Аддитивные проблемы делителей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р Г 6 ш* имени М.В.ЛОМОНОСОВА

1 9 СЕЯ И?.'1' ■ *•*• .

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК.511-

ИСЫОИЛОВ ДОДОХОН ДЦЩШШНЫЕ ПРОБЛВН ДЕЛИТЕЛЕЙ.

01.01.06. Математическая логика, алгебра и теория чисел.

/

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1994г.

Работа выполнена на кафедрах математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова и алгебры и теории чисел мбханюсо-матеыатического факультета Таджикского государственного университета.

Официальные оппоненты:.

доктор физико-математических наук.профессор М.П.Ыинеев, доктор физико-математических наук,профессор С.И.Воронин, доктор физико-математических наук,профессор Н.М.Тимофеев.

Ведущая организация - Математический институт им. В.А.Стеклова Российской Академии Наук.

Защита диссертации состоится !А£Г 1994 г.,

в 16 час.05 мин. на заседании специализированного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899,ГСП,Москва, 1ИУ,Воробьевы Горы, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в .. библиотеке механико-математического факультета Московского гос.университета, С14 этая).

Автореферат разослан Ьб а£гис1Ш( 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.05 цри МГУ, црофессор

В.Н.ЧУНАРИКОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Предмет исследования. Настоящая диссертация посвящена исследованию ддитивных свойств мультипликативных функций (функции числа делителей атуральных чисел, характеры Дирихле, количество представлений атуральных чисел разложимыми формами и другие). Круг проблем, зучаемых здесь, мы объединяем под общим названием - аддитивные роблемы делителей.

Актуальность темы. Общая методика исследований. Исторически в тео-ии чисел основным направлением исследований были изучение мультипли-ативной и аддитивной структур натурального ряда чисел и их взаимо-вязей. Аналитическим аппаратом, отражающим эти структуры, явились рифметические функции (мультипликативные.аддитивные).Это и позволяет вести для изучения свойств натуральных чисел методы анализа бесконе-но малых: метод производящих функций (ряды Дирихле и их обобщения в лгебраических числовых полях), метод тригонометрических сумм, круго-ой метод Харди-Литлвуда-Раманудкана и другие. Это направление иссле-ований в теории чисел называется аналитической теорией чисел. К дан-ому кругу проблем и относятся рассматриваемые в диссертации вопросы.

Выдающимися представителями аналитической теории чисел являются йлер,Лагранк,Лекандр,Гаусс,Дирихле,Чебышев,Риман, Раманудкан, Харди, итлвуд,Вороной,Ландау,Гэкке,Вейль,Виноградов, Линник и другие.

В основе наших исследований лежат методы теории производящих рядов ирихле, методы оценок тригонометрических суш, методы алгебраической еории чисел, варианты кругового метода, методы оценок сумм арактеров Дирихле от многочленов и рациональных функций.

Цель исследования. . Получение асимптотической формулы при Т-® с возможно лучшим -статочным членом для количества решений диофантового уравнения ах2 + Ьху + су** = г.к;'?-г $ г « Т;

г

к - натуральное число, а>0; а.Ъ.с — целые взаимно простые числа, x.y.z - целые, (x,y)=l; t - может расти вместе с Т, 11 < t < т-i. II. Вывод равномерной по растущим целочисленным параметрам а,Ъ,1 асимптотической формулы для числа решений диофантового уравнения

. к = аху - bzu; bzu < п; *

в натуральных числах {x.y.z,и) при растущем п, а*». III- Вывод асимптотической формулы ври rwo для аряфмзтичеокой суммы N(n) = 2 d(a)d(b)ü(c)

(d(m) - число натуральных делителей начального числа ш), уточняиавг формулу т.Эстерыана, полученную им в тридцатые годы. IV. Построение теории оценок полных суш характеров Дирихле пс составному модулю от многочленов и рациональных функций.

В наших рассмотрениях одним из важных этапов является применение оценок тригонометрических сумм (использование современной оценки суммы Г.Вейяя, полученное методом И.М.Виноградова и ее применение к оценке дзета функции Риыана в критической полосе, глава I, современной оценки суммы Клостермана и ее развитие в связи с задачами аддитивных проблем делителей, главы 2,3), которые вносят существенный вклад в итоговые результаты. В четвертой главе, развивая теории оценок полных рациональных тригонометрических суш Хуа, создана теория оценок полных' сумм характеров Дирихле составного модуля от многочленов и рациональных функций, а таете получены (с учетом оценки А.Вейля для полных сумм- характеров от многочленов и рациональных функций в случае когда модуль характера Дирихле является простым числом) соответствущае оценки снизу и сверху для однократных и многократных полных суш характеров Дирихле составного модуля от многочленов и рациональных функций многих переменных.

Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получения

>гут Оыть использованы в аддитивных задачах теории чисел, теории гльтшшкзтивных функций, теории оценок рациональных тригономегри-гских суш, теории характеров Дирихле и их приложений.

Апробация работы. Результата диссертации докладывалась в 1983-ЭЭЗгг. на семинаре по аналитичесой теории чисел профессора .А.КарацуОы в МГУ; на теоретическом семинаре по теории чисел рофессоров А.Б.Шидловского, Н.М.КороСова, Н.И.Фельдмана в МГУ; на. аучно-исслэдовательском семинаре кафедры математического анализа под уховодством профессора В.А.Садовникего в МГУ; на семинаре по алгебре_ теории чисел профессора Г.Бабаева в ТГУ; на Ломоносовских чтениях в ГУ (1986, 1989гг.). На Всесоюзных школах, конференциях и симпозиумах о теории чисел с 1977г. (Душанбе - 1977г), (Москва - 1983г), (Минск-989г.), на Международной Конференции, посвященной 100-летию со дня овдения И.М.Виноградова (Москва - 1991г), в Математических научных ,ентрах ПНР (Силезский университет, г.Катовица, 1990г), КНР Пекинский Университет, Математический институт АН КНР, Г.Пекин; 9Э0-1Э91ГТ.; -Шаньдунский Университет, г.Цзшань 1Э90-1991гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 30 работ, в том исле одна монография в объеме 116 стр. Основные результаты эдеркатся в 23 работах, список которых приводится в конце 1Втореферата.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех \лав и списка литературы. Объем работы- 231 страница машинописного текста, список литературы включает 146 названий.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении формулируются задачи исследования, излагается история вопросов и приводится описание основных результатов работы и осматриваются метода, использованные при их выводе.

В первой главе диссертации исследуется вопрос о распределении примитивных цели, точек на поверхности эллиптических конусов. Пусть

ф(х.У) = ах2 + Ьху + су2; (а>0) положительно определенная бинарная квадратичная форма с целыми взаимно простыми коэффициентами а,Ъ,с; дискриминанта -d=b2-4ac<0, совпадающего с дискриминантом мнимого квадратичного поля Q(J-d), которое получается присоединением к полю рациональных чисел Q числа JhI. Обозначюкчерез F^ilc.t.T) число примитивных целых точек ix.y.z) (т.е. точек с целыми взаимно простыми координатами: (х,у)=1) на поверхности

(1) ф(х,у) = zk; T-t < z « Г;

(2) F^ttt,!) = S гф(т) = 2 1

ф(х,у)=т;(х,у)=Г

(3) Б^Ск^Д) = S гф(пк);. гф(т) = 2 1;

Задача oö асимптотическом поведении величин S^(1,T) и F^d ,т; 'классическая. Постановка'вопроса oö исследовании величин S^k.t.i) i I^dc.t,!) при k»2, t<T и T-co (t- может расти вместе с Т) принадлежим

A.Г.Постникову. Перше результаты для случая k=2, t=T-1 получи.

B.П.Мякишев ('), где этот вопрос ( при <p(x,y)=xz+sy2; я>0, х>-бесквадратноа) трактовался на основе унифзрмизации рациональны: представлений нуля квадратичной формой. Г.Бабаев (*)' этот Bonpoi трактовал (при (р(х,у)=хг+у2; t=T-1) с помощью методов твори: мультипликативных функций. А. И.Виноградовым было предложено широко обобщение задачи (при t=T-l) указывалось на целесообразност использования теории групповых характеров и родов квадратичных форм Эти. идеи в дальнейшем помогли автору при доказательстве результате

(*) Мякшев В.П. // Докл. АН СССР, 1Э62г.,т.143, М, с.785-786.

(*) Бабаев Г. Распределение целых точек на алгебраических поверхностях. Душанбе, Изд-во Тадк.Госушгеер., ТЭбвг.

иосительно величины S^dc.t.T) и I^k.t.T).

Современные оценки . тригонометрических сумм типа Г.Вейля, «ученные методом И.М.Виноградова (*) имели следствием усиление >зультатов в ряде задач на суммирование арифметических функций. :еди них отметим оценку суш значений функции Мебиуса

, - .a^s

(4) I ц(п) = 0(хб(х)); в(х) = ехр(-с ^ х> ); (с>0).

а основании этого результата получается оценка для (*)

(5) £,ц<п>, = -ф х + 0(р ö(x))

В 1971г. автором (5)был обобщен метод с помогаю которого получена юрмула (5) для пшрокого класса арифметических функций. В частности ¡ыли установлены следующие утверждения: пусть Г(х) и g(n) функции гатурального аргумента, 0<л.<0.5 и

(6) Г(п) = 2 И«» g(n/dz).

ü2/n

Согда, если

(V) Sj(n) = N N) + 0(NX);

то

(8) 2 1(11) = N P <*» H) + 0(N*'Z ß(N)) n<R m

Если же дополнительно выполнено условие: либо g(n)?0, либо 2^g(n)| = 0(N TJ{N))

(T)(N)>0, t)(N) -неубывающая функция), тогда

(s) Виноградов K.M. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980г.

С) millsh А. Weylshe Exponentlaleunmen In der neuen Zahlenthoree. Berlin, 1963. -

(5) Исмоилов Д. // Докл. AK Тадж.ССР, 1971г., т.14, JHI, с.7-11.

(9) ? Пп) =мр (¿^щ - (И-г)Р г^вШ-г)) + И-^пЗ! " ж * 1

1—^

■ г'1-Л' ■{»дт ЩЯ)),. Ш3-2

* '1 г-У

0(К3"г;*- 1»вт КТ)(Ю),

где 1;<11, И-«», X - может расти вместе с N. 0т(и) и Рт(и) полиномы ш-оЯ

степени от и со старшими коэффициентами ао и бао/я? соответственно,

б(Ю - функция определенная равенством (4).

Заметим, что условие (6) (при наличии (7) с АхО.5) по существу, приводит нас к применению современной границы отсутствия нулей дзете функции Римана в критической полосе, точнее к применению оценки (4). Из-за равенства (6) утверздение (7), путем применения традиционного метода комплексного обращения рядов Дирихле, получить невозможно.

В 1973 г. к исследованию величины 5^(2,1) автором был применег метод функционального уравнения с последующим использованием оцено? специальных кратных тригонометрических сумм, распространенных I области К{ахг+Ь^у+су2)2<^0''17 (аналогичные тригонометрически, суммам, возникших при исследовании трехмерной проблемы делителей), 1 в заключительной части путем применения результатов утверждений (8), (9) удалось получить наилучший в настоящее время результат дои остаточного члена величины 5^(2,Т): при Т-«» имеют место:

(11) 8ф(2.Т) = ИСТ) + 0(]т 8(Т»; а также при г>Т17''аз имеет место

(12) ЭфВ.г.Т) = М(Т) - м(т-г) + от,

если <р(х,у) принадлежит • главному роду форм, (А^ - положительна] постоянная, явно вычисляется, В^ - постоянное число, е>0, е - скол! • угодно мало). В противном случае 5^(2,1;,Т)=0 для всех X; КШМ см.(в).

(°) Исмоилов Д. // Докл. АН Тада.ССР, 1973г., т. 16, с.6-9.

При ЮЗ для величины S^k.T) уже этим методом возможность получения остаточного члена в-форме (II) отсутствует. Б работе (') для случая, когда ф(х,у)=хг+з>у2, д»а х,- оесквадратное целое число; было получено следующее утвервдение:

г А(г>)Т + 0(JT t'ífty, -»#1;

(13) Pe(2,T) = i с г

I | Т + OfjT); a»i;

Анализ ситуации показывает, что идея применения формулы (4) для величины F(p(k,T) в целях получения, возможно, лучшей оценки остаточного члена, оказалась осуществимой. Именно на этом пути (развивая метода доказательства результатов (II) и (12) в первой главе диссертации поставленная задача для всех к=1,2,3;...; полностью решена. Эти результаты доказаны в §2 и §3 главы 1,а §1 является предварительным, где приведены необходимые сведения и леммы (здесь леммы 2,3 и все результата пункта 2;§3 имеют самостоятельный характер).

Сформулируем основные результаты главы I.

Теорема I. Пусть Q(J-d) - мнимое квадратичное поле дискриминанта -d=bz-4ac<0 и Кф - класс. эквивалентных форм, которому принадлежит форма <р(х,у), \,К2,... все различные классы неэквивалентных квадратичных форм отрицательного дискриминанта, (a,b,c)=1, hj. -количество классов JL; Л=Т7Е; k-я степень которых равна классу К^.

Тогда при Т-со справедлива асимптотическая формула

(14) Рф(к,Т) = С^ (к, 4)1^1 + 0(Jt 5(Т));

если К,р является к-ой степенью некоторого класса К., я P^fk.T^O в противном случае, а также при h^O имеет место формула

г ot(Tt)1'* * е), tzf"

(15) Р (it.t.T) = С (k,d)h t + A_(t,T) = J

■ Ф Ф Ф U(Ta'7-e),

где Cjpík.d) - явно вычисляемая положительная постоянная, определяемая в зависимости от формы <р(х,у) и .поля Q(J-d), постоянные в символах "О" и функция 0{Т) зависят от к. При k=1;h4=1 и 0^(1 ,<!)=-§-; з>~ опре-

делитель формы <р(х,у). Цри JS2 и i\>l значение C^Oc.d) зависит от d. Например, когда d - нечетное и -d - квадратичный невычет по модулю 8;

V2-d) = ^ О'(PAJH1.); ■ ' ■ Р*2

Величины hj. при к=2 вычисляется на основании, формулы Гаусса о числ<

родов (в зависимости от числа класов идеалов поля Q(J-d); т.е

hz=2v<d>~1- число различных простых делителей числа d. При ЮЗ

нечетных автору неизвестен аналог формулы Гаусса. При k=1 наш утверждения (14) и (15) ввиду равенств:

(16) 2 гю(т) = — И+ 0(ЫХ); F (n)= £ ^(<i)rffl(n/d2) mai * {3 v d2/n v

{x> - определитель формы, 1/4^1/3),и с последугацим применение

утверждений (8) и (9), выводятся непосредственно. В §2 главы

диссертации рассмотрен случай к=2. Основным аппаратом исследовани

является использование методов теории алгебраических . чисел noj

Q(Jq), L-рядов с групповыми характерами с последущим применение

теоремы Гаусса о .родах. Сначала, производящая^ функция зада*

выражается через комбинации других производящих рядов Дирихл«

позволяющих получить равенство типа (6):

(17) гф(п2) = £ tKdjg^n/d2).

dz/n

Затем доказывается, что является конечной алгебраически

комбинацией величин вида r^fm), причем устанавливается результ "аналогичный (16) с 1/4-^1 /3. В финальной части используют результаты утверждений (8) и (9).

При ЮЗ для исследования величины Т^Ос.Т) возник ряд трудносте для преодоления катара ранее предложенные подхода в работах (в), Г недостаточны. - Поэтому сначала. рассматривается более общая задач связанная с распределением целых "примитивных" идеалов квадратично поля Qcjq), q - бесквадратное (Целый идеал квадратичного поля Qçj" будем называть примитивным, если он не делится на целый иде

тотоаденный натуральным числом, большим 1_)- Это понятие в квадратичных полях соответствует понятию примитивной целой точки с координатами Чх,у). Таким образом, удается установить явные связи мевду примитивными целыми идеалами k-ой степени и целыми идеалами первой степени посредством числового характера квздратичного поля и характеров группы классов идеалов поля, а это дает возможность свести проблему к использованию результатов утверждений (8) и (9). Обозначим:

Гу№) = JC %{а); L (C.t.I) = 1 N(C;nk);

X Що)=ш ^ Т-Ш ..

где суммирование ведется по всем целым примитивным идеалам о поля норма К (а) которых равна ш, % - характер' группы классов идеалов поля Q(jq), С- фиксированный класс идеалов, N(C,m)-колкчество примитивных идеалов оеС, норма которых N(o)=m; t<?, Т~«.

Теорема 2. При Т-к» справедлива асимптотическая формула 12-h-h: р г

(18)

если заданный класс С идеалов поля Q(Jq) есть k-я степень некоторых классов идеалов С ,...,СЬ поля, a hj. - число этих классов, к-я степень которых равна классу С, и Ak(C,T)=0 в противном случае. Кроме того, при hj^O имеет место формула

12B-h-h: р

{I9) +

г ^

A (C.t.T) = { í+e . I OfT7 ),

0( (Tt)°-"*£), t>T7 t«D7 .

где п - число классов идеалов, к? - число единиц, К - регулятор, Д-дискриминант поля 0(>[я), 0<е - сколь угодно мало, постоянные в символах "О" и в б(Т) зависят от к.

В доказательстве этих результатов (глава I, §3;п.п.2,3) важным моментом является процесс преобразования величины г^ (пк} (посредством использования введенного нами понятия "целого примитивного идеала" и

свойств групповых характеров классов идеалов и характера квадратичного поля О(^) с последующим применением законов разложения

простых чисел в квадратичных шлях) через величины г (т). Именно:

.. X ,

гхтк) = I ■Ь(т)ц(п4)ц(д)хк(о' )г ^(д), п*п*дт=п X

N(0' )=б; о'/Д

где Л- дискриминант поля СЦ<Г§), о'- пробегает бесквадратные идеальные делители числа д, Ь(ш)=1, если все'Простые делители т делят Д и Ь(т)=0 в остальных случаях; ц(т) функция Мебиуса, % ~ характер группы классов идеалов поля 0(|с[).Тем самым, сумматорная функция ^(С.г.Т) выражается в виде:

(20) ^(С.г.и = £ Я ХССГ^СО Э £ ц(в) 2 ^(а') £ ц(«1)л(ш)

где С"1 - класс идеалов, обратный.к классу С;С1,... ,СЬ - все классы, а (в) = 2 Ь(Л)г,(1); г. (О- 2 1

... а"1- Д)=1

Далее, на основании асимптотической формулы Э.Ландау

2 г.(ш) = + ОСУ1")

показывается, что справедлива формула 2хН

Таким образе», формулы (20) и (21) позволяют применить результаты формул (8) и (9) с Х=1/3,тем самым получить доказательство теоремы 2.

Для доказательства теоремы I (при к£3) предварительно устанавливается взаимно однозначное соответствие мезвду целыми примитивными точками (х.у) и • примитивными целыми идеалами поля 0(1-2)- Затем используется теория Гаусса (см.(*),§53, стр.211 - 217)

( ) Гэкке 3. Лекции по теории алгебраических чисел. М-Л, 1947г.

связи меаду классами форм к классами идеалов квадратичного поля [ j-d) и, пользуясь теоремой 2, получим доказательство теоремы I. ззультаты первой главы опубликованы в работах 113-143,

Вторая и третья главы диссертации посвящены двум известным дди1ивным проблемам аналитической теории чисел: представлению атурального числа в виде разности от произведения натуральных чисел представлению натурального числа в виде суммы трех слагаемых каждое з которых является произведением двух натуральных чисел.

Обозначим: через N(a,b,k;n) количество целочисленных представлений атурального числа к в виде

(22) к = аху - bzu; bzu < п; iw>

натуральных числах {x,y,z.u>; здесь а,Ь - целочисленные параметры; орез К(п) - количество целочисленных представлений натурального цела п в виде

(23) n = ху + zi + uv; n-w

натуральных числах ix,y,z,ui. Иначе, если d(m) 1, то

N(a,b,k;n) = £ , d(m)dC^); B(n) = Б . d(a)d{b)d(c); k<amoi+k а+снс=п

гшк(т<г4Ь)

Во второй главе диссертации выводится равномерная по растущим елочисленным параметрам a,b,k асимптотическая формула для количества ешений диофантового уравнения (22). Сформулируем основной результат главы 2. Теорема 3 Пусть (a,k)=(b,k)=1; n-чо, тогда

(24) K(a,b,k;n) = M(a,b,k;n) + R(a,b,k;n)^

M(a,b,k;n) = + A^sn + AJ;

° %* p/ab P+1 1 a/k

eличины Aj,A2 в зависимости от a, b, к вычислены в явном виде

смЛ83, глава 2);

af5 + tya Ja6 t .

(25) R(a,b,k;n) < —gg- -ne +

e>0- сколь угодно мало, .постоянные в символе .не зависят от а,Ь,к,п.

Следствие I. Асимптотическая формула (24)справедлива при всех натуральных a,b,k таких, что

2 5

—в —е

ab * п* к «лв ;

При а=Ь=1 первый результат получил Ингам в 1927г. В 1931г. Эстерман

(*) выписал все слагаемые перед остаточным членом для М(1,1;к;п), а в

остатке получил степенное понижение: Он показал, что

(26) N(1,1 ,k;n) = B(n,k) + R(n,k)

B(n,k) = (k)n togn + aji ¿og n + a2n; 1v

at,az - явно начисленные постоянные, зависящие лишь от к, и

|R(n,k)| = 0(п,1Х" iog^n). В 1979г. автором (°) было получено уточнение в (26):

(27) |R(n,k)| = 0й15^е); (v s>0); .. -равномерно дхя всех k=0(ns'"*~s). Этот результат был доказан на основе развития элементарного метода Эстермана (") с последующим применением современной оцени сушы Клостермана, полуенный А.Вейлем. В том же году оценка (27) была получена с помощью аналитического метода Хиз Брауном, где применяется асимптотическая формула для суммы делителей в арифметической прогрессии и новейшей оценки сумм Клостермана. Дальнейшее продвижение по улучшению остаточного члена имели Н.В.Кузнецов, Д.Ы.Дазуйе и Г.Иванец, А.И.Виноградов и Л.А.Тахтаджан, которые использовали теории модулярных форм и автоморфных функций с последующим применением оценки суммы сумм Клостермана и дали оценку

|R(1,1,k;n)| = 0(nz^e), (v е>0).

(") Эстерман Т. // J.Relne Angew Math., 1931, s.173-182.

(") Исмоилов Д. // Докл. АН Тадж.ССР, 1979г., т.22, JS2, с.75-79.

разработке теории и исследования аддитивных проблем делителей и их Зобщений связанные с арифметическими функциями внесли большой вклад .В.Линник, С.Холли, Б.М.Бредихин, А.И.Виноградов, Б.В.Левин, .Мотохаши, Н.В.Кузнецов, Н.М.Тимофеев и другие.

Доказательство теоремы 3 проводится элементарно. Оно основывается а дальнейшем развитии элементарного метода Эстермана (в), оедлояенного автором в работах ("), [8].

¿вод асимптотической формулы (24) и оценки (25) осуществляется в зсколько этапов: Сначала путем использования симметричности области *у-Ъаи=к; Ъгц^п множество целых точек Сх,у,2,и), удовлетворяющее вшему уравнению, разбивается на соответствующие удобные подобласти и эсле стандартных (довольно кропотливых) рассуждений в качестве эрвой основной леммы (см. лемму 4, глава II, §2.2) доказана формула п г» , ^ , - . ■, , гиг,*'2 * е

К(а,Ъ.,к;п) = ^.[А^п + \tfsn + А2] + 0(1Г~ * ь а" )

"аБ"

к-о (к)-пе

+ 0(п*"2 * е + ОС—-) + Н(а,Ь,к;п)

Н(а,Ь,к;п) = У! Д(а,Ь,т,к;п). т/к

лесь, ' по-существу, величина |Д(а,Ь,ш;к;п)| определяет порядок

статочного члена; Д(а,Ь,т,к;п) = -Д^т) + Дг(т) - А3(т) + Д4(т);

.—, Т— а. а.Б' 38) А. (и) = ) У" ФС—+ -V)

ггоЦ) В20(Мл_р;(8Д)=1 де Ф(х)=(х>4; Чз=<^=-|; в.в^н«:

и,=и.4Ш31; М1=М2=Ь ; Мз=М4=а;

„ п+к. _ тгг*+Ьк. „ _ п' . _ гоМ^-ак.

тБ1 ' а*~~Ш' а-—апГЕ *

з формулы (28) видно»что основная задача сводится к получению нетри-

аальной (возможно лучшей) оценки величин Д.(ш), а это зависит от

оценки внутренней суммы соответствующих дробных частей в(28). В связи с этим в §2.5 доказано одно общее утверждение (§2.5, теорема I): Пусть а » ХН; Н>1; г - натуральное число; Аг и Вг такие, что (29) 0<А1<В1<Ь; Аг<Бг$Вг; Аг=А1+(Г-1 )г; Вг=В1+(г-1 )Ч.

Тогда, если Вг-Аг«1"1'0,.А1г^в * то

I. ) " т^1) «

аг<!Г<Вг <в,гМ;8яо(Ю

а б' *♦£ 1 1 —*б 1

2. у\ ФС-§- - -V) « ^ \q-.tf + а* гг <ЧД)\

(гчт^з-г (В,-Ь)=1 •

О-в' - - -+£ -

3. - т-3 с (ЧД)г + а3га (чД)'},

где N5(1 - натуральное число, ээ'М (г); ягОШ, £>0 - сколь угодно мало (не всегда одно и то же), « - символ И.М.Виноградова. Эти утверждения составляют основу для получения оценки величины |Н(а,Ь,к;п)|. Для их доказательства, сначала, функция <5 (у) приближается удобным образом, к одной характеристической функции, а затем используя теории рядов Фурье проблема оценки суммы (28) сводится к оценке обобщенных сумм Клостермана вида

(30) .

Аг

(М)«Г

здесь а - любое действительное число, Аг и Вг определены равенствами (29), я - целое, qгй0(*«¿t). Оценка (30) (см. главу 2, §2.4) основывается на современной оценке суммы Клостермана. Заключительная часть доказательства утвервдений 1-3 основывается на следующем результате: Пусть N - натуральное, 6ш - вещественное число, |6.|су, А и В - определены равенствами (29). Тогда для любых

вещественных Т>1 и 02 имеет место неравенство

г—■ q•s' ^

Аг<5"*!Ш1. (£!,1;)=1;8но'(Ю

(см. глава 2, §2.5, пункт 2, лемма 10 - вторая основная лемма).

В §2.6 рассматривается оценка величины Д(а,ЬД,п). Она проводится на основе оценок внутренних сумм величин А. (т) в зависимости от случаев 1) аф и 2) а>Ь и выбора величин а. согласно формул (28). В связи с этими случаями возникают "короткие" и "длинные" суммы вида а.(г) (см. внутреннюю сумму в (28)).. Все величины Й. (1;) оцениваются на основании утверждений 1-3 теоремы I, §2.5. Эти оценки технически трудоемкие, хотя вдейно достаточно ясные (см. глава 2, §2.6; пункт 2). В §2.6, пункт 3 получены оценки величин Л.(гп). Таким образом: I) если а<Ь, то -

А.(ш) « Щ— -о (к/т) + ; >1,2;

- ' - - Ьт* е- т2->[аб , - .

д (т) * ог(к/т) + ; 3=3,4; и если 2) а>Ъ, то

Г6

4 (т, ; 3=1,2;

до-т -;*б т -4ао

Ге

ЛЛт) с -а (к/т) + ^^ ; 3=3,4;

Наконец, в пункте 4, §2.6 получена оценка величины Н(а,Ь,к;п). В §2.7 проведено доказательство теоремы 3. Результаты этой главы опубликованы в £53—183-

Глава 3 диссертации посвящена доказательству асимптотической формулы для N(11) - количества представлений натурального числа п в

виде суммы трех слагаемых каждое из которых является произведением двух натуральных чисел:

Теорема 4. При п-«> для величины N(n) справедлива асимптотическая формула

(30) N(n) = P(n) + R(n); P(n) = n2 | Wn | V о'^'(п)

v=0

(31) R(n) = cf^mjW'n);

где величины aVj вычислены в явном виде, аа.0~"2С(3) ' Теорема 4 уточняет результат работы (*°) (см. также (")), где

R(n) = 0(п'%3п).

В основе доказательства теоремы 4 положен метод, предложенный Эстерманом в работах (") и (1Э), где применяется вариант кругового метода Харди-Литлвуда-Раманудкана, разработанный, им в своей работе (*2) для получения оценки коэффициентов Фурье целых параболических модулярных форм данной размерности (см. также (")). Одним из основных моментов этого варианта кругового метода заключается в том, что при разбиении отрезка [0,1] используются последовательности Фарея данного' порядка и при' "уравнивании дуг" (см. пункт 2, §3.1 диссертации) возникают тригонометрические суммы вида Клостермана, а это обстоятельство вносит свой вклад при оценке остаточного члена. Подробно см. [83. В §3.1, пункты I, 2, 3 получена явная формула для величины N(n) следуя (12), ("), [8):

(10) Esterman Т. // Ргос.London Math, soc.,1929, у.29, JE, p.453-4T8. (") .Page А. // Proc.London Math, soc.,1936, v.36, JE, p.241-256. (") Esterman T. // Hamburger Abhand.,1929, v.7, 83(9), s.82-99. (ia) Esterman T. // Xondon Math, soc.,1930, v.30, p. 123-133. (") Малышев A.B.// Запис. науч. сем. ЛОМИ, 1966, т.1, с.140-163.

t

fcfñ

(32) fí(n),. = .ez1c Г С .; С, = f е"г1и>8 S(9,...)dB;

■ ■ ■ •

--Vt 03 т- т

S(-) = Я g(-)e Г"СЕ +у): = Е d<n)ez1^;

1 Жк n=1

где у=т"*+8; g=g(~) - характеристическая функция, т- комплексное

число, JmoO, d(n)~ число делителей натурального числа n, | -

заданная дробь Фарёя порядка В пункте 2, §3.1 изучаются

свойства характеристической функции g и, в частности, устанавливается

что для фиксированной дроби (h,k)=1 имеет место

k к g(-> = S b.e к ; hh' s i(««tk); £ lb. | ^ *<>k ; r=1 r r=1

где br - явно выписанные- комплексные числа, связанные с процессом "уравнивания дуг". Далее, согласно формуле обращения Меллина при Res>1 (см. лемму 5, глава 3, §3.1; пункт 3)

0+ió> ' * ' со' "

(33) Pcjfy) = 2ШГ j r(s)DCs.C)z-ds ; = } Щ) С •

o-¿«> n=1 n

1<hSk, (h,k)=l; z=-2my; y=m"l+ 9; k í Jñ ; |e|<(fcíñ)". В §3.2 рассматриваются аналитические свойства функции Z>(s,££). Она является регулярной функцией на всей комплексной плоскости за исключением точки s=1, где имеет полюс второго порядка и удовлетворяет функциональному уравнению

(34) - 2А"(в)^"*"[сов2в-»С1-в.С)- ^С1-8»^]; hh'3 Kfliiofc); ¿(s) = -i(2ff)*_ir(l-s).

В §3.3 на основании равенств (33). (34) проводится исследование Г(|+у). Используя аналитические свойства гамма функции получено явное значение интеграла и соответствующие оценки остаточного члена зависящие от к,2 и п (см. лемму 8):

РС^У) = X + У ; X = ^ С^-^рГ^г); У = ЮСО.^Э + <2»П;

»СО,?Ь =. выч Г(з)2- РСБ.еЬ; Р(0,|1/) * к^рк; 8=0

-О. О* Vсо

I = / Г(Б)2"* »(з.фйз; I « к|г|п.'

-О. 5-1«)

Кроме того для величин и I имеет место равенство

к к всо.о-1 ЧгеГ4; 1 = 2 1=1 1=1 где некоторые величины, не зависящие от Л. В лемме 9, §3.3

получена явная конечная сумма для разности Г3 (й/к+Я-х3 и оценка

сверху для модуля:

- Г « 2 Т^'1 : \Г$т) - « 1=1

где 7) ,7г,. • • ,7к - некоторые величины, не зависящие от Ь. В §3.4 на основании оценки суммы Клостермана в лемме II получено:

1<31«к (Ь,к)=1

Заключительная часть главы 3, §3.5 посвящена доказательству'теоремы 4 Главный член выводится на основании равенства (§3.5, пункт I)

2 2 "Л I ^ =1 е—6СГ 2 е^е

к=1 т=0 3=0 ю п<к

№,к)=1

Остаточный член асимптотической формулы оценивается путем приближения М(п) к главному члену в форме:

СО

Н(п) = |Н(х» - ег1С2 г„.к1 < |Н(П) - 2 + к=1 '

*ег1С 12 а*4<п> 4 н*<п)-к>^п

Далее, с учетом явной формулы для N(¡1) величина ^(п) оценивается с помощью приближения коэффициентов Спк всячины Н(п) и величин ^ к

величинами йп к, имеющих вид: -(ЩГ1

Последнее соображение в свою очередь приводит к применению результатов §3.3 и §3.4. Тем самым оценивается величина И4(п), а для получения оценки Я2(п) применяем также оценку |Ск(п)|$(п,к). Таким образом, завершается доказательство теоремы 4. В заключении главы дается обзор величины Нг(п); гН. Результаты этой главы опубликованы в работах С8] - СЮ).

В 1947г. И.М.Виноградов в введении - своей монографии "Метод тригонометрических суш в теории чисел" (см.(13), стр.240-241) обращал внимание на возможности исследования суш вида:

Б^Г^) = 2 в 4 ; Бг(М)=2 %<Г(х)у; х=1 х=1

когда Г(х)=а хг>+...+ах+Ъх„+Ь,х2-)-...+ь хт; а,,...,а ; ь ,-..,Ь -

г» 1 1 О 2 т А п 1 т

целые числа, хо- определяется сравнением ххон1 (тоск})," %- неглавный характер Дирихле модуля ч.

Актуальность теории оценок суммы характеров общеизвестна. Они имеют широкое применение в теории распределений целых' чисел в арифметических прогрессиях, вычетов и невычетов в последовательности натуральных чисел, ■ первообразных корней и индксов в последовательности сдвинутых простых чисел, в оценке Ь-рядов Дирихле, в распределении первообразных корней в конечных полях и другие.

В 1983г. профессор Анатолий Алексеевич Карацуба предложил мне разработать общую теорию оценок полных суш характеров Дирихле по составному модулю q от многочленов и рациональных функций. Именно, в четвертой главе решается эта задача. Основным объектом изучения будут

(13) Виноградов И.М. Избранные труда. М.: Изд-во АН СССР, 1952г.

суммы вида:

Ч ■

(35) S(r,x,.q> = £ X(I(r).3; 1(х)=аххк+-+а1Г4ао;

x=1

q

(36) S(R,x,q) = l x(R(x)); R(x)=i(x)/g(x); gtD^ïV+b x+bo.

x=1

где всюду в дальнейшем предполагается выполнение условий: q - натуральное, q>1 ; %- примитивный характер модуля q; а, Ъ. целые числа,

(at,...,ai,ao,q)=l ; (bL.....b^.qM, при этом I(x),R(x) и

такие, что %(I(x))^Const и x(R(x))î*Const, (g(x),а)=1. При k=1 сумма (36) точно сосчитывается; при и q=p - простое число (для равенства (36) ) на основании работы А.Вейля (") получим:.

(37) |S(r,x,p)| $A(k)Jp; A(k) « «илСк-1 .¿р) .

(38) |S(R,x,p)| « Bfk.-OJp; B(k,i) < «^{deg<Hx)„Ip}

где ф(х)£Г(х)[£(х) ]р"г («лаф). Эти оценки в общем случае для составных модулей q не обобщаются. Однако, с учетом свойств характера % и неравенств (37), (38) выводится соответствующая оценка для бесквадратных модулей^.

Глава состоит из двух частей:, в первой части излагается теория оценок полных тригонометрических сумм характеров Дирихле от многочленов степени больше или равно 2, устанавливаются результаты, дающие неулучшаемые оценки снизу и сверху для |S(î,x,q)| и указывается на приложение полученных результатов к полным суммам характеров от многочленов многих переменных. Во второй части излагается теория оценок полных сумм характеров Дирихле от рациональных функций и доказываются теоремы,, данциенеулучшаемые оценки снизу и сверху. Полученные результаты применяются к полным суммам характеров Дирихле от рациональных функций многих переменных. Результаты данной главы опубликованы в работах автора [Ц-231.

(1в) Welle А. // Proc.Nat.Acad.scl.nSA., 1948, v.34, р.204-207.

Построенная теория обобщает и развивает метод Хуа-Локвнга оценок полных рациональных тригонометрических сумм, созданный им в 1940г., на более общие полные суммы С231.

Приведем основное содержание первой части глава 4. Согласно свойствам примитивного характера и многочлена Г(х) в

равенства (35) достаточно полагать ч=рп, р - простое число, % -примитивный характер модуля 4=?". Основные результаты первой части главы сформулированы в §4.1 в виде теорем 1-4 и следствий 1;2. Сформулируем результаты в виде двух теорем:

Теорема 5. Пусть % - примитивный характер модуля р"; р - простое число, тогда

х

т*—-»

¡5(Г,х,р")| « 0о(к)р

т.

Далее, пусть р ¡1(а1,2а2,...,ка)[), 5 - пробегает все корни сравнения

р °Г'Ш з 0(««ф); 1 £ « р; (хо?0) с соответствукщими кратностями т1,шг,...,ш1;; Тогда

X

П<1->

|3(Х.х,ряЯ < С^ю-р Я*1 ;

где т=тах<т. >, с0(к),с положительные постоянные, зависящие от к.

V

эти неравенства являются аналогами теоремы Хуа-Локенга (")для

полных рациональных тригонометрических сумм. В §4.4 приводится один

а а

результат для случая составного модуля q=pl ~р/; с учетом

неравенства (38).: пусть х, ~ примитивные характеры по модулям р *; 8=ТТ? и х,(;Г(х))51гС011зг для всех э=1,...,г. Кроме того РуКа^га^,...,!^); где рг|я; Тогда для имеет место

оценка

х(Г(х))| (к-1 ; = у; 1.

1=1 А

(") Архипов Г.П., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1937г.

В следующем утверждении сформулируем .(см. теоремы 3 и 4; §4.1', результаты.дающие оценю', снизу для однократных и- многократно полныз сумм характеров по модул» степени простого числа.

Теорема 6. Пусть % ~ примитивный характер модуля q=p", п>2; Г(х)=ахь+Ъ; (аЬ,р)=1; к»2; х(:Г(х))*Соп5г. Тогда

, Р"

1) I *(№)) = 2=1

г«41—«-> к

р x(b); п н ОМк)

n s г^к); г>а+1. .

Р

х=1

где ш=[|] - целая часть числа т - определяется как р^Цк, причем если 1 <п<к и xs=i, то предполагается п>т+1, когда р>2 и п>т+2, когда р=2; и при г=п; то Далее, при (к,р)=1; (т.е. t=0)

_f> —Г»

P P P P «Q.v„

2 E - E , E - E XCP(xl,..,x.;yi,..,yv)+b) = p v-%(b); x4=1 х.И у4=1 y„=l

где ; s,v - целые; n*0; 1(««гпк) для всех J=T7v; Wv=2 -ig >

F(xj,..,x.;yi,.,,yv) = 1 a.x; 4 J by/ 1=1 j=i

(at,..,a.bif..,bvb,p)=1; ki2; keO(««ffl); i=T7s; m.»2; 0 = s + v-ue-vv- v/n; us= E k"1; vv - E m7: {a> =a- [cü. В качестве следствия (см. следствие 2, §4.1) получена формула:

^^»«WX^b) -р v-*(b) где Jm V(X) обозначает число решений сравнения

F(xt,...,xe;yt.....yv) = кэс.у;*?»";

Основным аппаратом исследований является р-адическое представление целого числа по модулю риспользование свойств характера теории сравнений над конечным полем zp (см. пункт "о наборе показателей ¿(х)"), приложение формулы А.Г.Постникова С) (см. лемму 2) с последующим применением оценки А.Вейля (см. леммы 3;4;7;9-13) на базе

которых доказываются сформулированные выше рузультаты). Отметим, что в лемме 10 получена точная формула, которая развивает и обобщает известный метод Хуа оценок полных рациональных тригонометрических сумм.

В §4.3 проведены доказательства результатов. В-конце §4.4. дается примечание о перспективах рассмотренной теории применительно к "обобщенным суммам Гаусса", и в частности, сформулирован следующий результат: Пусть д=рп; п22, р>2 - простое число, х - примитивный характер модуля тогда

,%) = J X(m)e 4 m=1

-гТй.—

sTq Х(-А)е 4 ; mO(^Z) р (Eli)

L vTq X(-B)e " Cpi ; nsl (~«2)

целые А,В,С - зависят от (ABC,p)=l, (2) - символ Декандра.

Ранее, точное значение суммы Гаусса ■ было известно лишь для вещественных' характеров от произвольного модуля q.

Во второй части главы 4 исследована сумма S(R,x;q)-При i=0, суша S(H.x.q) - 'совпадает с суммой S(i,x,q). При и когда i(x) нацело не делится на g(x), (т.е. R(x) рациональная функция) суммы вида (36) являются более общими по сравнению с (35). Если воспользоваться теоремой Эйлера (gix))^'^ (-wtq), то имеет место равенство

q q

(39) 2 %(R(x)) = E хс»(х)); X=1 X=1

где i(x)sf(x)[g(x)]ip'<,>"1('~«iq). Однако в правой части (39) степень * (х) в общем случае будет зависеть от q и на итоговой оценке (если применять , прямо результаты первой части нашей работы) это обстоятельство будет сказываться. В связи с этим здесь предложен новый подход к исследованию таких суш. Для этого потребовались соответствующие алгебраические соображения, связанные с явным видом

('") Постников A.F. // Изв.АН СССР,сер.мат.1978, т.42, HZ, с.315-324.

1)

функции К(х) (сверх того, что было развито в первой части) с последующим применением формулы А.Г.Постникова (")и оценки А.Вейля С). Сумму ) достаточно рассмотреть для я=рп; р - простое

число % - примитивный характер модуля р", к>2; 1^1 (или к»1; 1^2) и При к«=1 она легко изучается обычными средствами. Приведем формулировку соответствующих результатов части 2, главы 4.

Теорема 7. Пусть х - примитивный характер модуля р", п»2 £(х)=ах*+Ь; g(x)=cx1Чb; (0(х),р)=1; к»2; _ (аЬ,р)=(сй,р)=1; Д=ай-Ьс; (Л,р)=1; к=р'ск1; (к ,р)=1 и если т>1, то п^т+2, если р>2 и п>т+2, если р=2. Тогда

г 1 П< I—-)

р 11 Е О(«"«¿к)

р"""~'Х(Ь/с1); п н г("«г<гк); г>т+1 Р

р""""1 \ х(Й(ртх)); II ^ гМ); 1<а«т+1; х=1

где Н(х)=1(х)/£(х), и=[|] - целая часть числа Далее, пусть Пх,,..^) = а.х/ + - +. а.х/ + + - + а.^!^

к к ш т..

д(х ...,х ..) = Ьх1 + - + Ьх" + Ь х 1 + ~ + Ь „д «,: (^...к^.р) = (т1...ту,р) = 1; к/п; 1=Т7з; ц««^); 3=Т7у; \ = - а^Д г 0(««ф); 1=1 ,б+1>; Тогда

г» _п

2) 2 1 * 1кТх-х-Гйб-1 р -}

0=Б + V - и - У,, - т/п; = |=1{§-): и.= 2-К'; ^ = 2 тГ

Как следствие (см. следствие 8, §4.5) получим • Р Р Ь+Х

I =1 I -КЖтгР = Р

где Д2) обозначает число решений системы сравнений:

.....а , ^ .

п I ^ ^ р •

Доказательство этих утверждений проведено в §4.6 на базе лемм 1-14.Далее, §§4.7-4.8 посвящены исследованию общего случая суммы ЭСН.х.р"). Здесь предложен, алгоритм, позволяющий найти точное равенство а затем выведены соответствующие оценки сверху для (БШ.х.р") | (см. теоремы 10-12 и лемму 19). В §4.7 изучаются арифметические и алгебраические свойства (необходимые для наших целей) рациональной функции Я(х). Вводятся-в рассмотрение многочлены вида

(40) ¡уМ) = уе+1))8„{Е)- !У(£)5„(М) = Е (при К£<р и любом целом т]), над конечным полем Ър Го (х) и (х) наши исходные многочлены, причем, всюду предполагается (случаи 1>к аналогичны).

Многочлен ^„(5) всюду будет основным в наших рассуащениях:

к+1-1

Ч.О») = - *»<*>&<*> = А^'Х":

где явно могут быть вычислены (см. равенства (19)-(2Х) главы 4, часть II, §4.7; раздел I). Из последнего равенства определяются нужные параметры хо, 1о формулами

Рт° II се;-,,......

по = (; Ь0>2; Я ¿о.

(41),

Теперь на основании корней сравнения

(42) р"То-ч10(5) з о'(««ф);

берется с кратностью т.; т=тлх{т1}; определим число

и=и4 () условием р"1)) (р^0,... ,р\0). Иначе,

р"иЧН(£ш+рх) - ЖЕ*")) = НЛ(ас> = Г1(х)/^(х) Так определенное число и =и (£'") назовем показателем рациональной функции Щх) соответствующей корню сравнения (42), (оно

обобщает понятие "показателя" корня многочленов).

Продолжая этот процесс для ^(х) определим число и2(£<,>,£'2>) и т.д. тем самым найдем полный набор показателей (и,^,-,^), Щх), где г - наибольшая длина цепочек набора, Шм-1-1. Эти числа обладают необходимыми • арифметическими свойствами и играют решавшую роль при доказательстве основных результатов. Найдены соответствующие оценки для суммы этих величин.

гх и = < х « (т+1 )г+то __ /

Кроме того также указаны условия, когда ^гтлжЦ^г; а также (с учетом р>к+1-1 или р<к-н-1), ^(пн-Ш; где ш - максимум кратности корней сравнения (42).

В §4.7 раздел II сформулированы основные результаты (см. теоремы 9-12 и следствие II, замечание I). Здесь приведем два результата:

Теорема 8. (Точное равенство).. Пусть ~ примитивный характер модуля р", р - простое число, п>2; - пробегает все корни

сравнения (42) (с учетом их кратностей)

Р -^„(Е)^ 0(««ф);. ...

Тогда существуют целые числа и,.-,^ - зависящие от корней сравнения (42) к такие, что имеет место равенство

БЮ.х.р") =

п-О 1

= У ри" I хеш'")+1"1

»~»Е<1>} У=1 ^

где 5в> определяется по £а> - определяется по {£ш,£в>} и

т.д.; величины Й^СЕ'^1'): гь=1,г-1 и 1\(у) однозначно определяются по И(х); ио=0; причем 0 с п-Т^ 4 2и+1 < п-и1_1;

Теорема 9. (Оценка сверху).' В условиях. теоремы 8 имеют место неравенства

-Г»< 1 >

(89). |5(й,х»р ) | -Р " < •

' (к+1-1); и=0; ик=п

«а-» "»л

(к+1-1 )к0р " ; w=0; и^п-1; ко«Я? (к-н-Пр4; №=0; ОГ^п-1; к0^р

Л

(к+1-1 О^^^Ъ/гпр]; ;

где й=т!л{[1н-1 ;\/1;}; т - максимальная кратность корней сравнения (42); ^»«ваЛ; 2г^(ш+1)г+то; ко=<*«0ф1 (х); ф1(х)зй1(х)(<тик1р); г -

I

максимальная длина цепочки показателей {и^-.и^) функции Н(х).

В случае, когда (а^.рМ (ак- старший коэффициент многочлена Их)) и 0<кк, в теореме 8; ;к>.

Наконец, в §4.8 проводится доказательство теорем, сформулированных б §4.4. раздел II. В конце §4.8 приводятся некоторые заключительные замечания, касающиеся перспектива' развития рассматриваемого метода и их приложений к родственным вопросам.

Автор, выражает глубокую благодарность профессору Анатолию Алексеевичу Карацубе за внимание к работе и профессору Владимиру Николаевичу Чубарикову за полезные обсуждения и помощь. Основные результаты диссертации опубликованы в работах: И3 Исмоилов Д. Об одном методе суммирования арифметических функций, часть I. // Изв. АН Тадж.ССР. Сер. физ-мат, хим. и геол. наук. 1986, Я 2, с.10-17. 123 Исмоилов Д. Об одном методе суммирования арифметических функций, часть 2. // Изв. АН. Тадж.ССР. Сер. физ-мат, хим. и геол. наук. 1986, Я 3, с.11-18. .[33 Исмоилов Д.О примитивных целых точках на поверхности глиптического конуса. // Матем. заметки, 1981, т.ЗО, вып.4, с.469-479.

14] Исмоилов Д., Бабаев Г. Примитивные .идеалы и целые точки на конусах. // Матем. заметки, 1985, T.3S, вкп.З, с.365-375.

С5) Исмоилов Д. Об одной асимптотической формуле в теории чисел. // Докл. АН СССР, 1986, Т.291, & I, с.29-32.

[6] Исмоилов Д. Асимптотическая формула в аддитивной теории чисел. // Матем. заметки, 1986, т.291, St I, с.465-482.

[7] Исмоилов Д. Об одной асимптотической формуле в аддитивной теории чисел. // Докл. .АН Тада.ССР, 1988, т.31, Jé I, с.7-11.

[8] Исмоилов Д. Аддитивные проблемы делителей. Душанбе, Изд-во Таджикского госуниверситета,.1988, 116 с.

t9) Исмоилов Д. О представлении числа в виде произведений трех слагаемых. // Докл. АН Тада.ССР, 1989, т.32, Jé 6, с.358-362.

[10] Исмоилов Д. Об уточнении остаточного члена в одной аддитивной задаче. В кн: Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел. Минск, IS39, с.61-62.

[11] Исмоилов Д. Оценка сумм характеров от многочленов. Докл.АН , .Тадж.ССР, 1986, т.29, МО, с.567-571. __ ...

[12] Исмоилов Д. Оценка суммы характеров от рациональных функций. Докл.АН Тадж.ССР, 1986, т.29, Ш, С.635-63Э.

[13] Исмоилов Д. Оценка сумм характеров от многочленов и от рациональных функций. В кн.:. Конструктивные метода и алгоритмы теории чисел. Минск, 1989, с.62.

[14] Исмоилов Д. Об оценках снизу сумм характеров от многочленов по составному модулю. Докл.АН Тада.ССР, 1990, т.33, Ив, с.501-506.

[15] Исмоилов Д. Об оценках снизу сумм характеров от рациональных функций по составному модулю. Вестник ТГУ, математика 5, Душанбе, 1990, с.27-32. ,

[16] Исмоилов Д. Оценка полных сумм характеров от многочленов. Тр. МИА?, 1991, Т.200, C.I7I-I86.

1171 Ismollov D. On a Method or Hua Ьоо-Xeng о Г EstlssatlBg Complete Trigonometric Sums. // China, Advances in Hathenu,13S4, v.23, JS1,p.31-49.

[18] Исмоилов Д. Оценка снизу сумм характеров от многочленов по составному модулю. В кн.: Теория чисел и ее пршетэния. Тез. докл. научно-теор. конф. Таэкент, 1990, с.52.

[191 Исмоилов Д. Точное значение Гауссовских суш«. В кн.: Тез. научи, конфер.по комплексному анализу. Душанбе, 1992, с.24-25.

[20) Исмоилов Д. Об одном развитии теории оагдак полных тригонометрических суш. В кн.: Тезисы докладов науч. теор. конф. Таджикского госуниверситета, Душанбе, 1993. с.1в.

121) Исмоилов Д. Полные рациональные тригонометрические суммы. В кн.: Меадунар. конф. "Современные проблемы теории чисел". -Россия, Тула,Л993, с.59.

[22) Ismollov В. Estimates or complete character sums of polynomials. Proc. of the Steklov Institute or Mathematics, 1983, Issue 2. Amer. Hath. soc. 0081-5438/93, p.189-203.

.[233 Ismollov D. A lower Bound. Estimate Гог complete sums or character or polynomial and Rational functions. China. Acta Math. Slnlca, New Series 1993 , 7.9, m, p.90-99.