Геометрия семейств прямых и m-плоскостей евклидова n-пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

! О

^ а м.\р ш'»

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕШША II ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имели В. II. ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053.01.02

Па правах рукописи

СТЕГАНЦЕВА Полина Гсоргнезка

ГЕОМЕТРИЯ СЕМЕЙСТВ ПРЯМЫХ И m-ПЛОСКОСТЕЙ ЕВКЛИДОВА п-ПРОСТРАИСТВА

Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на eo:rci:anne ученой степспп кандидата фнзлко-ггатематпчсежпх: паук

Москва 1994

Работа выполнена на кафедре геометрии Московского педагогического государственного университета имени В. И. Ленина.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А. М. ШЕЛЕХОВ,

кандидат физико-математических наук, доцент М. П. ЗАМАХОВСКИЙ

Ведущая организация — Казанский государственный университет.

Защита состоится ......1994 г. в час. на

заседании специализированного Совета К 053.01.02 по присуждению ученой 'Степени кандидата физико-математических паук в Московском педагогическом университете имепи В. й. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ им. В. И. Ленина адрес университета: 119435, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1, МПГУ им. В. И. Ленина.

Автореферат разослан «.........: 19 94 г.

Ученый секретарь спешншнзировапного Совета

I А- КАРАСЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Дифференциальная геометрия оамейств подпространств евклидовых и неевклидовых пространств яв-яявтоя одним из вахших разделов современной дифференциальной геометрии. Теория тагах семейств имеет актуальное значение как резерв фактов и методов для теорий пространств физических объектов, без привлечения которых не обходится ни один раздел современной физика. • , ■ ' ■

Теория семейств подпространств развивается с начала XIX века, она включает в себя проективную и метрическую теорию семейств пряных трехмерного пространства, их обобщения на случай многомерного пространства и связана о именами Монла, Малое а, Плюккера, Клейна, Фубщш, С.П.Финикова, П.К.Раиевского, М.А.Акивиса, А,!,¡.Васильева, В,И.Коровина, Р.Н.Цорбакова, К.П.Гринцевичюса, Н.И.Крван-цова, В.И.Машанова и др.

В прошлом столетии била предложена идея интерпретации трехмерной яянейчатоЗ геометрии как геометрии на гиперповерхности в пятиыорном пространстве. Эта идея, названная перенесением Плюккера, уопвшно применялась при Изучения двупараыетрических (конгру-эицдй ) и трезжаршлетричесюа (комплексов) семейств прямых трех-иерннх пространств,

Основы общаЯ теории а - параметрических семейств т - мерных влоскоотей в различных И - мерных пространствах были зало-цени В.В.Вагнерон, П.К.Рашевскш, Ь.А.Розен£ельдом в 40-х годах.

Р.М.ГеЯделшан методом подвижного репера изучил днф^эренци -альную геометрии т. - параметрических семейотв (/и-1) - мерных плоскостей в гшюриодаческом пространстве 1Srtr< .а так;сё т-параметраческнх оемойств. (п.*гп) - мерных о£ер в конформной пространстве Си.

Основная задача теории & - параметрических семейств т-морша плоскостей п - нершпе оддородних пространств состоит в опекал а j полной cucxuim инвариантов зтлх семейств, раскрытии геометрического смысли э'п:х инвариантов, изучении свойств семейотв /tt-плоокоотей н кдасснтаких семейств.

Несмотря на боды;ов количество работ, посвященных1 исследования имя?.! и облает д:'.^оренцпальной геометрии, подпространств в про -епавиом, вмитндупоы нсоаклндовгх пространствах, многие вааиеС-

шив вопроса общей специальной, теории семейств подпроотранотв' (отыскание инвариантов, выяснение их геометрического смысла, иоо-ледованпе спецнальшяс классов семейств, доказательство их существования) остались ллбо полностью, либо частично неразрешенными.

Развит:!о новга методов доф£ереициальной геометрии дозволяв* продолжить исследования в многомерном пространстве»

Б предлагаемой диссертации изучаемся геометрия семейств М-мерних плоскостей евглндова П - мерного пространства (2п. а как ее частнкй слузгай - геометрия семейств прямых пространства Яп.

Цель работы заключается в отыскании системы инвариантов . семейств М. - плоскостей, определяющих их с точностью до двн-аений пробтранства Кп . , изучении свойств семейств, вндалении чаотннх случаев семейств га - плоскостей.

Методы исследования. Работа основана иа применении метода подвижного репера и внешних дифференциальных £орм Э.Картана, В работе применяется такае принцип перенесения Грассмана, заключающийся в интерпретации многообразия т. - плоскостей евклидова ' П - пространства в виде алгебраической поверхности размерности (пг-Н )С«.-«г) в проективном пространстве Ры , Исследование носит локальнш характер, все встречающиеся функции считаются достаточное число раз дифференцируемыми.

Научная новизна. Метод!,1 исследования основам; на рассмотрении квазириманова симметрического пространства в многообразии всех ж - плоскостей евклидова п. - пространства и представлении этого пространства в воде поверхности в квазнэллиптическом пространстве н применяется впервые для изучения геометрии семейств /п-плоскостей. В решении задач теории семейств >п - плоскостей существенную роль играют геодезические линии в многообразиях пх-плоскостей : для семейств т - плоскостей размерности I этими линиями является касательные геодезические т - геликоиды, а для семейств Ш - плоскостей коразмерности I - нормальные геодезические пг - геликоиды. Построенный.канонические репера семейств позволили изучить свойства семейртв ж. - плоскостей, найти их инварианты, выделить частные случаи семейств, "найти про-: извол их существования. Полученные в работе результаты с помощью указанных вше методов по противоречат проведенным ранее исследованиям.

Теоретическая и практическая значимость._ Результаты, полученные в диссертации, имеют теоретическое значений п-могут быть при-

иенены к исследованиям в области дифференциальной геометрии семейств подпространств ьаюгоивриих пространств.-Материала, содор-яащиеся в диссертации, могут бить использован» для чтения сне -циальних курсов по даХ&ерешшадьной геометрии в пединститутах а университетах.

Апробация работ». Основное результат диссертации неоднократно докладывались к обсулдалшсь на заседаниях геометрического семинара при ШТ (, 1320 г., 1290 г.) , на научных конференциях преподавателей в Запородскоы государственном ун:*эврсктете ( 1337 г., 1990 г.) , на заседашш научного семинара при :.ШУ (1991 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 статьи, которые отрагш'л основное содержание работы.

Структура и объем гдбот». Диссертагдая изложена на 103 стра -нжцах иаанноопсного текста в состоит «а введения, трех глав а списка литературы, содержащего 67 нашленованкй работ по затро -нутш ^ диссертации пробле:.:аи.

ОЬЗОР СОДЕШБЙ РАЬОТи

Во введении обоснована актуальность теш, сформулирована цель ж указами иетоды исследования, дай краткий обзор литературы, имеющей отноаенае к теые диссертации, а таксе изложены основные результаты, яолучекнме в работе.

Первая глава диссертации посштуеиа изучеигп свойств шогооб-разия т - плоскостей еагсллдова П - пространства /?* , называемого грасс;.акозш иногоэбразиеы. За грассшяови г-ординати

Ш - плоскости (Хо,?., .,*«,) -лутхжлся координаты р.".....

(¿1. ■.*) ее иапрйй.-о&.£его "I - вектора х, л л... л Хп

в координаты- р- (<•.'<, ,«) (л»/)- вектора х.лх, л..,л х* и стрстся изоЗрагение м - алое госте а пространства Я« точка-!Ш Проективного прес?;ы!е?ьа Р« размерность /Л (£','); пра этой 1:могооСра:>;!е систвешли /п. - плоскостей лростралства езо в простры'.згье Р„ алгебраической повергго-

С15Д) разыбрнс«1Е ',пч): ч->п) , .'.аа: ьааг^Д езу.сдовоЗ'граскашса-

ноз, и обе ^ кти'я гп *, * .

в ¿?>м, « »¿^три'.стБЭ Р» мохнэ вьэсти кетрш^ кытз.^шкпеекгго пестря,-егм , где , ннвараа'-т-

кую относительно группы движений пространства . В этой метри-

Л/ ¿»11. ..¿т\ /~\ / I I* Ч>( !>■ ■ с

ке расстояние си ме:.<ду точками < (/* , р- ) и Сш , $ ) пространства , координата которых нормированы условием

^—'(-Г ■ ) г I, вычисляется по формула

.ш ъ —„ее<-*~ а»»--»«

в случае, когда тона: Р и ¿2 изображают непараллельные м -плоскости. Если ::;е т - плоскости пространства параллельны, то их соответственные координаты и ¿^с—Сы-равны ыазду собой, а значит В этои случае расстояние со между точками Р ж О пространства . изображающими эта параллельные гк - плоскости, вычисляется по фэрцудэ

а1--^

.¿»о 1 ' '. ■

Раскрыт геометрический смысл этих 4ормул.. Первая ез нях выражает угод мезду ^ - плоскостями, за который по определению при, нпмается величина со , определяемая соотношением . • ...

соъ и) - се$у, со% •■■

где у*, о( * т. - стационарные углы даниюс т - плоскос-

тей.

Геометрический смысл второй £юрмулы заключается в. той, что расстояние меекду точками пространства , изобразаюирали параллельное т. - плоскости пространства Йп , равно кратчайшему расстоянию между этими т - плоскостями.

Указанная квазиэллиптическая метрика в пространстве Рм является в!.фо..;декпоП проективной метрикой, изучавшейся в общем случае И.В.Парнасским Ч Частные случап многообразий с вырожденной,метрикой рассматривались в работах А.П.Нордена, Р.Г.Бухараеза, А.Э.Ха-тапова. '

Во втором параграфе рассцатрнвамся адаптированные реперы многообразия Ш - плоскостей и изображающей его грассманианы, деривационные формулы этих реперов и условия их полной интегрируемости. Находятся связь медузу дц^уеренциальниш формами грассманнанц . к многообразия >п - плоскостей пространства" 1?п .

I) . Парнасский И.В. О выроздаодихся ршлаиовых пространствах // Тр. II научной кокф.латем.кафедр ледпн-тов Поволжья / Куйбншев, 1952. - с. 176-131.

- 5"'-

В третьем' параграфе показывается, что еиклвдова грассманпа-на является квазирылаповнм с&иетрнческш пространством

размерности (т+0(л-'*) и индекса т(п-гн)-

'Впервые пространства такого типа, т.е. пространства, отличающиеся от классических Романовых пространств тем, что тензор заданный'в ¡с&:доЗ точке простралства, имеет ранг, меньший размер-поста пространства, изучал Н.А.Глаголев*^ , когорт заметил, что эти пространстьа мо:.ло рассматривать кик ркмановн пространства, матраца кетричоского те; шора которых :<х:еет ранг, меньший п.

Более осцпз пространства такого т:.па впервые рассматривал итальянский геометр З.иоргслотти.

Пространства с внро..£е;шой рш-дновой метрикой иногда называют "полур::ыаловши пространства.;«". Эти пространства рассматривались в работах М.А.Аклвиса и ь.ПЛебшевой, И.В.Белько. .

В 5 4 первой глаш говорится об а-Хы.шоЙ связности без изучения в глогооб разки /11 - плоскостей, существование которой снло до;шзано Э.Картаном . Пеизотрошшмк геодезическими этой связноет:1 является однопараыеар^ческле семейства т - плоскостей, являющиеся гн - геликопдш.п, 'ч - квазнгеликопдамн, гп-щчки, .Едятся определения горловой точ1ш /и - плоскости, ее горловик II когорловгх векторов. й

Вьедеисоя а^'ниная связность в многообразии (ггп,п ■собственных т - плоскостей пространства /?п совпадает с а.'Х;ш-иой связностью А.;:Л1о{иена для многообразий ы &Гя,п-«

(геодезические линии - пучки пряма или гиперплоскостей).

Во второй :: третьей главах рассматривается подмногообразия пши:;.шьпо,! к пшсо;;' алыюй размерностей многообразия ' т - плоскостей щсстранства Рп , называемые моноснстемамп л гиперкомп-лексаш т - плоскостей. Бри перенесении Грассмана они изображается, соответственно, кривила а гиперповерхностями квазнримано-на пространства.

13 пятом параграфе второй.главц изучаются моносистемц м-

2), Гла;'а:ев И.А. Рштяош ¡шагсобразая проективного типа // Матем, с;.- - т. - I,- И.1. - 0.177.

плоскостей в евклидовой _ пространстве. Этот случай вы-

деляется по той причине, что горловая точка, горловые и когорло-buô векторы /н - плоскости моноспотемы, помещающейся в (Jm*i)~ ироотранстве, образуют канонический родер, связанный с /п - цлоо-коотыо семейства и определяемый, таким образом, дифференциальной окроотностыо первого порядка ■ /п - плоокооти моносиотемн. Получены дерииащюшшо -¿.ор.гу.'ш репера и найдена полная слотеш инвариантов ыонооиотемр.

В оледущом параграфе рассматриваются моноспстомн m - плоскостей пространства Rn нрц произвольном н ^ , здесь вводится понятие - ti соприкасающейся плоскости ыоноспоте-ми, обобщающей понято O'-iJ - 11 соприкасающейся плоокооти линейчатой Ловорхнооти, рассмотренной В.А.Барановой^. В настоящей дмооертащш шюокость,' виоокаомоя бесконечно удаленной гиперплоскостью Sn-i пространства Rn из ( .) - й соприкасающейся плоокооти, назнваетоя (<-■*) - й беоконечно удаленной соприкасающейся плоокоотью,

При поотроеши канонического репера моносиотемн существенную роль игрвмт m - геликоиды, касательно к моносиотемш m -плоокоотой, опиоивасмш /и - плоокоотью моносиотемн и бесконечно удолепшш «t - плоскостями, полярными к (c'-i) - й бесконечно удалониой соприкасающейся плоокости в t - й бесконечно удаленной соприкасающейся плоокости.

Б случае rt* т))+т+)) этот рапер определяется дифференциальной окреотноотыо •} - го порядка, а в олучае n*mi+m + V+ + ï>, о < ? < - длффорэнциалыюй окрестностью (vl-n) - го порядка гч - плоскости ионоопстемц.

Доказано, что полная система инвариантов ыоноси.стеш состоит из J назаЕпсишх инвариантов, определяощюс моно-

оиотему »1 - плооиосгоП пространства Rn с точностью до ДВ1КОНИЙ этого пространства.

В последнем параграфе второй главы рассттр>ша-тся частице случаи ыонослстем. Вводится понятие развврткваклюйся ыонослстем" ■

3). Баранова В.А. ЛлноЛчатпе поверхности в многомерной ■ев;с.л.:довом и эллиптическом пространствах // Тру.и- геом. сои. Кааан. ун-та. 1253. -■шли 15. - о., 5-12.

nt - плоскостей и рассматриваются частные случаи ра^вертнващих— ся моносистем.

Б третьей главе строится теория гиперкомплекоов т - плоскостей евклидова я - пространства а как ее частннй случай -теория гиперкошлоксов пряшх nj остралства Rn. .

В восьмом параграфе получено дифференциальное уравнение гипер- , комплекса .;ршп:х пространства Яп в виде cd*- К > .где X-инварнант дпфф'ерендаатьяой окрестности первого порядка гиперкомплекса, назгпаеикй его кривизной. При получении этого уравнения по- • пользованы понятия нормальной корреляции я нормальной коллннеацил, . связанных с прлтлой гнперкомплекса, а. такке инвариантность (л-<* )'-плоскости Пп-л. , по которой пересекаются все гиперплоскости,-соогветствулцпе точкам прямой таперкомплекса в' нормальной 'корреляции. Инвариантность (n-i) - плоскости Пл-jl доказана К.И.ГринЦе-внчыссгл^. Введены понятия центра прямой гиперкомплекоа и ее ко-' центральных векторов. Доказано, что на прямой гиперкомплекоа имеется единственной центр и для этой прямой тлеется единственная па' ра коцентралын'х векторов. •' ■ •

В 3-пространствв, ортогональном • (Л -Л) - плоскости Пп-л,. введена пселдориманова метрика, изученная А.П.Норденом^ , который доказал, что непзотрошшш геодезическими в многообразии прямых трехмерного пространства являются прямые геликоиды. Введено понятие геликоида, норг/ллького гиперкомплексу прямых пространства Rn и раокрыт геометрический смысл инварианта К гиперкомплекоа с помощью понятия нормального геликоида,. Доказано, что кривизна гяпаркомп-лекса пряглих пространства Rh равна отношению параметров р. н k нормального геликоида, взятому со знаком "минус".

В этой де параграфе доказано, что нормальный геликоид в случае

4). Грпнцевичвс К.Ы. Дифференциальная окрестность второго псгтдка луча комплекса в многомерном проективном пространстве, // Матем. .

• сб. i960. - т.52. - -с. 991-1020.

5). Нодцея А.П., Цшккн М.Е. 0 соответствии между линейчатыми по-верхностят ж кривыми риманова пространства // ДАН СССР. - 1952. -т.Р.6. - Й1. - С.23-26. • • ■ '

а -

гилеркошлексов tn - плоскостей пространства Rn вырожден и является пучком параллельных m - плоскостей. Дифференциальное уравнение нецшхпндрического гшхеркошшекса т - плоскостей пространства Rn получено в вида К л , Инварианти К л.

пщаркоыплекса /и - плоскостей 1;азвани его кривизнами.

В v 9 отроится канонический репер гхшерког.шлвкса прямых пространства Rn : вначале для случая п - 5 , и затем ,.;.<и слу-иот произвольного И . С каждой прямой гаюркомпло tea пространства

Rk связывается артоиоимлрованнгй репер, начало которого помещено в центр пряз.ой гшшршлхлекса, вектор í>, и;шраьлш1 по атой прямой, вектори с г и еъ направлен; ■ на поляру (n-¿) - плоскости (1 n-í , а вектори F¥l7f,...jeA ■ ле-сат в зтоИ (jt-Л) - шю-окости. Доказано, что канонический репер гиперкомплвкса и; я...их пространства Rn яшяется радерои второго порядка.

Выяснен геометрический смысл виоора канонического pe.it^a гн-нвркомплекса прямых пространства Rn , а для случая нростра-.ства Rf получена формула, с помощью которой мсьшо перейти от произвольного репера гиперкоыилекоа пряаых проотранствя к его ка-ыойпческоцу реперу,

h десятой параграфе третьей главк изучаются частике случаи гииеркомилексов. Вводится понятие омбилического гилерко;.ллекса прямых, доказывается существование омбилического гийьркошдекса в пространстве Rs . Обоодается понятке cneiсального гилеркошшек-са на случай гыперкошлекса m - плоскостей пространства Rn. ' Находится произвол существования гинерконплексов прямих постоянной привязки'пространства Rn . Вводится лондтие кзокл^никх хтнер - . комплексов н доказывается, что лзоклинные гш1брко;длаксн 2-iujo -костей в пространстве f?c существует с произволом одно?, .^надл ВОСЫ.Ш apl^UüHTOB.

Перечислил осковаге результата, получешг.е ь ¿ аса. ь., i ш;емой „десерта: и;::

I.. Построуна ..ширыретация многообразия т - ил:е.;ссхей еьц>ш,дова нрос.ранства Rn в виде алтё-ракческоа «оьерлности В Kuaju3._c:a?i'.4i.at:cu лроот;акс-:ве S* , где /V» J/I-- [%)■ i

иетрика которого -.AypsApsvt на этой алгебраически ¡icbj¡.í .„о-х,:

V' />( ( п I* )

2. Для изучения подгяогообразнй размерности I (лряосистем П-

■ плоскостей)-и коразмерности I (гпюркск'лдексов т. - плоскостей) !.:ногообразня /и - плоскостей евклидова пространства Кп. использовало понятие .геодезнчоской линии в многоооразии т - плоскостей. •

3. Построен ¡:я:'оничса.ий радар моиосцстеми /н - плоскостей евклидова пространства Ян. , гйшкщпйся ■ в случае { репером не! вого порядш, в случае П- тУ+тУ - репером .V - го породка, а в случае л* тъ^т^К?, о<.4*-т. - репером (.V*-1) - го

■ порядка. .

4. Получены дорпвацнолгпга Сорцулы канонического''репера моносистемы . 14 - плоскостей, найдона полная система ее инварпан.-- ■ тов , раскрит их геометрический сгд:сл и впделени частнпе случал ?,:оноскотем. • .

5. Найдено д1;у1ерешо;алыюс уравнение гиперкохшлекса прямое' пространства а раскр-т гео; .егрлческяй с;;гсл дпвар;гаята гк-перкошлекса прямых.

6. Доказано, что канонически! репер пшеркошлекса пряг.нх пространства лтздчется реле]: ом второго порядка к раскрыт ге--омотркчесшШ с:.з:сл вгйора канонического репера гшеркокплокса. •

7. Вгделош: част'ше случал пшеркошлексов пряшх/л гипор комплексов гп - плоскостей евклидова пространства, доказано их существование и н&'щен произвол.

Пуилш:ащл автора по теме диссертации

1. РозетТельд Б.А., За;еп^па О.Б., Стеганц8ва П.Г. Гпперкомп-лексы пряиж в евг-пт-свом :. сеенклвдовнх пространствах // Изв. Вузов. Мат, - 1990. - ."О. - С.57-56.

2. Стегаицева П.Г. Канопнчосций репер подмногообразий мннн-мальной 1! »ашшальиой'разгйрпостей грассг.'днова многообразия ю-нлоскостей ев:лпдова н - пространства// Запорок.гос.ун-т / Запорожье^ ШО. - 28 с. Рукопись деп. в УирНТЛЗГП! 4.09.90г. Я508-Ук90. - . -

3. Стеганцева Д.1\ Моноснотеыы и пшвркомдлекс» щ - плоскостей евклидова Я - пространства Rn // Запорол.гос.ун-т / Запорожье, 1990. - Зс/ Рукопись деп. в УкрШДЦГШ 28.П.90Г. ШЭ7

УкЭО.

4. Стеганцева П.Г. .Геонег'рь'чес-.ий сшсд инварианта гилеркош-лекса пряшх евклидова пространства Rn ъ репере первого порядка // Теза доповХдел иаукоинх кон^еренцИ виюадач1в I студентХв ун1в8рсатет7/ ЗалорЬххя, IS93. - внп. III. - ч.1. - C.G4-G5.

i