Параметрические генераторы хаотических колебаний с аттракторами типа Смейла-Вильямса тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Лл

Кузнецов Алексей Сергеевич

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ С АТТРАКТОРАМИ ТИПА СМЕЙЛА-ВИЛЬЯМСА

01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2013

г 1 ноя 2013

005539161

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского» на базовой кафедре динамических систем факультета нелинейных процессов

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

доцент Исаева Ольга Борисовна, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского», ФГБУН «Институт радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова Российской академии наук», старший научный сотрудник

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Полежаев Андрей Александрович, ФГБУН «Физический институт им. П.Н. Лебедева» Российской академии наук, заведующий сектором теоретических проблем биофизики

кандидат физико-математических наук Балякин Артем Александрович, Федеральное государственное бюджетное учреждение Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", начальник отдела научно-технических программ и проектов Департамента информационно-аналитического обеспечения.

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный

технический университет им. Гагарина Ю.А.»

Защита состоится 12 декабря 2013 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д212.243.01 по специальности 01.04.03 - радиофизика на базе ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского» по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, III корпус, ауд. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке СГУ им. В.А. Артисевич.

Автореферат разослан 11 ноября 2013 г.

Ученый секретарь I

диссертационного совета, ших Аникин Валерий Михайлович

Актуальность темы исследования

Как известно, предметом радиофизики является изучение общих закономерностей генерации, передачи, приема, анализа колебаний и волн различной физической природы и разных частотных диапазонов, а также разработка их приложений. В частности, сюда относится рассмотрение физических основ генерации, усиления и преобразования колебаний и волн, процессов распространения и трансформации волн в нелинейных средах, исследование нелинейной динамики, пространственно-временного хаоса и самоорганизации в неравновесных системах.

Теория хаоса и нелинейная динамика - относительно новое направление современной науки. На протяжении нескольких последних десятилетий многие научные группы занимаются исследованиями в данной области, так как это один из наиболее интересных, перспективных, и активно развивающихся разделов фундаментальной науки.1 Также нелинейная динамика и теория хаоса представляет интерес с практической точки зрения. В этой связи можно упомянуть такие возможные технические приложения, как шифрование сигналов, хранение и передача информации, а также фундаментальные проблемы, природа которых до конца пока не раскрыта, например, в гидродинамике, нейродинамике, биологии и многих других важнейших областях. Принципы нелинейной динамики применимы также в построении социальных, экономических, статистических моделей. Методы и инструменты нелинейной динамики сейчас подвергаются активному осмыслению, и ведется активный поиск возможных приложений.

В последнее время одним из направлений работы является создание искусственных систем с хаотической динамикой, которая обусловлена присутствием однородно гиперболических аттракторов, таких как аттрактор Смейла - Вильямса в фазовом пространстве. Отправной точкой послужила идея использовать попеременное возбуждение пары автоколебательных элементов, передающих возбуждение друг другу с тем, чтобы за полный цикл передачи возбуждения, угловая переменная (в роли которой может выступать фаза колебаний) претерпела преобразование, описываемое растягивающим отображением окружности.2 Такие системы представляют интерес в первую очередь потому, что они характеризуются свойством структурной устойчивости, т.е. для них хаотический режим нечувствителен по отношению к изменению параметров системы и составляющих ее элементов. В теории колебаний и волн именно структурно устойчивые системы считаются предметом первоочередного анализа и наиболее важными для практики. Большинство известных систем с хаотической динамикой структурной устойчивостью не обладают.

1 Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем, изд-во Сарат. ун-та, 1999; Глас Л., Мэки М. От часов к хаосу. М., Мир, 1991; Дмитриев A.C., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи, М., Физматлит, 2002; Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны, М„ Физматлит, 2010; Рабинович М.И., Трубецков Д.И., Введение в теорию колебаний и волн, М., Наука, 1984; Спротт Дж.К., Элегантный хаос. М.- Ижевск, Инст. компьют. исслед., 2012.

2 S.P. Kuznetsov, Phys. Rev. Lett., 95, 2005,144101; S.P.Kuznetsov, A.S.Pikovsky, Physica D, 232, 2007, 87.

валась бы грубая хаотическая динамика, обусловленная присутствием в фазовом пространстве аттракторов типа Смейла — Вильямса.

В качестве конкретных задач ставились следующие.

1) Построение и исследование модели двух нелинейных осцилляторов с параметрической связью, в которой благодаря модуляции накачки и уровня диссипации реализовался бы механизм удвоения фазы колебаний, и рассмотрение двух вариантов генераторов хаоса на этой основе, с ограничением параметрической неустойчивости за счет нелинейной диссипации и за счет истощения накачки.

2) Построение и исследование модели параметрического генератора, в котором роль угловой координаты на аттракторе Смейла - Вильямса играет переменная, отвечающая за распределение амплитуд между двумя подсистемами.

3) Построение и исследование схемы параметрического генератора хаоса, использующего запаздывающую обратную связь.

4) Модификации задачи о параметрическом возбуждении струны, в которой возникал бы аттрактор типа Смейла - Вильямса, вложенный в бесконечномерное фазовое пространство распределенной системы, и проведение численного моделирования сложной пространственно-временной динамики в этой системе.

Научная новизна

В работе впервые представлено исследование проблемы реализации грубого, структурно устойчивого хаоса для множества систем с параметрическим возбуждением, с демонстрацией соответствующих режимов путем численного моделирования.

Введена в рассмотрение и исследована в численных расчетах схема параметрического генератора гиперболического хаоса на основе двух нелинейных осцилляторов с модуляцией накачки и уровня диссипации с ограничением параметрической неустойчивости за счет нелинейной диссипации и за счет истощения накачки.

Предложена и изучена схема параметрического генератора, в котором для реализации аттрактора Смейла - Вильямса реализована предложенная в работе идея растягивающего отображения для угловой переменной, управляющей распределением амплитуд двух подсистем.

Введена в рассмотрение и исследована модельная система, в которой аттрактор типа Смейла - Вильямса реализуется благодаря запаздывающей обратной связи через элемент с квадратичной нелинейностью между двумя параметрически связанными осцилляторами с модулированной накачкой.

7 О.В. Ьаеуа, в.Р. Кип^оу, Е. МоэеЫЫе, РЬув. Яеу. Е, 84, 2011, 016228.

Впервые предложена модификация опыта Мельде с параметрически возбуждаемой струной, где благодаря модулированной накачке, нелинейности и пространственной неоднородности удается реализовать и продемонстрировать в численных расчетах присутствие аттрактора типа соленоида Смейла - Виль-ямса, вложенного в фазовое пространство распределенной системы.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость работы определяется тем, что указан определенный класс систем, использующих принцип параметрического возбуждения колебаний, в которых реализуется грубый, структурно устойчивый хаос. Они представляют собой практическое осуществление объектов теории гиперболических динамических систем, хорошо развитой в математическом плане, но не имевшей до последнего времени реальных приложений. Практическая значимость работы определяется тем, что она открывает возможность создания параметрических генераторов хаоса, обладающих структурной устойчивостью, т.е. нечувствительностью к изменению параметров и характеристик систем и их элементов, что является принципиальным преимуществом с точки зрения возможных приложений хаоса.

Методология и методы исследования

В работе использованы методы и подходы, развитые в теории колебаний и волн. Для конструирования схем с гиперболическим хаосом привлечены принципы радиофизики и теории колебаний, включая модуляцию параметров, введение дополнительных обратных связей, принцип параметрического возбуждения. В качестве математических моделей использованы неавтономные нелинейные дифференциальные уравнения, уравнения с запаздыванием, уравнения в частных производных. Для численного решения уравнений использованы разработанные в литературе методы, для которых обоснованы сходимость и устойчивость (метод Рунге-Кутты для обыкновенных дифференциальных уравнений и его обобщение на уравнения с запаздыванием, схема «крест», для уравнений в частных производных). Применены методы компьютерного исследования хаотической динамики, в том числе построение фазовых портретов аттракторов и расчеты показателей Ляпунова.

Положения, выносимые на защиту

1) Грубый гиперболический хаос, обусловленный аттрактором Смейла — Вильямса в отображении Пуанкаре, осуществим в системе двух параметрически связанных нелинейных осцилляторов, частоты которых различаются вдвое, при подходящей модуляции накачки и параметров диссипации, когда ограничение параметрической неустойчивости определяется нелинейной диссипацией или истощением накачки.

2) Хаотическая амплитудная динамика, связанная с присутствием аттрактора типа Смейла — Вильямса, реализуема в параметрически возбуждаемой системе, где роль угловой переменной, претерпевающей растяги-

вающее отображение, играет величина, отвечающая за распределение амплитуд между двумя осцилляторами.

3) Параметрический генератор грубого хаоса можно построить на основе классического параметрического генератора, составленного из двух осцилляторов с различающимися вдвое рабочими частотами, введением периодической модуляции накачки и добавлением дополнительной цепи запаздывающей обратной связи, содержащей квадратичный нелинейный элемент.

4) Гиперболический хаос, соответствующий аттрактору типа Смейла -Вильямса, вложенному в бесконечномерное фазовое пространство распределенной системы, возникает в модифицированной задаче о параметрическом возбуждении струны с диссипацией, характеризуемой кубической нелинейностью, при наличии накачки попеременно на различающихся в три раза частотах и пространственной неоднородности.

Достоверность результатов работы определяется постановкой задач на базе строгих концепций математической теории динамических систем, применением апробированных в радиофизике подходов к конструированию схем с параметрическим возбуждением, соответствием качественного физического описания и компьютерного анализа сложной динамики, использованием схем численного решения уравнений, обеспечивающих аппроксимацию и устойчивость при тестированном надлежащим образом выборе шагов интегрирования.

Личный вклад соискателя. Все включенные в диссертацию результаты получены лично автором, осуществлявшим выработку методик решения задач, программирование и проведение численных расчетов. Постановка задач и интерпретация результатов выполнялись совместно с научным руководителем и другими соавторами совместных опубликованных работ.

Публикации и апробация

Основные результаты диссертации были представлены докладами на X международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2010 г.), XVI научной школе «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2012 г.), на IV, VI, VII и VIII Всероссийских конференциях молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2009, 2011-2013 гг.), на ежегодных научных школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (2009-2011 гг.), а также на научных семинарах базовой кафедры динамических систем СГУ.

Частично результаты диссертации получены в процессе выполнения работ по грантам РФФИ № 12-02-31342, 12-02-00541 и гранту Президента РФ для молодых ученых МК-905.2010.2.

По результатам диссертации опубликовано 12 работ [1-12], из них статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК - 5, статей в сборниках и тезисов докладов - 7.

ловую координату 9, характеризующую в каждый момент времени распределение энергии между осцилляторами 1 и 2.

Каждая из двух подсистем, из которых построена схема, состоит из трех осцилляторов, один из которых является осциллятором накачки. Осцилляторы накачки возбуждаются попеременно от общего источника, параметрически раскачивая осцилляторы своей подсистемы. Взаимодействие подсистем происходит также попеременно, с нелинейным преобразованием и трансформацией амплитуды колебаний, динамика которой оказывается хаотической.

В первом варианте системы угловая переменная претерпевает утроение только при передаче возбуждения от второй подсистемы к первой (рис.2а). Динамика системы описывается шестью уравнениями в терминах медленных амплитуд:

= - щ + £(.\ \ Г -з| ь21-)б„

а2 = а"2а3 - уа2 + Ъ2 |2 -31 6, |2 , а3=-а; - а; - уа3 + <(/),

¿, = Ъ\Ъ3 — уЬ1 + ая,,

4=ь\ъ3 -уь,+ш2,

Ъ3 = -Ь; - Ъ\ - уа3 + кф + Т),

где величины а12 3 и Ь12 3 относятся к осцилляторам первой и второй подсистем, параметр к характеризует интенсивность накачки, у - параметр затухания, Т - полный период функционирования системы, е - параметр, отвечающий за передачу сигнала от одной подсистемы к другой с преобразованием на кубической нелинейности.

Во втором варианте системы преобразование амплитуд с утроением угловой переменной на нелинейности происходит при передаче возбуждения как от первой подсистемы ко второй, так и в обратном направлении. Таким образом, величина 9, отвечающая за распределение амплитуд между осцилляторами, претерпевает девятикратное преобразование на каждом полном периоде функционирования системы (рис.2б). Уравнения имеют вид

«1 = «1 «з " У«1 + е(1 ¿1 Р -31Ь212 , Ь, = Ь;Ь3 - уЬ, + £-(| а, |2 -3 | а2 |2 )а,,

а2 = а2аъ - уа2 + е(| Ъ2|2 -31 6, |2 )Ъ2, Ъ2 = Ъ\Ъъ -уЬ2+£(\аг |2 -3 | а, |2 )а2, (3)

¿3 = ~а\ ~а\- У«з + 4 = - К -уЬз + + Т)

где >гф) = 1, О О <772, уф) = 0, Т/2<1<Т,и ф + Т) = ф).

В фазовом пространстве системы присутствует аттрактор типа Смейла -Вильямса, который характеризуется растяжением по одному из направлений и сжатием по остальным, в конкретном случае растяжение происходит по угловой координате: втрое в первой системе и в девять раз - во второй.

ФГБОУ ВПО «САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО»

На правах рукописи

04201 451 445

Кузнецов Алексей Сергеевич

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ С АТТРАКТОРАМИ ТИПА СМЕЙЛА-ВИЛЬЯМСА

01.04.03 - Радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: к.ф.-м.н., доцент Исаева О.Б.

Саратов 2013

Оглавление

Введение....................................................................................5

Глава 1. Параметрические генераторы хаоса на основе двух связанных осцилляторов..............................................................................16

1.1. Введение..............................................................................16

1.2. Параметрический генератор хаоса на основе на основе связанных осцилляторов с нелинейной диссипацией..................................... 19

1.2.1, Основные уравнения и принцип функционирования модели.......19

1.2.2. Численное исследование хаотической динамики.....................22

1.2.3, Анализ системы на основе связанных осцилляторов с нелинейной диссипацией методом медленно меняющихся комплексных амплитуд 27

1.3. Генератор хаоса на основе параметрических осцилляторов с насыщением

за счет истощения накачки.........................................................34

1.3.1. Основные уравнения модели параметрического генератора с насыщением за счет истощения накачки.................................34

1.3.2. Численное исследование модели с насыщением за счет истощения накачки............................................................................37

1.3.3. Анализ системы с насыщением за счет истощения накачки методом медленно меняющихся комплексных амплитуд........................ 42

1.4. Выводы к главе 1.....................................................................45

Глава 2. Параметрические генераторы с хаотической амплитудной

динамикой, отвечающей аттракторам типа Смейла-Вильямса..................47

2.1. Введение.............................................................................. 47

2.2. Амплитудные уравнения параметрического генератора хаоса............49

2.2.1. Идея угловой переменной и амплитудные уравнения для параметрических осцилляторов с общей накачкой.....................49

2.2.2. Модель с утроением угловой переменной.............................. 51

2.2.3. Модель с девятикратным изменением угловой переменной.........55

2.3. Модели на основе осцилляторов с параметрическим возбуждением 59 2.3.1. Модель с утроением угловой переменной.............................. 59

2.3.3. Модель с девятикратным изменением угловой переменной.........65

2.4. Выводы к главе 2.....................................................................70

Глава 3. Параметрический генератор грубого хаоса с запаздывающей обратной связью и модуляцией накачки.............................................71

3.1. Введение.............................................................................. 71

3.2. Модель, принцип действия и основные уравнения...........................72

3.3. Хаотическая динамика системы. Численное моделирование...............77

3.4. Выводы к главе 3.....................................................................86

Глава 4. Гиперболический хаос при параметрических колебаниях струны.. .87

4.1. Введение.............................................................................. 87

4.2. Параметрические колебания струны: опыт Мельде........................88

4.3. Хаос при параметрических колебаниях неоднородной струны с модуляцией накачки и нелинейной диссипацией. Кольцевая система..,.90

4.3.1. Основные уравнения.........................................................90

4.3.2. Методы численного решения уравнения струны и анализ результатов..................................................................... 93

4.3.3. Наблюдение аттрактора типа Смейла - Вильямса при параметрических колебаниях струны..................................... 94

4.4. Хаос при параметрических колебаниях неоднородной струны с модуляцией накачки и нелинейной диссипацией. Система с фиксированными концами...................................................... 100

4.4.1. Основная модель............................................................100

4.4.2. Наблюдение хаотической динамики при параметрических колебаниях струны с фиксированными концами......................101

4.5. Выводы к главе 4.................................................................. 102

Заключение.............................................................................. 106

Благодарности........................................................................... 108

Список литературы..................................................................... 109

Публикации по теме диссертации................................................... 114

Введение

Актуальность темы исследования

Как известно, предметом радиофизики является изучение общих закономерностей генерации, передачи, приема, анализа колебаний и волн различной физической природы и разных частотных диапазонов, а также разработка их приложений. В частности, сюда относится рассмотрение физических основ генерации, усиления и преобразования колебаний и волн, процессов распространения и трансформации волн в нелинейных средах, исследование нелинейной динамики, пространственно-временного хаоса и самоорганизации в неравновесных системах.

Теория хаоса и нелинейная динамика - относительно новое направление современной науки. На протяжении нескольких последних десятилетий многие научные группы занимаются исследованиями в данной области, так как это один из наиболее интересных, перспективных, и активно развивающихся разделов фундаментальной науки [1-10]. Также нелинейная динамика и теория хаоса представляет интерес с практической точки зрения. В этой связи можно упомянуть такие возможные технические приложения, как шифрование сигналов, генерация случайных чисел, хранение и передача информации, шумовая локация [11-14], а также фундаментальные проблемы, природа которых до конца пока не раскрыта, например, в гидродинамике, нейродинамике, биологии и многих других важнейших областях. Принципы нелинейной динамики применимы также в построении социальных, экономических, статистических моделей. Методы и инструменты нелинейной динамики сейчас подвергаются активному осмыслению, и ведется активный поиск возможных приложений.

В последнее время одним из направлений работы является создание искусственных систем с хаотической динамикой, которая обусловлена присутствием однородно гиперболических аттракторов, таких как аттрактор Смейла - Вильямса [15-21] в фазовом пространстве [20-27]. Отправной

точкой послужила идея использовать попеременное возбуждение пары автоколебательных элементов, передающих возбуждение друг другу с тем, чтобы за полный цикл передачи возбуждения угловая переменная (в роли которой может выступать фаза колебаний) претерпела преобразование, описываемое растягивающим отображением окружности. Такие системы представляют интерес в первую очередь потому, что они характеризуются свойством структурной устойчивости, т.е. в них хаотический режим нечувствителен по отношению к изменению параметров системы и составляющих ее элементов. В теории колебаний и волн именно структурно устойчивые системы считаются предметом первоочередного анализа и наиболее важными для практики. Большинство известных систем с хаотической динамикой структурной устойчивостью не обладают.

В качестве основы для построения дальнейших примеров систем со структурно устойчивыми гиперболическими аттракторами представляется естественным обратиться к классу систем, функционирование которых основано на принципе параметрического возбуждения, относительно просто реализуемом и давно применяющимся на практике в оптике, электронике, акустике [28-38]. В данном контексте представляется актуальной задача о построении и исследовании систем с хаотической динамикой на аттракторе типа Смейла - Вильямса, основанных на принципе параметрического возбуждения.

Степень разработанности темы исследования

До последнего времени примеры систем с гиперболическим хаосом ограничивались абстрактными математическими конструкциями (соленоид Смейла - Вильямса, аттрактор Плыкина, БА-аттрактор Смейла) [15-19]. Задача разработки подходов к построению физических систем с гиперболическими хаотическими аттракторами с привлечением характерных для радиофизики методических приемов и понятий (нелинейные осцилляторы, автоколебания, обратная связь) в конструктивном ключе была поставлена лишь сравнительно недавно, но исследования в этом направлении

уже привели к появлению достаточно большого числа примеров [20-27]. Это схемы на основе попеременно возбуждающихся осцилляторов, систем с запаздыванием, систем с импульсными толчками и т.д.

Один из перспективных подходов к созданию систем со структурно устойчивым гиперболическим хаосом в радиофизике может основываться на использовании принципа параметрического возбуждения колебаний. До выполнения настоящей диссертационной работы был указан и исследован путем численного моделирования единственный пример такого рода [39]. А именно, аттрактор типа Смейла - Вильямса был реализован в системе двух попеременно возбуждающихся за счет модуляции накачки параметрических генераторов, передающих возбуждение друг другу с удвоением фазовой переменной на каждом этапе. Данный подход, однако, с определенностью заслуживает гораздо более широкой проработки, поскольку параметрическое возбуждение нелинейных систем широко известно и нашло многочисленные применения в электронике, механике, акустике и других областях [28-38]. При этом соответствующие схемы зачастую оказываются более простыми для реализации в сравнении с альтернативными подходами к генерации и преобразованию колебаний и волн. Цели и задачи работы

Целью диссертационной работы является разработка и численное исследование новых примеров систем, допускающих физическую реализацию, на основе принципа параметрического возбуждения колебаний, в которых реализовалась бы грубая хаотическая динамика, обусловленная присутствием в фазовом пространстве аттракторов типа Смейла - Вильямса.

В качестве конкретных задач ставились следующие.

1) Построение и исследование модели двух нелинейных осцилляторов с параметрической связью, в которой благодаря модуляции накачки и уровня диссипации реализовался бы механизм удвоения фазы колебаний, и рассмотрение двух вариантов генераторов хаоса на этой

основе, с ограничением параметрической неустойчивости за счет нелинейной диссипации и за счет истощения накачки.

2) Построение и исследование модели параметрического генератора, в котором роль угловой координаты на аттракторе Смейла - Вильямса играет переменная, отвечающая за распределение амплитуд между двумя подсистемами.

3) Построение и исследование схемы параметрического генератора хаоса, использующего запаздывающую обратную связь.

4) Модификация задачи о параметрическом возбуждении струны, в которой возникал бы аттрактор типа Смейла - Вильямса, вложенный в бесконечномерное фазовое пространство распределенной системы, и проведение численного моделирования сложной пространственно-временной динамики в этой системе.

Научная новизна

В работе впервые представлено исследование проблемы реализации грубого, структурно устойчивого хаоса для множества систем с параметрическим возбуждением, с демонстрацией соответствующих режимов путем численного моделирования.

Введена в рассмотрение и исследована в численных расчетах схема параметрического генератора гиперболического хаоса на основе двух нелинейных осцилляторов с модуляцией накачки и уровня диссипации с ограничением параметрической неустойчивости за счет нелинейной диссипации и за счет истощения накачки.

Предложена и изучена схема параметрического генератора, в котором для реализации аттрактора Смейла - Вильямса реализована предложенная в работе [40] идея растягивающего отображения для угловой переменной, управляющей распределением амплитуд двух подсистем.

Введена в рассмотрение и исследована модельная система, в которой аттрактор типа Смейла - Вильямса реализуется благодаря запаздывающей обратной связи через элемент с квадратичной нелинейностью между двумя параметрически связанными осцилляторами с модулированной накачкой.

Впервые предложена модификация опыта Мельде с параметрически возбуждаемой струной, где благодаря модулированной накачке, нелинейности и пространственной неоднородности удается реализовать и продемонстрировать в численных расчетах присутствие аттрактора типа соленоида Смейла - Вильямса, вложенного в фазовое пространство распределенной системы.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость работы определяется тем, что указан определенный класс систем, использующих принцип параметрического возбуждения колебаний, в которых реализуется грубый, структурно устойчивый хаос. Они представляют собой практическое осуществление объектов теории гиперболических динамических систем, хорошо развитой в математическом плане, но не имевшей до последнего времени реальных приложений. Практическая значимость работы определяется тем, что она открывает возможность создания параметрических генераторов хаоса, обладающих структурной устойчивостью, т.е. нечувствительностью к изменению параметров и характеристик систем и их элементов, что является принципиальным преимуществом с точки зрения возможных приложений хаоса.

Методология и методы исследования

В работе использованы методы и подходы, развитые в теории колебаний и волн. Для конструирования схем с гиперболическим хаосом привлечены принципы радиофизики и теории колебаний, включая модуляцию параметров, введение дополнительных обратных связей, принцип параметрического возбуждения. В качестве математических моделей

использованы неавтономные нелинейные дифференциальные уравнения, уравнения с запаздыванием, уравнения в частных производных. Для численного решения уравнений использованы разработанные в литературе методы, для которых обоснованы сходимость и устойчивость (метод Рунге-Кутты для обыкновенных дифференциальных уравнений и его обобщение на уравнения с запаздыванием, схема «крест», для уравнений в частных производных). Применены методы компьютерного исследования хаотической динамики, в том числе построение фазовых портретов аттракторов и расчеты показателей Ляпунова.

Положения, выносимые на защиту

1) Грубый гиперболический хаос, обусловленный аттрактором Смейла -Вильямса в отображении Пуанкаре, осуществим в системе двух параметрически связанных нелинейных осцилляторов, частоты которых различаются вдвое, при подходящей модуляции накачки и параметров диссипации, когда ограничение параметрической неустойчивости определяется нелинейной диссипацией или истощением накачки.

2) Хаотическая амплитудная динамика, связанная с присутствием аттрактора типа Смейла - Вильямса, реализуема в системе, где роль угловой переменной, претерпевающей растягивающее отображение, играет величина, отвечающая за распределение амплитуд между двумя осцилляторами.

3) Параметрический генератор грубого хаоса можно построить на основе классического параметрического генератора, составленного из двух осцилляторов с различающимися вдвое рабочими частотами, введением периодической модуляции накачки и добавлением дополнительной цепи запаздывающей обратной связи, содержащей квадратичный нелинейный элемент.

4) Гиперболический хаос, соответствующий аттрактору типа Смейла -Вильямса, вложенному в бесконечномерное фазовое пространство распределенной системы, возникает в модифицированной задаче о параметрическом возбуждении струны с диссипацией, характеризуемой кубической нелинейностью, при наличии накачки попеременно на различающихся в три раза частотах и пространственной неоднородности.

Достоверность результатов работы определяется постановкой задач на базе строгих концепций математической теории динамических систем, применением апробированных в радиофизике подходов к конструированию схем с параметрическим возбуждением, соответствием качественного физического описания и компьютерного анализа сложной динамики, использованием схем численного решения уравнений, обеспечивающих аппроксимацию и устойчивость при тестированном надлежащим образом выборе шагов интегрирования.

Личный вклад соискателя. Все включенные в диссертацию результаты получены лично автором, осуществлявшим выработку методик решения задач, программирование и проведение численных расчетов. Постановка задач и интерпретация результатов выполнялись совместно с научным руководителем и другими соавторами совместных опубликованных работ.

Публикации и апробация

Основные результаты диссертации были представлены докладами на X международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2010 г.), XVI научной школе «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2012 г.), на IV, VI, VII и VIII Всероссийских конференциях молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2009, 2011-2013 гг.), на ежегодных научных школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (2009-

2011 гг.), а также на научных семинарах базовой кафедры динамических систем СГУ.

Частично результаты диссертации �