Применение непертурбативных методов к исследованию теоретико-полевых моделей сильных, электрослабых и гравитационных взаимодействий тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Федеральное государственное унитарное предприятие Государственный Научный Центр Российской Федерации Институт Теоретической и Экспериментальной Физики им. А.И.Алиханова

На правах рукописи

48531Ь4 £

Зубков Михаил Александрович

ПРИМЕНЕНИЕ НЕПЕРТУРБАТИВНЫХ МЕТОДОВ

К ИССЛЕДОВАНИЮ ТЕОРЕТИКО-ПОЛЕВЫХ МОДЕЛЕЙ СИЛЬНЫХ, ЭЛЕКТРОСЛАБЫХ И ГРАВИТАЦИОННЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ

Специальность: 01.04.02 теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 5 СЕН 2011

Москва 2011

4853164

УДК 530.145

Работа выполнена в ФГУП "ГНЦ РФ ИТЭФ", г. Москва

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук Дьяконов Д.И.

(ПИЯФ РАН, г.Гатчина)

Защита диссертации состоится 11 октября 2011 г. в 14 час, на заседании диссертационного совета Д.201.002.01 в конференц - зале ГНЦ РФ ИТЭФ но адресу: Москва ул. Б. Черемушкинская, д. 25.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГНЦ РФ ИТЭФ.

Автореферат разослан 20 августа 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физ.-мат. наук Г.Ё.Воловик (ИТФ РАН, г.Черноголовка)

доктор физ.-мат. наук В.Г.Борняков (ГНЦ РФ ИФВЭ, г. Протвино)

Ведущая организация: ОИЯИ, г.Дубна

кандидат физ.-мат. наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации

Современная теоретическая физика фундаментальных взаимодействий, на наш взгляд, имеет четыре основных направления:

1) теория сильных взаимодействий, основанная на квантовой Хромоди-намикс;

2) теория электрослабых взаимодействий;

3) квантовая гравитация;

4) теории новой физики, появление которой ожидается на масштабе ТэВ, доступном Большому адронному коллайдеру.

Первое из указанных направлений занимается изучением физики сильных взаимодействий. В настоящее время считается, что КХД прекрасно описывает данный класс явлений и не нуждается в доопределении. Однако с вычислительной точки зрения КХД - исключительно сложная наука. Ведущую роль в ее динамике играют непертурбативные явления. Одним из методов их изучения являются решеточные симуляции. Среди наиболее важных задач упомянем объяснение механизмов невылетания и спонтанного нарушения киральной симметрии.

Второе направление связано с изучением явлений, в которых играют роль электрослабые взаимодействия. Здесь теория возмущений в Модели Вайнберга - Салама превосходно описывает реальность при энергиях, не превышающих существенно 100 ГэВ. Однако проблема иерархий указывает на то, что при энергиях выше 1 ТэВ может появиться новая теория, причем модель Вайнберга - Салама должна быть ее низкоэнергитическим приближением. Традиционно считается, что непертурбативный анализ при изучении электрослабых взаимодействий не требуется. Однако, известно, что при температурах, приближающихся к температуре электрослабого фа-

зового перехода (кроссовера), теория возмущений работать перестает. Это вызывает необходимость использования непертурбативных методов при конечной температуре. При нулевых температурах необходимость использования непертурбативных методов связана с существованием объектов, не описывающихся теорией возмущений. Это, например, - так называемые Z струны и монополи Намбу, представляющие классические неустойчивые решения уравнений движения. Масса этих объектов оценивается в районе нескольких ТэВ. Поэтому при характерных энергиях процессов, много меньших ТэВ, их появление не может внести значительного вклада в наблюдаемые величины. Ситуация существенно изменяется при приближении характерной энергии процесса к 1 ТэВ. Здесь указанные объекты начинают играть существенную роль. Поэтому и оказывается необходимым применение непертурбативных методов.

Третье направление связано с построением теории квантовой гравитации. Построение такой теории представляется важным в связи с тем, что история Вселенной как целого является экспериментом, доносящим до нас информацию о ранних этапах ее развития, когда характерные энергии соответствовали шкале, на которой квантовая гравитация может появиться. Существует огромное количество различных моделей, претендующих на описание квантовой гравитации. Среди них упомянем теорию струн, некоммутативные теории, матричные модели, петлевую квантовую гравитацию. К сожалению, на сегодняшний день невозможно сделать выбор какой - либо одной из этих моделей. Поэтому автор настоящей диссертации при изучении данной темы ограничился минимальным выбором - квантовой теорией Римановой геометрии.

Четвертое направление связано с тем, что, как было указано выше, при энергиях порядка 1 ТэВ ожидается появление новой физики. Среди моделей этой новой физики упомянем суперсимметричные модели, модели малого Хиггса, модели малого объединения, модели техницвета.

Задачей диссертации является применение непертурбативных методов к решению задач, возникающих в указанных выше направлениях. Таким образом, актуальность поставленных задач обусловлена необходимостью применения этих методов во всех четырех перечисленных выше направлениях.

Цель работы

Целью работы является: 1) исследование свойств монопольных и струнных топологических дефектов в глюодинамике и их связи с явлением невылетания цвета; 2) изучение свойств монополей Намбу как при конечной, так и при нулевой температуре; 3) построение адекватных дискретизаций моделей квантовой гравитации; 4) исследование непертурбативных свойств моделей, описывающих новую физику масштаба ТэВ.

Основные задачи работы

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1) изучить свойства центральных вихрей в максимальной центральной проекции глюодинамики;

2) построить калибровочно - инвариантную центральную проекцию, являющуюся альтернативным методом выделения центральных вихрей из нолевых конфигураций неабелевых калибровочных теорий;

3) получить Абелево представление для неабелевой петли Вильсона на решетке, являющееся аналогом непрерывной формулы Дьяконова - Петрова;

4) изучить фазовую структуру решеточной модели Вайнберга - Сала-ма и свойства различных возникающих в ней топологических дефектов, к которым относятся и монополи Намбу;

5) изучить свойства монополей Намбу в теории при конечной температуре;

6) Рассмотреть модель Вайнберга - Салама при нулевой температуре и при реалистических значениях констант связи, исследовать окрестность фазового перехода в решеточной модели, где предполагается производить переход к непрерывной физике;

7) найти условия, при которых мера интегрирования по полям в Редже - дискретизации двумерной гравитации является локальной;

8) построить калибровочно инвариантную дискретизацию телепараллелизма и калибровочно - инвариантную дискретизацию четырехмерной Пуанкаре - гравитации;

9) численно иследовать многомерную дискретизацию Римановой геометрии, основанную на динамических триангуляциях;

10) исследовать монополи в моделях Малого объединения;

11) рассмотреть возможность продолжения симметрии Стандартной Модели на модели техницвета;

12) исследовать возможность динамического нарушения электрослабой симметрии благодаря нарушению киральной инвариантности в калибровочной теории группы Лоренца.

Научная новизна и практическая ценность

Все полученные в диссертационной работе результаты являются новыми. В работе впервые:

1) предложено понятие центрального монополя, изучены перколяциоп-ные свойства центральных вихрей;

2) предложено понятие простой центральной проекции, исследована связь возникающих в ней вихрей с невылетанисм цвета;

3) получено точное Абелево представление для неабелевой петли Вильсона на решетке;

4) изучена фазовая структура решеточной Стандартной Модели (без динамических фермионов) с дополнительной симметрией;

5) показано, что монополи Намбу сконденсированы при температурах выше Электрослабого фазового перехода;

6) показано, что в окрестности фазового перехода решеточной модели Вайнберга - Салама находится флуктуационная область;

7) предложен вариант Редже - Дискретизации двумерной гравитации, в котором мера Лунда - Редже является локальной;

8) предложена калибровочно - инвариантная дискретизация Пуанкаре -гравитации на гиперкубической решетке;

9) исследованы 10 - мерные динамические триангуляции;

10) получен спектр монополей в моделях Малого Объединения;

И) выяснено, какие из основных моделей техницвета обладают дополнительной дискретной симметрией, являющейся продолжением симметрии Стандартной Модели;

12) построена калибровочная модель группы Лоренца, в которой спонтанное нарушение киральной симметрии приводит к динамическому нарушению электрослабой симметрии.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Исследованы перколяционные свойства центральных вихрей и центральных монополей в различных центральных проекциях глюодинамики и их связь с явлением невылетания цвета.

2. Получено точное Абелево представление для неабелевой петли Вильсона на решетке, которое доказывает справедливость непрерывной формулы Дьяконова - Петрова при соответствующем выборе меры интегрирования по калибровочным преобразованиям.

3. В рамках решеточной регуляризации в модели Вайнберга - Салама показано, что при рассмотренных значениях констант связи монополи Намбу сконденсированы при температурах выше температуры Электрослабого перехода.

4. Показано, что в окрестности перехода между физической фазой Хиггса и нефизической симметричной фазой в решеточной модели Вайнберга -Салама при нулевой температуре расположена флуктуационная область. Внутри этой области монополи Намбу расположены столь тесно, что расстояния между ними становятся порядка их размера. В то же время монополь Намбу является зародышем нефизической фазы внутри физической. Таким образом, внутри флуктуационной области обе фазы (физическая и нефизическая) перемешаны.

5. Предложен вариант Редже дискретизации квантовой гравитации в двух измерениях, который позволяет сделать последовательную меру интегрирования по полям (меру Лунда - Редже) локальной. В четырех измерениях предложена калибровочно - инвариантная дискретизация Пуанкаре - гравитации (и ее частного случая - телепараллельной гравитации), в которой мера, инвариантная относительно калибровочных преобразований, локальна.

6. Исследован монопольный спектр моделей Малого Объединения и его связь с симметрией Стандартной Модели. Показано, что среди моделей техницвета лишь немногие инвариантны относительно дискретной симметрии, являющейся продолжением ^ симметрии Стандартной Модели.

7. Калибровочная теория группы Лоренца, чье действие содержит члены, нарушающие четность, может привести при определенных ограничени-

ях на константы связи к динамическому нарушению электрослабой симметрии, заменив при этом модели техницвета. Важным преимуществом данного подхода перед моделями техницвета является простота, с которой могут быть введены массы фермионов.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы неоднократно обсуждались на семинарах ГНЦ РФ ИТЭФ, докладывались на семинарах ИЯИ РАН РФ, ОИЯИ (Дубна), ПИЯФ РАН, свободного университета г. Амстердама, Утрехтского университета, Тель - Авивского университета, а также на всероссийских и международных конференциях:

XXVI международная конференция по Решеточной Квантовой Теории Поля в г. Болдере (США), 1998 г.; XXVII международная конференция по Решеточной Квантовой Теории Поля в г. Пиза (Италия), 1999 г.; XVIII международная конференция по Решеточной Квантовой Теории Поля в г. Бангалор (Индия), 2000 г.; XIX международная конференция по Решеточной Квантовой Теории Поля в г.Берлине (Германия), 2001 г.;ХХ1 международная конференция по Решеточной Квантовой Теории Поля в г.Цукуба (Япония), 2003 г.;сессия секции Ядерной Физики РАН, Москва, 2006 г.; XXV международная конференция по Решеточной Квантовой Теории Поля в г.Регенсбурге (Германия), 2007 г.; международная конференция памяти Боголюбова, Дубна, 2008 г.; XXVII международная конференция по Решеточной Квантовой Теории Поля в г.Пекине (Китай), 2009 г.; сессия секции Ядерной Физики РАН, Москва, 2009 г.; международная конференция Кварки - 2010, Коломна.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 31 работа. Из них 22 работы - в реферируемых журналах и 9 - в материалах международных конференций.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех частей (каждая состоит из трех глав) и заключения. Список литературы дан отдельно к каждой из частей. Суммарный объем цитируемой литературы 200 источников. Общий объем составляет 246 страниц.

Содержание диссертации

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, приведены структура и содержание диссертации. Также во введении даны обозначения решеточной теории поля, использующиеся далее в трех первых частях диссертации. Каждую из четырех частей диссертации предваряет аннотация, в которой указаны научная новизна, научная и практическая значимость результатов работы, кратко перечислены результаты, выносимые на защиту.

Первая часть относится к изучению непертурбативных свойств КХД. Одним из наиболее важных явлений физики сильных взаимодействий является невылетание цвета. Материал настоящей части диссертации относится к описанию конфайнмента с точки зрения различных Абелевых проекций теории. Мы изучаем КХД без динамических фермионов. Рассматриваются свойства центральных вихрей в Максимальной Центральной Проекции глюодинамики. Демонстрируется их связь с явлением невылетания, изучаются перколяционные свойства. Вводится новое понятие - центральный монополь. Показано, что в теории при конечной температуре центральные монополи и центральные вихри сконденсированы в фазе конфайнмента. Вводится понятие простой центральной проекции, являющейся альтернативным методом выделения центральных вихрей из полевых конфигураций неабелевых калибровочных теорий. Рассматриваются фрактальные свойства вихрей и центральных монополей в этой проекции. Демонстрируется связь этих объектов с конфайнментом. Также решается техническая задача об Абелевом представлении для неабелевой петли Вильсона, которое может быть полезно при исследовании различных абелевых проекций. Получено Абелево представление для неабелевой петли Вильсона на решетке, являющееся аналогом непрерывной формулы Дьяконова - Петрова. Разрешается вопрос о справедливости непрерывного представления, связанный с определением меры по калибровочным преобразованиям.

Первая глава посвящена исследованию центральной доминантности, открытой в работах Д. Гринсайта, которая наблюдается в так называемой Максимальной Центральной проекции. Струноподобные объекты взаимодействуют с кварками посредством сил Ааронова - Бома. Известно, что

эти силы в значительной степени ответственны за конфайнмент. Коифай-нмент традиционно описывается механизмом дуального сверхпроводника. Этот механизм явно реализуется в 811(2) глюодинамике в Максимальной Абелевой проекции, в которой появляются монополи, сконденсированные в фазе конфайнмента. Благодаря этой конденсации силовые линии концентрируются в струне, соединяющей кварк и антикварк. Эта струна имеет ненулевое натяжение, что приводит к невылетанию цвета. Многие полагают, что та же картина должна наблюдаться и в Би(3) теории. Однако в Би(3) глюодинамике после фиксации Максимальной Абелевой проекции появляется не один, а два монополя, что существенно усложняет общую картину.

В соответствии с гипотезой центральной доминантности центральные вихри ответственны за конфайнмент. Таким образом, возникает вопрос, какова связь между центральными вихрями и картиной дуального сверхпроводника. Для того, чтобы ответить на этот вопрос мы конструируем моноио-леподобные объекты из центральных вихрей и называем их центральными монополями. Оказывается, что их конденсат является параметром порядка для перехода конфайнмент - деконфайнмент, что дает надежду полагать, что именно эти объекты могут играть роль скалярных частиц в механизме дуального сверхпроводника. Кроме того, мы получили, что центральные вихри сконденсированы в фазе конфайнмента и не сконденсированы при высокой температуре.

Во второй главе нами предлагается Простая центральная проекция (ПЦП) глюодинамики. Как было отмечено выше, Абелева проекция глюодинами-ки является одним из самых популярных методов исследования механизма невылетания цвета. После фиксации какой-либо Абелевой калибровки теория становится Абелевой, и возникает возможность рассматривать механизм невылетания в упрощенном виде.

Абелевы проекции отличаются друг от друга выбором Абелевой подгруппы и методами проектирования. Близость данной Абелевой проекции к решению проблемы конфайнмента измеряется следующим образом. Предположим, что линковая групповая переменная (/¡¡пк € С спроектирована на

элемент Абелевой подгруппы ецпк £ Е CG. Мы рассматриваем

ZC=Tr П Clink (1)

linkeC

вместо полной петли Вильсона и извлекаем потенциал из ZCt ( спроецированный потенциал). Если этот потенциал близок к исходному удерживающему потенциалу на достаточно больших расстояниях, можно говорить о том, что проекция пригодна для исследования механизма невылетания.

Для калибровочной группы SU(2) ее Картанова подгруппа U{ 1) и центральная подгруппа Zi были рассмотрены подобным образом. Наиболее популярные проекции это Максимальная Абелева и Максимальная центральная проекции, рассмотренные в предыдущей главе. Эти проекции достигаются минимизацией по отношению к калибровочным преобразованиям расстояния между заданной конфигурацией линковых полей и Картано-вой (Центральной) подгруппой группы SU(2). В обоих случаях потенциалы близки к полному удерживающему SU(2) потенциалу, но, к сожалению, не совпадают с ним в точности. Гринсайт и соавторы указывают, что только центральный заряд q = ± 1 подвержен невылетанию в неабелевых калибровочных теориях.

Нами предложена новая центральная проекция, не связанная с процедурой частичной фиксации калибровки. Таким образом, все объекты, существующие в этой проекции калибровочно инвариантны. Данная проекция названа Простой центральной проекцией (ПЦП). Показывается, что спроецированный таким образом потенциал близок к полному SU(2) потенциалу на больших расстояниях (с точностью до члена, соответствующего перенормировке массы).

В рамках ПЦП мы строим центральные вихри и центральные монополи, также известные в физике конденсированного состояния как нексусы (nexuses). Свойства монополей ПЦП, найденные в ходе численных исследований, говорят о том, что эти объекты могут быть кандидатами на роль куперовских пар в механизме дуального сверхпроводника.

В третьей главе строится точное решеточное Абелево представление для неабелевой петли Вильсона.

Одна из наиболее важных величин, с которыми приходится иметь дело

исследователям неабелевых калибровочных теорий - это петля Вильсона

ИуС]=х9(Рехр {I ¡^йх,)). (2)

Здесь А - калибровочное поле (принадлежащее алгебре Ли соответствующей калибровочной группы), С - замкнутый контур, Р означает упорядочение вдоль контура, а Хц ~ характер в представлении д калибровочной группы. Для применений Абелевых проекций важно иметь представление неабелевой петли Вильсона в Абелевом виде. Представление такого вида было, действительно, предложено Дьяконовым и Петровым. Для случая неприводимого представления <? группы 5/7 (ТУ) оно имеет вид

^ [С] - / БцсЛд)^ Р /с Тг к НЧх„), (3)

где д - это 5{/(А/') калибровочное преобразование, и Л® = дА^д+ — гдд\1д+. Здесь ТР = Ег=1,...д_1 тщЩ, где каждое Н( обозначает базисный элемент Картановой подалгебры ¿>и(Аг), а (т.;) - это старший вес представления. Матрицы П{ нормированы таким образом, что Тг //¿Н^ = Калибровочное преобразование определено на контуре С. Мера на пространстве калибровочных преобразований строится используя инвариантную меру на группе (./V).

И в монопольной ив Р - вихревой картинах удерживающие силы индуцируются магнитным потоком, заключенным внутри контура, который соответствует мировой линии заряженной частицы. В Абелевой теории теорема Стокса непосредственно используется для вычисления магнитного потока. Для вычисления магнитного потока, заключенного внутри контура соответствующего неабелевой петле Вильсона, Дьяконов и Петров предложили использовать представление (3) в следующем виде:

\¥Ч[С] = / £>№,д(<7)ехр (г [щс) Тг (\Аяи] НЧх„ Л йх„), (4)

где д определено на поверхности М(С), которая натягивается на контур С. Интеграл от два - формы по этой поверхности обозначен как 1м(С) —дХц Л 11хи. Выражение (4) известно как неабелева теорема Стокса.

Вывод представлений (3) и (4) был первоначально предложен в терминах нерегуляризованной непрерывной теории. Некоторые проблемы с регуляри-

зацией позволили впоследствии оспорить справедливость указанных представлений. Однако последовательный вывод решеточного варианта представления (3), данный автором настоящей диссертации, разрешил указанную проблему и подтвердил справедливость непрерывных выражений (3) и (4), верных с точностью до фактора, соответствующего перенормировке массы заряженной частицы. Именно появление указанного бесконечного фактора было ошибочно воспринято Ивановым и соавторами как указание на неправильность представления (3). Нами приводится вывод решеточного варианта формулы (3) и обсуждение его непрерывного предела.

Вторая часть посвящена исследованию модели Вайнберга - Салама. Применение непертурбативных методов в электрослабой теории становится необходимым при конечной температуре при приближении к температуре электрослабого перехода. Также оказывается необходимым применение непертурбативных методов и при нулевой температуре, когда характерная энергия процесса приближается к 1 ТэВ. Это связано с тем, что при таких энергиях необходимо учитывать появление монополей Намбу и % - струн, чья масса находится на шкале ТэВ. Нами рассматривается решеточная реализация модели Вайнберга - Салама. Изучается фазовая структура модели и свойства различных топологических дефектов, к которым относятся и монополи Намбу. Также изучаются свойства монополей Намбу в теории при конечной температуре. Показывается, что они сконденсированы при температурах, больших температуры электрослабого перехода. Кроме того, рассматривается модель Вайнберга - Салама при нулевой температуре и при реалистических значениях констант связи. Показано, что в окрестности фазового перехода в решеточной модели, где предполагается производить переход к непрерывной физике, расположена флуктуационная область, где флуктуации скалярного поля становятся большими. Получены указания на то, что в этой области невозможно применять обычную теорию возмущений, что подтверждается исследованием свойств монополей Намбу, которые являются зародышами нефизической фазы внутри физической. Показано, что в флуктуационной области расстояние между монополями становится близко к их размерам.

В четвертой главе рассматривается решеточная формулировка Стан-

дартной Модели без динамических фермионов. Мы не интересуемся фер-мионным сектором модели, поскольку нами рассматривается Стандартная Модель в пренебрежении вкладом динамических фермионов. Для решения задачи об исследовании свойств монополей Намбу при конечной температуре мы выбираем решеточную регуляризацию SU(3) х SU(2) х f/(l) калибровочной модели со скалярным полем таким образом, что в решеточной формулировке явно присутствует дополнительная Zg симметрия, обсуждаемая в главе 10. В то же время для исследования фазовой диаграммы модели Вайнберга - Салама при нулевой температуре при реалистических константах связи нами использована общеупотребительная регуляризация, в которой отсутствует дополнительная дискретная симметрия. Обе решеточные формулировки имеют один и тот же наивный непрерывный предел. Наши исследования также показывают, что для реалистических значений констант связи решеточные результаты, полученные с помощью указанных регуляризации, совпадают. В то же время, решеточная регуляризация, уважающая Z6 симметрию имеет ряд технических особенностей, отличающих ее от общепринятой в нефизической области констант связи.

В настоящей главе мы описываем решеточную регуляризацию калибровочного и Хиггсовского секторов стандартной модели, определяем измеряемые величины и представляем результаты численного исследования решеточных моделей при нулевой температуре в области нефизически больших значений элсктрослайой константы связи. Подобное исследование необходимо должно предварять исследование модели при конечной температуре (представленное в главе 5) и в области реалистических констант связи (представленное в главе 6), поскольку будучи технически более простым позволяет установить основные качественные свойства модели.

В пятой главе мы излагаем результаты нашего исследования поведения Монополей Намбу при конечной температуре. Показано, что электрослабый фазовый переход (кроссовер) сопровождается конденсацией Монополей Намбу. На возможность возникновения этого явления было указано М. Чернодубом. Однако впервые доказательство существования этого интересного явления было дано в работах автора настоящей диссертации и его соавторов, результаты которых излагаются в данной главе.

В настоящей главе для качественного исследования свойств монополей Намбу при конечных температурах мы используем решеточную дискретизацию с ZG симметрией. Симуляция этой решеточной модели необходимо включает разыгрывание как электрослабых, так и цветных полей. Решеточная модель имеет ряд особенностей, заслуживающих изучение самих по себе. При этом нами не ставится задача получения точных количественных характеристик изучаемых явлений. Нашей целью является выявление общих закономерностей. Скорость выполнения численных симуляций существенно зависит от значений электрослабой константы связи. При этом в реалистической области малых значений постоянной тонкой структуры а ~ 1/128 симуляции существенно усложнены. По этой причине мы исследуем область значений констант связи, соответствующую значениям а ~ 1/50, а8 ~ 1/20. Значение угла Вайнберга в нашей модели соответствует ып20И' ~ 0.38, а значение массы Хиггса 200 ГэВ < Ми < 800 ГэВ. Для изучения свойств монополей Намбу при конечной температуре использование этой области представляется нам достаточным.

Мы находим ряд особенностей фазовой диаграммы рассматриваемой модели. В частности, фазовый переход конфайнмецт - деконфайнмент для полей 5[/(2) и Би(3) совпадает. (Строго говоря, в фазе конфайнмента нет конфайнманта лептонов, но обнаруживаются удерживающие силы между ними. При этом струна рвется на некоторых расстояниях благодаря наличию виртуальных скалярных заряженных частиц.) Линия фазового перехода между фазой Хиггса и симметричной фазой деконфайнмента встречается с линией фазового перехода конфайнмент - деконфайнмент, формируя тройную точку. Переход между фазой Хиггса и симметричной фазой соответствует конечнотемпературному электрослабому фазовому переходу. Мы видим, что монополи Намбу сконденсированы при Т >ТС в то время, как при Т <ТС их конденсат зануляется.

При доступных для современных исследований значениях энергии теория возмущений при нулевой температуре работает прекрасно. Однако было показано, что при конечной температуре теория возмущений перестает работать вблизи электрослабого фазового перехода уже для масс Хиггса выше 60 ГэВ. Поэтому существующее в настоящее время ограничение на

массу Хиггса Мн >114 ГэВ требует использования непертурбативной техники исследования высокотемпературной физики. Именно поэтому наше использование решеточной техники и оправдано при изучении электрослабого перехода.

В шестой главе исследуется Флуктуационная область в модели Вайн-берга - Салама. В этой главе мы излагаем результаты наших численных исследований модели Вайнберга - Салама при нулевой температуре и при реалистических значениях констант связи. Нами исследуется подробно область фазовой диаграммы, соответствующая значениям а ~ 1/150,0ц> = тг/6,Мя~ 150 ГэВ.

Отдельно заслуживает внимания вопрос о необходимости применять непер-турбативные и, в частности, решеточные методы к исследованию электрослабой теории. К сожалению в настоящее время достаточно широко распространено заблуждение, что в электрослабой теории все может быть вычислено с помощью обычной теории возмущений. Однако известно, что в теории при конечной температуре теория возмущений перестает работать при температурах вблизи температуры электрослабого перехода для физически допустимых значений массы Хиггса. В теории при нулевой температуре необходимость применения непертурбативных методов следует из того, что в теории существуют нетривиальные классические решения (а именно, Z - вихри и монополи Намбу). Разумеется, эти объекты не могут быть изучены на основе теории возмущений вокруг тривиального вакуума. Масса монополя Намбу находится в районе ТэВ. Поэтому при энергиях много меньших 1 ТэВ теория возмущений должна быть применима, что и было продемонстрировано в многочисленных исследованиях, приводящих к замечательному совпадению с экспериментом. Однако при повышении энергии роль монополей Намбу и Ъ вихрей повышается, что и обусловливает применение непертурбативных методов. В работах автора настоящей диссертации и его соавторов обнаружены указания на то, что в области энергий порядка 1 ТэВ монополи Намбу доминируют в вакууме и, соответственно, теория возмущений вокруг тривиального вакуума не может быть применима.

Физическая шкала фиксируется нами, используя массу Z- бозона М|Ьуз~

90 ГэВ. Тогда длина ребра решетки равна а ~ [90 GcV}~xMz, где Mz - это масса Z бозона в решеточных единицах. Внутри физической фазы теории линии постоянной физики (ЛПФ) определяются как соответствующие постоянным иеренормированным физическим постоянным (постоянная тонкой структуры а, угол Вайнберга 0\у, и отношение массы Хиггса к массе Z-бозона 7/ = Ma/Mz). Точки ЛПФ параметризуются длиной ребра решетки. При увеличении ультрафиолетового обрезания при движении вдоль ЛПФ, соответствующей реалистическим значениям a, 0w, и г/ происходит приближение к фазовому переходу между физической фазой и нефизической фазой.

Мы показали, что существует Флуктуационная область (ФО) на фазовой диаграмме решеточной модели Вайнберга - Салама. Эта область расположена в окрестности фазового перехода (кроссовера) между физической Хиггсовской Фазой и нефизической фазой. Как ультрафиолетовый, так и инфракрасный, эффективные потенциалы скалярного поля имеют минимум при ненулевом значении фт внутри физической фазы. Внутри ФО различные виды эффективного потенциала дают разные значения фт. Кроме того, они в разных точках фазовой диаграммы качественно меняют свое поведение (приобретают такую форму, что единственным их минимумом становится нулевое значение скалярного поля).

Скалярное поле равно нулю внутри классического монополя Намбу. Поэтому он рассматривается нами как зародыш нефизичсской фазы внутри физической. Мы исследовали свойства квантовых монополей Намбу. Внутри ФО они расположены столь тесно, что расстояния между ними становятся порядка их размера. Это означает, что внутри ФО флуктуации скалярного поля значительны и обе фазы перемешаны.

Что касается характера самого фазового перехода, мы пока не можем придти к окончательному выводу о том, каковым он окажется на бесконечной решетке. Наиболее вероятна, с нашей точки зрения, возможность того, что этот переход является кроссовером для рассмотренных значений затравочных констант. Однако мы не исключаем возможность существования фазового перехода второго рода при М# вблизи 300 ГэВ, 150 ГэВ, 100 ГэВ. При этом мы полагаем, что наши выводы относительно процессов внутри

Флуктуационной области, сделанные на основании исследования модели на решетках конечного размера, останутся верны и для решетки бесконечного размера.

Таким образом, вакуум модели Вайнберга - Салама внутри ФО существенно отличается от тривиального вакуума, используемого в обычной теории возмущений. Этот результат мы рассматриваем как указание на то, что в ФО теория возмущений может оказаться не применима.

Важно то, что переход к непрерывной физике производится при приближении к точке перехода. Наши численные результаты говорят о том, что для Мн ~ 300,150,100 ГэВ при реалистическом значении постоянной тонкой структуры и угла Вайнберга максимальное достижимое значение ультрафиолетового обрезания вне ФО - около 1.0 ± 0.1 ТэВ. Наши оценки были сделаны для решеток 83 х 16,123 х 16,164 (результаты при Мн ~ 300 ГэВ проверялись вплоть до размеров решетки 203 х 24) и не зависят от размера решетки. Мы также выяснили, что при правильном учете эффектов конечного объема в перенормированной постоянной тонкой структуры а, ее значение оказывается близко к однопетлевому выражению, если в последнем подставить в качестве обрезания масштаб 1 ТэВ.

Третья часть посвящена изучению подходов к построению квантовой теории гравитации, основанных на динамической теории Римановой геометрии и ее простейшего расширения - геометрии Римана - Картана. Мы рассматриваем двумерную гравитацию. Прежде всего, решается простая задача о поведении корреляторов в непрерывной двумерной гравитации с действием, квадратичным по кривизне. Затем, рассматривается Редже - дискретизация непрерывной модели и решается вопрос о мере интегрирования по полям. А именно, показано, что при наложении на Редже -дискретизацию определенного условия мера Лунда - Редже становится локальной. Далее мы рассматриваем четырехмерную квантовую гравитацию. После рассмотрения Редже - дискретизации и демонстрации того, что присутствуют серьезные проблемы с мерой интегрирования по полям в этой дискретизации, мы предлагаем две различных дискретизации, в которых такие сложности отсутствуют. А именно, предложена калибровочно инвариантная дискретизация телепараллелизма и калибровочно - инвариант-

пая дискретизация Пуанкаре - гравитации. Обе модели способны описывать квантовую теорию Римановой геометрии. Кроме того, нами изучается дискретизация Римановой геометрии, основанная на динамических триан-гуляциях. Эта дискретизация отличается от рассмотренных в предыдущих двух главах тем, что в ней особую роль играет энтропийный фактор. Действие непрерывной теории, по сути, должно появиться динамически. Мы численно изучаем модель с затравочной размерностью 10. Показано, что в этой модели в отличии от моделей с затравочными размерностями 3, 4, и 5, энтропия принуждает модель пребывать в фазе ветвящихся полимеров (в низших размерностях она приводит модель в хаотическую фазу).

В седьмой главе рассматривается двумерная И1 квантовая гравитация в бесконечном инвариантном объеме. Мы показываем, что в пределе слабой связи ее динамика сводится к одномерной квантовой механике. Это позволяет получить простое выражение для двухточечной функции Грина, которое может быть использовано для тестирования различных решеточных дискретизаций.

Далее рассматривается подробно вопрос о мере интегрирования по геометриям и то, как это интергирование должно осуществляться в дискрети-зованной гравитации. Мы предлагаем версию двумерного исчисления Ре-дже, в котором площади симплексов равны друг другу. В этой дискретизации мера Лунда - Редже по линковым переменным существенно упрощается. Наша мера локальна в противоположность обычному исчислению Редже с мерой Лунда - Редже, где мера оказывается нелокальной, а реальные симуляции существенно осложнены.

Как уже отмечалось выше, одна из основных трудностей квантовой гравитации - это широта ее калибровочной группы (группы общих координатных преобразований). Из-за этой широты почти невозможно перенести теорию на решетку без потери калибровочной инвариантности. В настоящий момент единственно возможной калибровочно - инвариантной дискретизацией является исчисление Редже. Однако ценой калибровочной инвариантности является проблема с определением меры интегрирования. Здесь вместо метрики, которая была в непрерывной теории локальным полем, фундаментальными калибровочно - инвариантными величинами являются

длины линков. А метрика выражается через них нелокально. Поэтому и мера оказывается нелокальной.

Не смотря на то, что в некоторых публикациях утверждается, что определенный выбор локальной меры интегрирования по длинам линков может оказаться соответствующим непрерывной теории, точка зрения автора настоящей диссертации иная. Подробно мы аргументируем нашу точку зрения в Главе 8, где обсуждается мера, предлагавшаяся ранее и обсуждаются недостатки этого подхода. В настоящей главе мы принимаем в качестве отправной точки для построения меры интегрирования в исчислении Ре-дже так называемую меру Лунда - Редже (она также называется мерой Де Витта). Эта мера последовательным путем получена из соответствия с нормой на пространстве римановых геометрий. Как отмечалось выше, она в общем случае нелокальна. В действительности ее форма столь сложна, что представляется невозможным использовать ее в реальных численных симуляциях.

Однако в настоящей главе мы показываем, как эта трудность можно преодолеть в двумерном случае. Для того, чтобы сделать это мы принимаем компромиссное решение. А именно, мы начинаем дискретизацию гравитации, стартуя с непрерывной теории, в которой калибровка частично фиксирована фиксацией конформной моды. В результате мы приходим к версии исчисления Редже, в котором площади всех симплексов равны друг другу. В этой дискретизации мера Лунда - Редже становится локальной, что позволяет осуществлять численные симуляции.

В восьмой главе рассматривается четырехмерная квантовая гравитация. Строится дискретизация Телепараллелизма и Пуанкаре - гравитации.

Математическая структура квантовой гравитации должна быть связана с Римановой геометрией, которая должна появиться, как минимум, в классическом пределе квантовой теории. Разумеется, есть множество геометрических и алгебраических структур, которые могут служить основой квантовой теории гравитации. Однако, в настоящий момент у нас нет оснований для того, чтобы выбрать ту или иную математическую основу для будущей теории. Поэтому естественным является "минимальный"выбор, возвращающий нас к Римановой геометрии. Даже если такая теория и не

будет исчерпывающей, она может появиться как хорошее низкоэнегритиче-ское приближение.

В настоящей главе нами рассмотрены два способа дискретизации квантовой гравитации. Оба они инспирированы трудностями предыдущих дискретизаций. А именно, из предложенных ранее конструкций только Редже дискретизация калибровочно инвариантна по построению. В этой дискретизации, однако, присутствуют проблемы с мерой интегрирования по полям, которые невозможно устранить в четырех измерениях. В предыдущей главе была предложена конструкция, которая делает последовательно построенную меру Лунда - Редже в двух измерениях локальной и приемлемой для практических вычислений. В четырех измерениях добиться того же не удается. Эвристическая мера, использованная в практических вычислениях в рамках исчисления Редже, с нашей точки зрения, не выдерживает критики.

Для преодоления указанной проблемы с мерой мы рассмотрели прежде всего дискретизацию телепараллельного представления теории гравитации. Телепараллелизм - это способ смотреть на Риманову геометрию как на геометрию Вейценбока, а на квантовую гравитацию - как на калибровочную теорию группы трансляций. Дискретизация строится как кусочно - линейное пространство Вейценбока и, таким образом, является калибровочно инвариантной по построению. Инвариантная локальная мера на группе трансляций фиксирует единственную меру интегрирования по полям. К трудностям этой дискретизации следует отнести то, что дискретизованное действие теряет 50(4) инвариантность. Кроме того, оно достаточно громоздко, если мы хотим включить в него члены, квадратичные по Римановой кривизне (последняя, разумеется, выражается соответствующим образом через трансляционную связность пространства Вейценбока, являющегося телепараллельным эквивалентом Риманова пространства).

Второй способ дискретизации, который мы предлагаем, разрешает трудности первого за счет включения в рассмотрение расширения Риманова пространства - пространства Римана Картана, в котором в общем случае кручение не зануляется. Нами построена дискретизация, основывающаяся на кусочно - линейных пространствах Римана - Картана. Причем ячейки этих пространств имеют гиперкубическую форму, что сильно упрощает

практические применения в численных расчетах. Снова инвариантная мера на группе Пуанкаре фиксирует нам единственную локальную меру интегрирования. В то же время решеточная модель имеет группу Пуанкаре в качестве калибровочной. Переход к генерации Римановой геометрии в этом подходе может быть выполнен динамически, когда подавляются флуктуации кручения.

В девятой главе нами рассматривается еще один подход к дискретизации квантовой гравитации, основанный на динамических триангуляциях. Этот подход существенно отличается от рассмотренных в главах 7 и 8 подходов тем, что в нем определяющую роль играет энтропийный фактор. Поэтому подход динамических триангуляций близок по духу к подходу, основанному на представлении о гравитации как об энтропийной силе.

Свойства динамических триангуляций в двух, трех, и четырех измерениях хорошо известны. Также проводились численные исследования и пятимерной модели. В настоящей главе мы решаем техническую задачу о численном исследовании многомерных динамических триангуляций. А именно, нами исследуется 10 - мерная модель. Следует отметить, что затравочная размерность в моделях динамических триангуляций вовсе не обязана совпадать с физической размерностью симулируемого пространства. Последняя определяется как фрактальная размерность и оказывается близка к двум, трем, и четырем в зависимости от того, в какой области констант связи рассматривается модель и каков общий объем системы. Таким образом, исследуемая модель дает динамическое определение размерности пространства - времени и эффективно в состоянии описывать теорию меньшей (чем 10) размерности.

Нами рассматривается десятимерная модель ДТ сферической топологии. Ожидается, что поведение такой модели аналогично поведению 3,4, и 5 - мерных моделей. Частично это предположение подтверждается. Однако оказывается, что есть и новые свойства, которые отсутствуют в моделях меньших размерностей. Например, 100 - модель также имеет две фазы, аналогичные подобным фазам в 3, 4 и 5 - мерных моделях. Однако в нашем случае фазовый переход (по крайней мере для наблюдаемых объемов V — 8000 и V = 32000) имеет место при отрицательном значении затра-

вочной гравитационной постоянной, в то время как в низших размерностях он происходит при положителном значении константы связи. Это означает, что вакуум, определяющийся одной лишь энтропией в 10 Б - системе (когда решеточное действие выключено) имеет структуру ветвящихся полимеров, в то время как в низкоразмерных системах это была бы хаотическая фаза.

Четвертая часть посвящена подходам к построению моделей новой физики на масштабе ТэВ. Рассматриваются модели Малого объединения. Исследуются появляющиеся монополи и связанная с ними дополнительная симметрия Стандартной Модели или 2->). Делается попытка про-

должить г/п симметрию Стандартной Модели на модели техницвета. Показано, что лишь немногие из рассмотренных моделей допускают такое продолжение. Также предлагается заменить группу техницвета группой Лоренца. Исследуется возможность динамического нарушения электрослабой симметрии благодаря нарушению киральной инвариантности в калибровочной теории группы Лоренца. При этом оказывается возможным с легкостью придать реалистические значения массам фермионов Стандартной Модели, в отличие от моделей техницвета, где приходится вводить дополнительное калибровочное поле Расширенного техницвета.

В десятой главе мы рассматриваем Малое объединение на масштабе ТэВ. В этой главе мы обсуждаем возможность наблюдения 2?, - симметрии Стандартной Модели. Под - симметрией Стандартной Модели мы понимаем тот факт, что ее фермионный сектор устроен так, что калибровочная группа может быть определена в виде 5[/(3) х ¿>[/(2) х 1/(1)/2 (2 = '¿ъ ог '¿2) вместо обычной 311(3) х 6Т/(2) х Г/(1). При этом теории с различными факторами 2 идентичны на уровне теории возмущений. Нами высказывалось предположение, что непертурбативные эффекты могут привести к различной динамике этих моделей в некоторой области энергий. Однако численные решеточные исследования показали, что это не так (см. часть II). В области физических значений констант связи модели с разными факторами 2 неразличимы при энергиях много меньших ультрафиолетового обрезания. Ситуация, однако, существенно меняется при повышении шкалы энергии. А именно, если предположить, что объединение взаимодействий происходит на шкале ТэВ (так называемое малое

объединение), то нарушение симметрии G объединенной модели происходит по схеме G —> SU(3) х SU(2) х U{\)/Z. При этом разные модели объединения приводят к разным факторам Z. В свою очередь, эти факторы существенно влияют на свойства монопольных состояний объединенных моделей. Эти монопольные состояния имеют массы порядка 40 ТэВ и несут различные магнитные заряды. Мы выясняем какие схемы нарушения симметрии имеют место для различных моделей малого объединения (МО, Petite Unification) и каковы в этих моделях свойства монопольных решений. При этом рассматриваются три различных модели МО.

Эти монополи могут оказаться легчайшими топологически стабильными магнитными монополями. В принципе, во время высокоэнергитических столкновений могут появляться монополь - антимонопольные пары. Размер монополей должен быть порядка 1 Tev-1, в то время как типичный размер объектов, создаваемых во время столкновений должен быть в районе 80 Tev-1. Поэтому появление монополь - антимонопольной пары должно быть подавлено отношением этих двух масштабов. Теоретическое рассмотрение рождения пары монополь - антимонополь является проблемой, до сих пор не получившей решения даже для монополей т'Хофта - Полякова. Поэтому мы не можем здесь представить оценку соответствующего сечения. Следует также отметить, что порог рождения таких объектов недостижим на Большом Адронном Коллайдере и может быть достигнут только на коллайдерах следующего поколения.

Появление указанных монополей в ранней вселенной может иметь определенные следствия для космологии. В частности, мы ожидаем, что симметрия объединенной модели может восстановиться при высоких температурах. Мы ожидаем, что в ранней Вселенной при температурах, близких к температуре Тс соответствующего перехода, монополи, рассматриваемые в настоящей главе, могут появляться в элементарных процессах с большой вероятностью. При Т > Тс они могут оказаться сконденсированы подобно монополям Намбу при температуре выше температуры Электрослабого фазового перехода (см. главу 5). Следует также отметить, что существует ряд космологических моделей, в которых исключено появление магнитных монополей с массами, вычисленными нами. В этих моделях, соответственно,

исключены рассмотренные нами модели Малого Объединения.

В одиннадцатой главе мы рассматриваем возможность продолжить симметрию Стандартной Модели, обсуждавшуюся в главе 10, на Модели техницвета. Выясняется, что среди SU(N) моделей Вайнберга - Сасскин-да и SU(N) моделей Фари - Сасскинда для N > 2 только SU(4) модель Фари - Сасскинда может содержать эту симметрию. Мы также рассматриваем минимальную почти конформную модель (Minimal Walking) с групой SU(2), в которой можно выбрать гиперзаряды таким образом, что имеет место указанная дополнительная симметрия.

Определение Zg - симметрии Стандартной Модели дано в главе 10. Здесь мы отметим лишь, что она является достаточно ограничительной. Например, требование того, что операторы параллельного переноса, соответствующие фермионам Ze - симметричны, приводит к запрету появления, скажем, левых SU(2) дублетов с нулевым гиперзарядом.

Структура калибровочной группы модели Фари - Сасскинда SU(4) ® SU(3) <& £7/(2) <g> U( 1) подсказывает нам ее возможное продолжение как последовательности SU(N) подгрупп:

G = ... ® SU{6) ® SU{5) ® SU(4) ® £t/(3) ® SU{2) ® U{l)/Z, (5)

где Z - дискретная группа.

Эта возможность кажется нам интересной. Она анализируется с той же точки зрения, что и исходная модель Фари - Сасскинда. Мы размещаем фермиопы в фундаментальных представлениях подгрупп SU(N) группы (5). В общем случае модель с группой (5) содержит аномалии различных типов. Априори неочевидно, что существует выбор гиперзарядов такой, что отсутствует киральная аномалия в то время, как удовлетворяется дополнительная дискретная симметрия. Мы показываем, однако, что такой выбор существует.

В двенадцатой главе мы рассматриваем Калибровочную теорию группы Лоренца как возможный источник динамического нарушения электрослабой симметрии.

В настоящей главе мы рассматриваем возможность нарушения электрослабой симметрии и возникновения масс фермионов Стандартной Модели

благодаря существованию массивных мод кручения пространства - времени с массами порядка ТэВ. Предлагаемая конструкция заменяет группу техницвета группой Лоренца. Используемая модель по сути дела является калибровочной теорией группы Лоренца в пространстве Минковского. При этом динамическая квантовая теория метрического поля, то есть, собственно, гравитация, может существовать, или не существовать, что не оказывает на наше рассмотрение никакого влияния. Мы предполагаем для определенности, что квантовая теория поля метрики существует и имеет шкалу массы Планка.

Хорошо известно, что квантовая гравитация в формализме первого порядка с действием Палатини или действием Хольста, ведет к четырехфер-мионному взаимодействию между спинорными полями. Это четырехфер-мионное взаимодействие может привести к конденсации фермионов, которое в свою очередь, рассматривалось в некоторых космологических моделях, например, в качестве источника темной энергии.

Мы рассматриваем фермионы, взаимодействующие неминимальным образом с кручением пространства - времени в качестве источника Динамического нарушения электрослабой симметрии (ДНЭС). При этом предполагается, что массовый параметр поля кручения близок к 1 ТэВ. Как уже говорилось выше, предполагается, что либо квантовой теории метрического поля нет (и классическая гравитация имеет иной источник), либо ее масштаб - масса Планка.

Ясно, что кручение, связанное с 4 - спинорными полями фермионов Стандартной Модели, не может привести к требуемому ДНЭС, поскольку оно взаимодействует со всеми фермионами одинаково. Поэтому если сконденсированы дополнительные фермионы (называемые далее техниферми-онами), то сконденсированы и фермионы Стандартной Модели (СМ). Однако если разместить все фермионы Стандартной Модели в левополяризо-ванных двухкомпонентных спинорах, а технифермионы - в правополяри-зованных, и при этом предположить, что действие не сохраняет четность, то после интегрирования по кручению может возникнуть асимметрия между правыми и левыми фермионами. В результате правые фермионы могут оказаться сконденсированы, а левые - нет. Так мы и получим конденсат

технифермионов, оставляя фермионы СМ нссконденсированными,

Действие Хольста нарушает четность. Поэтому, когда Пуанкаре - гравитация с действием Хольста связана с фермионами, она может обеспечить появление нарушающих четность четырехфермионных взаимодействий. Мы рассматриваем действие Хольста в качестве низкоэнсргитической части действия для кручения. При этом также рассматривается неминимальное взаимодействие фермионов с Пуанкаре - гравитацией, которое само нарушает четность. Для того, чтобы обеспечить фермионы СМ массами нами рассматривается массовый член для спиноров, чья левая компонента содержит поля СМ, а правая - технифермионы. В.рассматриваемом подходе ряд проблем моделей РТЦ получает разрешение. Например, отсутствуют опасные нейтральные токи со сменой аромата.

Таким образом, в этой главе мы рассмотрели фермионы, взаимодействующие неминимальным образом с Пуанкаре гравитацией. Последняя содержит динамическую теорию метрического поля на шкале массы Планка и калибровочную теорию 50(3,1) группы на шкале Ах от 1 ТэВ до 10 ТэВ. Наша модель содержит действие Хольста с массовым параметром на шкале ТэВ. После интегрирования по фермионам появляются эффективные четырехфермионные взаимодействия. Как уже говорилось, мы размещаем все фермионы СМ в левополяризованных частях Дираковских спиноров, а дополнительные технифермионы - в правополяризованпых. Определенный выбор констант связи приводит к тому, что указанные четырехфермионные взаимодействия между технифермионами имеют характер притяжения, а между фермионами СМ - отталкивания (или пренебрежимо малы), при этом перекрестные члены между токами фермионов СМ и технифермионов также пренебрежимо малы по сравнению с взаимодействием между технифермионами. При определенных условиях технифермионы оказываются сконденсированы, что приводит к нарушению Электрослабой симметрии и появлению масс W и Z - бозонов.

Для того, чтобы обеспечить появление масс фермионов СМ, мы добавляем массовый член для Дираковских спиноров, содержащих в своих левополяризованных компонентах фермионы СМ, а в правополяризованных компонентах - технифермионы. В результате появляется массовый член

для фермионов Стандартной Модели.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в

диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

[1] "Aharonov-Bohm effect, center monopoles and center vortices in SU(2) lattice gluodynamics", M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov, A.I. Veselov, M.A. Zubkov. Nucl.Phys.Proc.Suppl.73:575-577,1999, hep-lat/9809158

[2] "Central dominance and the confinement mechanism in gluodynamics", B.L.G. Bakker, A.I. Veselov, M.A. Zubkov, Phys.Lett.B471:214-219,1999, hep-lat/9902010

[3] "Central dominance and the confinement mechanism", B.L.G. Bakker, A.I. Veselov, M.A. Zubkov, Nucl.Phys.Proc.Suppl.83:565-567,2000.

[4] "The Simple center projection of SU(2) gauge theory", B.L.G Bakker, A.I. Veselov, M.A. Zubkov, Phys.Lett.B497:159-164,2001, hep-lat/0007022

[5] "The simple center projection of SU(2) gauge theory", B.L.G. Bakker, A.I. Veselov, M.A. Zubkov, Nucl.Phys.Proc.Suppl.94:478-481,2001.

[6] "Evidence for the reality of singular configurations in SU(2) gauge theory", B.L.G. Bakker, A.I. Veselov, M.A. Zubkov, Phys.Lett.B544:374-379,2002, hep-lat/0205027

[7] "Abelian representation of nonAbelian Wilson loop and nonAbelian Stokes theorem on the lattice", M.A. Zubkov, Phys.Rev.D68:054503,2003, hep-lat/0212001

[8] "A hidden symmetry in the Standard Model", B.L.G. Bakker, A.I. Veselov, M.A. Zubkov. Phys.Lett.B583:379-382,2004, hep-lat/0301011

[9] "An Additional symmetry in the Weinberg: Salam model", B.L.G. Bakker, A.I. Veselov, M.A. Zubkov. Yad.Fiz.68:1045-1053,2005, Phys.Atom.Nucl.68: 1007-1015,2005, hep-lat/0402004

[10] "Standard model with the additional Z(6) symmetry on the lattice", B.L.G. Bakker, A.I. Veselov, M.A. Zubkov, Phys.Lett.B620:156-163,2005, hep-lat/0502006

[11] "Z(6) symmetry, electroweak transition, and magnetic monopolcs at high temperature", B.L.G. Bakker, A.I. Veselov, M.A. Zubkov, Phys.Lett.B642:147-152,2006, hep-lat/0606010

[12] "Nambu monopolcs in lattice Electroweak theory", B.L.G. Bakker, A.I. Veselov, M.A. Zubkov. J.Phys.G36:075008,2009, arXiv:0707.1017

[13] "Lattice study of monopolcs in the Electroweak theory", A.I. Veselov, B.L.G. Bakker, M.A. Zubkov, PoS LAT2007:337,2007, arXiv:0708.2864

[14] "Upper bound on the cutoff in lattice Electroweak theory", M.A. Zubkov, A.I. Veselov. JHEP 0812:109,2008, arXiv:0804.0140

[15] "Upper bound on the cutoff in the Standard Model", M.A. Zubkov, A.I. Veselov, proceedings of 27th International Symposium on Lattice Field Theory (Lattice 2009), Beijing, China, 25-31 Jul 2009, arXiv:0909.2840

[16] "Monopoles in lattice Electroweak theory", B.L.G. Bakker, A.I. Veselov, M.A. Zubkov, proceedings of SPMTP08, arXiv:0809.1757

[17] "The Fluctuational region on the phase diagram of lattice Weinberg-Salam model", M.A. Zubkov. Phys.Lett.B684:141-146,2010, arXiv:0909.4106

[18] "The vicinity of the phase transition in the lattice Weinberg - Salam Model", M.A. Zubkov, proceedings of QUARKS2010, arXiv: 1007.4885

[19] "How to approach continuum physics in lattice Weinberg - Salam model", M.A. Zubkov, Phys.Rev.D82:093010,2010

[20] "Effective constraint potential in lattice Weinberg - Salam model", M.I.Polikarpov, M.A.Zubkov, Phys. Lett. B 700 (2011) pp. 336-342, [arXiv:1104.1319]

[21] "2D R**2 gravity in weak coupling limit", M.A. Zubkov, Phys.Lett.B594:375-380,2004, gr-qc/0404087

[22] "Measure in the 2D Regge quantum gravity", M.A. Zubkov, Phys.Lett.B616:221-227,2005, hep-lat/0501017

[23] "10-D Euclidean quantum gravity on the lattice", A.I. Veselov, M.A. Zubkov, Nucl.Phys.Proc.Suppl.129:797-799,2004, hep-lat/0308025

[24] "Teleparallel gravity on the lattice", M.A. Zubkov. Phys.Lett. B582:243-248,2004, hep-lat/0311036

[25] "10D Euclidean dynamical triangulations", A.I. Veselov, M.A. Zubkov. Phys.Lctt.B591:311-317,2004.

[26] "Gauge invariant discretization of Poincare quantum gravity", M.A. Zubkov. Phys.Lett.B638:503-508,2006, Erratum-ibid.B655:307,2007, hep-lat/0604011

[27] "The Observability of Z(6) symmetry in the standard model", M .A. Zubkov, Phys.Lett.B649:91-94,2007,Erratum-ibid.B655:91,2007, hep-ph/0609029

[28] "Monopoles, topology of the standard model, and unification of interactions at TeV scale", M. A. Zubkov, PoS LAT2007:285,2007.

[29] "Z(6) symmetry of the Standard Model and technicolor theory", M.A. Zubkov. Phys.Lett.B674:325-329,2009, arXiv:0707.0731

[30] "A Superstructure over the Farhi-Susskind Technicolor model", M.A. Zubkov. Mod. Phys. Lett. A25:679-689,2010, arXiv:0910.4771

[31] "Torsion instead of Technicolor", M.A. Zubkov, ITEP-LAT-2010-03, Mod. Phys. Lett. A25:2885-2898,2010, arXiv:1003.5473

Подписано к печати 15.06.11 г. Формат 60x90 1/16

Усл. печ. л. 1,9 Уч.-изд. л. 1,31 Тираж 100 экз. Заказ 577

Индекс 3646

Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б. Черемушкинская, 25

Введение.

Часть 1. Топологические дефекты в моделях сильного взаимодействия

1. Центральная доминантность в глюодинамике. Центральные монополи.

2. Простая центральная проекция глюодинамики.

3. Абелево представление для неабелевой петли Вильсона.

Часть 2.Монополи Намбу и физика Электрослабых взаимодействий

4. Решеточная регуляризация калибровочного и Хиггсовского секторов Стандартной Модели.

5. Монополи Намбу при конечной температуре.

6. Флуктуационная область в модели Вайнберга - Салама.

Часть 3. Решеточные формулировки квантовой гравитации

7. Двумерная гравитация. Предел слабой связи и дискретизация.

8. Четырехмерная квантовая гравитация. Дискретизация Телепараллелизма и Пуанкаре - гравитации.

9. Многомерные динамические триангуляции.

Часть 4. Возможные пути построения моделей новой физики на масштабе ТэВ

10. Малое объединение на масштабе ТэВ и ZQ симметрия Стандартной Модели.

11. Продолжение ZQ симметрии Стандартной Модели на теории техни-цвета.

12. Калибровочная теория группы Лоренца как возможный источник динамического нарушения Электрослабой симметрии.

Современная теоретическая физика фундаментальных взаимодействий, на наш взгляд, имеет четыре основных направления:

1. Теория сильных взаимодействий, основанная-на квантовой Хромоди-намике;

2. Теория Электрослабых взаимодействий;

3. Квантовая гравитация;

4. Теории новой физики, появление которой ожидается на масштабе ТэВ, доступном Большому Адронному Коллайдеру.

Первое из указанных направлений занимается изучением физики сильных взаимодействий. В настоящее время считается, что КХД прекрасно описывает данный класс явлений и не нуждается в доопределении. Однако, с вычислительной точки зрения КХД - исключительно сложная наука. Ведущую роль в ее динамике играют непертурбативные явления. Одним из методов их изучения являются решеточные симуляции. Среди наиболее важных задач упомянем объяснение механизмов невылетания и спонтанного нарушения киральной симметрии.

Второе направление связано с изучением явлений, в которых играют роль Электрослабые взаимодействия. Здесь теория возмущений в Модели Вайнберга - Салама,превосходно описывает реальность при энергиях, не превышающих существенно 100 ГэВ. Однако, проблема иерархий указывает на то, что при энергиях выше 1 ТэВ может появиться новая теория, причем модель Вайнберга - Салама должна быть ее низкоэнергитиче-ским приближением. Традиционно считается, что непертурбативный анализ при изучении Электрослабых взаимодействий не требуется. Однако, известно, что при температурах, приближающихся к температуре Электрослабого фазового перехода (кроссовера), теория возмущений работать перестает. Это вызывает необходимость использования непертурбативных методов при конечной температуре. При нулевых температурах необходимость использования непертурбативных методов связана с существованием объектов, не описывающихся теорией возмущений. Это, например, - так называемые Z струны и монополи Намбу, представляющие классические неустойчивые решения уравнений движения, Масса этих объектов оценивается в районе нескольких ТэВ. Поэтому при характерных энергиях процессов, много меньших ТэВ, их появление не может внести значительного вклада в наблюдаемые величины. Ситуация существенно изменяется при приближении характерной энергии процесса к 1 ТэВ. Здесь указанные объекты начинают играть существенную роль. Поэтому и оказывается необходимым применение непертурбативных методов.

Третье направление связано с построением теории квантовой гравитации. Построение такой теории представляется важным в связи с тем, что история Вселенной как целого является экспериментом, доносящим до нас информацию о ранних этапах ее развития, когда характерные энергии соответствовали шкале, на которой квантовая гравитация может появиться. Существует огромное количество различных моделей, претендующих на описание квантовой гравитации. Среди них упомянем теорию струн, некоммутативные теории, матричные модели, петлевую квантовую гравитацию. К сожалению, на сегодняшний день невозможно сделать выбор какой - либо одной из этих моделей. Поэтому автор настоящей диссертации при изучении данной темы ограничился минимальным выбором - квантовой теорией Римановой геометрии.

Четвертое направление связано с тем, что, как было указано выше, при энергиях порядка 1 ТэВ ожидается появление новой физики. Среди моделей этой новой физики упомянем суперсимметричные модели, модели Малого Хиггса, Модели Малого Объединения, Модели Техницвета.

Текст настоящей диссертации делится на четыре части, соответствующие каждому из указанных выше направлений. Каждая из частей состоит из трех глав, в которых автор описывает результаты своих исследований задач, относящихся к данному направлению. При этом в конце каждой главы указывается список печатных работ, в которых были опубликованы эти результаты. В конце каждой из частей размещается библиография, соответствующая данной части. Исследования, относящиеся к разным частям диссертации практически независимы друг от друга. В то же время главы каждой из частей логически связаны. Поэтому в начале каждой части мы помещаем аннотацию представленной в ней работы. В конце текста диссертации в разделе Заключение указывается полный список работ, в которых опубликованы результаты настоящей диссертации.

Поскольку далее в тексте будут широко использоваться обозначения и терминология решеточных калибровочных теорий, мы их здесь кратко напомним.

Как правило, рассматриваются гиперкубические решетки, состоящие из D - мерных гиперкубов, склеенных вместе. Обычно также предполагается реализация периодических граничных условий, что сводится к тому, что система склеенных гиперкубов реализует топологию D - мерного тора. Вершины гиперкубов называются точками или узлами решетки. Ребра, соединяющие соседние точки решетки, именуются линками решетки. Квадраты, составленные из четырех узлов и четырех линков, называются плакетами.

Дуальная решетка определяется следующим образом. Ее узлы находятся в центрах гиперкубов исходной решетки. Линками соединяются узлы, лежащие в центрах соседних гиперкубов исходной решетки и т.д.

Калибровочные поля, как правило, на решетке определяются переменными, прикрепленными к л инкам. Произведение их вдоль линков одного плакета дает плакетную переменную, реализующую на решетке напряженность калибровочного поля. Скалярное поле обычно определено в узлах решетки.

Удобным формализмом для работы с Абелевыми калибровочными полями является формализм дифференциальных форм на решетке. Дифференциальная форма ранга к на решетке - это функция фк определенная на /¿-мерном кубе с/,, решетки, e.g. скалярное (калибровочное) поле - это 0-форма (1-форма). Внешняя производная с? определяется следующим образом: ф){ск+1)= £ Ф(ск). (1) ск€дск+1

Здесь Ось - ориентированная граница /с-мсрного куба Таким образом, оператор d увеличивает ранг формы на единицу; dtp - это линковая переменная, сконстрованная через переменную <£>, определенную на узлах, а d/1 - это плакетная переменная, сконструируемая из линковой переменной А.

Скалярное произведение определяется следующим образом: если (р и ф с-формы, то ((/?, ф) = ЕСк ф{рк)Ф{ск), где Т,Ск - сумма по всем кубам с^. Каждой /г-форме на .О-мерной решетке соответствует (В — &)-форма *Ф(*Ск) на дуальной решетке, *Ск - это (¿) — &)-мерный куб на дуальной решетке. Ко-дифференциал 5 = *с1* удовлетворяет правилу интегрирования по частям: (ср, 5ф) = ((1 <р,ф). Заметим, что 5Ф(ск) - это (к — 1)-форма и ¿>Ф(со) = 0.

Норма определяется как ||а||2 = (а,а); тогда, например, + 2тг1\\2 предполагает суммирование по всем линкам. означает сумму по всем конфигурациям целых чисел I, прикрепленных к линкам с\.

Действие для калибровочных полей инвариантно относительно калибровочных преобразований А' = А + ¿а, <р' = 4-а благодаря свойству (I2 = <52 == 0. Решеточный лапласиан определяется как Д = сМ + ¿>с1.

Часть I

Топологические дефекты в моделях сильного взаимодействия

Одним из наиболее важных явлений физики сильных взаимодействий является невылетание цвета. Материал настоящей части диссертации относится к описанию конфайнмента с точки зрения различных Абелевых проекций теории. Мы изучаем КХД без динамических фермионов. В первой главе рассматриваются свойства центральных вихрей в Максимальной Центральной Проекции глюодинамики. Демонстрируется их связь с явлением невылетания, изучаются перколяционные свойства. Вводится новое понятие - центральный монополь. Показано, что в теории при конечной температуре Центральные монополи и центральные вихри сконденсированы в фазе конфайнмента. Во второй главе вводится понятие простой центральной проекции, являющейся альтернативным методом выделения центральных вихрей из полевых конфигураций неабелевых калибровочных теорий. Рассматриваются фрактальные свойства вихрей и центральных монополей в этой проекции. Демонстрируется связь этих объектов с конфайнментом. В третьей главе решается техническая задача об Абелевом представлении для неабелевой петли Вильсона, которое может быть полезно при исследовании различных абелевых проекций. Получено Абелево представление для неабелевой петли Вильсона на решетке, являющееся аналогом непрерывной формулы Дьяконова - Петрова. Разрешается вопрос о справедливости непрерывного представления, связанный с определением меры по калибровочным преобразованиям.

3.6 Выводы

Таким образом, нами выведено Абелево представление (3.41) для 5С/(ЛГ) петли Вильсона на решетке. Это представление содержит комплексно - значное линковое поле, являющееся функцией матричных элементов Зи(Ы) калибровочного поля. (3.41) обладает 11(1) калибровочной симметрией. Действительная часть отмеченного линкового поля может рассматриваться как соответствующее калибровочное поле. Мнимая часть зануляется в непрерывном пределе.

Неабелева теорема Стокса на решетке следует естественным образом из (3.41). Она может быть использована для вычисления магнитного потока заключенного внутри контура соответствующего петле Вильсона. Непрерывный предел выведенного выражения совпадает с исходным выражением, полученным Дьяконовым и Петровым, но с мерой интегрирования, отличающейся от общепринятой, и определенной в (3.61). Именно непонимание того, что мера интегрирования имеет такой вид и привела авторов [46] к неправильному выводу об ошибочности представления (3.2).

3.7 Публикации

Результаты настоящей главы опубликованы в работе:

Abelian representation of nonAbelian Wilson loop and nonAbelian Stokes theorem on the lattice", M.A. Zubkov, Phys.Rev.D68:054503,2003, [hep-lat/0212001]

1. L.Del Debbio et al, Phys.Rev. D55 (1997) 2298.

2. L.Del Debbio et al, hep-lat/9802003.

3. A.S. Kronfeld, M.L. Laursen, G. Schierholz, U.J. Wiese, Phys.Lett. 198B (1987) 516.

4. M.G. Alford and F.Wilczek, Phys.Rev.Lett., 62 (1989) 1071; M.G. Alford, J. March-Russel and F.Wilczek, Nucl.Phys., B337 (1990) 695; J. Preskill and L.M. Krauss, Nucl.Phys., B341 (1990) 50.

5. L.Del Debbio et al, Nucl.Phys.Proc.Suppl. 63 (1998) 552.

6. A.V. Pochinsky, M.I. Polikarpov and B.N. Yurchenko, Phys.Lett. A154 (1991) 194;

7. A.A. Abrikosov, Sov.Phys. JETP 32 (1957) 1442; H.B. Nielsen and P.Olesen, Nucl.Phys. B61 (1973) 45.

8. Y. Matsubara, S. Ejiri, T. Suzuki, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 34 (1994) 176

9. T. G. Kovacs, E.T. Tomboulis, hep-lat/9808046

10. A.S. Kronfeld, M.L. Laursen, G. Schierholz, U.J. Wiese Phys. Lett. B 1981987) 516

11. M.I. Polikarpov, U.J. Wiese, M.A. Zubkov, Phys. Lett. B 309 (1993) 133

12. G. Boyb, et. al. Nucl. Phys. B469 (1996) 419

13. J. Greensite, Talk at Confinement 2000, Osaka, Japan, March 7-10, 2000; hep-lat/0005001.

14. L. Del Debbio, M. Faber, J. Giedt, J. Greensite, and S. Olejnik, Phys. Rev. D 58 (1998) 094501.

15. V.G. Bornyakov, D.A. Komarov, M.I. Polikarpov, and A.I. Veselov, Talk at Confinement 2000, Osaka, Japan, March 7-10, 2000; hep-lat/0002017.

16. Ph. de Forcrand and M. D'Elia, Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 4582; C. Alexandrou, M. M. D'Elia, and Ph. de Forcrand, hep-lat/9907028.

17. M. Faber, J. Greensite, S. Olejnik, and D. Yamada, hep-lat/9912002.

18. G.E. Volovik, Pisma Zh. Eksp. Teor. Phys. 70 (1999) 776; cond-mat/9911374.

19. M.C. Ogilvie, Nucl. Phys. Proc. Suppl., 73 (1999), 542: hep-lat/9809167

20. M.N.Chernodub, M.I. Polikarpov, and A.I.Veselov, Phys. Lett. B 399 (1997) 267; hep-lat/9610007.

21. G.S. Bali, V.G. Bornyakov, M. Müller-Preussker, and K. Schilling, Phys. Rev. D 54 (1996) 2863; hep-lat/9603012

22. M. Faber, J. Greensite, and S. Olejnik, HEP, 9901:008 (1999); hep-lat/9810008

23. T. G. Kovacs and E.T. Tomboulis, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 73 (1999) 566; hep-lat/9808046

24. A.S. Kronfeld, M.L. Laursen, G. Schierholz, and U.J. Wiese, Phys. Lett. B 198 (1987) 516

25. T.L. Ivanenko, A.V. Pochinsky, and M.I. Polikarpov, Phys. Lett. B 302 (1993) 458

26. J. Ambj0rn, J. Geidt, and J. Greensite, hep-lat/9907021

27. M. Faber, J. Greensite, and S. Olejnik, hep-lat/0005017

28. L. Streit, Functional Integrals for Quantum Theory, in H. Latal and W. Schweiger (Eds.), "Methods of Quantization", Lecture Notes in Physics LNP 572, Springer-Verlag, (Berlin, Heidelberg 2001)

29. M.N. Chernodub, F.V. Gubarev, M.I. Polikarpov, and V.I. Zakharov, Nucl. Phys. B 592 (2001) 107; hep-lat/0003138

30. V. Dzhunushaliev, D. Singleton, hep-th/9912194

31. F.Lenz, S.Woerlen, hep-th/0010099

32. M. Faber, J. Greensite, and S. Olejnik, in "Confinement, Topology, and other Non-Perturbative Aspects of QCD", NATO Advanced Research Workshop, Stara Lesna, Slovakia, 2002

33. F. V. Gubarev, A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov, S. N. Syritsyn and V. I. Zakharov, Phys. Lett. B574, 136 (2003).

34. J. Ambjorn, J. Jurkiewicz, Y. Watabiki, Nucl.Phys. B454 (1995) 313-342

35. A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov, S. N. Syritsyn, V. I. Zakharov, Phys.Rev. D71 (2005) 054511

36. M. Creutz, Quarks, gluons and lattices, Cambridge University Press, (Cambridge, 1985).

37. J.Fingberg, U.Heller, F.Karsch, hep-lat/9208012

38. B.B. Mandelbrot, "Fractals Form, Chance and Dimension" (Freeman, San Francisco, 1977)

39. D.A. Russel, J.D. Hanson, and E. Ott, Phys. Rev. Lett. 45, (1980), 1175 P. Grassberger and I. Procaccia Phys. Rev. Lett. 50 (1983), 346

40. M.I. Polikarpov Phys.Lett. B 236 (1990), 61;

41. T.L. Ivanenko, A.V. Pochinsky, and M.I.Polikarpov, Phys. Lett. B252 (1990), 631

42. V.G. Bornyakov, M.N. Chernodub, F.V. Gubarev, M.I. Polikarpov, T. Suzuki, A.I. Veselov, and V.I Zakharov, Anatomy of the lattice magnetic monopoles, hep-lat/0103032 and Phys. Lett. B.41. 't Hooft Nucl. Phys.B 190, 455 (1981).

43. M.I. Polikarpov Nucl. Phys. Proc. Suppl. 53, 134 (1997).

44. D. Diakonov, V. Petrov, Phys. Lett. В 224, 131 (1989).

45. D. Diakonov, V. Petrov hep-th/0008004.

46. K.-I. Kondo, Y. Taira,hep-th/9911242.

47. M.Faber, A. N. Ivanov, N. I. Troitskaya M. Zach, Phys. Rev. D 62, 025019 (2000).1. Часть II

48. Монополи Намбу и физика Электрослабых взаимодействий

49. Решеточная регуляризация калибровочного и Хиггсовского секторов Стандартной Модели

50. Решеточная формулировка Стандартной Модели без динамических фермионов

51. Решеточные калибровочные поля (определенные на линках решетки):

52. Г е 377(3), /7 е 577(2), ei0eU( 1). (4.1)

53. Скалярный дублет Фа, а = 1,2 (определенный на узлах решетки). Действие имеет вид:1. S = Sg + SH, (4.2)где мы обозначаем посредством Sg калибровочную часть действия, а действие для скалярного поля обозначено Sh• Мы выбираем £># в виде

54. SH = T, \ихуе~^Фу Фя|2 + £ К(|Ф,|), (4.3)ху Xгде V(r) потенциал, имеющий минимум при ненулевом значении г = \fyj2.

55. Аналог непрерывного преобразования (10.2) решеточное преобразование:1. U -> Ue~i7rN, в 0 + ttN,1. Г Ге^/3^, (4.4)где N произвольная целочисленная линковая переменная. Она представляет трехмерную гиперповерхность на дуальной решетке.

56. Для численных исследований модели с Zq симметрией мы выбираем следующее решеточное действие:

57. Наивно (4.5) имеет тот же непрерывный предел, что и следующее действие (при соответствующем выборе констант Щ):si = £ mi-\TvUp)plaquettesз2°(1 œség$( l-iReTrrp)}, (4.6)

58. Однако, (4.5) сохраняет симметрию (4.4) в то время, как (4.6) нет.

59. Гх = ei0»(x)a^ JJx — егЛм(а:)^ ei0Xifi eiBfi(x)a (4 g)

60. Здесь а длина ребра решетки. Следует отметить, что при таком опреде1. В ~лении поле В^ = где В^ общепринятое в литературе обозначение для 17(1) - поля. В непрерывном пределе (4.5) должно перейти в= I 2 х Е С?-.3 ¿92 г>з

61. X Е Щ + Лтг2 х £ Л» .}, (4.9)1. УЗ г>э

62. Здесь ^ = = - д^Вг) = 27^-, С^ = фА,- - с^-Ди = — с^С^ — 2С;, С7-. Мы также имеем соответствие между плакетными переменными и напряженностями поля:11. ТгГ1. Тг1 1. ТгСЛ1. Тг1--С>4.соб шхг/и/ = 11. С«4.4.10)

63. Теперь для установления соответствия между константами непрерывной теории <71,2,3 и ¡3 следует подставить выражения для напряженностей поля в (4.5) и сравнить с (4.9). Имеем:91т; х 2/3,1. Таким образом,1. ЫФмг = =ая =921. Л = "Г =72 033 ^ 5'14.11)11.1

64. Рис. 4.1: Фазовая диаграмма в плоскости (/3,7).

65. Модель без включения SU(3) полей 4.2.1 Определение модели

66. Потенциал для скалярного поля мы рассматриваем в Лондоновском пределе, то есть в пределе бесконечной затравочной массы Хиггса. Мы выбираем действие в виде

67. S = Р Е ((l-|Tri7pcos0p) + £(l-cos20p)) +plaquettes1. Е Фх\2 + У(|Ф|). (4.13)ху

68. S = Р Е ((1-!TWpcos6Ü + Í(1-COS20p) +plaquettes4.14)ж у

69. Здесь мы в качестве унитарной калибровки использовали Ф\ = const, Ф2 = О, а не общепринятый выбор Ф2 = const, Ф1 = 0. )

70. Мы также исследуем обычную SU(2) х U(l) модель с действием

71. S9 = Р Е ((1-%TtUp)+3(1-casOp)) +plaquettes4.15)хукоторое также приводит к 9w ~ тг/6.

72. Следующие переменные рассматриваются как рождающие квант U( 1) поля, Z бозон, и W - бозон:

73. Аху = = -ArgE^ + <9жу. mod 2тг,

74. Злу = = sin AïgU^l + 0ху. mod 2тг,1. Wxy = = иЦе~1е**. (4.16)

75. Здесь, представляет направление (ху). После фиксации унитарной калибровки остается U(l) симметрия:1. UXy ^ QxUxyQyi

76. Оху вху + ау/2-ах/2, (4.17)где дх — diag(e"*T/2, Поля A, Z, и W преобразуются следующимобразом:1. Аху АХу OLy OLx,1. ZXy ^ ZXy 31. WXy Wxye~ia(4.18)

77. Аем = A-Z' + 2sin20WZ', (4.19)25 20 3" 1.0 0 01т 0 6, Р - 2.3 о т-2.0, Р -1.4 ау- 2.0, Р - 2.31I11. JIII1

78. Рис. 4.2: V/, (а) в трех точках, принадлежащих трем разным фазам модели.8" Ю ■1. Т-'-г1. П 1 г ±1IIII1у -О 6, Р- 2.3 о у-2.0. Р-1.4 о у 2.0, Р - 2.3-а-—-*■------------<012345678

79. Рис. 4.3: Уд(а) в трех тот1ках, принадлежащих трем разным фазам модели.где = -АгфЦ + ^.гаос12тг.

80. Как и любая другая компактная калибровочная теория, наша модель содержит монополи.

81. Мы исследуем два вида монополей. /(1) монополи, извлеченные из 20 определяются как

82. Эгв = ^-*с1(^20.тод27г). (4.20)27Г

83. Кроме того, мы строим монополи из поля А. В следующей главе будет показано, что они могут рассматриваться как квантовые монополи Намбу.за = ^* (1(с1 А.то<\2тг).4.21)2.5

84. Рис. 4.4: Действие S = (S)/(6ßL4)

85. Плотность монополей определяется как:1. Elinks blink I4.22)4L4где Ь размер решетки. Для того, чтобы выявить динамику внешних заряженных частиц, мы рассматриваем Петли Вильсона в представлениях левополяризованных и правополяризованных лептонов:

86. Здесь I обозначает замкнутый контур на решетке. Мы рассматриваем следующие величины, построенные из прямоугольных петель Вильсона размераaxa:

87. Линейное поведение У(а) означало бы существование струны с ненулевым натяжением между соответствующими зарядами.42.2 Численные результаты

88. В наших исследованиях мы используем решетки ЬА для Ь = 6, Ь = 12, и Ь = 16 с симметричными граничными условиями. Ниже представлены результаты исследования модели с действием (4.13).

89. WL(0 = (ИеТгП {xy)eiUxye-ie*y), WR(Z) = (Ren^gj e~2i9xy).4.23)

90. VR,L(a) = -logW*'L(a x a)/a.4.24)05 0.4 0.3 Po.; о. о2.5

91. Рис. 4.5: Плотность электромагнитных монополей. Уменьшается в фазе Хиггса.

92. Рис. 4.6: Плотность U( 1) монополей. Она уменьшается, когда поведение правых внешних частиц не проявляет удерживающих сил.

93. Фазовая структура модели проявляется также в поведении среднего действия S = (S)/(6ßLA), представленного на рис. 4.4. Оно оказывается неоднородным в некоторой окрестности линии фазового перехода.

94. Следует отметить, что SU(2) модель Хиггса имеет сходную фазовую структуру за исключением отсутствия в ней линии фазового перехода, разделяющего фазы I и II. Известно, что в этой модели две фазы в действи

95. Различие между моделями с действием (4.15) и (4.13) иллюстрируется поведением плотности монополей, вычисленной в обеих моделях и представленной на рис. 4.7.20 1.5 г- 1.0 0.5

96. П.О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0Р

97. Рис. 4.8: Фазовая диаграмма модели в плоскости (Р, 7).

98. Модель с включением ££/(3) переменных 4.3.1 Исследуемая модель и вычисляемые величины

99. Мы рассматриваем модель с действием для калибровочного поля (4.5). Потенциал для скалярного поля рассматривается в его простейшем виде в Лондоновском пределе. После фиксации унитарной калибровки имеем:4.25)ху

100. Так же как и для модели без цветных полей мы строим величины, соответствующие полям А, полю Z бозона и полю И^ - бозона:1. Аху = = -{-0ху. тос127г,

101. КУ = — —Ащи^.у + 0ху. тос12тг, №Ху = = (4.26)

102. Здесь ¡и представляет направление (ху).

103. Для того, чтобы извлекать необходимую информацию из 311(3) полей мы используем так называемую непрямую Максимальную Центральную1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 \ 1 1 1 1 1 1 1 1 * 1 1

104. Phase 1 1 1 1 1 Phase III —1 1.1,1, * ! 1 1 1 1 1 .и Ж Phase II .1.1. 1 ,проекцию (см. главу 1).

105. Максимальная* Центральная проекция делает линковые матрицы Г возможно более близкими к элементам центра Z$ группы 5(7(3): ¿?3 = {diag(e^7ri^iV, е(2тге/з)лг где N е {1,0,-1}. Эта процедура работает следующим образом.

106. Прежде всего, максимизируем функционал

107. Qi= Е(|Гц| + |Г22| + |Гзз|) (4.27)linksпо отношению к калибровочным преобразованиям Тху —> glVxygy, фиксируя Максимальную4Абелеву проекцию.

108. Далее, делаем полученные линковые матрицы возможно более близкими к центру SU(3), делая фазы диагональных элементов максимально близкими друг к другу. Это достигается минимизацией (функционала

109. Qi = £ {1 cos(Arg(rn> - Arg(r22)). + [1 - cos(Arg(rn) - Arg(r33))]links1 cos(Arg(r22) - Arg(r33)).}. (4.28)'по отношению к калибровочным преобразованиям. Это калибровочное условие инвариантно относительно, центральной' подгруппы Z3 группы*517(3).

110. Arg(I?n) + Arg(r22) + Arg(r33))/3 6 . тг/З, тг/З],

111. Аг8(Гц) + Arg(Г22) + Аг6(Г33))/3 е .тг/3,тг], (Аг§(Гп) + Аг6(Г22) + Агё(Г33))/3 е ] тг, -тг/З]. (4.29)

112. Другими словами, N = 0 если Г близка к 1, /V = 1 если Г близка ,к е27гг/3 и N = — 1 если Г близка к е-27гг/3.

113. Рис. 4.9: У/Да) вычисленный при (3 — 0.7. Здесь потенциалы извлекаются из И^иагк5(левые кварки), (левые лептоны), и УУ^ (правые лептоны).1. ■2тг 3г2 wху "2тг . 3К