Топологические теории поля и зональные сферические функции тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Институт теоретической и экспериментальной физики

-«С

г»-

На правах рукописи

НЕКРАСОВ Никита Александрович

топологические теории поля и зональные сферические функции

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Москва 1095

УДК 530.1

Работа выполнена в Институте Теоретической и Экспериментальной физики, г.Москва.

Научный руководитель:

.академик РАН Окунь Л.Б. (ИТЭФ).

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Кричевер Игорь Моисеевич (ИТФ),

Доктор физико-математических наук

Ольшанецкий Михаил Аронович (ИТЭФ).

Ведущая организация: Математический Институт РАН им. Стеклова, г.Москва

Защита диссертации состоится 23 мая 1995 г. на заседании диссертационного совета Д 034.01.01 по защите докторских диссертаций в Институте теоретической и экспериментальной физики по адресу: 117259, Москва. Б.Черемушкинскал, 25, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ИТЭФ.

апреля 1995 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-

математических наук

Ю. В. Терехов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Понятие симметрии давно стало основополагающим в современной физике. Одной из задач фундаментальной физики является формулировка такого принципа симметрии, на основе которого »южно было бы из многих возможных кандидатов выбрать одну теорию, описывающую все взаимодействия. Симметрии помогают решать многие физические задачи. В реальной ситуации неинте-грируемую систему приближают решаемой моделью с симметрилми. рассматривая затем нарушающие симметрию члены по теории возмущений.

С понятием симметрии тесно связано пространство модулей или особого рода параметров. Как правило, если изучаются какие-нибудь объекты с точностью до преобразований из группы симметрии, то возникают модули, различающие объекты, которые невозможно получить друг из др^та преобразованием симметрии.

Сферические функции появляются в задачах квантовой механики, в которых есть симметрия. Таковы, например, сферические гармоники У;от. В широком классе маломерных теорий струн. статсуымы - т -фукхцки - также являются сферическими фунцкиями для бесконечномерных групп.

Представляет интерес изучение естественных интегрируемых систем (т.е. систему связрлных с группами через структуру фазового пространства и/или гамильтониана) так как такие системы играют роль аффективных теорий поля для топологических струн.

Очень большой класс квантовомеханических задач обобщает уже упомянутые функции У|„, (которые соотяётствуют группе 51/(2)). Это так называемые многочастичные квантоэомеханические системы, в которых частицы взаимодействуют с помпгцю парного потенциала вида ^т, или

Недавно такие системы (примеры приведены ниже) привлекли к себе пристальное внимште в физике твердого тела, где точная их решаемость позволяет перейти от (неадекватной в важных ситуациях) теории Ферми-^."идкости Ландау, к теории частиц дробной статистики, удовлетворяющих обобщенному принципу Пвули. Иными словами, в качестве ¡гулевого приближения,

на фопе которого строится теория возмущений, берегся интегрируемая система, описывающая взаимодействующие частицы.

Диссертация рассматривает подходы к задаче о построении универсальной ывогочастичной системы, чьи различные пределы давали бы все известные интегрируемые конструкции такого типа. Основной идеей таких подходов является редукция простых систем на больших пространствах к сложньо системам на малых. Фазовыми пространствами для таких сложных систем следует считать различные пространства модулей.

Понятие пространства модулей пришло, в физику видимо с появлением ин-стантонов, т.е. в 70-годах. В инстантонном исчислении их.называют пространством коллективных переменных. Всплеск интереса к пространствам модулей - пространствам параметров, возник с появлением теории струн.

Это не означает, конечно, что пространства модулей изучаются только в теории струн, но методы, разработанные за последние десять лет ее развития, безусловно представляют большой интерес.

Для любого пространства, на котором действует какая-либо группа симметрий, можно построить пространство модулей - просто пространство параметров орбит действия этой группы. Для разных категорий многообразий ата процедура может проявлятся по-разному. Только что описа!щая конструкция реализуется при изучении конфигурационного пространства системы с симметрией.

Например, таким пространством может быть пространство калибровочных полей на некотором многообразии. В гамильтоновом подходе группа, действующая на конфигурационном пространстве, действует и на фазовом. Фактор-пространство по этому действию не будет ничьим фазовым пространством - иг.шульсов больше, чем координат. Поэтому правильное пространство модулей строится сложнее - нужно сначала наложить связь (положить отображение момента равным нулю, наложить закон Гаусса, ...) и только потом профакторизовать. Эта процедура называется гамильтоновон редукцией (известной также как редукция Марсдена-Венпстейпа, или как переход к редуцированному фазовому пространству).

£>

Например, для пространства калибровочных полеЛ на двумерной поверхности, рассматриваемом как фазовое пространство (в трехмерной теории) с сим-плекптческой формой

J Тг<5Л Л 6А

такая процедура даст в качестве редуцированного фазового пространства конечномерное многообразие (оно оказывается фазовым пространством в теории Чернл-Сяймочса) - пространство модулой плоских связяоетей.

Дальнейшее обобщение. Пусть исходное фазовое пространство обладает тремя согласованными симплектическими структурами. Согласованность означает, что существует такая метрика и такие три комплексные структуры I. 7, А", что выполняются соотношения в алгебре кватернионов:

р = ^ = к2 = ик = -1.

креме того, требуется, чтобы г.се три структуры были козариантно постоянны: V/ — г\77 = УА' = 0. . Тогда с1!мплектические структуры должны быть келеровыми формами в соответствующих комплексных структрурах.

Например, в Я?4 = С2 в качестве таких симплектических структур мо:кно выбрать:

•*•'! — А <1; -г ¡¡и' Л г?й).о>2 = А ¿{с — Л: Л ¿¡Ъ)

и.', = <1г Л ¿и' + .1: А <*и>)

Допустим, что грл'пла симмгтргП сохраняет все три формы. Тогда можно определить гипсркелсроау редукцию, как фактор подмногообразия, сгадлвемого обращением р ноль всех трех моментов, по действию группы.

Например, пространство калибровочных полей на пгаеркелеровом четырехмерном многообразя:» - гипгрколсрово и калибровочная группа сохраняет все три гиперкелеровы формы. Тогда редуцированное пространство совладает с пространством моделей (анти-)ивст.-штоиов.

Диссертация посвящена изучению интегрируемых систем на пространствах модулей. Волновые функции таких систем являются сферическими фунцкнямн на конечномерных групп;;*, не группах петель, на квантовых груплпх и на многомерных обобщениях »тих объектен.

В изучении пространств модулей с помощью методов теории поля и состоит предназначение многих топологических теорий. > /

Упомянем ■ о еще одном аспекте интегрируемых моделей. Существуют такие квантовые задачи, в которых фунцкиональный интеграл точно вычисляем. Например, вклад от конечного числа траекторий вычисляется, а детерминанты или сокращаются или контролируемы. Обычно вто связано с наличием какой-либо (фермионной) симметрии. Видимо, интегрируемые системы составляют класс моделей, в которых такого рода явления действительно имеют место. Одной из целей отой работы является попытка обратить внимание на связь таких моделй с топологическими теориями, в которых явление локализации (функционального интеграла) на решения некоторых уравнений (например, уравнений движения), видимо, универсально.

Цели работы

Целью работы является развитие метода гамильтоновых и гиперкелеровых редукций в классических и квантовых интегрируемых моделях, связанных с калибровочными теориями.

На основании этих методов исследуется структура состояний и амплитуд в многочастичных квантово. [ехакических системах.

Научная ноз.изна

Предложена интерпретация маломерных калибровочных теорий в виде квантовой механики многих частиц, попарно взаимодействующих с отталкивающим потенциалом. Например, двумерная теория Янга-Миллса с калибровочной группой SU(N) оказывается связанной с моделью Сазерленда, в которой N частиц взаимодействуют с отталкивающим потенциалом П*х.....=

Показало, что стоговые вллтеггические системы могут быть обобщены до систем Книжника-Замолодчккова ( Кричевера - Хитчина - Бернара ) яа пространствах модулей расслоений Хиггса. Тем самым установлена (новая) связь с двумерными конформными теориями поля.

Построено преобразование дуальности для тригонометрических интегрируемых систем описанного типа. Оно позволяет вычислять волновые функции одних систем, если известны таковые для дуалытых. Конструкция согласуется с альтернативными построениями. Так, система Сазерленда дуальна рациональной модели Раузеиа-арса.

С использованием техники тополопгческих теорий вычислены волновые функции, спектр и статсуммы в тригонометрических многочастичпых системах.

Предложена конструкция переменных Действие-угол для интегрируемых систем на пространствах модулей, включающих в себя многочасткчяые системы. Конструкция обобщает подходы Кричевера и Хитчина.

Построена склейка сферических функций, ставящая в соответствие каждой -двумерной поверхности с отмеченными точками двух типов (m и eut) и графу на ней оператор из тензорного произведения пространств сферических функций в tn точках в аналогичное произведение в out точках.

Предложены интегрируемые системы на пространстве модулей хпгстантонов на асимптотически локально евклидовом пространстве. Taîcjie системы обобщают модели Хитчина в двумерии.

Практическая Цекность

1. Предложенная интерпретация мллоиер:шх калиброзочттых теорий в виде квантовой механики многих частиц, попарно взаимодействующих с отталки-' вдювдим потенц!!;1Лом, полезна в применениях теории к моделям одно- и двумерной сверхпроводимости. 3 частности, удлется найти интегральные формулы для корреляторов плотностей числа частиц. • 2. Показано, что спиновые ¡эллиптические системы могут быть обобщены до систем Кнкжника-Замолодчикова ( Кричевера - Хитчина - Бернара ) на пространствах модулей расслоении Хиггсл. Тем самым установлена связь с двумерными конформными теориями поля.

3. Построено преобразование дуальности для тригонометрических интегрируемых систем описанного типа. Оно позволяет вычислять волновые функции одних систем, если известны таковые для дуальных.

4. С использованием техники топологических теорий вычислены волновые функции, спектр и статсуммы в тригонометрических многочастичных системах.

5. Предложена конструкция переменных действие-угол для интегрируемых систем на пространствах модулей, включающих в себя многочастичные системы. Она позволяет писать в npsuimtne явные формулы для решения клас-

. сических уравнений движения через тета-фукцкии на кривых высокого рода,

6. Построена склейка сферических функций, ставящая в соответствие каждой двумерной поверхности с отмеченными точками двух типов (in и out) и графу на ней оператор из тензорного произведения пространств сферических функций в in точках в аналогичное произведение в out точках. Предложена процедура склейки интегрируемых систем, гипотетически отвечающая вторичному квантованию струнных теорий. Конструкция полезяа пр'л изучении функториальных свойств интегрируемых систем, очень важных в применениях струнных теорий поля.

7. Предложена интегрируемая система на пространстве модулей инстактонов на асимптотически локально евклидовом пространстве. Ее связь с интегрируемыми системами типа Калодяера пр с дет.шляется аналогом связи между уравнениями самодуальности и редукциями иерархий Кадомцева-Петвиашвили.

Она является лишь малой толикой богатого мира интегрируемых моделей, связанных с четырехмерными калибровочными теориями, изучение которых позволяет надеятся на продвижение в понимании струнных симметрий.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на теоретических семинарах ИТЭФ, ЛОМИ, Института Теоретической Физики Университета Уппсалы (Швеция), Институте Нильса Еора (Дания), Институте Теоретической Физики Унизерситета Миннесоты, Институте Перспективных Исследований (Приа-стон), на межудаародных конференциях в Рахове (1992), в Алуште (1993), в Аспеяе (1993), в Хельсинки (1993).

Публикации .

По результатам дяссертахрш опубликовано S статей.

Объем и структура работы

• Диссертация состоит из введения, 5 глаз я заключения. Текст диссертации изложен на 72 страницах, содержит СШ1С0К литературы из 65 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении ош:сызается круг задач, рассмотренных а диссертации, объясняются понятия пространства модулей, гамильтововой и гяперкелеровых редукций, топологических теорий, связанных с moni Интегрируемых систем и объясняется общая идеология исследования.

D главе 2 дан обзор топологических теорий. В глазе 3 описаны различные • мпогочастичные интегрируемые системы. •

Модель Сазерленда описывает систему частиц на прямой, попарно' взаимодействующих с потенциалом

W-TS&j'

ее вырождение в рациональный случай V(x) — 77 называется моделью Калоджеро-Мозера, а обобщение на потенциал

vw = p(i)

- эллиптической моделью Калоджеро-Мозера. Рассмотрим частицы ва окружности радиуса L, чьи импульсы также лежат на окружности. Такал система появляется в релятивистской механике при аналитическом продолжении к мнимому' времени. Действительно, в терминах быстроты в внергия и импульс частицы массы тв1+1 измерении даются формулами:

Е(0) = тп cosh(ff)

р(0) = т sinh{6)

После ваковского поворота гиперболические функции превращаются в тригонометрические, а быстроты вачинают жить на окружности.

Существует обобщение системы Калоджеро для таких частиц (оно было в несколько другом виде Haiiseno Раузена.чрсом):

Я = V «»(0.) П/(</■> >. 1 '*>

где

5>У = «г - Ц Нерелятип-лгп ьий и]и Д".1 отьеч;и"Т

с

А =

1'

H.ri - <V'—

г*

при с —» со. Гамильтониан тогда превращается, после вычитааии энергии покоя, в

<

Существуют и более общие многочастичные системы. Обобщением систем Калодасеро будет система частиц со спинами, чье взаимодействие (парное) убывает с расстоянием. Классически спины можно себе представлять как матрицы, параметризующие коприсоединенные орбиты группы. Итак, для каждой частицы вводим матрицу

действующую в пространстве £\ размерности t>i < tío = N. Здесь U¡ действует из пространства Со размерности i'o в пространство £\, а V действует в обратную сторону. Сказать, что эта матрица параметризует коприсоединенную орбиту -это все равно, что сказать, что S¡ имеет фиксированный класс сопряженности (например, дли группы SU(vj) это означает зафиксировать набор собственных

значений). Гамильтониан такой системы частиц запишется в виде:

. z «j

Канонически сопряжены друг другу p¡ и x¡, а также U' и Уа'. На U и V наложены связи. Если заморозить координаты частиц (например, перейти к термодинамическому пределу N —» оо), то получится эллиптическое обобщение модели Халдейна-Шастри:

п_у Тг(SÍSJ)

Другая интересная спиновая цепочка - магнетик Годена - имеет гамильтонианы вида: •

/i = y

i*' . '

где z¡ - параметры системы.

В диссертации показано, что все эти модели, а также многие их обобщения, являются частными случаями общей интегрируемой системы, которую правильнее всего было бы назвать системой Книжника-Замолодчикова. Такая система строится по кривой с отмеченными точками, по набору весов (ко-присоединенных орбит, параболических структур,...) в этих точках. Естественным пространством времен в такой модели служит пространство модулей УУ-структур (точнее, касательное пространство к пространству модулей И'-структур естественно изоморфно касательному пространству к пространству времен).

В главе 4 вводятся интегрируемые системы, описывающие д;шамику нулевых мод в калибровочных теориях. Нулевые моды при этом играют роль частиц в многочастичяых квантовоыеханическух системах.

Подробно разобраны двумерные калибровочные теории: теория Янга-Миллса, которая оказываете; таким образом связанной с системами типа Калод/керо-Мозера и Сазерленда, теория Черпа-Саймонса, порождающая системы Макдональдс и Раузенаарса.

В главе 5 описан подход, связанный с теорией сферических функций. Волновые функции рассматриваемых моделей отождествлены со сферическими функциями на различных алгебраических структурах - группах, квантовых группах, группа! п;-тель и их деформаций. В »той главе также вводится еллиптичеекий аналог м.чгж-тика Годена, обобщающий и эллиптическую модель Калоджеро, и спиновые цепочи*. Его гамильтонианы могут быть явно записаны в терминах тста-фунцкий:

где р» »то определимые комбинации спиновых опгратороБ. - отмеченные точки и.ч еллиптичеекий кривой, - координаты частиц. След) ющне гамнльюмшшы также представляли интерес:

-Ь -г» - л)

. я,, = Х><2+ Е (р.Ыр.Ьр< з. - ч)+

В глазе 6 обсуждаются четырехмерные топологические теория а связанные с гасли интегрируемые системы. Как известно, ипстаятоетл на К.4 описываются конструкцией АДХМ (Атьи-Хктчина-Лриафелъда-Мапина). Она включает о себя:

1) векторные пространства V а IV. Лт( V) > сйтп(ТГ),

2) операторы : V —» V,

3) операторы /: V -* XV, ЛIV — /.

На пространстве четзерсх (Г,ЛЯ«,В\) имеется голоморфная симшгек-тическЕл форма

Тг5В0 Л ¿В, + ТгёГ Л &},

инвариантная относительно естественного действия С£( V) ч (?£(И')/С" на V и IV.

Делается газиьтепоза редукпля по действия! ОШ') при значении отображения момента

равном (ТНу- Такую редукцгпо следует считать дгформацп«*'? собственно конструкции АДХМ. з ждторй С = 0, но имеются дополнительные ограничения на матрицы В, 1,3.

Пусть гамильтониан на иеходзкт пространств рааеа

Я = ТтС?

Тогда а результате редукции с дпагозгдтгзацггеП (з лбщем положении: это возможно) гамильтониан принимает вид:

И - V г? л. V*

где = Ь, - собственные числа В), р, - диагональные матричные

елемепты ВоВ в той системе нетрудно увидеть рациональную модель Калоджеро-М озера со спинами. Отметим, что она явно самодуальна..

С другой стороны, для почти всех ( и почти всех В\ мы получим инсталтон ва Е4 с некоторй фиксированной асимптотикой на бесконечности.

Эта процедура обобщена для ивстантонов ва асимптотически локально евклидовых многообразиях. Для простоты Ограничимся серией А/ч, т.е. X будет минимальным разрешением особенностей фактора С2/Жк-

Согласно Кронхаймеру и Накаджиме, обобщением описания АДХЫ будет следующее:

1) набор векторных пространств = 1,... ,Л',ЛГ + 1 ~ 1;

2) набор операторов +1': Vi,Bi+: V, —» ;

3) набор операторов Л : V, -» Wi,Ji : IV, —» V, Голоморфная симплектическая структура имеет вид

|,|'-Н Л 1,; + ¿Л Л /;)

«

В качестве гамильтонианов берем

Я, = Тг(ПВм^)'

* I

Эта гамильтонова система спустится ва редуцированное фазовое пространство, поскольку гамильтониан инвариантен относительно действия группы. Роль «той системы и ее физический смысл пока неясны. Заметим, что все такие системы само дун льны. Вероятно, ото связано с 5-дуальностью некоторых су-перс1.лиетр1гчных калибровочных теорий в четырехмерии.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

основные результаты

1. Предложена интерпретация маломерных калибровочных теорий в виде квантовой механики многих частиц, попарно взаимодействующих с отталкивающим потенциалом.

2. Показало, что спиновые эллиптические системы могут быть обобщены до систем Книжника-3амолодчш<ова ( Кричевера - Хитчина - Бернара I на пространствах модулей расслоений Хигтса.

3. Построено преобразование дуальности для тригонометрических интегрируемых систем описанного Tima.

4. С использованием техники топологических теорий вычислены волновые функции, спектр и статсуммы в тригонометрических многочастичных системах.

5. Предложена конструкция переменных действие-угол для интегрируемых систем на пространствах модулей, включающих в себя многочастичные системы.

6. Построена склейка сферических функции, ставящая в соответствие каждой ■ двумерной поверхности с отмеченными точками двух типов (т и ouf) и

графу на ней оператор из тензорного произведения пространств сферических функций в m точках в аналогичное произведение в out точках.

7. Предложена интегрируемая гамильтонова система на пространстве модулей . инстантонов на асимптотически локально евклидовом пространстве.

ПУБЛИКАЦИИ

1. Gorslcy A.S., Nekrasov N.A., Iíamiltonian Systems af Calógtro type and Tvo-Dimcnsional Yang-MilU Theory, Nucl.Phys. B414 (1904). 213-23S

2. Gorsky A.S., Nekravov N.A.. Relativistic Calogero-Moser iíodcl as Gauqed WZW theory, Nucl.Phys.B436 (1993), 582-60S

3. Gorsky A.S., Nekrasov N.A.. Quantum integrable systems of yarticles as gauge iheo-ries, Teor.Math.Phys., 100 (1994) N 1. 97-104

4. Gorsky. A.S., Nekrasov N.A. Elliptic Calogern-Mostr System from Т'ло-Dimensional Carrent Algebra, Preprint UUITP-1/04, hepth/9401021

5. Nekrasov N.A.. Holomorpkic Bundles and Many-Boiy Systenu, Preprint PUPT-1534