К теории резонанса в системах с двумя степенями свободы, близких к нелинейным интегрируемым тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

005018001

Кондратов Роман Евгеш

К теории резонанса в системах с двумя степенями свободы, близких к нелинейным интегрируемым

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 9 ДПР 2012

Нижний Новгород, 2012

005018001

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и математического анализа Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Морозов Альберт Дмитриевич, зав. каф. ДУиМА ММФ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Белых Владимир Николаевич, зав. каф. Математики ВГАВТ г.Н.Новгород

кандидат физико-математических паук, доцент Ежевская Наталья Александровна, каф. ТУиДМ факультета ВМК Ведущая организация: Удмурский государственный университет

г. Ижевск

Защита состоится 17 мая 2012 г. в _ часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.06 в Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского по адресу: 603950, Нижний Новгород, пр-т Гагарина, 23, корп.2, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ННГУ.

Автореферат разослан 2012г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.166.06, кандидат физико-математических наук, доцент

■м

В.И.Лукьянов

Общая характеристика работы

Предмет исследования. Основной темой диссертации является исследование резонансов в системах с двумя степенями свободы, близких к нелинейным интегрируемым, и, в первую очередь, в системах двух уравнений Дюффинга-Ван дер Поля.

Актуальность исследования. Настоящая работа относится к одному из основных разделов качественной теории и теории бифуркаций динамических систем - теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений, близких к нелинейным консервативным интегрируемым, играющих фундаментальную роль в теории колебаний.

История вопроса. Основными методами исследования обыкновенных дифференциальных уравнений, близких к нелинейным консервативным интегрируемым, являются: метод малого параметра Пуанкаре, методы определения устойчивости, восходящие к работам Ляпунова, и методы усреднения, разработанные Крыловым, Боголюбовым и Митропольским.

Эти методы особенно эффективны в квазилинейном случае, когда уравнения движения имеют вид

x = Ax + eF(x,t), (1)

где х = (xi, ...,£„), А — (п х п) постоянная матрица, е - малый параметр, F - периодическая not п - мерная вектор - функция. Именно при рассмотрении квазилинейных двумерных систем такого вида Андронову, Витту, Мандельштаму и Папалекси впервые удалось применить математические методы Пуанкаре - Ляпунова и раскрыть их фундаментальное значение в области нелинейных колебаний. Так введенное Андроновым понятие автоколебательной системы как системы, у которой па фазовой плоскости существует предельные циклы Пуанкаре, позволило математически адекватно описать нелинейные процессы в ламповом генераторе и, в частности, "мягкий" и "жесткий" режимы возбуждения колебаний. Эти же методы были применены для описания явлений резонанса п - го рода и "захватывания" колебаний. Далее методы Пуанкаре - Ляпунова и методы усреднения с успехом были использованы в решении различных задач, описываемых, в частности, квазилинейными системами или

так называемыми системами Ляпунова. В достаточной мере эти задачи рассмотрены в книгах Андронова, Витта, Хайкина, Боголюбова и Мит-ропольского, Малкина, Стокера, Каудерера, Блехмана, Чезари, Хейла, Бутенина, Моисеева, в работах Лоуда и Сефа, Страйбла и Йонулиса и многих других.

Рассматриваемые системы удобно записать в виде системы, близкой к нелинейной интегрируемой гамильтоновой

дН „ . х = — + ef(x, у)

где х = (xi,...,i„), у = {у1,...,уп), или в виде i = eF1(I,e)=e(fx'e-g'yo) в = ш{1) + eF2(I, в) = ш(1) + si-fx'j + gj/j),

где I = (Д, ...,/„), 9 = (в\,...вп) - переменные действие - угол, ш = а вектор - функции Fi, F2 периодические по б с периодом 2тг. Исследования данной диссертации посвящены системам с двумя степенями свободы, когда п = 2.

Принципиальный момент в исследовании таких систем связан с наличием резонансов.

Говорят, что в системе (3) имеет резонанс, если для некоторого I = /о существует такой целочисленный вектор/: = (ki,k2, ...,кт),что (ш(1о),к) = Е™ xaijfci = 0, |fc| ^ 0. При этом резонанс в существенно нелинейной системе, когда ш = ш{1), называют нелинейным резонансом.

Изучению резонансных явлений в системах вида (1), (3) посвящено большое количество работ, ведущих свое начало от классических исследований Пуанкаре, рассмотревшего вопрос о существовании и устойчивости резонансных периодических решений. Это, например, работы Волосова и Моргунова, которые дали методику отыскания стационарных резонансных режимов и определения их устойчивости. В указанных работах содержится также и довольно полный обзор работ, в которых изучались резонансные явления в различных конкретных системах. В случае, когда ш = const вопросы существоания и устойчивости стационарных режимов в системах вида (1) с помощью методов усреднения рассматривались Митропольским и Самойленко, Хейлом и др.

Наличие нелинейного резонанса в системе приводит к малым знаменателям в рядах теории возмущений и, вообще говоря, к нсиптегриру-емости системы в любой конечной области изменения I.

Если говорить о резонансах в нелинейных динамических системах, то исторически следует начать с консервативных систем и, в первую очередь, с гамильтоновых систем. Благодаря задачам небесной механики они привлекают внимание математиков на протяжении многих десятков лет. Первые попытки исследования таких систем были предприняты еше Эйлером при рассмотрении движения Луны. Впоследствии наиболее существенные результаты в этой области были получены Пуанкаре, Бирк-гофом, а в наше время - Колмогоровым, Арнольдом и Мозером (теория KAM). Согласно известному результату о сохранении инвариантных торов, у системы (3) в гамильтоновом случае п - мерные инвариантные торы I = const невозмущешюй системы, соответствующие множеству, мера которого близка к единице, сохраняются при возмущении. Лишь инвариантные торы, соответствующие дополнительному множеству малой меры разрушаются при возмущении. Этому дополнительному множеству малой меры соответствуют так называемые "зоны неустойчивости", содержащие резонансные уровни. В случае, когда число степеней свободы п > 2, п - мерные инвариантные торы не делят (2га - 1) - мерного пространства и поэтому фазовая точка со временем может проходить между торами и убегать, например, па бесконечность (диффузия Арнольда). Оценка скорости убегания фазовой точки получена Нехорошевым. Далее, значительное место в исследовании гамильтоновых систем занимали вопросы интегрируемости. Отметим работы Эно и Хейлеса, Козлова, Чирикова и Заславского. Одним из первых указал на возможность неинтегрируемости гамильтоновых систем Пуанкаре. Основной причиной неинтегрируемости являются резонансы, а также наличие в системе двоякоасимптотических (гомоклинических по терминологии Пуанкаре) решений. Наличие таких решений в системе приводит к сложной картине поведения решений в их окрестности или, как теперь говорят, приводит к нетривиальному гиперболическому множеству, включающему счетное множество седловых периодических движений и континуальное множество устойчивых по Пуассону движений.

Только в последнее время мы стали понимать масштабы и причины трудностей, возникающих при исследовании, казалось бы, простых динамических систем. Одна из основных причин такой сложности - это возможность существования резонансов, а также гомоклинических кривых. Грубо говоря, здесь дело связано с тем, что близкие траектории в окрестности гомоклинической кривой экспоненциально по времени расходятся и, следовательно, движение является локально неустойчивым. Если при этом движение остается финитным, то экспоненциальная локальная неустойчивость приводит к сильному "перемешиванию" траекторий, и система ведет себя так, как будто бы на нее действуют случайные силы. Именно это перемешивание описали теоритически и наблюдали в численных экспериментах Чириков, Заславский и их коллеги при исследовании несложных по виду гамильтоновых систем или сохраняющих площадь отображений.

Исследование резонансных структур в системах с 3/2 степенями свободы, близких к нелинейным гамильтоновым, наиболее продвинуто в работах Морозова. Им также намечены основные этапы в исследовании систем с двумя степенями свободы. Особо отметим работы по исследованию вырожденных резонансов.

Обратимся к системам с двумя степенями свободы.

Следует отметить работы Арнольда, Нейштадта, которые касались вопроса о влиянии отдельного резонанса на поведение двухчастотной системы общего вида. Результаты, представленные в работах Карабанова, относятся к исследованию структуры резонансных зон четырехмерных квазигамильтоновых систем вдоль выделенной резонансной кривой.

Примером гамильтоновой системы с двумя степенями свободы является система Хенона-Хейлсса, возникающая при рассмотрении ряда галактических моделей. Система типа Хенона-Хсйлесса была рассмотрена в работах Морозова и Драгунова.

Система, описывающая динамику маятниковых часов на общем основании, рассматривалась в работе Белыха и его коллег.

Задача, связанная с изучением движения упругой панели под действием осевой нагрузки и потока жидкости, направленного вдоль панели была рассмотрена в работах Холмса. Данные результаты вошли в совместную с Гукенхеймером книгу.

Имеются работы, в которых исследуется система двух связанных уравнений Дюффинга-Ван дер Поля. Однако в этих работах либо изначально рассматривается квазилинейная система (см., например, работы Бутенина), либо теоретическое исследование оправдано лишь в квазилинейном случае.

Список работ, тесно связанных с приложениями и приводящих к интересующим нас системам, можно продолжить. Однако не было работ, которые были бы посвящены исследованию систем двух связанных существенно нелинейных уравнений Дюффинга-Ван дер Поля в резонансных зонах. Как известно, в таких системах существует бесчисленное множество резонанеов. При неконсервативных возмущениях периодические решения могут существовать лишь для конечного подмножества резонанеов. В этом случае будем говорить о нетривиальных резонансных структурах (или о нетривиальных резонансных зонах).

Цели и задачи исследования. В диссертации изучается поведение решений неконсервативных систем с двумя степенями свободы, близких к нелинейным интегрируемым, в резонансных зонах. Это исследование приводит к построению и анализу трехмерных усредненных систем. Решаются следующие задачи:

1. для общего случая исследуется упрощенная (модельная) трехмерная усредненная система;

2. для системы двух слабо связанных уравнений Дюффннга - Ван дер Поля находятся трехмерные усредненные системы и проводится их исследование;

3. доказывается, что число нетривиальных резонансных структур ограниченно; это позволяет говорить о глобальном поведении решений системы двух слабо связанных уравнений Дюффиига - Ван дер Поля.

Теоретическая ценность и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в пей результаты могут быть использованы в теории колебаний, в теории динамических систем, а также при исследовании конкретных моделей.

Результаты диссертационной работы использовапы при выполнении научно - исследовательских работ по грантам РФФИ №06-01-00270, №0901-00356, ФЦП "Кадры №НК-13П-13.

Методологическая и теоретическая основа исследования. В диссертации использованы методы усреднения, а также методы качественной теории и теории биффуркаций динамических систем.

Научная новизна. Среди новых результатов, полученных в диссертации, можно выделить следующие.

1. Исследование систем с двумя степенями свободы в резонансных случаях приводит к исследованию трехмерных систем на полнотории. В диссертации рассмотрена модельная трехмерная система и проведен ее анализ.

2. Для системы двух слабо связанных уравнений Дюффинга - Ван дер Поля получены трехмерные усредненные системы.

3. Проведено аналитико - численное исследование усредненных систем. Показано, что поведение их решений существенно зависит от того, совпадают ли выбранные замкнутые фазовые кривые в невозмущенных осцилляторах с уровнями, порождающими предельные циклы в несвязанных уравнениях.

4. Рассмотрен вопрос о существовании гомоклинических структур.

5. Показано, что для системы двух слабо связанных уравнений Дюффинга - Ван дер Поля, близких к нелинейным интегрируемым, множество нетривиальных резонансных структур ограниченно, что позволило говорить о глобальном поведении решений.

Апробация результатов исследования. По теме диссертации были сделаны доклады на Международной конференции И.Г. Петровского в г. Москва (2007г.), Международной конференции Л.С. Понтрягина в г. Москва (2008г.), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим система в г.Суздаль (2010г.), Десятом всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики в г. Нижний Новгород (2011г.).

Также были сделаны доклады на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа ННГУ им. Н.И. Лобачевского (руководители - проф. А.Д. Морозов, проф. Л.М. Лерман).

Публикации. Всего по теме диссертации автором опубликовано 9 работ, в том числе, четыре в изданиях, рекомендованных ВАК. Все основные результаты диссертации являются новыми и принадлежат автору. В работах, выполненных совместно с Морозовым А.Д., автору принадлежат доказательства всех основных результатов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из четырех глав, приложения и списка литературы. Список литературы содержит 83 наименований. Имеется 38 иллюстраций. Иллюстрации приводятся по мере их использования в основном тексте. Общий объем работы составляет 110 страниц. Главы разделены на параграфы, параграфы - на пункты.

Содержание работы

Первая глава является вводной и содержит обзор известных результатов (необходимые сведения, результаты, касающиеся систем размерности четыре и результаты, тесно примыкающие к предмету исследования), а также постановку задачи (исходные уравнения, предмет исследования) и формулировку основных результатов диссертации.

Во второй главе содержатся известные результаты по исследованию систем с двумя степенями свободы общего вида. В резонансных случаях приводится трехмерная усредненная система. Однако до еих пор отсутствуют работы, в которых были найдены правые части этой системы. В связи с этим в этой главе рассматривается модельная трехмерная усредненная система и проводится ее анализ.

В данной главе рассматриваются системы с двумя степенями свободы, близкие к нелинейным интегрируемым, следующего вида

где /к,вк~ достаточно гладкие функции своих аргументов в областях из Я1 и Я4 соответственно, е - малый положительный параметр. Предположим, что хотя бы одна из функций Д нелинейная. Систему (4) будем рассматривать в некоторой компактной области £> = с^ X ¿2 четырехмерного фазового пространства. Здесь <1д. = {(хк,хк) : < Нь(хь,хк) < /г^2}, Нк{хк,%к) = Ь-к суть первые интегралы несвязанных осцилляторов (е = 0), причем значениям Ик € соответствуют замкнутые фа-

зовые кривые, не содержащие состояний равновесия, сепаратрис и параболических траекторий. Систему (4) в области И удобно записать в переменных действие (1,.7) - угол (в, ¡р)

где (I), шг(^) - частоты несвязанных осцилляторов, 7*1, Сп, С?2 ~ периодические по в и функции с периодом 27г.

Основными проблемами в исследовании систем вида (5) являются резонансы и гомоклиническис структуры. Резонансы возникают при вы-

Хк + }к{хк) = едк{х\,хг,х\,хг), к = 1,2,

(4)

I = едх'9 = еР1(1,^в,>р), = едхч, = ЕГ2(1,^6,(р), в = 1л(1) - едх1 = шх + сСп(/, в,у), ф = - едх3 =ш2 + еС2(/, в, <р),

(5)

полнении условия соизмеримости частот Шг невозмущенных нелинейных осцилляторов:

РШ1(1) = (б)

где р, д - взаимно простые целые числа. Данное условие можно записать в следующем виде

= <г^2(/12), (?)

где Лх, Лг - значения интегралов энергии невозмущенных уравнений.

Условие резонанса (7) для исходной системы (4) означает соизмеримость частот условно-периодических движений невозмущенной системы. Резонапсами обусловлены существенные особенности поведения многочастотных систем. В частности, неинтегрируемость, а также неприменимость классических асимптотических методов, например, метода усреднения по углам.

Отметим, что при исследовании резопапсов в системе (4) возникают следующие проблемы:

1) вычисление правых частей трехмерных усредненных систем;

2) исследование трехмерных усредненных систем на полнотории.

Первая проблема связана с нахождением решений псвозмущенных

осцилляторов и вычислением интегралов, определяющих усредненные системы. Как известно, если функции /к(хк) в системе (4) являются полиномами степени 2 или 3, то эти решения выражаются через эллиптические функции. Если же функции /к(хк) полиномы более высокой степени, то при построении решений невозмущенпых уравнений возникает нерешенная до настоящего времени проблема обращения абелевых интегралов. Поэтому исследование конкретных систем вида (4) - сложная задача.

Вторая проблема приводит к исследованию класса трехмерных систем, правые части которых периодические функции по одной из координат. В данной главе рассматривается модельная усредненная система, отражающая свойства общих систем в случае, когда резонансные уровни совпадают с уровнями, в окрестности которых у несвязанных возмущенных уравнений существую предельные циклы. Несмотря на простой вид модельной системы, в ней возможны разнообразные типы аттракторов: состояния равновесия, предельные циклы разных типов, нерегулярные аттракторы.

Рассматривается у/е - окрестность резонансной точки Зт) (или в других обозначениях - окрестность точки {Н\п,К2и)), которая принадлежит резонансной кривой (7). Движение системы (5) в окрестности и^ = {(/, 3, в, (р) : 1п - сд/ё < I < 1ря + Су/ё, Зп - суД < 3 < Зрч + С\/ё, 0 < в < 2тг, 0 < <р < 2тг} определяется частично усредненной системой (ЧУС). Вводя в системе (5) в невырожденном резонансном случае резонансную фазу в = V — (я/р)(р и усредняя полученную систему по быстрой переменной (р. придем к трехмерной частично усредненной

и'к = Ак(у\ Зр,,) + ß[Pk\Ui + Рк2и2], fc = 1,2, v' = Ь10щ + b20u2 + ц[Ъпи\ + b2i ul + Qo(v, In, 3n)\,

(8)

где

Ak = 7,— / Pk{Ipq, Jpq,v- qtp/p, <p)dip,

¿npJo

I /-2тр

■ ' Ai = ö— / (dFk(Ipq,3pq,v-qip/p,ip)/dI)dip, ¿npj о

1 [2*P

рк2 = тг- (dFk(I„l3m,v-q<p/p,ip)/d3)dip,k = 1,2,

2тгр J0 (9)

j /-2тгр

Qo = TT- / [Gi(/p„ Jp,, v - ?v/p> </>)+

¿irpJo

+ gG2(/p„ JP4>v - w/p> 4>)/p]dtP

d'uiilpg) д$и2{Зп) .

"штрих" означает производную по "медленному" временит = pt, ß = yfi,

hj = (dJ+1u1(Ipq)/dP^)/(j +1)!, b2j = (g/p)(^+1W2(JM)/d^+1)/0- + l)!,

j = 0,1. В силу невырожденности резонанса имеемЬ^д+Ь^о Ф 0- Фазовым пространством системы (8) является полноторий D2 х S1 (щ,и2 е D2 С Л2).

Справедлива следующая [*]

Теорема 1. Правые части системы (8) периодические nov с наименьшим периодом 2тг/р.

' [*] Морозов А.Д. Резонансы, циклы и хаос в квазиконсервативных системах.-МоскваЛ1жспск: НИЦ 'Регулярная и хаотическая динамика", 2005. 420 с.

Функции Ak(v; Ipq, Jpg), к = 1,2, можно представить в виде

Ak(v; Ipq, Jpq) = Äk(v; I„, Jpq) + Bk, (10)

где Bi = Bi(IPg),B2 = B2{Jpq). Функции Bi(I),B2(J) являются порождающими функциями Пуанкаре-Понтрягина для несвязанных, но возмущенных осцилляторов.

При получении усреднённой системы (8) мы пренебрегли членами 0(fi2), которые зависят как от переменных щ, и2, v, так и от ip.

Преобразуем систему (8) к более удобному виду. Сделаем в (8) замену

м2 = (ш - Ь10щ - pQa(v; Jpq))/b2o (И)

и обозначим ui = и. В результате, пренебрегая членами 0(р2), придем к системе

и' = И/ + /4Ö20«2 + а02^2 + Оцш]

и/ = A(v- Ipq, Jpq) + ß[Ci{v\ Ipq, J„)u + C2(v; Ipq, Jpq)w] (12) u' = Ai(v; Ipq, Jrq) + n{C3{v, Ipq, Jpq)u + C4(v; Ipq, Jpq)w],

где

А = ЬюЛх + 620^2,

O-20 = &11 + &2lblo/620> а02 = 621/6201 а11 = -2(621610/620)1

Ci = Ь10Рц - (6?o/62o)Fi2 + 620F2i - &10P22, ^

C2 = (610/620)^12 + P22 + <3o.

C3 = Pn — 610P12/620)

C4 = Р12/620-

Тем самым каждой резонансной точке (/и, Jpg) на линии (6) сопоставляется трехмерная усредненная система (12). Решая систему

Ai{v,IM, JM) =0

A2{v,I„,J„)= 0 (14)

pwiUw) +9w2(Jm) = 0,

находим, если это возможно, значения v = Vo, I = Ipq, J = Ipq-

Резонанс, соответствующий точке {Ipq,Jpq) резонансной кривой (6), будем называть:

1. проходимым, если система (14) не имеет вещественных корней, причем \Вк\ > maxv\Ak\ хотя бы для одного значения к\

2. частично проходимым, если система (14) имеет вещественные корни, причем Вкф 0 хотя бы для одного значения fc;

3. непроходимым, если система (14) имеет вещественные корни, причем В\ = В2— 0.

Справедлива следующая теорема [*] Теорема 2.

1. Если резонанс (, Jpq) проходимый, то фазовые кривые усредненной системы (12) покидают при t ±00 любую ограниченную область фазового пространства R2 х S1.

2. Если резонанс (Im, Jpq) частично проходимый, то в фазовом пространстве усредненной системы (12) существуют множества начальных условий, которые отвечают ограниченным фазовым кривым (либо при t +00, либо при t —> —00 ), а также множества начальных условий, которые отвечают фазовым кривым, покидающим при t —» ±00 любую ограниченную область фазового пространства R2 х S1.

3. Если резонанс (Ipq, JP9) непроходимый, причем 5 = dBi/dl+dBi/dJ ф 0, Д = (dBi/dI)(dB2/dJ) > 0, то для любых начальных условий фазовые кривые усредненной системы (12) остаются (либо при

t —> +00, если 5 < 0, либо при t —00, если S > 0) в ограниченной области фазового пространства.

Как известно, простому устойчивому (неустойчивому) состоянию равновесия системы (12) соответствует устойчивое (неустойчивое) периодическое резонансное решение исходной системы, а устойчивому (неустойчивому) предельному циклу - двумерный устойчивый (неустойчивый) тор.

Система (12) в общем виде (с учетом в (12) членов 0(ß)) не изучена. Поведение фазовых кривых этой системы может быть достаточно сложным и, возможно, хаотическим. Чтобы прояснить проблемы, возникающие при исследовании системы вида (12), во второй главе диссертации

рассмотрена упрощенная система [1|:

у' = и)

и/ = рх вт V + р2 + + Рб")

и' = рз вт V + р4 + ¡¿(р^ + р8и).

гдер*, к = 1..8 - параметры. Очевидно, один из этих параметров всегда можно исключить. Положим р1 = —1. Рассмотрим случай Рг = Р4 = О, когда несвязанные осцилляторы имеют предельные циклы для соответствующих значений I = 1рд, ,7 = Зщ (В\{1РЧ) = 0,.Е?2(Ли) = 0).

Итак, получаем следующую систему

Проводится исследование системы (16): находятся состояния равновесия и изучаются их бифуркации; решается задача о глобальном поведении решений.

При численном счете, когда ¡л - фиксированное число, несмотря на простой вид модельной системы в ней наблюдаются наряду с регулярными аттракторами и нерегулярные аттракторы, а также петли седло -фокуса (аттрактор Шильникова).

Система (Ю) близка к трехмерной интегрируемой консервативной системе. Сделаем в системе (16) замену« = г — рзш. В результате получим систему

Тогда невозмущенная система - это уравнение математического маятника у" + вти = 0. Для этого уравнения стандартным образом можно перейти в колебательной и вращательной областях от переменных (ги,у) к переменным действие-угол (Ь,ф). Если записать в новых переменных систему (17), то придем к системам, у которых две медленных переменные Ь,г и одна быстрая ф. К таким системам был применен метод

у' — и)

■ш' = — эт (у) + /Драги + Рб") и' = рз вт (г>) + д(р7« + р§и)

(16)

у' = и)

и/ = — Бт (г>) + р\{р5 - РзРо)™ + Рог]

•г' = /4(РзР5 ~ РзРа + Рт~ Рт)™ + (йРо + Рз».

(17)

усреднения. В результате в колебательной области получаем усредненную систему

L' = 8^(р5 - РзРб)№2(£) - 1)К(k(L)) + E(fc(L))]/ir

z' = nips + РзРо)2, а во вращательной области - систему "4(р5 -РзРв)

(18)

1' = ц z' = ц

к(РзР5 - РзР$ +Р7- РзРв) к{Ь)Щк{Ь))

+ (.Р8 +РзРб)2

(19)

где К, Е - полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно, к - их модуль.

Анализ систем (18) и (19) позволил провести глобальное исследование системы (1С). Отметим, что каждому нетривиальному простому устойчивому (неустойчивому) состоянию равновесия системы (18) соответствует устойчивое (неустойчивое) периодическое решение системы (16).

В третьей главе рассматривается система двух уравнений Дюф-финга - Ван дер Поля, которая принадлежит к классу систем, близких к нелинейным интегрируемым, и представляет собой систему двух слабо связанных осцилляторов

х + х±хг = е\(р1-х1)х + р2у}

У + У + У3 = е[(рз ~ У2)У + Рах],

где pi,p%,p3,pi - параметры, е - малый положительный параметр. В рассматриваемых случаях, соответствующих разным знакам перед х3 в первом уравнении, невозмущенные уравнения имеют ячейку, заполненную замкнутыми фазовыми кривыми. Случай 1 будем соотносить знаку "плюс" в первом уравнении (20), а случай 2 - знаку "минус".

Основными проблемами в исследовании связанных уравнений (20) являются резонансы, определяемые в (7), где h\ л hi - значения интегралов энергии

Hi(i,i)=i2/2 + i2/2±xV4 = A1>

Н2{у, у) = У2/2 + У1/2 + у4/4 = Л2.

уравнений Дюффинга

х + х±х3 = 0, у + у + у3 = 0. (22)

Здесь (hlth2) £ D, где D = A i х Д2, Ai = (0,оо), Д2 = (0,оо) в случае 1 и Ai = (0,0.25), Д2 = (0, оо) в случае 2.

Условие (7) определяет на плоскости (fti,/i2) резонансные кривые. Оказывается, для большинства точек этих кривых структура резонансных зон простая - они являются "проходимыми". Лишь для некоторых точек некоторых резонансных кривых может существовать нетривиальная структура, связанная с существованием резонансных периодических движений. В случае 2 из-за существования невозмущенных сепаратрис возможно появление гомоклиничсского контура.

Поясним ситуацию с возникновением резонансов на примере случая 1, когда фазовые плоскости уравнений (22) заполнены замкнутыми фазовыми кривыми. Если взять начальные условия хо, ¿о вблизи уровня энергии Hi(x,x) = Ню, а начальные условия для второго осциллятора вблизи уровня Н2(у,у) = /í-20 так! чтобы частоты движения на этих уровнях удовлетворяли условию (7), то получим резонансную ситуацию. В этом случае мы приходим к исследованию трехмерной системы вида (12), которую будем называть частично усредненной системой (ЧУС). В случае усреднения в (5) по обеим угловым координатам полученную усредненную систему будем называть полностью усредненной системой (ПУС).

В [2] была получена усредненная система первого приближения и указана структура системы второго приближения. Отметим, что правые части ЧУС первого и второго приближений получены в виде рядов, коэффициенты которых быстро убывают. При дальнейшем рассмотрении ЧУС в рядах оставим только первую гармонику. Верпы следующие теоремы.

Теорема 3. Б случае 1 при р и q - нечетных, правые части частично усредненной системы имеют следующий вид

А = Coi sin (pv) + С02, Al = Соз sin (pv) + Сщ Ci = Cu sin (pv) + Си, Сг = c2i sin (pv) + c22, (23)

C3 = C3i sin (pv) + c32, C\ = c41 sin (pv),

где Cij - определенные постоянные, i = 0,1,2,3, j = 1,2,3.

Теорема 4. В случае 1 при четных р и/или q имеем A(v; Ipa, Jvq) = со2 и Ax{v\Ivq,Jv^) = согде С02, со4 - определенные постоянные.

Теорема 5. В случае 2 при р и q - нечетных, правые части частично усредненной системы имеют следующий вид

А = coi cos (pv) + С02, Ai = С03 cos {pu) + co4 Cl = Си COS (pv) 4- Ci2, C2 = C21 cos (pv) + С22, (24)

C3 = c3icos(pv)+C32, C4 = c4icos(pv),

где cij - определенные постоянные, г = 0,1,2,3, j = 1,2,3.

Теорема 6. В случае 2 при четных р и/ил и q имеем A{v; In, Jpq) = С02 ы = Ом> сог, 0)4 ~ определенные по-

стоянные.

В данной главе проводится анализ полученных частично усредненных систем на наличие состояний равновесия и устанавливается их тип.

Определение. Будем говорить, что имеет место нетривиальная резонансная структура, если усредненная в окрестности резонанса система имеет простые состояния равновесия.

В данной главе получены условия, при выполнении которых возникают нетривиальные резонансные структуры.

Резонансные структуры существенно зависят от того, совпадают ли выбранные замкнутые фазовые кривые в невозмущенных осцилляторах с уровнями, порождающими предельные циклы в несвязанных уравнениях. Решение данного вопроса связанно с понятием "синхронизации колебаний", которому в прикладных задачах уделяется значительное внимание.

В заключении третьей главы рассмотрено однопараметрическое семейство (20): в случае 1 зафиксированы параметры р2 = 0.2, рз = 0.3, Р4 = 0.5; в случая 2 - р2 = 0.2, р3 = 1.5, р4 = 0.5. Проводится анализ

поведения фазовых кривых частично усредненных систем в зависимости от параметра р\.

В четвертой главе рассматривается задача о глобальном поведении решений системы двух связанных уравнений Дюффинга - Ван дер Поля (20) |3]. Показано, что не для каждой резонансной точки (Ivq, Jpq) в частично усредненной системе (12) существуют простые состояния равновесия (периодические решения соответствующего периода в исходной системе). Обозначим через Mpq множество пар (р, q), для которых такие состояния равновесия существуют. Справедлива следующая теорема

Теорема 7. При условии Bi(Ipq)B2{Jpq) J=- 0 множество Mpq не более чем конечно.

Из данной теоремы следует, что при достаточно малых £ > 0 на плоскости переменных действия (I, J) окрестности нетривиальных резо-пансов не пересекаются. По аналогии с 3/2 степенями свободы можно говорить о глобальном поведении решений. Поведение решений системы (20) в окрестности нерезонанспой точки (То, ^о) определяется системой щ = liBi{Iü), Ü2 = ßB2(Jo) в случае, когда BiB2 ф 0. В связи с этим динамика системы (20) вне окрестностей нетривиальных резонан-сов фактически определяется полностью усредненной системой

/ = eBi(I), j = sB2(J),

которая получается в результате перехода в системе (20) к переменным действие-угол и усреднения по двум угловым координатам.

Если зафиксировать точку М на плоскости (I, J) и соответственно, по одной точке на замкнутых фазовых кривых (21) и начать интегрировать систему (20), то фазовая точка начнет движение по соответствующей фазовой кривой. Если точка М не принадлежит окрестности резонансной точки, для которой частично усредненная система имеет простые состояния равновесия, то движение будет определяться траекторией полностью усредненной системой. В противном случае движение будет определяться частично усредненной системой.

Качественное поведение решений системы (25) нетрудно получить, ибо двумерная система разбивается на две одномерных системы. Так как у каждой системы имеется нетривиальное устойчивое состояние равновесия [2], то, соответственно, у двумерной системы будет существовать

(25

устойчивое состояние равновесия О(1о, Jo)- В этом случае у каждого автоколебательного уравнения, получающегося из (20) при отсутствии связи (р2 = Pi = 0), существует устойчивый предельный цикл. Возможны два случая: 1) резонансный, когда lo = Ipq, Jo = Jn и 2) нерезонансный. В резонансном случае в исходной системе будет существовать периодическое решение, в нерезонансном - двумерный устойчивый инвариантный тор с квазипериодической обмоткой.

В приложении приведены программы, подготовленные с использованием Maple. Для численного анализа исходной и усредненных систем наряду с Maple была использована нрорграмма WInSet2. Численный счет использовался в первую очередь для иллюстрации полученных теоретических результатов. С использованием пакета Maple были подготовлены программы, которые выполняли следующие функции:

• построение резонансных кривых на плоскости переменных действия;

• нахождение коэффициентов для частично усредненной системы и полностью усредненной системы;

• сохранение найденных коэффициентов частично усредненной системы в специальный файл, необходимый для построения фазовых кривых частично усредненной системы с использованием программы WInSet;

• определение значения дивергенции векторного поля частично усредненной системы и динамики ее изменения;

• определение для частично усредненной системы выполнения условий на параметры, при которых происходят бифуркации состояний равновесия;

• построение области изменения параметров исходной системы, удовлетворяющих условию существования нетривиальных резонансных структур;

• построение траекторий движения полностью усредненной системы на плоскости переменных действия.

2Морозов А.Д., Драгунов Т.Н. "Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем".-Москва-Ижевск: Изд-во Инст. компьют.исслед., 2U03.-304 с.

Основные публикации автора по теме диссертации.

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Morozov A.D. and Kondrashov R.E. On resonances in systems of two weakly connected oscillators,// Rcgul. Chaotic Dyn., 2009, vol. 14, No. 2, pp. 237-247.

2. Кондратов P.E., Морозов А.Д. К исследованию резонансов в системе двух уравнений Дюффинга - Ван дер Поля// Нелинейная динамика, 2010, Т.6, №2, с.241-254.

3. Кондратов Р.Е., Морозов А.Д. О глобальном поведении решений системы двух уравнений Дюффинга - Ван дер Поля// Нелинейная динамика, 2011, Т. 7, №3, с.437-449.

4. Кондратов Р.Е. К исследованию систем двух уравнений Дюффинга - Ван дер Поля,// Вестник ННГУ. №4.Часть 5.-Н.Новгород:Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 20U.-C. 2258-2259.

Прочие публикации:

5. Кондратов Р.Е., Королев С.А., МорозовА.Д. К исследованию резонансов и системах с двумя степенями свободы,/,/ Межд. конф. И.Г. Петровского "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы".-М.: Сборник тезисов, 2007.-С. 14G.

6. Кондратов Р.Е. О глобальном поведении решений системы двух уравнений Дюффипга-Ван дер Поля,/,/Труды конф. "Модели, методы и программные средства Н.Новгород, изд-во Нижегородского ун-та, 2007, с. 208.

7.Кондрашов Р.Е., Морозов А.Д. К исследованию некоторых классов трехмерных систем, возникающих в теории нелинейного резонанса// Межд. конф. Л.С. Понтрягина "Дифф. уравн. и топология".-М.: Тезисы докладов, 2008.-С. 144.

8. Кондратов Р.Е., Королев С.А., Морозов А.Д. О неконсервативных системах с двумя степенями свободы, близких к интегрируемым/,/ Тезисы докл. Межд. Конф. по дифф. уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2-7 июля 2010, с. 109.

9. Dragunov T.N., Kondrashov R.E., Morozov A.D. On visualization of resonance structures in dynamical systems with two degrees of freedom,/,/ Proceedings of 3-rd Int. Conf. on Nonlinear Dynamics, 2010, Kharkov, Ukraine, pp.62-66.

Подписано в печать 03.04.2012. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1. Заказ № 204. Тираж 100.

Отпечатано в Центре цифровой печати Нижегородского госуниверситета им. Н И. Лобачевского 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23

61 12-1/1052

нижегородский государственный университет

им. н.и.лобачевского

М еханико- м атем атический ф акультет

Кондрашов Роман Евгеньевич

С

К ТЕОРИИ РЕЗОНАНСА В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ, БЛИЗКИХ К НЕЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРИРУЕМЫМ

Специальность 01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Морозов Альберт Дмитриевич

Нижний Новгород - 2012

Содержание

1 Введение 4

1.1 Общая характеристика работы................................5

1.2 История вопроса................................................7

1.3 Основные результаты..........................................10

2 Системы с двумя степенями свободы близкие к интегрируемым 22

2.1 Усредненные системы............................................22

2.2 Приведение в резонансном случае............................25

2.2.1 Система первого приближения........................27

2.2.2 Второе приближение....................................28

2.2.3 Вспомогательные преобразования ....................29

2.3 Модельная система..............................................31

2.3.1 Состояния равновесия и их бифуркации..............32

2.3.2 Глобальный анализ......................................33

2.3.3 Двухпараметрическое семейство......................39

3 Анализ системы двух уравнений Дюффинга - Ван дер Поля 45

3.1 Автономный случай системы двух уравнений Дюффинга -Ван дер Поля....................................................45

3.1.1 Решения невозмущенных уравнений. Резонансы . . 46

3.1.2 Предельные циклы в несвязанных уравнениях ... 48

3.2 Вычисление частично усредненной системы в случае /3=1 54

3.2.1 Вычисление частично усредненной системы первого приближения............................................54

3.2.2 Вычисление частично усредненной системы второго приближения............................................59

3.3 Вычисление частично усредненной системы в случае/? = —1 63 3.3.1 Вычисление частично усредненной системы первого

приближения................................63

3.3.2 Вычисление частично усредненной системы второго

приближения............................................67

3.4 Исследование частично усредненных систем ................70

3.4.1 Состояния равновесия..................................70

3.4.2 Условия существования нетривиальных резонансных структур..................................................71

3.5 Существование гомоклинических структур..................77

3.6 Численное исследование частично усредненной системы . . 79

3.6.1 Исследование в случае (3 = 1..........................79

3.6.2 Исследование в случае (3 = —1........................81

4 Глобальное поведение решений 82

4.1 Ограниченность числа нетривиальных резонансов..........82

4.2 Глобальное поведение решений системы двух уравнений Дюффинга-Ван дер Поля......................................86

4.3 Численные результаты..........................................89

4.3.1 Случай (3 = 1............................................89

4.3.2 Случай (3 = -1..........................................91

Приложение 92

Случай [3 = 1..........................................................92

Нахождение областей для различных резонансных уровней 92

Построение решений полностью усредненной системы . . . 94

Построение решений частично усредненной системы .... 95

Случай (3 = -1........................................................98

Нахождение областей для различных резонансных уровней 98

Построение решений полностью усредненной системы . . . 100

Построение решений частично усредненной системы .... 101

Глава 1

Введение

Нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, как правило, не допускают ни точного аналитического решения, ни полного качественного исследования. Обусловлено это, в первую очередь, их неинтегрируемостью, связанную, в частности, с наличием резонансов и гомоклинических структур. Поэтому важную роль играет рассмотрение классов нелинейных систем, которые малыми возмущениями отличаются от интегрируемых. Подобные системы играют фундаментальную роль в теории нелинейных колебаний. Среди таких систем наиболее изучены квазилинейные системы. Однако, при рассмотрении прикладных задач квазилинейные системы не отражают адекватно исходный процесс или явление. Поэтому необходимо рассматривать системы, близкие к нелинейным интегрируемым. Теория таких систем еще далека от завершения. Наиболее продвинуто исследование систем, близких к двумерным гамильтоновым. Это системы с одной и полутора степенями свободы.

Если говорить о системах с двумя и большим числом степеней свободы, то здесь имеются лишь частные результаты, касающиеся, например, проблемы существования и устойчивости периодических решений. Для систем с двумя степенями свободы, близких к нелинейным интегрируемым, в последние годы получены трехмерные усредненные системы, описывающие поведение решений исходных систем в резонансных зонах. Однако до сих пор отсутствуют примеры таких систем, для которых были бы найдены правые части усредненных систем и проведен их анализ. В связи с этим важнейшую роль играет полное исследование эталонных систем. К таким системам следует отнести системы двух слабосвязанных уравнений Дюффинга и маятниковых уравнений.

Представленные в диссертации результаты касаются анализа системы двух уравнений Дюффинга-Ван дер Поля и, в первую очередь, анализа структуры резонансных зон. Подобная система отражает основные черты систем двух связанных нелинейных осцилляторов. Действитель-

но, при отсутствии связи имеем уравнения Дюфинга-Ван дер Поля, в которых могут существовать предельные циклы и сепаратрисные контуры или петли сепаратрис седла. В невозмущенных уравнениях частоты не являются постоянными, что приводит к наличию бесконечного множества резонансов. Кроме этого, решения уравнений Дюффинга не являются гармоническими, а представляются через эллиптические функции (иначе говоря, представляются в виде специальных тригонометрических рядов). Таким образом, при исследовании системы двух слабосвязанных уравнений Дюффинга-Ван дер Поля имеют место те же проблемы, что и для общих систем двух связанных осцилляторов: существование бесконечного множества резонансов, гомоклинических структур, инвариантных торов.

Отметим, что из общих результатов следует возможность существования двумерного инвариантного тора (в четырехмерном фазовом пространстве исходной системы), который будет асимптотически устойчивым, если оба предельных цикла устойчивые.

1.1 Общая характеристика работы

Диссертация состоит из четырех глав, приложения и списка литературы. Список литературы содержит 83 наименований. Имеется 38 иллюстраций. Иллюстрации приводятся по мере их использования в основном тексте. Общий объем работы составляет 110 страниц. Главы разделены на параграфы, параграфы - на пункты.

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в теории динамических систем, в теории колебаний, а также при исследовании конкретных моделей.

Первая глава, является вводной и содержит обзор известных результатов (необходимые сведения, результаты, касающиеся систем размерности четыре и результаты, тесно примыкающие к предмету исследования), а также постановку задачи (исходные уравнения, предмет исследования) и формулировку основных результатов диссертации. Результаты, полученные автором, содержатся во второй, третьей и четвертой главах.

Вторая глава содержит известные результаты по исследованию систем с двумя степенями свободы общего вида. В резонансных случаях приводится трехмерная усредненная система. Однако, до сих пор отсутствуют работы, в которых были найдены правые части этой системы и проведен ее анализ. В связи с этим в этой главе рассматривается модельная трехмерная усредненная система и проводится ее анализ.

В третьей главе рассматривается система двух слабо связанных уравнений Дюффинга - Ван дер Поля (с параметром г, определяющим ма-

лость связи). Для данной системы выводятся трехмерные усредненные системы, для которых проводится аналитическое исследование в двух случаях: 1) у невозмущенных нелинейных уравнений отсутствуют сепаратрисы, 2) у одного из невозмущенных уравнений имеются сепаратрисы. Проводится анализ полученных усредненных систем. Дается определение нетривиальной резонансной структуры. Показано, что резонансные структуры существенно зависят от того, совпадают ли выбранные замкнутые фазовые кривые в невозмущенных осцилляторах с уровнями, порождающими предельные циклы в несвязанных уравнениях. Рассматривается вопрос о существовании гомоклинических структур для случая 2.

В четвертой главе показано, что для системы двух слабо связанных уравнений Дюффинга - Ван дер Поля существует не более, чем конечное множество нетривиальных резонансных структур. В этом случае на плоскости переменных действия (при достаточно малых значениях параметра е) окрестности нетривиальных резонансов не перекрываются. На основании этого устанавливается поведение решений вне области нетривиальных резонансов. В результате получено представление о глобальном поведении решений исходной системы.

Всего по теме диссертации автором опубликовано 9 работ ([36] - [42], [74], [77]) в том числе четыре в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов диссертации. Все основные результаты диссертации являются новыми и принадлежат автору. В работах, выполненных совместно с Морозовым А.Д. автору принадлежат доказательства всех основных результатов.

Основные результаты докладывались и обсуждались на Международной конференции И.Г. Петровского в г. Москва (2007г.), Международной конференции Л.С. Понтрягина в г. Москва (2008г.), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим система в г. Суздаль (2010г.), Десятом всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики в г. Нижний Новгород (2011г.).

Также были сделаны доклады на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа ННГУ им. Н.И. Лобачевского ( руководители - проф. А.Д. Морозов, проф. Л.М.Лерман).

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете под руководством доктора физико-математических наук, профессора А.Д. Морозова, которому автор выражает свою искреннюю признательность за постановку задачи, полезные замечания и постоянное внимание к работе.

1.2 История вопроса

Настоящая работа относится к тому кругу вопросов, который связан с качественным исследованием систем обыкновенных дифференциальных уравнений, близких к нелинейным консервативным интегрируемым. Такие системы играют фундаментальную роль в теории нелинейных колебаний. Основными методами исследования таких систем являются: метод малого параметра Пуанкаре [62], методы определения устойчивости, восходящие к работам Ляпунова [45], и методы усреднения, разработанные Крыловым, Боголюбовым и Митропольским [16], [17], [43].

Эти методы особенно эффективны в квазилинейном случае, когда уравнения движения имеют вид

где х = (#1, ...,хп), А — (п х п) постоянная матрица, £ - малый параметр, Я - периодическая по £ п - мерная вектор - функция. Именно при рассмотрении квазилинейных двумерных систем такого вида Андронову, Витту, Мандельштаму и Папалекси [5] впервые удалось применить математические методы Пуанкаре - Ляпунова и раскрыть их фундаментальное значение в области нелинейных колебаний. Так введенное Андроновым [1] понятие автоколебательной системы как системы, у которой на фазовой плоскости существует предельные циклы Пуанкаре, позволило математически адекватно описать нелинейные процессы в ламповом генераторе и, в частности, "мягкий" и "жесткий" режимы возбуждения колебаний [2] - [4]. Эти же методы были применены для описания явлений резонанса п -го рода [46] и "захватывания" колебаний [6]. Далее методы Пуанкаре - Ляпунова и методы усреднения с успехом были использованы в решении различных задач, описываемых, в частности, квазилинейными системами или так называемыми системами Ляпунова. В достаточной мере эти задачи рассмотрены в книгах Андронова, Витта, Хайкина [2], Боголюбова и Митропольского [18], [50], Малкина [47], Дж. Стокера [65], Каудерера [32], Блехмана [15], Чезари [67], Дж.Хейла [66], Бутенина [12], Моисеева [59], в работах Лоуда и Сефа [80], Страйбла и Йонулиса [64] и многих других.

Рассматриваемые системы удобно записать в виде системы, близкой к нелинейной интегрируемой гамильтоновой

х = Ах + еЩх, £)

(1.2.1)

х =--1- р. f(x. 1/)

(1.2.2)

где х = (xi,..., хп), у = (2/1, ...,уп), или в виде

i = EF1(I,e)=e(fx'e-g'ye)

(9 = w(J) + eF2(J, 0) = w(I) + ei-fx'j + gy'j),

где I = (/i,...,/n), 9 = (0i,...0n) - переменные действие - угол, со = (ui,..., о;п), а вектор - функции i7!, F2 периодические по в с периодом 27г. Исследования данной диссертации посвящены системам с двумя степенями свободы, когда п = 2.

Принципиальный момент в исследовании таких систем связан с наличием резонансов.

Говорят, что в системе (1.2.3) имеет резонанс, если для некоторого I = /о существует такой целочисленный вектор к = кт), что

MJo),fc) = ^iLi^iki = 0, \к\ 0. При этом резонанс в существенно нелинейной системе, когда о; = о;(/), называют нелинейным резонансом.

Изучению резонансных явлений в системах вида (1,2.1), (1.2.3) посвящено большое количество работ, ведущих свое начало от классических исследований Пуанкаре [62], рассмотревшего вопрос о существовании и устойчивости резонансных периодических решений. Это, например, работы Волосова и Моргунова [21], [22], которые дали методику отыскания стационарных резонансных режимов и определения их устойчивости. В [21], [22] содержится также и довольно полный обзор работ, в которых изучались резонансные явления в различных конкретных системах. В случае, когда ш = const вопросы существования и устойчивости стационарных режимов в системах вида (1.2.1) с помощью методов усреднения рассматривались Митропольским и Самойленко [51], Дж.Хейлом [66] и другими.

Наличие нелинейного резонанса в системе приводит к малым знаменателям в рядах теории возмущений и, вообще говоря, к неинтегрируемости системы в любой конечной области изменения I.

Если говорить о резонансах в нелинейных динамических системах, то исторически следует начать с консервативных систем и, в первую очередь, с гамильтоновых систем. Благодаря задачам небесной механики они привлекают внимание математиков на протяжении многих десятков лет. Первые попытки исследования таких систем были предприняты еще Эйлером при рассмотрении движения Луны. Впоследствии наиболее существенные результаты в этой области были получены Пуанкаре [62], [73], а в наше время - Колмогоровым [35], Арнольдом [7], [9] и Мозером [52], [53] (теория KAM). Согласно известному результату о сохранении инвариантных торов, у системы (1.2.3) в консервативном случаеп - мерные инвариантные торы / = const невозмущенной системы, соответствующие множеству, мера которого близка к единице, сохраняются при воз-

мущении. Лишь инвариантные торы, соответствующие дополнительному множеству малой меры разрушаются при возмущении. Этому дополнительному множеству малой меры соответствуют так называемые "зоны неустойчивости", содержащие резонансные уровни. В случае, когда число степеней свободы п > 2, п - мерные инвариантные торы не делят (2п — 1) - мерного пространства и поэтому фазовая точка со временем может проходить между торами и убегать, например на бесконечность (диффузия Арнольда). Оценка скорости убегания фазовой точки получена Нехоро-шевым [61]. Далее, значительное место в исследовании гамильтоновых систем занимали вопросы интегрируемости. Отметим работы Эно и Хей-леса [79], Козлова [33], Чирикова и Заславского [26]. Одним из первых указал на возможность неинтегрируемости гамильтоновых систем Пуанкаре. Основной причиной неинтегрируемости являются резонансы, а также наличие в системе двоякоасимптотических (гомоклинических по терминологии Пуанкаре) решений. Наличие таких решений в системе приводит к сложной картине поведения решений в их окрестности или, как теперь говорят, приводит к нетривиальному гиперболическому множеству, включающему счетное множество седловых периодических движений и континуальное множество устойчивых по Пуассону движений.

Только в последнее время мы стали понимать масштабы и причины трудностей, возникающих при исследовании, казалось бы, простых динамических систем. Одна из основных причин такой сложности - это возможность существования резонансов, а также гомоклинических кривых. Грубо говоря, здесь дело связано с тем, что близкие траектории в окрестности гомоклинической кривой экспоненциально по времени расходятся и, следовательно, движение является локально неустойчивым. Если при этом движение остается финитным, то экспоненциальная локальная неустойчивость приводит к сильному "перемешиванию" траекторий, и система ведет себя так, как будто бы на нее действуют случайные силы. Именно это перемешивание описали теоретически и наблюдали в численных экспериментах Чириков, Заславский и их коллеги при исследовании несложных по виду гамильтоновых систем или сохраняющих площадь отображений [26], [27], [68], [69].

Исследование резонансных структур в системах с 3/2 степенями свободы