Рассеяние вихрей в абелевой модели Хиггса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

РУи

Пальвелев Роман Витальевич

Рассеяние вихрей в абелевой модели Хиггса

01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

4851350

Москва — 2011

3 О ИЮН 2011

4851350

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Сергеев Армен Глебович член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Трещев Дмитрий Валерьевич кандидат физико-математических наук Шамин Роман Вячеславович Учреждение Российской академии наук Институт математики с вычислительным центроь, Уфимского научного центра РАН.

Защита диссертации состоится 20 октября 2011г. в 14ч.00м. на заседании диссертационного совета Д.002.022.02 при Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, ул. Губкина, д.8 (9 этаж).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан «15 Ьи-СнЛ. 2011г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.002.022.02, доктор физико-математических наук

Ю.Н.Дрожжинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Диссертация посвящена изучению свойств (2+1)-мерной абелевой модели Хиггса.

Абелева (2+1)-мерная модель Хиггса возникает в теории сверхпроводимости. Несмотря на то, что указанная модель изучается с 50-х годов XX века, когда она возникла при построении В.Гинзбургом и Л.Ландау феноменологической теории сверхпроводимости (предложенный ими1 лагранжиан в случае бесконечного заполняющего все пространство сверхпроводника сводится к лагранжиану указанной модели), многие важные задачи, возникающие в этой модели, до сих пор не решены.

Согласно теории Гинзбурга-Ландау, энергия бесконечного сверхпроводника, помещенного в магнитное поле, равна2

J \ 8тг 4m V

пс

(1)

Здесь Ф — комплекснозначная функция (параметр порядка), А — электромагнитный вектор-потенциал, В = тоЬ А — магнитная индукция, ей то — соответственно заряд и масса электрона, К — постоянная Планка, с — скорость света, а<0иЬ>0 — физические константы, характеризующие сверхпроводник.

Статическая двумерная модель Хиггса является редукцией модели (1) в предположении, что величины А и Ф не зависят от одной из координат (например, от л;3). Перемасштабируя координаты и величины АиФ, можно избавиться от физических констант и свести выражение (1) к выписанному ниже функционалу энергии модели Хиггса (2). Входящий в него параметр А имеет следующий физический смысл: случай А < 1 отвечает сверхпроводникам первого рода, а А > 1 — второго. Критический случай А = 1, изучаемый в диссертации, соответствует пограничному значению между сверхпроводниками первого и второго рода и наиболее интересен с математической точки зрения.

Кроме теории сверхпроводимости, абелева модель Хиггса возникает также в некоторых моделях квантовой теории поля3 и в космологических теориях4. Из чисто математических приложений абелевой модели Хиггса можно

1 В.Л.Гинзбург, Л.Д.Ландау. К теории сверхпроводимости. ЖЭТФ 20 (1950), вып.12, сс.1064-1081.

2Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский. Статистическая физика, часть 2. М.: Наука, 1978.

3Н. В. Nielsen and P. Olesen (1973). Vortex-line models ¡or dual strings, Nuclear Physics В 61, pp. 45-61.

4T.W.B. Kibble, Topology of cosmic domains and strings, Journal of Physics A: Mathematical and General 9 (1976), №8. pp. 1387-1398.

упомянуть использование решений статической модели К.Таубсом5 при доказательстве связи между инвариантами Громова и Зайберга-Виттена четырехмерных многообразий.

Двумерная абелева модель Хиггса задается следующим функционалом энергии:

V(A, Ф) = \! (ИдФ|2 + ^ + - I)2) dxdy, (2)

RJ

где А = — iA\dx — iAidy - калибровочный потенциал с гладкими веществен-нозначными коэффициентами Ai, Ai на R2, Ф = Фх + гФг - поле Хиггса, задаваемое гладкой комплекснозначпой функцией на плоскости R2, А > 0 -константа. Через F& := diAi — diAi обозначается калибровочное поле, порождаемое потенциалом (Ai, А2). Здесь и далее д\ := дх, <9г '■= ду.

Функционал энергии V инвариантен относительно калибровочных преобразований следующего вида:

А I—> Â = А — idx , Ф |—> Ф = егхФ,

где х — гладкая вещественнозначная функция на R2.

Решения статической двумерной модели Хиггса с конечной энергией при Л = 1 полностью описаны 6. Именно, всякое такое решение является решением одной из двух систем первого порядка (системы вихревых или системы антивихревых уравнений), а всякое решение каждой из этих систем однозначно (с точностью до калибровочной эквивалентности) определяется нулями функции Ф, число которых конечно. Решения системы вихревых уравнений с N нулями называются TV-вихревыми, а антивихревых — TV-антивихревыми. Поскольку решения антивихревых уравнений связаны с решениями вихревых уравнений простыми формулами, можно ограничиться только изучением N-вихревых решений.

Пространство модулей TV-вихревых решений, обозначаемое через M.N, по определению является множеством классов калибровочной эквивалентности JV-вихревых решений. Это пространство можно отождествить cTV-й симметрической степенью SNC, т. е. с множеством неупорядоченных наборов N комплексных чисел (совпадающих с нулями Ф). Множество SNC можно, в свою очередь, отождествить с пространством CjV, сопоставляя каждому набору {Zi,..., ZN} полином p(z) с нулями Zi,..., Zn и старшим коэффициентом 1:

p(z) = (z-Zi)...(z- ZN) = zN + Siz"-1 + • • • + Ss-iz + SN.

5Taubcs C.H. Gr=> SW: From psevdo-kolomorphic curves to Seiberg-Witten solutions, J. Diff. Geom. 51 (1999), pp. 203-334.

6A. Jaffe, C. Taubes. Vortices and Monopoles. Boston: Birkhàuser, 1982.

Числа 51,..., £лг могут служить координатами на пространстве модулей Введм также вещественные координаты // = 1,2,..., полагая дЪ-1 = 11е Я] и ср = 1т 5,- для з = 1,..., N.

Следует отметить, что при А ф 1 про решения статической модели известно гораздо меньше. Доказано7, что при всех Л > 0 функционал V имеет критические точки, аналогичные Л^-вихревым решениям, все нули которых совпадают. Они имеют вид

А\ = —х2па(г)/г, А2 = хгпа(г)/г, , Ф = е'паг527(г),где г = |г|.

Динамическая (2+1)-мершя модель Хиггса задается функционалом действия

«2

S(A, Ф) = ~ J dt J{(|Д)Ф|2 + Fl + F022)

к к2

- АФ|2 + р2Ф|2 + + ^(|Ф|2 - I)2) |Лхйу.

Здесь

1. Ф(£,х, у) - гладкая комплекснозначная функция;

2. компоненты связности - гладкие вещественнозначные функции, з= 0,1,2;

3. Б3Ф := д3Ф — iЛjФ - ковариантная производная, 3 = 0,1,2;

4. Р^ := д]Аь — дкА^ - компоненты формы кривизны, 3, к = 0,1,2,3 ф к, сд0 = ди д1 = дх, д2 = ду;

5. А > 0 — константа (параметр модели).

Функционал действия можно представить в стандартной форме

S = J{T~V)dt,

где потенциальная энергия V задается формулой (2), а кинетическая энергия Т равна

T = \J (1-°оФ|2 + F2 + F22) dxdy.

м2

7B.J. Plohr, The behavior at infinity of isotropic vortices and monopoles, Journal of Math. Phys. 22 (1981), pp. 2184-2190.

Этот функционал инвариантен относительно динамических калибровочных преобразований вида

Âj = Aj + 3jX, Ф = егхФ,

где x{tjx-, у) ~ гладкая вещественнозначная функция.

Выбором калибровки можно добиться выполнения условия Ао = 0 (так называемая временная калибровка). В этом случае

Т^^ЦдоФЦЪ + Шг^ + ШШ

Тем самым, функционал Т определяет метрику на пространстве Mn, которая называется кинетической. Первая глава диссертации посвящена точному описанию этой метрики и доказательству ее гладкости в симметрических координатах Si,... ,Stf. Изучение кинетической метрики представляет особый интерес, поскольку с ее помощью можно строить приближенные динамические решения (2+1)-мерной модели.

Динамическими решениями (2+1)-мерной модели называются решения уравнений Эйлера-Лагранжа для действия Ф). Эти уравнения инвариантны относительно динамических калибровочных преобразований.

Статические решения указанных уравнений — это в точности решения статической двумерной абелевой модели Хиггса. Таким образом, эти решения полностью описаны. Однако динамические решения не допускают сколь-нибудь полного описания.

В случае А = 1 можно получить приближенное описание динамических решений, следуя идее Мэнтона8 для сходной задачи о динамике магнитных монополей (возникающей в нсабелевой (3+1)-мерной модели Хиггса с калибровочной группой SU2). П.Рубак впервые применил9 эту идею для изучения динамических решений (2+1)-мерной абелевой модели Хиггса. Указанная идея, называемая адиабатическим принципом, состоит в том, чтобы рассматривать геодезические на пространстве модулей статических решенийМ.^ относительно кинетической метрики в качестве приближения к динамическим решениям уравнений Эйлера-Лагранжа, описывающим траектории системы из N медленно движущихся вихрей. Несмотря на то, что идея Мэнтона основана на эвристических соображениях, она вызвала к жизни целый ряд работ, посвященных описанию геодезических на пространствах статических решений.

Первая попытка обоснования адиабатического принципа была предпринята в статье10 для близкой модели Хиггса с масштабным параметром А ф 1.

8N. S. Manton. A remark on the scattering of BPS monopoles. Phys. Lett. B110 (1982), pp.54-56.

9P.J. Ruback. Vortex string motion in the Abelian Higgs model. Nucl. Phys. B296 (1988), pp.669-67S.

10D. Stuart. Dynamics of Abelian Higgs vortices in the near Bogomolny regime. Comm. Math. Phys. 159 (1994), pp.51-91.

Следует отметить, что автор работы10 также обосновал адиабатический принцип в сходных задачах о динамике магнитных монополей11 и вихрей на сфере12. Вторая глава диссертации посвящена обоснованию адиабатического принципа.

К сожалению, вычислить метрику в явном виде не удается даже в случае N = 2. Однако доказан ряд свойств кинетической метрики. Указанная метрика инвариантна относительно сдвигов плоскости, поворотов и комплексного сопряжения. Более того, Т.Сэмоле доказал13, что имеется изометричное разложение

Mn = M°nxC,

где ,М°у — подмногообразие ./V-вихревых конфигураций с центром масс в нуле, т.е. множество точек Mn, для которых Si = 0. В этой же статье доказано, что кинетическая метрика является кэлеровой. Авторы статьи14 вычислили кинетическую метрику в случае N = 2.

Довольно большое число работ посвящено изучению конкретных случаев динамики вихрей. Например, широко изучалась задача о взаимодействии двух движущихся вихрей. В статьях13,15'16117,18 содержатся результаты численного моделирования для этой задачи. В уже упоминавшихся работах9,14, а также в статье19 изучалась задача о лобовом столкновении двух вихрей. При этом авторы первых двух из этих работ использовали геодезическое приближение, а авторы последней строили решения динамических уравнений при всех значениях Л > 0, пользуясь теоремой Коши-Ковалевской. В этих работах было показано, что после лобового столкновения траектории вихрей поворачиваются на угол ж/2, т.е. вихри рассеиваются под прямым углом. В статье10 отмечается, что, используя адиабатический принцип, этот результат можно получить, пользуясь тем, что кинетическая метрика является гладкой в симметрических координатах.

В третьей главе диссертации рассмотрено обобщение задачи о лобовом столкновении двух вихрей: исследуется поведение N вихрей при симметрич-

"D. Stuart, The Geodesic Approximation for the Yang-Mills-Higgs Equations, Commun. Math. Phys. 166 (1994), pp. 149-190.

12D.M.A. Stuart, Periodic solutions of the Abelian Higgs model and rigid rotation of vortices, Geom. and Funct. Anal. 9 (1999), pp.568-595.

13T. M. Samols. Vortex scattering. Comm. Math. Phys. 145 (1992), pp.149-179.

14А. Г. Сергеев, С. В. Чечин. О рассеянии медленно движущихся вихрей в абелевой (2ч-1)-мерной модели Хиггса. Теоретическая и математическая физика, 85 (1990), №3, сс. 397-411.

15E.P.S.Shellard. Cosmic string interactions, Nucl. Phys. B283 (1987), pp.624-656.

16K.J.M. Moriarty, E. Myers, and C. Rcbbi, Dynamical interactions of cosmic strings and flux vortices, Phys. Lett. В 207 (1988), pp.411-418.

17E. Myers, C. R<;bbi, and R. Strilka, Study of the interaction and scattering of vortices in the Abelian Higgs (or Ginzburg-Landau) model, Phys. Rev. В 45 (1989), pp.1355-1364.

18E.P.S.Shellard, P.J.Ruback. Vortex Scattering in Two Dimensions, Physics Letters В 209, Ä2-3, pp.262270.

19F. Abdelwahid, J. Burzlaff. Existence theorem for 90" vortex-vortex scattering. J. Math. Phys. 35 (1994), pp.4651-4660.

ном лобовом столкновении, т.е. при одновременном столкновении N вихрей под равными углами. При N = 2 получается случай лобового столкновения двух вихрей. Случай рассеяния N вихрей при симметричном столкновении был описан на «физическом» уровне строгости в статьях20,21. (Следует заметить, что авторы последней из упомянутых работ, как и авторы статьи19, строили решения динамических уравнений при всех значениях А > 0 с помощью теоремы Коши-Ковалевской.) При симметричном столкновении N вихрей происходит рассеяние на угол т.е. траектории вихрей поворачиваются после столкновения на угол 7г/А^. В главе 3 показано, как получить этот результат в адиабатическом приближении с помощью свойств гладкости и симметрии кинетической метрики.

Цель работы.

Изучение динамики ЛГ-вихревых решений в (2+1)-мерпой абелевой модели Хиггса.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Доказано, что кинетическая метрика на пространстве модулей Дг-вихревых решений в (2+1)-мерной абелевой модели Хиггса является гладкой в координатах, задаваемых симметрическими функциями положений вихрей.

2. Дано обоснование адиабатического принципа в абелевой (2+1)-мерной модели Хиггса.

3. Найдены геодезические кинетической метрики на пространстве модулей УУ-вихревьтх решений, описывающих рассеяние системы из N вихрей при симметричном лобовом столкновении.

Основные методы исследования.

В диссертации используются методы функционального анализа, комплексного анализа и теории дифференциальных уравнений.

20R. MacKenzie. Remarks on gauge vortex scattering. Phys. Lett. B352 (1995), pp.96-98; hep-th/9503044. 21K. Arthur, J. Burzlaff. Existence theorems ¡or n/n vortex scattering. Lett. Math. Phys. 36 (1996), №3, pp.311-318; hep-th/9503010.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут представлять интерес для специалистов, изучающих классические модели калибровочной теории поля.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на заседаниях научного семинара по многомерному комплексному анализу им. А.Г.Витушкина под руководством проф. В.К.Бслошапки, член-корр. РАН С.Ю.Немировского, проф. А.Г.Сергеева, члсн-корр. РАН Е.М.Чирки (механико-математический факультет МГУ имени М.В.Ломоносова) в 2006г., 2011г. Кроме того, результаты диссертации докладывались на заседании научного семинара отдела математической физики Математического института им. В.А.Стеклова РАН под руководством акад. РАН В.С.Владимирова и член-корр. РАН И.В.Воловича в 2011г.

Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях:

• Международная конференция по геометрическим методам в физике (Беловежа, Польша, 2-8 июля 2006 г.)

• Второе российско-армянское совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Москва, 5-11 октября 2008 г.)

• Летняя школа-конференция по проблемам алгебраической геометрии и комплексного анализа при Ярославском государственном педагогическом университете (Ярославль, 11-16 мая 2009 г.)

• Международная школа-конференция по геометрии и квантованию (Люксембург, 7-11 сентября 2009 г.).

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в 3 работах автора. Список работ приведен в конце автореферата [1]—[3].

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 3 глав и списка литературы. Объем диссертации — 100 страниц, библиография включает 30 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводятся основные определения, описываются статическая двумерная и динамическая (2+1)-мерная модели Хиггса. Приводится обзор ранее полученных результатов. Формулируются основные результаты диссертации.

В первой главе изучается кинетическая метрика на пространстве модулей ЛГ-вихревых решений. Основным результатом этой главы является доказательство следующей теоремы.

Теорема 1. Функционал кинетической энергии Т корректно определяет некоторую риманову метрику на пространстве модулей Л4дг. Эта метрика является гладкой в симметрических координатах 51,...,

В разделе 1.1 приводится конструкция кинетической метрики. Вводятся линеаризованные уравнения вихрей, линеаризованный вихревой оператор

(~д2 дг ф1 ф2 \ ф2 4>1 дх + а2 -д2 + а\ I , ф\ 4>2 02 — си д\ + а2 )

касательный калибровочный оператор Сф.

СфХ = (йх, дгх, ~Ф2Х, Фгх)

и оператор, формально сопряженный к вф'

С*ф(а\,а,2, <р\, <р2) = —д\а\ - Згаг - Ф2Щ + ф\у2. Определяется оператор Т)аф на пространстве (Я1)4:

/ —д\ —Зч —ф2 ф\ ^

„ _ -д2 дг ф\ ф2

а'ф Ф2 Ф1 д\ + а2 —д2 + • ^ Ф\ ф2 дг- д\ + а2 )

Вводится понятие канонического ^-вихревого решения (А(д),Ф(д)), соответствующего точке Л4]\г с координатами д. Строится базис {п(,} ядра кег Х>л(д),Ф(?) из 2-/У векторов. Этот базис позволяет построить изоморфизм 1д касательного пространства к пространству модулей ЛГ-вихревых решений Л4н в некоторой точке <3 с координатами д и ядра оператора Т>А{д),цчу Кинетическая метрика определяется как обратный образ £2-скалярного произведения на ядре кег Г,у4(9),ф(<?) относительно изоморфизма /д. Формулируются результаты, которые используются при доказательстве корректности этого определения и гладкости полученной метрики в симметрических координатах.

В разделе 1.2 доказывается первый из этих результатов, а именно следующая лемма.

Лемма 1. Компоненты канонического решения А\(д), ^(д), Ф(д) поточечно гладко зависят от координат q, т.е. для любой фиксированной точки 2о € С числовые функции о), ^2(9; го), Ф(д;го) являются гладки ми

функциями на

В разделе 1.3 доказываются еще два результата, использующихся при доказательстве корректности построений из раздела 1.1.

Лемма 2. Для каждой точки q Е К2ЛГ существуют гладкие ограниченные функции ХмО?!^,?/), Ц — 1,2, на плоскости М2|У, такие что вектор-

функции пД^), определяемые выражениями

принадлежат пространству Соболева (Н1(К2))4 и удовлетворяют условию

Сф Мпм(д) = 0.

Лемма 4. Отображения q = (д°,..., д2ЛГ) м- пДд) являются гладкими отображениями из в (£2)4 для ¡1 — 1,..., 2М.

В разделе 1.4 доказывается последний из вспомогательных результатов, а именно, показывается, что построенные в разделе 1.3 вектор-функции пм линейно независимы, т.е. действительно образуют базис в ядре оператора

Щд)МяУ

Лемма 3. При каждом д е М2Л' вектор-функции пДд), /х = 1,2,..., 2ЛГ, линейно независимы.

Вторая глава диссертации посвящена обоснованию адиабатического принципа. Основным результатом этой главы является следующая теорема.

Теорема 2. Пусть = (т) есть параметризация отрезка произвольной геодезической (}: [0; го] —> Мы на пространстве модулей Мы относительно кинетической метрики с выбранным на ней натуральным параметром т. Тогда найдутся:

• положительные числа т\ ^ то, £о, М;

• заданная на отрезке [0,то] гладкая кривая (сц(т), а2(т), ф{т)) в пространстве статических Л^-вихревых решений, калибровочный класс которой [сц(т), а2(т), ^(т)] при каждом фиксированном т £ [0,то] совпадает с классом ¿¡)(т) € Л^лг!

обладающие следующими свойствами.

Для любого е £ (0;ео) существует решение А\({), -А§С0> ФЕ(£))

уравнений Эйлера-Лагранжа динамической модели, заданное на отрезке £ 6

[Ojti/e], отклонение которого от кривой (cvif/í), a2(et). (p(st)) имеет порядок е2. Более точно, указанное решение допускает представление

i4g(í,x,y) =£3aE0(t,x,y), A\{t,x,y) = ai(et-,x,y) + E2al{t,x,y), A%{t, x, y) = a2(et\x, y) + £2a2{t, x, y), Фе(*, x, y) = (¡>{et\x, y) + £ x, y),

в котором остаточные члены ag, af, af, 95е = ip\ + равномерно ограничены по e, точнее, для всех t £ [0; т\/е\ выполняется оценка

max{||flS(í)||3,||aí(í)ll3, ||a£(í)||3, Ш)||з, ||^(*)1|з} < М,

где || • ||3 обозначает норму в пространстве Соболева Н3(R2). Найденные решения обладают следующими свойствами:

• функции а\,а2,ф являются гладкими и ограниченными на множестве [0; п] х R2;

• функция ац приинадлежат классу С1 ([0; ri/e], Я3(К2)), а функции af, а2, <р[, ipe2 - классу

С{[0; п/Е], Я 3(R2)) П С1 ([0; П/Е], Я2(М2)) П С2([0; п/е}, Н\Ж2)). (4)

В разделе 2.1 приводится система уравнений, получаемых при подстановке выражений (3) в уравнения Эйлера-Лагранжа динамической модели (индекс £ опускается):

-Да0 + \ф\2ао = -йЩа, ф) + + 2{дтф2 ■ - дтфi • + £ J0, (2.1)

фа + DZjDajtí = -д2(аи а2, Фи fa) + e£?*(ao)t + e2J- (2.2)

Здесь ф = (ai, а2, (fii,(p2)•

Вводится вспомогательная система, которая обладает меньшим вырождением:

-Да0 + \ф\2а0 = 2(9■ Vi - • <¿>2) + (2.4)

Vte + К^сцфФ = ~д2Ла, ф) + eGé(ao)t + eV, (2.5)

где J':=J- (0,0, -<р2С*фф, ^С*фф).

Основным результатом раздела 2.1 является утверждение о том, что любое решение вспомогательной системы с подходящими начальными условиями является также решением исходной системы (2.1), (2.2) (теорема 4).

Теорема 4. Пусть (а(^), I € [¿о; ¿1], есть гладкая кривая в пространстве ЛГ-вихревых решений, проекция [а(£), ф(Ь)] которой на пространство модулей АЛьг является гладкой кривой в М.^, и пусть компоненты ах, а'2, ф\, Ф2 ограничены на множестве [¿о; х М2. Предположим, что функция ао € С1 ([¿оТ ¿1]) Я3) и вектор-функция ф = (ах, аг, <¿>1, <рг) с компонентами класса (4) на отрезке [¿о; ¿х] задают решение системы (2.4),(2.5) с данными а и ф. Предположим, что выполнены следующие условия:

= о,

Л Стф{£) = 0. ¿=¿0

<Й

Тогда пара (ао, т/0 является решением системы (2.1),(2.2).

В разделе 2.2 для данной кривой д(т) на пространстве у строится такая кривая (а{т), ф(т)) из статических решений, что С*9т(а, ф) = 0. Именно эта кривая, построенная по геодезической на пространстве Млг, будет играть роль «базовой» кривой из теоремы 2.

В разделе 2.3 доказывается локальная теорема существования для системы (2.4), (2.5).

Теорема 5. Существуют положительные константы и число

¿о > 0 такие, что

• для всякого момента времени ¿0 € [0; 7о/г),

• для любых начальных условий ф{Ьо) = ф° £ (Я3(К2))4, фг{1 о) = ф1 £ (Я2(К2))4 и

(п \

• для всякого е е 0;

1 + (1№з + ||^М7

система (2.4), (2.5) имеет на отрезке [¿о;п1ш{£о + ^о,то/е}] решение (ао,ф) с данными начальными условиями, причем ао принадлежит классу Ео :— С1 ([¿о; Г], Я3), а компоненты вектора ф — классу

Е1 := С([10]Т),Н3) ПС1 ([¿о;Г],Я2) П С2([*0;Т],Я1)). При этом найденное решение удовлетворяет оценке

1М*)11я« + ||(аоМ*)||я» + 1№№И(Я»)« + ||<Ш11(Я')< <

В2(\\Ф°\\^ + \\Ф1\\^) + В3

при каждом I.

В доказательстве теоремы 5 используются технические результаты (леммы 5, 6, 7), доказательство которых вынесено в приложение (раздел 2.6).

Раздел 2.4 содержит окончание доказательства теоремы 2. Сначала в нем доказывается априорная оценка для решений системы (2.4), (2.5).

Теорема 6. Пусть (ад,ф) есть решение системы (2.4),(2.5) на отрезке [О, Т0] из класса Ео х Е\ с нулевыми начальными условиями: 1р(0) = 0, ^(0) = 0. Допустим, что для некоторой константы М и всех Ь 6 [0; То] выполнено неравенство

1М*)11я* + НКШИя* + Н^(^)||(я3)4 + 1№(*)||(Я*)< ^ м,

причем е < М-1.

Тогда для некоторой положительной константы не зависящей от М, и любого Ь € [0; То] выполняется оценка

1Ш11(яз)< + 1Ш011(я*)4 < ад + £*(1 + М4)).

Затем приводится рассуждение, позволяющее с помощью теорем 4 и 5 доказать существование решения системы (2.4),(2.5) на отрезке времени порядка е-1 с нулевыми начальными условиями -ф(0) = ?Д>.(0) = 0. Вследствие теоремы 3 это решение будет также решением системы (2.1),(2.2).

Раздел 2.5 посвящен изучению вопроса о разрешимости задачи Коши для системы (2.1),(2.2). Основным его результатом является следующее утверждение.

Предложение 3. Пусть кривая из статических решений (а(т),ф(т)) выбрана так же, как в разделе 2.2. Тогда существуют числа Во, £о и т\, такие что для любых начальных условий £ (Я3)4 и -ф1 € (Я2)4 таких, что ||^°11(Я3)4 + Н'/чкя2)4 ^ В0, и для всякого е £ (0, £о) система (2.1),(2.2) имеет решение на отрезке [0; тх/е] в классах Ео, Е\ с начальными условиями ■ф(0) = фа, 0) = £ф1, норма которого равномерно ограничена независимо от е.

Раздел 2.6 содержит доказательства технических результатов, используемых в разделах 2.3 и 2.4.

Третья глава диссертации посвящена изучению рассеяния вихрей при симметричном столкновении.

В разделе 3.1 формулируется теорема об инвариантности кинетической метрики относительно сдвигов, поворотов и комплексного сопряжения.

Теорема 7. Кинетическая метрика на ЛЛ^т инвариантна относительно следующих преобразований пространства модулей М.м'

• одновременный поворот всех положений вихрей вокруг нуля на угол |-р, т.е. преобразование, переводящее точку ... в точку

• одновременая замена всех положений вихрей на комплексно сопряженные точки, т.е. преобразование, переводящее точку .., в точку

• одновременный сдвиг всех положений вихрей на один и тот же вектор а £ С, т.е. преобразование, переводящее точку {Zi,... ,Zn} в точку {Zi + а,..., Zn + а}.

Основным результатом раздела 3.1 является теорема о существовании геодезической кинетической метрики, описывающей рассеяние N вихрей на угол ж/N при симметричном столкновении.

Теорема 3. На пространстве модулей Л^лг с кинетической метрикой имеется геодезическая, которую можно параметризовать в симметрических координатах следующим образом:

Si = • • • = Sn-i = 0 , SN(s) = (-l)^A(s),

где Л(s) — гладкая веществепгюзпачная убывающая функция, Л (5) принимает все значения от —оо до +оо и А(0) = 0.

Раздел 3.2 посвящен изучению локального рассеяния при приближенно симметричном столкновении п из N вихрей , тг ^ N, т.е. при возможном наличии других вихрей, не участвующих в столкновении. Доказывается, что в случае невырожденного приближенно симметричного столкновения п вихрей из N ъ главном члене асимптотики сохраняется та же картина, что и при симметричном столкновении п вихрей. Также в разделе 3.2 исследовано рассеяние двух и трех вихрей при лобовом приближенно симметричном столкновении.

Раздел 3.3 содержит доказательство теоремы 7 об инвариантности кинетической метрики относительно поворотов, комплексного сопряжения и сдвигов.

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Армену Глебовичу Сергееву за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список публикаций по теме диссертации.

[1] R.V.Palvelev, Scattering of vortices in the Abelian Higgs model, Journal of Geometry and Symmetry in Physics, v. 10, 2007, pp. 73-81.

[2] Р.В.Пальвелев, Рассеяние вихрей в абелевой модели Хиггса, Теоретическая и математическая физика, 156, №1, 2008, сс. 77-91.

[3] Р.В.Пальвелев,Обоснование адиабатического принципа в абелевой модели Хиггса, Труды Московского математического общества, 72 (2011).

Введение

Глава 1. Кинетическая метрика

1.1 Построение кинетической метрики.

1.2 Гладкая зависимость канонических вихревых решений от симметрических координат.

1.3 Построение функций Хц.

1.4 Линейная независимость

Глава 2. Обоснование адиабатического принципа

2.1 Вспомогательная система.

2.2 Фиксация калибровки кривой из статических решений

2.3 Локальная теорема существования.

2.4 Продолжение решения по времени.

2.5 Замечания о задаче Коши для вспомогательной и исходной систем

Абелева (2+1)-мерная модель Хиггса возникает в теории сверхпроводимости. Она задается гиперболическим функционалом действия, определенным на парах (А, Ф), где а — электромагнитный калибровочный вектор-потенциал, а Ф — комплексное скалярное поле Хиггса на плоскости С. Функционал действия имеет стандартный вид интеграла по времени от разности кинетической энергии (зависящей от производных компонент А и Ф по времени) и потенциальной энергии (зависящей только от положения в конфигурационном, пространстве). Несмотря на то, что указанная модель изучается с 50-х годов XX века, когда она возникла при построении В.Л. Гинзбургом и Л.Д. Ландау феноменологической теории сверхпроводимости (предложенный ими лагранжиан в случае бесконечного заполняющего все пространство сверхпроводника сводится к лагранжиану указанной модели), многие важные задачи, возникающие в этой модели, до сих пор не решены.

Как известно, при температурах, близких к абсолютному нулю, некоторые металлы и сплавы начинают вести себя как сверхпроводники (см.[6]). Иначе говоря, электрический ток течет по ним без сопротивления. (Первым такое явление наблюдал Камерлиш>Оинес в 1911г.) В дальнейшем было обнаружено, что при возникновении сверхпроводимости внешнее магнитное поле «выталкивается» из сверхпроводника. Этот эффект, называемый эффектом Мейсснера-Оксенфельда в честь обнаруживших его в 1933г. физиков, — один из главных практических критериев сверхпроводимости.

Если увеличивать внешнее магнитное поле, то при некотором критическом значении произойдет «пробой» сверхпроводника и магнитное поле проникнет в его толщу. Этот процесс может происходить по двум различным сценариям, в соответствии с чем все сверхпроводники делятся на два разных класса. В сверхпроводниках I рода (к которым относятся в основном сверхпроводящие металлы) пробой происходит скачком и одновременно по всей толще сверхпроводника. В сверхпроводниках II рода (к которым относятся в основном сверхпроводящие сплавы) этот процесс происходит постепенно, небольшими дискретными скачками. Как только внешнее магнитное поле превысит первое критическое значение, внутри сверхпроводника появляются трубчатые зоны смешанной проводимости — трубки тока, направленные вдоль внешнего магнитного поля. В центре этих трубок вдоль так называемых абрикосовских струн (или абрикосовских нитей) имеется нормальная проводимость, внутри трубок она является смешанной, а вне их сохраняется сверхпроводимость. Абрикосовскис нити называют еще вихревыми, поскольку по поверхности трубок (вокруг их осей) текут незатухающие вихревые токи. С увеличением внешнего магнитного поля число трубок увеличивается и после второго критического значения сверхпроводник превращается в нормальный проводник.

На основе теории фазовых переходов Гинзбург и Ландау построили в 1950г. феноменологическую теорию сверхпроводимости [4]. Энергия бесконечного сверхпроводника, помещенного в магнитное поле, в этой теории равна а|Ф|2 + (0.1)

J I 87Г 4т

Здесь Ф — комплекснозначная функция (параметр порядка), А — электро—* магнитный вектор-потенциал, В = rot А — магнитная индукция, ей га — соответственно заряд и масса электрона, h — постоянная Планка, с — скорость света, о<0и6>0 — константы, характеризующие материал сверхпроводника.

Статическая двумерная модель Хиггса является редукцией модели, описываемой лагранжианом (0.1) в предположении, что величины А и Ф не зависят от одной из координат (например, от х3). Перемасштабируя координаты и величины Ф и А, можно избавиться от физических констант и свести выражение (0.1) к выписанному ниже функционалу энергии модели Хиггса (0.2). Входящий в него параметр Л4 при такой замене оказывается равным где х — параметр1 Гинзбурга-Ландау. Значения ж < ~= (или А < 1) отвел/2 1 чают сверхпроводникам первого рода, а >с > (или А > 1) — второго. у2

Как уже говорилось, во втором случае возникают трубки тока, открытые А.А.Абрикосовым в [1] (см. также [2]). Критический случай А = 1, изучаемый в диссертации, соответствует пограничному случаю между сверхпроводниками первого и второго рода.

Теория Гинзбурга-Ландау не объясняла физического смысла параметра порядка Ф. Это удалось сделать благодаря построению микроскопической теории сверхпроводимости в 1957г. Бардиным, Купером и Шриффером [10] и независимо в 1958г. Н.Н.Боголюбовым [3]. В этой теории феномен сверхпроводимости возникает благодаря образованию куперовских пар — квазичастиц, каждая из которых представляет собой связанное состояние двух электронов. Параметр порядка Ф интерпретируется при этом как нормированная конденсатная волновая функция куперовских пар. Л.П.Горьков в 1959г. показал (см. [5]), каким образом теория Гинзбурга-Ландау выводится из теории Бардина-Купера-Шриффера.

Кроме теории сверхпроводимости, абелева модель Хиггса возникает в некоторых моделях квантовой теории поля (см., например, [17]) и в космологических теориях (см., например, [12]). Из чисто математических приложений абелевой модели Хиггса можно упомянуть использование решений статической модели Таубсом (см. [27]) при доказательстве связи между инвариантами Громова и Зайберга-Виттена четырехмерных многообразий.

Двумерная статическая модель Хиггса

Двумерная абелева модель Хиггса задается следующим функционалом энергии:

У(А, Ф) = 11 + + ^(|Ф|2 - I)2) йхйу, (0.2) к2 где А = —гА\д,х — ъАъйу - калибровочный потенциал с гладкими веществен-нозначными коэффициентами А\, А2 на К2, Ф = Фх + гФг - поле Хиггса, задаваемое гладкой комплекснозначной функцией на плоскости В&2, Л > 0 -константа. Через := д\А<1 — <92Ах обозначается калибровочное поле, порождаемое потенциалом (Лх, Л2). Здесь и далее д\ := дх, <92 := ду.

Функционал энергии V инвариантен относительно калибровочных преобразований следующего вида:

А I—У А = А — %<1х , Ф 1—> Ф = е{хФ , где х — гладкая вещественнозначная функция на М2.

Интегрируя по частям, мы можем переписать функционал действия V в виде Богомольного:

У = \\+ Т (^2Ф2 - А2Фх))2+ к2 ((<92Фх + А2Ф2) ± (дгФ2 - ЛхФх))2 + ± ^(|Ф|2 - 1 ))2}сМ/±

Р12<Ь(1у + У (|Ф|2 - 1 )Чхйу. (0.3)

К2 К2

Далее мы рассматриваем лишь критический случай Л = 1 (см. [11]), наиболее интересный с математической точки зрения. В этом случае правая часть последнего равенства есть сумма неотрицательных слагаемых и 1 члена - ]' Р12с1х(1у. При некоторых дополнительных условиях па поведение ^ к2 компонент поля (А, Ф) в бесконечности можно показать, что последний член является топологическим инвариантом поля (А, Ф).

Более подробно, допустим, что функция Ф не имеет нулей вне круга достаточно большого радиуса До. Тогда степень N отображения Ф/|Ф|: —> окружности 5д радиуса II > Щ не зависит от выбора Я и называется вихревым числом поля (А, Ф).

Предположим, что выполнены следующие условия:

1. е ь^ж2)-,

2. |Ф| -> 1 при г := у/х2 + у2 -»• сю:

3. |^ЛФ| ^ С/г1+7 для некоторого 7 > 0.

Тогда вихревое число N можно вычислить, пользуясь формулой (см. [11]) I = N. ж2

Очевидно, что оно инвариантно относительно калибровочных преобразований.

Фиксируем вихревое число n ^ 0. Тогда из формулы Богомольного следует, что У(А, Ф) ^ 7гЛГ и минимальное значение V (равное 7г ТУ) достигается на решениях системы уравнений

151Ф1 + А1Ф2 = д2Ф2 -А2Ф1, а2Ф1 + Л2Ф2 = -Э1Ф2 + А&Х, (0.4) называемых вихревыми. Эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований.

Введем на плоскости (ж, у) комплексную координату г = х + гу и обозначим, как обычно, д := дг := )-(дх - гд2) и д := дЕ := ^{дх + 1д2).

Полагая Л ~{А\ — ^2), можно записать первые два уравнения из системы л

0.4) в более компактном виде дФ = гЛФ . (0.5)

Для полноты заметим, что в случае N < 0 минимальное значение V, равное 7г|ЛГ|, достигается на решениях похожей системы уравнений, называемых антивихревъши. Замена Л{г) ~ —Л(—г), Ф(г) — Ф(—г) сопоставляет решению (Л, Ф) вихревых уравнений решение (А, Ф) антивихревых уравнений и обратно. Поэтому в дальнейшем мы ограничиваемся случаем N ^ 0.

В работе [11] доказана следующая теорема существования и единственности решений вихревых уравнений.

Теорема (Таубс). Пусть N ^ 0. Пусть • • •, ~ произвольные не обязательно различные) точки на комплексной плоскости. Тогда существует (гладкое) решение (^1,^2, Ф) вихревых уравнений такое, что нули Ф совпадают с точками ,., и ф(М) ~ - ^-Г' в окрестности каждой из точек Ху Здесь п^ — кратность в наборе ., Ядг}, с7- — ненулевая константа. Для этого решения |Ф| экспоненциально стремится к 1 при \г\ —> оо, а |(91 — гА^Ф) и 1(^2 — «А2)Ф| экспоненциально убывают. Более точно,

1аФ\ < С( 1 — |Ф|) для некоторого С > 0 и для любого 7 > 0 существует С (7) > 0 такое, что

1 - |ф| < с(7)<г(1-^2!.

Вихревое число этого решения равно N. Решение с указанными свойствами единственно с точностью до калибровочной эквивалентности. □

Решение, существование которого устанавливается этой теоремой, называется N-вихревым.

Пространство модулей Лг-вихрс.вых решений, обозначаемое через тИдг, по определению является множеством классов калибровочной эквивалентности ЛГ-вихревых решений. По теореме Таубса это пространство можно отождествить с ЛГ-й симметрической степенью б^С, т. е. с множеством неупорядоченных наборов из N комплексных чисел (совпадающих с нулями Ф). Множество ЭмС можно, в свою очередь, отождествить с пространством С^, сопоставляя каждому набору ., полином р(г) с нулями Zl,., и старшим коэффициентом 1: р{г) = гн) = + вгг"-1 + • • • 4- + Зм.

Числа ¿1,., могут служить координатами на пространстве модулей Л4N. Введем, кроме того, вещественные координаты д/1, /х = 1,2,., полагая д2-7-1 = Яе Sj и д2-7 — 1т Sj для у = 1,., А7".

Существование и единственность (с точностью до калибровочной инвариантности) Л^-вихревых решений были доказаны Таубсом [26] в 1980г. В [11] доказано также, что все критические точки (А1,А2,Ф) функционала (0.2) при Л = 1, задаваемые гладкими функциями и такие, что У(Ах,А2, Ф) < оо, исчерпываются N-вихревыми и \Ы\-антивихревыми решениями. Таким образом, для Л = 1 все решения статической модели с конечной энергией описаны. В частности, не может существовать решения типа «вихрь-антивихрь», т.е. решения, которое в окрестности одного из своих нулей устроено как вихрь (Ф ~ С(2 — 2оУ), а в окрестности другого — как антивихрь

Следует отметить, что при Л ф 1 о решениях статической модели известно гораздо меньше. Предполагается, что статических решений типа И-вихрей с нулями в различных точках в этих случаях не существует, поскольку покоящиеся вихри притягиваются при Л < 1 и отталкиваются при Л > 1, однако последнее утверждение не получило пока строгого обоснования. Доказано (см. [18]), что при всех Л > 0 функционал V имеет критические точки, аналогичные Лг-вихревым решениям, все нули которых совпадают. Эти критические точки имеют вид

Динамическая задача. Адиабатический принцип

Динамическая (2-11)-мерная модель Хиггса задается функционалом действия

Здесь

1. Ф(£, х, у) - гладкая комплексиозпачная функция;

2. компоненты связности Ау(^,х,у) - гладкие вещественнозначные функции, з~ 0,1,2;

3. DjФ :— с^Ф — гА,Ф - ковариантная производная, у = 0,1,2;

4. Fjk := дjAk — дь- компоненты формы кривизны, = 0,1, 2, .у ф к, с д0 = ди д\ = дХ) д2 = ду

5. А > 0 — константа (параметр модели).

Функционал действия можно представить в стандартной форме —х2па(г)/г, А2 = х1па(г)/г, , Ф = е1пв-щггде г =

Ч К2

АФ|2 + р2Ф|2 + ^122 + - I)2) У^у. (0.6) где потенциальная энергия ^задается формулой (0.2), а кинетическая энергия Т равна

Г = ^ / (1^оФ|2 + ^о21 + Шу . к2

• Этот функционал инвариантен относительно динамических калибровочных преобразований вида + Ф = е1хФ, где х-, у) ~~ гладкая вещественнозначная функция.

Выбором калибровки можно добиться выполнения условия Ао = 0 (так называемая временная калибровка). В этом случае

Тем самым, функционал Т определяет метрику на пространстве ЛАы, которая называется кинетической. Дейтсвительно, пусть фо £ А^дт, а V — касательный вектор к М.м в точке (¿о. Рассмотрим произвольную гладкую кривую на М-х (т.е. : (—5,6) —> .Млг) с касательным вектором V при 1 = 0 (т.е. 0) = (5о, 0(0) = у)- Ей можно сопоставить гладкую кривую из представителей классов т.е. кривую из статических решений (А1 (£), Лг(^), Ф(£)), так, чтобы производные с^-Аь <Э*Ф в точке £ = 0 были квадратично интегрируемы. Тогда можно положить

1М12 = \ (РМЬ + РгА^Ь + ||^2|||а)и.

Остается проверить, что определенная таким образом метрика не зависит от выбора гладкой кривой <3(£).

Точному описанию кинетической метрики посвящена первая глава диссертации. Основной результат, который в ней доказывается — это следующая теорема.

Теорема 1. Построенная указанным образом кинетическая метрика корректно определена и является римановой метрикой на пространстве люду-лей Л4м- Эта метрика является гладкой в симметрических координатах ¿1,.

Уравнения Эйлера-Лагранжа для действия ¿>(Д Ф) имеют вид:

1ш(Ф Д)Ф), ЬпГФРхФ),

0.7)

1ш(ФР2Ф),

Они инвариантны относительно динамических калибровочных преобразований.

Задача состоит в том, чтобы описать пространство модулей решений приведенных уравнений, называемых для краткости динамическими. В случае вихревых решений, являющихся статическими решениями указанных уравнений, такое описание дается теоремой Таубса. Однако рассчитывать столь же явное описание пространства модулей в общем случае не приходится.

Тем не менее, в случае А = 1 можно попытаться получить приближенное описание динамических решений, следуя идее Мэнтона (см. [14]), высказанной им для сходной задачи о динамике магнитных монополей (возникающей в нсабелевой (З-К)-мсрной модели Хиггса с калибровочной группой 3112). Рубак ([19]) впервые применил эту идею для изучения динамических решений (2+1)-мерной абелевой модели Хиггса. Указанная идея, которую можно называть адиабатическим принципом, состоит в том, чтобы рассматривать геодезические на пространстве модулей статических решений Л^дг относительно кинетической метрики в качестве приближения к динамическим решениям уравнений (0.7), описывающим траектории системы из N медленно движущихся вихрей. Несмотря на то, что идея Мэнтона основана на эвристических соображениях, она вызвала к жизни целый ряд работ, посвященных додхАх + д0д2А2 - ААо = д20Ах - д\Ах + дхд2А2 - дхдоАо = д§А2 - д\А2 + д2д\А\ - д2д0А0 =

И2 - - £>|)Ф = описанию геодезических на пространствах статических решений. Вторая глава настоящей работы посвящена обоснованию адиабатического принципа.

Первая попытка обоснования адиабатического принципа была предпринята в статье [23] для близкой модели Хиггса с масштабным параметром А ф 1. Несмотря на то, что при внимательном чтении этой статьи в ней обнаружились некоторые пробелы, она оказалась для нас весьма полезной и в целом мы следуем предложенному в ней подходу. (Среди других работ, пося-щенных обоснованию адиабатического принципа, отметим статьи [24]) и [25], относящиеся к динамике магнитных моиополей и вихрей на сфере.)

Главное отличие обоснования, приведенного в диссертации, от обоснования, приведенного в [23], состоит в новом доказательстве центрального результата — теоремы о существовании решения на достаточно длинном промежутке времени.

Точный результат, доказанный во второй главе, coctopit в следующем.

Теорема 2. Пусть Q = Q(r) есть параметризация отрезка произвольной геодезической Q: [0;ть] —> A4n иа пространстве модулей .Мдг относительно кинетической метрики с выбранным на ней натуральным параметром т.

Тогда найдутся:

• полоо/сительные числа т\ ^ ть, £q, М;

• заданная па отрезке [0, то] гладкая кривая (a¿i(r), а2(т), ф(т)) в пространстве статических N-вихревых решений, калибровочный класс которой [ai(r), скгС7"), ф(т)] при каоюдом фиксированном т £ [0, ть] совпадает с классоль Q(t) £ Á4n¡ обладающие следующими свойствами.

Для любого £ £ (0; ео) существует решение (Aq(í), А\(i), A^it), Ф£(i)) уравнений Эйлера-Лагранэ/са (0.7); заданное на отрезке t £ [OjTi/e], отклопение которого от кривой (ск^ей), 0(е£)) имеет порядок е2. Более точно, указанное решение допускает представление

А\(&х,у) =011 (е^х,у) + £2а1(г,х,у),

0.8)

Х1 у) = я, у) + е Х1У)>

Ф£(£, ж, у) = ф(гР, х, у) + х, г/), в котором остаточные члены ад, а|. <£>е — равномерно ограничены по е, точнее, для всех £ € [0; тх/ег] выполняется оценка тах{|К(*)||3,|К«11з, ||а|й||3> ММИз, МООИз} < М, где || • ||з обозначает норму в пространстве

Соболева Я3(К2). Найденные решения обладают следующими свойствами:

• функции являются гладкими и ограниченными на множестве [0; п] х К2;

• функция а1 принадлежит классу ^([О; п/г], Я3(И£2)), а функции а|,а|, принадлео!сат классу

С([0; п/е], Я3(Е2)) ПС1 ([0; п/е], Я2(Е2)) ПС2([0; п/е], Я1 (К2)) • (0-9)

Итак, геодезические кинетической метрики действительно приближенно описывают медленное движение вихрей. К сожалению, вычислить эту метрику в явном виде не удается даже в случае N = 2. Однако удается установить ряд ее свойств. Например, показано, что кинетическая метрика инвариантна относительно сдвигов плоскости, поворотов и комплексного сопряжения (это доказано в теореме 7 в главе 3). Более того, Сэмолс (см. [20]) показал, что имеется изометричное разложение

Мы = М°м х С, 14 где Л4°м — подмногообразие N-вихревых конфигураций с центром масс в ну^— ле, т.е. множество точек для которых £1 = 0. В этой же статье доказано что кинетическая метрика является кэлеровой. Авторы статьи [7] вычислил:иг кинетическую метрику в случае N = 2.

Довольно большое число работ посвящено изучению частных случаев ди;— намики.вихрей. Например, широко изучалась задача о взаимодействии двузх^ движущихся вихрей. В статьях [21], [15], [16], [22], [20] приводятся результать>ц численного моделирования динамики двух вихрей. В уже упоминавшихся ра.— ботах [7], [19], а также в статье [8] изучалась задача о лобовом столкновепиит I двух вихрей. При этом авторы первых двух из этих работ использовали геоде— зическое приближение, а авторы последней строили решения дипамическю<^ уравнений при всех значениях А > 0, пользуясь теоремой Коши-Ковалевской — В этих работах было показано, что после лобового столкновения траекториЕзг вихрей поворачиваются на угол 7г/2, т.е. происходит рассеяние вихрей подзе^ прямым углом. В [23] отмечается, что, используя адиабатический принцип этот результат можно вывести из свойства гладкости кинетической метрикгиг: в симметрических координатах.

В третьей главе диссертации рассмотрено обобщение этой задачи: иссле— дуется поведение системы N вихрей при симметричном лобовом столкио— вении, т.е. при одновременном столкновении под равными углами. (Точны^г формулировки приведены в начале главы 3.) При N = 2 получается случайг лобового столкновения двух вихрей.

Оказывается, при симметричном лобовом столкновении N вихрей они рассеиваются на угол 7г/]\Г. Случай рассеяния N вихрей при симметрично!^ столкновении был описан на «физическом» уровне строгости в статьях [13][ и [9]. (Следует заметить, что авторы последней из упомянутых работ, как: и авторы [8], строили решения динамических уравнений при всех значения:^ А > 0 с помощью теоремы Коши-Ковалевской.)

В диссертации этот результат получается на основе адиабатического принципа. С помощью свойств инвариантности метрики относительно сдвигов, поворотов и комплексного сопряжения доказывается основной результат о рассеянии вихрей: при симметричном лобовом столкновении N вихрей они рассеиваются на угол 7г/-/У\ Точная формулировка результата такова.

Теорема 3. На пространстве модулей Л4м с кинетической метрикой имеется геодезическая, которую моснсно параметризовать в симметрических координатах следу?ощим образом:

5х = • • • = = 0 , = , где А(5) — гладкая всщественнозначная убывающая функция, принимающая все значения от —оо до +оо, и А(0) — 0.

В разделе 3.1 объясняется, почему эта геодезическая описывает рассеяние на угол 7г/ЛГ.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [28], [29], [30]. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Армену Глебовичу Сергееву за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. А.А.Абрикосов. 1Влияние размеров на критическое поле сверхпроводников второй группы, ДАН СССР 86 (1952), №3, с.489.

2. А.А. Абрикосов. О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы, ЖЭТФ, 32 (1957), вып.6, сс.1442-1452.

3. Н.Н. Боголюбов. О новом методе в теории сверхпроводимости, ЖЭТФ 34 (1958), вып.1, сс.58-65.4| В.Л.Гинзбург, Л.Д.Ландау. К теории сверхпроводимости, ЖЭТФ 20 (1950), вып.12, сс.1064-1082.

4. Л.П. Горьков. Микроскопический вывод уравнений Гинзбурга-Ландау в теории сверхпроводимости, ЖЭТФ 36 (1959), вып.6, сс.1918-1923.

5. Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский. Статистическая физика, часть 2. М.: Наука, 1978.

6. K. Arthur, J. Burzlaff. Existence theorems for tt/n vortex scattering. Lett. Math. Phys. 36 (1996), №3, 311-318; hcp-th/9503010.

7. J.Bardeen, L.N.Cooper, and J.R.Schrieffer. Microscopic Theory of Superconductivity, Phys. Rev. 108 (1957), pp. 1175-1204.

8. A. Jaffe, C. Taubes. Vortices and Monopoles. Boston: Birkhauser, 1980.

9. T.W.B. Kibble. Topology of cosmic domains and strings, Journal of Physics A: Mathematical and General 9 (1976), №8. pp. 1387-1398.

10. R. MacKenzie. Remarks on gauge vortex scattering. Phys. Lett. B 352 (1995), 96-98; liep-th/9503044.

11. N. S. Manton. A remark on the scattering of BPS monopoles. Phys. Lett. B 110 (1982), 54-56.

12. K.J.M. Moriarty, E. Myers, and C. Rebbi. Dynamical interactions of cosmic strings and flux vortices, Phys. Lett. B 207 (1988), pp.411-418.

13. E. Myers, C. Rebbi, and R. Strilka. Study of the interaction and scattering of vortices in the Abelian Higgs (or Ginzburg-Landau) model, Phys. Rev. B 45 (1989), 1355-1364.

14. H. B. Nielsen and P. Olesen. Vortex-line models for dual strings, Nucl. Phys. B 61 (1973), pp. 45-61.

15. B.J. Plohr. The behavior at infinity of isotropic vortices and monopoles, Journal of Math. Phys. 22 (1981), pp. 2184-2190.

16. P. J. Ruback. Vortex string motion in the Abelian Higgs model. Nucl. Phys. B 296 (1988), 669-678.

17. T. M. Samols. Vortex scattering. Comm. Math. Phys. 145 (1992), 149179.

18. E.P.S.Shellard. Cosmic string interactions, Nucl. Phys. В 283 (1987), pp. 624-656.

19. E.P.S.Shellard, P.J.Ruback. Vortex Scattering in Two Dimensions, Phys. Lett. В 209, №2-3, pp.262-270.

20. D. Stuart. Dynamics of Abelian Higgs vortices in the near Bogomolny regime. Comm. Math. Phys. 159 (1994), 51-91.

21. D. Stuart. The Geodesic Approximation for the Yang-Mills-Higgs Equations, Comm. Math. Phys. 166 (1994) 149-190.

22. D.M.A. Stuart. Periodic solutions of the Abelian Higgs m,odel and rigid rotation of vortices, Geom. and Funct. Anal. 9 (1999), 568-595.

23. C.H. Taubes. Arbitrary N-vortex solutions to the first-order Ginzburg-Landau equations, Comm. Math. Phys 72 (1980), №.3, pp. 277-292.

24. C.H. Taubes. Gr=$> SW: From pseudo-holomorphic curves to SeibergWitten solutions, J. Diff. Geom. 51 (1999), pp. 203-334.

25. P.B. Пальвелев. Рассеяние вихрей в абелевой модели Хиггса, Теоретическая и математическая физика, 156 (2008), №1, сс.77-91.

26. R.V.Palvelev. Scattering of vortices in the Abelian Higgs model, Journal of Geometry and Symmetry in Physics, 10 (2007), pp. 7381.

27. P.B. Пальвелев. Обоснование адиабатического принципа в абелевой модели Хиггса, Труды Московского математического общества, 72 (2011), вып. 2, сс. 281-314.