Первый метод Ляпунова для сильно нелинейных систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ
|
Фурта, Станислав Дмитриевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1996
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.ВЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
На правах рукописи
9 а дпр у^::; удк 531.36
С 3 жи I •»•->••
Фурта Станислав Дмитриевич
ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА ДЛЯ СИЛЬНО НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
01.02.01 - теоретическая механика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва 1996
Работа выполнена на : кафедре теоретической механики Московского государственного авиационного института (технического университета).
Официальные оппоненты:
Доктор физико-математических наук, А.С.Андреев профессор
Доктор физико-математических наук А.В.Карапетян
Доктор физико-математических наук, А.И.Кобрин профессор
Ведущее предприятие: Институт проблем механики РАН
Защита диссертации состоится а2Ь " _1996г.
в 16°° час. на заседании диссертационного Совета по механике Д 053.05.01 в МГУ по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-10.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)
Автореферат разослан " " снпре^^ 1996г.
Ученый секретарь диссертационного Совета Д 053.05.01 доктор физико-математических наук
Д.В.Трещев
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Диссертационная работа посвящена развитию классического первого метода Ляпунова исследования устойчивости движения. Обобщается разработанная Ляпуновым схема построения частных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений в виде рядов, приводится обзор полученных ранее результатов по устойчивости в критических случаях на основе разработанного обобщенного метода, а также исследуются некоторые новые критические случаи. Полученные теоретические результаты применяются к исследованию клас-' сической проблемы обращения теоремы Лагранжа а Рауса об устойчивости равновесий и стационарных движений, а также к исследованию смежных задач. В диссертации получены также достаточные условия неинтегрируемости общих систем дифференциальных уравнений, основанные на свойствах частных решений с неэкспоненциальной асимптотикой.
Актуальность темы. Первый метод Ляпунова является эффективным методом как исследования устойчивости движения механических систем, так и по-, строения семейств решений уравнений движения этих систем с заданными асимптотическими свойствами. Проблема применения этого метода к системам, топологический тип фазового портрета которых в окрестности некоторого стационара не определяется лишь линейными членами, достаточно мало изучена. Существование траекторий, стремящихся к стационарному движению при неограниченном убывании времени, сигнализирует о неустойчивости этого стационара, что позволяет применять данный метод для анализа весьма трудных критических случаев.
Первые результаты по исследованию устойчивости в критических случаях принадлежат основоположнику общей теории устойчивости движения -А.МЛяпунову. После Ляпунова этой проблематикой занимались многие исследователи, среди которых следует выделить Г.В.Каменкова, В.И.Зубова, А.М.Молчанова, Л.Г.Хазина, Э.Э.Шноля и многих других. Особо следует отметить работы авторов, занимавшихся анализом критических случаев в гамильто-новых системах: В.И.Арнольда, Ю.Мозера у.МоБег), А.Д.Брюно, А.П.Маркеева,
A.Г.Сокольского. Обнаружение явления неустойчивости в критических случаях является половиной работы, необходимой для полного исследования. Применение обобщенного первого метода Ляпунова позволяет унифицировать доказательство неустойчивости практически во всех критических случаях.
Проблема обращения теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия занимала исследователей с конца прошлого века. Первые серьезные результаты в этом направлении были получены А.МЛяпуновым. Далее целому ряду исследователей (Н.Г.Четаев, П.Хагедорн (Р.На|>е<1огп), МЛалуа (М.Га1оу), К.Пайффер (K.Peiffeг), В.В.Козлов и др.) удалось получить частные случаи обращения этой теоремы. В целом же проблема казалась почти неразрешимой, пока в 1992 г.
B.П.Паламодов не получил окончательное решение этой задачи для аналитиче-
ского случая. Проблема же обращения родственной теоремы об устойчивости -теоремы Рауса об устойчивости стационарных движений несмотря на ряд частных результатов (В.В.Румянцев, Ван Чжаолин, П.Хагедорн (Р.На£ес)огп), А.В.Карапетян, В.В.Козлов, С.В.Болотин, П.Негрини (P.Ncgrini)) пока еще весьма далека от полного разрешения. Явление гироскопической стабилизации неустойчивого положения равновесия, на возможность которого указал Н.Г.Четаев, свидетельствует о том, что полное обращение этой теоремы невозможно.
В последнее время внимание исследователей привлекла задача получения условий интегрируемости и неиШегрируемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений, основайньл' на арифметических свойствах так называемых' показателей Ковалевской,' Ябляйщихся по сути дела характеристическими корнями линеаризации некоторой укороченной системы в окрестности первого члена асимптотического разложения (получаемого при помощи обобщенной процедуры первого метода Ляпунова) некоторого = частного решения. Пионерские работы в этом направлении были выполнены японским математиком и астрономом Х.Иошидой (Н.УозЫс1а). Однако, полученные им критерии оказались неточными. Эти неточности устранены в настоящей диссертации. •;■-,...
Все вышесказанное позволяет сделать заключение об актуальности темы диссертации. < ■'./'¡■., "/. . ..
Цель работы состоит в разработке некоторого общего алгоритма, позволяющего конструктивно строить частные решения уравнений движения механических систем в виде рядов, первый член которых имеет заданную асимптотику и является частным решением некоторой более простой, "укороченной" системы.
Методы исследования. В диссертации используются методы аналитической и качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. При исследовании сходимости асимптотических разложений исследуемых частных решений систем уравнений движения используются элементы функционального, анализа. Методы общей теории устойчивости и аналитической механики ис- . пользуются при анализе конкретных задач. •. г
Научная новизна. В диссертации впервые дается общая теория существования и построения так называемых асимптотических траекторий механических систем, порядок стремления по времени которых к некоторому стационарному движению не является экспоненциальным. Приведены достаточно простые алгоритмы построения решений уравнений движения, соответствующих этим траекториям, в виде некоторых рядов, коэффициенты которых могут быть найдены рекуррентно. Впервые обсуждается проблема существования и построения траекторий, асимптотических к инвариантным торам, в случае, когда эти торы нейтральны в первом приближении. Дается новая, теоретико-групповая интерпретация первого метода Ляпунова: предъявлены условия, достаточные для су- ■
шествования траекторий, стремящихся к орбите некоторой группы преобразований фазового или расширенного фазового пространства, являющейся в известном смысле "почти" группой симметрии исходной системы. Показывается, что разработанный диссертантом метод применим не только к исследованию поведения траекторий в окрестности некоторого стационарного, периодического или квазипериодического движения: процедура ляпуновского типа впервые применяется для построения решений типа траекторий столкновения в небесной механике. Также показано, что для достаточно большого класса задач процедура, аналогичная ляпуковской, может приводить к расходящимся рядам, хотя на основании результатов, полученных Ляпуновым, можно было бы ожидать сходимости. Полученные результаты применяются диссертантом для исследования проблемы обращения теорем Лагранжа и Рауса об устойчивости и ряда смежных задач. В этом направлении получен ряд новых и интересных результатов. Впервые рассмотрена задача об устойчивости положений равновесия систем с дискретными и распределенными запаздываниями, линейное приближение которых тривиально. Диссертантом предложен также новый критерий неинтегрируемости общих систем обыкновенных дифференциальных уравнений, осно-: ванный на анализе поведения этих систем в окрестности некоторого частного решения с неэкспоненциалы юй асимптотикой.
Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов и согласованием с известными результатами, полученными ранее в частных случаях.
. Теоретическая и практическая ценность. В диссертации дается общий , алгоритм построения асимптотических к стационарным, периодическим или квазипернодическим движениям решений, в том случае, когда линейный анализ не дает представления о поведении системы в окрестности этих движений. Используемый подход позволил упорядочить результаты, полученные ранее в этом направлении. При помощи разработанных методов можно достаточно просто и эффективно строить семейства решений уравнений движения конкретных практически важных нелинейных систем в окрестности некоторого известного движения. Упомянутые алгоритмы могут быть использованы также при аналитическом построении траекторий типа траекторий столкновения в небесной механике. Выполненная диссертантом работа дает также наглядное представление о том, какие асимптотики решений относительно времени нелинейных систем принципиально возможны. Получено существенное продвижение в одной классической задаче теории устойчивости: проблеме обращения теорем Лагранжа и Рауса об устойчивости равновесий и стационарных движений механических систем. Положено начало исследованию критических случаев устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений в ситуации, когда первое приближение тривиально. Дан простой и легко проверяемый критерий неинтегрируемости общих систем дифференциальных уравнений, позволяющий доста-
точно эффективно делать заключения о неинтегрируемости ряда систем уравнений, используемых в математической физике.
Большинство результатов диссертации может быть включено в руководства по теории устойчивости и теории нелинейных колебаний.
Апробация работы. Отдельные части диссертации были доложены на XVIH Всемирном конгрессе по теоретической и прикладной механике в 1992 г. в г. Хайфе, Израиль (совм. с проф. В.В.Козловым), на международной конференции "Dynamics Days - 94" в 1994 г. в г. Будапеште, Венгрия, на Всемирном конгрессе математиков в г. Цюрихе, Швейцария, в 1994 г. Часть материала диссертации основана на специальном курсе "Методы аналитической и небесной механики в динамике космических объектов", подготовленном автором совместно с доцентом П.С.Красильниковым и прочитанном на факультете прикладной математики и физики Московского авиационного института. Значительная часть работы составила также основу мини-курсов лекций, прочитанных диссертантом в Католическом университете города Лува-ла-Нев (Бельгия) в 1994 г. и в университете города Тренто (Италия) в 1995 г. Диссертация проходила также апробацию на различных научных семинарах, как в России: на семинаре по динамическим системам в механике под руководством проф. В.В.Козлова и доц. С.В.Болотина в 1990, 1994 и 1995 гг., на семинаре по классической механике под руководством проф., академика РАН В.В.Румянцева и д.ф.-м.н. А.В.Карапетяна в 1995 и 1996 гг., так и за рубежом: на семинаре института механики в Высшей технической школе г. Дармштадт, Германия (руководитель -проф. П.Хагедорн (P.Hagedom)) в 1992 г., на семинаре института математики университета г. Утрехт, Нидерланды (руководитель - проф. Ф.Ферхюльст (F.Verhulst)) в 1994 г.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения и списка литературы. Первые три главы составляют, в основном, теоретические положения работы, четвертая глава посвящена приложениям к проблеме обращения теорем Лагранжа и Рауса об устойчивости равновесий и стационарных движений механических систем. Работа изложена на 248 страницах, содержит 2 рисунка, список литературы, содержит 193 наименования.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении приводится исторический обзор работ, посвященных кругу проблем, рассматриваемых в диссертации, описываются цели диссертации и кратко излагается ее содержание. Здесь же показывается связь разработанного диссертантом метода с классическим первым методом Ляпунова. В своей знаменитой "Общей задаче об устойчивости движения" Ляпунов, рассматривая системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида x = f(x), f(0) = 0, »еГ, f(x) = Ax+..„
где многоточие означает совокупность нелинейных членов, предложил искать их частные решения в виде рядов
хО= £ *л„/,(0«р(и1Я}+...+]рЛр)1), р<п, /, + ..+/,21
где функции у (Г) зависят пол!шомиально от ( и, вообще говоря, от некоторых тригонометрических функций времени.
При этом предполагалось, что совокупность первых членов этих рядов, т.е. таких, что 7,+...+^ = 1, явтиется решением линеаризованной системы
х = Ах
Таким образом, применение первого метода Ляпунова к конкретным задачам предусматривает три этапа:
1) выделение из системы некоторой укороченной (в данном случае линейной) подсистемы;
2) построение частного решения или семейства частных решений данной укороченной системы;
3) достраивание найденного опорного решения (или семейства опорных ' решений) до решений полной системы при помощи некоторых рядов.
Все результаты, полученные диссертантом, основаны на этой идеологии. Из исходной системы дифференциальных уравнений по определенному правилу выделяется более простая укороченная (или модельная) подсистема, затем находится частное опорное решение этой укороченной подсистемы, удовлетворяющее определенным свойствам симметрии, которые, в свою очередь, определяют асимптотические свойства этого решения, и на последнем этапе найденное опорное решение модельной системы достраивается до решения полной системы при помощи некоторых рядов.
В главе I данная схема применяется к так называемым полуквазиоднород-ным системам. В §1 приводятся необходимые определения и понятия, формулируется основная теорема и излагается формальная часть ее доказательства. Рассматриваются неавтономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений
*=Т(х,<) (I)
с гладкими правыми частями, для которых начало координат х = 0 не является, вообще говоря, положением равновесия.
Рассмотрим фуксову систему линейных дифференциальных уравнений ¿х „
действующую в расширенном фазовом пространстве, а также поток этой системы
х(->//Г,х (2)
Систему (]) назовем квазиоднородной, если она инвариантна относительно действия потока (2), и ее правую часть будем обозначать как (от англий-
ского qlшsihomogeneous - квазиоднородный). Систему (1) назовем полуквазиод-нородной, если под действием потока (2) она приобретет вид
где ^(х,/) - квазйоднородное векторное поле, а представляет собой
формальный степенной рад относительно /9еИ5\{0} без свободного члена. Величину назовем знаком полуквазиоднородности.
Столь подробно на этих понятиях мы останавливаемся здесь, поскольку они являются в диссертации ключевыми. Более того, большинство результатов, полученных в диссертации, являются модификациями сформулированной ниже теоремы.
Основной результат §1 состоит в следующем: если квазиоднородное укорочение полуквазиоднородной системы (1) имеет частное решение в виде "квазиоднородного луча"
ЛОНпУ**^, (3)
ще у=±1, а Хц - постоянный действительный вектор, т.е. лежащее на некоторой орбите потока (2), то полная система (1) имеет решение с аналогичной асимптотикой.
Точнее, имеет место
Теорема. Пусть система (1) полуквазиоднородна, и пусть существует такой
вектор Хо ей", хЦ Ф 0 и число у = ±1, что имеет место равенство
-ГС (4)
тогда система (1) имеет частное решение с главным членом асимптотики -С
Хр при Iх -ъ у х оо.
Искомое частное решение может быть представлено в виде асимптотического ряда
х(/) = (УО_С£Х*(Ь(ГО)(^. (5)
л=о
где х* являются некоторыми полиномиальными функциями Щу1), превращающегося в рад Ляпунова при замене т=1п(у1).
Следует отметить, что первый член (5) представляет собой частное решение (3) укороченной системы, что также соответствует общей идеологии первого метода Ляпунова.
В этом же параграфе приводятся геометрические условия существования решения алгебраической системы уравнений (4).
Следует отметить, что подобный подход к выделению укорочений фактически восходит к работам А.Д.Брюно и его учеников, однако в указанных работах матрица в предполагается диагональной.
Если в первом параграфе проведено доказательство существования формального решения системы (1) в виде ряда (5), то §2 посвящен исследованию
сходимости (5). Ситуация, разумеется, в корне различается для аналитических систем и для систем, правые часта которых являются лишь бесконечно-дифференцируемыми функциями. Доказано, что в бесконечно-дифференцируемом случае всегда, существует гладкое решение, для которого (5) является асимптотическим при Iх -> у х аз рядом. В аналитическом случае (5) сходится к некоторому аналитическому решению системы (1), если коэффициенты (5) постоянны (не зависят от логарифмов уг), или если система (1) автономна и положительно полуквазиоднородна (/#>0), и - 1 - единственное собственное число вида -¿Д еМ, так называемой матрицы Ковалевской
В §3 рассматривается более сложная ситуация: предполагается, что коэффициенты правых частей системы (1) являются, ограниченными функциями времени I на всей числовой прямой, и при введение квазиоднородной шкалы время 1 в правых частях считается параметром и не преобразуется. Более существенное усложнение состоит в следующем: предполагается, что укороченная система не имеет частного решения в виде квазиоднородного луча (3), но имеет решение в виде "дышащего" луча
= (у^хЦуО, (6)
где х()(') теперь является некоторой ограниченной на положительной полупрямой функцией времени.
Сформулированы условия, достаточные для того, чтобы существование частного решения укороченной системы в виде (6) влекло за собой существование решения полной системы с аналогичной асимптотикой. Предъявлены также достаточные условия существования параметрических семейств таких решений.
■ Следующий параграф, §4 посвящен приложениям изложенной теории. В качестве первого приложения сформулированы достаточные условия неустойчивости в критическом случае п нулевых корней с одной группой решений. Рассмотрен также случай дополнительного вырождения. Эти условия неустойчивости получены в терминах коэффициентов исходной системы, линейная часть которой приведена к жорданову виду. Во втором примере изучалась асимптотика решений системы дифференциальных уравнений типа Вольтерра-Лотки, описывающей межвидовое взаимодействие в некоторой экосистеме. Третий пример посвящен асимптотике решений системы О.Ресслера (О.Кбввкг). Это достаточно простая система трех дифференциальных уравнений, содержащая всего один нелинейный член, в которой ранее численно был обнаружен хаотический аттрактор. Показано, что логарифмы в разложениях типа (5) для решений этой системы неубиваемы, что согласно АЛ£-методу (М.Дж.Абловиц, А.Рамани, Х.Сегур (М.1.АЫоиай, А.Наташ, Н.5е£иг)) является косвенным подтверждением ее хаотичности. В четвертом примере при помощи изложенной выше методики построены разложения для решений уравнений движения в задаче Хилла (СЖНШ), описывающей движение Луны в поле Земли и Солнца,
отвечающих траекториям столкновения, в масштабе реального времени. В пятом примере изучается асимптотика частных решений гамильтоновой системы Хенона-Хейлеса (М.Непоп, С.НеПев) и с позиции построенной теории раскрывается природа решений, обнаруженных ранее в работах американских физиков-теоретиков (Й.Чакг, М.Табор, Дж.Вайс (У.Ош^, М.ТаЬог, 1.\Уе138) и др.). Наконец, в последнем, шестом примере приведен анализ асимптотик решений так называемых трансцендентных уравнений Пенлеве (Р.Рат!сУе).
Последний параграф, §5 посвящен теоретихо-групповым обобщениям введенных понятий квазиоднородных и полуквазиоднородных систем дифференциальных уравнений. Остановимся на них лишь вкратце. Аналогом квазиоднородной системы признается система имеющая однопараметрическую группу симметрии, действующую в фазовом или расширенном фазовом пространстве. С другой стороны, в качестве аналога полуквазиоднородной системы рассматривается система, дня которой соответствующая группа преобразований является "почти" группой симметрий в некотором асимптотическом смысле. Показано, что если "укорочение" имеет решение, лежащее на некоторой орбите группы симметрий, то полная система имеет частное решение, асимптотически стремящееся к этой орбите. В качестве примера рассмотрена линейная задача о движении релятивистской частицы. Описаны силовые поля, обеспечивающие асимптотический разгон частицы до скорости света.
Перейдем к изложению результатов главы II. В этой главе изучается вопрос о существовании частных решений гладких систем дифференциальных уравнений, асимптотических к положению равновесия, периодическому движению или к инвариантному тору в том случае, когда эти объекты нейтральны в первом приближении. Достаточные условия существования таких решений выражаются в терминах квазиоднородных укорочений нормальных форм. Для простоты рассмотрим достаточные условия существования решений, асимптотических к положению равновесия автономной системы уравнений
х = {(х), Т(0) = 0 (7)
Изучению этого объекта посвящен §1.
Пусть все собственные числа матрица Якоби А = <з?Г(0), вычисленной в положении равновесия, лежат на мнимой оси. Представим матрицу А в виде суммы: А = Б + Л, где матрица Б диагонализируема, а матрица I подобна некоторой жордановой матрице с нулевой диагональю. Приведем систему (7) к нормальной форме Пуанкаре (А.Рошсаге)
у = е(у), 8(у) = Оу + Ь(у), Ь(у) = 1у+..„ (8)
где многоточие означает совокупность нелинейных членов.
Согласно лемме А.М.Молчанова о разделении движений линейное преобразование у = ехр(Б/)г позволяет убить в (8) слагаемое Бу, в то время как остальные члены остаются без изменений. С формальной точки зрения мы можем теперь воспользоваться методикой главы I. Пусть С - некоторая квадратная
ю
матрица, собственные числа которой лежат в правой полуплоскости, порождающая квазиоднородную структуру, относительно которой векторное поле Ь(г) будет положительно полуквазиоднородиым, и пусть Ьч(г) - его квазиоднородное укорочение. Имеет место
Теорема. Пусть существуют вектор е IX", * 0 и число / = ±1, удовлетворяющие алгебраической системе уравнений.
тогда система дифференциальных уравнений (7) имеет частное асимптотическое решение х(/)-> 0 при г->/х да.
Поскольку нормализующее преобразование задается расходящимися, как правило, степенными рядами, то переход от исходной системы уравнений (7) к ее нормальной форме (8) и дальнейшие манипуляции с этой нормальной формой требуют более тщательного обоснования, которое также дается в §1 с использованием материала §3 главы I. Далее в этом же параграфе в качестве приложения получены достаточные условия существования асимптотических к положению равновесия при / - оо частных решений для четырехмерных автономных общих систем обыкновенных уравнений, линейное приближение которых имеет две пары чисто мнимых корней. Разобраны все алгебраически разрешимые случаи (нерезонансный, случай резонанса 1:2 и случай резонанса 1:1 при наличии жордановой клетки). Во всех случаях, где ранее была доказана неустойчивость (Л.Г.Хазин и Э.Э.Шноль), удалось показать существование асимптотических решений и выписать первые члены их разложения.
Следующий параграф, §2 посвящен проблемам существования решений систем с правыми частями, периодически зависящими от времени, асимптотических к положениям равновесия, а также проблемам существования решений автономных систем, асимптотических к инвариантным торам, когда движение по этим торам представляет собой стандартную всюду плотную обмотку. Последняя задача является обобщением задачи о существовании решений, асимптотических к положениям равновесия, для систем, правые части которых ква-зипериодически зависят от времени. Мы не будем приводить здесь точные формулировки этих результатов. Соответствующая теорема для периодического случая мало отличается от своего автономного прототипа. С другой стороны вторая задача намного сложнее, и рассмотрение ее требует наложения достаточно большого количества технических ограничений, которые мы здесь в силу их громоздкости опустим. Следует, тем не менее упомянуть один примечательный факт: принципиально может случиться так, что движение на торе, на которое "сваливается" система, уже не будет представлять собой стандартную обмотку, а будет являться суперпозицией двух независимых обмоток, одна из которых происходит в реальном времени, а другая - в логарифмическом.
Последний параграф этой главы, §3 посвящен теории асимптотических решений гамильтоновых систем уравнений. Критерии существования этих ре-
шений сформулированы в терминах свойств квазиоднородных укорочений нормализованных гамильтонианов. С идейной точки зрения методика поиска асимптотических решений в гамильтоновом случае близка к описанной выше для общих систем. Тем не менее здесь возникает некоторая трудность следующего характера. Хорошо известна процедура выделения квазиоднородных укорочений аналитических функций при помощи техники многогранника Ньютона (А.Д.Брюно).: Однако, гамильтонова система с квазиоднородным гамильтонианом не является, вообще говоря, квазиоднородной. Поэтому приходится а priori налагать ограничения на матрицу G, задающую квазиоднородную структуру в фазовом пространстве. В диссертации получены соответствующие условия. Затем по укороченному гамильтониану нормализованной системы строится некоторый новый вспомогательный гамильтониан. Он представляет собой сумму укорочения и линейной комбинации (с неопределенными коэффициентами) квадратичных интегралов нормализованной системы. Основной результат состоит в следующем: если гамильтонова система со вспомогательным гамильтонианом имеет частное асимптотическое решение в виде квазиоднородного луча, то и полная, система имеет асимптотическое решение. Опуская точную формулировку полученной общей теоремы, заметим, что все существующие на сегодняшний день результаты о неустойчивости и существовании асимптотических траекторий гамильтоновых систем уравнений с двумя степенями свободы при наличии резонансов между частотами (А.П.Маркеев, А.Г.Сокольский, Г.А.Щербина, Б.С.Бардин) могут быть получены при помощи этого общего результата.
В главе Ш рассматривается принципиально иной класс задач, называемых в диссертации сшпулярными. Если в "классическом" полуквазиоднородном случае для автономных систем дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями ряды (5), соответствующие частным решениям с требуемой асимптотикой, сходятся, по крайней мере, при наложении некоторых не слишком обременительных ограничений, то в данных задачах нормой является расходимость формальных рядов. Выходом из данной ситуации служит применение теории А.Н.Кузнецова, доказавшего, что наличие формального решения вида (5) означает существование некоторого гладкого решения, для которого (5) будет асимптотическим рядом. Причины расходимости могут быть объяснены двояко: во-первых, соответствующие решения лежат на некотором инвариантном многообразии типа центрального, заведомо не являющемся аналитическим, во-вторых, в этих случаях первые члены формальных радов являются решениями гибридной системы дифференциальных и алгебраических уравнений, а иногда и чисто алгебраических уравнений, иными словами при выделении укороченной системы происходит потеря производных. Ниже мы рассмотрим эти причины более подробно.
В §1 изучается критический случай п нулевых корней системы уравнений первого приближения (размерность фазового пространства при этом предпола-
гается равной п + d, d>0). Наличие ненулевых корней приводит к существованию формального инвариантного многообразия ненулевой размерности, отвечающего нулевым корням. Более точно, рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
i = Ах+By+f (х, у), у = Jy + g(x,y), (9)
где х eKd,y ей", матрица А невырождена, а матрица J подобна жордановой матрице с нулевой диагональю.
Система (9), как показано в диссертации, всегда имеет формальное инвариантное многообразие х = ф(у), где q>, <р(0) = 0 - формальный степенной рад. Если матрица А не имеет собственных значений, лежащих на мнимой оси, то это формальное многообразие отвечает гладкому центральному многообразию. Линеаризация системы (9), редуцированной на это формальное многообразие, будет иметь лишь нулевые корни, поэтому к ней применима техника выделения квазиоднородных укорочений и построения формальных асимптотических решений, рассмотренная в главе I, что влечет за собой возможность построения формального асимптотического решения системы (9). Точную формулировку мы здесь опустим. При помощи техники построения формального инвариантного многообразия диссертанту удалось ослабить условия неустойчивости положения равновесия многомерной гамильтоновой системы с одной нулевой частотой, найденные ранее А.Г.Сокольским.
В этом же параграфе рассматривается задача о существовании асимптотических решений, представимых в виде "гибридных" радов. Если система линейного приближения имеет какое то количество корней с отрицательной вещественной частью, то полная система имеет инвариантное устойчивое многообразие сплошь заполненное асимптотическими решениями, порядок стремления которых к положению равновесия экспоненциален, представимых в виде рядов Ляпунова. С другой стороны, если остальные корни равны нулю, то система обладает инвариантным центральным многообразием, на котором могут лежать асимптотические решения с обобщенно-степенной асимптотикой, представимые в виде рядов (5). В диссертации приведены условия существования решений, компоненты которых раскладываются в ряды, содержащие как экспоненты, так и отрицательные степени времени. Эти решения не лежат ни на устойчивом, ни на центральном многообразиях.
Следующий параграф, §2 посвящен проблеме появления повторных логарифмов произвольного порядка в разложении асимптотических решений в ряд. Это явление связано также с некоторым "критическим" случаем. Рассмотрим некоторую автономную положительно полуквазиоднородную систему. Пусть ее укорочение имеет частное решение в виде квазиоднородного луча (3). Возмутим это решение следующим образом:
и сделаем логарифмическую замену времени г= In(yt).
После указанных преобразований исходная система примет вид
и'=Ки+ф(и)+у(ц,г), (10)
где К - матрица Ковалевской, ф - некоторое аналитическое отображение, разложение которого в рад в окрестности и = 0 начинается по крайней мерс с квадратичных членов, а у - некоторое отображение, представляющее собой степенной векторный ряд относительно величины ехр( - к/Зт).
Показано, что при помощи нелинейного неавтономного преобразования зависимых переменных систему (10) можно привести к автономному виду
+ (11) Пусть среди собственных чисел матрицы Ковалевской К есть нулевые (это и означает упоминавшийся выше "критический" случай. Тогда согласно результатам предыдущего параграфа у системы (11) существует формальное инвариантное многообразие, отвечающее нулевым корням. Можно найти условия, достаточные для того, чтобы система (11) имела бы асимптотическое решение, такое что соответствующий ему формальный ряд содержат бы отрицательные степени г, и коэффициенты которого полиномиально зависели бы от логарифмов г. Возвращаясь к исходным переменным, получим, что ряды, соответствующие асимптотическому решению исходной системы, будут содержать уг и в
отрицательных степенях, а коэффициенты этих рядов будут полиномиально зависеть от 1п(1п(х0).
Последний параграф данной главы, §3 посвящен проблеме существования асимптотических решений автономных систем дифференциальных уравнений, неразрешимых относительно старших производных. Помимо "классического представления этих систем:
Р(х,х) = 0 (12)
рассматриваются также системы вида
х = {(х,х,х,...) 03)
Тот факт, что в некоторых конкретных задачах для нахождения достаточных условий существования асимптотических решений исходные уравнения движения, которые изначально являются дифференциальными уравнениями, разрешенными относительно производных, удобнее переписывать в виде (13), был подсказан диссертанту В.В.Козловым.
Остановимся подробнее на системах вида (12). Систему (12) назовем квазиоднородной, и вектор-функции К будем приписывать индекс если она инвариантна относительно действия потока (2). Если же под действием (2) (12) приобретает ввд
где отображение ^(х.х) - квазиоднородно в смысле приведенного выше определения, а V*(х,х,{1) представляет собой формальный степенной ряд относительно //, /ЗеЕ\{0} без свободного члена, то систему (12) назовем полуквази-одпородной.
Величину х= ±1, Х~ снова назовем знаком полуквазиоднородности.
К сожалению, существование решения типа луча (3) укороченной системы не влечет за собой автоматичёски существования формального решения полной системы (12) в виде рядов (5). В диссертации, тем не менее, получены условия, коща такая импликация имеет место. Разработана также аналогичная методика и для систем вида (13).
Далее в третьем параграфе без доказательства изложены основы теории А.Н.Кузнецова, применяющейся в данной главе для доказательства соответствия формальных решений гладким решениям с определенной асимптотикой.
В §3 рассмотрено также два интересных механических приложения, основанных на изложенной методике выделения укорочений. В первом из них, имеющем негативный оттенок, рассматривается задача исследовании интегрируемости системы уравнений Эйлера-Пуассона, описывающей движение тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой, при помощи метода Ковалевской-Ляпунова. Во многих работах, посвященных этой проблеме, как сравнительно старых, так и современных (Г.Г.Агшельрот, Й.Чанг, Дж.Грин, М.Табор, Дж.Вайс (У.СИаг^, Югеепе, М.ТаЬог, .ТХУе^Бз), В.ВЛунев) при построении решений в виде формальных рядов Лорана- не учитывается следующее обстоятельство: первые члены этих рядов должны бьггь решениями некоторой квазиоднородной системы уравнений, являющейся укорочением системы Эйлера-Пуассона. Если эта укороченная система является алгебраической или гибридной, то это означает, что при укорочении потеряны производные, и мы имеем дело с сингулярным случаем в соответствии с терминологией диссертации. Это обстоятельство сигнализирует о том, что построенные рады, судя по всему, расходятся, и не могут изображать никакую мероморфную функцию. Поэтому заключения о интегрируемости, сделанные на основе анализа этих рядов некорректны. В работе приводятся конкретные примеры укорочений, фактически взятые из вышеназванных работ. Второе приложение посвящено получению асимптотических разложений для решений системы уравнений движения задачи Хилла, соответствующим так называемым неосциллирующим орбитам, имеющим в конфигурационном пространстве прямолинейную асимптоту.
Глава IV посвящена классическим задачам теории устойчивости: проблемам обращения теорем Лагранжа и Рауса об устойчивости и смежным вопросам. В , этой главе рассматриваются так называемые энергетические критерии устойчивости, когда заключение об устойчивости или асимптотической устойчивости положения равновесия или стационарного движения можно сделать основываясь на факте наличия минимума некоторой функции, играющей роль потенциальной энергии системы. Возникает также задача обращения: влечет ли за собой отсутствие минимума неустойчивость? Анализу таких критериев устойчивости для обобщенно градиентных систем, обратимых консервативных механических систем, систем, на которые действуют различные дополнительные неконсервативные силы, систем, параметры которых изменяются в зависи-
мости от времени, а также для ^механических систем, движение которых стеснено некоторыми, вообще говрря, неинтегрируемыми связями, посвящен §1. В этом параграфе помимо обзора известных теорем об устойчивости и асимптотической устойчивости приведено также два достаточно важных результата, принадлежащих диссертанту.
Первый из них касается энергетического критерия устойчивости систем, параметры которых меняются со временем, закон изменения которых зависит, в свою очередь, от значений фазовых переменных и самих параметров в данный момент времени. Рассматривается движение механической системы, описываемое дифференциальными уравнениями движения вида
у = -4Я(х,у,с)+<Кх>У,с)? х = ЫуН(х,у,с), с = {(х,у,с) (14) и предполагается, что если начальные значения параметров нулевые, а система находится в равновесии х = 0, у = 0, то параметры далее со временем не изменяются, т.е. 1(0,0,0) = 0. Размерность пространства параметров будем считать далее равной Ф-0.
Предполагается, что непотенциальные силы <?(х,у,с) линейны по обобщенным импульсам, и
Я(х,у,с) = АГ(х,у,с) + Цх,с), где К - кинетическая энергия, являющаяся положительно определенной квадратичной формой импульсов, а 17 - потенциальная (1/(0,с) = 0, = 0).
Теорема. Пусть выполнены следующие условия:
1) Обозначим Б = <3^(2(0,0,0), и пусть для любых £ е!йп
2) пусть Л = ¿/(0,0,0), и для любых г( е
(Л11,Л>^-С2|п||2, С2>0
Рассмотрим разложение потенциальной энергии Щх, с) в ряд Маклорена в окрестности х = 0
{/(х,с)= Х[/т(х,с), М >2,
т-М
(т.е. несколько первых форм разложения могут оказаться тождественно равными нулю при любых с), тогда если форма ¿7\/х,0) имеет изолированный локальный минимум в точке х = 0, то положение равновесия х = 0, у = 0, с = 0 4 системы (14) является асимптотически устойчивым, если же, наоборот, изоли-1 рованная критическая точка х = 0 функции и^х,0) не является точкой ее ло-: кального минимума, то это положение равновесия неустойчиво.
Второй результат из тех, о которых шла речь выше, посвящен следующей проблеме. В ряде классических монографий по теории устойчивости движения формулируется и доказывается георема о том, что неустойчивое положение равновесия линейной обратимой консервативной механической системы со степенью неустойчивости, равной единице, может быть заставилизировано (в пер-
вом приближении!) при помощи наложения некоторой дополнительной связи. Более или менее очевидно, что этот же результат имеет место и в нелинейном приближении, если связь голономна. В §1 на конкретном модельном примере обсуждается вопрос о возможности стабилизации при помощи неголономной связи. Ситуация в этом случае оказывается куда более сложной. Показано, что застабилизированное в линейном приближении положение равновесия может быть неустойчивым в нелинейном приближении из-за явлений, напоминающих' параметрический резонанс.
Последующие параграфы, §§2,3 посвящены обращению теорем об устойчивости, сформулированных в первом параграфе. Главным и единственным орудием получения данных теорем обращения является доказательство существования асимптотических решений уравнений движения. Часть результатов, приведенных в этих параграфах., принадлежат В.В.Козлову, однако диссертант снабдил их новыми доказательствами. Материал распределен по параграфам по следующему признаку: в §2 собраны "регулярные задачи", т.е. такие, для которых существование асимптотических решений следует из теорем первой главы, с другой стороны, материал, представленный в §3, основан на применении результатов третьей главы, посвященной "сингулярным задачам".
Приведем в качестве примеров по одной теореме из каждого параграфа. Начнем с регулярного случая. Рассматривается движение обратимой консервативной механической системы в окрестности равновесия, стесненной дополнительной возможно неголономной связью, вырождающейся в этом положении равновесия. Дифференциально-алгебраические уравнения движения такой системы имеют вид
у = -£/1Я(х,у) + Я«г(х), х = </уЯ(х,у), {>у(х),с/уЯ(х,у)} = 0 (15)
Пусть х = О, у = 0 - положение равновесия, и и-(О) = 0. Если из системы (15) попробовать исключить неопределенный множитель Лагранжа Л, то получившаяся система будет иметь сингулярность. В этой ситуации ставить задачу о ляпуновской устойчивости данного положения равновесия, вообще говоря, нельзя, поскольку нарушаются условия теоремы существования и единственности решений в окрестности этого равновесия. Тем не менее, можно предъявить достаточные условия неустойчивости, а именно, найти условия, при которых существует траектория, начинающаяся в сколь угодно малой окрестности положения равновесия и покидающая некоторую фиксированную конечную окрестность этого равновесия за конечное время. Рассмотрим разложения векторного поля связи ^(х) и потенциальной энергии Щх) в ряды Маклорена = щ(х) +..., Щх) = и^х) + .... Л>0, М>2
Теорема. Пусть выполнены следующие условия:
1) связь, наложенная на систему, является слабо-
