl. Syst., 2003, V.6, N.4, P.885-893.

309. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Кодирование и извлечение информации, замаскированной хаотическим сигналом системы с запаздыванием // Радиотехника и электроника, 2004, Т.49, N.9, С. 1098-1104.

310. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Реконструкция уравнений систем с двумя временами запаздывания по временным рядам // Письма в ЖТФ, 2004, Т.ЗО, В.22, С.23-30.

311. Пономаренко В.И., Гриднев В.И., Прохоров М.Д., Беспятов А.Б., Бодров М.Б., Караваев А.С. Синхронизация сердцебиения и ритма регуляции сосудистого тонуса с дыханием // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника, 2004, N.8-9, С.40-51.

312. Прохоров М.Д., Пономаренко В.И., Караваев А.С. Восстановление уравнений систем с запаздыванием под внешним воздействием по временным рядам // Письма в ЖТФ, 2004, Т.ЗО, В.2, С.81-88.

313. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I. Recovery of time-delay systems with two delays from time series // Nonlin. Phen. in Compl. Syst., 2004, V.7, N.4, P.400-404.

314. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Караваев A.C., Безручко Б.П. Определение параметров систем с запаздывающей обратной связью по хаотическим временным реализациям // ЖЭТФ, 2005, Т. 127, В.З,1. C.515-527.

315. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I. Estimation of coupling between time-delay systems from time series // Phys. Rev. E, 2005, V.72, 016210.

316. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Корюкин И.В. Определение параметров полупроводникового лазера с оптической обратной связью по временным рядам // Письма в ЖТФ, 2005, Т.31, В.21, С.79-86.

317. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Karavaev A.S., Bezruchko B.P. Reconstruction of time-delayed feedback systems from time series // Physica

318. D, 2005, V.203, N.3-4, P.209-223.

319. Прохоров М.Д., Бодров М.Б., Пономаренко В.И., Гриднев В.И., Беспя-тов А.Б. Исследование синхронизации между ритмами сердечнососудистой системы человека по последовательности R-R интервалов // Биофизика, 2005, Т.50, В.5, С.914-919.

320. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Определение параметров уравнения Икеды по зашумленному временному ряду // Письма в ЖТФ, 2005, Т.31, В.6, С.73-78.

321. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление уравнений связанных систем с запаздыванием по временным рядам // Письма в ЖТФ,2005, Т.31, В.2, С.41-48.

322. Hramov A.E., Koronovskii A.A., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Detecting synchronization of self-sustained oscillators by external driving with varying frequency // Phys. Rev. E, 2006, V.73, 026208.

323. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Оценка порядка и реконструкция модельного уравнения системы с запаздыванием // Письма в ЖТФ,2006, Т.32, В.17, С.73-80.

324. Короновский А.А., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Храмов А.Е. Изучение синхронизации автоколебаний по унивариантным данным при изменении частоты внешнего воздействия с использованием вейв-летного анализа // Письма в ЖТФ, 2006, Т.32, B.l 1, С.81-88.

325. Hramov A.E, Koronovskii A.A, Ponomarenko V.I, Prokhorov M.D. Detection of synchronization from univariate data using wavelet transform // Phys. Rev. E, 2007, V.75, 056207.

326. Короновский A.A, Пономаренко В.И, Прохоров М.Д, Храмов A.E. Диагностика синхронизации автоколебательных систем при изменении частоты внешнего воздействия с использованием вейвлетного анализа // Радиотехника и электроника, 2007, Т.52, N.5, С.581-592.

327. Короновский А.А, Пономаренко В.И, Прохоров М.Д, Храмов А.Е. Метод исследования синхронизации автоколебаний по унивариантным данным с использованием непрерывного вейвлетного анализа // ЖТФ, 2007, Т.77, В.9, С.6-17. .

328. Prokhorov M.D. Multistable states at strong symmetric coupling of identical period doubling systems // Proceedings of Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA'98), Crans-Montana, Switzerland, 1998, V.3, P.1055-1058.

329. Bezruchko B.P, Prokhorov M.D. Controlling spatiotemporal chaos in a chain of bistable oscillators // Proceedings of 7th Int. Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES'99), Ronne, Denmark, 1999, P.81-84.

330. Караваев A.C, Пономаренко В.И, Прохоров М.Д. Восстановление по временным рядам модельных уравнений систем с запаздыванием //

331. Материалы международной межвузовской конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ», Саратов, 2001, С.84-86.

332. Karavaev A.S., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series // Proceedings of 9th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2001), Delft, The Netherlands, 2001, P. 101-104.

333. Prokhorov M.D., Karavaev A.S., Ponomarenko V.I. Reconstruction of driven and coupled time-delay systems from time series // Proceedings of 12th Int. Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2004), Evora, Portugal, 2004, P.280-283.

334. Безручко Б.П., Бодров М.Б., Диканев T.B., Караваев А.С., Пономаренко