О полуполевых плоскостях порядка q4 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Р Г б од

1 5 ДЕК Ш

JlypziMi tî;I ßoj..ic

^рл-.дК

í.»l.Ul.06 - пит ;-'4Тпчеа:г>(. .•¡c/.'Vfv, ;т

л атореф ^píix

ДГТСССр-Г-ЗШШ на COÍ'CK —УК! y««î:mft с?":■■!".I

кандидатафиьш:с-мг-/см?- liasse

КрГ-О'К. lp<*-. *'Л«.

PiiUOTû/jj.UiioJin^siii в ICpaciiOiipcïiOjvs ncyj. âpcV!.;e^iîo; i

Isaр^иуодптзль - xlo:,iùï> физпкг>наук,

профессор, ilv'i'.СТШГГСльгили ЧЛЙЦ

. 'ùzr,iï%lcrjoïï ssî obovjoùbin^i

■, огуфгшсп

Офгллтл'аи.ч- о^юненты - ,ь,октор нау:?.

оофсссо'о д,-,юук>ос B.i.'..,

дьдук, npoq/cccop Вус»р:<тш П..М.

Ведущей; орп;ш:^.ш:п - Новосибирск»^ государств.îirv.iîi

yïii;:iepcnTeï, г. ^осос^олпс::.

Защита состоится 21 декабря 1S9G г. и 1.1 <:acoE i:a sc.c<inrJimî спею.'ькизиро-ояиногосозгтг. II 064.61.02 приКрасиокрскол! rocy-iîapcïiiaiiiioM ушшерепте^ь по адресу: «>;GQS2, г. Красноярск, пр. CvoGojsihitt, 70. '

С тхщпът&И i/.oxaio озпа-.омшъся у библиотеке Красноярского госуларсхкскног-п узяичерситета.

Автореферат разослан ^.ч." ноября 1996 г.

Ученый секретарь

/иктертациошого совета* ■ ^'¡L-

канлилат физико-математических ^ С Бабеаышев C.B.

Актуальность темы. Теории проективных плоскостей рас-лолагаетсп на стыке трех областей математики: .алгебры, геометрии и комбинаторного анализа. У истоков ее стояли JI. Эйлер, К. Гаусс, Д. Гильберт. Большой вклад и теорию проективных плоскостей внесли такие известные математики, как Ж. Де-зарг, М. Холл, Р. Бзр, О. Веблен, Д. Бедяерберн, Д. Зингер и другие, а в 40-е и 50-е годы она получила мощный импульс благодаря работам Л.А. Скорнякоза. Б 1977г. А.И. Ширшов в докладе "Проективные плоскости", сделанном на XIV Всесоюзной алгебраической конференции, акцептировал Ёнамтте алгебраистов па изучении вопросов, связанных с проективными плоскостями. Он же определил новое направление в теории - изучение проективных плоскостей как алгебраических систем.

Еше Д. Гильберт, ксординлтизировав плоскость, перевел многие чисто геометрические задачи на алгебраический л.шх. Оказалось, что алгебраические свойства коордшнатширукмцего множества и геометрические свойства плоскости очень тесно связаны. Например, дезарговы плоскости имеют самую богатую по строению группу колииеаикй. и координати.знру «отся no?; г гл. Другие, не менее известные плоскости - плоскости трансляции, координатизиру ;отся квазиполем.

В данной диссертационной ре.боте 'лзучаютсл голуполгш ie плоскости, т.е. плоскости транслящвЧ, координатнзиру гош^е множество которых ~ нолуполе. Строение грушш коллпчезипй полуполевой плоскости на сггодня:﹫й день u« ■■• ке изучено и существует иэвестиан'гипотеза о ее разрешимости fOj А ;.отя получено немало результатов, подтк*р.«сдн кшдо -хишую гипотезу для отдельных классов полуполевых п лоскостей, з целом она eme очень далека от своего разрешения. Наиболее известный результат, подтверждающий гипотезу - доказательство Д.Р. Хьюгесом и М. Бурместером в 1905 гегу ps -дис к полной группы кол-лине аиий подулолевой ялосг^стп ч г moro i.fi - ка, которая не содержит бэровс:;;-г педтг.™ -K.v-.iSfL Л'."- . >. ; :: л »:?>< •• • мкккосто четного порядка, содержащей Гх-,ров.-кую u-jannoci, ..ь, разре-

пшмость полной группы коллшкашж пока не доказана.

Строение и некоторые алгебргагчеекпе свойства групп колли-неадий полуполевых плоскостей ранга '2, попускающих линейную бэровскую ишолюяию, изучались в 80-х - 90-х годах М. Bil-iotti, V. Jha, N.L. Johnson, G. Menichetti, H. Huang б работах [l], [2], [3], [4]. В 1990 году H.Huang, N.L Johnson в работе [2] впервые i¡остро:;;.:i все полуполепые илоскости порядка S2, которые допускают линейную бэровскую шшолюиию.

В диссертации рассматриваются полуполевые плоскости четного порядка а'г и q'1, q ~ 2Г с ядром, содержащим GF{q), которые допускают бэровскую шшолгашпо в линейдом трансляционном ДОПОЛ15СШШ.

Цель работы. Изучение стрости п доказательство разрешимости группы колшшецдай паяупояедой плоскости четного порядка 54 с ядром, содержанки.! GF(q), которая допускает ладейную бэровскую инволюцию. Построение прдмеров полуполевых плоскостей такого тала, а также построение всех полуполевых плоскостей порялка 16" с ядром, содержащим <3F(16).

Методика пссл ед ens цкпя. В основе исследований лежит метод построения конечной плоскости траяслядай на основе векторного пространства четной размерности. Изучаются и используются свойства регулярного i,тожества плоскости. Применяются методы современной алгебры и теории коаечных групп.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на третьей международной кошЬереишдг по алгебре, которая проходила в 1993 году в г. Красноярске, на селашаре по теории групп (Институт математики СО РАН - НГУ, г. Новосибирск) и на научно-рефератчвномешинаре " Алгебраические сис-темыЦ (КрГУ, г. Красноярск).

Основные результаты диссертации- Построено регуляр-

л А-

ное множество плоскости ранга 4, четного порядка, о , которая допускает линейную бэровскую шщолющш(теореда.3.1), а также доказана разрешимость полной группы коллинеашш такой полу нолевой плоскости (теорема 3.26), что подтверждает для дан-

кого класса плоскостей гипотезу о разрешимости полной группы коллинеаиий полуполевой плоскостл.

Построены некоторые примеры плоскостей ранга 4, имрл;и;а 84, допускающих линейную бзровскуюинполгош'ло.

Построены все полуполевие плоскости ранга 2, порядка 16", допускающие линейную бэровскугаинволюцию (теорема 2.9 (совместно с II. Д. Подуфаловым, В. К. Дураковпм, О. Б. Кравцовой)}, исследовано строение и доказана разрешимость их групп коллинеаний.

О бьем работы. Диссертация изложена ка 81 странице машинописного текста. Библиография сол^р;-спг 15 наименовать.

Публикации. Все результаты опубликованы в оаботах [10 -15].

Содерлсалш; работьг

Диссертация состоит из «ведения \\ четырех глаъ. В первой главе диссертации автор приводит осноппьге понятии и определения, которые встречаются л тексте диесертащ-.п, а также сформулирует основные результаты.

Определение 1. Конечная прсектипиааллсс'астьназывается плоскостью трансляций, еся-< ее группа кс-л'-^'^лний дечет-оуст трапзиттшо на точках плоскости, заискючектгом точеч некоторой прямой, называемой тракеляпкошгой.

Плоскость трансляций можно аое гроить г* осксае з?кторно~ го пространства V четной р&з^срвост;? 2'] над по;' ул 1P(q). При этом точками плоскости будут элемгнтт,: пространства V, а прямыми - всевозможные смежные чл&ссы (в здттгояой группе пространства V) по некоторой системе п- *<т ><-.;, г»~шетг! И^, ., имеющих размерность с!. Этг. аь-гзми:^С'Грзкотв форлшрх -с г регулярное множество П.ЬОГ5- -; - г...

Определение 2. Плоскость траигяяп-г'«, ко^рлинатазиру»о-.-.огорзй- п.'..тл::лг {; г;аг.•.<..• .Л дистрибутивностью), называется палупо** плесг.ост-.»о.

Определение 'Л. Боровским подмножсством называется множество Р точек и прямых плоскости тг такое, что любой элемент плоскости инциденте« с некоторым элементом этого множества. Если Р является иодплоскостыо плоскости тг, то Р пазы р. а с т с я 6 эр о а с к о й под плоскостью.

Определение 4. Если коллинеания а такова, чти она фиксирует поточечно баронскую ггаднлоскость, то а называется (>> рова.ой коляипеацией.

Но второй главе диссертации автором совместно с Н. Д. По-дуфаловым, Б. К. Дураковым и О. В. Кравцовой построены все полуполевие плоскости ранга 2, порядка 16", которые допускают линейную баронскую инволюшпо (их оказалось 285). При построении использовалась вычислительная техника. Доказана разрешимость полных групп коллинеаний построенных плоскостей.

Результаты второй главы являются продолжение:.! исследований, начатых H.Huang, N.L.Johnson в [2].

Основным« результатами второй главы являются следующие две теоремы.

Теорема 2-0. (соем. с Н. Д. Подууаловим, Б. К. Ду-раковим, О. В. Кравцовой) Существует 285 взаимно неизоморфных полуполевих плоскостей порядка 162 с ядром К Э GF(16), которые допускают группу зеоллинеации S порядка 2-162 в линейном трансляционном дополнении.

Теорема 2.13. Группа коллипеаций полуполе&ои плоскости порядка 1б2 с ядром, содеру,сацим GF{ 16), допускающей линейную бэровскую инволюцию - разрешима.

Результаты, изложенные в этой главе, опубликованы в Сибирском математическом журнале [10] и докладывались на третьей международной конференции по алгебре, которая проходила в 1993 году в г. Красноярске [14].

Необходимо отметить, что для плоскостей ранга 2 существует

немало работ, в которых изучаются некоторые пюйстнаих групп коллиш-ашн! ([1], [2], [3], [4]). Опойпва групп конлит-аипи плоскостей большего ранга ко нпочищсто вре.мено но были ¡.иучеиа В треп.ой главе а»т /ромпостроено регулярног множество, ю-лулолевон плоскости ранга 4, порядка д а 2Г, которая допускает бэронскую инволк-шпо в линейном трансляционном дополнении. Структура регулярного множества ог в гл<муюшой теореме.

Теорема 3.1. Пусть т - полцполеааа плоскость порядка г ядром, содержащим СР(<]), </ = 2", допускающая 6 ';><>•>-скую инволюцию г в лии-у'Ыом трансляционном дополнении. Тогда тг можно представить а виде:

тг = !/з,!м)1--гё (-''"(''/М • •'}};

// / 0 0\

(.' 1 О о 0 0 I ! \ о о о /

т фиксирует поточечно воровскую подплоскостъ

7Г0 {(0,0, хз, хл,0,0, уз, yi € GF(q),i = 3,4}; регулярное л^нoжecmвo плоскости к имеет вид

X = 0, Y - X0(V, U), где X — (si, тг, a?3i ^4), У = (уъУз, ï/з,Уч),

flrvrn- ^ + ^ + + F(V)+ Af(i7)\

^ v'ui~\ V U + W(V) )'

V. U £ К, К является аддитивным множеством 2x2 матриц над полем GF(q)\ M,F,W — аддитивные функции, переводящие 2x2 матрица над GF(q) в 2 х 2 матрицы над

G:F(g), М(Г) ~ 0 и F взаимно однотипна. Б эр опекая инволюция т централизует группу .к\аций

Далее d третьей главе изучается строение группы коллинса-г'.яй плоскости тг. Исследуется строение централизатора бэров-с;кой инволюции г в группе автотопизмов плоскости и строение группы автотопизмов. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.8. Пусть плоскость к удовлетворяет условиям теоремы. ЗА, воровская подплоскость ко - дезиргова и т - единственная инволюция в Са(т). Тогда полная группа коллинеации плоскости - разрешима.

Теорема 3.16. Пусть плоскость л удовлетворяет условиям теоремы 3.1, подплоскость ttq - дезаргооа, и п допускает инволюцию а, отличную от г о Са(т). Тогда полная группа коллинеаций полуполевои плоскости имеет вид Aut тг = Т х Е ■ (02/(Л) X V), где Т - группа тра^юляций. Кроме того, Aut тг - разрешимая группа.

Теорема 3.19. Пусть плоскость п удовлетворяет условиям теоремы. S.1, подплоскость гго •- недезаргоаа, и г -единствен>1ая инволюция в Са(т). Тогда полная группа кол-линеаций Aut п разрешима.

Теорема 3.25. Пусть плоскость ж удовлетворяет условиям теорема 3.1, подплоскость это - недеэаргова, и я допускает инволюцию t, отличную от г в С\(г). Тогда полная группа коллинеаций полуполевои плоскости п - разрешима.

Основным результатом третьей главы является зокатн-льст-мо теоремы о разрешимости полной групп: i коллнн>:а?лпЧ подуло«

// О U M(U)\

О I О Ü

0 0 10

[о о о I /

)

левой плоскости ранга -1 нал своим ядром, чы группа коллинеа-или содержит линейную бэровекую штолюншо Теорема о разрешимости является прямым следствием теорем 3.3, «5.1 в, 3.19, - 3.25.

Теорема 3.26. Пусть я - пелуполевая плоскость порядка дл с ядром, содержащим GF(q),q = 2", допускающая воровскую инволюцию т в линейном трансляци< mmoai дополнении G1. Тогда полная группа коллинеаций плоскости является р а ,?р е tu им о и гр у nnoil.

Тем ездгым для данного класса плоскостей! и »дтверзкдастся известная гипотеза о разрешимости полной группы коллинеаций полуполепой плоскости.

Некоторые из репультатов этой гланы могут быть обобшешл на случай произвольного четного раита. Например, теорема ЗЛ., описывающая регулярное множество плоскости.

В четвертой главе аз гор, при помоиш разработанной им методики, с использованием плоскостей, построенных H.Huang и N.L. Johnson, строит некоторые примеры плоск> >стей порядка 8'", удовлетворлюших условиям теоремы 3.25. При построении плоскостей так же, как и по второй главе, использовалась вычислительная техника (PC Intel 436 DX-4, 100MHz). Тем самым показывается, что данный класс плоскостей является непустым.

Все результаты исследований опубликованы в работах [10], [И], [12], [13], [14], [15].

Диссертационная работа выполнена на кафедре алгебры и математической лопжи Красноярского государственного университета под руководством Н.Д. Подуфалова, которому автор выражает глубокую благодарность.

Литература

I [Salon; M., J и л V., Johnson N.L., Menichktti G. A structure theory fur translation planes of ordei q2 that admit collineation group of or:le: <j~ // Cl.'ftir.. Dedicaü V. 29. P 7-53. 2. Нслм; Я . Johnson' N.L. ? simifieid planes of ordert"' // Discrete

matliematua 1'JVO. V. SO. P. 69 -79. 3 Jha V , Johnson N.L. Raer-elation planes // Rend. Sern. Mat, Univ.

Padova 1<лЧ7. V. 7«. P. 27 45. л. Johnsou N.L Lc/.ioni sui ptatu di translations // Qundemi d.Dip*.

d. Math. (irli'Univ. Lecce. Г.'ХХ ОЗ. P. 1-121 .';». Vahohan Т.Г Polinonii.ils and linear transformations over finite

fields // Peine. Arigew. Math. !»74. V. 202. P. 17У - 20S. Ci POD'U'ALOV N.L). On Spiead Sets and Collineations of Projective Planen // Contemporary Mathematics 19У.!(Ра;11). V. 131. P. «97-

ro'j.

7. Hi'GMES D.R., Pipnn F.C. Projective planes // Springer-Vet lag New-York fnc 1973.

8. Lüneburg H. Translation planes // Springer-Verlag,New-York 1930.

9. Dem1sOW.skJ P. Finite geometries // Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New-Yolk 1963.

Работы автора по теме диссертации

10. Иодуфалов Н.Д., Д у каков] к К., Крлвиовл О.В., Дураков Е.: О иолунолепых плоскостях порядка 162 // Сиб. мат. жури 1096, Т.37, N 3. Р. -13J - 720. 1 з. Иодуфалов II. Д., Дураков Б .К., Кранцова О .В., Дураков Е. О нолуполевых плоскостях порядка q4 // Дец. в ВИНИТИ N 3005-ВУ6 14.1Ü9G

12. Лураков Е.Б. О лолуиолеьых плоскостях порядка q*.II // Дег.. i ВИНИТИ N 3007-В96 14.10.9С.

13. Дураков Е. 15. О некоторых полуиодемлх плоскостях порядка Деп. в ВИНИТИ N3006-13% 14.10.96,

14. IIодуАлов Н.Д., Дураков В.К., Кравцова О.В., Дураков К. О по иуполевых плоскостях нор ядка 1 б2 // Те шсы Iii меж цукародко! конференции ио алгебре, К|Л 'У, Красноярск 1993,

16. Подуфалов Н.Д., Дуга ков Б.К., Крашкша О.В., Дураков К. О полунолевых плоскостях порядка 16* // Ден. и ВИНИТИ h 300S-B9G 14.1ü.9f>.