Новый вид урезания аддитивных функций и его применение в вероятностной теории чисел тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ГЛАВА I. Оценка характеристических функций с помощью но- . • • • • вого способа урезания аддитивных функций

§1.1. Вспомогательные леммы.

§1.2. Пример г.

ГЛАВА П. Оценка отклонения от предельного распределения в задаче Эрдеша.

§2.1. Оценка отклонения с помощью нового способа урезания

§2.2. Оценка отклонения с помощью аналитической техники

ГЛАВА Ш. Оценка отклонения от предельного распределения для аддитивных функций, принадлежащих классу Y\?.

§3.1. Оценка характеристических функций для К^

§3.2. Скорость стремления T^c^o к предельной функции распределения для . Примеры

где J\(*\ Ьоо) = ~ ^ л b ^ "X вещественная аддитивная функция, ik*) и В>(-х) - вещественные функции.

При исследовании сходимости последовательности функций, распределения к нетривиальному закону в каждой точке непрерывности последнего (под тривиальным законом в точке "а" понимается закон„ функция распределения которого

О при и. < а, при u >, а) возникают следующие вопросы [14]:.

I. Каким условиям должна удовлетворять аддитивная функция , чтобы существовала предельная функция Тс^. 2. С какой скоростью ТхСм-Дх^Бс*}) приближается к .

3. Каковы свойства

Первый, нетривиальный результат в этом направлении был получен в 1917 году Харди и Рамануджаном [25*] , доказавшим, что для любой положительной неограниченно возрастающей при х—> <х> функции ус*} k ^ 7 ^ при *х —> оо f ts где uJ C»0 - число различных простых делителей И .

В 1935 году Б.Иессен и А.Винтнер [2б] для изучения распределения значений аддитивных функций, предложили применять метод характеристических функций, то есть изучать поведение последовательности характеристических функций является достаточным условием того, чтобы последовательность функций, распределения слабо сходилась к предельной,, то есть сходилась к некоторой функции распределения в каждой точке непрерывности последней.

В 1939 году П.Эрдеш и А.Винтнер [22] доказали, что эти условия являются необходимыми.

Систематическое развитие вероятностная теория чисел, как ветвь теории чисел, получила в серии работ Й.П.Кубилюса [2"] - [7~] и в его книге "Вероятностные методы в теории чисел". В частности, он доказал закон "больших чисел" для произвольной аддитивной функции,, а не только для и) 00 * как это было у Харди и Рамануд-жана. В своих работах ЙЛ.Кубилюс широко применял метод урезания аддитивных функций.

Позже появилась серия работ Левина Б.В. и Файнлейба А.С., h < ас

В 1938 году П.Эрдеш [23] доказал, что для аддитивной функции сходимость рядов , goo* \ju учеников Кубшпоса Й.П., Эллиота, Левина Б.В. и Тимофеева Н.М.

В общей; постановке задача о существовании предельного распределения для Т.* -Аоо, не решена.

Перечислим ряд результатов, полученных при дополнительных ограничениях на и Ы*.) в работах Левина Б.В. и Тимофеева

H.М. [27] , [28] , [12] и Эллиота [l9] , [2l] .

I. В случае Ьс^-^ А при -х-•><*> и произвольного -К*) найдены необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять аддитивная функция , чтобы последовательность функций распределения слабо сходилась к предельной функции (см. [12] , т ■

2. Доказано, что в случае, если £><х)-А>оо при х->оо , то для существования предельного распределения аддитивная функция должна удовлетворять условиям из предыдущего пункта (см. [12]).

3. Доказано (см. [27] ) , что для каждой функции $00 , если

T^Cu,) , существует натуральное m , такое что

4. Доказано (см. [27]) , что при исследовании сходимости последовательности функций распределения Т* С и^, Л со, ЬС*^ к предельной функции достаточно ограничиться случаем .

При исследовании скорости стремления последовательности характеристических функций к предельной одним из основных методов является метод урезания. Обычно вместо изучения поведения характеристических функций с аддитивной изучаются характеристические функции с аддитивной » которая определяется из условия: gip1) при

О при ^ /

Потом показывается, что характеристические функции для ЗО) и близки [в] . При этом используются оценки для сумм с "большими" простыми делителями [э] . Для главного члена имеем [13[ :

Для преобразования внутренней суммы применяется решето Сельберга (см., например, лемму 1.4 [f\)

-Ъ Пс^Х^о^-^Ч)). и 5 «/к Рб^ *

Эта идея широко применялась Й.П.Кубшносом [f] и его учениками, правда, в несколько иной, но, по существу, эквивалентной форме. Такой подход приводит только к безгранично-делимым законам распределения [i] .(Закон *f(w.)называется безгранично-делимым, если при любом ^ его характеристическая, функция является \\ -й степенью некоторой другой характеристической функции) .

В последние годы, в связи с работой Халоса [24] в вероятностной теории чисел стал широко применяться аналитический метод. Развитие этого метода Левиным Б.В. и Тимофеевым Н.М. [27] позволило, в частности, доказать предположение Эрдеша, выдвинутое им в 1946 году [19~] . Оно заключалось в доказательстве существования предельной функции , такой что со

ОС h <:-Х в каждой точке непрерывности T(V), где - аддитивная функция, которая на степенях простых чисел определяется условием: t^V . При этом оказалось, что предельный закон не является безгранично-делимым [if] и, следовательно, этот результат принципиально нельзя получить, пользуясь урезанием типа ($) .

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Основная цель диссертационной работы состоит в нахождении скорости стремления последовательности функций распределения к предельной, как дня , где #0») - аддитивная функция рассматриваемая в выше сформулированной проблеме Эрдеша, так и для класса аддитивных функций , к которому, в частности, принадлежит и аддитивная функция из задачи Эрдеша. Класс аддитивных функций определяется следующим образом. Вещественная аддитивная функция равная

ЗСРЬ -fcCf) при Р^^^Л-Л * где , причем j^O > если и ^=0 » если ; К ftlfbj - <р при и Ltd , - подмножество множества просс тых чисел, a U^e ~ множество всех простых чисел;

9C?V< при принадлежит классу , где j> = если существует функция Ксх^О и непустое множество 114 , состоящее из тех t , А <: Ч < к. , для которых к. а душ [) ' "2. И -> О при

С*. ^ '

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В настоящей работе рассматривается новый тип урезания аддитивных функций.

I О икц. b$u

Isc^) нк ^ и с его помощью не пользуясь аналитической техникой Халоса, удается получить не только новое доказательство предположения Эрде-ша, но и найти оценку отклонения последовательности функций распределения L^) от предельной функции 'УОо : О где © = .

Найдена также оценка отклонения последовательности функций распределения от предельной функции для аддитивных функций из класса К $

Основные результаты диссертации сформулированы в теоремах I.I.I, 2.I.I, 2.1.2, 2.2.Х, 2.2.2, З.Х.Х, 3.2.1.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ. Представляемая работа состоит из трех глав. В первой главе доказана центральная для всей работы теорема I.I.I, в которой получена оценка для последовательности характеристических функций где фС*^ - некоторая вещественная аддитивная функция с При .

ТЕОРЕМА I.I.I . Пусть - вещественная аддитивная функция, о» при . Тогда для всякого ^ , 7 и с -aowb\.-?0 , удовлетворяющих условиям сг<г$<ос , Т'> равномерно по ^ имеем:

Д .чбС?)

А-'Д где oC произвольно с условием 0 <■*< •

Доказательство теоремы I.I.I основано на пяти леммах. Основная трудность этой главы заключается в доказательстве леммы 1.1,5 Оцениваемую в лемме сумму, которая обо значена чере з ВтС^, % fc) , приходится разбивать на четыре слагаемых и каждое оценивать своим способом.

В первой главе рассмотрен также пример с аддитивной функцией = ^ . Этот пример иллюстрирует возможность применения нового способа урезания и для получения безгранично делимых законов распределения.

Во второй главе дано новое доказательство предположения Эр-деша о существовании предельного распределения для ^Vkfoc ^ где - аддитивная функция с и при помощи теоремы I.I.I .

В первом параграфе, применяя теорему I.I.I, получаем оценку отклонения для аддитивной функции ^р* у>о » $>£1 с Доказаны две теоремы.

ТЕОРЕМ 2.I.I . Пусть - вещественная аддитивная функция такая, что §СрчУ= IV и ,

Тогда равномерно по \ для имеем: -ад+ 0Q * 0( ^^ l^jtU)<. , L^ где ^ *> и 00 при сзс -=> 0° и

W к \v§

ТЕОРЕМА 2.1.2 . Пусть - вещественная аддитивная функция такая, что при ^>0 и з^А с iJx. .

Тогда имеет место следующая асимптотика для последовательности функций распределения: где 0,= Л, $>

Доказательство теорем 2.1.I и 2.1.2 основано на двух леммах, доказанных в этой главе. Техническая трудность этой главы и»

14 заключалась в исследовании поведения HLV)- ' -Ч о для ^о и произвольного -I , где л*-'чА .

Во втором параграфе при нахождении оценки отклонения для предельной функции распределения используется аналитическая техника из [27] , а также леммы предыдущего параграфа. В этом параграфе доказаны две теоремы.

ТЕОРЕМА 2.2.1 . Пусть ц - вещественная аддитивная функция такая, что $cpV ПРИ и » Тогда равномерно по \ для имеем:

ОЦч % ои(Ц'ечч, где W , а Щ) - предельная характеристическая функция такая же, как и в теореме 2.I.I .

ТЕОРЕМА 2.2.2 . Пусть - вещественная аддитивная функция такая, что^^^р4 при и 3 + 4 , Тогда для последовательности функций распределения имеет место следующая асимптотика: k^ + ОСtl^OL*.) ')i где ^-"-Atv^i e-^UW,

Вторая глава заканчивается сравнением оценок, полученных в теоремах.2.1.2 и 2.2.2 . Показывается, что во всех случаях оценка отклонения для аддитивной функции из этих теорем, полученная методом урезания, лучше, чем аналогичная оценка, полученная аналитическим методом.

В третьей главе получена оценка отклонения уже для класса аддитивных функций Kj> . Результаты главы сформулированы в теоремах 3.1.I и 3.2.1 .

ТЕОРЕМА 3.1.1 . Пусть вещественная аддитивная функция, определенная при г* А как при , к , где и ре>0 , если ■ и , если^СР^О etc) и ue.cUk , jiT^U- множество всех простых чисел; при как рЧ/г. с Вс=о=

- Кс^ » ГДе $ - ^е} » тогда если множества таковы, что существует , не зависящее от , такое что:

Р SOC то при всех и равномерно по \ имеем:

YKWfctt P<X

•S.J 0 А-*» со

К - ^ h .

ЗАМЕЧАНИЕ ЗЛЛ . Если , то

OUfeftU)♦ ♦ Olfe

ТЕОРЕМА 3.2.1 . Пусть - вещественная аддитивная функция с принадлежит классу при j>>0 и , % где , если при ос ~> <р , то где - предельная функция распределения, определенная характеристической функцией из теоремы ЗЛЛ, Qw* ^V^'jr!^ £ и определены в теореме ЗЛЛ . • »

ЗАМЕЧАНИЕ 3.2Л . Если то

9А

Joo * оСМ

ГДе Ььъ 1 VvuyxUs^

В третьей главе также рассмотрены примеры, иллюстрирующие применение теоремы 3.2.1.

АПРОБАЦИЯ ДИССЕРТАЦИИ. Основные результаты настоящей диссертационной работы докладывались на научном семинаре по теории чисел во Владимирском государственном педагогическом институте, на объединенном МГУ и МГШ им. В.И.Ленина научно-исследователь ском семинаре по теории, чисел в МГУ mi. М.В.Ломоносова, на научных конференциях во Владимирском политехническом институте.

Содержание диссертации опубликовано в работах [29] - [зз].

1. Кубилюс Й.П. Аналог теоремы А.Н.Колмогорова о марковских процессах в теории простых чисел. Довл. АН СССР, 1955, т.103, с. 361-63

2. Кубилюс Й.П. Вероятностные методы в теории чисел. Вести.Ленингр. ун-та, сер. штем. физ. хим., 1955, J II, с. 59-60 4. кубилюс Й.П. Вероятностные методы в теории чисел. Успехи матем. наук, 1956, т.II, вып.2, с. 31-66

3. Еубилюс.Й.П. Об одном классе аддитивных арифметических функций, распределенных асимптотически по нормальнов/у закону. Научн.тр.физ.-техн. ин-та АН Литов.ССР, 1956, т.2, с. 5-15

4. Кубилюс Й.П. О некоторых задачах вероятностной теории чисел. Тр. 6 всес. совещания по теории вероятностей и матем. статистике. Вильнюс: Госполитнаучиздат, 1962, с. 57-68

5. Кубилюс Й.П. Асимптотическое разложение законов распределения некоторых арифметических функций. Литовский матем. сборник, 1962, 2, с. 61-73

6. Левин Б.В. Файнлейб А.С. Интегральные предельные теоремы дяя некоторых классов аддитивных арифметических функций. Тр. Московского матем. об-ва, 1968, т.18, с. 19-54

7. Левин Б.В. Файнлейб А.С. Применение некоторых интегральных уравнений к вопросам теории чисел. Успехи матем. наук, 1967, т.22, вып. 3 135 с. 120-197

8. Левин Б.Б, Об одном классе задач теории чисел, сводящихся к дифференциальным уравнениям с запаздывающим аргументом, Научн. тр. Ташкентск. ун-та, 1963, вып. 228, с, 56-68

9. Левин Б.В. Тимофеев Н.М. Распределение значений аддитивных функций. Успехи матем, наук, 1973, т,28, Н>. I 169 с. 243-244

10. Левин Б.В. Тимофеев Н.М. Аналитический метод в вероятностной теории чисел. Ученые записки В Ш И сер. матем., I97I, т. 38, вып. 2, с. 57-150

11. Левин Б.В. Тимофеев Н.М. Несколько интегральных предельных теорем для аддитивных функций. Литовский матем. сборник, 1976, Ш 4, с. 133-147

12. Постников А.Г. Введение

13. Прахар К. Распределение простых чисел, М.: Мир, 1967. 511 с.

14. Титчмарш Е. Теория функций, М,: Наука, 1980. 464 с.

15. Фаинлейб А.С. Обобщение неравенства Эссена и его применение в вероятностной теории чисел. Изв. АН СССР, сер. матем., 1968, т. 32, J 4, с. 859-879

17. Mioii Р.Ъ.Т.А. Ptoafeieuilc Hu.mfeci ТК<огс, v/M, г.— 20. aeCiott Р.Л-Я. 9cL\}e.c (Ь. The JisilM-lLon of the 21. tUl0ti p.b.l.. Gee.гq.£ OLSmptoilc dUiLailohs

18. Hatae? G. ийсг J u miHeure.iU hiteiL|.£tKft-tUci Scl. HciKgat,igCS, !b 15, s. 565"-404. 25. HaiJaG.H. Ramahaih S. Tke bilme detoas когта иитбсг pj CLKJ O a кu.vгS2.г к О а я г tJ. Риге 26. De<.seh b. \лЛк1пгг Л. *2)u.c,iil&u.{i.oh ike. klino.ixh 2C-La fu.hclUh. -functloHS <IKC1 TTQ.S. iime. a t h 27. L Cv/ (.h ?).\l. lime? 28. LevU Tlmcfeev/ A/.JA. OK tke. о1<ь{ч1иИо of

19. Евликов В.В. Новый вид урезания аидитивных функций. Литовский математ. сборник, I98I, В 4, с. 2II-2I3.

20. Евликов В.В. Применегате аналитического метода для оценки отклонения от предельного распределения в зацаче Эрдеша.- Вла,димир, 1979 16 с. рукопись предст.Бла,дим;)Политехн.ин-огл. Деп. в ВИНИТИ, 19 июн. 1979, 2189-79 деп. Библиограф, указатель ВИНИТИ "Депонированные рукописи", 1979, В II б/о 138.

21. Евликов В.В. Оценка отклонения в задаче Эрдеша.Владиглир, 1980 12 с. 1копись предст. Бла,дигл. политехи.ин-ом. Деп. в ВИНИТИ, 10 и ш I980,J5 289580 деп. Библиограф, указатель ВИНИТИ "Депонированные рукописи", 1980, В II б/о 208.

22. Евликов В.В. Новый вид урезания аддитивных функций.Владимир, 1980 28 с. Ькопись предст. Вла,дим. политехи, ин-ом. Деп. в ВИНИТИ 14 авг.1980,№ 359480 деп. Библиограф, указатель ВИНИТИ "Депонированные рукописи", 1980, Ш 12 б/о 327.

23. Евликов В.В. Оценка отклонения для одного класса адцитивных функций.- Владимир, 1982 II с. Ткопись предст. Вла,дим. политехи, ин-ом. Деп. в ВИНИТИ, 6 апр. 1982, В 1618-82 деп. Библиоргаф. указатель ВИШ4ТИ Депонированные рукописи", 1982, J 7, б/о 187.