Интегрируемые системы, отвечающие многополюсным полям Хиггса тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ооз

На правах рукописи

Черняков Юрий Борисович

Интегрируемые системы, отвечающие многополюсным полям Хиггса

(Специальность 01 04 02 - теоретическая физика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

003163024

УДК 539 12

Работа выполнена в ГНЦ РФ "Институт Теоретической и Эксперементальной Физики"им А И Алиханова

Научный руководитель - доктор физ -мат наук М А Ольшанецкий

(ГНЦ РФ ИТЭФ им А И Алиханова, г Москва)

Официальные оппоненты - доктор физ -мат наук А С Сорин

( ОИЯИ, г Дубна) доктор физ -мат наук А В Разумов ( ИФВЭ, г Протвино)

Ведущая организация - Математический Институт им В А Стеклова,

г Москва

Защита состоится 14 ноября 2007 г в 15 00 на заседании диссертационного совета К 720 001 01 при Лаборатории теоретической физики им Н Н Боголюбова ОИЯИ (Дубна)

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Лаборатории теоретической физики им Н Н Боголюбова ОИЯИ (Дубна)

Автореферат разослан 12 октября 2007 г

Ученый секретарь диссер1ационного совета кандидат физико-математических наук -

С И Федотов

1. Общая характеристика работы

Настоящая диссертация посвящена получению и исследованию новых интегрируемых систем на пространстве параметров, определяющих Римановы поверхности Также обнаружены и исследуются новые свойства уже известных интегрируемых систем

1 1 Актуальность темы

Исследование интегрируемых систем можно разделить на два периода К первому периоду относятся работы таких великих математиков как Л Эйлер, Ж Лагранж, С Пуассон, К Якоби, У Гамильтон, Ж Лиувилль, Г Дарбу В конце XIX - начале XX вв были исследованы многие интересные примеры Важнейшие работы были сделаны С Ковалевской, H Жуковским, П Пенлеве, Л Шлезинджером и др Выли изучены многие системы, представляющие собой гамильтоновы системы с конечным числом степеней свободы, обладающие достаточно большим числом сохраняющихся величин - интегралов движения Заметим, что именно из изучения интегрируемых систем возникла теория групп Ли Но после работ Пуанкаре стало понятно, что глобальные интегралы движения существуют лишь в исключительных случаях Это явилось причиной уменьшения интереса к такого рода системам

Второй период в исследовании инте1 рируемых систем начался уже во второй половине XX века со знаменитой работы К Гарднера, Дж Грина, M Крускала и Р Миуры [GGKM]1 , где была предложена нелинейная замена переменных в уравнении Кортвега-де Фриза (КдФ), после которой это уравнение становигся линейным и решается в явном виде Замена основана на формализме прямой и обратной задач рассеяния для одномерного уравнения Шредингера Далее, в работе П Лакса [L]2 былообнаружено, что уравнение КдФ возникает как условие совместности линейных дифференциальных уравнений В этой же работе были введены понятие L — А пары (пары Лакса) и уравнение Лакса, для которого следы степеней матрицы Лакса L являются интегралами движения В Захаровым и А Шабатом [ZS]3 было показано, что понятие L — А пары свойственно не только уравнению КдФ, но также и нелинейному уравнению Шредингера Стало понятно, что этот метод возможно применим к широкому классу уравнений Тогда же В Захаров и Л Фаддеев в работе |ZF]4 показали, что КдФ является бесконечномерной гамильтоновой системой

В последовавших за этим работах И Кричевера и С Новикова ([К]8 , |KN|6) были вве-

'[GGKMj - Gardner С S , Greene J M , Kruskal M D , Miura R M , Method tor solving the Kortveg-de Vries equation, Phys Rev Lett, v 19 (1967) 19, p 1095-1097

a[L] - Peter D Lax, "Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves ", Comm Pare Appl Math, 21 (1968), 467-490

3[ZS] - В Захаров, А Шабат, Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах, ЖЭТФ, т61 (1971) 1,118-134

4[ZF] В Захаров и Л Фаддеев, Уравнение Кортвега-де-Фриса - вполне интегрируемая гамильтонова система, Функц анализ и его прилож , т 5 (1971) 4,18-27

5 [К] - ИКричевер, Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии,

Функц анализ и его прилож , т 11 (1977) выл 1,15-31

e[KN] - И Кричевер и С Новиков, Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нели-

дены уравнения Лакса, содержащие спектральный парамехр - локальную координату на римановой поверхности В этом случае необходимые для интегрирования сохраняющиеся величины возникают как коэффициенты в разложении по подходящему базису на римановой поверхности следов степеней матрицы Лакса Появилась возможность рассматривать матрицу Лакса как мероморфную функцию на римановой поверхности

Наряду с алгебро-геометрическими методами развивались также и теоретико-групповые Так, в работах M Ольшанецкого и А Переломова |ОР]7 были развиты метод проектирования и метод редукции, основанный на отображении момента, обобщающем теорему Нетер Было выполнено явное интегрирование для систем Калоджеро, Сазерленда, непериодических цепочек Тоды Важным этапом стало появление метода r-матрицы в работах Е Склянина, Л Тахтаджяна и Л Фаддева ([STF]8,[S]9 ,(TF]10) - удобного способа описания гамильтоновой структуры Его возникновение связано с квантовым методом обратной задачи рассеяния, классический вариант метода r-матрицы был развит позже В рамках формализма г-матрицы находится работа Склянина [SM]11 , в которой вводится квадратичная алгебра скобок Пуассона (алгебра Склянина) между переменными, образующими фазовое пространство решеточной модели Ландау-Лифшица ([SR]12 ,[FT]13)

Новые возможности в исследовании интегрируемых систем открыла работа Хитчи-на [Н]14 В ней было показано, что в результате редукции пространства связностей голоморфных векторных расслоений над римановой поверхностью естественным образом возникает интегрируемая система на кокасательном расслоении к пространству модулей Наличие достаточною количества коммутирующих интегралов движения имеет алгебро-геометрическую природу и выражается с помощью теоремы Римана-Роха, используя двойственность Серра В работах А Горского и H Некрасова ([GN]15,[Ne]16 ) были построены системы, обобщающие эту конструкцию

В русле работы Хтичина находится работа А Левина и M Ольшанецкого [LO]17 , в которой совмещаются подход Шлезинджера к решению проблемы Римана ([Sell]18) и редукция свободной неавтономной гамильтоновой системы Примерами полученных таким образом систем являются системы Шлезинджера, Пенлеве VI и их обобщения, а в общем

нейные уравнения, УМН, т 35 (1980) 6, 47-68

7[ОР] - M Olshanetsky, A Perelomov, Classical integrable finite-dimenuonal systems related to Lie algebra, Phys Rep , 71 С (1981), 313-400

8[STF] - Б Склянин, Л Тахтаджян, JI Фаддеев, Квантовый метод обратной задачи I, Теор и мат физика, т40 (1979) 2, 194-220

9[S] - Е Склянин, Метод обратной задачи рассеяния и квантовое нелинейное уравнение Шредингера, ДАН СССР, т 244 (1979) 6,1337-1341

10[Т]- Л Тахтаджян, Л Фаддеев, Квантовый метод обратной задачи и XYZ модель Гейзенберга, УМН, т 34 (1979) 5, 13-63

11 [Ski] - Е Склянин, Некоторые алгебраические структуры, связанные с уравнением Янга-Бакстера, Функ анализ и приложения, 16 (1982), по 4, 27-34

12 [SR] - А Рейман, M Семенов-тян-Шанский, Интегрируемые системы, Москва-Ижевск, 2003

13[FT] Л Тахтаджян, Л Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов, М, Наука, 1986

14[Н] N Hitchin, Stable bundles and integrable systems, Duke Math J, V.54 (1987) 1, p 91

16 [GN] - A Gorsky, NNekrasov, Elliptic Calogero-Mozer system from two dimensional current algebra, (1994), hep-th/9401021

te[Ne] - N Nekrasov, Holomorphic bundles and many-body systems, Comm Math Phys, 180 (1996), 587-604

17[L0] - A Levin, M Olshanetsky, Hierarchies of isomonodromic deformations and Hitchin systems Amer Math Soc Transí Ser S, 101, Amer Math Soc , Providence, RI, (1999), 223-262, hep-th/9709207

18[Sch] - L Schlesinger, Uber eme Klasse von Dififerentialsystemen beliebeger Ordnung mit fersten kritischen

Punkten, J Reme Angew Math , 141 (1912), 96-145

случае эти системы определяют иерархии изомонодромных деформаций в соответствии с изменениями модулей кривых

В чем ценность такого подхода7 Дело в том, что рассматривая алгебро-геометрическую конструкцию как источник построения интегрируемых систем, мы можем, меняя параметры расслоения, получать разные системы ([йМ]19 ,рЧе],[ЬО]), а также устанавливать связь между различными системами Так, в работе А Зотова, А Левина и М Олыпанецкого [Ь02]22 была установлена связь между эллиптической системой Калоджеро-Мозера и эллиптическим волчком Эйлера-Арнольда с помощью процедуры модификации, меняющей степень расслоения Эти системы соответствуют расслоениям степени ноль и степени один

Теория интегрируемых систем находит применение в большом числе разделов физики теории струн ([Х^]23), супесимметричных калибровочных териях (|СК]24), матричных моделях ([ММ]25), топологических теориях поля (р)26), квантовом эффекте Холла, теориях Ландау-Гинзбурга Отметим, что такая интегрируемая модель как решеточная модель Ландау-Лифшица, связанная с алгебрами Склянина, является универсальной для систем с двумерным фазовом пространством Различными предельными переходами из нее можно получить ситему Бте-Согскт, ситему непрерывного изотропного магнетика Гейзенберга, систему непрерывного анизотропного магнетика и нелинейное уравнение Шредингера

Результаты настоящей работы продолжают развивать соединение алгебро-геометричес-кого и теоретико-группового подходов В ней рассматриваются системы, ассоциирование с модулями кривых В этом контексте возможна следующая общая постановка вопроса как, меняя модули кривых, вырождая их, деформируя, добавляя новые модули, можно получагь новые интегрируемые системы Изучение этих вопросов и составляет содержание диссертации

1.2 Цель диссертационной работы

Применить метод симплектической редукции для получения эллиптической системы Шлезинджера и исследовать ее свойства Исследовать алгебраическую структуру Рассмотреть возможную редукцию системы Шлезинджера к известным интегрируемым системам Получить квантовый аналог этой системы Методом слияния отмеченных точек получить новые системы из рациональной и эллиптической систем Годена Рассмотреть их свойства и алгебраическую структуру Применяя Предел Иноземцева к эллиптической системе ЭйлерагКалоджера-Мозера и к системе, полученной слиянием отмеченных точек из эллиптической системы Годена, получить системы с экспоненциальным типом взаимодействия с нетривиальными коммутационными соотношениями между переменными фазового пространства

18 [GN] - A Gorsky, N Nekrasov, Elliptic Calogero-Mozer system from two dimensional current algebra,

(1994), hep-th/9401021

22[LOZ] - A Levin, M Olshanetsky, A Zotov, Painleve VI, Rigid Tops and Reflection Equation, Comm Math Phys, 268 (2006), 67-103, math QA/0508058

23 [MZ] - A Morozov, String theory - what it is, Sov Phys Uspekhi, 162 8 , 84

24 [GK] - A Gorsky,I Knchever,A Maishakov,A Mironov.A Morozov, Integrability and exact Seiberg-Witten solution, Phys Lett, В 355 (1995), 466-474

25 [MM] - A Morozov, Integrability and matrix models, Sov Phys Uspekhi, 164 (1994) 1, 3-62

28 [D] - V Dubrovin, Integrable systems and classification of 2-dimensional topological field theories, preprint hep-th/9209040

1.3 Методы Исследования

В работе используются методы теории интегрируемых систем симплектическая и пуас-соновая редукции, г-матричный формализм, используются алгебраический метод - метод слияния отмеченных точек, а также алгебро-геометрический метод - Предел Иноземцева

1.4 Научная новизна и практическая ценность

Результаты диссертации являются новыми и заключаются, в основном, в следующем

1) Используя симплектическую редукцию, получена эллиптическая система Шлезин-джера (ЭСШ) Выполнив пуассоновую редукцию получен модифицированный опретор Лакса для ЭСШ, а также редуцированная пуассоновая структура - квадратичные пуас-соновые алгебры с нетривиальным смешиванием компонент Явно получены квантовые версии квадратичных алгебр Показано, что ЭСШ является бигамильтоновой системой в соответствии с линейными и полученными квадратичными скобками Пуассона, доказана совместность этих двух структур Показано, что в случае четырех точек для специально выбранных начальных данных ЭСШ редуцируется к уравнению Пенлеве VI в форме уравнения гиростата Вольтерра-Жуковского

2) Используя процедуру слияния отмеченных точек получены новые интегрируемые системы с полюсами порядка выше первого в матрице оператора Лакса из рациональной и эллиптической систем Годена Пуассоновая алгебра переменных фазового пространства новых систем имеет градуированную структуру Зафиксировав координаты пространства модулей эллиптической системы Шлезинджера, путем слияния отмеченных точек получены новые интегрируемые системы, операторы Лакса которых имеют полюса порядка выше первого Квадратичная пуассоновая алгебра переменных фазового пространства обобщает алгебру Склянина и имеет градуированную структуру

3) Показано, что Предел Иноземцева (ПИ), примененный к эллиптической С) модели Эйлераг-Калоджеро-Мозера и эллиптической модели Годена, приводит к спиновой Тоде Дана классификация систем, возникающих в ПИ для случая в/(3, С) Применяя ПИ к системе, полученной слиянием отмеченных точек в эллиптическом случай, найдена система типа Тоды с нетривиальными коммутационными соотношениями между переменными фазового пространства

Работа носит теорегический характер Ее результаты и методы могут быть использованы специалистами в теории интегрируемых систем

1.5 Апробация работы и публикации

Результаты докладывались на международной научной школе "Классические и квантовые интегрируемые системы "(Дубна), на теоретическом семинаре ЛТФ ОИЯИ (Дубна), на семинарах ЛМФ ИТЭФ Основные результаты диссертации содержатся в 3 работах, опубликованных в журналах из списка ВАК, список публикаций приведен в конце автореферата

1.6 Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, включающих в себя 17 разделов, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 61 наименование Общий объем диссертации - 80 страниц

2. Содержание диссертации

Введение содержит обзор литературы и обосновывает важность изучаемых задач

В главе 1 содержится предварительный материал Описывются системы Хитчина, метод г- матрицы а также методы получения новых систем процедура слияния отмеченных точек и Предел Иноземцева

В главе 2 описывается способ построения эллиптической системы Шлезинджера (ЭСШ), ж пользуя методы Главы 1 Эта система была введена Такасаки ([Та]27)Ею подход базировался на квазиклассическом пределе SU(N) версии XYZ модели Годена

Определим эллиптическую систему Шлезинджера Пусть Ет - эллиптичекая кривая (тор) C/(Z + rZ) с п отмеченными точками и п копиями коалгебры Ли g* ~ sl(iV,C)*, ассоциированными с точками Рассмотрим по< транство

vn,N - 0; = {sj = ]Г sira},

где Т„ - специальный базис sm-алгебры, определенный для (N, С) и sl(/V, С) следующим образом Рассмотрим

-= (Z/NZ е Z/NZ), Ъ^) = \ (0,0) двумерные решетки Определим

Та = А"2, а = [а,, а2) £ zg' , eN(x) = ечр

¿"Kl I IV

Qv = chag(l,eN(l) ,eN(N-1)), AN = ^

j=1 ,N (mod 1V)

Тогда Qai и Aai образуют базис в gl(AT,C), a Qai и Л°2, <* -= (аьа2) е Z^', образуют базис в sl(7V С)

= j х = C(a,ß)Ta,ß

Заметим, что для N — 2 базис Т„ есть базис матриц Паули

2"(i,ü) = —сз , Т(0 1) = — а у, 2(1,1) = — гт2 к ттг 'иг -кг

Пространство Pn.v является пуассоновым относительно линейных скобок Ли-Пуассона на 0*

Э ти скобки вырождены Сиплектическими листами являю i гя п копий коприсоединенных орбит Оj (j = 1, п) алгебры SL(N С) Предположим, что все орбиты общего положения, и пусть t?(j) - соответствующие функции Казимира порядка ¡J, (// = 2, , N) Тогда фазовое пространство ЭСШ

TZn,N ~ VnN/{dl{j) = ~ ' = nN(N - 1)

27[Та] - К Takasaki, Lett Math Phys , 44, (1998) 143-156 hep-th/9711058

В базисе Та ЭСШ принимает следующий вид

7

дкБка = £ С(ъ а) £, 1

дтвк = £ С(а, 7) + \ £

где хк] — хк — х,, дк = дХк и

2'

кфз 3

/■! \ Л/71 + 72Т, . , . ^71+72^1 ч

ССт) = С(—^—И, РЬ) = р(—л—к).

I и/п , ч^(7 + 2)«>'(0) 1р^\г) = е„(угг)ф7(г\т) = .

/7(г) = еЛ,(72г)Эи^(и,2)|и=7 = у>7(2)(С(7 + г) - ССт» . где базисным элементом является в - функция

■д(г\т) = ^»51(-1)пе(^п(п + 1)г + пг) = (е = ехр2ттг),

ЕМт) = дж\о&*{*\г), ЗДт) = -&Ях(г|т) = д^ОДг), С{г,т) = Е1(г!т) + 2г]1(ф, р(г,т) = Е2(г,т) - 2тц{т)

ЭСШ ЯВЛЯвТСЯ Н6&ВТОИОМНОЙ ГЗ-МИЛЬТОНОВОЙ СИСТеМОЙ Н£1

дк& = {Нк, ес, ь, вгв» = {Я0, , дк = , (* = 1, , п),

н* = - Е Е ^ - ** I , ят = я0 = х; Е + Е Е

В Главе 2 ЭСШ получена с помощью сиплектической редукции пространства связ-ностей главного расслоения степени один над эллиптической кривой с п отмеченными точками Опишем основные этапы получения ЭСШ

Пусть Ун векторное расслоение ранга N и степени один над эллиптической кривой ~ С/(2 + 1о%) Сопп(Уп) = {Л} - пространство связностей Это симплектическое пространство с формой

^о = Ц(МЛЦ

Рассмотрим отмеченные точки и ассоциированные с ними орбиты коалгебры Ли

(У = = 9;1$1Я}}

Тогда можно определить "Рп<ц ~ {(Л, А) € О3 ] = 1, п)}, и теперь у симплек-тической формы появляется добавочный член

и0 :

[{SAASÁ) + j2s(SJ0 д;16д,)

Скобки Пуассона имеюг следующий вид

{Аа Ая} -- = 5]кС{а

Фиксируя значения казимиров, на орбитах мы приходим к Т1пК(330) Теперь продефор-мнруем комплексную структуру

W " z c(z Z) dw = { 1 - dt)dz - dtdz w — z,

{

Определим дифференциал Бельтрами

который индуцирует новую комплексную структуру ди = В + /id, ди — д, пола-iaeM допочнительно /j,(z,z)\xo = Ü Пространство дифференциалов {ti} Мп по модулю диффеомофизмои называется пространством модулей комплексных структур (с координатами tj = j} — j — 1, ?) и t0 = г — Та ) Мы можем разложи1ь fi по базису ft -= tjti" Вводом форму ш на 1ln N(ET\D„) х Мп

u, = w„ - ¿ / 5(Л2)5/( ыь - ¿ <5tf35t, Ú, = i í <А2)^ , (j = 0, , п)

Уравнения движения генерируются векторными полями, аннулирующими форму и Они имеют следующий вид

О

Пусть теперь 6 = {/(ш, ш)} - калибровочная группа с квазипериодами

/(w + 1,г0 + 1) = Q~lf(w,w)Q, f(w + r,w + f) = ¡\~1{w)f(w,w)K(w), действующая стандартным образом

+ Л -»loaf f /-М/ g3^g3f3, fj = f(w,w)\w^,

Форма u; инвариантна относительно такого действия, и мы можем перейти к фактор-прос1ранству, выполнив симплектическую редакцию по действию группы Q Фиксируем нулевой уровень момеша

п

F{A, Л) = S35(w - xj> NS(w, w)T° ,

где F(A, А) = дА + д(р,А) + [Л А] Фиксируем калибровку A¿, = 0 и получаем

L=-dw¡rl+fAj-1, ¡=fm

В результате редукции остаются только конечные степени свободы, описываемые переменными S3 Вследствие этого симилектическое фактор-пространство TZn^(S30),определяемое как

совпадает с фазовым пространством ЭСШ Решая уравнение

п

a) dwL -= SJ5("J -x3,w-x,)- N5(w, w)T° , находим матрицу Лакса

Цу) = -¿C(f)2o +¿ £ s>№ -

Уравнения движения на фактор-пространстве принимают лаксову форму Ь) dkL-dwMk+ \Mk,L] =-0,

где

Мк(ги) = - £ ^ИЙ.^Й), M0(u,) = -arintf(u;)To+¿¿ £ ВДи>-а:,)Г,

Гамильтонианы ЭСШ можно вычислить, используя разложение

itr(L(w))2 = ¿ (Я2,,р(ш - £,) + H^iw - 2,)) + Щ

J=1

Пусть Ф е Г - сечение векторного расслоения степени один над £х Рассматривая линейную ситему,

1 (&, + /,)Ф = 0,

2 = 0,

3(9*+А/*)Ф=0, (к = 0, ,п),

заключаем, что условие совместности 1 и 2 дает а) Усиовие совместности последних уравнений с первым дает уравнения ЭСШ в лаксовой форме - Ь), которые являются условием сохранения монодромии для первых двух уравнений линейной системы

Рассмотрим теперь аффинное пространство над кокасательным расслоением к группам автоморфизмов векторных расслоений ранга N степени один над эллиптической кривой с п отмеченными точками Выполняя пуассоновую редукцию, получаем следующее выражение для матрицы Лакса

= S0Ta + ¿ - х,)Т0 + £s¿¥>e(z - x3)j Та , (1 1)

1де отмеченным точкам дивизора Пп сопоставлены п копий ОЦЛ' С)-значных элементов

х3 - + 8» = Б1Та

и добавлена переменная 5о € С Также получаем редуцированную иуассоновую структуру с эллиптической С) г-матрицей Белавина-Дринфельда

{Ьдг°ир{2), игоир(и,)} =- [ф - ы), [Г™г(г) ® 19ГИЧ,(ш)] (1 2)

Отсюда можно выделить квадратичные пуассоиовые алгебры на прямом проищедешги п копий ОЦТУ", С) с нетривиальным смешиванием компонент, определяющие симметрии ЭСШ

77^(1 к?]

Для к = з

{ЗД}-

7^-а ~ ¡3

кфз -3

где /(а Р, 7) = СМ - С(<* - Р ~ 7) + - 7) - <(/? + 7),

М.) 7

ДЛЯ Л ± ]

1фа,-0

{5?. = Е V -Л** - ъМъ -ЯУ+уЯ

Случай Л' = 2 и п = 1 соответствует алгебре Склянина, а случай п = 1 при N> 2 соответствует конечнопорожденным алгебрам Одесского-Фейгина

Также в Главе 2 явно получены квантовые версии квадратичных алгебр в случае N = 2, соответствующие вертексным эллиптическим Л-матрицам Алгебры параметризуются модулями пространства комплексных структур эллиптических кривых с п отмеченными точками и постоянной Планка, живущей на кривой Все коммутаторы выражаются через антикоммутаторы, например, для имеем

+

кф]

С?с?>а'А 7) = лёШ' =Е1Ь+1н)" £1{7) ~

В Главе 2 показано, что в случае N — 2 ЭСШ является бигамильгоновой системой в соответствии с линейными и полученными квадратичными скобками Пуассона Так, ЭСШ в терминах квадратичных скобок имеет следующий вид

(з,к = 1, ,п), =

Гамильтонианы йд и Яо являются Казимирами для линейных скобок, а Казимиры линейных скобок явлются гамильтонианами для квадратичных скобок

дк№а = {С1{к),8>а}1, Ь,к = 1, ,п), ^ = ¿{00,5^

Также доказана совместность этих двух структур

Оказывается, что в случае N — 2 и четырех точек для специально выбранных начальных данных

г 1 + т 1

Щ = 0, х1--=ш2, х2 = -у- = шг + о>2, хз = - =

и = ¿¿Ра, О ~ 1 2,3), ЭСШ редуцируется к уравнению Пенлеве VI в форме уравнения 1иростата Вольтерра-Жуковского

дтБ* = 2геа(Ь 7) + г^в,)

В главе 3, используя процедуру слияния отмеченных точек, описанную в Главе 1, получены новые интегрируемые системы с полюсами порядка выше первого в матрице оператора Лакса Эти системы интегрируемы по построению Основная идея этого способа состоит в нахождении такого разложения переменных р'^, являющихся функциями на орбитах коприсоединенного представления группы вЦ/У. С), при применении которого и после взятия предела хь — ха = е —> 0, где е - параметр слияния, возникали бы полюса порядка выше первого у матрицы Лакса в точке ха Это означает существование такого же количества и Гамильтонианов, и операторов Казимира в новой системе, что и в начальной Такая ситуация реализуется при переходе к новым переменным рк с помощью разложения

Ра = а0р° + + + акрке~к, (1 3)

где ак - некоторые параметры Так, в случае слияния к отмеченных точек из рассматриваемых п точек рациональной системы Годена оператор Лакса полученной системы имеет следующий вид

г _ р* + Р1 , Р0 , ^ Рс

(г-ха)к {г-ха)2 (г-ха) ^ (г - х,

(14)

- ха) '; (г - х,) 11 '

Переменным рк соответствуют верхнетреугольные матрицы, образующие параболическую алгебру изоморфную алгебре многочлеиов от е'1 с коэффициентами рк В Главе 3 явно описаны гамильтонианы, симплектическая форма и коммутационные соотношения между элементами рк в случае слияния двух точек В этом случае коммутационные соотношения схематично можно изобразить в виде таблицы 1, из которой видно, что полученная пуассоновая алгебра имеет градуированную структуру

Таблица 1 Коммутационные сотношения, п = 2

р° р1

{р°У} +1 0

{р°,р1} 0 +1

{р'У} 0 0

В эллиптическом случае матрица Лакса системы Годена при слиянии к точек имеет следующий вид диагональная часть

= ^ + Е2(г-ха) + +(/)" (15)

недиагональная часть

Ь4 = (р°)4 <р(и»,2-ха)+ +{рку> (16)

Коммутационные соотношения между элементами рк совпадают с коммутационными соотношениями в рациональном случае Гамильтонианы в случае двух точек, выраженные через переменные инвариантные относительно фиксации калибровки, получены явно Описаны симметрии системы

Также в Главе 3, зафиксировав времена эллиптической системы Шлезинджера, путем слияния отмеченных точек получены интегрируемые системы, операторы Лакса которых имеют полюса порядка выше первого) Например, для случая п = 2 оператор Лакса имеет следующий вид

Ь/««(г) = (50 + 3^(2)) <х0 + £ (б'Ы^) + аа, (1 7)

а

где 5 - переменные фазового пространства новой системы Получены явно гамильтонианы и уравнения движения, обобщающие уравнения движения для волчка Эйлера-Арнольда

вг52 = ^ ЗД = г£<^ (Я>(7) - + 1Еав1Е2{а) (Ег(7) - &{?))

Квадратичная пуассоновая алгебра переменных фазового пространства обобщает алгебру Склянина и имеет градуированную структуру, вычисляемую из г-матричной скобки Так, например, в случае п = 2 (случай п = 3 также рассмотрен) эта алгебра представлена в таблицах 2 и 3

Таблица 2 Коммутационные (¡отношения Sa, Sß

2геаßf SoS^ SgSij

+1 0 0

{MI 0 +1 0 -Ja

(S2.SS) 0 +1 0 -Jß

№ 0 0 +1 0

Таблица 3 Коммутационные сотношения Sa, So

2«£a/h CO CO OffO-, SßS*

{¿a, So} +Jff3 0 0 +JaJ-,j3

{Sa, «SO} 0 -Jß +J, 0

{fiS.53} 0 0 0 +Jyß

{S^So} 0 -1 +1 0

В таблицах 2 и 3 введены обозначения Ja = ß2(rt), J~,g = E2(f) - Ец(,в) В отличие от градуированной структуры в линейном случае, относящемся к рациональной и эллиптической системам Годена, градуированная структура квадратичной пуассоновой алгебры имеет ряд особенностей сама операция взятия скобки Пуассона приобретает градуировку, структурные консганты тоже имеют градуировку и выражаются через произведения эллиптических функций одинаковой градуировки Эти различия обусловлены тем, что в линейном случае скобка Пуассона рассматривается на алгебре, а в квадратичном случае - на группе

В главе 4 используется Предел Иноземцева (ПИ), описанный в Главе 1 и представляющий из себя комбинацию тригонометрического предела, бесконечного сдвига координат частиц и перенормировки констант связи В результате получается экспоненциальный тип взаимодействия Показано, что ПИ, примененный к эллиптической sl(N, С) модели Эйлера-Калоджеро-Мозера

=«а.

и эллиптической модели Годена, приводит к новым системам N взаимодействующих частиц с дополнительными степенями свободы, которые соответствуют орбитам копри-соединенного действия, другими словами, предел приводит к спиновой Тоде Пределы соответствующие полному вырождению орбитных степеней свободы (спинов) воспроизводят только уже известные периодические и открытые системы Тоды

В Главе 4 дана классификация систем, возникающих при взятии ПИ для случая эллиптической sl(3, С) модели Эйлера-Калоджеро-Мозера Эта классификация представлена на двумерной плоскости параметров, задающих бесконечные сдвиги координат частиц и,] = fl,j +u>2 ft3, где ftJ - параметры сдвигов координат и Д, hfjk + fk, = О В качестве начальных выбран тор Г2 C/(2o»1Z + 2w2Z), Ш]. = — гж, /т(ш2) = 0, т = ^ Гамильтонианы | определяются из разложения следов степеней матрицы Лакса Ljy(z, z еТ2

N

Tr(Lh(z,z)) =

1=0

где E¡{z) - базис эллиптических функций Эйзенштейна Всевозможные квадратичные гамильтонианы, полученные с помощью ПИ из квадратичного гамильтониана

з

i=i ijéj

разбиваются на шесть типов

з

1 h2,o = X - 2ае~и" - 2Ье-и™ - 2се~и" ,

з

2 h2¡0 = Е V,2 - 2аеи" - гбе-172'' - 2ar"J1 ,

г=1

3

3 /i2,o = Е ~ 2й(е_и12 + ~ ~ 2се~и<" , i=i

4 К о = ¿42 - ^¡¿Ж - 2 Ье-"- - 2се^ , t=l 2

3 i i

5 h2,о = ~ ~ + - + ')'

1=1 2

„ , 2 1_ _1_ Ч 1 1- 1

t=l ¿ ¿ ¿

где рассматриваются перешкалированные переменные а, Ь. с, d

а = ехма, Ь = емш*Ь, c = eXMc, d=ex«md,

полученные из переменных инвариантных относительно Diag SL(JV, С)

а = Р12Р21, Ь = Р2зРз2. с = р1зрзг, d = P12P2JP31

Первый и последний Гамильтонианы являются непосредственными обобщениями периодической Тоды и тригонометрического Калоджеро-Сазерленда соответственно Все остальные содержат необычную зависимость от координат На рис 1 различные типы

систем соответствуют симплексам различных размерностей и местоположений (по модулю перестановок а,Ь,с) {/} и {7/7} - два типа двумерных симплексов, содержащих в себе пределы в гамильтонианы 1 и 2 соответственно (симплексы {II} и {IV} эквивалентны {///} в смысле перестановок), линии {/ц = 2Z} и средние линии {/,_, = 1 + 2Z} состоят из отрезков - одномерных симплексов и соответственно отвечают Сазерленду 4 и Гамильтонианам 3 с членами вида cosh[UtJ), все вершины - нульмерные симплексы соответствуют 5 и 6 типам гамильтонианов Рассмотрение кубических гамильтонианов усложняег рисунок, разбивая область {/} на три биссектрисами углов до центра треугольника {/} Вследствие очевидных симметрий, классификация может быть обобщена на случай произвольного числа частиц

ПИ применяется также к з/(2, С) эллиптической модели Годена с двумя отмеченными точками на эллиптической кривой, и обсуждаются основные черты возможных в этом случае пределов Рассматриваются также пределы операторов Лакса Применяя Предел Иноземцева к полученной в Главе 4 системе в эллиптическом случае, найдена система типа Тоды с нетривиальными коммутационными соотношениями между переменными фазового пространства Явно описаны гамильтонианы

В заключении обсуждаются полученные результаты и рассматриваются нерешенные проблемы

Пользуясь случаем, я выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю М А Олыыанецкому, который с большим вниманием помогал мне осваивать область интегрируемых систем. Я искренне признателен ему за предложенные задачи и поддержку в процессе моей научной работы ТЪисже я хочу выразить благодарность всему коллективу лаборатории математической физики ИТЭФ, с которым я имел счастье общаться на протяжении нескольких лет Я благодарен В Долотину, А Зотову, Д Талалаеву и А Червову за плодотворные научные дискуссии Я хочу выразить особую благодарность А М Левину и А Ю Морозову за поддержку и разъяснение многих научных вопросов Я благодарю Е С Суслову за неоценимую поддержку и помощь, оказываемую в течение всей моей работы

Работы автора по теме диссертации

[1] Л Зотов, Ю Черняков, Интегрируемые многочастичпые системы, полученные с использованием Предела Иноземцева, ТМФ, 129 (2001) 2, 258-277

[2] Ю Черняков, Инте1 рируемые системы, полученные слиянием точек из рациональной н эллиптической систем Годена, ТМФ, 141 (2004) 1, 38-59

[3] Yu Chernyakov, A Levin, М Olshanetsky and A Zotov, Elliptic Schlesmger system and Pdinleve \I, Journ Physics A, 39 (2006), 12083-120102

[4| А Зогов, А Левин, M Олыпанецкий и Ю Черняков, Квадратичные алгебры, связанные с эллиптическими кривыми, ТМФ (в печати с 16 08 07), preprint, aiXiv-0710 1072vl |nlm SI]

[5] Chernyakov Yu , Inegrable s\steins associated with generalized Sklyanm algebiah piepnnt 1ГЕР 11-07

Подписано к печати 08 10 07 г Формат 60x90 1/16

Уел печ л 1,06 Уч-изд л 0,71 Тираж 100 экз Заказ 535

Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б Черемушкинская, 25

0 Введение

1 Интегрируемые системы: соединение алгебро-геометрического и теоретико-группового подходов 9*

1.1 Голоморфпые расслоения и системы Хитчина.

1.2 Метод г-матрицы.

1.3 Вырождение модулей кривых и интегрируемые системы

1.3.1 Метод слияния отмеченных точек

1.3.2 Предел Иноземцева.

2 Квадратичные алгебры и эллиптическая система Шлезинджера

2.1 Введение.

2.2 Определение.

2.3 Получение эллиптической системы Шлезинджера.

2.3.1 Векторные расслоения степени один над эллиптическими кривыми

2.3.2 Введение гамильтонианов с помощью деформации комплексной структуры

2.3.3 Эллиптическая система Шлезинджера как симплектическое фактор-пространство

2.3.4 Изомонодромная проблема.

2.4 Классические коммутационные соотношения двухпетлевой группы GL(N, С)

2.4.1 Расслоения степени один над эллиптическими кривыми и двухпетлевая группа.

2.4.2 Пуассонова структура на 7Z.

2.4.3 Пуассонова редукция.

2.5 Структура редуцированного пуассонова пространства.

2.5.1 Квадратичная пуассонова алгебра.

2.5.2 Твистованные расслоения.

2.6 Гамильтонова структура эллиптической системы Шлезинджера.

2.6.1 Бигамильтоновость.

2.6.2 Совместность пуассоновых структур.

2.7 Редукция к Пенлеве VI.

2.8 Квантовая алгебра

2.8.1 Общий случай.

2.8.2 Квадратичная алгебра в случае GL(2, С)

2.8.3 Квантовый детерминант.

3 Интегрируемые системы, полученные методом слияния отмеченных точек

3.1 Рациональная и эллиптическая системы Годена.

3.2 Системы, образующиеся в результате преобразования рациональной системы Годена.;

3.2.1 Случай к точек.

3.2.2 Симплектическая форма.

3.3 Системы, образующиеся в результате преобразования эллиптической системы Годена.

3.3.1 Гамильтонианы системы Годена в случае двух точек.

3.3.2 Гамильтонианы системы, полученной слиянием двух точек.

3.3.3 Симметрии эллиптической системы Годена.

3.3.4 Симметрии системы, полученной слиянием точек.

3.3.5 Матрица оператора Лакса новой системы.

3.4 Классические системы, полученные в результате преобразований модифицированного оператора Лакса эллиптической системы Шлезинджера.

3.4.1 Эллиптическая система Шлезинджера в случае двух отмеченных точек и N =

3.4.2 Система, полученная слиянием двух отмеченных точек.

3.4.3 Градуировка и системы, полученные слиянием 3-х отмеченных точек

4 Интегрируемые системы, полученные с использованием предела Иноземцева

4.1 Предел Иноземцева системы, полученной слиянием точек из эллиптической системы Годена

4.2 Системы многих частиц, полученные используя предел Иноземцева.

4.2.1 Введение.

4.2.2 Эллиптическая модель Годена и si(N, С) случай эллиптической модели Эйлера-Калоджеро-Мозера

4.2.3 sl(3, С) случай эллиптической модели Эйлера-Калоджеро-Мозера

4.2.4 Вырождения эллиптических функций.

4.2.5 Пределы гамильтонианов в sl(3, С) случае эллиптической модели Эйлера-Калоджеро-Мозера

4.2.6 Пределы скобок в sl(3, С) случае.

4.2.7 sl(JV, С) случай.

4.2.8 Классификация пределов в sl(3, С) случае эллиптической модели Эйлера-Калоджеро-Мозера

4.2.9 Пределы в sl(2, С) случае эллиптической модели Годена с двумя отмеченными точками на эллиптической кривой.

4.2.10 Пределы матриц Лакса.

Настоящая диссертация посвящена получению и исследованию новых интегрируемых систем на пространстве параметров, определяющих римановы поверхности. Также обнаружены и исследуются новые свойства уже известных интегрируемых систем.

Исследование интегрируемых систем можно разделить на два периода. К первому периоду относятся работы таких великих математиков как Л.Эйлер, Ж.Лагранж, С.Пуассон, К.Якоби, У.Гамильтон, Ж.Лиувилль, Г.Дарбу. В конце XIX - начале XX вв. были исследованы многие интересные примеры. Важнейшие работы были сделаны С.Ковалевской, Н.Жуковским, П.Пенлеве, Л.Шлезинджером и др. Были изучены многие системы, представляющие собой гамильтоновы системы с конечным числом степеней свободы, обладающие достаточно большим числом сохраняющихся величин - интегралов движения. Заметим, что именно из изучения интегрируемых систем возникла теория групп Ли. Но после работ Пуанкаре стало понятно, что глобальные интегралы движения существуют лишь в исключительных случаях. Это явилось причиной уменьшения интереса к такого рода системам.

Второй период в исследовании интегрируемых систем начался уже во второй половине XX века со знаменитой работы К.Гарднера, Дж.Грина, М.Крускала и Р.Миуры [17], где была предложена нелинейная замена переменных в уравнении Кортвега-де Фриза (КдФ), после которой это уравнение становится линейным и решается в явном виде. Замена основана на формализме прямой и обратной задач рассеяния для одномерного уравнения Шре-дингера. Далее, в работе П.Лакса [31] было обнаружено, что уравнение КдФ возникает как условие совместности линейных дифференциальных уравнений. В этой же работе были введены понятие L — А пары (пары Лакса) и уравнение Лакса, для которого следы степеней матрицы Лакса L являются интегралами движения. В.Захаровым и А.Шабатом [61] было показано, что понятие L—А пары свойственно не только уравнению КдФ, но также и нелинейному уравнению Шредингера. Стало понятно, что этот метод, возможно, применим к широкому классу уравнений. Тогда же В.Захаров и Л.Фаддеев в работе [60] показали, что КдФ является бесконечномерной гамильтоновой системой.

В последовавших за этим работах И.Кричевера и С.Новикова ([25], [27]) были введены уравнения Лакса, содержащие спектральный параметр - локальную координату на римано-вой поверхности. В этом случае необходимые для интегрирования сохраняющиеся величины возникают как коэффициенты в разложении по подходящему базису на римановой поверхности следов степеней матрицы Лакса. Появилась возможность рассматривать матрицу Лакса как мероморфную функцию на римановой поверхности.

Наряду с алгебро-геометрическими методами развивались также и теоретико-групповые. Так, в работах М.Олыпанецкого и А.Переломова [44] были развиты метод проектирования и метод редукции, основанный на отображении момента, обобщающем теорему Нетер. Было выполнено явное интегрирование для систем Калоджеро, Сазерленда, непериодических цепочек Тоды. Важным этапом стало появление метода r-матрицы в работах Е.Склянина, Л.Тахтаджяна и Л.Фадцеева ([53],[49],[55]) - удобного способа описания гамильтоновой структуры. Его возникновение связано с квантовым методом обратной задачи рассеяния, классический вариант метода r-матрицы был развит позже. В рамках формализма г-матрицы находится работа Склянина [51], в которой вводится квадратичная алгебра скобок Пуассона (алгебра Склянина) между переменными, образующими фазовое пространство решеточной модели Ландау-Лифшица ([54],[15]).

Новые возможности в исследовании интегрируемых систем открыла работа Хитчина [20]. Известно, что из уравнений самодуальности, мнимизирующих действие четырехмерной евклидовой системы Янга-Миллса, следует инстантонное решение. Если же провести размерную редукцию евклидовой системы Янга-Миллса, предположив зависимость компонент калибровочного поля только от двух пространственных измерений, тогда две компоненты калибровочного поля станут скалярными полями, принимающими значения в присоединенном представлении. В этом случае после комплексификации уравнения самодуальности приводят к системам Хитчина - интегрируемым системам на кокасательном расслоении к пространству модулей голоморфных связностей - калибровочных полей. Это и было показано в работе Хитчина [20]. Наличие достаточного количества коммутирующих интегралов движения имеет алгебро-геометрическую природу и выражается с помощью теоремы Римана-Роха, используя двойственность Серра. В работах А.Горского и Н.Некрасова ([19],[41]) были построены системы, обобщающие эту конструкцию.

В русле работы Хитчина находится работа А.Левина и М.Ольшанецкого [32], в которой совмещаются подход Шлезинджера к решению проблемы Римана ([50]) и редукция свободной неавтономной гамильтоновой системы. Примерами полученных таким образом систем являются системы Шлезинджера, Пенлеве VI и их обобщения, а в общем случае эти системы определяют иерархии изомонодромных деформаций в соответствии с изменениями модулей кривых.

В чем ценность такого подхода? Дело в том, что рассматривая алгебро-геометрическую конструкцию как источник построения интегрируемых систем, можно, меняя параметры расслоения, получать разные системы ([19],[41],[32]), а также устанавливать связь между различными системами. Так, в работе А.Зотова, А.Левина и М.Ольшанецкого [33] была установлена связь между эллиптической системой Калоджеро-Мозера и эллиптическим волчком Эйлера-Арнольда с помощью процедуры модификации, меняющей степень расслоения. Эти системы соответствуют расслоениям степени ноль и степени один.

Теория интегрируемых систем находит примените в большом числе разделов физики: теории струн [40], суперсимметричных калибровочных теориях [18], матричных моделях [38], топологических теориях поля [9], квантовом эффекте Холла, теориях Ландау-Гинзбурга. Отметим, что такая интегрируемая модель как решеточная модель Ландау-Лифшица, связанная с алгебрами Склянина, является универсальной для систем с двумерным фазовым пространством. Раличпыми предельными переходами из нее можно получить систему синус-Гордон, систему непрерывного изотропного магнетика Гейзенберга, систему непрерывного анизотропного магнетика и нелинейное уравнение Шредингера.

Результаты настоящей работы продолжают развивать соединение алгебро-геометрического и теоретико-группового подходов. В ней рассматриваются системы, ассоциированые с модулями кривых. В этом контексте возможна следующая общая постановка вопроса; как, меняя модули кривых, вырождая их, деформируя, добавляя новые модули, можно получать новые интегрируемые системы. Изучение этих вопросов и составляет

Содержание диссертации

Введение содержит обзор литературы и обосновывает важность изучаемых задач.

В Главе 1 содержится предварительный материал. Описываются системы Хитчина, метод г- матрицы, а также методы получения новых систем: процедура слияния отмечешшх точек и предел Иноземцева.

В Главе 2 , следуя работам [8] и [34], описывается способ построения эллиптичекой системы Шлезинджера, используя методы Главы 1. Эта система была введена Такасаки [56].

Его подход базировался на квазиклассическом пределе SU(N) версии XYZ модели Годена. В главе 2 Эллиптическая система Шлезинджера получена с помощью симплектической редукции пространства связностей главпого расслоения степени один над эллиптической кривой с п отмеченными точками. Оператор Лакса имеет следующий вид:

L(w) = -jjEl(w)To + Y/ £ Sfa(w-Xj)Ц, где отмеченным точкам дивизора Dn сопоставлены п копий si(N, С)-значных элементов S. Эллиптическая система Шлезинджера возникает как условие сохранения представления монодромии при изменении комплексной структуры (пространства модулей) - модулярного параметра т и положений отмеченных точек, соответствующих временам.

Выполнив пуассонову редукцию аффинного пространства над кокасательным расслоением к группам автоморфизмов векторных расслоений ранга N степени один над эллиптической кривой с п отмеченными точками, получен модифицированный оператор Лакса для ЭСШ:

Lgroup(z) = S0T0 + J2 [sfaiz -Xj)T0 + £Sifa{z -Xj)J Ta, (0.1) где отмеченным точкам дивизора Dn сопоставлены п копий GL(JV, С)-значных элементов ае t

2) w и добавлена переменная So G С. Также получена редуцированная пуассонова структура, используя перестановочные соотношения с эллиптической si(N, С) г-матрицей Белавина-Дринфельда [4]:

ЬвгоиЦг), L9roup(w)} = [r(z - w), Laroup{z) ® L9roup(w)] (0.2) для модифицированного оператор Лакса. Полученные квадратичные пуассоновы алгебры на прямом произведении п копий GL (N, С) с нетривиальным смешиванием компонент определяют симметрии эллиптических обобщений систем Шлезинджера и Годена. Также явно получены квантовые версии квадратичных алгебр, соответствующие вертексным эллиптическим матрицам [58]. Алгебры параметризуются модулями пространства комплексных структур эллиптических кривых с п отмеченными точками и в квантовом случае - постоянной Планка, живущей на кривой. Случай N = 2 и п = 1 соответствует алгебре Склянина [51], а случай п = 1 при N > 2 соответствует конечнопорожденным алгебрам Одесского-Фейгина [14].

Показано, что эллиптическая система Шлезинджера является бигамильтоновой системой в соответствии с линейными и полученными квадратичными скобками Пуассона. Также доказана совместность этих двух структур.

Оказывается, что в случае четырех точек для специально выбранных начальных данных эллиптическая система Шлезинджера редуцируется к уравнению Пенлеве VI в форме уравнения гиростата Вольтерра-Жуковского.

В Главе 3 , используя процедуру слияния отмеченных точек, описанную в Главе 1, получены новые интегрируемые системы с полюсами порядка выше первого в матрице оператора Лакса ([7],[б]). Полученные системы интегрируемы по построению.

Так, в случае слияния г отмеченных точек из рассматриваемых п точек рациональной системы Годена оператор Лакса полученной системы имеет следующий вид:

Р^ Р^ Р^ л J)^

Lnew — 7-п: + — + т-г, + т-г + > -г. (0.3) z-xa)k (z-xaf {z-xa) ^b{z-xc)

Переменным pk соответствуют верхнетреугольные матрицы, образующие параболическую алгебру изоморфную алгебре многочленов от е-1 с коэффициентами рк. Описаны явно коммутационные соотношения между элементами рк, гамильтонианы и симплектическая форма.

В эллиптическом случае матрица Лакса при слиянии к точек имеет вид: диагональная часть

Lu = v* + (р1)" • E2(z - ха) +. + (рк)и ■ - ха), (0.4) недиагональная часть

Lij = (p°)ij • <р{и", z-xa) +. + (pk)ij ■ z-xa). (0.5)

Коммутационные соотношения между элементами рк совпадают с коммутационными соотношениями в рациональном случае. Гамильтонианы в случае двух точек, выраженные через переменные инвариантные относительно фиксации калибровки, получены явно. Описаны симметрии системы.

Зафиксировав времена эллиптической системы Шлезинджера, путем слияния отмеченных точек получены интегрируемые системы, операторы Лакса которых имеют полюса порядка выше первого ([6]). Например, для случая п = 2 оператор Лакса имеет следующий вид:

Lfusion(z) = {So + SlE2{z)) + (ЗЫ*) + Slf'aiz)) (0-6) a где S - переменные фазового пространства новой системы. Получены явно гамильтонианы и уравнения движения, обобщающие уравнения движения для волчка Эйлера-Арнольда. Квадратичная пуассонова алгебра переменных фазового пространства обобщает алгебру Склянина и имеет градуированную структуру. В отличие от градуированной структуры в линейном случае, относящемся к рациональной и эллиптической системам Годена, градуированная структура квадратичной пуассоновой алгебры имеет ряд особенностей: сама операция взятия скобки Пуассона приобретает градуировку, структурные константы тоже имеют градуировку и выражаются через произведения эллиптических функций одинаковой градуировки. Эти различия обусловлены тем, что в линейном случае скобка Пуассона рассматривается на алгебре, а в квадратичном случае - на группе.

В Главе 4 показано, следуя работе [59], что предел Иноземцева, описанный в Главе 2, примененный к эллиптической sl(N, С) модели Эйлера-Калоджеро-Мозера и эллиптической модели Годена, приводит к новым системам N взаимодействующих частиц с дополнительными степенями свободы, которые соответствуют орбитам коприсоединенного действия в sl(n, С), другими словами, предел приводит к спиновой Тоде. Пределы соответствующие полному вырождению орбитных степеней свободы (спинов) воспроизводят только уже известные периодические и открытые системы Тоды. В Главе 4 дана классификация систем, возникающих в пределе Иноземцева для случая sl(3, С). Эта классификация представлена на двумерной плоскости параметров, задающих бесконечные сдвиги координат частиц.

Пространство разбивается на симметричные области. Смесь потенциалов системы Тоды и системы тригонометрического Калоджеро-Сазерленда появляется в этой картинке на стенках меньших размерпостей. Вследствие очевидных симметрии, классификация может быть обобщена на случай произвольного числа частиц. Предел Иноземцева применяется также к sl(2, С) эллиптической модели Годена с двумя отмеченными точками на эллиптической кривой, и обсуждаются основные черты возможных в этом случае пределов. Рассматриваются также пределы операторов Лакса.

Также, применяя предел Иноземцева к полученной в Главе 3 системе в эллиптическом случае, найдена система типа Тоды с нетривиальными коммутационными соотношениями между перемеппыми фазового пространства ([7]). Явно описаны гамильтонианы.

В заключении обсуждаются полученные результаты и рассматриваются нерешенные проблемы.

Благодарности Я выражаю благодарность соавторам по совместным работам А.Зотову, А.Левину, М.Олыпапецкому, а также искреннюю признательность за ценные советы и полезные обсуждения А.Александрову, Э.Ахмедову, Д.Васильеву, И.Горделию, А.Городенцеву, А.Горскому, А.Герасимову, А.Дымарскому, А.Забродину, С.Клевцову, И.Кричеверу, С.Локтеву, А.Лосеву, М.Козлову, М.Конюшихину, Д.Малышеву, А.Маршакову, А.Миронову, Т.Мироновой, Г.Нозадзе, С.Облезину, В.Побережному, И.Полюбину, А.Рослому, В.Рубцову, К.Сарайкину, К.Селиванову, А.Стояновскому, Т.Султапову, Л.Чехову, С.Харчеву, С.Хорошкину и Г.Шарыгину.

Я многим обязан своему научному руководителю М.А.Олыпанецкому, который терпеливо, с большим вниманием помогал мне осваивать область интегрируемых систем. Я искренне признателен ему за предложенные задачи и поддержку в процессе моей научной работы.

Я хочу выразить особую благодарность А.М.Левину и А.Ю.Морозову за поддержку и разъяснение многих научных вопросов.

Также я благодарен В.Долотину, А.Зотову, Д.Талалаеву и А.Червову за плодотворные паучные дискуссии.

Я благодарю Е.С.Суслову за неоценимую поддержку и помощь, оказываемую в течение всей моей работы.

5 Заключение

В качестве итога приведем основные результаты:

• В результате использования симплектической редукции, получена эллиптическая система Шлезинджера. Выполнив пуассонову редукцию, получен модифицированный оператор Лакса для эллиптической системы Шлезинджера, а также редуцированная пуассонова структура - квадратичные пуассоновы алгебры с нетривиальным смешиванием компонент. Также получены квантовые версии квадратичных алгебр.

• Показано, что эллиптическая система Шлезинджера является бигамильтоновой системой в соответствии с линейными и полученными квадратичными скобками Пуассона, доказана совместность этих двух структур.

• Показано, что в случае четырех точек для специально выбранных начальных данных эллиптическая система Шлезинджера редуцируется к уравнению Пенлеве VI в форме уравнения гиростата Вольтерра-Жуковского.

• В результате использования процедуры слияния отмеченных точек получены новые интегрируемые системы с полюсами порядка выше первого в матрице оператора Лакса из рациональной и эллиптической систем Годена. Алгебра переменных фазового пространства, заданная линейными скобками Пуассона, имеет градуированную структуру.

• Фиксировав времена эллиптической системы Шлезинджера, путем слияния отмеченных точек получены интегрируемые системы, операторы Лакса которых имеют полюса порядка выше первого. Квадратичная пуассонова алгебра переменных фазового пространства обобщает алгебру Склянина и имеет градуированную структуру.

• Показано, что предел Иноземцева, примененный к эллиптической sl(N, С) модели Эйлера-Калоджеро-Мозера и эллиптической модели Годена, приводит к спиновой Тоде. Дана классификация систем, возникающих в пределе Иноземцева для случая sl(3, С).

• Путем применения предела Иноземцева к системе, полученной слиянием отмеченных точек в эллиптическом случае, найдена система типа Тоды с нетривиальными коммутационными соотношениями между переменными фазового пространства.

Результаты диссертации могут быть использованы для различных задач из области интегрируемых систем. В частности, так как фазовое пространство эллиптической системы Шлезинджера и системы, полученной из эллиптической системы Шлезинджера путем слияния отмеченных точек, обобщает фазовое пространство решеточной модели Ландау-Лифшица, было бы интересно получить обобщение этой модели, а после взятия предела получить обобщение уравнения Ландау-Лифшица.

1. M.Atiyah and R.Bott, The Yang-Mills equations over Riemann surfaces, Phil. Trans.R.Soc.Lond., A 306 (1982), 523-615

2. E.Billey, J.Avan, O.Babelon, Exact Yangian Symmetry in the classical Euler-CaJogero-Moser Model, hep-th/9401117

3. А.Белавин, Дискретные группы и интегрируемость квантовых систем, Функ.анализ и приложения, 14 (1980), 18-26

4. А.Белавин, В.Дринфельд, Солитоны классического уравнения Янга-Бакстера для простых алгебр Ли , Функ.анализ и приложены, 16 (1982), 1-29

5. H.Braden, V.Dolgushev, M.Olshanetsky, A.Zotov, Classical r-matrices and the Feigin-Odesskii algebra via Hamiltonian and Poisson reductions, J.Phys. A, 36 (2003), 6979-7000

6. Yu.Chernyakov, Inegrable systems associated with generalized Sklyanin algebras, preprint ITEP 11-07 (2007), pp.19

7. Ю.Черняков, Интегрируемые системы, полученные слиянием точек из рациональной и эллиптической систем Годена, ТМФ, 141 (2004), 38-59

8. Yu.Chernyakov, A.Levin, M.Olshanetsky, A.Zotov, Elliptic Schlesinger system and Painlev£ VI, Journ.Physics A, 39 (2006), 12083-120102, nlin.SI/0602043

9. V.Dubrovin, Integrable systems and classification of 2-dimensional topological field theories, hep-th/9209040

10. E.D'Hoker, D.H.Phong, Calogero-Moser and Toda systems for twisted and untwisted affine Lie algebras, hep-th/9804125; E.D'Hoker, D.H.Phong, Lectures on supersymmetric Yang-Mills theory and integrable systems, hep-th/9912271

11. R.Donagi, E.Markman, Spectral curves, algebraically copletely integrable Hamiltonian systems and moduli of bundles, 1993 CIME lecture notes, alg-geom/9507017

12. R.Donagi, E.Witten, Supersymmetric Yang-Mills and integrable systems, Nucl.Phys., В 460 (1996), 288-334, hep-th/9510101

13. B.Enriquez, V.Rubtsov, Hitchin systems, higher Guadin operators and r-matrices, Math.Re3.Lett., 3 (1996), 343-357, hep-th/9503010

14. Б.Фейгин, А.Одесский, Эллиптические алгебры Склянина Функ.анализ и приложения, 23 (1989), 207-214

15. Л.Тахтаджян, Л.Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов, М, Наука, 1986.

16. M.Gaudin, J.Phys. (Paris), 37 (1976), 1087

17. C.S.Gardner, J.M.Greene, M.D.KruskaJ, R.M.Miura, Method for solving the Kortveg-de Vries equation, Phys.Rev.Lett., (1967) 19, p.1095-1097

18. A.Gorsky, I.Krichever, A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov, Integrability and exact Seiberg-Witten solution, Phys.Lett., В 355 (1995), 466-474

19. A.Gorsky, N.Nekrasov, Elliptic Calogero-Mozer system from two dimensional current algebra, hep-th/9401021

20. N.Hitchin, Stable bundles and integrable systems, Duke Math.J., V.54 (1987), p.91

21. B.Khesin, A.Levin, M.Olshanetsky, Bihamiltonian structures and quadratic algebras in hydrodynamics and on non-commutative torus, Comm.Math.Phys., 250 (2004), 581-612

22. V.Inozemtsev, The Finite Toda Lattices, Commun.Math.Phys., 121 (1989), 629-638.

23. E.Inonu, E.Wigner, On contraction of groups and their representations, Proc.Nat.Acad.Sci, 39 (1953), 510-524

24. M.Jimbo, T.Miwa and K.Ueno, Monodromy preserving deformations of linear ordinary differential equations, Physica D 2D (1981), 306-352, 407-448

25. И.Кричевер, Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии, Функц. анализ и его прилож., 11 (1977), 15-31

26. A.Kitaev, D.Korotkin, On solutions of the Schlesinger equations in terms of 6-functions. Internal Math. Res. Notices (1998), 877-905

27. И.Кричевер, С.Новиков, Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения, УМН, 35 (1980), 47-68

28. I.Krichever, The tau-function of the universal Whitham hierarchy, matrix models and topological field theories, Comm.Pure and AppLMath., XLVII (1994), 437-475.

29. D.Korotkin, J.A.H.Samtleben, On the quantization of isomonodromic deformations on the torus, Int.J.Mod.Phys. A12 (1997), 2013-2030, hep-th/9511087

30. S.P.Khastgir, R.Sasaki and K.Takasaki, Calogero-Moser Models IV: Limits to Toda theory, hep-th/9907102

31. P.D. Lax, Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves, Comm. Pure Appl. Math., 21 (1968), 467-490

32. A.Levin, M.Olshanetsky, Hierarchies of isomonodromic deformations and Hitchin systems, Amer.Math.Soc.flransl.Ser.2,191, (1999), 223-262; hep-th/9709207

33. A.Levin, M.Olshanetsky, A.Zotov, Painleve VI, Rigid Tops and Reflection Equation, Comm.Math.Phys., 268 (2006), 67-103, math.QA/0508058

34. А.Зотов, А.Левин, М.Олыпанецкий, Ю.Черняков, Квадратичные алгебры, связанные с эллиптическими кривыми, ТМФ, в печати; preprint arXiv-0710.1072vl nlin.SI]

35. E.Markman, Spectral curves and integrable systems, Comp.Math, 93 (1994), 255-290.

36. Yu.Manin, Sixth Painleve' equation, universal elliptic curve, and mirror of P2. Geometry of differential equations, Amer. Math. Soc. Transl, Ser. 2,186, Amer. Math. Soc., Providence, RI(1998), 131-151

37. F.Magri, A simple model for the integrable Hamiltonian equation, J.Mat.Phys., 19 (1978), 1156-1162.

38. А.Ю.Морозов, Интегрируемость и матричные модели УФН, 164 (1994), 3-62.

39. F.Musso, M.Petrera, O.Ragnisco, J.Nonlinear Math. Phys., 12 suppl. (2005), 482-498

40. А.Ю.Морозов, Теория струн что это такое?, Sov.Phys.Uspekhi, 162 (1992), 84.

41. N.Nekrasov, Holomorphic bundles and many-body systems, Comm.Math.Phys., 180 (1996), 587-604

42. M.A.Olshanetsky, Generalized Hitchin systems and Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard equation on elliptic curves, hep-th/9510143

43. K.Okamoto, Isomonodromic deformation and the Ралйеуё equations and the Gamier system, J.Fac.Sci. Univ.Tokyo, Sect IA, Math. 33 (1986), 575-618

44. M.Olshanetsky, A.Perelomov, Classical integrable finite-dimensional systems related to Lie algebra, Phys. Rep., 71C (1981), 313-400

45. Р.Раш1еуё, Sur les Equations diflferentielles du second odre & points critics fixes, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 143 (1906), 1111-1117

46. A.M. Переломов, Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М., Наука, 1990

47. S.Ramanan, The moduli spaces of vector bundles over an algebraic curve, Math. Ann, 200 (1973), 69-84

48. A.Reyman, A.G.M.Semenov-Tyan-Shansky, Group-Theoretical Methods in the Theory of Finite-Dimensional Integrable Systems, in Encyclopedia of Mathematical Science, 16 Springer (1991), 116-225

49. Е.Склянин, Метод обратной задачи рассеяния и квантовое нелинейное уравнение Шре-дингера, ДАН СССР, 244 (1979), 1337-1341

50. L.Schlesinger, Uber eine Klasse von Differentialsystemen beliebeger Ordnung mit fersten kritischen Punkten, J. Reine Angew. Math., 141 (1912), 96-145

51. Е.Склянин, Некоторые алгебраические структуры, связанные с уравнением Янга-Бакстера, Функ.анализ и приложения, 16 (1982), 27-34

52. E.Sklyanin, T.Takebe, Algebraic Bethe ansatz for the XYZ Gaudin model. Phys. Lett. A, 219 (1996), no. 3-4

53. Е.Склянин, Л.Тахтаджян, Л.Фаддеев, Квантовый метод обратной задачи I, Теор. и мат. физика, 40 (1979) 2, 194-220

54. А.Рейман, М.Семенов-тян-Шанский, Интегрируемые системы, Москва-Ижевск, 2003

55. Л.Тахтаджян, Л.Фаддеев, Квантовый метод обратной задачи и XYZ модель Гейзен-берга, УМН, 34 (1979), 13-63

56. K.Takasaki, Gaudin Model, KZ Equation, and Isomonodromic Deformation on Torus, Lett.Math.Phys., 44 (1998) 143-156; hep-th/9711058

57. A.Zotov, Elliptic Linear Problem for Calogero-Inozemtsev Model and Painlev6 VI Equation, Lett.Math.Phys., 67 (2004) 153-165

58. А.Белавин, Дискретные группы и интегрируемость квантовых систем, Функ.анализ и приложения, 14 (1980), 18-26

59. А.Зотов, Ю.Черняков, Интегрируемые многочастичные системы, полученные с использованием Предела Иноземцева, ТМФ, 129 (2001), 258-277

60. В.Захаров и Л.Фаддеев, Уравнение Кортвега-де-Фриса вполне интегрируемая га-мильтонова система, Функц. анализ и его прилож., 5 (1971), 18-27

61. В.Захаров, А.Шабат, Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах, ЖЭТФ, 61 (1971), 118-134