О p-примитивных полуполевых плоскостях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Бусаркина Ирина Викторовна О ^-примитивных полуполевых плоскостях

01.01.06 — математическая логика, алгебраи теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители — доктор физико-математических наук, профессор Подуфалов Н.Д., канд. физико-математических наук, доцент Дураков Б.К.,

Красноярск 1998

Содержание

Введение 3

I Глава. Основные результаты, определения и обозначения 8

II Глава. Группа автотопизмов полуполевой р-примитивной плоскости ранга 2 16

III Глава. Полуполевые р-примитивные плоскости произвольного ранга 33

1. Построение регулярного множества 33

2. Некоторые 2-свойства группы автотопизмов плоскостей с за-

данным регулярным множеством 38

3. Разрешимость группы автотопизмов плоскостей с заданным

регулярным множеством 63

IV Глава. Построение примеров плоскостей 72 Список литературы 75 Приложение 78

Введение

Начало теории проективных плоскостей было положено еще в работах Ж. Дезарга, Л. Эйлера, К. Гаусса, Д. Гильберта. Позже значительный вклад был внесен работами М. Холла, Р. Бэра, О. Веблена, Д. Веддерберна, Д. Зингера и других. Процесс координатизации, предложенный Гильбертом, дал возможность перевести геометрические задачи на алгебраический язык. Первые примеры недезарговых конечных проективных плоскостей, приведенные Вебленом и Веддерберном (1907г.) [15], были действительно получены благодаря алгебраическим построениям. С другой стороны, Р. Бэр [1] обратил внимание на близкую связь между теоремой Дезарга и существованием центральных коллинеаций. Все вместе это позволило существенно продвинуться в изучении проективных плоскостей.

Процесс координатизации (построения координатизирующего множества), который был обобщен на произвольные проективные плоскости М. Холлом (1943г. [9]), оказался хорошо работающим понятием при изучении конечных проективных плоскостей.

Геометрические свойства проективной плоскости существенно зависят от свойств алгебраических операций, задаваемых на коорди-натизирующем множестве. Дезарговы плоскости, имеющие наиболее богатую группу коллинеаций, координатизируются полем. Если плоскость координатизируется квазиполем, то она является плоскостью трансляций. Плоскости, координатизируемые полуполем (полуполевые плоскости), являются плоскостями трансляций и дуальные к ним плоскости также — плоскости трансляций.

Связь геометрических свойств плоскости и алгебраических свойств координатизирующего множества настолько тесная, что даже на пер-

вый взгляд незначительные различия свойств координатизирующих множеств дают существенные различия геометрических свойств плоскостей. Известно, что группа коллинеаций дезарговой плоскости неразрешима, однако все существующие примеры полуполевых плоскостей имеют разрешимую группу коллинеаций. Более того, существует гипотеза, что группа коллинеаций всякой полуполевой плоскости разрешима. Есть много работ, в которых устанавливается справедливость данной гипотезы для отдельных классов плоскостей [7], [11], [14].

Многие естественные вопросы, которые решены для дезарговых плоскостей, до сих пор не исследованы для полуполевых плоскостей, хотя полуполевые плоскости допускают удобное представление с помощью векторных пространств.

Большую роль в изучении полуполевых плоскостей играют бэров-ские коллинеации. В частности, доказана разрешимость группы коллинеаций полуполевой плоскости четного порядка, которая не содержит бэровских подплоскостей [И], что подтверждает справедливость гипотезы о разрешимости группы коллинеаций полуполевой плоскости. О группах коллинеаций плоскостей, допускающих бэровскую кол-линеацию, таких общих результатов неизвестно. Доказана, например, разрешимость группы коллинеаций для полуполевых плоскостей четного порядка ранга 2 и 4, которые допускают бэровскую инволюцию [17], [19], а также для некоторых примеров таких плоскостей большого ранга [18].

В диссертации рассматриваются р-примитивные полуполевые плоскости нечетного порядка д4 (д = рв, р — простое нечетное число).

Первая работа, посвященная изучению р-примитивных полуполевых плоскостей, была опубликована в 1987 году. В этой работе Й. Хи-рамин, М. Мацумото и Т. Ойама начали изучение плоскостей ранга 2 [10]. Они предложили идею построения регулярного множества р-примитивных полуполевых плоскостей и получили некоторые свойст-

ва группы коллинеаций таких плоскостей. Изучение р-примитивных полуполевых плоскостей было продолжено Н. Л. Джонсоном в статьях [12], [13]. В частности, в [13] он доказал, что порядок р-примитивной полуполевой плоскости 7г ранга 2 равен д4 и ее регулярное множество имеет вид

где ¡(у) = /оу + /\ур +... + ¡2г-\Ур2г~1 — аддитивная функция в СТ(д2).

Информация о строении регулярного множества дала возможность изучать строение группы коллинеаций плоскости. В работах [2] и [3] М. Кордеро изучила и выписала вид всех автотопизмов и доказала разрешимость группы автотопизмов в частном случае, когда д = р.

Полуполевые р-примитивные плоскости большого ранга практически не изучались.

Перед автором диссертационной работы была поставлена задача продолжить изучение р-примитивных плоскостей ранга 2, а также плоскостей произвольного ранга.

Перечислим основные результаты диссертации:

1) построено регулярное множество р-примитивной полуполевой плоскости порядка д4 для произвольного ранга (теорема. 3.6);

2) изучены свойства группы автотопизмов р-примитивной полуполевой плоскости порядка д4 ранга 2 (теорема 2.7) и доказана разрешимость группы коллинеаций такой плоскости (следствие 2.8);

3) изучены некоторые свойства группы автотопизмов р-примитив-ной полуполевой плоскости порядка д4 произвольного ранга с заданным регулярным множеством (теоремы 3.17 и 3.22);

4) доказана разрешимость группы коллинеаций р-примитивной полуполевой плоскости порядка д4 произвольного ранга с заданным регулярным множеством (теоремы 3.28 и 3.29);

и V

/М И»

5) построены примеры р-примитивных полуполевых плоскостей ранга 4 (глава 4).

Диссертация состоит из введения и четырех глав. В первой главе приведены основные понятия и определения, которые встречаются в тексте диссертации, а также сформулированы основные результаты.

Вторая глава посвящена детальному изучению группы автотопиз-мов ^-примитивной полуполевой плоскости ранга 2 произвольного порядка <Д ^ = рг, р — простое нечетное число). Выписан вид всех автотопизмов и доказана разрешимость группы автотопизмов такой плоскости (теорема 2.7 и следствие 2.8).

В третьей главе продолжено изучение р-примитивных полуполевых плоскостей произвольного ранга. Для таких плоскостей построено регулярное множество, изучены свойства инволюций группы автотопизмов полуполевой ^-примитивной плоскости произвольного ранга с заданным регулярным множеством и доказана ее разрешимость (теоремы 3.17, 3.22, 3.28 и 3.29).

В четвертой главе описан метод построения р-примитивных полуполевых плоскостей ранга 4. Были построены некоторые примеры плоскостей порядков 81 и 625, тем самым показано, что класс исследуемых плоскостей непустой.

Тема исследования была предложена моим научным руководителем Николаем Дмитриевичем Подуфаловым. Я глубоко благодарна ему, а также Борису Константиновичу Дуракову за постоянное внимание, полезные советы, доброжелательное отношение и помощь на протяжении всей работы.

Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории групп при Институте математики СО РАН под руководством доктора физико-математических наук, профессора В. Д. Мазурова (город Новосибирск), на алгебраическом семинаре (Красноярский государственный университет), а также на Международной алгебраической

конференции памяти А. Г. Куроша, проходившей в 1998 году в Москве, и конференции, посвященной памяти А. И. Мальцева, в 1997 году в Новосибирске.

I Глава Основные результаты, определения и обозначения

Определение 1. Проективной плоскостью 7г называют множество точек и прямых с отношением инцидентности между ними таким, что:

(1) любые две точки инцидентны единственной прямой;

(2) любые две прямые инцидентны единственной точке;

(3) существуют четыре точки, из которых никакие три не инцидентны одной прямой.

Если какая-либо прямая инцидентна с конечным числом точек (обозначим это число за п + 1), то оказывается, что любая другая прямая инцидентна с таким же количеством точек, а всего плоскость содержит п2 + п +1 прямых и столько же точек. Число п называют порядком плоскости.

Определение 2. Коллинеацией плоскости называется сохраняющее инцидентность взаимно однозначное отображение плоскости на себя.

Все коллинеации плоскости 7г образуют группу АиЬтг, называемую полной группой коллинеаций плоскости.

Определение 3. Коллинеация называется центральной, если она фиксирует поточечно некоторую прямую (ось) I и некоторую точку (центр) V плоскости.

Определение 4. Центральная коллинеация называется элацией, если ее центр инцидентен оси.

Определение 5. Центральная коллинеация называется гомологией, если ее центр не инцидентен оси.

На любой проективной плоскости может быть определенным образом введена координатизация. Для этого выбирают координатизиру-ющее множество Я с выделенными элементами 0 и 1, и каждой точке плоскости ставят в соответствие пару (х,у), где х,у £ Л. В множестве В вводят операцию О так, чтобы множества точек Уи = Е

Я} для каждого и Е И составляли прямые, проходящие через точку (0,0).

Алгебраические свойства координатизирующего множества, с введенной таким образом операцией, оказываются тесно связанными с геометрическими свойствами плоскости.

Например плоскости, допускающие транзитивную на точках плоскости группу элаций с фиксированной осью, так называемые плоскости трансляций, координатизируются квазиполем.

Плоскости, рассматриваемые в работе, — полуполевые плоскости. Это трансляционные плоскости, дуальные к которым тоже трасляци-онные плоскости. Исследованию таких плоскостей посвящено большое число работ. Интерес к ним вызван гипотезой о разрешимости группы коллинеаций. К тому же имеется возможность удобного представления полуполевых плоскостей. Полуполевую плоскость можно представить с помощью 2п-мерного векторного пространства над полем А", V = {(жь ...,хп,у1, ...,уп)}. В качестве прямых, проходящих через точку (0,0), выбирают подмножества {{х,у)\х = 0 или у = £@(м)}, где х — (я1,..,яп), у — (у1,..,у„) и и = (щ,..,ип) — п-мерные векторы, а ©(и) — матрица п х п над К. При этом множество матриц Е = {0(и)|м Е А'"} замкнуто по сложению и при и ф 0 матрица В (и) — невырожденная. В дальнейшем множество Е мы будем называть регулярным.

Определение б. Бэровским подмножеством называется множество В точек и прямых плоскости 7г такое, что любой элемент плоскости инцидентен с некоторым элементом этого множества. Если В является

подплоскостью плоскости я-, то В называется бэровской подплоскос-тью.

Определение 7. Коллинеация называется бэровской, если она фиксирует бэровскую подплоскость поточечно.

Определение 8. Автотопизмом плоскости называется коллинеация, фиксирующая три точки, не лежащие на одной прямой.

Определение 9. Группой автотопизмов плоскости называют множество всех ее автотопизмов, фиксирующих точки (0,0), (0) и (оо).

Для полуполевых плоскостей доказана эквивалентность задач разрешимости группы автотопизмов и группы коллинеаций [И].

Пусть 7г — полуполевая плоскость порядка q2 с ядром К ~ GF(ps), где q = рг — степень простого числа.

Определение 10. Коллинеация ß плоскости тг называется р-прими-тивной бэровской коллинеацией, если она фиксирует бэровскую подплоскость поточечно и ее порядок — р-примитивный делитель q — 1 (то есть \ß\ | (q - 1), но \ß\ \ {р{ - 1), г = 1,..., г - 1).

Определение 11. Полуполевая плоскость порядка q2 с ядром К, где Я — Pri Р — простое нечетное число, называется р-примитивной полуполевой плоскостью, если она допускает р-примитивную бэровскую коллинеацию.

Вторая глава диссертации посвящена изучению р-примитивных полуполевых плоскостей ранга 2.

Основным результатом второй главы является теорема. Теорема 2.7. Пусть n(f) —р-примитивная полуполевая плоскость ранга 2 и A{it) — её группа автотопизмов. Тогда в подходящем базисе все автотопизмы плоскости можно разбить на следующие четыре

типа:

где

а

= ьл ,

— 5 ./г

а 1 / а 4

а! О О О

О а4 О О

О О б! О

О О О ЬА

р1 ь а 4

(I)

где

а

О а2 О О

а3 О О О

ООО Ъ2

О О 63 О

я

Ь. а2

(И)

/о/о^ + Л + + (я*

а3 \ а3/ \ аз

п2г — 1

Ьз аг

6,

,¿+1

«з

V а3

,2»—1

+ ...

= О, г = 1,..., 2г - 1;

а! О О О

О а4 О О

О О О Ь2

О О 63 О

где

9+1

(III)

J Г 1 и г

Ьл

ах

er

О а2 О О

а3 О О О О 0 h О

ООО Ъ4

(IV)

где

/М = frV\

Здесь: ai,bi € GF{q2), а — автоморфизм GF(q2).

Далее А(я-) = А{1), где А — подгруппа линейных автотопизмов, I — некоторый нелинейный автотопизм, если такой существует, и А(7г) = А в противном случае. В свою очередь, А = H(g,s), где Н — подгруппа линейных автотопизмов типа (I), g,s — некоторые линейные автотопизмы типа (II) и (III), соответственно. А и Н нормальные подгруппы А(тс).

Из теоремы 2.7 получаем.

Следствие 2.8. Группа автотопизмов А(ж) плоскости 7г(/) разрешима.

Следствие 2.8 подтверждает справедливость гипотезы о разрешимости группы автотопизмов для р-примитивных плоскостей ранга 2.

В третьей главе диссертации изучены плоскости произвольного ранга. Теорема 3.6 помогает определить вид регулярного множества р-примитивной полуполевой плоскости произвольного ранга.

Теорема 3.6. Пусть 7Г — полуполевая плоскость ранга 2п порядка q4 с ядром К ~ GF(ps), (q = pr, р — простое нечетное число, s ^ г), допускающая бэровскую коллинеацию порядка q 4-1. Тогда регулярное множество Е этой плоскости в некотором подходящем базисе принимает вид

где f(vi) — f(vi,...,vn) Е F — аддитивная функция, {^(^г)} ==

..., уп)} — аддитивное множество матриц размерности п х п над К.

В параграфе 2 изучены свойства группы автотопизмов р-примитив-ной полуполевой плоскости произвольного ранга с регулярным множеством

Е1 =

^г,,/и

аддитивная функция в^, г

„2г— 1

и ТУ

_/(*) и\

где ¡(у) = /0у + ¡1Ур + ... + /2г_ нормализует поле

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.17. Пусть п — полуполевая плоскость порядка д4 над ядром К ~ ОГ(рв) с регулярным множеством Е1, (д = рг и р > 2 — простое число). Если ранг плоскости больше 4 или, в случае ранга 4, /(у) ф /оу и ¡{у) ф !гу\ то некоторая силовская 2-подгруппа 5 группы автотопизмов плоскости 7Г имеет вид в = где Щ — силовская 2-подгруппа группы

В1

в\

а = 1,4, А4 = А\ВаВ^, М^1В1 = г =

1, ...,2г — 1.

А 2-элемент д вида

Гт'А1

Т'А4

т'в1

т'В4

Н =

> ,

9

Здесь т' нормализует поле Г, А^В^ Е ^ = 1,4, А4 = ч,

П'А^Вг = МА^В.У, г = 1,..., 2г - 1.

Я =

Теорема 3.22. Пусть тт — полуполевая плоскость порядка д4 над ядром К ~ с регулярным множеством (д = рг и р > 2 — простое число). Если ранг плоскости 4 и 1{у) = /о^ или = то 2-ранг группы автотопизмов равен 3 и некоторая силовская 2-подгруппа Б группы автотопизмов имеет вид Б = • (д\){д2), где #2 силовская 2-подгруппа группы

' М

Аа

Вх

В\

а <Е $ = 1,4, А4 = А\ВаВ?, = ¡¡(А^В*/, i

1,...,2г-1. При этом:

1. Если ¡(у) = /оу, то

гА4

тВ\

тВА

где Д-, В г £ г = 1,4, А4 = А\ВаВ~\ = /0ЛрВ4;

О А2 А3 О

9\

9 2 =

В,

гВ4

гй? А2,А3,ВьВ4 € ^ /оА3"^4 = Аз"1^, (Аз"1./^)* = ¿а-1^

Если ¡(у) = ¡гуд, то

ГтА!

тАа

тВ\

тВа

где АиВг € г = 1,4, А4 = А\В4В~Х\ РгА^Вг = /.А^В^;

52

тАх О О А2

О В2 Вг О

где АиА4,В2,Вг е ^ /ГА{-1Щ = А^В,, (А,~1В3)«

_ /1-1

А-4 52/г

Из теорем 3.17 и 3.22 вытекает следствие. Следствие 3.23. 2-ранг группы автотопизмов плоскости 7Г с регулярным множеством Е] равен трем или четырем.

Параграф 3 посвящен доказательству разрешимости группы автотопизмов р-примитивной полуполевой плоскости произвольного ранга. Основным результатом этого параграфа являются теоремы:

Теорема 3.28. Пусть 7г — р-примитивная полуполевая плоскость с регулярным множеством Е1. Тогда группа автотопизмов 7Г разрешима.

Теорема 3.29. Пусть п — р-примитивная полуполевая плоскость с регулярным множеством Е1. Тогда полная группа коллинеаций 7Г разрешима.

Все результаты опубликованы в работах [21]-[27]. Результаты докладывались на Международной алгебраической конференции памяти А. Г. Куроша, проходившей в 1998 году в Москве, на конференции, посвященной памяти А. И. Мальцева, в 1997 году в Новосибирске, на семинаре по теории групп при Институте математики СО РАН под руководством доктора физико-математических наук, профессора В. Д. Мазурова (город Новосибирск).

II Глава Группа автотопизмов полуполевой р-примитивной плоскости ранга 2

Пусть 7Г — полуполевая р-примитивная плоскость порядка д4 с ядром К ~ СР^2), где д = рг, р > 2 — простое. В [13] Н.Л. Джонсон показал, что регулярное множество такой плоскости имеет вид

и V

/М «ч\

и, V е бТ(д2)

где ¡(у) = /о^ + /1^р + .-. + /2г-1^р2г 1 — аддитивная функция в £.Р(д2).

В дальнейшем, на протяжении всей главы, плоскость с таким регулярным множеством мы будем обозначать 7г(/).

Докажем вспомогательное утверждение. Лемма 2.1. Пусть 7г(/) — р-примитивная полуполевая плоскость. Тогда существует коэффициент функции ${у), которы�