О полуполевых плоскостях четного ранга с максимальным правым ядром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Р Г Б ОД 1 5 ДЕК 1996

На правах рукописи

Краии.она Ольга Вадимовна

О НОЛУПОЛЕВЫХ ПЛОСКОСТЯХ ЧЕТНОГО РАНГА С МАКСИМАЛЬНЫМ ПРАВЫМ ЯДРОМ

01.01.00 — Математическая логика, алгебра и теория пнсл1

АВТОРЕФЕРАТ ддссе{шнц«1 па с - зскаидс учег»>й сп-юни кандидата физ1;!-:омйт^м5тп'гесг;.ьх ;ааук

Красноярск — 1090

Работа выполнена

в Красноярском государственном университете

Научные руководители:

д.ф.-м.п., проф., академик РАО Подуфалов Н.Д., к.ф.-м.н., доц. Дураков Б.К.

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., проф. Левчук В.М., к.ф.-м.н., доц. Майер В.Р.

Ведущая оргслизация Новосибирский государственный

университет

Защита состоится 21 декабря 1.996 годав II часов на заседании диссертационного совета Д 064.02.01, по адресу 660062, г.Красноярск, пр.Свободный, 79,

Красноярский государственный университет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке

Красноярского государственного университета

Автореферат разослан » ноября 1996г.

"Ученый секретарь диссертационного совета

Бабенышев С.В.

ОБЩА51 ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Акт уллмкк • ь темы, Попроси теории проективных плоскостей и исследования связанных с ними алгебраических систем находится на стыке алгебры с комбинаторным анализом. Теория проективных плоскостей имеет богатую историю, изучение подобных вопросов началось еще п работах Л. Эйлера и К. Гаусса. Исследованием проективных плоскостей занимались также такие известные математики, как Д. ГиЛ'.б^рт, Ж. Дезарг, М. Холл, Р. Бэр, Л. А. Скорнлкоп и другие. В 70-х годах более пристальное внимание российских алгебраистов было привлечено к этой науке выступлениями А. И. Ширшова.

Среди проективных плоскостей особое место занимав- юысс плоскостей трансляций и подкласс полуполевкх плоскостей. Известен метод построения плоскостей грансля!: на основе иек-торного пространства и некоторой системы невырожденных матриц, называемой регулярным множеством. Наиболее простыми для построения и исследования кажутся плоскости трансляций ранга 2, регулярное множество которых. г'ожет бить представлено 2 х 2-матрипами. Однако с возрастанием ;юрядка плоскости функция, определяющие регулярное множество, приобретают дополнительные степени свободы, в с:-'>»зи с чем изучение плоскости значительно усложняется

Н. Д. Подуфаловым был предложен другой подход к. изучению полуполевых плоскостей. Носко/', .ку полшг.- гг' -гти коллинеа-ций взаимно дуальных(гати-кзоморфных) преккг.шмых плоскостей изоморфны, можно сочетать изучение потупг,. -зой плоскости с исследованием сг^'.отв дул "ъкой ей 1,'О.г !><г- >« плоскости. Существенная сложность лчг„г7ся б том, до сих лор не определена методика проверки гуальнссти проективных п.'гос-костей(критерий нзоморфности грзкеляциошпис плоскостей доказан Н. Д. Подуфаловым 8 статье (Т)).

Настоящая рнбо'; ;:оси»щела изучению полуполевых плоскостей, дуальных глхкостгх: ранга, 2 и том числе плоскостям, попускающим бэрсвскуюцнас^юхрю. Двтерсм дог:гза</ы не которые результаты, позесл-жощие сгрсить полуполезые плоское ти, дуальные так називасыииб^р-э/иционным плоскостям типа (2.у) которые рассматривэлись а работах [!], [2], (4), [Г>].

Цель работы. Изучить изменение геометрических и алгебраических свойств при переходе от полуполевой плоскости ранга 2 к дуальной плоскости.

Общая методика исследования. Применяются методы современной алгебры и оригинальный математический аппарат, введенный автором диссертации.

Научная новизна и практическая ценность. Описан вид проективных плоскостей, дуальных конечным полуполевым плоскостям ранга 2.

Исследованы полуполевые плоскости, дуальные плоскостям ранга 2 над конечным полем четной характеристики, допускающим бэронскую инволюцию. Определен вид регулярного множества и бэровской инволюции. Полностью описан централизатор бэровской инволюции в группе автотопизмов и подгруппе линейных аатотопнэмов плоскости. Доказана разрешимость полной группы коллинеацяй для плоскостей такого типа.

Изучены полуполевые плоскости ранга 2, дуальные которым также имеют ранг 2.

Построены примеры иолуполевых плоскостей порядка 16, 64, 256, дуальных некоторым известным полуполевым плоскостям ранга 2.

Доказаны некоторые результаты из теории конечных ноле!!.

Все результаты диссертации являются новыми.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Приведенное в ней исследование может найти' применение б теории конечных проективных плоскостей, в теории групп, а также в теории конечных полей. .

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории групп при Институте математики СО РАН, город Новосибирск, под руководством доктора физико-математических наук, профессора В. Д. Мазурова, на городском алгебраическом семинаре, а также на Международной конференции по алгебре памяти М. И. Каргаполова, проходившей в 1993 году в Красноярске.

Публикации. По теме опубликовано 5 работ, список которых помещен в конце реферата. Три работы написаны в соавторстве с Подуфаловым Н.Д., Дураковым Б. К. и Дураковым Е. Б.

Струк тура и оиъш работы. Диссертационная работа изложена на 08 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех r.'i а о и приложений. Работа содержит 12 параграфов. Список литературы содержит 18 кампаний.

Используется сквозная нумерация теорем и определений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится история рассматриваемых далее вопросов и формулируются основные результаты диссертации, которые доказываются в последующих главах.

Первая глава состоит из 3 параграфов п носит вспомогательный характер. В ней приводятся основные определения и развивается аппарат, используемый з последующих главах.

В §1 вводятся понятия, необходимые для описания группы коллинеагшй проективных плоскостей изучаемого вида. Используются определения и обозначения, принятые в [о], [5].

Приводится способ построения плоскости трансляций (и полуполевой плоскости) па основе согласованного расщепления абе-левой группы, описанный в [5].

В §2 дано определение ядер проязьольног> полуполя, ядер плоскости, коордипатязируемой пслуполем, и ползай изоморфизм соответствуйте);; ядер плоскости л кос „•дгшати-"'г>ующего полуполя. Приведены результат; г о сгр . гя групп1 -оллинеа-ций полуг.олевой плоскости, ."ок л одые ¡: t») и fft\ Описано строение подгруппы, псрожде.шгсй . гралып-'^и „.оллинеашгями.

В §3 приводятся допо.'!»':г;жлые результаты из теории конечных полей, необходимы-тя для а^учаи'.ч « ••уголепых плоскостей большого ранг. О ¡астяости, показе: , ...орема:

ТЕОРЕМА 1. Существует единственное, с точностью до сопряжения .в GL(n,g), множество eGL'n,g) !J{0}, являющееся полем порядка qn относительно смлссния и умножения матриц.

Во второй r.'¿aBe рассматриваются полуколевые плоскости ранге 2гс дуамные педупмевым пцссксстяы ранга 2 над лмем GF(q") чет:юй харя-'терче.и/ч.

Пусть г — npo¡:iBUJ- л'п; о^к^чная пзкж* „ ть Плоскость тг' называется 3ya.ti.noS к плоскости г с-елг: кахгдз.ч прямая плос-

кости л* является точкой плоскости тс', каждая точка 7Г является прямой тс', и любые два члс.мипа плоскости тс' инцидентны тогд < и только тогда, когда они инцидентны в плоскости тс. 11 частно, что полные группы коллинеацпй взаимно дуальных проективных плоскостей изоморфны.

На любой проективной плоскости можно ввести координаты с использованием элементов некоторого множества. Проективная плоскость называется полуиолеьой, если ее коордниатизирующее множество явля' гея полуполем. Полуполевая плоскость является одновременно плоскостью трансляций и дуальной к плоскости трансляций.

Известно, что полуполе можно рассматривать как векторное пространство ш>д каждым из его ядер. Оказывается, ранг полуполевой плоскости совпадает с размерностью координатнэн-рукнцего гюлуполл над левым ядром. Как доказано в §4, ранг дуально!'! п юскостп тг' равен размгриостн того же полуполя над правым ядром:

ТЕОРЕМА 2. Полуполевая плоскость имеет ранг 2 над полем ) и обладает правим ядро/4 порядка </ тогда и только тогда, когда дуальная ей полуполевая плоскость имеет ранг '¿и над полем С Г (с?) и обладает правил! ядром порядка д".

Следовательно, изучение группы иоллинеаций лолуполевой плоскости ранга 2 можно сочетать с изучением группы коллинеа-ций дуальной плоскости, которая имеет, как правило, больший ранг, по определяется регулярным множеством более простого вида. В §4 доказаны следующие основные результаты о строении регулярного множества полуполевых плоскостей с максимальным правым ядром:

ТЕОРЕМА 3. Пусть ъ' — г.олуполевая плоскость ранга 2 над полем С г (<;"), q = 2к, с правым ядром порядка Тогда дусыьиая ей полуполевая плоскость п может быть записана в виде векторного пространства

л = {(^1,.. .,хъп,У\ 1 • ■ *.У2п)| У» € >' = 1,...,2п}

с компонентами расщечлсния х = 0 , у — хО , где г, у, 0 — "2п-мерные вектора, 0 произвольная матрица из регулярного

множ сства

\ \ л\"> и -tb\> )\ " - I ■

Л. В, С, D - п х п-мтприцы чад CF{g), F — поле о G'Lin, 7)U (0), \F\ ~ qn, --р — чсыоторчй изоморфизм. Молено считать, чгчо

Ki - ■ = Ьпп = О, аЧ1 — .. . = _j — О, апп = 1.

Правое ядро плоскости г имеет вид

Ч(*." 2)1 М-

ТЕОРЕМА 4. Пусть я - полуполсвая плоскость ранга "2п > 2 und по.'!ем GF{q), q — 2К, которая допускает линейную бэров-скую инволюиию г. Пусть, к роме того, правое ядро Rr имеет порядок qn и содержит все скалярные матрицы над полем GF(cj). Тогда вид регулярного множества и правого ядра п.п.с-костй,п определятся Теоремой 5, инволюция т Mow.m быть задана матрице-Й Tj или гэ, где

Таким образом, существует два типа полуполевых плоскостей с максимальным правым ядром, допускающих линейную бэ-ровскую мнволюмию. Будем говорить, что полуполевая плоскость ранга 2п над полем СГ{<]). где д = 2к, относится к типу

В11 ('¿71, </, 1) или В Н('¿и, г;, 2}, если ее регулярное множество может быть записано в виде

где F — иоле а GL(n, q) U {0} порядка qn, правое ядро содержит все скалярные матрицы над полем GF(q), плоскость допускает бэровскую инволюцию Ti и г» соответственно. Пусть, к ром.- тою, /ii и Яг — левое и правое ядра полуполевой плоскости. !3 §4 доказана теорема:

ТЕОРЕМА 5. Справедливы следующие утверждения:

(1) Полуполевая плоскость их относится к типу ВН (2и, ц. i) тогда и только тогда, когда дуальном ей плоскость л' имеет ранг 2 над полем GF{qn), выполняется условие \ Н,- П Ri | q, и дог.ускает линейную воровскую инволюцию.

(2) Полуполгвая плоскость п относится к типу НИ(2н, q, 2) тогда и только in..sda, когда дуальная ей плоскость ж' имеет ранг 2 над полем GF(qn), выполняется условие ¡/{,- Г) Ri| ^ q, и :г' допускает полулинейную бэровскую инболюцию.

В статье [9] автором совместное Н. Д. Подуфаловым, Б. К. Ду-раковым, Е. Б. Дураковым доказан результат, подтверждающий гипотезу о разрешимости полной группы коллинеаций для полуполевых плоскостей ранга 2 четного порядка. Этот результат также приведен в §4.'

ТЕОРЕМА G. Полная группа коллинеаций полуполевой плоскости ранга 2 над полем С?/•'('/)( Ч — 2*) разрешима.

В силу изоморфностн полных групп коллинеаций дуальных проективных плоскостей этот результат справедлив и для полуполевых плоскостей четного ранга с максимальным правым ядром.

Следствие. Пуст ья - полупшевал плоскость ранга Ъ\ над полем GF(g). правее яЗро копюрой имеет поряЗси qn , Тогда полная yjtniü аоллин£<хций- Au-tT разрешила.

В §5-7 изучаются плоскости типов Blf{'2n,q, 1) и Д//(2п,д,2). Доказано, что регулярное множество таких плоскостей может быть задано с использованием только линейных функций. Для плоскостей тина fill('2п, 7,1) описан централизатор бэровской инволюции г в группе автотопизмови подгруппе линейных автотопизмов.

В §8 подробно рассмотрены полуполевые плоскости ранга 2 над полем GF{q) с максимальным правым ядром. Как указано выше, такие плоскости дуальны полуполевым плоскостям ранга 2. Как доказано в §8, ограничение ¡Я; П Яг| >. q излишне сужает класс рассматриваемых плоскостей; такому условию удовлетворяют лишь дезаргош плоскости.

Если плоскость педезаргова и обладает максимальным правым ядром, то можно считать, что правое ядро плоскости образовало диагоиальипми матрицами. В §8 описан вид регулярного множества такой иолуполсвой плоскости, а также плоскости с максимальным правым ядром, допускающей линейную бэровскую инволюцию.

Как и для большего ранга, полностью «пределе!! централизатор бэро&ской инволюшш в группе автотопизмов и подгруппе лгшейиых автотопизмов. Кроме того, выявлена связь изучаемых плоскостей с бэр-элашкншыми плоскостями типа (2,q), которые изучалась рядом авторов п 80-90 годах ([1], {2], [4], [б]).

В статье [4] приведены все цедезарговы примеры полуполевых плоскостей порядка 8~ с ядром GF{8), допускающих бэровскуга лнводюцию в линейном трансляционном дополнении. В статье [8] построены все полуполевые плоскости порядка 1б2 с ядром GF{ 16), допускающие линейную бэровскую инволюцию. В качестве иллюстрация к доказаны« результатам в §9-11 автором с использованием вычислительной техник и построены полуполевые плоскости ранга 2,4, б, дуальные некоторым двумерным собственно полуполевьш плоскостям порядков 4*',-82 и 162, допуска. тощим линейную бэровскую инволюцию. Дтя всех построенных плоскостей определен вид силовской 2-подгруппы в группе автотопизмов и вычислен порядок группы автотопизмов и подгруппы линейных автотопизмов. Кроме того, в §12 построены примеры полуполевых плоскостей типа ВН(4,4,2), не относящихся к типу

Д#(М,1).

«

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Biuorri М )нл V., Johnson N 1 , Meniche пч О. A structure theorv )r two-dimensional translation planes of ord«*r </*' that admit tolbne.Uioii group of <jrd"r if' // Groin. Uedio.V. a. 1989. V. 29. P. 7-43. 2 Biuorri M., Jha V , Johnson N. L., Mlnichetti (J. The co!!me<ition groups o! hac.r-tlation plans.s // Att.i. ^tiii. Mat. i'is. Unii'. Mod. «а ЧХХVI, 23-35(1988). J Dkmbovski P. Finite geometries // Springer-Verlag, Belli,-j, Heidelberg V v.-York. 1968 •t Huang II., Johnson N. L 8 scmifidd planes of order 82 // Dis-

«<'«• Math 1990 V. 80, N 1. P. 6:>-79. 5 Htohes D. ft., I'iPEIl F. C. Projective planes // Springei - Vet lag

New-Yoik Inc. ¡973 <> -iti-v V., Johnson N. L. Baer-elation planes // Rend. bem. Mai

I iu\ Padova. 1937. V. 78. P. 27-45. 7 1'oni.i- m.ov N. I). On bpread sets and collineation« of projcri ivc pidj.es U Coritfcriip. M*fb ">9J. (Part 1). V. 131. P. {¡07-70Г-.'

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[ь] Подуфалои it. Д., Дураков В. К . Кравцова О. В.. Дураком К С О иолуполгвых плоскостях порядка 16J // Оно. Мат. /К>рн. Тим 37 N 3, 1996. с.616-623.

[0] Подуфалон Н. Д., Дураков Б К., Кравцова О. В., Дураков Е Б О полуполеаых плоскостях порядка q* //' /¡иг. и ВИНИТИ от 14 10.96 N ЗООЙ-В96

[10] Кравцова О. В. О некоторых пол)полевых плоскости* четного ранга // Деп. а ВИНИТИ от 14.10.90 N 3004-В96.

[11] Кравцова О. В О полуиолевых плоскостях ранга 2 с максимальным правым дцром // Деп. в ВИНИТИ от 08.10.96 N 294Я-В90.

[12] Подуфалов Н. Д., Дуракоп Б. К.. Кравцова О. В., Дураков Е. В. О аолуцолевых плоскостях порядка lb1 // Третьи международная конференция по алгебре памяти М. И. Кар-lano'touv Течисы докладов. — Красноярск: "ИИОПРОФ ", КРУ, 1993. - с.208.