Свободные частично коммутативные супералгебры Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФЛК^Я^ГЕТ^ Д

Добрынин Николай Алексеевич

На правах рукописи УДК 512.554

Свободные частично коммутативные супералгебры Ли

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел.

Авторефер а т

по диссертации на соискание

учёной степени кандидата физико-математических наук.

Москва, 2000 —

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научные руководители — доктор физико-математических наук,

профессор А. В. Михалёв,

— доктор физико-математических наук, А. А. Михалёв.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор А. А. Туганбаев,

— кандидат физико-математических наук, А. А. Золотых.

Ведущая организация — Московский Педагогический Государственный Университет.

Защита диссертации состоится " " _, 2000г.,

в 16ч. 15мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу:

119899, ГСП, Москва Воробьёвы Горы, МГУ, механико-математический факультет аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14-й этаж).

Автореферат разослан 1+ " 2000г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ: /

доктор физико-математических наук, 1 / ,

профессор

/3 , 5^6) 03

¿3 /¿Л , ¿^

В. Н. Чубарпков.

Общая характеристика работы

Актуальность тематики. В настоящее время комбинаторная алгебра (комбпнаторпая теория групп, колец и т. д.) представляет собой активно развивающееся направление с широким спектром приложении как в алгебре, так и за пределами её. Интенсивно развивается алгоритмическая теория алгебраических структур, исследующая существование алгоритмов для решения определённого класса задач (проблемы равенства и вхождения слов, изоморфность, построение линейных базисов, и т. д.). Большой вклад в этой области принадлежит Д. Нильсену, О. Шрайеру, В. Магнусу, А. Г. Курошу, А. И. Мальцеву, Р. Линдону, М. Шутценберже, Ф. Холлу, М. Холлу, А. А. Маркову, П. С. Новикову, С. И. Адяну, А. И. Кострикину, А. Л. Шмелькину, А. Ю. Ольшанскому, Ю. А. Бахтурипу, Е. И. Зельмано-ву, А. И. Ширшову, Е. Вптту, Л. А. Бокутю, В. Н. Латышеву, В. Н. Реме-сленникову, К. Ройтенауеру, А. Р. Кёмеру, О. Г. Харлампович, А. А. Михалёву и др.

Успешное применение компьютеров в последние 20—-30 лет возобновило интерес к эффективным алгебраическим конструкциям. Былп пересмотрены конструктивные результаты, полученные ранее, что привело к формированию новой самостоятельной области — Компьютерной алгебры, — выросшей па стыке математики, вычислительной математики и программирования.

При исследовании в компьютерной алгебре одним из основных моментов является построение алгоритмов, допускающих компьютерную реализацию. Хотя наиболее разработанным в настоящее время является коммутативный случай, за последние несколько лет возрос также интерес к некоммутативной компьютерной алгебре, что вызвано как потребностями внутри алгебры, как таковой, так и разнообразными приложениями в теории дифференциальных уравнении и физпке.

Идея рассмотрения, наряду с коммутирующими, некомиутирующих переменных восходит к Грассману (1844 г.) п Клиффорду. Изучение супералгебр Ли началось в 50-х годах нашего столетия. Основными источниками их изучения были теория супермногообразий, теория суперсимметрий, деформации алгебраических систем, гомологическая алгебра, алгебраическая топология. Например, свободные супералгебры Ли естественным образом возникают в теории гомотопип при рассмотрении гомотопических групп с произведением Уайтхеда.

Систематическое изучение свободных алгебр Ли впервые было начато М. Холлом. Именно, в 1950-м году он построил базис свободной алгебры

Ли, ныне известный как базис Холла. Позже, в 1958-м году, был построен базис Линдона - Ширшова. Затем различными авторами был построен ряд других базисов.

Теорема о свободе подалгебр свободных алгебр Ли была получена, основываясь на технике Куроша, А. И. Ширшовым в 1953 г. Аналогичный результат для свободных колец Ли и ограниченных алгебр Ли был получен Е. Виттом в 1956 г. Ширшовым была доказана лемма о композиции, которая явилась основой для решения серии алгоритмических задач теории алгебр Ли.

Изучение свободных супералгебр Ли было начато Р. Ри, И. К. Бабен-ко, И. Л. Кантором, А. А. Михалёвым, А. И. Штерном, А. II. Молевым и Л. М. Цаленко, Г. Мелансоном.

Обобщённые (цветные) супералгебры Ли были введены Р. Ри в 1960 г. В теоретической физике и теории операторов они естественно возникают как обобщения алгебр и супералгебр Ли. Начато изучение тождеств в абстрактных цветных супералгебрах Ли.

Естественными обобщениями названных структур являются свободные частично коммутативные алгебры и супералгебры Ли. Интерес к их изучению в значительной мере обусловлен связью с ближайшим ассоциативным аналогом — свободным частично коммутативным моноидом, впервые введённым П. Картье и Д. Фоата в 1969, как алгебраическая модель для изучения комбинаторики ассоциативных слов. С момента его введения, указанный объект стал предметом многих рассмотрений. В частности, принципиальной мотивировкой явилась интерпретация свободного частично коммутативного моноида как модели для параллельных вычислений. В самом деле, независимость и одновременность двух процессов может быть изображена коммутирующей парой переменных а, Ь, кодирующей эти процессы. С другой стороны, указанный объект доставляет также весьма естественный инструмент для изучения формальных языков (формальных грамматик), также весьма разработанная в настоящее время область с многочисленными приложениями. (Теория компиляции, теория кодирования или, более общо, теоретические аспекты программирования — примеры таких приложений).

Если брать чисто алгебраическую сторону вопроса, то интересно было бы отметить тот факт, что полугрупповая алгебра свободного частично коммутативного моноида может быть наделена структурой алгебры Хопфа со структурой антипода, ведущей к понятиям частично коммутативного подслопа и "шаффл-произведения".

Одним из ключевых моментов теории (супер-)алгебр Ли вообще и сво-

бодных (супер-)алгебр Ли в частности является вопрос о свободе подалгебр. который уже упоминался выше. Как было отмечено, весьма хорошо исследованным в настоящее время является случай алгебр и колец Ли. В дополнение к тому, в [1] и [2] А. А. Михалёвым было доказано (см. также монографию [3]), что любая подалгебра свободной (р-)супералгебры Ли (над полем характеристики, отличной от двух) также свободна. Основным инструментом прп доказательстве этого факта служила, так называемая, теорема об исключении переменных (теорема об элиминации, если следовать английской терминологии), Сущность этой теоремы (еслп ограничиваться лишь алгебрами и супералгебрамп Ли) состоит в алгоритмическом построении свободных порождающих множеств для идеалов свободных (супер-)алгебр Ли, порождённых некоторым подмножеством множества свободных образующих всей алгебры. Если такое построение удаётся, то говорят, что справедлива теорема об исключении переменных. В этом случае, как простое следствие, получается свобода названных подалгебр. Для классических (т.е. без суперструктуры) свободных алгебр Ли техника исключения переменных восходит к Лазару и Ширшову. В случае супер- и р-супералгебр Лп, теорема об .элиминации одной переменной была установлена А. А. Михалёвым. Как и в случае обычных алгебр Ли, доказательство этого утверждения привело к полному исследованию вопроса о свободе подалгебр, в смысле упомянутом выше.

Интересный подход к элиминации в свободном частично коммутативном (ассоциативном и неассоцпативпом) случае предложили Ж. Душами и Д. Кроб (см. [4], [5], [6]) Снова, ограничиваясь лишь алгебрами Ли, отметим тот их результат, что свободная конечно порождённая частично коммутативная алгебра Ли (как всегда, над достаточно хорошим кольцом), как линейное пространство, разложима в прямую сумму некоторого семейства своих подпространств, каждое из которых есть свободная (не частично коммутативная!) алгебра Ли. Из этого результата немедленно

[1] А. А. Михалёв, Свободные цветные супералгебры Ли. Доклады АН СССР 1986, Т. 286, № 3, 551-554. :

[2] А. А. Михалёв, Подалгебры свободных р-супералгебр Ли. Матем. ламетки, 1988, Т. 43, № 2, 178 -191.

[3] A. A. Mikhalev and A. A. Zolotykh. Combinatorial Aspects of Lie Superalgebras. CRC Press, Boca Raton, New York, 1995.

[4] G. Ducliamp and D. Krob. Thefree partially comrnutative Lie algebra: bases and ranks. Adv. Math. 95. — 1992. - P. 92 12G.

[5] G. Ducliamp and D. Krob. Free partially comrnutative structures. J. Algebra 156. — 1993. — 1'. 318-361.

[6] G. Duchamp and D. Krob. Factorisations dans le monoïde partiellement commutatif libre. // 0. R. Acad. S ci. Paris Sér. I. — ] .091. — 312. — P. 189—192.

извлекается то, что многие алгоритмы, которые были первоначально получены лишь для свободных алгебр Ли (например, вопросы построения базисов, вычисления рангов и т. д.), могут быть непосредственно перенесены на частично коммутативный случай.

Хотя упомянутый результат и выявляет некоторый класс свободных подалгебр в частично коммутативном случае, в отличие от полностью свободного случая, к полному описанию свободных (частично коммутативных) подалгебр он не ведёт, и проблема получения такого рода критериев всё ещё весьма актуальна, в контексте чего техника исключения переменных в свободных частично коммутативных с.упер- и р-супералгебрах Ли, предлагаемая в настоящей работе, является очередным шагом на пути к такого рода исследованиям.

В связи с обычными алгебрами Ли, частично коммутативный аспект рассмотрен, например, в [4], [5], [б], [7], [9].

Последнее, на чём мы здесь в деталях остановимся.....это вопросы вычисления размерностей однородных компонент, выделенных по тому или иному принципу. Классическим результатом здесь являются известные формулы Витта (см. [8]), дающие размерности однородных компонент в абсолютно свободной алгебре Ли. В частично коммутативном случае интересно отметить работу Д. Доковича [9], предлагающую явные формулы для указанных размерностей в свободном произведении полностью коммутативной и полностью некоммутативной алгебр Ли. Ж. Душамп и Д. Кроб рассматривают общий случай свободных частично коммутативных алгебр Ли [4] и дают алгоритм (но неявные формулы) для однородных компонент в нпх.

Перейдя к случаю свободных супералгебр Ли, различные варианты суперформул Витта размерностей однородных компонент (абсолютно) свободных супералгебр Ли были в различных формах получены Р. Рее [10], И. К. Бабенко [11], И. Л. Кантором [12], А. А. Михалёвым [13], А. И. Мо-

[7] G. Duchamp, D. Krob. Computing with P.B.W, in enveloping algebras. // Lecture Notes in Control and Inform. Sei. — 1991. — V. 1C5. — Г. 223-240.

[8] H. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли. — М.: Мир, 1976.

[9] D. Dokovic. A generalization of Witt's formulae. J. Algebra 111. — 1987. — P. 262-278.

[10] R. Ree. Generalized Lie elements. // Cañad. J. Math. 12. — 1960. — P. 493-502.

[11] И. К. Бабенко. Аналитические свойства рядов Пуанкаре пространств петель // Матем. заметки. — 1980. — Т. 27. — С. 751-765.

[12] I. L. Kantor. An Analogue of В. Witt's Formula for the Dimensions of Homogeneous Components of Free Lie Superalgebras. — Deposited at VINITI, № 2384-84.

[13] А. А. Михалёо, Свободные цветные супералгебры Ли. Доклады АН СССР 1986, Т. 286, № 3, 551 554.

левым и Л. М. Цаленко [14], С. Кангом [15], [16], В. М. Петроградским.

Таким образом, п рамках комбинаторной алгебры сформировагось активно развивающееся новое направление — комбинаторная теория алгебр и супералгебр Ли, к которой относится п данная диссертация.

Цель работы. Диссертация имеет своей целью разработку техники исключения переменных в свободных частично коммутативпых цветных супералгебрах и р-с.упералгебрах Ли, с одной стороны, и вычисление размерностей однородных компонент в указанных алгебрах, с другой.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории ассоциативных колец, алгебр и супералгебр Ли, теории полугрупп, компьютерной алгебры.

Научная новизна работы. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) доказано, что идеалы свободных частично коммутативных супералгебр Ли, порождённые полностью некоммутативным подалфавптом, есть свободные супералгебры Ли (Теорема 1.21);

2) установлена свобода подалгебр, являющихся идеалами, порождёнными полностью некоммутативным подалфавптом в свободных частично коммутативных р-супералгебрах Ли (Теорема 2.21);

3) оппсаны пути построения вычислительных алгоритмов (в зависимости от различных нормальных форм), явно описывающих свободное порождающее множество идеалов, порождённых полностью некоммутативным подалфавптом, применительно к обычным и р-суперал-гебрам Ли (Леммы 1.20, 2.20);

4) проведено алгоритмическое вычисление размерностей однородных компонент в свободных частично коммутативных (р-)супералгебрах Ли (Теорема З.б);

[14] Л. И. Молев, Л. М. Цаленко. Представление симметрической группы в свободной (супер)алгебре Ли и в пространстве гармонических многочленом // Функцион. анал. и прилож. — 1986. — Т. 20, № 2. — С. 76-77.

[15] S.-J. Kang. Graded Lie superalgebras and the superdimension formula. .1. Algebra 204 (1998), P. 597-655.

[16] S.-J. Kang. Free Lie superalgebras and the generalized Witt formula, hi The Monster and Lie Algebras, Walter de Gruyter, Berlin, 1998, P. 207-219.

5) показано, что размерности однородных компонент независимы от основного поля (Следствие 3.7).

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные алгоритмические результаты могут быть использованы в системах компьютерной алгебры для символьных вычислений в частично коммутативных алгебрах и супсралгебрах Ли. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам Московского Государственного Университета, Санкт-Петербургского Государственного Университета, Московского Государственного Педагогического Университета, Института Математики СО РАН, Лаборатории Вычислительной Техники и Автоматизации Объединённого Института Ядерных Исследований.

Все результаты имеют алгоритмический характер и могут быть использованы в реальном вычислительном процессе.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на алгебраических семинарах в МГУ, на Международной Алгебраической Конференции им. А. Г. Куроша в МГУ (1998 г.), на Второй Международной Алгебраической Школе Москва-Тайнань (Тайвань, 1997), а также на международной алгебраической конференции РРЗАС'ОО (Формальные Степенные Ряды и Алгебраическая Комбинаторика; МГУ, 2000).

Публикации. В основу диссертации положены пять работ автора. Список указанных работ прилагается в конце диссертации и автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, главы, посвя-щённои основным определениям, и трёх глав, раскрывающих математическое содержание работы. Общий объём диссертации — 88 страниц. Список литературы состоит из 170 наименовании.

Краткое содержание диссертации

Основные определения и вводные результаты предваряют основной текст диссертации.

Цветные супералгебры Ли. Везде, где речь ведётся об обычных (не ]>-) супералгебрах Ли, все структуры рассматриваются над произвольным фиксированным полем F, причём char F ф 2.

Пусть (G,+) — коммутативная полугруппа, а (К, ■) —G-градуированная алгебра над F. (Иными словами, линейное пространство К разложено в прямую сумму К = ф Кд, так что I\'gK), С Kg+h> где g,h € G). Одно-

g£G

родные элементы алгебры К определяются как элементы принадлежащие некоторому подпространству Кд. Для каждого такого о9 6 Кq пишут условно d(a) = у. G-значная функция d называется степенью на К. Отображение

е: G х G F*

носит название коммутативный фактор (или бихарактер) на полугруппе G, если

e{g,h) £ (h,g) = 1, ФД + Я = e(g,h)e(g,f), e(g+h,f) = e(g,f)e{hj),

для всех /, g, h 6 G. Обозначим также

G+:={g£G\e(g,g)=+l}, G-~{geG\e(g,g) = -1}.

(Здесь и впоследствии мы интерпретируем как "равно по определению").

Заметим, что множество G+ представляет собой подполугруппу в G и

G-G- С G+.

Определение. G-градуированная алгебра (рК,-) есть, по определению, цветная супералгебра Ли, если для любых G-однородных a, b,c,v 6 К,

ab = —e(d(a), й{Ь))Ьа

(обобщённая антп-коммутатпвность),

г (d(c), d{afj a(bc) + e(d(a) ,d(b)^j b(ca) + e(d(b), d(cfj c(ab) = 0

(обобщённое тождество Якоби),

vv2 — 0, причём d(v) G G-.

Пусть .4 = U Ад — непустое (З-градупрованное множество, а

neG

L{A) = ф Lg(A)

<l£G

— свободная цветная супералгебра Ли над полем F со свободным порождающим множеством А.

В дальнейшем (с точностью до факторизации по однородным идеалам алгебры L(A)) отображения ей d предполагаются фиксированными. В предыдущих обозначениях положил

А+:= U Ад,

<7бС+ 9

А-:= U А„.

Определение. Всякое симметричное подмножество в С А х А (т.е. если (гс, у) Е в то [у, х) G в, для произвольных х,у е А) называется частичной коммутативностью на А.

Определение. Обозначим через 1д идеал алгебры L(A) заданный следующим образом:

Ie = (ab\{a,b) ee)IdMA}.

Как легко видно, идеал ¡о С L(A) G-однороден и следовательно, фактор L(A)/Ig есть корректно определённая G-градуированпая цветная супералгебра Ли.

Определение. Назовём алгебру L{A,6) := L(A)/Ig свободной цветной частично коммутативной супералгеброй Ли.

Определение. Множество W С L(A, В) называется в-независимым, если для каждого конечного подмножества

{аь...,а„}с W

/ = /(х,,...,а:„) 6 ЦА), так что <£(.?,-) = ¿(а;), как только г = 1,..., ?г,

/(а 1,...,ап) = 0 (тос11й) влечёт / = 0 в алгебре Ь(А).

Следуя [3], в частном случае когда в = 0, будем называть множество IV просто независимым,. Отметим, что, при этих условиях, первоначальное множество А не является ^-независимым при в ф 0.

Определение. Следующие подпространства в Ь{А,в) называются однородными компонентами L(A,fí):

La{A) {а € L(A, 9) | а имеет мультистепень cv}, Ln(A) := {а 6 L{A,Q) | а имеет длину я}, L„<g(A) := {а € L{A,9) | d(a) = g, а имеет длину w},

Lg(A) := {a6L(A,e)|d(a) = flí}.

Предложение ОП.З. Следующие разложения задают градуировку на алгебре ЦА,в):

L(A,9) = Ф Lg{A,Q) — ф La(A,9)

= Ф Ln(A,9) = ф L„i9(A,ff).

íiSN nSN.geG

Предложение ОП.4. Существует отображение

i а : A->L(A,9)

степени 0, такое что для каждой супералгебры Ли К п всякого отображения f: А —>• К степени 0, с условием

Va, b S A (a, i) 6 9 => f(a)f(b) = 0,

существует единственный однородный гомоморфизм

Ъ L(A,6) —> К,

делающий следующую диаграмму коммутативной:

>л

пом.

Определение, Возьмём свободную полугруппу А", порождённую множеством Л, п обозначим через М{А,6) её фактор

{А* | Va, fe 6 A (a, Ь) $9, eje Л_ (с, с), (/, /) 6 в ab = ba, с2 = /2}.

Определение. Для произвольного слова w € vi* введём его множество окончаний как подмножество FAlph(w) С А, заданное равенством

FAlph.(w) := {b € А | 3и 6 А\ w =оиЬ}.

Понятно, что FAlph(wi) — FAlph(w2), как только W\ =yW2-

Следующие подмножества М(А, в) понадобятся нам в будущем:

Ма(А,9) := {ш | w имеет мультистепень а},

Мп(А,9) :— {ui | к; имеет длину ?>,},

Мп<д{А,в) := {ю | w имеет G-степень д и длину п},

Мд(А,$) := {г« | w имеет G-степепь д}.

По определению положим

та := \Ма{А,9)\,

тп := \Мп(А,в)\,

тп,д := \Мп,д{А,в)\,

тд := \Мд(А,в)\.

Для упрощения дальнейших вычислений будем писать

ad:e.« := х(и), náw.u := :c(adi;.u),

для х £ А, и € L(A) и w е А*, таких что w = xv, и х € А. Слово adw.M € £(А) определено теперь индукцией но длине в алфавите А.

Цветные ^-супералгебры Ли. Пусть Zf, — поле остатков по модулю простого р ф 2. В дальнейшем, где рассматриваются р-алгебры, все структуры рассматриваются исключительно над этим полем.

Определение. Супералгебра К есть цветная р-супералгебра Ли, еелн задано отображение а я^ её в себя, так что (Z(aW) — р- d(a) на однородных элементах а 6 Iis, где д 6 и, если А € Zа, Ь, с £ /С, ¿(а) = cí(6) € то

(Ав)М = ДРЯМ,

(ad aW)c = аЫе = (&da)p с, р

í=i

где jf¡j(a,Ь) есть коэффициент при Р ' в полиноме а(1р х{1а + 1>)а.

В дальнейшем в р-случае мы предполагаем, что все подалгебры и идеалы устойчиаы по отношению к отображению р. Все гомоморфизмы также считаются р -совместимыми.

Определение. Пусть А = и А„ (непустое) б'-градуироиашмо мно-

зео

жестзо, а

ЩА) = Ф ЩА)

деа ■

— свободная цветная лиевская р-супералгебра над с множеством свободных образующих А и степенным отображением, Л.

С точностью до факторизации по однородным идеалам ЬР(Л), будем считать отображения е и (I фиксированными. Для подмножества 5 С .4, положим

:= и 8д, := и 53,

:= {в1''"1 | в € 5+, п > 0}, Б2! := {(«2)[р"] | я е п > 0},

Определение. Через нами будет обозначен идеал V[.4). заданный следующим образом:

Ц = (аЬ 1 а,Ь 6 А, (а,Ь) 6 в)ЫЬЧА).

Как легко заметить, идеал 1д С ЬР(А) С-одиороден, так что фактор ЬР(А)/Ц — корректно определённая б-градуированная цветная лневская р-суцералгебра.

Определение. Алгебра Ьр(А,в) Ьр(А)/1у есть, по определению, свободная цветная частично коммутативная р-супералгебра Ли.

Понятие независимости вр-случае аналогично введённому ранее для обычного случая. Аналогично также получаются градуировки по мультистепе-ням, длинам. О- и смешанным (С, М)-стспеням.

Предложение ОП.16. Существует отображение

гА: А -» ЬР(А,0)

степени 0. такое что для произвольной р-супералгебры Ли В'' п отображения степени 0 /: А Вр, с тем условием, что

VII, Ь,с.еА (а, 6), с €в /(а)/(6) = 0, /(с) = 0,

существует единственный (гридупровахвып) гомоморфизм

/: 1р(А,в) ->■ £р,

делающий следующую диаграмму коммутативной:

стиом.

Для упрощения дальнейших вычислений мы пишем

ас1ж.м := х(и), аdw.it .т(а<1и.и),

для произвольных х € А, и € ЬР(А)* а/ € А , таких что ш = зги. Слово ас1и>.и 6 £Р(А) определяется теперь индукцией по своей длине 1а в алфавите А. (Мы, естественно, предполагаем, что := р- (а(тл) на однородных и), Л(и>) £ 0+).

Как выше, аналогично вводим также множество РА1рк{№) С А (где и; € А*), полугруппу М(А,9) (см. стр. 37 диссертации) и определяем числа та,т„,тд,тп,д уже применительно к /»-случаю.

Формальные ряды.

Определение. Функции из М(А,в) \ {0} в 2 называются (некоммутативными) формальными степенным,и рядами. Множество всех формальных степенных рядов будем обозначать либо через 2((М)), либо через ЩА.9)).

На степенные ряды иногда удобнее с.мот1)еть как на формальные линейные комбинации вида

/ = £ f(w)w. и,еМ(А.в)\{ о(

Множество 1j{{M)) есть ассоциативное кольцо по отношению к покомпонентному сложению: и ассоциативному н дистрибутивному умножению, продолжающему полугрупповую операцию в M (А, в).

Для удобства, через в будем обозначать 9 \ diag(A х Л), в обычном, и 9 \ diag (yi х Л), в р-случае, соотв.

Определим, наконец, необходимые для дальнейшего гомоморфизмы Ф, Ф, Т, $2, Графически они образуют диаграмму вида

Ъ{(А,в)) 4Ф

Z[[G]j A- Z[[xa]]aeA -1> Щс,х}) Z[[X]]

Здесь 2{{Л, 9)) (и, в частности, 2{{Л,0})) — кольцо частично коммутативных степенных рядов (кольцо бесконечных линейных комбинаций различных слов из M (А, 9)), Z[[Xa]]a£yi — кольцо коммутативных степенных рядов, относительно переменных, биективно занумерованных элементами множества A. Z[[G]] - кольцо степенных рядов с базисом из всех возможных элементов полугруппы G. Наконец, Z[[<3, X]] — кольцо степенных рядов, с базисом из мономов вида gX", с g Ç G, п > 0.

Гомоморфизм Ф попросту "заставляет все переменные коммутировать". Ф отображает все переменные в одну: Ха —> ЛГ, а дальше — по линейности. Т линейно продолжает соответствие Ха d(a)X. Гомоморфизм il задан на порождающих Ха как d(a).

В Главах 1, 2 мы разрабатываем технику исключения переменных в свободных п свободных частично коммутативных супералгебрах п р-супер-алгебрах Ли.

В разделах 1.1, 2.1 мы отрабатываем комбинаторную технику для последующего приложения в 1.3.2 и 2.3.2. Именно, рассмотрим (градуированные) алфавиты W и У, так что Y С IV. Взяв произвольно-фиксированные

семейства

(«i)í62, (M¿€Z С W II (A¿)ieiC F*

(I — некоторое индексное множество), так что ciega; = degíi,-, построим СОВОКУПНОСТЬ Dif = («,' — aj6j)jgl.

На множестве W введём эквивалентность, сказав, что а = b в том и только в том случае, если существует множитель Л ф 0, такой что а — \Ь 6 Dif. Множествами Y и Dif мы порождаем в алгебре L{W) (LP(W), соотв.) идеал

I :=(Y.Dif)Id. ■ (1)

Пусть множество 7S взаимнооднозначно индексирует все классы эквивалентности в W по Положим также по определению

<S := {» 6 П | C(z¡) П Y ф 0} С К,

где C(zi) обозначает класс эквивалентности по =, содержащий элемент zí е W.

Лемма 1.3, 2.3. Положим

Z := (И/ \ (У U (J С(*))) U |J {*,•} С W.

¿erc

Пространство L(W) (LP(W), coots.) может быть разложено в прямую сумму идеала I, заданного соотношением (1), л алгебры, (свободно) порожденной подалфавдто.«

В разделах 1.2, 2.2 нами изучаются свободные супералгебры и р-супералгебры Ли. Посредством ряда вспомогательных конструкций и, прежде всего, конструкции градуированного полупрямого произведения супералгебр Ли, введённого автором, мы приходим к обобщению классического ширшовско-лазаровского исключения переменных (см. [8]) на градуированный суперслучаи. Следует также отметить, что частный случай исключения одной переменной в свободной супералгебре Ли был ранее изучен А. А. Михалёвым (см. [3]), что уже было отмечено выше. Основной результат здесь подытожен нами в двух теоремах.

Теорема 1.6, 2.6. Пусть L(A) -- свободная цветная (р-)супералгебра Ли над непустым множеством свободных образующих А и S С А. Тогда линейное пространство L(A) (LP{A), соотв.) есть прямая сумма :подал-гебр, порождённых множествами S и

Т = {ad л, ... ad sn . х | sk б S, 1 < к < п, п > 0, х € А \ 5},

сооптаистпеняо, причём Т порождает свою подалгебру свободно.

В последних разделах, посвященных исключению переменных, мы, фактически, даём две различные версии теоремы об исключении (в обычном и р-случаях, соотв.)

В подразделах 1.3.1, 2.3.1 мы доказываем следующий результат.

Теорема 1.18, 2.18. Пусть подмножество 5 С 4 таково, что А \ 5 есть полностью некоммутативный подалфааит длл 9. Тогда, при указанных условиях,

1) Is = (B)JdL(S), 2)1Т = (Т1иТ2)ЫЦТ). Аналогично для р-случая, с добавлением индекса р.

Подразделы 1.3.2, 2.3.2 посвящены непосредственно формулировке и доказательству теорем об исключении переменных в их окончательной версии.

Теорема 1.21, 2.21. (Теорема об исключении переменных в свободной частично коммутативной (р-)супералгебре Ли).

Пусть А — (непустой) алфавит ив — отношение частичной ком'мута-т,ивности на нём. Предположим, что существует (непустой) подалфа-вит, S С А, такой что множество А \ S полностью некоммутативно длл 0. Пусть M(S,& ) обозначает подмоноид M (А, 9) порождённый множеством. S наделённый частичной коммутат.ивност,ью 9 9C\(S* х 5"). Пусть наконец, множество Т С £(А, в) определемо следующим образом:

Т := {ad w.z \ w G M {S,в'),

z e A \ S, W e F Alph,(w), (6, z)£9}\ {0}.

При указанных условиях,

1) T есть множество свободных образующих (morl/e) для подалгебры. L{T) С L(A,9), порождённой Т;

2) L{f)<L{A,9);

3) линейное пространство L(A,9) допускает прямое разложение вида:

L(A, 9) = L(S,iï') ф L(T). Аналогично рассматривается р-случай.

Следует отметить тот факт, что в данном утверждении ad означает оператор присоединённого действия на £(/!,$) (на LP(A. 9), соотв.), индуцированный аналогичным действием на L(A) (на LP(A), соотв.). Такое индуцирование корректно, поскольку, как очевидно из определения, ad(Io) С 1(> (то же в р-случае), так что ad канонически переносится на фактор.

В Главе 3 приводится алгоритм для вычисления размерностей однородных компонент в свободных частично коммутативных супер- и р-суперал-гебрах Ли, причём оба случая рассмотрены с единой точки зрення, и мы опускаем индекс р в р-случае.

В дадьнейшем через в мы будем обозначать в \ diag (А X А), в обычном, л 9\ diag (.4 X .4) в р-случаях, соотв.

Определение. Если целые числа

{"MneN: {"V.-jIjIGL заданы, по определению, как мощности множеств

Ма{А,в), Мп(А,в), Мп<я{А,0), Мд(А,в),

соответственно, то (в случае, если последние конечны) мы вводим для них

их характеристические ряды в виде

Е таХа 6 Z[[Xa]]aEA,

М>0

Е "W<7X" 6 Z[[G,X]l

ff6 G n> 0

При выводе основной теоремы о размерностях однородных компонент предполагается, что множества Ма{А,9), Мп(А, в), Мп,у(А, в), МЯ(А, В) конечны прн ^

всех значениях N , п 6 N, j £ G, соответственно.

Последнее требование весьма естественно и равносильно корректной определённости описанных выше гомоморфизмов Ф, Ф, Т и Si (см. стр. 15).

Для мультшшдексного характеристического ряда мы получим два различных представления: через моноид М(А,в) и мультипликативное.

Представление через М(А,в). По определению полагаем

£ а' е

u>5ÉfiO

Е тпХп 6 Z[[X]\,

п>0

Н

Emj-jeZffG]].

geG

С(в) := 1-Ф(Х7Г-'), С0) := ЩС{в)),

СоЛв) ~ Т(С(0)), Со(0) := П(С(0)).

Предложение 3.2. В сделанных предположениях

Чхш) = Ет„л-.

|а|>0 |а|>0 п>0

Т(£т„Ха) = Е т„,9-дХп.

Н>о деа

п>0

П(ЕтД") - Е

|а|>0 п>0

Мультипликативное представление. Основываясь на технике универсальных обёртывающих алгебр, может быть доказана следующая

Лемма 3.3. Справедлива формула:

|о|>0 |а|^0

Логарифмические коэффициенты. Рассмотрим формальные ряды С (в), С,(в), С(М и Са(в) как

вложенные в кольца с,

^[[С, Х']] н соотв- В указанных кольцах имеется функция

формального логарифма:

т ¡>1

Определим последовательность рациональных чисел

следующим формальным соотношением:

-log(l-C(0)) =: Е с(а)Ха

-log(l-Ct(ff)) =: Е <n)Xn

ne N

- bg(l - СаАв)) =•■ E e(n,g)-gXn ^

neN

geo

~log(l -Cam =: E <9)-a

gee

Лемма 3.5. Для произвольного п € N ,

1»

тр—о

В разделе 3.2 мы доказываем основную теорему о размерностях однородных компонент.

Пусть, но определению,

N' - {и, е N j п > 1}.

Пусть также, следуя традиционным обозначениям, : N N обозначает классическую функцию Мёбиуса:

(—1)*, если п есть произведение fi,N'(n) — < & различных простых чисел;

О в противном случае.

В доказательстве следующей основной теоремы используется классическая формула обращения Мёбиуса (см. [17]).

Теорема З.С. При выполнении условия (*) пространства La(A,9), Ln(A.,9), Ьп^{А,в), Lg(A,9) конечномерны для всех a€N , п 6 N, g G G, и

:(а/т)

dim pLa{A,8) =

т\а

dimjr Zn(A 0) =

—' m

dim^ А,0) = ^

m|n {hZG\mh=g}

c(n/m, h)

>

m

.m

?

m

dimpLg(A,9) - ^ /tN/(m)-

{iieGjmh=ff}

с коэффициент.ами c(n), c(ii), c(n,g), c(g), взятыми из соотношений (2).

[17] G. Rozenbwg, A. Saloinaa. Handbook of Formal Languages. Springer-Verlag. Berlin. — IM)7.

Замечание 3.7.

]) Числа

dinif La{A,9), dimFLn{A,0), d\mF Ьп,д(А,в), d\mF La{A,9) но зависимы от конкретно взятого основного поля F, а числа

diniF dimf Ln(A,9)

— от конкретной градуировки G.

Более точно, пусть F — поле отличное от F, а А, как и раньше, — основной алфавит. Пут, кроме того, G — градуирующая полугруппа отличная от G, яо такая, что разложение А = А+ U — одно и тоже в обоих случаях (ио отношению к соответствующим степеням d и d). Построим две свободные частично коммутативные G-u G-градуированные супералгебры Ли L(A,9) и L(A,ff) над F и F, соответственно.

Тогда

dim pLa(A,9) = dim/? La(A,9),

dim^L„(j4,e) = dimF Ln{A,6),

для всех ft 6 N/ n 11 6 N.

Если, дополнительно, G S G a d = (/, то

dimj,L„,g(A,0) - dim/? L„tg(A,9),

dimp Lq(A, 9) = dinif Lg(A, 9),

для всех fj € G is n 6 N.

2) В отличие от случая мультистепеней и длин, даже при надлежащих условиях Теоремы 3.6, выше доказанные формулы для размерностей dim/? 1,1;,(А,в) я dinii? Lg(A, 9) не доставляют, вообще говоря, явного вычислительного алгоритма, когда градуировка G произвольна, поскольку a priori не существует алгоритма, дающего все существующие разложения произвольного элемента <j € G по всевозможные произведения элементов нэ этой полугруппы. Отметим, тем не менее. следующее простое

Предложение 3.8. Если

a) полугруппа С имеет разрешимую проблему равенства слов п

b) существует представление О как фактора свободной полугруппы и ясно найденное целое г/, так что все классы конгруэнтности в этом представлении имеют мощность < д,

то <1ш1р Ьп<а(А, 0) и <1ш1/- £,У(А, 6) могут быть алгоритмически найдены, используя Теорему 3.6.

Автор приносит свою искреннюю благодарность д.ф.-м.н., профессору А. В. Михалёву и д.ф.-м.н., с.н.с. А. А. Михалеву, под научным руководством которых проходила вся научная деятельность автора, за постоянное внимание п активную поддержку, без которой настоящая работа никогда не была бы написана. Автор также благодарен к.ф.-м.н. К. А. Зубрилину за разнообразную и конструктивную помощь.

Работы автора по теме диссертации

[1] II. А. Добрынин, Теоремы об исключении переменных для свободных частично коммутативных супералгебр Ли. В "Kurosh Algebraic Conference '98. Abstracts of Talks'' (под ред. Ю. А. Бахтурина, А. И. Ko-стрикина, А. Ю. Ольшанского), Москва, 1998, стр. 168.

[2] N. A. Dobrymn, Free partially commutative color Lie supcralgebra: on elimination of variables. In "Lie Algebras, Rings, and Related Topics. Ed. Yu. Fong, A. A. Mikhalev, E. Zelmanov", Springer-Verlag, Hong Kong, 2000, P. -32-48.

[3] H. А. Добрынин, Свободные частично коммутативные супералгебры Ли: размерности однородных компонент. Фунд. и Прикл. Матем., т. б, № 2, 2000, стр. 1-9.

[4] Н. А. Добрынин, Free partially coinmutative Lie superalgebras: dimensions of homogeneous components. Формальные Степенные Ряды п Алгебраическая Комбинаторика. 12-я межд. конф. Дополнительные тезисы. Москва. 2000, стр. 13-15.

[5] N. A. Dobrynin, Free partially commutative Lie superalgebras: dimensions of homogeneous components. J. of Math. Sci. (english translation from "Itogi Nauki i Techniki. Sovremennaya Materaatikai ее Prilozlieniya. Tem-aticheskie Obzory"; vol. 74, Algebra-15), P. 12-28.

В настоящее время комбинаторная алгебра (комбинаторная теория групп, колец и т. д.) представляет собой активно развивающееся направление с широким спектром приложений как в алгебре, так и за пределами её. Интенсивно развивается алгоритмическая теория алгебраическихктур, исследующая существование алгоритмов для решения определённого класса задач (проблемы равенства и вхождения слов, изо-морфность, построение линейных базисов, и т. д.). Большой вклад в этой области принадлежит Д. Нильсену, О. Шрайеру, В. Магнусу, А. Г. Ку-рошу, А. И. Мальцеву, Р. Линдону, М. Шутценберже, Ф. Холлу, М. Холлу, А. А. Маркову, П. С. Новикову, С. И. Адяну, А. И. Кострикину,

A. JL Шмелькину, А. Ю. Ольшанскому, Ю. А. Бахтурину, Е. И. Зель-манову, А. И. Ширшову, Е. Витту, JL А. Бокутю, В. Н. Латышеву,

B. Н. Ремесленникову, К. Ройтенауеру, А. Р. Кемеру, О. Г. Харлам-пович, А. А. Михалёву и др.

Успешное применение компьютеров в последние 20—30 лет возобновило интерес к эффективным алгебраическим конструкциям. Были пересмотрены конструктивные результаты, полученные ранее, что привело к формированию новой самостоятельной области — Компьютерной алгебры, — выросшей на стыке математики, вычислительной математики и программирования (см., например, монографии [1,2,5,9,15,16, 26,29,31,45,60,61,63,67,89,91,112,114,129]).

При исследовании в компьютерной алгебре одним из основных моментов является построение алгоритмов, допускающих компьютерную реализацию. Хотя наиболее разработанным в настоящее время является коммутативный случай, за последние несколько лет возрос также интерес к некоммутативной компьютерной алгебре, (см., например, [7,18,38,39,44,51,54,55,62,76,85,87,88,90,92,93,98,108,109, 130-132,140,146,154,156,157,165]), что вызвано как потребностями внутри алгебры, как таковой, так и разнообразными приложениями в теории дифференциальных уравнений и физике.

Идея рассмотрения, наряду с коммутирующими, некоммутирующих переменных восходит к Грассману (1844 г.) и Клиффорду. Изучение супералгебр Ли началось в 50-х годах нашего столетия. Основными источниками их изучения были теория супермногообразий, теория суперсим-метрий, деформации алгебраических систем, гомологическая алгебра, алгебраическая топология [3, б, 11,13,14,19,21,40,84,95,97,113,117,119, 128,135-137,145,155,162]. Заметим, что свободные супералгебры Ли естественным образом возникают в теории гомотопий при рассмотрении гомотопических групп с произведением Уайтхеда.

Систематическое изучение свободных алгебр Ли впервые было начато М. Холлом. Именно, в 1950-м году он построил базис свободной алгебры Ли, ныне известный как базис Холла [96]. Позже, в 1958-м году, был построен базис Линдона-Ширшова [33,56]. Затем различными авторами был построен ряд других базисов [34,48,122,150,151,153,158,160].

Теорема о свободе подалгебр свободных алгебр Ли была получена, основываясь на технике Куроша, А. И. Ширшовым в 1953 г. [32]. Аналогичный результат для свободных колец Ли и ограниченных алгебр Ли был получен Е. Виттом в 1956 г. [163]. Ширшовым была доказана лемма о композиции, которая явилась основой для решения серии алгоритмических задач теории алгебр Ли.

Изучение свободных супералгебр Ли было начато Р. Ри, И. К. Бабен-ко, И. Л. Кантором, А. А. Михалёвым, А. И. Штерном, А. И, Молевым и Л. М. Цаленко, Г. Мелансоном (см. [3,22,23,27,36,106,123,124,141]).

Отметим статьи, обзоры и монографии, отражающие различные аспекты применения супералгебр Ли в теоретической физике: [41,59,83, 94,99,103,134,161]. Кроме того, 22-градуированные алгебры (супералгебры) успешно применялись в исследованиях по алгебре.

Обобщённые (цветные) супералгебры Ли были введены Р. Ри в 1960 г. [141]. В теоретической физике и теории операторов они естественно возникают как обобщения алгебр и супералгебр Ли [28,116,133,143,144, 148]. Ряд общих аспектов этой теории отражён в обзоре [120]. Начато изучение тождеств в цветных супералгебрах Ли [42,43,47].

Отметим основные монографии, в которых затрагиваются различные аспекты комбинаторной теории алгебр Ли: [10] Н. Джекобсона, [35] Ж.-П. Серра, [4] Ю. А. Бахтурина, [17] А. И. Кострикина, [30] Ю. П. Раз-мыслова, [12] В. Г. Каца, [142] К. Ройтенауера, [49] Л. А. Бокутя и Г. П. Кукина, а также обзор [107] О. Г. Харлампович и М. В. Сапи-ра. По комбинаторной теории супералгебр Ли вышло две монографии: [47] Ю. А. Бахтурина, М. В. Зайцева, А. А. Михалёва и В. М. Петроградского и [127] А. А. Золотых и А. А. Михалёва. По общей теории супералгебр Ли следует упомянуть монографии [149] М. Шойнерта, [6] Ф. А. Березина, [19,20] Д. А. Лейтеса, [69] Б. де Витта.

Применительно к тематике, связанной со свободными алгебрами и супералгебрами Ли, естественными обобщениями. названных структур являются свободные частично коммутативные алгебры и супералгебры Ли. Интерес к их изучению в значительной мере обусловлен связью с ближайшим ассоциативным аналогом — свободным частично коммутативным моноидом, впервые введённым П. Картье и Д. Фоата в 1969 (см. [53]) как алгебраическая модель для изучения комбинаторики ассоциативных слов. С момента его введения, указанный объект стал предметом многих рассмотрений. В частности, принципиальной мотивировкой явилась интерпретация свободного частично коммутативного моноида как модели для параллельных вычислений. В самом деле, независимость и одновременность двух процессов может быть изображена коммутирующей парой переменных а, 6, кодирующей эти процессы. С другой стороны, указанный объект доставляет также весьма естественный инструмент для изучения формальных языков (формальных грамматик), также весьма разработанная в настоящее время область с многочисленными приложениями. Теория компиляции, теория кодирования или, более общо, теоретические аспекты программирования — примеры таких приложений.

Если брать чисто алгебраическую сторону вопроса, то интересно было бы отметить тот факт, что полугрупповая алгебра свободного частично коммутативного моноида может быть наделена структурой алгебры Хопфа со структурой антипода, ведущей к понятиям частично коммутативного подслова и "шаффл-произведения" (см., например, [68,152]).

Одним из ключевых моментов теории (супер-)алгебр Ли вообще и свободных (супер-)алгебр Ли в частности является вопрос о свободе подалгебр, который уже был упомянут выше. Как уже было отмечено, весьма хорошо исследованным в настоящее время является случай алгебр и колец Ли. В дополнение к тому, в [22,24] А. А. Михалёвым было доказано (см. также [127]), что любая подалгебра свободной (р-)супералгебры Ли (над полем характеристики, отличной от двух) также свободна. Основным инструментом при доказательстве этого факта служила, так называемая, теорема об исключении переменных (теорема об элиминации, если следовать английской терминологии). Сущность этой теоремы (если ограничиваться лишь алгебрами и супералгебрами Ли) состоит в алгоритмическом построении свободных порождающих множеств для идеалов свободных (супер-)алгебр Ли, порождённых некоторым подмножеством множества свободных образующих всей алгебры. Если такое построение удаётся, то говорят, что справедлива теорема об исключении переменных. В этом случае, как простое следствие, получается свобода названных подалгебр. Для классических (т.е. без супер структуры) свободных алгебр Ли техника исключения переменных восходит к Лазару и Ширшову. В случае супер- и р-супералгебр Ли, теорема об элиминации одной переменной была установлена А. А. Михалёвым. Как и в случае обычных алгебр Ли, доказательство этого утверждения привело к полному исследованию вопроса о свободе подалгебр, в смысле упомянутом выше.

В случае супер- и р-супералгебр Ли, теорема об элиминации одной переменной была установлена А. А. Михалёвым. Как и в случае обычных алгебр Ли, доказательство этого утверждения привело к полному исследованию вопроса о свободе подалгебр, в смысле упомянутом выше.

Интересный подход к элиминации в свободном частично коммутативном (ассоциативном и неассоциативном) случае предложили Ж. Душами и Д. Кроб (см. [77-79]). Снова ограничиваясь лишь алгебрами Ли, отметим тот их результат, что свободная конечно порождённая частично коммутативная алгебра Ли (как всегда, над достаточно хорошим кольцом), как линейное пространство, разложима в прямую сумму некоторого семейства своих подпространств, каждое из которых есть свободная (не частично коммутативная!) алгебра Ли. Доказательство ведётся через предъявление конструктивного алгоритма. Из этого результата немедленно извлекается то, что многие алгоритмы, которые были первоначально получены лишь для свободных алгебр Ли (например, вопросы построения базисов, вычисления рангов и т. д.), могут быть непосредственно перенесены на частично коммутативный случай.

Хотя упомянутый результат и выявляет некоторый класс свободных подалгебр в частично коммутативном случае, в отличие от полностью свободного случая, к полному описанию свободных (частично коммутативных) подалгебр он не ведёт, и проблема получения такого рода критериев всё ещё весьма актуальна, в контексте чего техника исключения переменных в свободных частично коммутативных супер- и р-супералгебрах Ли, предлагаемая в настоящей работе, является очередным шагом на пути к такого рода исследованиям.

Последнее, на чём мы здесь в деталях остановимся — это вопросы вычисления размерностей однородных компонент, выделенных по тому или иному принципу. Классическим результатом здесь являются известные формулы Витта (см. [8]), дающие размерности однородных компонент в свободной алгебре Ли. В частично коммутативном случае интересно отметить работу Д. Доковича [73], предлагающую явные формулы для указанных размерностей в свободном произведении полностью коммутативной и полностью некоммутативной алгебр Ли. Ж. Душамп и Д. Кроб рассматривают общий случай свободных частично коммутативных алгебр Ли [77] и дают алгоритм (но не явные формулы) для однородных компонент в них.

Перейдя к случаю супералгебр Ли, различные варианты суперформул Витта размерностей однородных компонент (абсолютно) свободных супералгебр Ли были в различных формах получены Р. Рее [141], И. К. Ба-бенко [3], И. Л. Кантором [106], А. А. Михалёвым [47,126], А. И. Молевым и Л. М. Цаленко [27], С. Кангом [104,105], В. М. Петроградским.

В связи с алгебрами Ли, частично коммутативный аспект рассмотрен, например, в [73,76-78]. Кроме того, обширный круг вопросов по данному предмету содержится в [57,64-66,70-72,74,75,79-82,110,111, 115,121,125,138,139,147,158,159,164].

Таким образом, в рамках комбинаторной алгебры сформировалось активно развивающееся новое направление — комбинаторная теория алгебр и супералгебр Ли, к которой относится и данная диссертация.

Диссертация имеет своей целью разработку техники исключения переменных в свободных частично коммутативных цветных супералгебрах и р-супералгебрах Ли, с одной стороны, и вычисление размерностей однородных компонент в указанных алгебрах, с другой.

В диссертации использованы методы теории ассоциативных колец, алгебр и супералгебр Ли, теории полугрупп, компьютерной алгебры.

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) доказано, что идеалы свободных частично коммутативных супералгебр Ли, порождённые полностью некоммутативным подалфави-том, есть свободные супералгебры Ли (Теорема 1.21);

2) установлена свобода подалгебр, являющихся идеалами, порождёнными полностью некоммутативным подалфавитом в свободных частично коммутативных р-супералгебрах Ли (Теорема 2.21);

3) описаны пути построения вычислительных алгоритмов (в зависимости от различных нормальных форм), явно описывающих свободное порождающее множество идеалов, порождённых полностью некоммутативным подалфавитом, применительно к обычным и р-супералгебрам Ли (Леммы 1.20, 2.20);

4) проведено алгоритмическое вычисление размерностей однородных компонент в свободных частично коммутативных (р-)супералгеб-рах Ли (Теорема 3.6);

5) показано, что размерности однородных компонент независимы от основного поля (Следствие 3.7).

Работа носит теоретический характер. Полученные алгоритмические результаты могут быть использованы в системах компьютерной алгебры для символьных вычислений в частично коммутативных алгебрах и супералгебрах Ли. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам Московского Государственного Университета, Санкт-Петербургского Государственного Университета, Московского Государственного Педагогического Университета, Института Математики СО РАН, Лаборатории Вычислительной Техники и Автоматизации Объединённого Института Ядерных Исследований.

Все результаты имеют алгоритмический характер и могут быть использованы в реальном вычислительном процессе.

Результаты диссертации докладывались на алгебраических семинарах в МГУ, на Международной Алгебраической Конференции им. А. Г. Куроша в МГУ (1998 г.), на Второй Международной Алгебраической Школе Москва-Тайнань (Тайвань, 1997), а также на международной алгебраической конференции FPSAC'OO (Формальные Степенные Ряды и Алгебраическая Комбинаторика; МГУ, 2000).

В основу диссертации положены пять работ автора. Список указанных работ прилагается в конце диссертации и автореферата.

Диссертация состоит из введения, главы, посвящённой основным определениям, и трёх глав, раскрывающих математическое содержание работы. Общий объём диссертации — 88 страниц. Список литературы состоит из 170 наименований.

1. А. Акритас. Основы компьютерной алгебры с приложениями. — М.: Мир, 1994.

2. А. Ахо, Дж. Хопкрофт, Дж. Ульман. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. — М.: Мир, 1979.

3. И. К. Бабенко. Аналитические свойства рядов Пуанкаре пространств петель*// Матем. заметки. —1980. — Т. 27. — С. 751-765.

4. Ю. А. Бахтурин. Тождества в алгебрах Ли. — М.: Наука, 1985.

5. Г. Биркгоф, Т. Барти. Современная прикладная алгебра. — М.: Мир, 1976.

6. Ф. А. Березин. Введение в алгебру и анализ с некоммутирующими переменными. — М.: Изд-во МГУ, 1983.

7. Л. А. Бокуть. Вложения в простые ассоциативные алгебры // Алгебра и логика. — 1976. — Т. 15, № 2. — С. 117-142.

8. Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли. — М.: Мир, 1976.

9. Дж. Давенпорт, И. Сирэ, Э. ТУрнье. Компьютерная алгебра. — М.: Мир, 1991.

10. Н. Джекобсон. Алгебры Ли. — М.: Мир, 1964.

11. С. И. Гельфанд, Ю. И. Манин. Методы гомологической алгебры. I. — М.: Наука, 1988.

12. В. Кац. Бесконечномерные алгебры Ли.,М.: Мир, 1993.

13. М. В. Карасёв, В. П. Маслов. Нелинейные скобки Пуассона. — М.: Наука, 1991.

14. А. Картан, С. Эйленберг. Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, I960.

15. Д. Кнут. Искусство программирования для ЭВМ. М.: Мир, Т. 1: 1976; Т. 2: 1977; Т. 3: 1978.

16. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. — М.: Мир, 1986.

17. А. И. Кострикин. Вокруг Бернсайда. — М.: Наука, 1986.

18. В. Н. Латышев. Комбинаторная теория колец, стандартные базисы. — М.: Изд. МГУ, 1988.

19. Д. А. Лейтес. Теория супермногообразий. — Петрозаводск: изд-во К ФАН СССР, 1983.

20. Д. А. Лейтес. Супералгебры Ли // ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 25. — М.: ВИНИТИ, 1984. — С. 3-50.

21. Ю. И. Манин. Калибровочные поля и комплексная геометрия. — М., Наука, 1984.

22. А. А. Михалёв, Подалгебры свободных цветных супералгебр Ли. Матем. заметки, 1985, Т. 37, № 5, 653-661.

23. А. А. Михалёв, Свободные цветные супералгебры Ли. Доклады АН СССР 1986, Т. 286, № 3, 551-554.

24. А. А. Михалёв, Подалгебры свободных р-супералгебр Ли. Матем. заметки, 1988, Т. 43, № 2, 178-191.

25. А. А. Михалёв, Вложение супералгебр Ли счетного ранга в супералгебры Ли с двумя образующими. УМН 1990, Т. 45, № 6, 139-140.

26. А. В. Михалёв, Е. В. Панкратьев. Компьютерная алгебра. Вычисления в дифференциальной и разностной алгебре. — М.: Изд-во МГУ, 1989.

27. А. И. Молев, Л. М. Цаленко. Представление симметрической группы в свободной (супер)алгебре Ли и в пространстве гармонических многочленов // Функцион. анал. и прилож. — 1986. — Т. 20, № 2. — С. 76-77.

28. М. В. Мосолова. О функциях от некоммутирующих операторов, порождающих градуированную алгебру Ли // Мат. заметки. — 1981. — Т. 29, № 1.— С. 35-44.

29. Е. В. Панкратьев. Компьютерная алгебра. Факторизация многочленов. — М.: Изд-во МГУ, 1988.

30. Ю. П. Размыслов. Тождества алгебр и их представлений. — М., Наука, 1989.

31. Э. Рейнгольд, Ю. Нивергельт, Н. Део. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. — М.: Мир, 1980.

32. А. И. Ширшов. Подалгебры свободных лиевых алгебр // Мат. сб. — 1953. — Т. 33, № 2. — С. 441-452.

33. А. И. Ширшов. О свободных кольцах Ли // Мат. сб. — 1958. — Т. 45, № 2. — С. 113-122.

34. А. И. Ширшов. О базах свободной алгебры Ли // Алгебра и логика. Семинар. — 1962. — Т. 1, № 1. — С. 14-19.

35. Ж.-П. Серр. Алгебры Ли и группы Ли. — М.: Мир, 1969.

36. А. С. Штерн. Свободные супералгебры Ли // Сиб. мат. ж. — 1986. — Т. 27, № 1. — С. 170-174.

37. W. W. Adams, Ph. Loustaunau. An Introduction to Grobner Bases. — Providence: Amer. Math. Society, 1994.

38. D. J. Anick. On the cohomology of associative algebras // Trans. Amer. Math. Soc. — 1986. — V. 296. — P. 641-659.

39. J. Apel, W. Lassner. Computation and simplification in Lie fields // Lecture Notes in Comput. Sci. — 1989. — V. 378. — P. 468-478.

40. L. L. Avramov. Free Lie subalgebras of the homology of local rings // Trans. Amer. Math. Soc. — 1982. — V. 270. — P. 589-608.

41. J. Bagger, J. Wess. Supersymmetry and Supergravity. — Princeton Univ. Press, 1983.

42. Yu. A. Bahturin, V. S. Drensky. Identities of the soluble color Lie superalgebras // Algebra i Logika. — 1987. — V. 26. — P. 403-418.

43. Yu. A. Bahturin, M. V. Zaicev. Residual finiteness of color Lie superal-gebras // Trans. Amer. Math. Soc. — 1993. — V. 337. — P. 159-180.

44. G. M. Bergman. The diamond lemma for ring theory // Adv. Math. — 1978. — V. 29. — P. 178-218.

45. G. Birkhoff and Т. C. Bartee, Modern Applied Algebra. McGraw-Hill Book Company, 1970.

46. B. Buchberger, R. Loos. Algebraic simplification // Comput. Suppl. — 1982. — V. 4. — P. 11-43; Computer Algebra. Symbolic and Algebraic Computation. — Wien-New York: Springer-Verlag, 1983.

47. Yu. A. Bahturin, A. A. Mikhalev, V. M. Petrogradsky, and M. V. Zaicev, Infinite Dimensional Lie Superalgebras. Walter de Gruyter, Berlin, New York, 1992.

48. D. Blessenohl, H. Laue. A basis construction for free Lie algebras // Exposition. Math. — 1993. — V. 11. — P. 145-152.

49. L. A. Bokut', G. P. Kukin. Algorithmic and Combinatorial Algebra. — Dordrecht, Kluwer Academic Publ., 1994.

50. B. Buchberger. An Algorithm for Finding a Basis for the Residue Class Ring of a Zero-Dimensional Polynomial Ideal: Ph. D. Thesis, Univ. of Ihnsbruck, 1965.

51. P. Beckman, J. Stuckrad. The concept of Grobner algebras //J. Symbolic Comput. — 1990. — V. 10. — P. 465-479.

52. Th. Becker, V. Weispfenning. Grobner Bases. A Computational Approach to Commutative Algebra. — Berlin: Springer-Verlag, 1993.

53. P. Cartier, D. Foata. Problemes combinatoires de commutation et de rearrangements. // Lecture Notes in Mathematics. — V. 85, Springer-Verlag, Berlin/New-York, 1969.

54. R. Cecchini, M. Tarlini. Symbolic superalgebra manipulation using common LISP // Comput. Phys. Comm. — 1990. — V. 60, № 2. — P. 265-270.

55. R. Cecchini, M. Tarlini. A Computer Algebra System for Lie and Poisson Superalgebras Manipulation. — Univ. di Firenze, Italy.

56. К. Т. Chen, R. Н. Fox, R. С. Lyndon. Free differential calculus. IV. The quotient groups of the lower central series // Ann. of Math. (2). — 1958. — V. 68. — P. 81-95.

57. C. Choffrut. Free partially commutative monoids. // LITP Report 86-20. — Paris. — 1986.

58. Computational Aspects of Commutative Algebra / Ed. L. Rob-biano. — Academic Press, 1989.

59. L. Corwin, Y. Ne'eman, S. Sternberg. Graded Lie algebras in mathematics and physics (Bose-Fermi symmetry) // Rev. Modern Phys. — 1975. — V. 47. — P. 573-603.

60. Computers in Algebra. Ed. M. C. Tangora. Marcel Dekker. — New York.— 1988.

61. Computer Algebra. Marcel Dekker. — New York. — 1989.

62. Computers in Nonassociative Rings and Algebras / Ed. R. E. Beck and B. Kolman. — New York: Academic Press. — 1977.

63. Computers in Mathematics. Marcel Dekker. — New York. — 1990.

64. R. Cori, Y. Metivier, W. Zielonka. Asynchronous Mappings and Asynchronous Cellular Automata. // LABRI Report 89-97. — Bordeaux. — 1989.

65. R. Cori, D. Perrin. Automates et commutations partielles. // RAIRO Inform. Theor. Appl. 19. — 1985. — P. 21—32.

66. H. Coxeter, W. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups. Springer-Verlag. — Berlin/New-York. — 1965.

67. J. Demetrovics, E. Knuth, and P. Rado, Computer-Aided Specification Techniques. World Scientific, Singapore, 1986.

68. J. Desarmenien, G. Duchamp, D. Krob, and G- Melancon. Quelques remarques sur les super-algebres de Lie fibres. // C. R. Acad. Sci. Paris. — Ser. I Math. — 318. — 1994. — P. 419-424.

69. B. DeWitte. Supermanifolds. — Cambridge Univ. Press, 1984.

70. V, P. Gerdt, I. R. Akselrod, V. E. Kovtun, V.- N. Robuk. Construction of a Lie algebra by a subset of generators and commutation relations // Computer Algebra in Physical Researches — Singapore: World Scientific, 1991. — P. 306-312.

71. К. O. Geddes, S. R. Czapor, G. Labahn. Algorithms for Computer Algebra. — Kluwer Academic Publ., 1992.

72. С. Itzykson, J. В. Zuber. Quantum Field Theory. — New York: McGraw-Hill Book Company, 1980.

73. V. G. Kac, A sketch of Lie superalgebras theory. Comm. Math. Phys. 53 (1977), 31-64.

74. V. G. Kac, Classification of simple Z-graded Lie superalgebras and simple Jordan superalgebras. Comm. In Algebra 13 (1977), 1375-1400.

75. V. G. Kac, Lie superalgebras. Adv. Math. 26 (1977), 8-96.

76. V. G. Kac, J. M. van der Leur. Super boson-fermion correspondense // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). — 1987. — V. 37, > 4. — P. 99-137.

77. S.-J. Kang, Graded Lie superalgebras and the superdimension formula. J. Algebra 204 (1998), 597-655.

78. S.-J. Kang, Free Lie superalgebras and the generalized Witt formula. In The Monster and Lie Algebras, Walter de Gruyter, Berlin, 1998, 207-219.

79. I. L. Kantor. An Analogue of E.Witt's Formula for the Dimensions of Homogeneous Components of Free Lie Superalgebras. — Deposited at VINITI, № 2384-84.

80. O. G. Kharlampovich, M. V. Sapir. Algorithmic Problems in Vari-etis // Intern. J. Algebra and Computation. — 1995. — V. 5, № 5.

81. P.-V. Koseleff. Jeux de mots dans les algebres de Lie fibres: quelques bases et formules. // Theoret. Comput. Sci. — 1991. — V. 79. — P. 241-256.

82. G. Lallement. Theory of Semigroups and Combinatorial Applications. Wiley. — New York. — 1979.

83. M. Lazard. Groupes, anneaux de Lie et probleme de Burnside. Inst. Mat. dell'Universita Roma. — 1960.

84. Ph. Le Chenadec. Canonical Forms in Finitely Presented Algebras. Pitman, London-New York, 1986.

85. J. M. Lemaire. Algebres Connexes et Homologie des Espaces de Lacets. Lecture Notes in Math. 422. — 1974.

86. J. D. Lipson. Elements of Algebra and Algebraic Computing. — Addison-Wesley, 1981.

87. M. Lothaire. Combinatorics on words. — Addison-Wesley. — Reading. — MA. — 1981.

88. J. Lukierski, V. Rittenberg. Color-de Sitter and color-conformal super-algebras // Phys. Rev. D. (3). — 1978. — V. 18. — P. 385-389.

89. S. MacLane. Homology. — Berlin: Springer-Verlag, 1963.

90. W. Magnus, A. Kharass, D. Solitar. Combinatorial Group Theory. Dover. — New York. — 1976.

91. Yu. I. Manin. Topics in Non-Commutative Geometry. — Princeton Univ. Press, 1991.

92. W. Mareinek. Generalized Lie algebras and related topics, I, II // Acta Univ. Wratislav. Mat. Fiz. Astronom. — LV, № 1170. — P. 3-52.

93. A. Mazurkievitch. Concurrent Program Schemes and Their Interpretations. // DAIMI Report. — PB. 78. — Aarhus University. — 1977.

94. H. Meier-Wunderli. Note on a basis of P. Hall for the higher commutators in free groups // Comment. Math. Helv. — 1952. — V. 26. — P. 1-5.

95. G. Melangon. Reecritures dans le Groupe Libre, l'Algebre Libre et l'Algebre de Lie Libre: Ph.D. Thesis, Univ. du Quebec a Montreal,1991.

96. G. Melangon, Ch. Reutenauer. Une presentation combinatoire de la super-algebre de Lie libre // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. —1992. — V. 315. — P. 1215-1220.

97. Y. Metivier. Contribution a 1'etude des monoi'des de commutation. — These Universite de Bordeaux I. — 1987.

98. A. A. Mikhalev and A. A. Zolotykh, On Witt's superformula and Kly-achko's theorem. 6th All-Union Conf. on the Theory of Varieties of Algebraic Systems. Abstracts of Reports. Magnitogorsk, 1990, p. 16.

99. A. A. Mikhalev and A. A. Zolotykh, Combinatorial Aspects of Lie Superalgebras. CRC Press, Boca Raton, New York, 1995.

100. J. W. Milnor, J. C. Moore. On the structure of Hopf algebras // Ann. of Math. (2). — 1965. — V. 81. — P. 211-264.

101. B. Mishra. Algorithmic Algebra. — Berlin: Springer-Verlag, 1993.

102. A. Montorsi, M. Rasetti. Symbolic manipulation techniques for (Z2-graded) Lie, Hopf and Hecke algebras // Rend. Sem. Fac. Sci. Univ. Cagliari. — 1991. — V. 61, № 1. — P. 107-110.

103. T. Mora. Grobner Basis for Non-Commutative Polynomial Rings // Lecture Notes in Comput. Sci. — 1986. — V. 229. — P. 353-362.

104. T. Mora. Seven Varitions on Standard Bases. — Report Dip. Mat. Univ. Genoa, 1988.

105. W. Nahm, V. Rittenberg, M. Scheunert. Generalized superalgebras. Phys. Lett. В. V. 61. — 1976.

106. Y. Neeman. The application of graded Lie algebras to invariance considerations in particle physics // Lecture Notes in Math. — 1977. — V. 570. — P. 109-144.

107. A. Nijenhuis, R. W. Richardson. Cohomology and deformations of algebraic structures // Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.). — 1964. V. 70. — P. 406-411.

108. A. Nijenhuis, R. W. Richardson. Cohomology and deformations in graded Lie algebras // Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.). — 1966. — V. 72, № 1, part 1. — P. 1-29.

109. A. Nijenhuis, R. W. Richardson. Deformation of Lie algebra structures // J. Math. Mech. — 1967. — V. 17, № 1. — P. 89-105.

110. E. Ochmanski. Regular Trace Languages. // These, Institute of Computer Science, Varsovie — 1985.

111. D. Perrin. Partial commutations. // Lecture Notes in Computer Science. — V. 372. Springer-Verlag, Berlin/New York. —1978.

112. D. W. Rand. Pascal programs for identification of Lie algebras. 3. Levi decomposition and canonical basis // Comput. Phys. Comm. — 1987. — V. 46. — P. 311-322.

113. V. A. Ufnarovsky. Calculations of growth and Hilbert series by computer // Comput. Algebra. — Marcel Dekker, 1993.

114. M. Vaughan-Lee. An algorithm for computing graded algebras // J. Symbolic Comput. — 1993. — V. 16. — P. 345-354.

115. G. Viennot. Algebres de Lie Libres et Monoi'des Libres. Lecture Notes in Math. V. 691. — .1978.'

116. G. Viennot. Algebres de Lie libres et monoi'des libres. // Lecture Notes on Mathematics. — Springer-Verlag, Berlin/New York. — 1978. — V. 691.

117. M. A. Ward. Basic commutators // Trans. Roy. Philos. Soc. London A. — 1969. — V. 264. — P. 343-412.

118. P. West. Introduction to Supersymmetry and Supergravity. — World Scientific, 1990.

119. G. Whitehead. Elements of Homotopy Theory. — Springer-Verlag, 1972.

120. E. Witt. Die Unterringe der freien Lieschen Ringe // Math. Z. — 1956. — V. 64. — P. 195-216.

121. W. Zielonka. Notes on finite asynchronous automata and trace languages // RAIRO Inform. Theor. Appl. — 1987. — V. 21. P. 99-135.

122. A. A. Zolotykh. On calculations of integer-valued characteristics of representations of simple Lie algebras. // 4th Internat. Conf. on Computer Algebra in Phys. Researches. Abstracts of Reports. — Dubna, 1990. — P. 75.Работы автора по теме диссертации

123. Н. А. Добрынин, Теоремы об исключении переменных для свободных частично коммутативных супералгебр Ли. В "Kurosh Algebraic Conference'98. Abstracts of Talks" (под ред. Ю. А. Бахтурина, А. И. Кострикина, А. Ю. Ольшанского), Москва, 1998, стр. 168.

124. N. A. Dobrynin, Free partially commutative color Lie superalgebra: on elimination of variables. In "Lie Algebras, Rings, and Related Topics. Ed. Yu. Fong, A. A. Mikhalev, E. Zelmanov", Springer-Verlag, Hong Kong, 2000, P. 32-48.

125. Н. А. Добрынин, Свободные частично коммутативные супералгебры Ли: размерности однородных компонент. Фунд. и Прикл. Матем., т. 6, № 2, 2000, стр. 1-9.

126. Н. А. Добрынин, Free partially commutative Lie superalgebras: dimensions of homogeneous components. Формальные Степенные Ряды и Алгебраическая Комбинаторика. 12-я межд. конф. Дополнительные тезисы. Москва, 2000, стр. 13-15.