Дифференциальная геометрия семейств m-мерных плоскостей n-мерного эллиптического пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА П ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УПИВЕРСПТЕТ имени В. II. ЛЕНИНА

Специализированный еоясг К 053.01.02

На правах рукописи

ШАБАЕВА Альфах Фаригонна

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ СЕМЕЙСТВ т-МЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ п-МЕРНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА

01,01.04 — геометрия н топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физпко-математнчеекнх наук

Я/0///Х

Москва 1993

Работа выполнена на кафедре геометрии Москонского ордена Ленина и ордена Трудошпо Красного Знамени педагогического государственного университета имени 1!. И. Ленина.

И а у ч и ы и р у к о в о д и т е л и: доктор фшшко-математически}: наук, профессор В. Т. БАЗЫ ЛЕВ

доктор физико-математических наук, профессор Б. А, РОЗЕНФЕЛЬД

О ф н ц ц а л ь н ы е о и н о и е н т ы:

доктор физико-математических наук, профессор М. А. АКШЗНС,

кандидат физпко-математнческнх натк, доцент М. П. ЗАМАХОВСКИП

Ведущая организация — Казанский государственный упн-верептет.

Защита состоится <<... 199В г. в 1С.*, час. на заседании специализированного Совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических в Московском педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина но адресу: 107140, Мосьчза. ул. Краснопрудная, д. 1-1, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться к библиотеке МПТУ им. В. И. Ленина (адрес университета: 119-435, Москиа, ул. Малая Пироговская, д. 1, МИГУ им. В. 11. Ленина).

Автореферат разослан «............»........................1993 г.

Ученый секрет^Т^си^цт^итзированного Совета

Г. А. КАРАСЕ В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В настоящее время по-прежнему интенсивно развивается различные аспекты геометрии пространств над алгебрами и геометрии семейств прямых и плоскостей в пространствах с фундаментальными группами.

Дифференциальная геометрия различных семоНстн многомерных плоскостей - т. - мерного эллиптического пространства развивалась в точение пногшс лет геометрами разных стран.

Нарвой задаче.'! дифференциально!! геометрии cei.'.eücru прллшх эллиптического пространства било построение теории

конгруэицнй нрнмых этого пространства. Этой задаче оыли посвящены работы Ч.Фкбби, Э.Шгуди, М.С.Бродского. Фундаментальными грудам:! но теорлл конгруэщий /п - плоскостей оллипгического пространства несомненно считается работы Б.З.Вагнера,

Б.А.Розон.рэльда.

Еслед за созданием теории симметрических римановнх пространств Э. Картам показал, что компактное сжмегркчесяое ркка-ново пространство допускает интерпретацию в виде [¿ногообразня т. - плоскостей эллиптического пространства S^ .

Романова геометрия в многообразии '-п. - плоскостей евклидова пространства J~/t , проходящих через точку этого пространства, являюдомся моделью многообразия Kfn.--r )-плоскостей пространства » изучалась К.Лейхтвейсом, топологические свойства этого многообразия - К.Телеманом.

Геодезические подмногообразия многообразия /п - плоскостей пространства S^ били предаютсм изучения Б.А.Розенфоль-да, Дк.А.Болфа, Вон ßraoy.

Проективная теория нонгруэицйП а других семейств т. -плоскостей изучалась Р.М.Ге^цельмано.ч, Л.3.Кругляк OilL'M, ui • А« Акивясом, их учениками.

Среди работ последнего десятилетия, ¡примыкающих к тематика предлагаемой диссертации, откетим работы учеников Б.А.Ро-зенфелада: Р.П.Зиплавиной, В.В.Барановой, О.В.Задепиной и П. Г«, Стеганцеьой. Ими исследовались некоторые семейства прямых и плоскостей пространства S^.

Из всего вышесказанного следует, что дифферевдиальная геометрия семейств многомерных плоскостей л». - мерного эллинги-

ческого пространства составляет один из весьма актуальных разделов современной дифференциальной геометрии. Последнее, в свою очередь, обуславливает актуальность темы настоящего ис-следошния.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании дкф-({«ротдиалыюй геометрии моноскстем, гашркоыплексов, конгруэн-ций л псевдоконгрузнций /«. - мерных плоскостей эллиптического пространства . Подчиненными задачами в реализации поставляю!! цели являлись нахозденио деривационных формул симметрического ршланова пространства, изомэтричиого многообразию многомерных плоскостей, и вывод уравнений структуры этого пространства.

Н.чу ¡пая новизна заключается в том, что в ней впервые при изучении многообразий /тт. - марких плоскостей эллиптического пространства систематически используется отображение грасска-нова многообразия лч. - плоскостей этого пространства на алгебраическое многообразие размерности Кт + /•) 1 /г -л*). эллиптического пространства , где /V к ' - Ь'а этси алгебраическом многообразии определяется сегрернманоБа гео метр-ля. С помощью указанного отображения значительно развита -гесрм вполне геодезических подмногообразий многообразия, -плоскостей пространства 5г1 . построены общие теорба! ;/.оио-систем к гиноркомплексоБ ю. - плоскостей пространства , выделены 1:х специальные типы. Крема того, получен рад ношд результатов в теории конгруэнцай и лсевдоконгруэшдаЯ т-плоскостей, выделен класс семейств т. - плоскостей, названных суиеркокгрузицидми, доказаны некоторые свойства этих се' у.ийств.

¡'еопетическое и практическое значение. Работа имеет теоретический характер. Практическое значение работы обусловлено возможностью использования ее результатов в дальнейших исследованиях по дифференциальной геометрии семейств многомерных • плоскостей пространств'с различна/.к фундаментальными группа-

и тику.е при разработке и чтении спецкурсов в вузах, где • ведутся исследования по этой тематике.

Методы исследования. Круг общих методов исследования вклвчае метод, подвижного репера и внешних дойеренциальных форм Э.Картана, а такхе методы вещественных интерпретаций пространств над алгебрами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на заседании Семинара по классической дифференциальной геометрии ¡ЛГУ im. ¡.1.3.Ломоносова (1У8Э г.), на заседаниях семинаров по дифференциальной геометрии при i,¡1117 к.;. Б.П.дошша (1938, 1992 гг.) и при Московском институте стали и сплавов USS3, IS90 гг.).

ÍMiíiíMÜ™- По результатам выполненных исследований имеется семь пуоликадиП, список которых приложен и конце автореферата. Статьи [I] - [5] написаны боз соавторов, в статьях [б] , [7] автором написаны отдельные параграфы.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит пз введения, двух глаз, включающих 6 параграфов, списка цитируемой лптерагурч из 51 нагсягковандя и галогена на IG0 страницах кагшепкогогз тс*«;?.'».

СЕ50Р СОДЕРЕШИ ¿КССИРТАЦШ

Во пгтдонпк излагается продноторхя гопроса, оОосксвызае?-сл актуальность те:.ш, формулируются цели и задачи, раскрываются псБИзпа и практическая значимость диссертационно;.' работы и приводится еэ краткое содержание.

Пяррат глава "Многообразия /п.- плоскостей эллиптического пространства S^ " посв-тщена геометрии грассманова многообразия m. - Msp-iiD: плоскостей гг. - мерного эллиптичес- ■ кого пространства S^ - ( ) и геометрии I)*'

( п. - //i ) - поверхности rpsJrri^ S ), соответствующей грас-смацову многообразия в пространство SM (//. = (m + f) - I ), а такта изучений некоторых геодезических и вполло геодезических cev.oíícTn ^г - плоскостей в пространство S\t .

Грассмзново многообразие /гг. - плоскостей эллиптического

пространства допускает взаимно-однозначное и взаимно-

непрерь-вное отображенив на алгебраическую поверхность

^ 5 ) эллиптического пространства размерности М = ( - Г, называемую эллиптической грассманканой. Это отображение определяется грассманорыми координатами

т.- плоскости ( Х„ Ху ... Х^), проходящей через точки X ^ ( , удовлетворяющими условиям:-

о /I/

(а= 0,1, ... , /п , J & ОД, ... . п. )...Соотноиения /I/ представляют собой уравнения грассманианы О^п^т С ^ ) •

Показано, что на грассмашкше 5 ) индуцируется

структура симметрического ршанова пространства'.

Далее доказывается, что пучки ^п - плоскостей проста ранства , то есть семейства, /тс - плоскостей, пересека-

ющихся но {гп- I )-плоскости и лежащих в одной I)-плоскости, изображаются на грассыаниаш /¡3^ ^ ) прямолинс ними образующими и обратно, прямолинейные образующие ^^ 5) соответствуют пучкам /*>г - плоскостей в . - /*г) -связка /чт - плоскостей пространства с (/«- I )-мерной осью, то есть семейство /п. - плоскостей, проходящих через фиксированную I )-плоскость,, изображается ^ )

(/г -/^г)-плоской образующей. (./■?£+ I )-поле лг- плоскостей ■ - семейство т. - плоскостей, лежащих в фиксированной I)-плоскости, изображается на Д 5 ) {т. + I )-плоскоё ■■ образующей грассманианы. Прачеы'через любую.точку Р трассмани-анн проходит - семейство ^ /г.-/п.)-плоских образующих п ( л - /тс - I )- семейство I )-плоских образующих. Цри атом лвбке две образующие разних семейств пересекаются по прямолинейной образующей грассыаниаии, любые две образующие одного семейства пересекаются только в точке Р .

Эти плоские образующие грассманианы, проходящие через точку Р , являются плоскими образующими конуса Сегрб С (т. + I, /г. - /п ) с веракной в точке Р (Акивис Ы.А. Ткани к почти грасс.г.ановк структуры // Скб. мат. курн. 1982. Т.23.

Кб. С.6-15.). Этот конус лежит.в касательном пространстве ® im.-t-rVst.-STt.-) к грассманиане ( -У ). Уравнения С(/тг+1,

/г. - /тт ) имеют вид:

г = > " /2/

( Л = ОД.....; = /»гу-Г, ... , ).'

В касат ельном пространстве к ) конус Сегре

С ( /п. + 1, /п. ) высекает из полярной ((л-ь +1И п. I ) - мерной плоскости точки Р поверхность, называемую эллиптической сегреаной и обозначаемую 5 ) ( Розенфельд Б.А., Криворучко Г.В., Шульга Н.В., юхтина Т.Н. Метрические и симплектические сегреаны и квазнсогреани // Изв. вузов. Математика. 1988. ^4. С.52—60 ). Сегреана •5С« $ ) определяется тема же уравнениям /2/, что и конус Сегре.

Таким образом, с ка-эдой точкой грассмашаш ^ )

связаны конус Сегре С(-л»г + I, ) и сегреана .¡5^ ),

принадлежащие ее касательному пространству, и на грассг.:а:шане //^„^ 5 ) индуцируется сегрериманова геометрия.

Роль геодезических линий в грассмановои многообразии Э ) играют г?г - геллковдн и - квазигеликоиды ( Розенфельд Б.А. Е,чутрешшя геометрия множества - мерных плоскостей /г. - мерного эллиптического пространства // Изв. АН СССР. Сер.матем. 1941. Т.5, С.253-368 ). /ъ. - геликоидом называется ионосистема (однопараметрнческое семейство) /тг. -плоскостей, удовлетворяющая следуицлм условиям:

1) м. - плоскости не пересекаются и обладают общими перпендикулярами;

2) стационарные расстояния от эти плосксстей до фиксированной т. - плоскости пропорциональны.

Заменяя в. этом определения условт I) условием: плоскости пересекаются по )-плоскости и обладают >- общими «

•перпендикулярами в плоскости, полярной ( /ъ - )-плоскости пересечения; получил определение' /ти - квазигеликоида ранга . /п - геликоиды и /72 - квазигеликовды изображаются на грассманиана ) геодезическими линиями.

Если за параметр /-то'- геликоидов я кваз'/.геликоидов принять, длину дуг:; 5" линий, изображающих зги семейства на

грассманиаке, I; стационарные расстояния записать в ви-

ло = 5 . то коэффициенты Ла. , удовлетворяющие ус-

ловию -2- = I , назовем направляющими косинусами гт -геликоидов и ¡свазигеликоидов.

Пусть оси (осцие перпендикуляры) пересекают две /ъ-плоекостк /гг - геликоида в точках Аа ( С1-а. ) и Ъа+т+1 С + , ) соответственно, то у-п ~ плоскость /=> (5) /ъ-

голиколда определяется точками X«., представленными векторами

^.С5 ) = с&лА + ^ ^ • /3/

/тг- каазигеликоид ранга гак;ке определяется уравнени-

ями /о/, где, однако, + I точек совпадает с

точками к Л .

С попользованном результатов работы В.А.дОоромыслова "и геометрии £ - квазиаффинного пространства" \см. Ткани и квазигруппы. - Калинин: КГ/. 1988. С.147-155) сделан вывод о том, что касательные к геодезическим линиям грассманианы

^ I о ), изображающим /-/г - квазигеликовды ранга , высокая кз полярной гиперплоскости точки грассманианы в касательном пространство Еточки алгебраической поверхности, состояцей из г- - секант сегроаны^^^ 1лим: 1, изоорахаюлие уп - квазигеликоиды ранга I , то есть пучки - плоскостей, пересекают саму сегреану

' 5 ). При этом г- - секантой сегроаны называется ( /-- I) -плоскость, пересекающая -2Г ( ) в

■* /£ -ЛП. -У -

точках.

г-сл:: и уравноннж/о/ ...

где /-г,, - целке числа, то /'¿/ определяют в пространстве ^ замкнутый - геликоид или кзазигеликоид, который изображается на ^ ) замкнутой геодезической линией.

Лнтиподпческпи многообразием грассманианы ^ { & ) казизаегся совокупность середин замкнула геодезических ли- • ь,;:,':г гНходет:х из одной точки 5 ). Теорема 5 уста-

кавлпвпе? связь а.'пчиюдических многообразий т. 1 ^ ) счаотпнмц ъидомн замкнутых /-гг. - геликоидов и квазигелико-плов - пучками т - плоскостей и паратактическими /ъ-геллкоклаиа.

Конгруэнцией гтъ т плоскостей пространства называется С л - лп. ) - параметрическое семейство /-п. - плоскостей, при этом /тг. - плоскости семейства заполняют некоторую область и через каждую точку это!? области проходит конечное число л-г - плоскостей конгруэнции. Конгруэнциями Хопфа назовем паратактические конгруэнции прямих пространст- ■ ва 53 , 3-плоскостей пространства 51 и 7-плоскостей' пространства . Теорема 6 показывает, что конгруэнции Хопфа изометричны гиперсферам радиусов I , /2" в евклидовых пространствах , Е^ и соответственно..

Ьнберем в пространстве ортонормировании!! £епер

таким образом, чтобы Бекторы представляли точ- '

ки - плоскости I Еа 2,... Е^), а ё^ - точки по-

лярной ей ( п. - ¿-п - I )-плоскости С Е^,..,... Ел )

( <•' = 0,1,../г ; и = 0,1,..,, т ; и. =/к+1, ).

Тогда с каждой точкой эллиптической грассманианы 5 )

можно связать ортонормированию"! репер, состоящий из векторов

— е; ^ <?* ^ ... * л е! /Л ... л .

Деризацпошшо формулы этого репера имеют вид: . • ' -

«•/--> — .

» Ль*

где' = - ^гг* . Можно доказать, что

ы-

СО - и>„

. / V г''

( теорема 10).

В последнем параграф I главк кайдон тензор криьизнн симметрического Романова пространства, нзоыетркчного (-5") в построенном адаптированном репере:

^аи.е^, с ^ сГ е ~ ¿ее

Вторая глава "Семейства ¿п. - плоскостей эллиптического пространства " посвящена изучению семейств, '/^г. - мер-

ных плоскостей пространства : моноспстеы, гиперкомплексов, конгруэнций, псевдокоигруэнцкй, сулерконгруэнций и их

• специальных типов.

С каждой т. плоскостью моносистемы /те - плоскостей мохио связать•касательный т.- геликоид или квазигеликовд, которому на грассмапиане () соответствует касатель-

ная геодезическая к линии, изоорачсаадей на ^ ( .5* ) мо-носясгему. Касательные /п.- геликоады и квазигеликоида легли в основу построения канонического репера, связанного с кзздой у-п. - плоскостью моносистеш. Найдены деривационные формулы этого репера. В частности, в случае пространства

* эти формулы имеют вид:

{¿¡к _ ь ' э- & 'ё* '

,/5 — — Ч а- >

где за параметр £ принимается длина дуги линии, изсбратл-ющей ыокосисгеыу на 5 ), а незапсшыо коэффициенты

, кезазисише элементы кососишетрическкх матриц (/^ ) и (.*/> образуют полную систему инвариантен, определявших моносистеыу т - плоскостей пространства с точ-.

нортью до движения этого пространства. Подобные формулы получены и для случая гг. >л *п. ( тесре-ла II ).

В зависимости от вида касательного /-п. - геликоида или квазигеликоцда выделяются специальные типы коносиотем: тор-сальшб, квазиторсалыше, паратактические, газазипаратактичес-кие. Например, если касательный /п-- гелжоэд моносистома является пучком гу-с. - плоскостей, то моносистему назовем тор-сальной. Горсальная ыоносисгена лп. - плоскостей'пространства состоит из соприкасающихся ж - плоскостей кривой (теорб?,]а 12).

ч Гызерхоыллехсом -^г - плоскостей в называется

семейство /тг. - плоскостей, зависящее' от числа параметров

на единицу меньшего, чем число параметров полного многообразия /п. - плоскостей пространства , то есть (/п. + 1)( /г. - /гг. ) - I .

С кавдой - плоскостью гиперкомплвкса /п. - плоскостей можно связать нормальный' /гг. - геликоид или кваз¡¡геликоид, которому на ) соответствует геодезическая линия, нормальная к гиперповерхности, иэобраааицоЯ гиперкомплекс на /п{ S ). С помощью нормального /^с - геликоида 'или кзазигеликовда с ка&цой /п - ллоскостьо гиперкомплвкса можно связать канонический репер, отдельно рассмотрев, гтеркокп-лексы пространств а при п >,?/»* л. 5.1 и 5.2). В этом репере уравнение Пфаффа гиперкомплекса иле от- вид,:'

и) -+■ /С^ СО —О

( Ы. где Д*. называется кривизнами гипер-

комплекса.

Выделены специальные и квазиспециальные гиперкомплексы т. - плоскостей. . Специальным гиперкомплексом /п. - плоскостей пространст-' ва -Яъ назовем семейство /гг. - плоскостей, касающихся-гиперповерхности этого пространства. Необходимым и достаточным условием того, что. гиперкомплекс /-к. - плоскостей - специальный, является равенство нулю всех его кривизн ( теорема Д6)

Семейство /«.- плоскостей пространства , проходящих через 5 - плоскости некоторого гмюркоыплекса -плоскостей и лежащих в Л - I)-плоскостях, полярных

другим • 5 - плоскостям, являющимся полярными данным в

5 + I)-плоскостях нор?лальных 5 - геликоидов этого гипер- . комплекса, назовем 5 - квазиспециальнкм гиперкоышгекс ом

т - плоскостей. В этом случае /гг-з кривизн этого гиперкомллекса равны нулю. " ,

. Во второй главе рассмотрены такие конгруэнции /гг. -плоскостей. Показано,- что в общем случае на каядой /п. - плоскости конгруэнции определяется фокусная поверхность порядка л - /п., размерности /гг. - I.

Особо выделяется случал конгруэнция прямых пространства £ъ . 3 этом случае /г. - 1 фокусам прямых конгруэшда; соответствуют - I точек пересечения полярной ( /г. - 2) -

плоскости точки грассманпаны в ( /г- - 1)-плоскостп, касатель-. ной к поверхности,. изображающей конгруэнцию на (~с>/Ъ ) с сегреаной ( $ )• Кокно построить канонический ре-

пер первого порядка, связанный с каздой прямой конгруэнции (теорема 16).

Выделены некоторые специальные типы конгруэнций ^г-плоскостей.

Псевдоконгруэнцией /«- плоскостей называется I)-

параметрическое семейство /п. - плоскостей, не проходящих через одну точку. Полярные ( /г. - <*гс - I)-плоскости ^ -плоскостей псездоконтруонцки образует конгруэнции С л- -I) -плоскостей.

• По принципу двойственности конгруэнции прямых пространства соответствует псевдококгруэкцня ( /г. - 2)-ллос- -костей. При этом фокусам прямых конгруэнции соответствуют фокусные гиперплоскости псевдоконгруэнции \ т - 2)-плоскостей.

Б последнем параграфе диссертации рассматриваются ( гтс ( /г. - г/г. - I ) +1 )-параметрические семейства т. плоскостей пространства , названные суиеркокгруонция-

ми. &ги семейства характеризуются тем, что для них так га, как и для конгруэнции прямых, полярная гиперплоскость точки грассманпаны, ) в плоскости, касательной к поверх-

ности, изобрадаэдей сунерконгруэтщо на ), пере- ■

секается с сегреаной $ ) по конечному числу то-

чек, равному порядку сегреаны, то есть ( ).

С каздой гк- плоскость» суверкоЕгруоыда. - плоскостей пространства монно связать канонический репер первого порядка ( теорема 18).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, НА ЗАШ!1ТУ

' I. Изучена дифференциальная геометрия К п. -/тг)(/?г + I)-поверхносги ^ К ^ ), соответствующей грассыанову мно-1 гообразиш т - мерных плоскостей л. - мерного эллиптического пространства в Л-' - мерном эллиптической пространстве , где /У = / ) - I . Найдены деривационные формулы и уравнения структуры симметрического ри-манова пространства, иземегричного ( 5 ).

2. Показано, что на грассманиане ( ) 'индуцируется сегрериманова геометрия, то есть с каждой точкой

^ ) связаны конус Сегре С (/ъ +1, - ^ ) и сегреана ). принадлежащие касательному прост-

ранству к.5" ).

3. С помощью отображения на ■ т ( ) изучаются . семейства ю. - плоскостей эллиптического пространства. : моносистемн, гипоркомплексц, конгруэнции» псевдоконгруэнции, супвркоигруэнции; построены канонические реперы, связанные

с каждой <тг - плоскостью семейства; в случао моноскстсм выведены деризационные ^рмулц этих реперов; выделены специ-. альнне типы всех этих семейств.

4. Доказаны некоторые свойства конгруэнция и псевдокон-груэвдкй т. - плоскостей; после рассмотрения связи между фокусами прямой конгруэнции прямых пространства .У^

и сегреаной (_£Г ) в касательном пространстве к

грассманиане г ( 5" ) выделен класс семейств -

плоскостей, названных суперконгруэнцшии.

ПУГЛИ.КАДШ1 АНГОРА ПО ТЕ.!Е ДЙССЯРТАЦШ

[1] .'Ласагутоза Л.Ф. Геометрия многообразия гтг.- плоскостей эллиптического лг - пространства. И., Г9С9. - 24

. с. - Дел. в ВИНИТИ. 13.07.89, «680 - В89.

[2] Масагутова А.Ф. Геометрия многообразия /ъ - плоскостек эллиптического ^ - пространства // Ленинские чтеняя; По итогам научно-исследовательской работы за 1990 год: Тез. докл. - 1.1.» 1991.'С.ЗЗ.

[о] Уасагутова А.О. Контруэнцди'и суперконгруэнции гт^ -, плоскостей эллиптического ' - пространства // Диф-. (£еренциаль:1вя геометрия' многообразий фигур. - Калининград: Ш. 1590/.Зып.21. С.56-сЭ.

И

Масагугоса /. I. Мснссистемы к гиперкомплэксы т. -плоскостей эллиптического л - пространства. Стерли-тамак., 1990. - 12 с. - Деп. в К1НШ. 16.06.Й0,

Ы660 - Б90.

[б] Масагутова а,Ф. Моносистеш и гиперкомплекеы /тт. -плоскостей эллиптического м- - пространства. Стерли-такак, 1990. - 18 с. - Деп. в ВИНИТИ. 29.10.90, Л5523 - 390.

[б] Розенфольц 5,А., ¡/¡асагутова А.Ф. Фокалыю-еаклцдовы и Локально-ршанозьг пространства // Изв.вузов. Математика. 1991. И7. С. 78-80.

[?] Роэеи^елад Б.А., !,¡асагутова Л.5?., Степанова Г.В., Сте-гаицеза П.Г. Моносистемы и гипэркомплексы - плоскостей неевкладовых и евклэдовых п. - пространств // Памяти Лобачевского посвящается. - Казань: К1У. 1992. Вып.П. С. 67-106.