Эффективные потенциалы в квантовой теории поля при конечной температуре тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

рГб „

ОД На правах рукописи

" УДК 530.145

СТАРИНЕН Андрей Олегович

ЭФФЕКТИВНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ КОНЕЧНОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук,

профессор В.Ч.Жуковский

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук,

профессор В.В.Скобелсв (МГЗПИ)

кандидат физ.-мат. наук Б.В.Магницкий (МИРЭА)

Ведущая организация: Институт ядерных исследований РАН (г. Москва)

Защита состоится _ 1994 г..

час. на заседании Специализированного Совета К 053.05.18 по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, аудитория С^гД .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан

Я-Л/бс^Х' 1994 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета доктор физ.-мат. наук П.А. Поляков

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена изучению фазовых переходов в моделях квантовой теории поля при конечной температуре в присутствии внешнего магнитного поля и ненулевого химического потенциала. Исследование проводится методом конечнотемпературного эффективного потенциала. Результаты работы могут служить основанием для решения проблемы вычисления критических индексов в неабелевых калибровочных теориях с нарушением симметрии во внешнем магнитном поле при конечной температуре.

Актуальность темы

Исследования реалистических моделей взаимодействий элементарных частиц ( теория Вайнберга - Салама, КХД и др. ) во внешних полях при конечной температуре и плотности, указание возможности и характера фазовых переходов, происходящих в этих системах при изменении внешних условий, представляют принципиальный интерес для космологии ранней Вселенной (проблема барионной асимметрии), физики сильных взаимодействий ( проблема обоснования данных мезонной спектроскопии о наличии глюонного и кваркового конденсатов с помощью моделей непертурбативного вакуумного состояния КХД ), а также для тех астрофизических ( нейтронные звезды ) и лабораторных ( кварк -глюонная плазма в столкновениях тяжелых ионов ) систем, где соответствующие условия ( высокая температура, плотность ) реализуются. Первые работы по данной тематике выполнены еще в начале 70-х годов, и многие факты ( например, вывод о восстановлении спонтанно нарушенной симметрии (СНС) при высокой температуре ) считаются надежно установленными. Тем не менее, имеется ряд вопросов, которые, в силу технических пли принципиальных ( инфракрасная проблема в КХД ) трудностей не прояснены до сих пор. С начала 90-х годов начаты новые активные попытки учесть лидирующие в инфракрасном пределе вклады высших петель и вычислить критические индексы известных теоретико-половых моде-

лей с СНС. Первым шагом на пути к реализации этой программы является получение явных аналитических выражении для одно-петлевых конечнотемпературных эффективных потенциалов рассматриваемых систем. Этот этап, пройденный для большинства моделей еще в первоначальных работах 70-х - 80-х годов, сопряжен с определенными трудностями в случае, когда рассматриваются модели с внешним электромагнитным полем при конечной температуре. Преодоление этих трудностей является важной задачей, актуальность которой обусловлена современным состоянием конечнотемпературной квантовой теории поля.

Цель работы

состоит в получении явных аналитических выражений для эффективных потенциалов некоторых моделей конечнотемпературной квантовой теории поля -с внешним магнитным полем и ненулевым химпотенциалом, включая модели непертурбативного вакуума КХД, бозонный сектор стандартной модели электрослабых взаимодействий, а также скалярные и спинорные поля в размерностях 2, 3, 4, 21М, 2Г\Т+1, и в исследовании с помощью полученных выражений фазовых переходов в этих моделях.

Научная новизна

диссертационной работы заключается в следующем:

1. Получено явное аналитическое выражение для температурной функции Грина и тензора энергии-импульса массивного скалярного поля. Исследованы высоко- и низкотемпературные асимптотики.

2. Вычислепы дзета-функции и эффективные потенциалы комплексных скалярных и спинорных частиц во внешнем магнитном поле при конечной температуре и ненулевом хнмпотенциале в размерностях 2, 3, 4, 2Н+1. В размерностях 2, 3, 4, 5 даны явные аналитические разложения при высоких и низких температурах.

3. Методом преобразования Мсллнна впервые получено явное аналитическое выражение для однопстлсвого конечнотемпе-ратурного эффективного потенциала бозонного сектора модели Вайнберга - Салама в магнитном поле. Исследованы особенности фазовых переходов в состояние с ненарушенной симметрией. Найден новый, сингулярный минимум эффективного потенциала, изучены его свойства при различных параметрах модели. Впервые получена формула, выражающая зависимость критической температуры восстановления СНС от напряженности внешнего магнитного поля, построены соответствующие фазовые кривые.

4. Явно вычислены однопетлевые конечнотемпературные эффективные потенциалы двух моделей непертурбативного вакуума КХД - модели Матиняна-Саввиди и модели Кабо - Шабада. В модели Матпняна - Саввиди установлено отсутствие на одно-петлевом уровне фазового перехода в состояние вакуума теории возмущений, что разрешает противоречия предыдущих работ.

Практическая ценность

диссертации определяется тем, что полученные результаты могут быть применены в дальнейших исследованиях свойств ко-нечнотемпературных теоретико-полевых моделей. В частности, полученные явные выражения для одпопетлевых эффективных потенциалов в неабелевых калибровочных теориях с СНС в магнитном поле могут использоваться как базисные при проведении программы перссуммировання с учетом вкладов многопетлевых диаграмм.

Апробация диссертации

Основные результаты диссертации докладывались на сессии ОЯФ АН СССР (г. Москва, 1990 г.), V Школе молодых ученых МГУ "Элементарные частицы и внешние поля" (г.Ярославль, 1992 г.), VI Ломоносовской конференции "Космомнкрофпзнка и калибровочные поля" (г.Москва, 1993 г.), на семинарах кафедры

теоретической физики физического факультета МГУ. По материалам, вошедшим в диссертацию, сделаны доклады на II международном семинаре "Quantum Field Theory under the influence of External Conditions" (г.Лейпциг, ФРГ, 1992 г.), на 2-м Фрид-мановском семинаре по гравитации и космологии (г. Санкт-Петербург, 1993 г.), а также на научном семинаре физического факультета Висконсинского университета ( Мэдисон. США, 1990 г.).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано б работ ( см. список работ в конце автореферата ).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит го четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего________наименований, и двух приложений.

Общин объем_______страниц, в работе имеется _________рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава диссертации является вводной. В ней кратко формулируются общие принципы квантовой теории поля при конечной температуре и плотности, приводятся основные определения и соотношения, используемые в дальнейшем. Обсуждаются современное состояние п генезис некоторых открытых проблем этого научного направления.

Вторая глапа разделена на дна параграфа. В § 2.1, часть которого носит методический характер, приведена формулировка метода дзета-функции при конечной температуре, основанная на результатах спектральной геометрии (формула С.А.Молча,нова). Метод иллюстрируется двумя примерами, в первом из которых вычисляются дзета-функция и эффективный потенциал свободного комплексного скалярного поля при конечной температуре,

С)

во втором - температурная функция Грина и тензор энергпи-импульса комплексного скалярного поля в формализме мнимого времени. При т/Т < 1 ( т - масса частиц, Т - температура ) даны явные аналитические выражения для эффективного потенциала, функции Грина и плотности энергии. Вычислены низкотемпературные (T/m <С 1) асимптотики.

В §2.2 вычислены дзета-функции и эффективные потенциалы комплексных скалярных и спинорных частиц во внешнем постоянном магнитном поле и постоянном поле Л о (которое формально - с точностью до —? - соответствует химическому потенциалу) и размерностях 2,3,A,2N,2N+ 1. Даны представления в виде контурных интегралов. В размерностях 2,3,4,5 даны явные выражения для высоко- и низкотемпературных разложений.

Третья глава посвящена исследованию бозонного сектора стандартной модели электрослабых взаимодействий по внешнем магнитном поле при конечной температуре и ненулевом химическом потенциале. В ./^-калибровке вычислен однопетлепои эффективный потенциал, для которого с помощью преобразования Меллина получено явное аналитическое выражение при < Т, Mw < Т, Mh < Т, с II < Т'2. В высокотемпературном пределе (Mz° < Т, Mh < Т, е# <С Т2) эффективный потенциал как функция хиггсовского конденсата ф, температуры Т, магнитного поля Н и химпотенциала /г имеет вид

Г

12тг

(M'i + 3М32о) + ~ -f- ell - fill

- It2 + ell +

1 1Сж' Щ >\ +7(сНу)' 1тУеП(ф, Г, //,/,) = - +

Здесь А и т — параметры затравочного хиггсовского лагранжиана.

В диссертации анализируются свойства эффективного потенциала и его сингулярного минимума при различных значениях магнитного поля, температуры и химпотенциала. Приведены соответствующие графики (см. рис. 1 -4 ).

Комментарий к графикам 1- 4 :

Кривые 1, 2, 3 на рис.1 изображают эффективный потенциал при различных значениях температуры Т\ < Тч < Тз, фиксированном значении напряженности магнитного поля Н и нулевом химическом потенциале. Сингулярный минимум обозначен буквой А. На кривой 1 четко различимы все три минимума эффективного потенциала. В области слева от точки А мнимая часть эффективного потенциала отлична от нуля и результаты однопетлевого приближения ненадежны.

На рис. 2 изображен эффективный потенциал при различных значениях напряженности магнитного поля Н\ < Н-2 < Нц. фиксированном значении температуры и нулевом химическом потенциале. С ростом напряженности магнитного поля сингулярный мпниммум смещается вправо, поглощает "полевой" минимум и "вытесняет" хиггсовский.

Рис. 3 соответствует эффективному потенциалу при фиксированных Т и II и двух значениях конденсатного поля Ао, Л о, < Лс,г

На рис. 4 показан эффективный потенциал при фиксированных ГиЯи двух значениях химического потенциала /<, ц\ < щ.

Далее в Главе III обсуждается возможность учета вклада многопетлевых диаграмм. На основании анализа явного выражения для эффективного потенциала предлагается применить процедуру пересуммирования ряда конечнотемпературной теории возмущений к неабелевым калибровочным теориям с внешним полем.

\ /

ОС 0 2

V/ ;

Pue. 1

-ЮОООО

1 J

- ?oooo 0 -

0 6 о

Pue .2

Рас . 3 ^uc . 4

S

Приведено решение "£ар-с^иа1,юп" для массы хнггсовского бозона. Получено аналитическое выражение для критической температуры исчезновения хнггсовского минимума (правый минимум на рис.1)

7с,(Я) = Т0с

2т2 (0) еЯ

УМ1(0)Т1

при еН -С Т2, а также для критической температуры фазового перехода в состояние с глобальным минимумом при ф — 0 (кривая 3 на рис.1)

ТС,(Н) = Т0с

2сЯ уГШ 1 + к2^ + к-—-

10с с

где к = С—известная константа. В приведенных формулах Тос — критическая температура восстанопления^ЛТС в минимальной стандартной модели при нулевом поле гМулевон температуре,

гг 2т

-

У — 2Х+ |</2 + \д'2 + /у, где д, д' и /у, соответственно, - - константы связи 51/(2), 11( 1) и фермионного взаимодействий, т/,(0) и Му/{0) --■ массы хнггсовского и И' бозонов при Т — 0, Н — 0. Построены соответствующие фазовые диаграммы.

В четвертой главе диссертации рассмотрены свойства двух моделей непертурбативпого вакуума КХД при конечной температуре -- модели Матиняна - Саввиди (МБ) и модели Кабо - Шабада (КБ).

В §4.1 исследуется система МБ, в которой вакуум моделируется некоторой домепной структурой, аналогичной структуре макроскопического ферромагнетика, причем каждый из доменов заполнен однородным хромомагнитным полем. При рассмотрении модели МБ в §4.1 дополнительно предполагается наличие конден-сатного поля /и,, которое, как известно, при ненулевой температуре не может быть уничтожено калибровочным преобразованием.

Получено явное выражение для конечнотемпературного эффективного потенциала. При Т \/дН (Я - напряженность хромо-магнитного поля, <7 - константа связи сильных взаимодействий ) это выражение принимает следующий вид

ПеУе„(ф,Т,дА0) = + 8(дА0,Т) - --^ф'Т +

где д(Т) - бегущая константа связи, 4>1 ~ дН играет роль параметра порядка, 5"(<7Лц, Т) и Р{и) - известные функции, и = +

Даже при сверхвысоких температурах эффективный потенциал обладает нетривиальным минимумом

\1а нпы = д2(Т)ГС(\) дАо = -72(Т)ТУЛС(А),

где А = (ф^-)2 " фиксированный параметр, £?(А) известная функция. Этот минимум стабилен (1тУсц •■= 0) при А > 1.

Исследуется также низкотемпературная асимптотика эффективного потенциала. При низких температурах мнимая часть эффективного потенциала демонстрирует нетривиальное осцилля-торное поведение ( см. рис. 5 ).

В заключение §4.1 обсуждается влияние вкладов многопетлевых диаграмм в инфракрасном пределе на результаты однопе-тлевого приближения.

В §4.2 исследуется модель К.З непертурбативного вакуума КХД. Ее отличие от модели МБ состоит в том, что заполняющее домепы хромомагннтное поле генерируется в данном случае неабелевой конфигурацией потенциалов, которые являются решением уравнений Янга - Миллса с внешним током. Вычислен однопетлевой эффективный потенциал этой модели при конечной температуре

3 ил а?Т'1 Оа"1 ! 4тУ \ , я2Т1 , аг

+

Ш ?

CD

О

u

где 7 - постоянная Эйлера, ац- точка нормировки. Второй член п этом выражении отрицателен, в связи с чем эффективный потенциал приобретает нетривиальный минимум при конечной температуре. Наличие этого члена связано с нарушением калибровочной инвариантности в модели КБ.

В Заключении сформулпровапы основные результаты, полученные в диссертации.

В Приложении 1 кратко излагается широко используемый в диссертации метод суммирования рядов специальных функций с помощью преобразования Меллина.

В Приложении 2 для удобства читателей дана сводка формул п свойств некоторых функций, используемых в диссертации.

Основные результаты диссертации

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Дана геометрическая интерпретация метода дзета-функции при конечной температуре. Этим методом вычислена температурная функция Грина комплексного скалярного поля в формализме мнимого времени и соответствующий ей тензор энергии-импульса. Исследованы их асимптотики.

2. Вычислены дзета-функции и эффективные потенциалы комплексных скалярных и еппнорных частиц по внешнем постоянном магнитном поле и постоянном поле Ад при конечной температуре в размерностях 2,3,4,2Л',2ЛГ + 1. В размерностях 2,3,4,5 даны явные аналитические выражения при высоких и низких температурах.

3. Получено явное аналитическое выражение для однопетле-вого конечнотемпературного эффективного потенциала бозонно-го сектора стандартной модели электрослабых взаимодействий во внешнем магнитном поле при непулевом химическом потенциале. Исследованы свойстпа эффективного потенциала при различных значениях магнитного поля, температуры и химпотен-циала. Найден новый, сингулярный, минимум эффективного потенциала, обязанный своим происхождением "тахионной" моде п

Г!

спектре калибровочного бозона в магнитном поле. Получена формула, выражающая зависимость критической температуры восстановления СНС от напряженности внешнего магнитного поля, построены соответствующие фазовые кривые.

4. Вычислен и исследован однопетлевой эффективный потенциал модели Матиняна - Саввиди непертурбативного вакуума КХД при конечной температуре. Установлено отсутствие фазового перехода в состояние вакуума теории возмущений.

5. Вычислен и исследован однопетлевой эффективный потенциал модели Кабо - Шабада непертурбативного вакуума КХД при конечной температуре. Найден нетривиальный минимум эффективного потенциала в области высоких температур.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Вшивцев A.C., Жуковский В.Ч., Старииец А.О. Термодинамические потенциалы кварков и глюонов в постоянных хромомагнитных полях // Препринт 32-90. Томск, Томский научный центр СО АН СССР, 1990. - 44 С.

2. Вшивцев A.C., Жуковский В.Ч., Старинсц А.О. Стандартная SU(2)xU(l) .модель во внешнем магнитном поле при конечной температуре и ненулевом химическом потенциале // Препринт 44-91. Томск, Томский научный центр СО АИ СССР, 1991. - 22 С.

3. Вшивцев А С., Жуковский В.Ч., Старинец А.О. Температурная функция Грина массивных скалярных частиц при конечной плотности вещества // Изв. ВУЗов.Физика- 1991.- N 7. - С.32-40

4.Вшивцев A.C., Жукопский В.Ч., Старинец А.О. Поляризация вакуума нсаСелевым сферически-симметричным хромомагнитным полем при конечной температуре // Изв.ВУЗов.Физика,- 1992.- N 11. - С.65-71

5. Vshivtsev A.S., Zhukovskii V.Ch., Starincts A.O. The Standard SU(2)xU(l) model in an external magnetic field at finite temperature and nonzero chemical potential // Z. Phys. С - Particles and Fields.-1994.- V. 61.-N 2,- P. 285 - 291

6. Starincts A.O., Vshivtsev A.S., Zhukovskii V.Ch. Color ferromagnetic state in SU(2) gauge theory at finite temperature // Phys.Lett.B. - 1994.- V.322.-N 4.-P. 403 - 412