К исследованию резонансов в четырехмерных квазигамильтоновых системах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, как правило, не допускают ни точного аналитического решения, ни полного качественного исследования. В связи с этим рассмотрение систем, малыми возмущениями отличающихся от тех нелинейных (негрубых) систем, движения которых известны, во многих отношениях оказывается весьма полезным.

Замечательный класс таких систем составляют системы, близкие к интегрируемым гамильтоновым. Здесь в случае возмущений, сохраняющих гамильтонову структуру уравнений, получены наиболее полные и общие результаты. Случай возмущений, выводящих за рамки гамильтоновой механики, несмотря на всю его прикладную направленность, сравнительно мало изучен. Достаточно подробно можно говорить лишь о трехмерных системах, описывающих периодические по времени возмущения двумерных гамильтоновых систем. Обусловлено это рядом существенных трудностей — в первую очередь эволюцией системы и наличием резонансов.

Представленные в диссертации результаты касаются качественного анализа структуры резонансных зон неконсервативных четырехмерных систем, близких к нелинейным интегрируемым системам Гамильтона, и могут служить частичным обобщением известных результатов, касающихся трехмерного случая, а также дополнением к некоторым более общим результатам.

1.1 Общая характеристика работы

Диссертация состоит из трех глав и списка литературы. Список литературы содержит 87 наименований. Имеется 42 иллюстрации. Общий объем работы составляет 160 стр. Главы разделены на параграфы, параграфы — на пункты. Иллюстрации выведены в конец основного текста (перед списком литературы).

Настоящая, первая

глава, является предварительной и содержит постановку задачи (исходные уравнения, примеры, предмет исследования), обзор известных результатов (необходимые сведения из теории гамильтоновых систем, результаты, касающиеся квазигамильтоновых систем размерности < 4 и результаты, тесно примыкающие к предмету исследования), а также формулировку основных результатов диссертации (теоретические результаты, приложения к конкретным задачам). Результаты, полученные автором, содержатся во второй и третьей

главах.

Вторая

глава носит теоретический характер и содержит предварительный анализ (приведение исходных уравнений к стандартному виду, усреднение в зоне выделенного резонанса), рассмотрение особых случаев (резонансы I и II типа) и анализ неособого случая (резонансы III типа, прохождение через резонанс, поведение резонансных движений).

Третья

глава посвящена приложениям теории к конкретным задачам. Проводится численно-аналитическое исследование двух примеров: движения заряда в электромагнитном поле и колебаний сложной энергосистемы. Описано возникновение в обоих примерах нерегулярной резонансной динамики.

По материалам диссертации автором опубликовано 8 работ [2427,29,30,32,81]. Основные результаты докладывались и обсуждались на семинаре под руководством проф. В.В.Козлова (МГУ, апрель 1995 г.), на XVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (январь 1996 г.), на IV и V конференциях по нелинейным колебаниям механических систем (Нижний Новгород, сентябрь 1996 г. и сентябрь 1999 г.), на Международной конференции по математике и приложениям, посвященной 90-летию Л.С.Понтрягина (Москва, сентябрь 1998 г.).

Работа выполнена в Коми научном центре Уральского отделения Российской академии наук и в Нижегородском государственном университете под руководством доктора физико-математических наук, профессора А.Д.Морозова, которому автор выражает свою искреннюю признательность.

1.2 Постановка задачи

1.2.1. Исходные уравнения. Примеры. Нас будут интересовать четырехмерные системы следующего вида

Уз = +е¥з(х'У)> = где х — (гг1,Ж2)5 У = (УьУг) — вещественные фазовые переменные; точка — производная по времени Н, У,- — гладкие 1 функции фазовых переменных; е — малый положительный параметр.

При е = 0 имеем гамильтонову систему

• дН, \ ■ дН, Л ¡Л 9\

Ю = -щ(*,У) (1-2) с двумя степенями свободы, гамильтонианом Н: обобщенными координатами х^ и обобщенными импульсами yj, которую будем считать нелинейной и вполне интегрируемой, т.е. допускающей кроме первого интеграла Н дополнительный первый интеграл, не зависящий от Н. Наибольший интерес представляет случай, когда среди неособых совместных уровней первых интегралов имеются компактные и связные. В этом случае по теореме Лиувилля (см. параграф 1.3) в четырехмерном фазовом пространстве системы (1.2) имеется связная область I), целиком заполненная инвариантными двумерными торами с условно-периодическими движениями, частоты которых непостоянны.

1т.е. достаточно гладкие, например, аналитические

Мы полагаем, что при е > 0 система (1.1) не является гамиль-тоновой, т.е. не представляется в виде системы (1.2) с некоторым возмущенным гамильтонианом. В частности, дивергенция ее векторного поля не равна тождественно нулю. В этом случае естественно ожидать, что рассматриваемая система не допускает глобальных интегралов движения и тем самым — очевидного расслоения на интегральные поверхности.

Системы вида (1.1) достаточно универсальны и имеют множество приложений в самых различных областях. Приведем лишь несколько примеров.

Большой класс составляют так называемые слабо связанные системы, т.е. системы вида (1.1) с функцией Гамильтона

Н = Hi(xi,yi) + Я2(ж2,2/2), где каждая из функций Hj (j — 1, 2) зависит только от своих переменных Xj, yj (являясь дополнительным первым интегралом невозмущенной задачи) и допускает на плоскости или цилиндре замкнутые уровни Hj = const. При этом возмущения Xj, Yj характеризуют связь между подсистемами (зависят по крайней мере от одной из переменных Хк, Ук при j -ф к) и учитывают неконсервативные эффекты.

Таковы, например, механические системы типа осциллятор-осциллятор Hj = yj + v,j(xj) (функции Uj имеют строгий минимум); или осциллятор-ротатор Н\ = у\+и(х 1), Н2 = у\ (функция и имеет строгий минимум, а координата ж2 — угловая: х2 = х2 (тоАЪг)).

Один из примеров — система типа Хенона-Хейлеса [20, 80]

1 + х\ — —2е xi Х2, х2 + х2 - х2 = е [~х\ + (5 + 7 х2) х2] 7 = const), возникающая при рассмотрении ряда галактических моделей и сводящаяся к взаимодействию линейного и нелинейного осцилляторов. Другой пример — система вида [10] с (р + (1 + a cos (р) ф + sin (р = 7 + J + a J, j + 5j + coQj=b(p + d(p а, а, с, d, 6 — const), которая описывает, в частности, сверхпроводящие (джозефсоновские) контакты и при c~l, d, 8 ~ £ \ сводится к взаимодействию свободных вращений с гармоническими колебаниями.

1. Аносов Д.В., Арансон С.Х., Бронштейн И. У., Гринес В.З. Гладкие динамические системы / Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.1 (Итоги науки и техники ВИНИТИ СССР). М., 1985. С.151-242.

2. Арнольд В.И. Доказательство теоремы А.Н.Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // УМН. 1963. Т. 18. №5. С.13-40.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.

4. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

5. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики / Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.З (Итоги науки и техники ВИНИТИ СССР). М.: Наука, 1985.

6. Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.1 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР)". М.: 1985. С.7-149.

7. Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // ДАН СССР. 1977. Т.234. №2. С.336-339.

8. Афраймович B.C., Гаврилов Н.Л., Лукьянов В.И., Шилъников Л.П. Основные бифуркации динамических систем. Горький: Изд. ГГУ, 1985.

9. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990.

10. Белых В.Н., Веричев H.H. Глобальная синхронизация, регулярные и хаотические колебания в цепочечных маятниковых системах / Нелинейные колебания механических систем: IV Конф.: Тез. докл. Нижний Новгород, 1996. С.16.

11. Белых В.Н., Некоркин В.И. Качественное исследование системы трех дифференциальных уравнений из теории фазовой синхронизации // Прикладная математика и механика. Т.39. вып.4. 1975. С.642-649.

12. Белых В.Н., Некоркин В.И. О качественном исследовании многомерной фазовой системы // Сибирский математический журнал. Т.18. М4. 1977. С.723-735.

13. Белых В.Н., Некоркин В.Н. Качественные структуры и бифуркации, порождаемые нелинейным уравнением фазовой синхронизации третьего порядка // Прикладная математика и механика. Т.42. вып.5. 1978. С.808-819.

14. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991.

15. Биркгоф Д. Динамические системы. ОГИЗ, 1941.

16. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: На-укова думка, 1969.

17. Болсинов A.B., Фоменко А. Т. Введение в топологию интегрируемых гамильтоновых систем. М.: Наука, 1997.

18. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Методы осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд. МГУ, 1971.

19. Драгунов Т.Н., Малышева О.В., Морозов А.Д. К анализу возникновения паттернов в диффузионных системах / Нелинейные колебания механических систем: V Конф.: Тез. докл. Нижний Новгород, 1999. С.94-95.

20. Драгунов Т.Н., Морозов А.Д. К исследованию систем типа Хенона-Хейлеса // Регулярная и хаотическая динамика. 1997. Т.2. №1. С.43-54.

21. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1972.

22. Жевакин С.А. Об отыскании предельных циклов в системах, близких к некоторым нелинейным // ПММ. 1951. Т.15. вып.2. С.237-244.

23. Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний // УФН. 1971. Т.105. № 1. С.3-39.

24. Карабанов A.A. Резонансы в четырехмерных системах, близких к интегрируемым гамильтоновым. Сыктывкар. 1995 (Научные доклады. Коми научный центр УрО РАН, вып.371).

25. Карабанов A.A. Структура резонансных зон четырехмерных квазигамильтоновых систем. Сыктывкар. 1996 (Научные доклады. Коми научный центр УрО РАН, вып.382).

26. Карабанов A.A. Исследование структуры резонансных зон четырехмерных квазигамильтоновых систем / Нелинейные колебания механических систем: IV Конф.: Тез. докл. Нижний Новгород, 1996. С.69.

27. Карабанов A.A. Об ограниченности траекторий одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений / Алгебра, дифференциальные уравнения и теория вероятностей. Сыктывкар. 1997. С.60-61 (Труды Коми научного центра УрО РАН. №151).

28. Карабанов A.A. О нелокальной динамике в окрестности двух-частотного резонанса / Нелинейные колебания механических систем: V Конф.: Тез. докл. Нижний Новгород, 1999. С.111-112.

29. Карабанов A.A. Некоторые аспекты резонансной динамики четырехмерных квазигамильтоновых систем. Сыктывкар. 1999 (Научные доклады. Коми научный центр УрО РАН, вып.415).

30. Карабанов A.A. Об усреднении в системах типа Боголюбова / Алгебра, дифференциальные уравнения и теория вероятностей. Сыктывкар. 2000. С.48-64 (Труды Коми научного центра УрО РАН. №163).

31. Карабанов A.A., Морозов А.Д. О колебаниях двух синхронных машин, включенных в сеть неизменного напряжения // Прикладные проблемы теории колебаний. Горький: Изд. ГГУ, 1991. С.52-60.

32. Карабанов A.A., Полуботко В.А. Быстрые методы оценки устойчивости электроэнергетических систем. Сыктывкар. 1993 (Научные доклады. Коми научный центр УрО РАН, вып.318).

33. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамиль-тоновой механике // УМН. 1983. Т.38. №1. С.3-67.

34. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильто-новой механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского университета, 1995.

35. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1954. Т.98. №4. С.527-530.

36. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1988.

37. Леонов Г.А. Об устойчивости фазовых систем // Сибирский математический журнал. Т.15. №1. 1974. С.49-60.

38. Лерман Л.М., Уманский Я.Л. О существовании петель сепаратрис в четырехмерных системах, близких к интегрируемым гамильтоновым // ПММ. 1983. Т.47. №3. С.395-401.

39. Морозов А. Д. Уравнения маятникового типа и резонансы // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький: Изд. ГГУ, 1980. С.3-16.

40. Морозов А.Д. Системы, близкие к нелинейным интегрируемым. Горький: Изд. ГГУ, 1983.

41. Морозов А.Д. К исследованию резонансов в системах нелинейных слабо связанных осцилляторов / Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький: Изд. ГГУ, 1984. С.147-157.

42. Морозов А.Д. Об эволюционных движениях частицы в поле тяготения // ПММ. 1986. Т.50. №3. С.360-368.

43. Морозов А.Д. К решению проблемы предельных циклов для маятниковых уравнений / Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький: Изд. ГГУ, 1987. С. 113127.

44. Морозов А.Д. О предельных циклах и хаосе в уравнениях маятникового типа // ПММ. 1989. Т.53. №5. С.721-730.

45. Морозов А.Д. О качественном поведении решений в окрестности нелинейного центра двумерных периодических по времени систем, близких к гамильтоновым / Прикладные проблемы теории колебаний. Горький: Изд. ГГУ, 1990. С.119-132.

46. Морозов А.Д. О резонансах и хаосе в параметрических системах // ПММ. 1994. Т.58. №3. С.41-51.

47. Морозов А.Д. Глобальный анализ в теории нелинейных колебаний. Нижний Новгород: Изд. ННГУ, 1995.

48. Морозов А.Д., Драгунов Т.Н., Бойкова С.А., Малышева О.В. Инвариантные множества динамических систем в Windows. М.: Эдиториал УРСС, 1998.

49. Морозов А.Д., Федоров E.JI. Об автоколебаниях в двумерных динамических системах, близких к гамильтоновым // ПММ. 1979. Т.43. №4. С.602-611.

50. Морозов А.Д., Шилъников Л.П. К математической теории синхронизации колебаний // ДАН СССР. 1975. Т.223. №6. С.1340-1343.

51. Морозов А.Д., Шилъников Л.П. О неконсервативных периодических системах, близких к двумерным гамильтоновым // ПММ. 1983. Т.47. №3. С.385-394.

52. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.

53. Нейштадт А.И. О прохождении через резонансы в двухчас-тотной задаче // ДАН СССР. 1975. Т.221. №2. С.301-304.

54. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. M.-JL: Гостехиздат, 1949.

55. Нъюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989.

56. Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М.: Наука, 1990.

57. Понтрягин Л.С. О динамических системах, близких к гамильтоновым // ЖЭТФ. 1934. Т.4. №8. С.234-238.

58. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Т.1-3. В кн.: Избр. труды. Т.1-2. М.: Наука, 1971, 1972.

59. Синай Я.Г. Стохастичность гладких динамических систем. Элементы теории KAM / Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.2 (Итоги науки и техники ВИНИТИ СССР). М.: Наука, 1985.

60. Синергетика / Сб. под ред. Б.Б.Кадомцева. М.: Мир, 1984.

61. Странные аттракторы / Сб. под ред. Я.Г.Синая и Л.П.Шиль-никова. М.: Мир, 1981.

62. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

63. Шилъников Л.П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа // Ма-тем. сб. 1967. Т.74. №3. С.378-397.

64. Шилъников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Ма-тем. сб. 1970. Т.81. №1. С.92-103.

65. Шилъников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца / Дополнение II в книге 43]. М.: Мир, 1980. С.317-335.

66. Юдович В.И. Асимптотика предельных циклов системы Лоренца при больших числах Релея / М., 1979. Деп. в ВИНИТИ. №2611-78.

67. Chicone С. Periodic solutions of a system of coupled oscillators near resonance // SIAM Journal of Mathematical analysis, 26(5), 1995. P.1257-1283.

68. Henon M., Heiles C. The applicability of the third integral of motion; some numerical experiments // Astr. J. 1964. V.69. P.73-79.

69. Karabanov A.A. On resonant behavior of four-dimensional quasi-Hamiltonian systems / International conference dedicated to the 90th anniversary of L.S.Pontryagin. Abstracts. Differential equations. Moscow, 1998. P.57.

70. Morozov A.D. On resonances, pendulum equations, limit cycles and chaos / Research Reports in Physics. Nonlinear Waves (eds. Gaponov-Grekhov A.V. at al). Springer-Verlag, 1990.

71. Morozov A.D. On the global behavior of self-oscillatory systems // Intern. J. Bifurcation and Chaos. 1993. V.3. №1. P.195-200.

72. Morozov A.D. On the structure of resonance zhones and chaos in nonlinear parametric systems // Intern. J. Bifurcation and Chaos. 1994. V.4. №2. P.401-410.

73. Morozov A.D. Quasi-conservative systems: cycles, resonances and chaos. World Sci., 1998.

74. Общая характеристика работы.212 Постановка задачи.312.1. Исходные уравнения. Примеры.312.2. Предмет исследования.7

75. Обзор известных результатов.913.1. Гамильтоновы системы.913.2. Простейшие квазигамильтоновы системы . 1513.3. Некоторые обобщения .22

76. Основные результаты диссертации . .2714.1. Теоретические результаты. .2714.2. Приложения к конкретным задачам.49

77. Теоретические результаты 54