Оценка запаздывания и связи между колебательными системами по временным рядам в задачах радиофизики и биофизики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

ХОРЕВ Владимир Сергеевич

ОЦЕНКА ЗАПАЗДЫВАНИЯ И СВЯЗИ МЕЖДУ КОЛЕБАТЕЛЬНЫМИ СИСТЕМАМИ ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ В ЗАДАЧАХ РАДИОФИЗИКИ И БИОФИЗИКИ

01.04.03 - радиофизика 03.01.02-биофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

13 ИДИ 2015

Саратов 2015

005568664

005568664

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского» на кафедре динамического моделирования и биомедицинской инженерии

Научные руководители:

Пономаренко Владимир Иванович, д.ф.-м.н., доцент; Прохоров Михаил Дмитриевич, д.ф.-м.н, доцент. Официальные оппоненты:

Кащенко Сергей Александрович, д.ф.-м.н., профессор, ФГБОУ ВПО «Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова», первый проректор.

Руннова Анастасия Евгеньевна, к.ф.-м.н., ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.», старший научный сотрудник.

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный университет им. Н.Г. Лобачевского».

Защита состоится «22» июня 2015 года в 15:30 на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.243.01 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Университетская, 40, III корпус, Большая Физическая Аудитория.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке СГУ и на сайте: http://www.sgu.ru/research/dissertation-council/d-212-243-01 /kandidatskaya-dissertaciya-horeva-vladimira

Автореферат разослан «29 » апреля 2015 г.

Ученый секретарь

Аникин Валерий Михайлович

Общая характеристика диссертации

Актуальность темы исследования

Системы с запаздывающей обратной связью чрезвычайно широко распространены в природе и технике. Обычно они моделируются дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом. Такие модели успешно применяются во многих разделах физики, биологии, физиологии и химии. Уравнения с запаздыванием используются, например, для моделирования и описания динамики изменения состава крови1, процессов обработки информации внутри мозга2, колебательных процессов в различных радиофизических системах3, при моделировании оптических систем4'5'6, в биологических моделях, описывающих динамику изменения популяций7'8'9, для моделирования процессов распространения инфекционных заболеваний10'11, роста онкологических образований в организме 12 , в моделях экологических взаимодействий 13 , моделях химических реакций14. Это во многом объясняет высокую популярность уравнений с запаздыванием у исследователей в различных научных дисциплинах, в частности, задачи определения по временным рядам экспериментально наблюдаемых величин наличия, направленности и задержки взаимодействия между источниками сложных сигналов. Изучение нелинейных динамических моделей систем с задержкой позволило продвинуться в понимании сложной динамики многих практически важных систем и процессов. При построении модельных

1 Mackey М. С., Glass L. Oscillations and chaos in physiological control systems, Science. 1977. V. 197. P. 287289.

2 Борисюк Г.Н., Борисюк P.M., Казанович Я.Б.. Иваницкий Г.Р. Модели динамики нейронной активности при обработке информации мозгом — итоги "десятилетия", УФН. 2002. Т. 172. М 10. С. 987-1189

3 Кузнецов С.П. Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью, Изв. Вузов. Радиофизика. 1982. Т. 25. С. 1410-1428.

4 Ikeda К. Multiple valued stationary state and its instability of the transmitted light by a ring cavity system, Opt.Commun. 1979. V. 30. P. 257-261.

5 Lang R„ Kobayashi K. External optical feedback effects on semiconductor injection lasers, IEEE J. Quantum Electron. 1980. V. 16. P. 347-355.

6 Bestehorn M., Grigorieva E.V., Haken H., Kaschenko S.A. Order parameters for class-B lasers with a long time delayed feedback, Physica D, 2000, V.145, P.l 10-129.

7 G. E. Hutchinson, An Introduction to Population Ecology, Yale University Press, New Haven, 1978.

8 Kuang Y. Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics. Boston : Academic Press, 1993.398 р.

9 May R.M. Simple mathematical models with very complicated dynamics, Nature. 1976. V. 261. P. 459-467.

10 Bocharov G. A., Rihan F. A. Numerical modelling in biosciences using delay differential equations, J. Сотр. Appl. Math. 2000. V. 125. P. 183-199.

11 Белых Л.Н., Марчук Г.И. Качественный анализ простейшей математической модели инфекционного заболевания, Математическое моделирование в иммунологии и медицине. Новосибирскск: Наука, 1982. С. 5-26.

12 Н.М. Byrne, The effect of time delays on dynamics of avascular tumor growth, Math. Biosci, 1997.V. 2 P. 83117.

13 Кащенко C.A. Релаксационные колебания в системе с запаздываниями, моделирующей задачу «хищник-жертва», Моделирование и анализ информационных систем, 2013, Т.20, №1, С.52-98.

141.R. Epstein, Delay effects and differential delay equations in chemical kinetics, Intern. Reviews in Physical Chemistry, 1992, V. 11 P. 135-160.

уравнений систем с запаздыванием и исследовании взаимодействия колебательных систем по их временным рядам актуальной задачей является оценка времени задержки этих систем и запаздывающей связи между ними.

Разнообразие специфических ситуаций и сложность решения задачи оценки задержки взаимодействия в характерных для практики условиях нехватки данных, нестационарности временных рядов и наличия шумов привели к разработке большого числа подходов, которые были развиты в рамках теории информации и нелинейной динамики. Для успешного решения конкретных задач анализа связей по экспериментальным рядам требуется знание границ применимости и специфики того или иного подхода.

Задержка зачастую присутствует в фундаментальных физических взаимодействиях, лежащих в основе процессов жизнедеятельности. Согласно современным представлениям, состояние и степень активности подсистем регуляции деятельности сердечно-сосудистой системы являются чувствительным индикатором, отражающим степень развития различных патологий как в сердечно-сосудистой системе, так и в организме в целом15. Вместе с тем, до последнего времени предложенные количественные меры оценки степени активности этих подсистем основывались на простейших методах статистического и спектрального анализа, не учитывая особенностей взаимодействии этих подсистем16. Это можно объяснить сложностью сигналов исследуемых систем, анализ которых требует разработки специализированных методов, основанных на современных методах нелинейной динамики и динамического моделирования.

Целью диссертационной работы является разработка и модернизация методов оценки времени задержки, а также исследование пределов применимости методов определения взаимодействия сложных колебательных систем по временным рядам и приложение этих подходов к анализу физических и физиологических данных. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

• сопоставление на эталонных примерах различных методов, опирающихся на разные подходы к выявлению взаимодействия между колебательными системами;

• исследование на эталонных радиофизических моделях пределов применимости и демонстрация на реальных генераторах работоспособности метода определения слабого взаимодействия между

13 Флейшман А.Н. Медленные колебания гемодинамики. Теория, практическое применение в клинической медицине и профилактике. -Новосибирск: НАУКА РАН, 1999. -264 с.

16 Баевский P.M. и др. Анализ вариабельности сердечного ритма при использовании различных электрокардиографических систем, Вестник аритмологии. 2001. №24. С.1-23.

системами, использующего прогностическую модель фазовой динамики связанных осцилляторов, по коротким зашумленным временным рядам17;

• разработка и модернизация подходов определения задержки в автоколебательных системах;

приложение метода выявления связи по временным рядам, базирующегося на построении прогностической модели фазовой динамики, к анализу сигналов, отражающих динамику процессов регуляции сердечно-сосудистой системы человека.

Научная новизна

1. На эталонных радиофизических примерах проиллюстрированы количественные характеристики оценки времени задержки в связи, полученные с помощью различных методов выявления взаимодействия между колебательными системами (по анализу следования событий во временных рядах, анализу в пространстве состояний и построении прогностической модели фазовой динамики).

2. При однонаправленном воздействии с запаздыванием показана зависимость между коэффициентом связи и точностью определения задержки в связи между колебательными системами, которую необходимо учитывать для обеспечения работоспособности подхода, основанного на построении прогностической модели фазовой динамики.

3. Для определения времени задержки по хаотическим временным рядам систем с запаздывающей обратной связью предложен оригинальный метод, основанный на методе поиска ближайших соседей.

4. Впервые произведена оценка направленности и задержки во взаимодействии процессов вегетативной регуляции в сердечно-сосудистой системе человека, имеющих собственную частоту около 0.1 Гц.

Достоверность полученных результатов обуславливается

воспроизводимостью численных расчётов, их совпадением с теоретическими, а также соответствием результатов экспериментальных исследований и численного анализа.

17 D. Smimov, B. Bezruchko Estimation of interaction strength and direction from short and noisy time series, Phys. Rev. E, 2003, V.68, 046209.

Практическая значимость

1. Критический обзор и результаты сопоставления методов оценки связи имеют методическое значение и могут быть использованы в исследовательской практике и спецкурсах для студентов.

2. Проведенные исследования могут быть использованы для восстановления параметров полупроводникового лазера с оптической обратной связью по временным рядам колебаний интенсивности лазерного излучения.

3. Полученные значения оценок задержки во взаимодействии процессов вегетативной регуляции с частотой 0.1 Гц в сердечно-сосудистой системе человека могут быть использованы для задач медицинской диагностики.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Точная оценка времени задержки в связи между колебательными системами может быть получена даже при больших значениях коэффициента связи с помощью метода, основанного на моделировании фазовой динамики. Увеличение длины ряда и присутствие умеренного динамического шума способствует более точному определению времени задержки в связи между осцилляторами.

2. Время задержки в воздействии системы медленной регуляции сердечного ритма на систему медленной регуляции кровенаполнения микроциркуляторного русла у пациентов, перенёсших инфаркт миокарда, больше, чем у здоровых людей, и уменьшается по мере восстановления функционального состояния сердечно-сосудистой системы.

3. Предложенный метод оценки времени запаздывания, основанный на поиске ближайших соседей векторов состояния временного ряда, позволяет восстановить времена запаздывания в автоколебательных системах различного порядка с задержкой при существенно более высоких уровнях шума, чем другие методы.

Личный вклад соискателя.

Основные результаты диссертации получены лично автором. Планирование и постановка экспериментов осуществлялись совместно с научными руководителями и другими соавторами. В совместных работах автором выполнялись компьютерные расчеты, включая обработку экспериментальных данных. Постановка задач, разработка методов их решения, выбор объектов исследования, объяснение и интерпретация результатов осуществлялись совместно с руководителями и другими соавторами.

Апробация результатов.

Основные результаты диссертации были представлены автором на:

• научных семинарах кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии факультета нано- и биомедицинских технологий СГУ;

• международных школах «Хаотические автоколебания и образование структур» (ХАОС-2007, ХАОС-2013), Саратов, 2007; 2013;

• всероссийских конференциях молодых ученых Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика, г. Саратов, 2007-2014;

• VII международной научно-технической конференции «Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии - ФРЭМЭ 2006», г. Владимир, 2006;

• научных школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых», Саратов, 2006-2011;

• всероссийских научных школах-конференциях «Волновые явления в неоднородных средах», Звенигород, 2008, 2009;

• международной школе-семинаре «StatInfo-2009», Саратов, 2009.

• всероссийских научных школах-семинарах «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине», 2007- 2013

• всероссийской научйой конференции «Нелинейные колебания механических систем», Н. Новгород, 2008;

• научной конференции в рамках всероссийского конкурса инновационных проектов «Живые системы», г. Киров, 2006;

• Международной научной конференции «Nonlinear Dynamics of Deterministic and Stochastic Systems: Unraveling Complexity», г. Саратов, 2014 г;

• студенческих научных конференциях факультета нано- и биомедицинских технологий СГУ, Саратов, 2007-2011.

Соискатель является победителем Молодёжного Научно-Инновационного Конкурса 2013 (УМНИК-2013).

По результатам, изложенным в диссертационной работе, опубликовано 32 печатных работы, включая 5 статей в реферируемых журналах, входящих в перечень, рекомендованный ВАК.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 112 страниц. Список литературы содержит 91 наименование.

Основное содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность выбранной темы, характеризуется степень ее разработанности, определяются цели и задачи диссертационного исследования, осуществляется выбор предмета и объекта исследования, раскрывается научная новизна, определяются

методологические основания исследования, теоретическая и практическая значимость полученных автором результатов, формулируются положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации рассматриваются особенности оценки направления взаимодействия при сильной связи между системами. С помощью метода моделирования фазовой динамики исследована задача выявления по временным рядам значимого взаимодействия двух колебательных систем, а также преимущественного направления и времени задержки в связи для случая сильной связи систем. Рассмотрены модельные системы связанных осцилляторов с различными видами функций связи.

Были рассчитаны значения зависимостей ошибки определения времени задержки в связи от длины ряда и уровня шума при большом значении коэффициента связи. На примерах однонаправленно связанных фазовых осцилляторов

где <р\ и <р2 — фазы осцилляторов, /¡-2 — частоты осцилляторов, к — коэффициент связи между осцилляторами, А — задержка в связи между системами, ^ — белые шумы с нулевым средним, X — коэффициент нелинейности, установлено, что области, в которых ошибка определения времени задержки А мала, расположены в правой верхней части рис. 1, то есть, при высоких значениях уровня шума и длины ряда. Увеличение длины ряда (величины Ь) позволяет более точно определить время запаздывания в связи систем. Кроме того, более точно определить задержку в связи позволяет умеренное увеличение уровня шума (величины среднеквадратичного отклонения шума ст(^)).

На практике, когда анализируются экспериментальные сигналы в случае сильной связи между системами, велика вероятность получения неточной оценки времени задержки в связи и её ошибочного толкования. Однако точная оценка времени задержки в связи между системами может быть получена и при больших значениях коэффициента связи, если

л

(1)

и однонаправленно связанных осцилляторов Ван-дер-Поля

(2)

принимать во внимание зависимости оценки времени задержки от свойств временного ряда. В рассмотренных примерах параметры исследуемых связанных осцилляторов были идентичны за исключением собственных частот. Показано, что негативное влияние на точность оценки величины А оказывает увеличение расстройки частот осцилляторов при слабом уровне шума в случае малой длины ряда.

Рис. 1. Оценки ошибки (в %) определения времени задержки в связи между осцилляторами системы (2) в зависимости от длины ряда и уровня шума.

Во второй главе экспериментально оценена направленность и задержка взаимодействия процессов вегетативной регуляции в сердечнососудистой системе человека, представляющие собой медленные (с частотой около 0.1 Гц) колебания, выявляемые в вариабельности сердечного ритма (ВСР) и кровенаполнении микроциркуляторного русла (МЦР).

В исследование было включено 125 пациентов с острым инфарктом миокарда (ИМ), находившихся на лечении в клинике Саратовского НИИ кардиологии, и 33 здоровых человека без признаков сердечной патологии. Для всех обследуемых была проведена оценка времени запаздывания в связи между 0.1 Гц-колебаниями в ВСР и кровенаполнении МЦР.

На рис. 2 приведены распределения времени задержки между медленными колебаниями в ВСР и МЦР, полученные по ансамблю здоровых людей и пациентов после ИМ с помощью расчёта индекса

фазовой синхронизации для пробного времени запаздывания. Из рисунка видно, что средние значения времен задержки для пациентов и разброс их оценок близки для периодов наблюдения от 3 недель до 1 года. При этом средние значения времени запаздывания имеют величину около 2 с, что несколько больше, чем у здоровых людей. Направление воздействия «сердце —» МЦР» является преимущественным.

10

« 4

^

Ё. 2

ф

ч п

оз и

00

—I-!—

Больные

Зд оровые

о Медиана

X Дисперсия

1 нед. 3 нед. 6 мес. 1 год Срок после перенесенного ИМ

Рис. 2. Распределения времени задержки между медленными колебаниями в ВСР и МЦР для здоровых людей и пациентов на разных сроках после инфаркта миокарда.

Для оценки направленности и задержки взаимодействия 0.1 Гц-колебаний в ВСР и МЦР был также применен метод, основанный на моделировании фазовой динамики. С его помощью установлено, что в течение первой недели после острого ИМ разброс средних значений оценок сил связи в воздействии колебаний кровенаполнения МЦР на ВСР (связь «МЦР —> сердце») достаточно большой, а оценки воздействия со стороны 0.1 Гц-колебаний в ВСР на 0.1 Гц-колебания кровенаполнения МЦР (связь «сердце —+ МЦР») оказываются незначимыми. В последующие периоды наблюдения (через 3 недели, 6 месяцев и 1 год) за пациентами, перенёсшими острый ИМ, разброс оценок уменьшается, а оценки сил связи становятся значимыми. Через 6 месяцев время запаздывания между 0.1 Гц-колебаниями в направлении «сердце —> МЦР» составило 2.5-4.5 с, а к концу первого года наблюдения оно уменьшилось до 1.5-2.5 с.

Показано, что при развитии острого ИМ отмечается значительное разрушение вегетативной регуляции сердечно-сосудистой системы, выраженность которой индивидуальна, что согласуется с данными других работ. При этом в результате развития ИМ нарушается преимущественно связь регуляторных систем по направлению «сердце —► МЦР». Восстановление функционального статуса направления связи «сердце —> МЦР» происходит постепенно, достигая к концу первого года

после острого ИМ величины задержки 1.5-2.5 с, которая, тем не менее, превышает аналогичное время задержки для здоровых лиц (~1 с).

Время запаздывание в связи «МЦР —* сердце» восстанавливается до значений, сопоставимых с таковыми у здоровых лиц (1.5-2.5 с) в течение первых трех недель после развития острого ИМ.

В третьей главе предложен оригинальный метод определения времени задержки по временным рядам систем с запаздывающей обратной связью, основанный на методе ближайших соседей.

Поясним идею метода на примере одного из наиболее широко используемых дифференциальных уравнений первого порядка с одним временем запаздывания:

£х(/) = -х(0+ /(*('(3)

где е — параметр инерционности, г — время запаздывания, /— нелинейная функция.

Поскольку при анализе временных рядов мы всегда имеем дело с переменными, измеренными в дискретные моменты времени, удобно

перейти от дифференциального уравнения (3) к разностному уравнению + + (4)

где А?— малое время, равное интервалу выборки. Уравнение (4) можно переписать в виде

*(/ + А/) = а1х(/) + а2/(*(/-г)), (5)

где а^=1-А(/е , а2 = Аг/гт . Запишем уравнение (5) в виде дискретного отображения:

Х„+1=а1Хп+а2/(*„-*)> (6)

где п = ^Ьл — дискретное время, а с1= т/А? — дискретное время задержки.

Пусть у нас имеется временной ряд {х„}*=1 системы (3) длиной N точек. Введем вектор Х1 = (хпх^) и найдем для него ближайшего соседа— вектор Х] ={х],х]_а), где] Ф /. Существует несколько критериев

выбора ближайшего соседа для заданного вектора, отличающихся выбором метрики. Наиболее часто используемой является Евклидова метрика

Ь(Х„Х]) = ^х,. - х,.)2 + (*,._„ - ХМ)2, (7)

Ближайшим соседом для вектора Х( будет такой вектор X] , для

которого расстояние Ь{ХПХ^ минимально. В общем случае, по

временному ряду находят не одного, а к ближайших соседей для заданного вектора.

Идея предлагаемого метода состоит в том, что ближайшим соседним векторам, содержащим динамическую переменную в моменты времени п и n — d, где п е + 1,7V -1] , будут соответствовать близкие состояния системы в моменты времени п +1 , так как эволюция системы (3) определяется ее текущим состоянием и состоянием в задержанный момент времени. Поскольку время запаздывания нам неизвестно, будем перебирать пробные задержки т из некоторого интервала и для к ближайших соседних векторов каждого вектора Хп = (х„,хп_т) временного ряда оценивать дисперсию сг2п соответствующих им состояний системы в моменты времени п +1.

При ошибочном выборе величины т {тфф дисперсия этих состояний может оказаться большой, так как состояния системы в моменты времени п+1 не будут зависеть от ее состояний в моменты времени п — т. Истинному времени запаздывания d будет соответствовать положение минимума величины

В отличие от большинства других методов предложенный подход можно применять для восстановления времени запаздывания не только систем вида (3), но и систем более общего вида, с нелинейной функцией F, зависящей от обеих переменных x(t) и x(t - г):

x(t) = F(x(t),x(t-T)], (9)

Проиллюстрируем применение метода на временных рядах уравнения Маккея-Гласса:

x(t) = -bx(t)+ ^ ~Т) , (Ю)

которое приводится к виду (3) с е = \/Ь делением на Ь. Параметры системы (10): а = 0.2 , ¿ = 0.1 , с = 10 , г = 300 соответствовали движению на хаотическом аттракторе, шаг выборки точек At = 1, длина ряда N = 10000.

На рис. Ъ,а приведены зависимости дисперсии D от пробного времени запаздывания m при различном количестве к ближайших соседей для вектора Хп = (xri,xn_m). Величина m перебирается из интервала от 1 до 500 с шагом 1. Все зависимости D(m) демонстрируют ярко выраженный абсолютный минимум при m = 300, обеспечивая точное восстановление дискретного времени запаздывания d = г/Д/ = 300.

При слишком частой выборке точек возможна ситуация, когда ближайшими соседями вектора Xi={xnxi_d) окажутся близкие ему по времени вектора Xj={xj,xj_ä) с j = i±p , где р = \,2,...Р , которые мешают оценке времени запаздывания.

0.0010 0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 0.0000

0.0010 0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 0.0000

0 100 200 300 400 500 ' 0 100 200 300 400 500 т т

Рис. 3. Зависимости дисперсии Э от пробного времени запаздывания т при различном количестве к ближайших соседей (а) и при различном количестве / исключаемых из рассмотрения близких по времени векторов (6) для системы Маккея-Гласса в хаотическом режиме.

В таких случаях при поиске ближайших соседей вектора X, ={х,,х{_а) следует исключить из рассмотрения близкие ему по времени вектора Х] = (х], х]1]) в количестве 1 = 2Р.

На рис. 3,6 построены зависимости Б(т) при различном количестве близких по времени векторов /, не учитываемых при поиске ближайших соседей, для случая А: = 10 . Как и на рис. 3,а все графики имеют абсолютный минимум при т = с1 = 300.

Предложенный метод применим к системам высокого порядка с задержкой, системам с несколькими временами запаздывания, связанным системам с задержкой и позволяет определить порядок модельного уравнения системы. Параметры метода могут быть выбраны в широких пределах, а сам метод остается эффективным при высоких уровнях как динамического, так и измерительного шума. Метод применим к системам с задержкой, совершающим хаотические колебания, а также системам с задержкой в периодических режимах, находящимся под действием динамического шума.

В четвертой главе для полупроводникового лазера с оптической обратной связью предложен метод, позволяющий по модельным и экспериментальным временным рядам колебаний интенсивности излучения оценить время запаздывания и различить режимы слабого и сильного хаоса, установление которых зависит от уровня обратной связи.

Эффективность метода продемонстрирована сначала в численном примере на временных рядах уравнений Лэнга-Кобаяши, моделирующих динамику одномодового полупроводникового лазера с оптической обратной связью, успешно использованных для определения уровня обратной связи по форме и амплитуде сигнала18:

18 Усанов Д.А., Скрипаль A.B., Кащавцев Е.О., Калинкин М.Ю. Определение амплитуды нановибраций с помощью полупроводникового лазерного автодина с учетом внешней оптической обратной связи, Нано-и микросистемная техника. 2012. № 9. С. 43-49.

^ = (1 + ia)F(t)E{t) + rjE(t - r0)exp(-/Qr0), %F(» ' (11)

TdT=P~ m "(1+2F(t)) '£(i)'2'

где E — медленно меняющаяся (за период оптических колебаний) комплексная амплитуда электрического поля, F — концентрация неравновесных носителей, время t измеряется в единицах времени жизни фотона в резонаторе тр, Т = ts /тр— отношение времени жизни носителей

г, ко времени жизни фотонов, Р — параметр накачки (превышение порога генерации), г0 — время запаздывания в цепи обратной связи, г; — коэффициент обратной связи, а — фактор неизохронности, D — частота излучения лазера без обратной связи.

График D(m) на рис. 4а, построенный с помощью описанного в третьей главе метода, демонстрируют отчетливый минимум при т=2 не., обеспечивая точное восстановление дискретного времени запаздывания по

I

временным рядам интенсивности излучения / = р " даже в присутствии аддитивного белого шума с нулевым средним и среднеквадратичным отклонением 0.05.

Для различения режимов сильного и слабого хаоса в лазере был предложен следующий метод: ближайшим соседним точкам хм и x;+J+1

поставим в соответствие вектораХ,. = {xi,xi_d) И А'. ^ . — (.V. . Xj+j_d ) исходного

временного ряда и будем рассчитывать характеристику, зависящую от дисперсий точек, соответствующих «незадержанной» компоненте xi+J и

«задержанной» компоненте x:+j_d . Поскольку величины динамических

переменных xj+;+1 зависят от величин «незадержанных» xj+J и

«задержанных» jcf переменных, можно сделать вывод о том, что чем

больше отношение дисперсии «незадержанных» переменных к дисперсии «задержанных» переменных, тем больше уровень обратной связи. Для к ближайших соседей для каждой точки xi+1 временного ряда найдем * к

дисперсии g( = var(x.+._,) и g, =var(xi+ ). Усреднив полученные значения,

найдем средние дисперсии «задержанной» (Ri) и «незадержанной» (R2) компонент по всему ряду:

Or-jf^l'.Aj-W (.2,

Различить режим сильного и слабого хаоса можно по величине к = /1),. Чем больше величина коэффициента обратной связи //, тем больше значение, принимаемое к. По временным рядам системы (11), построенным при различных г/, при наличии аддитивного белого шума с

нулевым средним и среднеквадратичным отклонением 0.05 получены

Л 0.005 0.010 0.015

о, 4.271-Ю"6 3.423-Ю-5 1.276-10'4

о2 6.333-10-' 8.687-Ю'6 5.340-Ю"5

к 0.148 0.251 0.418

По экспериментальным временным рядам интенсивности излучения полупроводникового лазера с оптической обратной связью время задержки тоже удалось восстановить точно, используя предложенный в работе метод (рис. 46). £)(/я) имеет минимум при истинном времени задержки т=2 не. 0.0004 - „ 0.007

С| 0.0003 -

0.0002

<3 0.006

0.005

1 2 3 4 0 1 2 3 4

пробная задержка, не. пробная задержка, не.

Рис. 4. Зависимости дисперсии О от пробного времени запаздывания т, рассчитанные по временному ряду модельной системы Лэнга-Кобаяши при >¡=0.005 с аддитивным шумом (а) и реального полупроводникового лазера с оптической обратной связью (6).

Для различных значений тока накачки (/„) по экспериментальным временным рядам колебаний интенсивности излучения лазера были

/„ 12мА 15м А 20мА

Обратная связь Слабая Сильная Слабая Сильная Слабая Сильная

к 0.45 0.50 0.61 0.65 0.78 0.82

При фиксированном /„ величина к оказывается больше при сильной обратной связи, чем при слабой, то есть предложенный метод позволяет различить по временным рядам лазера режимы слабого и сильного хаоса, установление которых зависит от величины коэффициента обратной связи.

В заключении приведены основные результаты работы, которые заключаются в следующем:

1) Проведено исследование пределов применимости метода определения слабого взаимодействия между системами, использующего прогностическую модель фазовой динамики связанных осцилляторов в случае сильной связи на эталонных радиофизических моделях по коротким зашумленным рядам.

2) Проведена оценка времени запаздывания в связи между 0.1 Гц-колебаниями в вариабельности сердечного ритма и кровенаполнения микроциркуляторного русла у здоровых испытуемых и людей, перенесших инфаркт миокарда.

3) Предложен оригинальный метод определения времени задержки по временным рядам систем с запаздывающей обратной связью, основанный на методе поиска ближайших соседей.

4) Проведена оценка параметров полупроводникового лазера с оптической обратной связью по временным рядам колебаний интенсивности излучения с помощью метода, основанного на методе ближайших соседей.

Список публикаций автора по теме диссертации

1. Прохоров М.Д., Пономаренко В.И., Хорее B.C. Определение времени задержки по временным рядам на основе метода ближайших соседей. // Известия вузов Прикладная нелинейная динамика, 2014. Т. 22, №.1., С. 3-152.

2. Хорее B.C. Оценка направления взаимодействия между модельными системами связанных осцилляторов при сильной связи. // Известия вузов Прикладная нелинейная динамика, 2013. Т. 21, № 2 С. 52-60.

3. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Хорее B.C. Восстановление времени запаздывания по временным рядам с применением метода ближайших соседей. // Письма в ЖТФ, -2013. Т.39, В.15, С.32-39.

4. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.l., Khorev KS. Recovery of delay time from time series based on the nearest neighbor method. // Phys. Lett. A., -2013, V.377, N.43, P.3106-3111.

5. Киселев A.P., Хорее B.C., Гриднее В.И., Прохоров М.Д., Караваев A.C., Посненкоеа О.М., Пономаренко В.И., Безручко Б.П., Шварц В.А. Взаимодействие 0.1 Гц-колебаний в вариабельности ритма сердца и вариабельности кровенаполнения дистального сосудистого русла. // Физиология человека, -2012, Т.38, №.3, С.92-99.

6. Киселев А.Р., Караваев A.C., Гриднее В.И., Посненкоеа О.М., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Хорее B.C., Астахов О.В., Безручко Б.П., Миронов С.А. Динамика синхронизованности подсистем вегетативной регуляции ритма сердца и артериального давления на фоне двухчасовой иммобилизации в горизонтальном положении у здоровых лиц // Бюллетень медицинских Интернет-конференций, 2012, Т.2, №.8, С.604-607.

7. Кульминский Д.Д., Боровкоеа Е.И., Хорее B.C., Миронов С.А. Разработка устройства суточного мониторинга состояния сердечно-сосудистой системы на основе анализа синхронизации ее ритмов // Бюллетень медицинских Интернет-конференций, 2014, Т.4, Ж7, С.962-967

8. Хорее B.C., Кульминский Д.Д., Миронов С.А. Оценка запаздывания и связи между 0,1 Гц ритмами регуляции в сердечно-сосудистой системе // Бюллетень медицинских Интернет-конференций, 2014, Т.4, №.7, С.958-962

9. Кульминский Д.Д., Хорее B.C., Караваев A.C. Портативное устройство для суточного мониторинга синхронизованности ритмов сердечно-сосудистой системы по записям фотоплетизмограммы // Сборник материалов IX Всероссийской конференции молодых ученых «Нанофотоника, наноэлектроника и нелинейная физика», - Саратов, 2014, С. 85-86.

10.Хорее B.C., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Определение параметров лазера с оптической обратной связью по модельным и экспериментальным временным

рядам. // Сборник материалов IX Всероссийской конференции молодых ученых «Нанофотоника, наноэлектроника и нелинейная физика», - Саратов, 2014, С. 197-198.

11 .Хорее B.C., Кульминский Д.Д. Разработка специализированного датчика оценки уровня регуляции сердечно-сосудистой системы и аппаратно-программного комплекса на его основе // материалы ежегодной Всероссийской научной школы-семинара / под ред. проф. Д.А. Усанова. - Саратов, 2013, С. 209-212.

12.Хорее B.C., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Метод оценки времён задержки и порядка модельного уравнения по временным рядам систем с запаздыванием // сборник материалов X Всероссийской научной школы-конференции «Хаотические колебания и образование структур» (ХАОС-2013), - Саратов, -2013, С.42.

13.Хорее B.C. Диагностика взаимодействия систем с задержкой при сильной запаздывающей связи между ними // сборник материалов VIII Всероссийской научной конференции для молодых ученых «Нанофотоника, наноэлектроника и нелинейная физика», - Саратов, 2013, С.249.

14.Хорее B.C. Оценка времени запаздывания по хаотическим временным рядам на основе метода ближайших соседей // сборник материалов VIII Всероссийской научной конференции для молодых ученых «Нанофотоника, наноэлектроника и нелинейная физика», - Саратов, 2013, С.250-252.

15.Хорее B.C., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Оценка времени задержки в связи между временными рядами на модели кардиореспираторной системы // Материалы VII конференции молодых ученых «Нанофотоника, наноэлектроника и нелинейная физика», - Саратов, 2012, С.167-168.

16.Хорее B.C., Пономаренко В.К, Прохоров М.Д., Киселёв А.Р., Гриднев В.И. «Оценка времени задержки в связи между низкочастотными ритмами сердечнососудистой системы» // Сборник материалов Ежегодной Всероссийской научной школы-семинара «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине -2011», - Саратов, 2011, С.60-62.

П.Хорее B.C., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Киселёв А.Р., Гриднев В.И. Исследование связи между ритмами сердечно-сосудистой системы в норме и при патологии // Материалы VI конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика», - Саратов, 2011, С.170-171.

18.Хорее B.C. Развитие методов анализа взаимодействия низкочастотных ритмов сердечно-сосудистой системы человека // Сборник материалов научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2010», - Саратов, 2010, С. 120-122.

19.Хорее B.C., Бодров М.Б., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. «Синхронизации и направленность взаимодействия между дыханием и ритмами с частотой 0.1 Гц в сердечно-сосудистой системе человека» // Сборник материалов Ежегодной Всероссийской научной школы «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2009», - Саратов, 2009, С. 115-117.

20.Хорее B.C., Караваев А.С., Киселёв А.Р., Гриднев B.C. Исследование направления связи между ритмами сердечно-сосудистой системы человека // Материалы Международной школы-семинара «StatInfo-2009», - Саратов, 2009, С. 182-185.

21 .Хорее B.C., Бодров М.Б., Сысоев И.В. Исследование направления и синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы человека // Материалы IV Конференции молодых учёных «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика», - Саратов, 2009, С. 142-143.

22.Хорее B.C., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Оценка запаздывания и направления связи между низкочастотными колебаниями сердечного ритма и

кровяного давления человека // Материалы XII Всероссийской школы семинара «Волновые явления в неоднородных средах», - Звенигород, -2009, С. 25-26.

23.Хорее B.C. Исследование взаимодействия низкочастотных ритмов сердечнососудистой системы в норме и при патологиях // Сборник материалов научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2009», -Саратов, 2009, С. 48-51.

24.Хорее B.C., Бодров М.Б., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Синхронизация и направленность взаимодействия между дыханием и ритмами с частотой 0.1 Гц в сердечно-сосудистой системе человека // Материалы XI Всероссийской школы семинара «Волновые явления в неоднородных средах», - Звенигород, 2008, С. 117-118.

25.Хорее B.C., Диканев Т.В., Смирнов Д.А., Безручко Б.П. Запаздывающая связь между нелинейными осцилляторами: возможности оценки времени задержки по временным рядам // Сборник трудов VIII Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем», т. 1., - Нижний Новгород, 2008 г. С. 339-340.

26.Хорее B.C., Смирнов Д.А., Безручко Б.П. Оценка времени запаздывания в однонаправленной связи по короткому временному ряду // тезисы Международной школы-конференции «ХАОС-2007», - Саратов, 2007. С. 82.

21. Хорее B.C., Бодров М.Б., Смирнов Д. А. Выявление запаздывающей однонаправленной связи между двумя фазовыми осцилляторами по короткому временному ряду // Материалы II конференции молодых учёных «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика», - Саратов, 2007. С. 114-115.

28. Караваев A.C., Агапова М.Г., Сидак Е.В., Хорее B.C. Исследование фазовой синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы человека // тезисы доклада Федеральной школы-конференции по инновационному малому предпринимательству в приоритетных направлениях науки и высоких технологий, - Москва.-2006.-С.70.

29. Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Бодров М.Б., Караваев A.C., Хорее B.C. Синхронизация дыхания и процесса с частотой 0,1 Гц в сердечнососудистой системе человека // тезисы VII международной научно-технической конференции «Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии - ФРЭМЭ 2006», - Владимир, 2006, С. 167-170.

30 .Караваев A.C., Хорее B.C. «Использование суррогатных данных для

тестирования метода оценки уровня фазовой синхронизации» // Материалы I конференции молодых учёных «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика», - Саратов, 2006,-С.62-63.

31 .Хорее B.C., Караваев A.C. «Использование суррогатных данных при

исследовании синхронизованности систем по экспериментальным данным» // Сборник материалов научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2006», - Саратов, 2006. С. 212-215.

32.Караваев A.C., Агапова М.Г., Сидак Е.В., Хорее B.C. «Исследование фазовой синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы человека: разработка аппаратно-программного комплекса» // Сборник докладов Всероссийского конкурса инновационных проектов «Живые системы», - Киров, 2006, - С. 55-59.

Подписано в печать 16.04.2015 Формат 60><84 1/16 Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 120. Заказ № 58-Т.

Типография Саратовского университета. 410012, Саратов, Б. Казачья, 112а. Тел.: (8452) 27-33-85