Исследование кинематически сингулярных процессов взаимодействия элементарных частиц при высоких энергиях и автоматизация их расчетов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

Научно Исследовательский Институт Ядерной Физики им .Д. В.Скобельцына

На правах рукописи УДК 539.12.01

Коваленко Дмитрий Николаевич

Исследование кинематически сингулярных процессов взаимодействия элементарных частиц при высоких энергиях и автоматизация их расчетов.

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена на физическом факультете Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научные руководители доктор физико-математических наук

В. И. Саврин

кандидат физико-математических наук А. Е. Пухов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Р. Н. Фаустов доктор физико-математических наук Д. И. Казаков

Ведущая организация : Институт Физики Высоких Энергий (Протв но).

Защита состоится " 2. Lt » ¿¿.ttASpX 1998 г. в Ч£

на заседании диссертационного совета К-053.05.24 в Московском гос дарственном университете им. М.В.Ломоносова (г.Москва, Воробье] горы, НИИЯФ МГУ, 19 корпус, ауд. 2-15).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИЯФ МО

Автореферат разослал "2J " КеЛ 1998г.

Ученый секретарь диссертационного совета К-053.05.24, доктор физико-математических наук

Ю.А.Фо!

Общая характеристика работы

Тема диссертации: "Исследование кинематически сингулярных процессов взаимодействия элементарных частиц при высоких энергиях и автоматизация их расчетов" .

Актуальность темы.

Прогресс в физике высоких энергий приводит к необходимости расчета все более и более сложных процессов столкновения элементарных частиц. Становятся актуальны процессы с большим количеством частиц в конечном состоянии ( 3 - 4 и более), которые описываются большим количеством диаграмм Фейнмана (десятки и сотни). В ряде случаев необходим расчет петлевых поправок. В этой ситуации возрастает роль автоматизированных систем вычислений для физики высоких энергий. Работы в этом направлении ведутся в различных научных центрах. Одним из примеров является пакет GRACE, разработанный в КЕК (Япония). Можно также назвать пакеты FeyпArt и FeynCalc, программу MadGraph. Программа EXCALIBUR специализирована для расчетов четырехфермионых процессов на LEP, но, тем не менее, разработана с использованием достаточно общего подхода к проблемам автоматизированных вычислений. Существует также много узкоспециализированных программ для расчета сечений и генерации событий. Все эти примеры подтверждают необходимость создания универсальных автоматизированных систем для вычисления процессов взаимодействия элементарных частиц в физике высоких энергий. Эти системы должны обладать высокой производительностью, гибкостью и удобством в работе, позволять работать не только с лагранжианом Стандартной модели, но и ее расширений. Одной из таких систем автоматизированных вычислений является программный пакет СотрНЕР, созданный в НИИЯФ МГУ. Главной идеей, заложенной в СотрНЕР, является автоматизация работы, начиная с лагранжиана взаимодействия и заканчивая получением аналитических и численных результатов. Численные результаты могут быть представлены в виде гистограмм, графиков, возможна генерация потока событий. Аналитические результаты представляются в виде программных кодов на различных языках символьных вычислений (REDUCE, MATHEMATICA, FORM). Вычисления выполняются с высокой эффективностью и с использованием развитого интерфейса для пользователя. В настоящее время пакет СотрНЕР, обладая большими возможностями для научных вычислений, широко используется в различных научных центрах.

В ходе вычислений характеристик взаимодействий элементарных частиц необходимо интегрировать квадрированный матричный элемент по фазовому пространству. Обычно это интегрирование квадрата матричного элемента проводится по методу Монте-Карло. Этот метод обладает большой эффективностью. Однако, в тех случаях, когда подынтегральная функция содержит острые пики по одной или нескольким переменным - кинематические сингулярности, - возможны большие численные ошибки. Увеличение количества точек при численном интегрировании приводит к увеличению времени вычислений и не всегда дает требуемую точность. Одним из методов решения этой проблемы является преобразование переменных, по которым имеются сингулярности, с целью сглаживания пиков. Этот метод далее будем называть кинематической регуляризацией. Но для успешного применения такой регуляризации требуется, чтобы эти переменные были в тоже время и переменными интегрирова-

пия. Следует отметить, что часто встречаются процессы, для которых невозможно представить одновременно все кинематические сингулярности через какой-либо набор переменных интегрирования. Таким образом, выбор кинематических переменных для интегрирования и кинематическая регуляризация являются взаимосвязанными задачами для автоматизации вычислений в физике высоких энергий.

В диссертации предложено решение этой проблемы и дана реализация его в соответствующем программном модуле пакета СотрНЕР. Разработанный модуль автоматически выбирает переменные интегрирования в соответствии с особенностями данного квадрата матричного элемента. Само интегрирование проводится методом многоканального Монте-Карло с равными априорными весами для каждого канала. При этом функция локальной плотности для каждого канала выражает структуру некоторого пика в квадрированном матричном элементе. Благодаря этому возможно эффективное интегрирование квадрата матричного элемента с любой структурой пиков в фазовом пространстве для произвольного процесса взаимодействия частиц. Данное решение позволяет численно рассчитывать с большой точностью процессы взаимодействия элементарных частиц на существующих и строящихся коллайдерах.

В частности, в настоящее время большое внимание уделяется экспериментальному обнаружению бозона Хиггса. Эта частица является последней пока не обнаруженной частицей, предсказываемой Стандартной Моделью (СМ), она обеспечивает спонтанное нарушение электрослабой калибровочной симметрии. Поэтому ее обнаружение является одной из главных целей экспериментов на существующих и строящихся коллайдерах.

Открытие фундаментальной частицы Хиггса - либо на адронном коллайдере (Tevatron, LHC) либо на е+е~ коллайдере (LEP2, Next Linear Collider) - приведет к необходимости детального изучения ее свойств, например, к определению спина, четности, к измерению парциальных вероятностей распада, полной ширины и констант связи с калибровочными бозонами и фермионами. Любое отклонение от параметров Стандартной модели будет означать открытие новой физики.

Поиск бозона Хиггса в широком диапазоне возможных значений его массы планируется на Большом адронном колайдере (LHC), а изучение свойств этой частицы будет возможно на Фотонном линейном коллайдере (PLC). Следует отметить, что обнаружение бозона Хиггса может быть затруднено большим вкладом фоновых процессов. Следовательно, необходимо моделирование соответствующих реакций при различных режимах и параметрах работы коллайдера для нахождения приемлемого соотношения сигнала к фону. В диссертации с помощью пакета СотрНЕР исследованы процессы, в которых возможно обнаружение бозона Хиггса на LHC и наблюдение его свойств на PLC. На LHC, в частности, рассмотрена реакция рр H -г jet —> 77+jet, где бозон Хиггса рождается с большим поперечным импульсом. Сигнал в этом канале меньше по сравнению с инклюзивной реакцией рр —► 77 + Л' случаем. В то же самое время значительно лучше оказывается ситуация с фоном. Это связано с тем, что можно использовать более богатые кинематические характеристики конечного состояния 77 +jet, в котором некоторые угловые распределения струи в системе центра масс партонов оказываются существенно различными для сигнала и фоновых процессов.

В случае открытия бозона Хиггса на адронном или е+е~-коллайдсре, дополни-

тельная информация о его свойствах может быть получена в экспериментах на PLC, базой для которого будет е+е~-линейный коллайдер. Мы анализируем сигнал в реакции 77 -> Я0 -» W ■+ 2 фермиона на PLC вместе с полным вычислением соответствующего фонового процесса (на древесном уровне) 77 -> W + 2 фермиона, который включает последующий распады W бозона в кварковые или лептонные пары, а также все другие вклады Стандартной Модели. Для всех этих реакций в диссертации представленны численные результаты.

Эксперименты 11а PLC могут быть проведены в различных режимах работы кол-лайдера. В диссертации исследованы два возможных сценария: с широкополосным и узкополосным энергетическим спектром. Показано, какие результаты могут быть получены на PLC при реализации широкополосного и узкополосного сценария.

В расчетах реакции рр —У H+jet сигнал вычислялся с использованием однопетле-вой вершинной вставки ддН. На PLC рассмотрены процессы с вкладом однопетлевой вершинной вставки 77Н. Сигнал, полученный от процессов в однопетлевом приближении сравнивался с фоновыми процессами, вычисленными на древесном уровне.Эти примеры наглядно показывают, что вычислений в приближении древесного уровня для современной физики высоких энергий часто оказывается недостаточно. Большое значение приобретают расчеты петлевых поправок. Однако при увеличении порядка разложения по теории возмущений резко возрастает объем рутинных расчетов. Следовательно, необходимы автоматизироганные системы вычислений, способные оперировать с диаграммами Фейнмана с одной и более петлями.

Одним из первых программных модулей таких систем должен быть генератор диаграмм Фейнмана. Быстрая и эффективная генерация таких диаграмм является сложной задачей. Прямой метод генерации приводит к возникновению большого количества дублирующих диаграмм. Соответственно растут затраты времени на генерацию, проверку и отсеивание повторяющихся диаграмм. В настоящее время создано несколько таких генераторов, в частности, GRACE (КЕК, Япония), FeynArt (Германия) и QGRAF (Португалия). Эти генераторы диаграмм используют в своей работе двуступенчатый алгоритм: на первом шаге происходит создание всех возможных топологий графов для требуемого порядка разложения, а на втором шаге каждой линии графа сопоставляется пропагатор частицы согласно списку частиц н лагранжиану используемой модели. В ходе работы на каждой ступени происходит сравнение и отбрасывание эквивалентных диаграмм.

В диссертации предложен и реализован алгоритм работы генератора петлевых диаграмм Фейнмана, в котором не требуется предварительной генерации топологий для диаграмм. Линии и вершины создаваемых диаграмм изначально связаны с про-пагаторами и вершинами, имеющимися в лагранжиане. Проверка диаграмм происходит практически без сравнения их друг с другом, что увеличивает эффективность алгоритма и снижает временные затраты. Данный алгоритм реализован в рамках пакета СошрНЕР и основан на алгоритме генерации диаграмм древесного уровня. Это по сути является первым шагом к построению системы автоматизированных вычислений для процессов с произвольным количеством петель в диаграммах Фейнмана.

Целью диссертации является разработка методов автоматизации вычислений процессов взаимодействия частиц при высоких энергиях и основанный на этом анализ процессов, связанных с рождением бозона Хиггса на будущих адронных и фо-

тонных коллайдерах.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Создана программа автоматической генерации кинематик для пакета СотрНЕР при численных расчетах процессов взаимодействия элементарных частиц в физике высоких энергий.

2. Разработан алгоритм сглаживания острых пиков (то есть сиигулярностей в квадрате матричного элемента) при многоканальном интегрировании методом Монте-Карло. Алгоритм реализован в виде программного модуля в пакете СотрНЕР.

3. Исследована возможность обнаружения бозона Хиггса на LHC в канале 77+jet в случаях, когда масса этой частицы лежит в интервале от 100 до 140 Гэв. Показано, что канал 77 + jet дает лучшее соотношение сигнала к фону, чем для инклюзивной реакции рр -+ уу+Х, обычно рассматриваемой как основной канал открытия.

4. Найдены оптимальные кинематические условия для улучшения соотношения сигнала к фону (S/B) в канале 77 + jet с помощью обрезаний по поперечной энергии струи Et > 30 Гэв, по быстроте |г;| < 4.5 и по y/ê > 300 Гэв. Показано, что возможно дальнейшее улучшение соотношения S/B для этого канала, используя-распределения по углу для струи и углу между струей и фотонами в системе центра масс сталкивающихся партонов.

5. Исследована возможность наблюдения бозона Хиггса на будущем фотонном линейном коллайдере PLC в процессах 77 W + 2 фермиона в случаях леп-тонного и адронного конечных состояний с учетом вклада фонов под порогом рождения двух W бозонов. Показано, что в режиме узкоэнергетического спектра с максимумом в районе массы бозона Хиггса имеется возможность значительного улучшения соотношения сигнала к фону. Найдено, что сечение сигнала в 10 раз больше в случае узкого спектра энергий по сравнению с режимом широкого спектра. Показано, что в случае узкоэнергетического спектра использование поляризованных пучков фотонов увеличит сечение сигнала в два раза, в то время как фон подавляется по отношению к неполяризованному случаю.

6. Показано, что в случае широкоэнергетического спектра фотонов, наблюдение бозона Хиггса в реакции 77 W + 2 фермиона возможно только в адронном конечном состоянии. Найдено, что использование обрезания по поперечному импульсу и, для адронного конечного состояния, по инвариантной массе Мл — 5Гэв < М-,у < Мц + 5Гэв существенно улучшает соотношение сигнала к фону как для широкого, так и для узкого спектра.

7. Разработан новый алгоритм генерации диаграмм Фейнмана с одной и более петлями в произвольных калибровочных теориях взаимодействия элементарных частиц.

8. Создана программа Lchep для генерации и записи петлевых диаграмм Фейнмана.

Научная новизна и практическая ценность состоит в следующем:

1. Разработаны и созданы программные модули пакета CoinpHEP для эффективного численного интегрирования с высокой точностью квадрата матричного элемента процессов в физике высоких энергий. Таким образом, впервые создана автоматизированная система вычислений процессов взаимодействия элементарных частиц, где генерация кинематики сочетается со сглаживанием произвольного набора острых пиков при интегрировании квадрата матричного элемента.

2. Впервые рассмотрен процесс рр -> Н+ jet 77+jet на LHC с большой поперечной энергией струи в случаях, когда масса бозона Хиггса лежит в интервале от 100 до 140 Гэв. В результате сделан вывод, что этот канал имеет явные преимущества по поиску бозона Хиггса по сравнению с инклюзивным каналом рр -* H —ï 77 + X.

3. Впервые проанализированы процессы с рождением бозона Хиггса 77 W -42 фермиона в случаях лептонного и адронного конечного состояния с учетом вклада фонов под порогом рождения двух W бозонов. Этот анализ показал, что на фотонном коллайдере возможно детальное исследование свойств бозона Хиггса в этом интервале масс.

4. Разработан принципиально новый алгоритм и создана компьютерная программа Lchep, автоматически генерирующая диаграммы Фейнмана в любом порядке теории возмущений и для произвольной калибровочной теории взаимодействия элементарных частиц. Эта программа существенно облегчает расчеты многочастичных процессов с большим количеством диаграмм. Новизна алгортима состоит в том, что исключает первоначальное построение топологий для диаграмм Фейнмана и не требует в ходе генерации сравнения диаграмм между собой для исключения эквивалентных.

Апробация. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах ОТФВЭ НИИЯФ МГУ, Minami-tatea-group (КЕК, Япония), на Х-й Международной школе-семинаре по физике высоких энергий и квантовой теории поля (Звенигород, 1995), на международных рабочих совещаниях Artificial Intelligence in High Energy and Nuclear Physics (1995, Пиза, Италия; 1996, Лозанна, Швейцария), на международной конференции Computing in High Energy Physics (1997, Берлин).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Содержит 18 рисунков, 7 таблиц и список литературы (57 ссылок).

Содержание работы

Во Введении дан краткий обзор исследований, проводимых в этом направлении, и обосновывается актуальность работы.

Первая глава.

В первой главе диссертации описан алгоритм, разработанный для численных вычислений в системе СотрНЕР, включающий в себя автоматический выбор кинематики и многоканальное численное интегрирование по методу Монте-Карло. Этот алгоритм обеспечивает сглаживание произвольного набора острых пиков (сингулярно-стей в квадрате матричного элемента) и дает возможность интегрирования по фазовому пространству с большой точностью.

Для интегрирования по фазовому пространству необходимо выразить матричный элемент через независимые кинематические переменные, которые будут служить переменными интегрирования. В ходе интегрирования могут возникнуть большие численные ошибки, связанные с сингулярным поведением квадрата матричного элемента в некоторых областях фазового пространства. Такие острые пики могут быть сглажены заменой переменных, которую можно назвать кинематической регуляризацией. Однако для этого требуется, чтобы сингулярные переменные были в то же время и переменными интегрирования. Тахим образом, выбор кинематических переменных для интегрирования и, при необходимости, кинематическая регуляризация являются взаимосвязанными задачами.

Определим кинематику процесса взаимодействия элементарных частиц как рекуррентную параметризацию по 2-частичяым фазовым подпространствам. Назовем каждую такую 2-частичную параметризацию элементарным распадом некоторого кластера частиц ди в <?/ и qJ. Мы получаем следующую формулу для дифференциального сечения (|М|2 - квадрированный матричный элемент):

N-1

¿с = ¿д^м2 • ед, ^ ■ п «вд,./,), (1)

где

(2^77 (2)

Здесь есть угловая мера, Я/ = в системе покоя ци, и $и = ц2и.

Мера для 2-частичного фазового пространства для 1-го элементарного распада Р\ +Рг Я], + 9.7, не включает интегрирования по переменной 5 = (р1 +рг)2 (здесь Р1 и рг - импульсы сталкивающихся частиц):

Лад.*)* (2#4^П'" №

Здесь Л/, = {[(}/, в системе центра масс}

Угловая мера сЮ/ может быть записана через две угловые координаты 3-вектора д/. В результате получаем :

<т, = ¿сое©;-сМ>/. (4)

Введем для каждого элементарного распада два опорных вектора "Р/ и .4/ для отсчета полярной и азимутальной координат в системе покоя распадающегося вектора ди. Выбирая опорные вектора как различные комбинация импульсов начальных и конечных частиц, мы можем связать различные лоренцовские инварианты с переменными интегрирования. Рассмотрим, например, элементарный распад ди —> (ц

и выберем опорный вектор "Pi = £„р„, гДе Рп - импульсы некоторых частиц начального и (или) конечного состояния. Отношение между углом 0/ и инвариантом (Л,Рп + hY может быть записано в следующем виде:

(ЕР- + яг)2 = (ЕР-)2 + Ы2 + 2 (Ей) • rf - 21 Ерп1 • Ы «»в,. (5) Мы можем использовать это соотношение для регуляризации острых пиков. Пусть интегрируемое выражение F(x) может быть представленно как F(x) = f(x) ■ (д} (х) + ... +р„(х)), где /(х) - гладкая функция, а функции (/¡(х) имеют острые пики. Можно преобразовать переменную интегрирования следующим образом:

v(x) = EGi(x)sG(x), (6)

где Gi{x) ~ Jg,(x)dx.

В итоге интеграл может быть переписан в виде

fbF(x) dx = fj(x(y)) ■ (£ Sl(x(y)) JM(у) dy, 10 Jo .=i

(7)

где якобиан преобразования равен J{g)(y) — ^n (G(b) - G(o)).

Мы видим, что сингулярное выражение под знаком интеграла преобразовано так, что особенности функции f(x) сглажены. Конечно интегрируемая функция может иметь более сложную структуру, чем рассмотренная выше. Тем не менее, если мы знаем структуру особенностей, не трудно записать некоторую модельную функцию в виде (ffi(х) + ... + дп(х)), который будет сооответствовать рассматриваемым особенностям.

В качестве примера рассмотрим t-канальную особенность по tj = (pm — ¡lp™1)2, которая имеет сингулярность вида j^t, (здесь т - масса виртуальной частицы в t-канале). Мы можем выбрать 4-импульс двух кластеров ^ и q-i и опорный вектор 'Р для некоторого элементарного распада согласно одному из двух вариантов:

(Ры - ЕрГ')2 = (?1 + -Р)\ или (pin - ЕрГ1)2 = (й + П- (8)

В этих случаях мы имеем

</ = (?)2 + (P)2-2(goPo-|9lHcose), q = <7i,2 (9)

Таким образом, инвариант tj будет линейной функцией переменной интегрирования cos 6.

Если сингулярный пропагатор имеет импульс, содержащий импульс единственной частицы в конечном состоянии, тогда модельная функция для сингулярности имеет вид

ff, (cos 6) = 1 (10)

cos ö — Со

где Со = m2'^2|7'<|l'|!ji+2'"'T'0" 3ДСС1> - квадрат массы для соответствующего сингулярного пронагатора.

Однако, может возникнуть такая ситуация, когда требуется провести регуляризации по многим инвариантам, и невозможно выбрать кинематику, в которой одновременно все инварианты будут соответствовать переменным интегрирования. Для таких случаев в нашем алгоритме предусмотрена возможность интегрирования по многим угловым мерам dQi (4). Для каждого инварианта, нуждающегося в регуляризации, создается собственная угловая мера, по которой происходит интегрирование. Такая угловая мера создается в соответствующем элементарном распаде и в ней выбирается соответствующий опорный вектор "Р, чтобы возникло необходимое соотношение между лоренцовским инвариантом и переменной интегрирования 0. Таким образом, любому набору лоренцовских инвариантов будет соответствовать набор угловых мер с переменными интегрирования, связанными с этими инвариантами.

На основе данного алгоритма разработан программный модуль для численных вычислений системы СотрНЕР. Программа имеет удобный для пользователя интерфейс, она снабжена системой меню с возможностью выбора параметров вычислений и регуляризации. Данная программа успешно применялась в различных научных анализах процессов рассеяния и распада элементарных частиц в составе системы СотрНЕР.

Вторая глава

Во второй главе приведены результаты вычислений, моделирующих поиск бозона Хиггса на LHC. Расчеты проводились для предполагаемой массы бозона Хиггса в интервале от 100 до 140 Гэв. Этот интервал находится за пределами обнаружения бозона Хиггса на действующих коллайдерах LEP2 и TEVATRON. Особый интерес к таким значениям массы бозона Хиггса связан с теоретическими предсказаниями, следующими из суперсимметричных обобщений Стандартной Модели. Для работы использовался пакет СотрНЕР и, в частности, его модуль для численных вычислений методом многоканального адаптивного интегрирования по фазовому пространству, разработанный в первой главе.

В главе рассматривается процесс рр —► Я + jet 77 -f jet с большой поперечной энергией струи. Приняты во внимание основные параметры LHC детекторов ATLAS и CMS. Для фотонов использованы обрезания, подобные обрезаниям инклюзивного канала: pi > 40 Гэв для каждого фотона, и псевдобыстрота каждого фотона < 2.5. Для струй использовались два набора основных кинематических обрезаний:

Cl: E}et > 40 Гэв, \j]jet\ < 2.4 ; С2: E}et > 30 Гэв, |7?jel| < 4.5. Первый набор соответствует центральной части калориметра, где струя с поперечной энергией, большей чем 40 Гэв, может быть обнаружена с высокой эффективностью. Второй набор предполагает использование форвардных частей адронного калориметра.

В обсуждаемом канале существуют три QCD подпроцесса, дающие сигнал от бозона Хиггса: gg-ïH + g,gq-tH + quqq-tH + g. Мы обнаружили, что подпроцесс дд-*Н + д~) чу+ д дает основной вклад в сигнал. Каналы с' легкими кварками дают 20-25% от дд вклада в сигнал, в то время как qq каналами можно пренебречь.

Вторая группа подпроцессов сигнала включает два типа электрослабых реакций. Во-первых, рождение бозона Хиггса возможно через t-канальное слияние виртуальных WW или ZZ в бозон Хиггса, где в конечном состоянии мы получаем струю с высоким Et из рассеянного кварка. Другой тип электрослабых подпроцессов это

рождение бозона Хиггса, асоциированного с рождением W или Z. Доля электрослабого сигнала в целом составляет 30% от уровня QCD сигнала для набора обрезаний С1 и 10% для С2.

Мы обнаружили, что применяя обрезание s/i > 210 Гэв или \Д > 300 Гэв и используя основной набор обрезаний С2, мы можем улучшить соотношение S/B (сигнал/фон) в 2 раза и даже более для Мн = 100 - 140 Гэв.

Были исследованы различия угловых распределений струи и фотонов для сигнала и фона в партонной системе центра масс (С.Ц.М.). Фотоны из распада бозона Хиггса (дающего равномерное угловое распределение в ситеме бозона Хиггса) вылетают по большей части в направлении, противоположном струе в партонной С.Ц.М. В то же самое время фотоны, излученные из конечного кварка в gq подпроцессах, которые дают доминирующий вклад в фон, будут наблюдаться главным образом в конфигурациях с небольшими углами со струей. Применение обрезания по переменной i/I подавляет события при небольших углах между фотоном и струей, что влияет, главным образом, на фоновые процессы. Таким образом, существенное улучшение достоверности сигнала может быть достигнуто используя угловые распределения струи и распределения по углу струя-фотон в восстановленной партонной С.Ц.М.

Для вычисления сигнала были написаны программные коды с использованием эффективной однопетлевой вершины ддН и коды для вычисления по точной аналитической формуле. Данные коды были внесены в программы для рассматриваемых реакций, генерируемые пакетом СотрНЕР. Результаты вычислений по точной аналитической формуле и с помощью эффективной однопетлевой вершины сравнивались между собой и их расхождение не превысило 5%

Третья глава

В третьей главе диссертации расматривались процессы для исследования свойств бозона Хиггса на Фотонном Линейном Коллайдере (PLC), базой которого может быть е+е~ Линейный Коллайдер. Предполагается, что к моменту функционирования PLC бозон Хиггса может быть обнаружен на уже существующих установках, и его масса будет известна.

В данной главе мы исследуем возможность для наблюдения бозона Хиггса в области масс от 140 Гэв до 2Mw на коллайдере PLC. Особенностью этого интервала масс является то, что сигнал возможно искать только в канале распада бозона Хиггса Я —> WW, где один из W бозонов находится вне массовой поверхности. Это означает, что в сигнал дают вклад 3-х частичные конечные состояния. Для расчетов 3-х частичных конечных состояний сигнала и фона использовался пакет СотрНЕР.

В главе представлен анализ процесса 77 —> W + 2 фермиона для лептонного и адронного конечных состояний вместе с вычислением соответствующих фоновых подпроцессов. Лептонное конечное состояние представляется подпроцессом 77 —> Рц~\\'+, адронное состояние - подпроцессом 77 —» udW+.

Рассматривались два экстремальных режима работы коллайдера: для широкого спектра энергии неполяризованнных фотонов и для высокополяризонанных пучков фотонов с узким спектром энергии с максимумом в районе предполагаемой массы бозона Хиггса. Для каждого из режимов работы были вычислены с помощью пакета СотрНЕР полные и дифференциальные сечения рассеяния. Для фоновых процессов вычисления щюводились на древесном уровне, а для сигнала - с эффективной

вершиной 7 7 Я, то есть расчеты вслись на однопетлевом у]ювне.

В случае широкополосного режима работы PLC лептонное конечное состояние оказывается бесперспективным для поиска сигнала от бозона Хиггса. Для адронного конечного состояния соотношение S/B (сигнал/фон) можно существенно улучшить, используя обрезание по поперечному импульсу и, более значительно, по инвариантной массе Мн - 5Гэв < М.п < Мн + 5Гэв. Мы можем использовать это обрезание, поскольку мы допускаем, что масса Хиггса будет определена до начала работы PLC в экспериментах на других коллайдерах. Для адронного конечного состояния соотношение S/B равно почти единице для массы Хиггса Мн — 140 Гэв и ухудшается, когда Мн достигает WW порога.

Во втором режиме работы PLC узкий спектр энергии фотонов резко уменьшает фоновое сечение рассеяния и в то же самое время увеличивает сигнал. Сечение сигнала в 10 раз больше в узкополосном сценарии, чем в широкополосном. Оптимизированные обрезания по поперечному импульсу и, в случае адронного канала, по инвариантной массе также улучшают отношение сигнал/фон, как и в широкополосном режиме. Кроме того, поляризация фотонов дает фактор подавления фона, равный двум. Для полностью поляризованных пучков фотонов сечение сигнала увеличивается фактором два, в то время как фон подавляется по отношению к неполя-ризованному случаю.

В результате соотношение S/B оказывается наиболее благоприятным для узкополосного PLC с энергиями, настроенными к массе бозона Хиггса. Для широкополосного PLC адронное конечное состояние обеспечивает достаточно кинематической информации, чтобы поднять соотношение S/B коэффициент почти до единицы.

Таким образом, если PLC будет построен, то он сыграет важную роль в определении свойств бозона Хиггса промежуточных масс, и, в частности, для измерениия 77Н° вершины.

Четвертая глава.

В настоящее время большое значение приобретает расчет петлевых поправок к древесному приближению, что часто требует применения автоматизировнных систем вычислений. Одним из первых программных модулей таких систем должен быть генератор диаграмм Фейнмана. В настоящее время создано несколько таких генераторов, в частности, GRACE (КЕК, Япония), FeynArt (Германия) и QGRAF (Португалия). Все эти генераторы используют двуступенчатый алгоритм: сначала создают все возможные топологии графов, а зате.м каждой линиии графа сопоставляется пропагатор частицы согласно списку частиц и лагранжиану используемой модели. В ходе работы на каждой ступени происходит сравнение и отбрасывание эквивалентных диаграмм. В четвертой главе диссертации представлен генератор древесных и петлевых диаграмм Фейнмана, алгоритм работы которого более эффективен и оптимален: генерация диаграмм происходит так, что линии созданных диаграмм изначально связаны с пропагаторами частиц. Благодаря алгоритму упорядочивания и введению канонического представления диаграмм число сравнений диаграмм резко сокращается и повышается эффективность работы генератора.

В Заключении сформулированы основные результаты работы.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Ilvin V.A., Kovalenko D.M., Pukhov A.E. "An algorithm for the automatic generation of kinematics for collisions and decays at high energies", Proc. of 4-th International Workshop on Software Engineering, Artificial Intelligence and Expert Systems for High Energy and Nuclear Physics ed. by B.Denby and D.Perret-Gallix, April 3-8 1995, Pisa, Italy; Preprint INP MSU 95-2/366, Moscow 1995.

2. P.A. Baikov, E.E. Boos, M.N. Dubinin, V.F. Edneral, V.A. Ilyin, D.N. Kovalenko, A.P. Kryukov, A.E. Pukhov, V.I. Savrin, A.V. Semenov, S.A. Shichanin (Moscow State U.), "Physical results by means of CompHEP",in Proc.ofX Workshop on High Energy Physics and Quantum Field Theory (QFTHEP-95), ed.by B.Levtchenko, V.Savrin, Moscow, 1996, p. 101, e-Print Archive: hep-ph/9701412

3. Ilyin V.A., Kovalenko D.N., Pukhov A.E. "Recurrent algorithm for generation of relativistic kinematics for collisions and decays with regularizations of sharp peaks", International Journal of Modern Physics С, Vol. 7, No. 6 (1996) 761-774.

4. Kovalenko D.N., Pukhov A.E. "Multi-particlephase space integration with arbitrary set of singularities in CompHEP", Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A 389 (1997) 299-300.

5. Kovalenko D.N., Pukhov A.E. "Diagram generator in CompHEP package", Preprint INP MSU 97 - 6 / 457, Moscow 1997.

6. E.Boos, V.Ilyin, D.Kovalenko, T.Ohl, A.Pukhov, M.Sachwitz, H.J.Schreiber "Higgs Search in the WW' Decay Mode at Photon Linear Colliders", Phys.Lett. В 427 (1998) 189-196; DESY 98-004, IKDA 98/2, hep-ph/9801359 January 1998.

7. A.E.Pukhov, E.E.Boos, M.N.Dubinin, V.F.Edneral, V.A.Ilyin, D.N.Kovalenko, A.P.Kryukov, V.I.Savrin, A.V.Semenov, S.A.Shichanin, "CompHEP, specialized package for automatic calculations of elementary particle decays and collisions", Труды международной конференции "Computing in High Energy Physics", Берлин 1997, Deutsches Elektronen-Synchrotron (DESY), WWW address: http://www.ifh.de/CHEP97/chep97.htm

8. S.Abdullin, M.Dubinin, V.Ilyin, D.Kovalenko, V.Savrin, N.Stepanov, "Higgs Boson Discovery Potential of LHC in the Channel pp -» 77+jet", Phys.Lett. В 431 (1998) 410-419; Preprint INP MSU 98 - 13 / 514, hep-ph/9805341.

00-..... / /I/у - /С

ч/ ч/ / / / •** "11 МОСКОВСКИ^ТОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Коваленко Дмитрий Николаевич

Исследование кинематически сингулярных процессов

взаимодействия элементарных частиц при высоких энергиях и автоматизация их расчетов.

01.04.02 — теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители

доктор физико-математических наук

В. И. Саврин

кандидат физико-математических наук А. Е. Пухов

Москва 1998

Оглавление

Введение 3

Глава 1 8

1.1 Введение ............................................................8

1.2 Кинематика ........................................................9

1.3 Инвариантные обрезания ........................................11

1.4 Регуляризации...........................12

1.5 Примеры..............................18

Глава 2 23

2.1 Введение..............................23

2.2 Детали вычислений........................23

2.3 Подпроцессы с сигналом от бозона Хиггса...........25

2.4 Подпроцессы неустранимого фона...............26

2.5 Процессы устранимого фона ........... .......26

2.6 Зависимость от С}2 ........................27

2.7 Реконструкция кинематики событий ..............27

2.8 Угловые распределения в партонной ситеме центра масс . . 29

2.9 Оценки для ЬНС детекторов ..................30

2.10 Выводы...............................31

Глава 3 38

3.1 Введение ..............................38

3.2 Поиски бозона Хиггса на Фотонном линейном коллайдере . 39

3.3 Сечение и фон для 77 —> и 77 —» ........40

3.4 Сценарии для поиска бозона Хиггса в \¥"\¥* моде на РЬС ниже порога.........................41

3.5 Заключение.............................45

Глава 4 50

4.1 Введение ..............................50

4.2 Генерация древесных диаграмм.................51

4.3 Генерация диаграмм с петлями..................54

4.4 Программа ЬсЬер..........................58

Заключение 64

Введение

Прогресс в физике высоких энергий приводит к необходимости расчета все более и более сложных процессов взаимодействия элементарных частиц. Становятся актуальны процессы с большим количеством частиц в конечном состоянии ( 3 - 4 и более), которые описываются большим количеством диаграмм Фейнмана (десятки и сотни). В ряде случаев необходим расчет петлевых поправок. В этой ситуации возрастает роль автоматизированных систем вычислений для физики высоких энергий. Работы в этом направлении ведутся в различных научных центрах. Одним из примеров является пакет GRACE [2, 44], разработанный в КЕК (Япония). Можно также назвать пакеты FeynArt и FeynCalc [3, 45], программу MadGraph [49]. Программа EXCALIBUR [5] специализирована для расчетов четырехфермионых процессов на LEP, но, тем не менее, разработана с использованием достаточно общего подхода к проблемам автоматизированных вычислений. Существует также много узкоспециализированных программ для расчета сечений и генерации событий. Все эти примеры подтверждают необходимость создания универсальных автоматизированных систем для вычисления процессов взаимодействия элементарных частиц в физике высоких энергий. Эти системы должны обладать высокой производительностью, гибкостью и удобством в работе, позволять работать не только с лагранжианом Стандартной модели, но и ее расширений. Одной из таких систем автоматизированных вычислений является программный пакет СотрНЕР [18, 47], созданный в НИИЯФ МГУ. Главной идеей, заложенной в СотрНЕР, является автоматизация работы, начиная с лагранжиана взаимодействия и заканчивая получением аналитических и численных результатов. Численные результаты могут быть представлены в виде гистограмм, графиков, возможна генерация потока событий. Аналитические результаты представляются в виде программных кодов на различных языках символьных вычислений (REDUCE, MATHEMATICA, FORM). Вычисления выполняются с высокой эффективностью и с использованием развитого интерфейса для пользователя. В настоящее время пакет СотрНЕР, обладая большими возможностями для научных вычислений, широко используется в различных научных центрах.

В ходе вычислений характеристик взаимодействий элементарных частиц необходимо интегрировать квадрированный матричный элемент по фазовому пространству. Обычно это интегрирование проводится по методу Монте-Карло. Этот метод обладает большой эффективностью. Однако, в тех случаях, когда подынтегральная функция содержит острые пики

по одной или нескольким переменным - кинематические сингулярности, -возможны большие численные ошибки. Увеличение количества точек при численном интегрировании приводит к увеличению времени вычислений и не всегда дает требуемую точность. Одним из методов решения этой проблемы является преобразование переменных, по которым имеются сингулярности, с целью сглаживания пиков. Этот метод далее будем называть кинематической регуляризацией. Но для успешного применения такой регуляризации при интегрировании требуется, чтобы эти переменные были в тоже время и переменными интегрирования. Следует отметить, что часто встречаются процессы, для которых невозможно представить одновременно все кинематические сингулярности через какой-либо набор переменных интегрирования. Таким образом, выбор кинематических переменных для интегрирования и кинематическая регуляризация являются взаимосвязанными задачами для автоматизации вычислений в физике высоких энергий.

В диссертации предложено решение этой проблемы и дана реализация его в соответствующем программном модуле пакета СотрНЕР. Разработанный модуль автоматически выбирает переменные интегрирования в соответствии с особенностями данного квадрата матричного элемента. Само интегрирование проводится методом многоканального Монте-Карло с равными априорными весами для каждого канала. При этом функция локальной плотности для каждого канала выражает структуру некоторого пика в квадрированном матричном элементе. Благодаря этому возможно эффективное интегрирование квадрата матричного элемента с любой структурой пиков в фазовом пространстве для произвольного процесса взаимодействия частиц. Данное решение позволяет численно рассчитывать с большой точностью процессы столкновения и распада элементарных частиц на существующих и строящихся коллайдерах.

В настоящее время большое внимание уделяется экспериментальному обнаружению бозона Хиггса. Эта частица является последней пока не обнаруженной частицей, предсказываемой Стандартной Моделью (СМ), она обеспечивает спонтанное нарушение электрослабой калибровочной симметрии. Поэтому ее обнаружение является одной из главных целей экспериментов на существующих и строящихся коллайдерах.

Открытие фундаментальной частицы Хиггса - либо на адронном кол-лайдере (Tevatron, LHC) либо на е+е~ коллайдере (LEP2, Next Linear Collider) - приведет к необходимости детального изучения ее свойств, например, к определению спина, четности, к измерению парциальных вероятностей распада, полной ширины и констант связи с калибровочными бозонами и фермионами. Любое отклонение от параметров Стандартной модели будет означать открытие новой физики.

Поиск бозона Хиггса в широком диапазоне возможных значений его массы планируется на Большом адронном колайдере (LHC), а изучение свойств этой частицы будет возможно на Фотонном линейном коллайдере (PLC). Следует отметить, что обнаружение бозона Хиггса может быть затруднено большим вкладом фоновых процессов. Следовательно, необхо-

димо моделирование соответствующих реакций при различных режимах и параметрах работы коллайдера для нахождения приемлемого соотношения сигнала к фону. В диссертации с помощью пакета СотрНЕР исследованы процессы, в которых возможно обнаружение бозона Хиггса на LHC и наблюдение его свойств на PLC. На LHC, в частности, рассмотрена реакция рр —» H + jet —> 77 + jet, где бозон Хиггса рождается с большим поперечным импульсом. Сигнал в этом канале меньше по сравнению с инклюзивной реакцией рр —> 77+Х. В то же самое время значительно лучше оказывается ситуация с фоном. Это связано с тем, что можно использовать более богатые кинематические характеристики конечного состояния 77 +jet, в котором некоторые распределения струи в системе центра масс партонов оказываются существенно различными для сигнала и фоновых процессов.

В случае открытия бозона Хиггса на адронном или е+е~-коллайдере, дополнительная информация о его свойствах может быть получена в экспериментах на PLC, базой для которого будет е+е~-линейный коллай-дер [28]. Мы анализируем сигнал в реакции 77 —»• Н° —> W + 2 фермиона на PLC вместе с полным вычислением соответствующего фонового процесса (на древесном уровне) 77 —> W + 2 фермиона, который включает последующий распады W бозона в кварковые или лептонные пары, а также все другие вклады Стандартной Модели. Для всех этих реакций в диссертации представленны численные результаты.

Эксперименты на PLC могут быть проведены в различных режимах работы коллайдера. В диссертации исследованы два возможных сценария: с широкополосным и узкополосным энергетическим спектром. Показано, какие результаты могут быть получены на PLC при реализации широкополосного и узкополосного сценария.

В расчетах реакции рр —У iï+jet сигнал вычислялся с использованием однопетлевой вершинной вставки ggH. На PLC рассмотрены процессы с вкладом однопетлевой вершинной вставки 77Н. Сигнал, полученный от процессов в однопетлевом приближении сравнивался с фоновыми процессами, вычисленными на древесном уровне. Эти примеры наглядно показывают, что вычислений в приближении древесного уровня для современной физики высоких энергий часто оказывается недостаточно. Большое значение приобретают расчеты петлевых поправок. Однако при увеличении порядка разложения по теории возмущений резко возрастает объем рутинных расчетов. Следовательно, необходимы автоматизированные системы вычислений, способные оперировать с диаграммами Фейнмана с одной и более петлями.

Одним из первых программных модулей таких систем должен быть генератор диаграмм Фейнмана. Быстрая и эффективная генерация таких диаграмм является сложной задачей. Прямой метод генерации приводит к возникновению большого количества эквивалентных диаграмм. Соответственно растут затраты времени на генерацию, проверку и отсеивание повторяющихся диаграмм. В настоящее время создано несколько таких генераторов, в частности, GRACE (КЕК, Япония) [2, 44], FeynArt (Герма-

ния) [3, 45] и QGRAF (Португалия) [46]. Эти генераторы диаграмм используют в своей работе двуступенчатый алгоритм: на первом шаге происходит создание всех возможных топологий графов для требуемого порядка разложения, а на втором шаге каждой линии графа сопоставляется пропага-тор частицы согласно списку частиц и лагранжиану используемой модели. В ходе работы на каждой ступени происходит сравнение и отбрасывание эквивалентных диаграмм.

В диссертации предложен и реализован алгоритм работы генератора петлевых диаграмм Фейнмана, в котором не требуется предварительной генерации топологий для диаграмм. Линии и вершины создаваемых диаграмм изначально связаны с пропагаторами и вершинами, имеющимися в лагранжиане. Проверка диаграмм происходит практически без сравнения их друг с другом, что увеличивает эффективность алгоритма и снижает временные затраты. Данный алгоритм реализован в рамках пакета СотрНЕР и основан на алгоритме генерации диаграмм древесного уровня. Это по сути является первым шагом к построению системы автоматизированных вычислений для процессов с произвольным количеством петель в диаграммах Фейнмана.

Полученные в данной диссертации результаты опубликованы в следующих работах: [50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57]. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

В первой главе диссертации описан разработанный программный модуль для численных вычислений в системе автоматизированных вычислений СотрНЕР, включающий в себя автоматический выбор кинематических переменных и многоканальное численное интегрирование по методу Монте-Карло. Модуль обеспечивает сглаживание практически любого набора острых пиков (сингулярностей в квадрате матричного элемента), введение обрезаний по линейной комбинации импульсов частиц начального и конечного состояния. Интерфейс программы удобен для пользователя и снабжен системой меню с возможностью выбора параметров вычислений и кинематических регуляризаций. Данная программа успешно и многократно применялась в различных научных исследованиях для вычисления процессов рассеяния и распада элементарных частиц в составе системы СотрНЕР.

Во второй главе приведены результаты вычислений, моделирующих поиск бозона Хиггса на коллайдере LHC. Рассматривался процесс рр —» Я + jet -» 77 + jet с большой поперечной энергией струи. Вычисления проводились для предполагаемой массы бозона Хиггса в интервале от 100 до 140 Гэв. Этот интервал находится за пределами обнаружения бозона Хиггса на действующих коллайдерах LEP2 и TEVATRON. Особый интерес к таким значениям массы бозона Хиггса связан с теоретическими предсказаниями, следующими из суперсимметричных обобщений Стандартной модели. Для вычислений применялся пакет СотрНЕР и его модуль для численных вычислений, разработанный в первой главе. Использованы возможности введения обрезаний по поперечной энергии, псевдобыстроте и s для улучшения соотношения сигнала к фону. Для вычисления сигнала на

однопетлевом уровне были написаны и внесены в СотрНЕР программные коды для использования эффективной однопетлевой вершины ggH.

В третьей главе изучалась возможность наблюдения бозона Хигг-са на Фотонном линейном коллайдере (PLC), базой для которого будет е+е~-линейный коллайдер. Для PLC расматривались процессы 77 —> W + 2 фермиона с лептонным и адронным конечным состояниями. Вычисления проводились для предполагаемой массы бозона Хиггса в интервале от 140 до 160 Гэв. Особенностью этого интервала масс является то, что сигнал возможно искать только в канале распада бозона Хиггса Н WW*, где один из W бозонов находится вне массовой поверхности. Это означает, что в сигнал дают вклад 3-х частичные конечные состояния. Для расчетов 3-х частичных конечных состояний сигнала и фона использовался пакет СотрНЕР.

Рассматривались два возможных режима работы коллайдера: для широкого спектра энергии неполяризованнных фотонов и для высокополяри-зованных пучков фотонов с узким спектром энергии с максимумом в предполагаемой массе бозона Хиггса. Вычислены полные и дифференциальные сечения рассеяния для фоновых процессов на древесном уровне и для сигнала с эффективной вершиной 7 7 Н на однопетлевом уровне. Предложены стратегии поиска бозона Хиггса для процесса 77 —»• W + 2 фермиона в случаях лептонного и адронного конечных состояний.

В четвертой главе диссертации представлен генератор древесных и петлевых диаграмм Фейнмана, алгоритм работы которого эффективен и оптимален. Генерация диаграмм происходит так, что линии созданных диаграмм изначально связаны с пропагаторами частиц. Благодаря алгоритму упорядочивания и введению канонического представления диаграмм генерация диаграмм происходит практически без сравнения диаграмм между собой. Таким образом, число проверок диаграмм на эквивалентность резко сокращается и повышается эффективность работы генератора.

Глава 1

1.1 Введение

В ходе вычисления характеристик взаимодействий элементарных частиц необходимо интегрировать квадрированный матричный элемент по фазовому пространству.

Для начала требуется выразить подынтегриральное выражение с помощью независимых кинематических переменных - переменных интегрирования. Следующий шаг связан с сингулярным поведением интегрируемого выражения, что является частым случаем в вычислениях в современной физике (см. [1], например). В многих случаях прямой метод численного интегрирования терпит неудачу из-за острых пиков по одной или нескольким переменным. Необходимо преобразование переменных интегрирования для того, чтобы получить несингулярную функцию в новых переменных. Такую процедуру можно назвать кинематической регуляризацией.

Выбор переменных интегрирования и кинематическая регуляризация тесно связаны. Чтобы пояснить это утверждение, заметим, что сингулярности проявляются как нули (точнее, почти нули) знаменателей у пропа-гаторов в диаграммах. Можно сказать, что каждая особенность связана непосредственно с некоторым инвариантом - со скалярным произведением двух лоренцовых 4-векторов, выраженных в виде линейной комбинации импульсов частиц из начального и конечного состояний. Понятно, что сингулярность может быть сглажена преобразованием переменной интегрирования только если соответствующий инвариант является этой переменной или связан непосредственно с ней. Таким образом, интегрирование квадрата матричного элемента может быть выполнено, если оба эти шага - выражение подынтегральной функции через независимые кинематические переменные и требуемые преобразования этих переменных будут выпо�