Стандартные базисы идеалов свободных супералгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

1 Базисы свободных лево-симметричных супералгебр

1.1 Свободная лево-симметричная супералгебра

1.2 Части слова и приведенные слова.

1.3 Теорема о базисе свободной лево-симметричной супералгебры.

2 Стандартные базисы идеалов свободных суперкоммутативных алгебр

2.1 Свободные суперкбммутатйвные алгебры.

Алгоритм деления

2.2 Стандартные базисы, однородные по градуирующей полугруппе G.

2.3 Алгоритмы построения однородных стандартных базисов.

2.4 Неоднородные стандартные базисы.

2.5 Алгоритмы построения неоднородных стандартных базисов.

2.6 Пример.

2.7 Эндоморфизмы свободных суперкоммутативных алгебр.

3 Инволютивные базисы свободных алгебр

3.1 Мультипликативные и немультипликативные переменные. Алгоритм инволютивного деления,.

3.2 Инволютивные базисы.

3.3 Критерий инволютивного базиса.

3.4 Инволютивный аналог леммы о композиции для свободных цветных супералгебр Ли

Данная работа относится к теории колец и некоммутативной компьютерной алгебре, она посвящена построению канонических базисов идеалов свободных супералгебр, разработке алгоритмов и применению техники стандартных базисов в некоторых задачах, связанных со свойствами свободных супералгебр.

Изучение алгебраических систем, заданных образующими и определяющими соотношениями, началось в начале 20-го века. К настоящему моменту комбинаторная алгебра представляет собой активно развиваемое направление, наблюдается большой интерес к компьютерным аспектам комбинаторной алгебры.

Успешное применение компьютеров в последние 20-30 лет возобновило интерес к эффективным алгебраическим конструкциям. Были пересмотрены конструктивные результаты, полученные в прошлом, что привело к формированию новой самостоятельной области — компьютерной алгебры (см., например, монографии [18], [9], [36]).

Наиболее разработанным в настоящее время является коммутативный случай (за последнее время вышел ряд монографий, посвященных технике канонических базисов идеалов колец многочленов, так называемых базисов Греб-нера, [10], [21], [25], [29]). Широко известный термин - базис Гребнера - был введён для обозначения стандартного базиса идеала кольца многочленов от могих переменных Б. Бухбергером в [29]. Общая теория коммутативных базисов Гребнера и её применения содержатся в монографиях [21], [25].

В этой связи хочется вспомнить недавнюю работу [63] Д.Шэннона и М.Свидлера, в которой рассматривается одно из интересных применений техники базисов Гребнера. В частности, построен алгоритм, позволяющий для данных полинома и множества элементов алгебры многочленов определить, допускает ли он представление в виде полинома от этих элементов как новых переменных, и, в случае положительного ответа, найти это представление в явном виде. Описанный алгоритм также позволяет вычислять обратные отображения для автоморфизмов колец многочленов.

Обратим наше внимание на еще один интересный сюжет, касающийся применений техники базисов Гребнера. Методы, использующие базисы Гребнера, стали в настоящее время одним из наиболее универсальных алгоритмических инструментов при анализе и решении полиномиальных уравнений (см., например, [5], [25]). С другой стороны, к началу 20-х годов К.Рикье [58] и М.Жане [40] заложили основы конструктивного подхода к алгебраическому анализу уравнений с частными производными. Позднее Ж.Томасу [64] и Ж.Поммаре [56] удалось развить эти методы. Главная идея, как и при вычислении базисов Гребнера, заключается в приведении данной системы дифференциальных уравнений к некоторому специальному виду, на этот раз к так называемой инволютивной форме. Но в отличие от методов, основанных на теории базисов Гребнера, инволютивный подход предполагает разделение независимых переменных на две отдельные группы: мультипликативные и немультипликативные. Такое разделение определяется структурой старших производных членов в уравнениях системы. При этом М.Жане [40], Ж.Томас [64] и Ж.Поммаре [56] использовали различные способы разделения переменных. А.Ю.Жарков и Ю.А.Блинков [66] впервые поставили вопрос о применении в коммутативной алгебре инволютивной техники. Основываясь на данном Ж.Поммаре определении мультипликативных и немульти-пликатиных переменных, они доказали среди прочего, что инволютивный базис является базисом Гребнера специального вида. Более того, их компьютерные эксперименты показали, что в случае конечности, новый алгоритм для вычисления инволютивных базисов достаточно эффективен. Кроме того, оказалось, что инволютивная форма Поммаре базиса Гребнера имеет ряд других хороших свойств. В работах В.П.Гердта (см., например, [32]) разработаны общие алгоритмические основания инволютивного подхода в компьютерной алгебре и введен ряд новых понятий, которые позволяют далее изучать инволютивные алгоритмы.

В последнее время значительно возрос интерес к некоммутативной компьютерной алгебре (см., например, [4], [10], [22], [23], [27], [37], [49], [50], [19]). С этой точки зрения особый интерес представляют конечно определенные алгебраические системы, то есть системы, заданные конечным числом образующих и определяющих соотношений. Канонические формы элементов различных алгебраических систем неоднократно использовались для решения алгоритмических проблем. Истоки таких исследований лежат в теории (полу)групп, теории графов, теории колец многочленов (см., например, [38], [53]).

В некоммутативном случае различные варианты леммы о композиции (о слиянии) применялись в свободных неассоциативных алгебрах (А.И.Жуков [8]), в свободных ассоциативных алгебрах (Л.А.Бокуть [4], Дж.Бергман [27], Д.Аник [22], В.П.Латышев [10], Е.С.Голод [34]). Стандартные базисы идеалов свободных алгебр Ли (техника композиции) восходят к А.И.Ширшову [20] (детали и применения этой техники смотрите также в [24], [28], [10], [48], [19]). Техника композиции и стандартные базисы в (цветных) супералгебрах Ли были разраотаны А.А.Михалёвым в [16], [47], [17], (смотрите также монографии [24], [48]). Другой подход предложили В.П.Гердт и В.В.Корняк в [33]. Перечисляем также монографии [22], [23], [26], [27], [4], [29], [34], [35], [41], [43], [44], [45], [10], [49], [50], [51], [52], [54], [55], [19], [65] на тему различных типов некоммуативных (ассоциативных) стандартных базисов.

В связи с возникновением в 70-х годах новой области математики — теории супермногообразий, которая стимулировалась задачами теоретической физики, в алгебре получили развитие теория супергрупп и супералгебр Ли (см. [2], [11], [12], [60]). Отметим, что в супералгебрах нашли свое дальнейшее развитие многие идеи и методы работы с градуированными объектами в теории групп, теории колец и гомологической алгебре.

Идея рассмотрения наряду с коммутирующими анти-коммутирующих переменных восходит к Грассману (1844) и Клиффорду. Сейчас в теории деформаций алгебраических структур, в частности, в теории квантовых групп, квантовые полиномиальные кольца являются очень популярными объектами (например [1], [7], [46], [62]). В действительности квантовые полиномиальные кольца есть частные случаи разрешимых полиномиальных колец, которые были введены А. Кандри-Роди и В. Вайсфеннин-гом в [41]. Теория базисов Гребнера и их приложений уже разработана для этих алгебр (смотрите [23], [41], [43], [44], [45], [50], [52]). Комбинаторные свойства некоторых типов обобщённых полиномиальных колец были изучены Л.А.Бокутем в [3].

Обобщённые алгебры Ли (е-алгебры Ли, цветные супералгебры Ли) впервые появились в работе Р.Ри [57] (смотрите также монографию [39] Н.Джекобсона, где упоминались слабо замкнутые подмножества ассоциативных алгебр). Позднее эти алгебры естественным образом возникли в математической физике (смотрите [59], [60]). Разработка комбинаторной теории цветных супералгебр Ли была начата А.А.Михалёвым в статьях [13] - [16]; введение в эту теорию содержится в следующих двух монографиях: Ю.А.Бахтурина, М.В.Зайцева, А.А.Михалева и В.М.Петроградского [24], и А.А.Золотых и А.А.Михалева [48]. По общей теории супералгебр Ли следует упомянуть монографии М.Шойнерта [60], Ф.А.Березина [2], Д.А.Лейтеса [11], Б. де Витта [30].

Целью настоящей работы является изучение некоторых комбинаторных вопросов, касающихся свободных лево-симметричных супералгебр, свободных суперкоммутативных алгебр, свободных цветных супералгебр Ли: а) построение канонических базисов; б) разработка алгоритмов; в) некоторые применения техники стандартных базисов в задачах, связаных со свободными супералгебрами.

Основными результатами диссертации являются следующие:

1) построен линейный базис свободной лево-симметричной супералгебры (Теорема 1);

2) вводятся стандартные базисы идеалов свободных суперкоммутативных алгебр К£[Х] (е-базисы Гребнера), доказаны критерии того, чтобы подмножества элементов однородных и неоднородных по градуирующей полугруппе G идеалов являлись стандартными базисами этих идеалов (Теоремы 4, 5);

3) в терминах стандартных базисов найдено необходимое и достаточное условие сюръективности эндоморфизма свободной суперкоммутативной алгебры Ке[Х] (Теорема 8);

4) вводятся инволютивные базисы свободной ассоциативной алгебры, доказан критерий того, чтобы непустое подмножество идеала являлось инволютивным базисом этого идеала (Теорема 11).

На основе этих результатов получены следующие алгоритмы:

1) алгоритм деления (Алгоритм 1) в алгебре К£[Х], алгоритмы построения стандартного (Алгоритмы 2, 4) и редуцированного стандартного (Алгоритмы 3, 5) базиса однородного и неоднородного идеалов соответственно (Глава 2);

2) алгоритм инволютивного деления в свободной ассоциативной алгебре (Алгоритм 6) (Глава 3).

Работа носит теоретический характер. Полученные алгоритмы могут быть использованы в системах компьютерной алгебры для символьных вычислений в алгебрах и супералгебрах, заданных образующими и определяющими соотношениями.

Результаты диссертации докладывались на алгебраических семинарах МГУ, на семинарах в университете Париж-7, на международной алгебраической конференции памяти А.Г.Куроша (Москва 1998, [70], [71]), на международном конгрессе математиков (Берлин 1998, [72]), на Второй международной алгебраической конференции Тайнан-Москва (Тайвань 1997), на Международном алгебраическом конгрессе (Тайвань 1997), на международном конгрессе по алгебре и комбинаторике (Гонконг 1997), на международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ (Москва 1999, [73]), на международной конференции "Полугруппы: теория и приложения" в честь профессора Б.С.Ляпина (С.-Петербург 1999 [74]).

Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах автора [67]—[75], список которых приведен в конце диссертации.

Диссертация изложена на 85 страницах и состоит из введения и 3 глав. Библиография содержит 75 наименований.

1. В. А. Артамонов, Проективные модули над квантовыми полиномиальными алгебрами. Матем. Сб. 185 (1994), по 5, 3-12.

2. Ф. А. Березин, Введение в алгебру и анализ с антикомму тирующими переменными. М., Изд. МГУ 1983.

3. JI. А. Бокуть, Теоремы о факторизации для некоторых классов колец без делителей нуля. Алгебра и логика 4 (1965), по 4, 25-52.

4. JI. А. Бокуть, Вложения в простые ассоциативные алгебры. Алгебра и логика 15 (1976), 117-142.

5. Б. Бухбергер, Базисы Гребнера. Алгоритмический метод в теории полиномиальных идеалов. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. М., Мир, 1986, 331-372.

6. Э. Б. Винберг, Теория однородных выпуклых конусов. Труды Моск. матем. об-ва, 12 (1963), 303-358.

7. Е. Е. Демидов, Некоторые вопросы теории квантовых групп. УМН 48 (1993), по 6, 39-74.

8. А. И. Жуков, Приведенные системы определяющих отношений в неассоциативных алгебрах. Матем. Сб. 27 (1950), 267-280.

9. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. М.: Мир, 1986.

10. В. Н. Латышев, Комбинаторная теория колец, стандартные базисы. М.: Изд. МГУ, 1988.

11. Д. А. Лейтес, Теория супермногообразий. Петрозаводск, КФ АН СССР, 1983.

12. Ю. И. Манин, Калибровочные поля и комплексная геометрия . М., Наука (1984)

13. А. А. Михалев, Подалгебры свободных цветных супералгебр Ли. Матем. заметки 37 (1985), по. 5, 653-661. English translation: Math. Notes 37 (1985), 356-360.

14. А. А. Михалев, Свободные цветные супералгебры Ли. Докл. АН СССР 286 (1986), по. 3, 551-554. English translation: Soviet Math. Dokl. 33 (1986), 136-139.

15. А. А. Михалев, Подалгебры свободных цветных р-супералгебр Ли. Матем. заметки 43 (1988), по. 2, 178-191. English translation: Math. Notes 43 (1988), 99-106.

16. А. А. Михалев, Лемма о слиянии и проблема равенства для цветных супералгебр Ли. Вестник МГУ, серия I Мат. Мех. 1989, по. 5, 88-91. English translation: Moscow Univ. Math. Bull. 44 (1989), 87-90.

17. А. А. Михалев, Техника композиции А.И.Ширшова в супералгебрах Ли (некоммутативные базисы Греб-нера). Труды семин. Петровского, 18 (1995), 277-289.

18. А. В. Михалев, Е. В. Панкратьев,Компьютерная алгебра. Вычисления в дифференциальной и разностной алгебре. М.: Изд-во МГУ, 1989.

19. В. А. Уфнаровский, Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре. Итоги науки и техн. Совр. пробл. матем. Фундам. напр. т.57, М.: ВИНИТИ, 1990, 5-177.

20. А. И. Ширшов, Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли. Сиб. Мат. Ж. 3 (1962), 292-296.

21. W. W. Adams and Ph. Loustaunau, An Introduction to Grobner Bases. Amer. Math. Society, Providence, Rhode Island, 1994.

22. D. I. Anick, On the cohomology of associative algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 296 (1986), 641-659.

23. J. Apel, W. Lassner, An extension of Buchberger's algorithm and calculations in enveloping fields of Lie algebras. J. Symbolic Comput. 6 (1988), 361-370.

24. Yu. A. Bahturin, A. A. Mikhalev, M. V. Zaicev, and V. M. Petrogradsky, Infinite Dimensional Lie Super-algebras. Walter de Gruyter Publ., Berlin, New York, 1992.

25. Т. Becker and V. Weisphenning, in cooperation with H. Kredel, Grobner Bases. A computational approach to commutative algebra. Springer-Verlag, Berlin, New York, 1993.

26. A. Ya. Belov, V. V. Borisenko, and V. N. Latyshev Monomial Algebras. Contemp. Mathematics and it's Applications, Plenum, New York, v. 26, 1995. 465-479.

27. G. M. Bergman, The diamond lemma for ring theory. Adv. Math. 29 (1978), 178-218.

28. L. A. Bokut' and G. P. Kukin, Algorithmic and Combinatorial Algebra. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1994.

29. B. Buchberger, Ein algorithm zum auffinden der basise-lemente des restklassenringes nach einem nulldimen-sionalen polynomideal. Ph. D. Thesis, Ihnsbruch, 1965.

30. B. DeWitte, Supermanifolds. Cambrige Univ. Press (1984).

31. R. Dipper and S. Denkin, Quantum GL(n). Proc. London Math. Soc., Ser. (3) 63 (1991), 165-211.

32. V. P. Gerdt and Yu. A. Blinkov Involutive Bases of Polynomial Ideals. Preprint-Nr./1996, Naturwissenschaftlich-Theoretisches Zentrum, University of Leipzig. Submitted to J. Syrnb. Сотр.

33. V. P. Gerdt and V. V. Kornyak, Construction of finitely presented Lie algebras and superalgebras. J. Symbolic Comput. 21, (1996), 337-349.

34. E. S. Golod, Standard bases and homology . Lect. Notes Math. 1352 (1988), 88-95.

35. E. S. Golod, Standard bases and homology . (2) Proc. Steklov Math. Inst, of RAN 208 (1995), 106-110.

36. R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. New York: Addison-Wesley, 1994.

37. E. L. Green, An introduction into noncommutative Groebner bases . Comput. Algebra.—Marcel Dekker (1993), 167-190.

38. G. Hermann, Die Frage der endlichen vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale . Math. Ann. 95 (1926), 736-788.

39. N. Jacobson, Lie Algebras. Wiley, New York, 1962.

40. M. Janet, Sur les Systemes d'Equations aux Derivees Partielles, J.Math. Pure et Appl. 3 (1920), 65-151.

41. A. Kandry-Rody and V. Weispfenning, Non-commutative Grobner bases in algebras of solvable type. J. Symbolic Comput. 9 (1990), 1-26.

42. S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry. New York:Interscience. 1 (1963).

43. H. Kredel, Computing in polynomial rings of solvable type. In iv Int. Conf. on Сотр. Algebra in Phys. Research, World Scientific, Singapore, 1991, 211-235.

44. H. Kredel, Solvable polynomial rings. Dissertation, Univ. Passau, Passau, 1992.

45. H. Kredel and V. Weispfenning, Parametric Grobner bases for noncommutative polynomials. In iv Int. Conf. on Сотр. Algebra in Phys. Research, World Scientific, Singapore, 1991, 236-244.

46. Yu. I. Manin, Multiparametric quantum deformation of the general linear supergroup . Commun. Math. Phys. 123 (1989) 163-175

47. A. A. Mikhalev, The composition lemma for color Lie superalgebras and for Lie p- superalgebras. Contemp. Math. 131.2 (1992), 91-104.

48. A. A. Mikhalev and A. A. Zolotykh, Combinatorial Aspects of Lie Superalgebras. CRC Press, Boca Raton, New York, 1995.

49. T. Mora, Grobner bases for noncommutative polynomial rings. Proc. AAECC 3, Lect. Notes Comput. Sci., 229 (1986), 353-362.

50. T. Mora, Seven Variations on Standard Bases. Preprint 45. Dipart. Mat. Univ. Genova, 1988, 81pp.

51. T. Mora, Grobner bases in noncommutative algebras. Proc. ISSAC'88, Lect. Notes Comput. Sci. 358 (1988), 150-161.

52. T. Mora, An introduction to commutative and noncommutative Grobner bases. Theor. Сотр. Science. 134 (1994), 131-173.

53. М. Н. A. Newman, On theories with a combinatorial definition of "equivalence". Ann. of Math.(2), 43/2 (1942), 223-243.

54. M. Pesch, Grobner bases in rings of substitution operators. Proc. of the Rhine Workshop on Computer Algebra. Univ. Karlsruhe, 1994, 138-143.

55. M. Pesch, Two-sided Grobner bases in iterated Ore extensions. Preprint MIP-9602, Univ. Passau, 1996.

56. J. F. Pommaret, Systems of Partial Differential Equations and Lie Pseudogroups. Gordon Sz Breach, New York, 1978.

57. R. Ree, Generalized Lie elements. Canad. J. Math., 12 (1960), 493-502.

58. C. Riquier, Les Systemes d'Equations aux Derivees Par-tielles. Gauthier-Villars, Paris (1910).

59. V. Rittenberg and D. Wyler, Generalized superalgebras. J. Nucl. Phys. B. 139 (1978), 189-202.

60. M. Scheunert, Generalized Lie algebras. J. Math. Phys. 20 (1979), 712-720.

61. D. Segal, Free left-symmetric algebras and an analogue of the Poincare-Birkhoff-Witt theorem. J. Algebra. 164 (1994), 750-772

62. A. Sudbery, Consistent multiparameter quantization of GL(n). Preprint.

63. D. Shannon and M. Sweedler, Using Grobner Bases to Determine Algebra Membership, Split Surjective Algebra Homomorphisms Determine Birational Equivalence. J. Symbolic Comput. 6 (1988), no 2-3, 267-273.

64. J. Tomas, Differential Sytems. American Mathematical Society, New York(1937).

65. V. Weispfenning, Finite Grobner bases in non-Noetherian skew polynomial rings. Proc. ISSAC'92, ACM Press, New York, 1992, 329-334.

66. А. А. Михалев, Е. А. Васильева, Свободные лево-симметричные суперабгебры. Фундамент, и Прикл. Матем. 2 (1996), 611-613.

67. A. A. Mikhalev and Е. A. Vasilieva, Standard bases of free supercommutative polynomial algebras (e- Grobner bases). Proceedings of 2nd International Tainan-Moscow Algebra Workshop, Springer-Verlag, Hong Kong, 1999, 108-126.

68. E. А. Васильева, Инволютивные базисы свободных абгебр. Фундамент, и Прикл. Матем. т. 5, 4 (1999), 993-1002.

69. A. A. Mikhalev А. V. Seregin and Е. A. Vasilieva, Standard bases of ideals of universal enveloping algebras of Lie superalgebras. Kurosh Algebraic Conference'98, Abstracts of Talks, Moscow, (1998), 86.

70. E. А. Васильева, Инволютивный подход к ассоциативным алгебрам. Kurosh Algebraic Conference'98, Abstracts of Talks, Moscow, (1998), 150.

71. Vasilieva Ekaterina A. Involutive Bases of Free Algebras. International Congress of Mathematitians ICM 1998, Abstracts of Short Communications and Poster Sessions, Berlin, (1998), 31.

72. E. А. Васильева, Инволютивные методы в ассоциативных абгебрах. Тезисы докладов. Международный алгебраический семинар, посвященный 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ (10-12 февраля 1999), 11.

73. Е. А. Васильева, Некоторые свойства инволютив-ных делений в свободных ассоциативных абгебрах. Международная конференция "Полугруппы: теория и приложения" в честь профессора Е.С.Ляпина. Тезисы докладов. Санкт-Петербург, (1999), 74.

74. Е. А. Васильева, Эндоморфизмы свободных суперкоммутативных абгебр. УМН 1, (2000) , т. 55.)льэ-ио.