Развитие вероятностной теории чисел в трудах отечественных математиков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

КОПАНЕВА АННА АЛЕКСАНДРОВНА

РАЗВИТИЕ ВЕРОЯТНОСТНОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В ТРУДАХ ОТЕЧЕСТВЕННЫХ МАТЕМАТИКОВ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел 07.00.10 - история науки и техники (физико-математические науки)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

003468078

Работа выполнена на кафедре геометрии и методики преподавания математики физико-математического факультета Орловского государственного университета

Научные руководители

доктор физико-математических наук, профессор

АРХИПОВ Геннадий Иванович

доктор педагогических наук, доцент

АВДЕЕВА Татьяна Константиновна

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор

ЧУБАРИКОВ Владимир Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент

ПОСТНИКОВА Людмила Петровна

Ведущая организация

Тульский государственный педагогический университет им.Л.Н.Толстова

Защита состоится «18» мая 2009 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании Диссертационного Совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д.14, математический факультет МПГУ, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1. Автореферат разослан Ч_2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Муравьева О.В.

Общая характеристика работы

История математики является неотъемлемой составляющей общей истории науки. Начало исследований по истории математики уходит в глубь веков, поскольку в древности они были, по существу, неотделимы от самих математических знаний.

Постоянный интерес к истории математики сохраняется и в настоящее время. Одним из движущих его моментов являются вопросы приоритета в математических открытиях. Однако более существенным представляется потребность исследователей в переосмыслении накопленных научных знаний и применяемых методах, расширения круга проблем с целью анализа и выработки более глубокого понимания исследуемого объекта, обнаружения новых глубинных связей математической науки с другими явлениями, и в конечном итоге продвижение к новым математическим открытиям.

Не менее важным аспектом в оценке роли исследований по истории науки вообще и истории математики в частности является ее общекультурное значение.

Настоящая диссертация посвящена исследованию развития вероятностной теории чисел в трудах отечественных математиков, начиная с ученых XIX века, работавших в области теории чисел и теории вероятностей, которые своими исследованиями внесли существенный вклад в становление основных методов вероятностной теории чисел. Среди математиков особое внимание уделяется выдающимся ученым А.Г.Постникову и Б.М.Бредихину, творчество которых пока недостаточно изучено. Кроме того, в диссертации с помощью формулы А.Г. Постникова найдены новые оценки коротких сумм характеров Дирихле.

Актуальность темы исследования. Исследования, как по истории теории вероятностей, так и истории теории чисел всегда являлись неотъемлемой частью истории математики и интенсивно проводятся на протяжении всего периода развития науки. В связи с этим актуальной задачей является история формирования вероятностной теории чисел как нового научного направления, сложившегося на стыке этих двух математических дисциплин. Важной задачей также является изучение деятельности отечественных ученых, которые внесли в это направление основополагающий вклад, подчеркивая этим заслуги отечественной науки. Задача изучения истории формирования вероятностной теории чисел как самостоятельного направления до настоящего времени, не ставилась и в данной диссертации она рассматривается впервые. Вопрос о становлении вероятностной теории чисел относится к новейшему времени и поэтому исследования научного характера по существу отсутствуют. Достаточно разрозненные сведения, содержащие мнения математиков профессионалов содержатся в основном в юбилейных и мемориальных статьях, посвященных отдельным ученым, в научных обзорах и во введениях к книгам и статьям по теории чисел и теории вероятностей. К числу источников естественно относятся и сами научные работы по теме исследования. Все эти источники послужили материалом для исследований по теме диссертации. С другой стороны, со времени окончательного формирования вероятностной теории чисел, прошло около полувека, и вопрос об истории ее развития является актуальным.

Проблемы оценок коротких сумм характеров Дирихле относятся к числу важных задач современной аналитической теории чисел. \

Цель диссертационного исследования состоит:

- в исследовании развития вероятностной теории чисел в работах отечественных математиков Х1Х-ХХ веков; в выделении наиболее крупных ученых, в чьих трудах одновременно рассматривались задачи теории вероятностей и задачи теории чисел;

- в анализе общей картины формирования и развития вероятностной теории чисел во всем мире за период, охватывающий качало и середину XX века.

- в изучении научной деятельности Б.М.Бредихина и А.Г.Постникова. При этом особое внимание уделяется работам А.Г.Постникова, давшего определение вероятностной теории чисел как самостоятельного научного направления.

- в получении новых оценок коротких сумм характеров Дирихле.

Объектом исследования является история формирования вероятностной теории чисел и оценки коротких сумм характеров Дирихле.

Метод исследования, применявшийся в диссертации, основан на историко-научном анализе работ ученых, творчество которых в ней рассматривается. При выводе новых оценок сумм характеров использованы методы теории чисел разработанные А.Г. Постниковым и И.М. Виноградовым.

Научная новизна работы, В диссертации впервые рассматривается вопрос о роли отечественных математиков в формировании вероятностной теории чисел как отдельного и самостоятельного направления в математике, Все результаты, относящиеся к вопросам оценок сумм характеров, являются новыми.? новыми являются также все результаты выносимые на защиту.

Практическая значимость результатов диссертационного исследования состоит б том, что они могут быть использованы при дальнейшем развитии вероятностной теории чисел, при подготовке курсов и спецкурсов по истории математики для студентов высших учебных заведений, при получении новых результатов в области вероятностной теории чисел, а также исследованиях проводимых в МГУ, МИРАН, ОГУ, ТПГУ.

Основные положения, выносимые на защиту.

1) Дан анализ творчества крупнейших российских математиков дореволюционного периода, работавших одновременно в области теории чисел и в области теории вероятностей.

2) Впервые прослежена история формирования вероятностной теории чисел как самостоятельного направления в математике.

3) Отражена роль математической деятельности Б.М.Бредихина (1920 - 1994), в формировании вероятностной теории чисел.

4) Дана новая классификация математических трудов А.Г.Постникова, предложенная М.П. Минеевым, Л.ПЛостниковой и В.Н.Чубариковым.1

' Минеев М.П., Посникова Л.П., Чубариков В.Н.. Исследования А.Г. Постникова по теории чисел (к 80-летию со дня рождения)//Избранные труды. Поя ред. B.H. Чубарикова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - З-Пс.

5) Выявлено значение математической деятельности А.Г. Постникова в развитии вероятностной теории чисел.

6) Найдены новые оценки коротких сумм характеров Дирихле от дробно-рациональной функции.

7) Впервые получены оценки коротких сумм характеров на последовательности сдвинутых простых чисел по модулю равному степени простого числа.

Апробация результатов исследования. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах по аналитической теории чисел под руководством Г.И.Архипова и В.Н.Чубарикова на механико - математическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова (2003-2007), Международной конференции «Современные проблемы преподавания математики и информатики», посвященной 100-летию академика С.М.Никольского (4-8 мая 2005г.), на Международной конференции «Современные методы физико-математических наук» 9-14 октября 2006 года в Орле, на Международной научно-методической конференции «Инновационные технологии обучения в условиях глобализации рынка образовательных услуг» (27-28 марта 2007 года, Москва).

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 248 страницы текста и состоит из введения, шести глав, заключения и списка использованной литературы (304 наименования).

Публикации автора по теме диссертации. Основные результаты опубликованы в 12 работах автора, список которых приводится в конце автореферата.

Содержание и основные результаты диссертационной работы.

Во введении дано обоснование актуальности темы, сформулированы цели и задачи исследования. Показана новизна поставленной темы и перечислены возможные приложения результатов исследования.

В первой главе рассмотрено творчество крупнейших российских математиков XIX века, являющихся специалистами, как в области теории чисел, так и области теории вероятностей. К их числу отнесены академики Императорской Санкт-Петербургской Академии наук М.В.Остроградский, В.Я.Буняковский, П.Л.Чебышев, А.А.Марков.

Теории вероятностей М.В.Остроградский посвятил 6 своих статей. Они посвящены вопросам теории ошибок, страховому делу, теории производящих функций. Самая большая его работа, отмеченная Петербургской АН, опубликована в 1848 году, касается вопросов приемочного контроля. Последняя статья «О вероятности гипотез после исхода испытаний» (1859г.), относящаяся к теории вероятностей, содержит вывод формулы Байеса.

В. Я. Буняковский (1804-1889) опубликовал более сорока статей по теории чисел. Именно он приобщил молодого П.Л.Чебышева к занятиям теорией чисел.

В области теории чисел В.Я.Буняковский занимался вопросами, относящимися к теории сравнений с приложениями к разложению чисел на множители и к другим вопросам, квадратичными вычетами и квадратичным законом взаимности, выводом

арифметических тождеств и изучением свойств арифметических функций с помощью рядов и бесконечных произведений, приложением теории чисел к другим разделам математики. Кроме того, Виктор Яковлевич много времени уделял вопросам методологии, истории, распространению идей и методов теории чисел.

ПЛ.Чебышев (1821-1894) - один из крупнейших мировых математиков мира XIX века. Теории чисел посвящены его работы «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» (1849) и «О простых числах» (1852), где он получил правильные по порядку оценки для количества простых чисел не превосходящих любого заданного значения х.

По теории чисел у П.Л.Чебышева есть еще несколько работ, которые напечатаны в его Полном собрании сочинений. Они посвящены квадратичным формам и рядам, члены которых зависят от простых чисел.

Среди исследований П.Л.Чебышева по теории вероятностей особенное значение имела работа «О средних величинах» (1866), где было дано строгое и элементарное доказательство классической теоремы вероятности, о том, что вероятность фиксированного положительного отклонения среднего значения независимых случайных величин от среднего значения их математических ожиданий стремится к нулю при неограниченном возрастании количества случайных величин, если только они имеют дисперсии, ограниченные в совокупности. Сейчас эта теорема называется законом больших чисел.

Термин «дисперсия» был введен в математический язык гораздо позднее. По информации, полученной от академика Ю.В.Прохорова, впервые его стал употреблять академик С.Н.Бернштейн в середине 20-х годов прошлого века. Одновременно в иностранной математической литературе Р.Фишером было введено понятие «дисперсионного анализа».

Мемуар «О двух теоремах относительных вероятностей» (1887) считается одним из высших достижений П.Л.Чебышева. В нем впервые в общей форме доказана центральная предельная теорема и рассмотрен метод моментов, один из важнейших методов теории вероятностей и вероятностной теории чисел. Он первый привел теорию вероятностей в систему и придал этой теории строго научный характер. Знаменитое неравенство открытое П.Л.Чебышевым явилось не только выдающимся достижением, но и послужило началом двух важных методов в теории чисел: метод «сглаживания» И.М.Виноградова, применяемого при оценках тригонометрических сумм и дисперсионный метод Турана-Линника.

Научное творчество А.А.Маркова (1856-1922) весьма разнообразно. Однако самые значительные его достижения принадлежат теории чисел и особенно теории вероятностей.

Содержание магистерской диссертации А.А.Маркова составила работа «О бинарных квадратичных формах положительного определителя» (С.-Петербург, 1880г.), в которой он продолжил работу своих учителей А.Н.Коркина и Е.И.Золотарева, в исследовании точных пределов минимума относительно неопределенных форм с двумя переменными. Значительно позже А.А.Марков

показал, что аналогичные результаты имеют место для неопределенных форм с тремя и четырьмя переменными.

К теории чисел относится также работа А.А.Маркова «О простых делителях чисел вида 4jc2 +1 » (1895г.), в которой на основании некоторых заметок из рукописей П.Л.Чебышева восстанавлено доказательство следующей его теоремы о том, что для наибольшего простого делителя п чисел 4х2+1, где x=l,2,3,...,N,

отношение — = PN бесконечно возрастает вместе с N. Заметим, что явные оценки N

скорости роста в дальнейшем получены Т.Нагеллом2 (1921г.), и П.Эрдешем (1952г.). И, наконец, К.Хооли 3 установил, что величина PN имеет степенной порядок роста, точнее Ры « №■'.

Статья «Sur les nombres entiers dependants d'une racine cubique d'un nombre entier ordinaire» (1892 г.) посвящена исследованию чистых кубических областей с точки зрения теории идеальных чисел Золотарева. Особенно ценна в этой работе обширная таблица кубических единиц для областей, определяемых кубическими корнями из всех чисел от 2-х до 70-ти, не делящихся на кубы.

В начале XX века А.А.Марков положил начало большому отделу теории вероятностей, предметом которого служат зависимые случайные величины. Именно эти исследования А.А.Маркова дали толчок к созданию и последующему развитию основного в настоящее время раздела теории вероятностей - теории стохастических процессов.

Первые работы А.А.Маркова являются непосредственным продолжением и завершением исследований П.Л.Чебышева и относятся, во-первых, к установлению наиболее общих условий, при которых имеет место закон больших чисел, и, во-вторых, к доказательству центральной предельной теоремы теории вероятностей. Первое безусловное доказательство центральной предельной теоремы удалось дать А.А.Маркову путём разложения в непрерывные дроби интеграла особого вида, в формулировке предложенной П.Л.Чебышевым.

Во второй главе выявлены основные этапы формирования и развития основных направлений вероятностной теории чисел в XX веке. Проанализированы результаты научной деятельности многих ученых работавших в данном направлении и показано своеобразие применения вероятностно подхода в решении поставленных ими задач.

К числу арифметических проблем, в изучении которых применение вероятностных методов оказалось особенно эффективным, можно выделить задачи мультипликативной теории чисел. Вероятностные соображения и сейчас являются основным инструментом в исследовании подобных задач, поэтому технический аппарат, разработанный для их решения, обычно рассматривается как атрибут вероятностной теории чисел. Сюда входят, прежде всего, задачи нахождения

2 Nagell T. Generalisation d' un thsoreme Tchebushcff. J. Math. Pures Appl. (8), 4 (1921), 343-356.

3 Hooley C. On the greatest prime factor of a quadratic polynomial. Acta. Math., 117(1967), 281 -299.

предельных законов распределения значений мультипликативных и аддитивных функций.

Одним из первых результатов в теории мультипликативных функций явился результат С.Вигерта, который доказал, что для каждого е > 0 и для всех достаточно

In Л' ,

больших натуральных N выполняется неравенство r(iV)«2l"lnA' , и что существует

n N,

бесконечная последовательность натуральных чисел N, такая что г(Л'|)»21"1'"' который был несколько усилен С.Рамануджаном и в последствии обобщен А.А.Дроздовой и Г.А.Фрейманом4. Первый нетривиальный результат, посвященный вопросам распределения значений аддитивных функций, касающийся распределения значений аддитивной функции v(n), равной количеству различных простых делителей числа п, был получен в 1917 году в работах Г.Харди и С.Рамануджана. Я.В.Успенский в работе «Асимптотические выражения числовых функций в задачах о разбиении чисел на слагаемые» распространяет метод Г.Харди и С.Рамануджана 5 на функции /j(m), Л(т), v(m), где /и(т) - число всевозможных разбиений т на сумму равных или неравных слагаемых, Л(т) - число разбиений т на сумму неравных слагаемых, v{m) - число разбиений т на сумму неравных нечетных слагаемых и выводит асимптотические выражения этих числовых функций при больших т. В дальнейшем доказательство утверждения Г.Харди и С.Рамануджана было упрощено и обобщено П.Тураном и И.П.Кубилюсом.

В 1919г. Г.Харди и Дж.Литтлвуд на основе метода производящих функций дали новое решение проблемы Варинга о том, что при любом значении п числа вида х", где х - неотрицательное целое число, образуется базис конечного порядка g(n) во всем натуральном ряде N. Эти авторы совместно с С.Рамануджаном разработали новый оригинальный общий метод решения широкого класса задач теории, получивший название кругового метода, который нашел свое применение и в других областях математики, в том числе и в теории вероятностей. Принципиальное преобразование метода Харди-Литтлвуда-Рамануджана произвел И.М.Виноградов, в результате чего круговой метод стал по существу частью его метода тригонометрических сумм. Это позволило значительно улучшить старые и получить новые глубокие научные результаты.

Совершенно иную трактовку проблема Варинга приобретает в том случае, когда ставится вопрос о поведении главного члена проблемы при растущем числе слагаемых г. Как установил А.Г.Постников, в этом случае задача приобретает отчетливые стохастические черты.

В 1939 году П.Эрдеш и М.Кац доказали следующую теорему.

Пусть v(m) - количество различных простых делителей числа т и Kn{m^co2) -количество целых чисел т, 1 < т < п, с условием

4 Дроздова А.А., Фрейман Г.А. Оценки некоторых арифметических функций, Учен. зап. Елабуж. гос. пед. ин-та 3, 1958,160-165.

s Hardy G.H. Ramanujan S. The normal number of prime factors of a number. - Quart. J. Pure and Appl. Math.,1917r№48, s.76-92.

loglogrt + ш, -/log log n < v(m) < log log n + <a2 ./log log n . Тогда j-m Кп(®ка2) _ i Так как log log и меняется очень медленно, то

" ~-fa I

данный результат эквивалентен утверждению о том, что

/■{loglogH + iU, ^/loglogn < v(n) < log logn + <u2 -/loglogn}= Je~'/* dy

v2л ч

К настоящему времени известно несколько различных доказательств этого результата. В доказательстве, данном П.Эрдешем и М.Кацем, используется теория сумм независимых случайных величин. Эта оригинальная теория была развита Й.П.Кубилюсом в его книге «Вероятностные методы в теории чисел». (1974г.)

Одним из ярких результатов вероятностной теории чисел явилась теорема

Реньи-Турана о том, что остаточный член Iе dy имеет порядок

п Jbt X

1 Данная теорема является доказательством гипотезы Левека,

у log log п

сформулированной им на основе подобной оценки в теории вероятностей.

Существование предельного распределения для ^^ было доказано

п

Шенбергом (1928 г.), а существование предельного распределения для было

п

доказано чисто арифметическим методом Г.Давенпортом (1933 г.).

Важное значение для формирования методов вероятностной теории чисел имели работы Ю.В.Линника. Его книгу «Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах» (1961г.) следует считать завершением оформления вероятностной теории чисел в отдельное научное направление в математике.

Работы Ю.В.Линника по дисперсионному методу позволили математикам обратиться к решению задач теории чисел, которые ранее были недоступны. Юрий Владимирович в систематической форме соединил понятие дисперсии с идеей сглаживания и на этой основе впервые дал безусловное решение некоторых бинарных аддитивных проблем с простыми числами, включая известную проблему Харди-Литтлвуда о представлении натуральных чисел суммой простого и двух квадратов.

Дисперсионные соображения П.Турана, которые ранее применялись в основном к задачам распределения значений арифметических функций, Ю.В.Линник адаптировал к исследованию классических диофантовых уравнений.

Изучение суммирования мультипликативных функций - одно из магистральных направлений развития аналитической теории чисел. Теория мультипликативных функций, ориентированная на приложения к вероятностной теории чисел, получила широкое развитие в работах Б.В.Левина и его учеников - А.С.Файнлейба, Н.М.Тимофеева, С.Туляганова, Май Тхук Нгоя и других.

Еще одно важное направление вероятностной теории чисел связанно с применением метода моментов при нахождении предельных законов распределения для сумм от «колеблющихся арифметических функций». Первый результат подобного типа получили Р.Форте и М.Кац, (год?) которые доказали, что сумма значений периодической функции от лакунарной последовательности в пределе подчиняется нормальному закону распределения вероятностей. С помощью нового метода А.Г.Постников и М.П.Минеев оценили скорость сходимости к предельному распределению. Кроме того, ими было установлено6'7, что модуль «короткой» рациональной тригонометрической суммы подчиняется закону распределения, который сходится к показательному при возрастании знаменателя суммы.

В настоящее время проблемы нахождения предельного распределения для «коротких» сумм арифметических функций развиваются В.Н.Чубариковым и его школой. При этом обнаружилось, что вид конкретного распределения может подчиняться не только закону Гаусса, но и другим законам.

В третьей главе исследуется вклад выдающихся советских математиков, члена-корреспондента АН СССР А.Я.Хинчина (1894-1959) и академика АН СССР Ю.В.Линника (1915 -1972) в области применения вероятностных методов к арифметическим проблемам и влияние их творчества на формирование вероятностной теории чисел в первой половине XX века.

В теории чисел основные интересы А.Я.Хинчина были сосредоточены в области диофантовых приближений и метрических задач теории чисел. Ряд его результатов относятся к метрической теории непрерывных дробей. К области неметрических задач теории чисел относятся работы Александра Яковлевича по теории диофантовых приближений и работы, опирающиеся на теорему о сложении последовательностей целых чисел.

В теории диофантовых приближений А.Я.Хинчину принадлежит важный принцип переноса, который связывает решение линейных неравенств в целых числах с диофантовыми приближениями коэффициентов аппроксимирующих линейных форм. Принцип переноса и сегодня широко используется в современных исследованиях по теории диофантовых приближений.

Цикл работ (1946-1948 гг.) Александра Яковлевича посвящен обобщению

теоремы Чебышева о решениях в целых числах неравенства \(к-у-а\<^~, где в -

п

иррациональное, а а - произвольно вещественно заданные числа. В этих работах также была построена теория оценок в ряде вопросов диофантовых приближений, ранее лишь качественно изученных Л.Кронекером.

Интерес А.Я.Хинчина к теории вероятностей был вызван задачами теории чисел. Он уточнил результат Г.Харди и Дж.Литтлвуда о частоте распределения нулей и единиц в двоичном разложении действительных чисел. Несколько позднее

6 Мииеев М.П. Метрическая теорема о тригонометрических суммах с быстрорастущими функциями// УМН, 1959. 14. в.З., 169-171.

7 Постников А.Г. Об очень короткой показательной рациональной тригонометрической сумме // Докл. АН СССР. -1960.- 133, №6. с. 1998 - 1999.

он дал окончательную формулировку данной закономерности, которая получила наименование закона повторного логарифма.

Следующий цикл работ А.Я.Хинчина относится к классическим проблемам суммирования независимых случайных величин. Среди полученных здесь результатов можно выделить нахождение условия применения закона больших чисел в случае одинаково распределенных слагаемых, вывод окончательного условия сходимости нормированных сумм к нормальному закону в том же случае, и введение понятия относительной устойчивости сумм для случая неотрицательных слагаемых. Однако центральным достижением А.Я.Хинчина в развитии теории вероятностей является построение общей теории предельных теорем для сумм независимых случайных величин. Важнейшим вкладом А.Я.Хинчина в теорию вероятностей, а также в математические средства современной физики и техники следует считать создание им в 1932 - 1934 гг. основ общей теории стационарных случайных процессов. Напомним, что стационарным случайным процессом называется случайный процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Помимо введения в рассмотрение понятия общего стационарного процесса, А.Я.Хинчину принадлежит ряд результатов относительно закона больших чисел, о поведении коэффициента автокорреляции, выведена формула интегрального представления коэффициентов автокорреляции. Особое упоминание в этом цикле работ занимает эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина, которую можно трактовать как усиленный закон больших чисел.

Основополагающий вклад в формирование вероятностной теории чисел внес академик Ю.В. Линник. Рассматривая математическую деятельность Юрия Владимировича в целом, можно сказать, что первоначально его интересы были обращены к теории чисел, а позднее к теории вероятностей и математической статистике.

Первые работы Ю.В.Линника по теории чисел относились к аналитической теории квадратичных форм. Используя аппарат арифметики кватернионов и эрмитионов, Ю.В.Линник создал оригинальный аналитико-алгебраический метод, который получил название эргодического метода в теории чисел. Наиболее существенным приложением которого является теорема Ю.В.Линника об асимптотической равномерности распределения целых точек на сфере растущего радиуса.

Ю.В.Линник (1941г.) создал оригинальную арифметическую процедуру «просеивания», развивающую при этом метод решета Вигго Бруна. В более поздних работах Ю.В.Линник занимался развитием теории L-функций Дирихле L(s,x), где х — характер Дирихле (mod D), и ее приложениями к теории простых чисел. Ему принадлежит создание еще одного мощного метода аналитической теории чисел, специально предназначенного для решения аддитивных задач бинарного типа, получившего название дисперсионного метода.

Иследования Ю.В.Линника по теории вероятностей начинаются с оценок скорости сходимости распределений сумм независимых случайных величин к нормальному распределению. В 1948—-1949 гг. Ю.В.Линник получил результаты,

содержащие полные решения двух центральных проблем в теории суммирования случайных величии, связанных в цепь Маркова. Одна из них относилась к условиям применимости интегральной предельной теоремы для случая сингулярной цепи. Ю.В.Линник дал почти исчерпывающее решение вопроса для неоднородной цепи с произвольным конечным числом состояний. Вторая проблема относилась к условиям справедливости локальной предельной теоремы для решетчатых величин, связанных в цепь, где Ю.В.Линник привлек соображения, используемые при изучении тригонометрических сумм в теории чисел. Ему принадлежит важный цикл работ по предельным теоремам для вероятностей больших уклонений сумм независимых случайных величин и по теории разложения вероятностных законов.

В четвертой главе диссертации исследуется творчество Бориса Максимовича Бредихина, одного из ярких отечественных математиков, работавших в области вероятностной теории чисел. Его математические исследования можно разделить на три периода. Первый из них относится к 1953 - 1961 годам, второй к 1962 - 1972 и заключительный третий период охватывает 1973 - 1994 годы.

Работы первого периода относятся к задачам изучения поведения арифметических функций на полугруппах, являющихся подмножествами натурального ряда. В своих первых работах, составивших основу его кандидатской диссертации, Б.М.Бредихин изучает свойства характеров числовых групп с конечной и с достаточно редкой бесконечной базой. Он доказывает неограниченность сумматорной функции для таких характеров, существенно обобщая известный результат Н.Г.Чудакова и Ю.В.Линника.

В последующих работах этого цикла Борис Максимович изучает связи между арифметической плотностью образующих полугруппы и асимптотической плотностью полугруппы. Используя и развивая технику теории теорем тауберова типа, он устанавливает взаимные связи между асимптотикой для плотности всех элементов полугрупп и асимптотикой плотности ее базисных элементов.

С начала 50-х годов XX века начинается второй период математического творчества Б.М.Бредихина, где начиная с 1962 года он публикует работы по дисперсионному методу. Б.М.Бредихин внес существенные изменения в безусловное доказательство Ю.В.Линника по проблеме Харди - Литглвуда о представлении натуральных п в виде п = р + хг + у2, где р - простое, ахи у - целые числа и устранил отдельные неточности, а опираясь на методы решета К.Хооли улучшил оценку остаточного члена в асимптотической формуле для количества представлений. Последняя оценка оказалась даже лучше той, которая была условно получена в 1957 году известным английский математиком К.Хооли в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для Ь-функций Дирихле

Развивая свои идеи, Б.М.Бредихин в 1963 году решил проблему Серпинского-Голомба о бесконечности простых р, представимых в виде хг + у1 +1 и нашел асимптотику для количества таких р. В совместных работах с Ю.В.Линником им была получена асимптотика для количества решений уравнения Харди - Литтлвуда в секторах и доказана разрешимость обобщенного уравнения Харди - Литтлвуда для

произвольных показательно определенных бинарных квадратичных форм с целыми коэффициентами.

В последней совместной работе8 Б.М.Бредихин и Ю.В.Линник подвели некоторые итоги развития дисперсионного метода и в частном случае дали доказательство тернарной проблемы Гольдбаха о представлении нечетных чисел в виде суммы трех простых.

В 70 - е годы XX века Б.М.Бредихин продолжает интенсивно работать над развитием данного метода. В это время ему удается расширить его возможности за счет привлечения идей и метода решета, включая неравенства большого решета Э.Бомбьсри - А.И.Виноградова, малого решета А.Сельберга и обертывающего решета К.Хооли. Модернизированный таким образом дисперсионный метод Б.М.Бредихин называет методом сглаживания.

В течение 70-х - 80-х годов прошлого века Б.М.Бредихину и его ученикам удалось практически полностью выполнить план - программу Ю.В.Линника, которая в оригинальной формулировке звучит как «возвращение классических задач аддитивной теории чисел в их «отчий дом» - элементарную теорию сравнений и элементарную теорию простых чисел».

В пятой главе проведено исследование научной деятельности А.Г.Постникова. Приведены краткие биографические сведения о его жизни и деятельности.

Основное содержание главы посвящено изложению и анализу математической деятельности А.Г.Постникова. Рассмотрены все основные его научные публикации, которые классифицированы по двенадцати различным направлениям. Для каждой из его математических работ из полного списка публикаций проведено реферирование и предложена новая их классификация.

Рассматриваются работы по дифференциально-разностной независимости рядов Дирихле. Работы данного цикла посвящены проблеме гипертрансцендентности и дифференциальной независимости классических производящих рядов Дирихле, включая дзета-функцию Римана и Ь-функции Дирихле. Начало данному направлению было положено в знаменитом докладе Гильберта на II Международном конгрессе математиков в Париже 8 августа 1900 года, посвященном постановке знаменитых 23-х проблем Гильберта. Наиболее существенной заслугой Алексей Георгиевича в данной области является теорема о дифференциальной независимости нескольких Ь-функций, отвечающие характерам Дирихле по разным модулям.

Значительно позднее мощный толчок в исследованиях по этой теме дали работы С.М.Воронина, которые положили начало нового направления в теории чисел, связанного с исследованием свойства «универсальности» которым обладают «почти все» аналитические функции.

Рассмотрены работы, связанные с применением и развитием р-адического анализа. В их число входит знаменитый результат А.Г.Постникова о представлении характера Дирихле по модулю являющийся степенью некоторого простого числа в

' Бредихин Б.М. «Новый метод в аналитической теории чисел», 1974.

виде тригонометрической функции от многочлена с рациональными коэффициентами. Этим результатом Алексей Георгиевич открыл целое направление в аналитической теории чисел, связанное с исследованием свойств аналитических функций, определенных в полях р-адических и /-адических чисел и их аналогов. Оно затрагивает целый ряд важнейших арифметических и алгебраических задач в современной математике. Сюда относятся оценки неполных сумм характеров по модулю, равному степени простого числа, оценка остатка в асимптотическом законе распределения простых чисел в арифметических прогрессиях по такому же модулю.

Проанализированы исследования по равномерному распределению значений дробных долей арифметических функций и диофантовым приближениям. В этих работах А.Г.Постников развивает методы А.Я.Хинчина, Р.О.Кузьмина и, используя новые оригинальные соображения, получает новые результаты в теории диофантовых приближений и в вопросах распределения дробных долей.

Работы четвертого направления примыкают к работам третьего. Но несут в себе важную методологическую нагрузку, в связи с чем, они снова упоминаются при обсуждении концептуально-методологических подходов в творчестве А.Г.Постникова. К центральным результатам, полученным Алексей Георгиевичем в работах этого цикла относится критерий равномерного распределения дробных долей показательной функции и критерий последовательности быть вполне равномерно распределенной.

Рассмотрены работы по теоремам абелева и тауберова типа в их связи с общей аддитивной теорией чисел. Эти исследования охватывают одиннадцать публикаций и занимают большое место в творчестве А.Г.Постникова. К числу ярких результатов по тауберовой теории принадлежит его теорема, касающаяся общих рядов Дирихле, а также тауберовой теоремы в комплексной области с остаточными членами, первые результаты по которым принадлежат именно Алексею Георгиевичу. А.Г.Постников нашел важное приложение теорем тауберова типа при выводе асимптотики для числа решений аддитивных задач теории чисел с растущим числом слагаемых. При этом была выявлена отчетливая вероятностная природа таких задач, состоящая в стирании арифметических особенностей слагаемых и возникновении гауссова закона в главном члене асимптотической формулы.

Четыре работы А.Г.Постникова относятся к исследованиям по эргодической теории и динамическим системам. Данной проблематике посвящена его книга «Эргодические вопросы теории сравнений и теории диофантовых приближений» в основу которой положена аналогия между механикой и аналитической теорией чисел.

Рассмотрены работы А.Г.Постникова по теории вероятностей и задаче арифметического моделирования случайных процессов. По теории вероятностей опубликовано три работы. Оценки А.Г.Постникова основаны на использовании развитых им методов вероятностной теории чисел. Этот факт является еще одним примером обратного воздействия арифметических идей на проблемы теории вероятностей.

Проблемы арифметического моделирования случайных процессов рассматриваются в монографии А.Г.Постникова9. Данная проблематика имеет не только большое практическое значение, но и глубокий методологический интерес, о чем говорит ее очень давняя история, продолжающаяся до настоящего времени.

Давно подмеченные «стохастические» особенности многих арифметических функций привели к тому, что именно данные функции обычно используются в качестве основного инструмента при моделировании случайных процессов. В своей монографии А.Г.Постников в этом вопросе рассматривает в основном близкие ему по тематике исследований дробные доли показательной функции вида (erg'}. В данном вопросе его интересует по большей части теоретические и концептуальные вопросы арифметического моделирования. В то же время в книге предложен алгоритм построения арифметической последовательности порожденной некоторым вещественным числом а и имеющим нормальные по Бернулли последовательность знаков в д-ичной системе исчисления, где д-любое фиксированное натуральное число.

Далее рассмотрены работы А.Г.Постникова относящиеся непосредственно к вероятностной теории чисел, включая книгу «Вероятностные методы в теории чисел».

Проанализированы три работы Алексея Георгиевича по элементарным методам в теории сравнений по простому модулю. Они посвящены еще одному выдающемуся открытию, сделанному А.Г.Постниковым в теории решения сравнений по простому модулю. С 1953 г. по инициативе И.М.Виноградова Алексей Георгиевич активно занимался поиском элементарного доказательства оценки А.Вейля полной суммы характеров Дирихле от многочлена. Эти поиски привели к новому методу оценок подобных сумм. В 1967г. в своем выступлении на Всесоюзной школе по теории чисел в г. Душанбе академик И.Р.Шафаревич вновь обратил внимание специалистов по аналитической теории чисел на полное отсутствие каких-либо элементарных оценок для числа решений уравнения вида у2 a f(x)(modp),. асимптотику которого при р->-л как раз давала указанная выше теорема А.Вейля. Сразу после этой конференции А.Г.Постникову удалось получить элементарное доказательство следующей теоремы.

Теорема. Пусть р> 3 - простое число и Np - количество решений сравнения

у1 = х3 + ах + ¿(modр). (*) Тогда справедлива оценка

Особняком стоят работы А.Г.Постникова, которые касаются задачи о плотнейшей упаковке шаров, являющейся классической проблемой геометрии чисел и некоторой модификации вопроса распределения целых точек в круге, связанной с распределением собственных значений оператора Лапласа на плоскости. Эти работы содержат новые глубокие арифметические результаты, которые показывают широту математических интересов Алексея Георгиевича.

' Постников А.Г. Арифметическое моделирование случайных процессов//Труды МИАН СССР. - 1960.-57.- 1-84.

Особое место в наших исследованиях математического творчества А.Г.Постникова занимают концептуально-методологические основы вероятностной теории чисел. Рассмотрены научно-методологические принципы Алексея Георгиевича и его взгляды на развитие вероятностных методов в теории чисел, изложенные в работе «Вероятностные методы в теории чисел» (1974г.).

В книге выделено три направления вероятностной теории чисел. Первое из них связано с выявлением стохастических закономерностей в классических аддитивных проблемах теории чисел таких, как проблема Варинга. Эти закономерности обнаруживаются при неограниченном возрастании числа слагаемых.

Второе направление, определяемое как задачи связанные с числовой вероятностью, рассматривает вопросы распределения значений арифметических функций, и третье направление касается распределения дробных долей показательной функции.

Математические исследования А.Г.Постникова по вероятностной теории чисел и другим направлениям математики были продолжены в работах его учеников и многих других математиков, ряд из которых был упомянут нами ранее.

Шестая, глава диссертации целиком относится к аналитической теории чисел. Полученные в ней результаты являются прямым продолжением исследований Алексея Георгиевича Постникова, связанные с применением его формулы, позволяющей выразить значение суммы характеров Дирихле по модулю равному степени простого числа, через тригонометрическую сумму специального вида.

В работе A.A. Карацубы «Тригонометрические суммы специального вида и их приложения» (1964г.) такие суммы названы L-суммами. Они оценивались А.Г. Постниковым, В.Н. Чубариковым10, Б.А. Турешбаевым" и другими авторами. В тех же работах данные оценки применялись к оценкам сумм характеров Дирихле.

В диссертации получен следующий результата.

Теорема. Пусть х - неглавный характер по модулю q = Q", где Q -фиксированное простое число и q->a>. Рассмотрим сумму w0=^xiy+a)'

у*н о

1 In

{a,Q) = 1 и N„ <Q\ Тогда справедлива оценка \tVQ\«NÜ>~A", где A0=cl<p~ , <? = —-—,

Cj = 0,000151... - положительная постоянная и <р><р0 достаточно велико.

Заметим, что оценки суммы W0 имели тот же вид, но «эффективное» значение константы С] до сих пор получено не было.

Оценка того же типа получена в следующей теореме для сумм характеров от дробно-линейной функции:

Чубариков В.Н. Уточнение границы нулей ¡.-рядов Дирихле по модулю равному степени простого числа. - Вестник Московского университета, №2, 1973,46-72.

" Турешбасв Б. А. О средних значениях сумм характеров Дирихле от рациональных функций и приложения. Дисс. на соискание степени канд. ф.-м. наук. М., 2000.

Пусть х - неглавный характер по модулю q = Q", где Q - фиксированное

простое число и <? -> °о. Обозначим через W сумму вида w = У х\^у + " > гс)е (л, ß) = 1,

Ä 1 ßy + a)

a = ß = Qhd2, (rf„ß)= i, (rf3)ß)=l, 0<Sl<52, ct = M^>Po>2, •

In JV„

Toeda при S, * s2 имеет место оценка ^o ', где Д, = сь,-р'2,

c6 = 0,000047... - положительная постоянная.

Та же оценка справедлива и в том случае, когда 5, -s2, но сД не сравнимо с d2 по модулю Qпри условии, что щ <0,5«.

Следует отметить, что короткие суммы характеров от дробно-линейной функции ранее не рассматривались.

В диссертации доказана теорема которая при фиксированном значении простого Q для характеров Дирихле по модулю q = Q" дает оценку коротких сумм характеров по сдвинутым простым числам:

Пусть фиксированное Q - простое число большее 2, k - натуральное число вида Q", где п - натуральное и кх(г) - характер Дирихле по модулю к. а -натуральное число с условием (а, g) = l. Тогда имеет место оценка

yiS

где <р = и л(у) есть функция Мангольдта и с > 1,504 ■ 10 ~6. In к

Заметим, что ранее оценки коротких сумм характеров оценивались только для простого модуля причем они были получены в работах И.М. Виноградова «Оценка одной суммы, распространенной на простые числа арифметической прогрессии» 1966г. и A.A. Карацубы «Суммы характеров с простыми числами»

(1970г.) лишь для значения N »<?°'5+с, где £ > 0 - сколь угодно мало.

В заключении подведены итоги и сформулированы основные выводы. В диссертации:

1) Дан анализ применения вероятностного подхода к задачам теории чисел в трудах отечественных математиков дореволюционного периода.

2) Выявлены основные этапы формирования и развития основных направлений вероятностной теории чисел в XX веке.

3) Описан вклад русских математиков, специалистов в области применения вероятностных методов к арифметическим проблемам. На примере исследования творчества Б.М.Бредихина и А.Г.Постникова изучена роль вероятностных подходов в решении проблем, относящихся к теории чисел.

4) Получены следующие результаты относящиеся к аналитической теории чисел

a) дана новая оценка тригонометрических сумм специального вида, носящих название L-сумм;

b) указано явное числовое значение константы в показателе степенного

понижения в оценке коротких сумм характеров Дирихле по модулю равного степени простого числа;

c) для модулей того же типа, впервые получены оценки коротких сумм характеров от дробно-рациональной функции;

d) для тех же модулей получены оценки со степенным понижением для сумм характеров по сдвинутым простым числам для случая, когда отношение логарифмов длины промежутков суммирования и величины модуля характера Дирихле может быть сколь угодно малым.

Основные результаты опубликованы в следующих работах автора.

1. Копанева A.A. Применение формулы А.Г.Постникова для оценки коротких сумм характеров Дирихле по сдвинутым простым числам. /'/' Вестник Московского университета. Серия 1, Математика и механика. 2008. - №5. - М., - с. 62-65. - 03 п.л.

2. Жукова (Копанева) A.A. Об истоках вероятностной теории чисел в XIX начале XX века. // Вестник науки. Сборник научных работ преподавателей, аспирантов и студентов физико-математического факультета ГОУ ВПО «ОГУ». Выпуск 4.- Орел: Издательство Орловского государственного университета, Полиграфическая фирма «Картуш», 2005,- с. 59-68. - 0,7 п.л.

3. Жукова (Копанева)А.А. О математических работах Б.М. Бредихина. // Чебышевский сборник. Том. 6, вып. 2 (14) - Тула: Издательство Тульского государственного педагогического университета им. JI.H. Толстого, 2006. - с. 1-10.-0,7 п.л.

4. Жукова (Копанева)А.А. Об исследованиях Б.М. Бредихина по теории чисел. // Вестник науки. Сборник научных работ преподавателей, аспирантов и студентов физико-математического факультета ГОУ ВПО «ОГУ». Выпуск 5. -Орел: Издательство Орловского государственного университета, Полиграфическая фирма «Картуш», 2006. - с. 38-45. - 0,6 п.л.

5. Копанева A.A. О математической деятельности А.Г. Постникова. // Чебышевский сборник. Том. 7, вып. 4 (20) - Тула: Издательство Тульского государственного педагогического университета им. JI.H. Толстого, 2006, - с. 122-178.-3,5 п.л.

6. Копанева A.A. Оценка коротких сумм характеров Дирихле по сдвинутым простым числам. // Чебышевский сборник. Том. 9, вып. 1 (25) - Тула: Издательство Тульского государственного педагогического университета им. Л.Н. Толстого, 2008. - с. 55-72. - 1,7 п.л.

7. Жукова (Копанева) A.A. Об истории формирования вероятностной теории чисел как научной дисциплины. // Современные методы физико-математических наук. Труды Международной конференции 9-14 октября 2006 года, г.Орел. Том 3. - Орел: Издательство Орловского государственного университета, Полиграфическая фирма «Картуш», 2006. - с. 80-88. - 0,7 п.л.

9. Копанева A.A. Вероятностная теория чисел как составляющая компетентностного подхода. // Сборник научных трудов XIII Международной научно-методической конференции. Выпуск 11, том I. Москва, 27-28 марта

2007.-с.264-273.-0,6 п. л.

10. Копанева A.A. Об особенностях развития вероятностной теории чисел в середине XX столетия. // Математика в образовании. Сборник статей. Выпуск 4/ под. Ред. И.С. Емельяновой. - Чебоксары: Изд-во Чувашского университета.

2008.-с. 180-189.-0,7 п.л.

11.Копанева A.A., Овсянникова A.B. О вкладе отечественных математиков в развитие вероятностной теории чисел. II «Стратегия развития образования: эффективность, инновации, качество» МГУТУ (в трех частях). Часть 1. Тематическое приложение к журналу «Открытое образование». - М., -

» ЖТ-Ч Т rinnet - Л ту А А Г\ А 1 — _ /________________Г Л П/\

1V11 У i , - ¿UUО. - U. tj^-ttu. — и,J 11.Л. (¡ШШ)№КИИ шиюд JÜ /о)

12.Копанева A.A. О суммах характеров Дирихле от арифметических функций специального вида. // Сборник трудов XXI Международной научно-практической конференции «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ- 21», Том 10, Саратов, 2008. - с.13-15. - 0,2 пл.

Подп. к печ. 13.04.2009 Объем 1 пл. Заказ №. 77 Тир 100 экз. Типография МПГУ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 ОТЕЧЕСТВЕННЫЕ МАТЕМАТИКИ, РАБОТАВШИЕ В ОБЛАСТИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ТЕОРИИ ЧИСЕЖ В^ ДОРЕВОЛЮЦИОННОЕ ВРЕМЯ.

Михаил Васильевич Остроградский (1801-1861).

Виктор Яковлевич Буняковский (1804-1889).

Пафнутий Львович Чебышев (1821 - 1894).

Андрей Андреевич Марков. (1856-1922);.58>

ГЛАВА 2 ФОРМИРОВАНИЕ И1РАЗВИТИЕ ОСНОВНЫХ

НАПРАВЛЕ1ШЙ1ВЕРОЯТНОСТНОЙТЕОРИИ ЧИСЕЛ В XX ВЕКЕ.

ГЛАВА 3 ОБ ИССЛЕДОВАНИЯХ А.Я. ХИНЧИНА И Ю;В.ЛИННИКА В ОБЛАСТИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Александр Яковлевич Хинчин (1894-1959).

Юрий Владимирович Линник (1915-1972).

ГЛАВА 4 НАУЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ Б. М. БРЕДИХИНА.

ГЛАВА 5 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ АСПЕКТЫ В НАУЧНОМ ТВОРЧЕСТВЕ А.Г. ПОСТНИКОВА.

§ 5.1 Дифференциально-разностная независимость рядов Дирихле.

§5.2 р- адический анализ.

§5.3 Равномерное распределение функций по модулю единица и диофантовы приближения.:.

§5.4 Нормальные по Бернулли и Маркову последовательности.

§5.5 Теоремы абелева и тауберова типа и общая аддитивная теория чисел.

§5.6 Динамические системы и эргодическая теория.

§5*7 Теория вероятностей и вопросы арифметического моделирования случайных процессов.

§5.8 Вероятностная теория чисел.

§5.9 Элементарный метод в теории сравнений по простому модулю.

§5.10 Задача о плотнейшей упаковке шаров.

§5.11 Асимптотические свойства собственных функций оператора Лапласа.

§5.12 Концептуально-методические основы вероятностной теории чисел.

ГЛАВА 6 ОЦЕНКА КОРОТКИХ СУММ ХАРАКТЕРОВ ДИРИХЛЕ ПО СДВИНУТЫМ ПРОСТЫМ ЧИСЛАМ.

История математики является неотъемлемой составляющей общей истории науки. Начало исследований по истории математики уходит в глубь веков, поскольку в древности они были, по существу, неотделимы от самих математических знаний.

Можно считать бесспорным, что постоянный интерес к истории математики сохраняется и в настоящее время. Одним из движущих его. моментов являются вопросы приоритета в математических открытиях. Однако более существенным представляется потребность исследователей в переосмыслении накопленных научных знаний и применяемых методах, расширения круга проблем с целью анализа и выработки более глубокого понимания исследуемого объекта, обнаружения его новых глубинных связей одних сторон математической науки с другими явлениями математической мысли, и в конечном итоге к продвижению к новым математическим* открытиям.

Не менее важным аспектом в оценке роли исследований по истории науки вообще и истории математики в частности является ее общекультурное значение.

Цель настоящей диссертации состоит в исследовании развития вероятностной теории чисел в трудах отечественных математиков Х1Х-ХХ веков. Из их числа выделены наиболее крупные ученые, в чьих трудах рассматривались как задачи теории вероятностей, так и задачи теории чисел. Заметим, что для полноты изложения представляется целесообразным привести краткие биографические данные о них.

Начиная с XX века в работах этих ученых происходило формирование вероятностной теории чисел как нового направления современной теории чисел. Важно подчеркнуть, что не всякий математик, проводивший \ исследования как в области теории чисел, так и в области теории вероятностей, должен рассматриваться как его разработчик.

В' настоящей диссертации ставится задача отдельного исследования творчества именно тех ученых, которые являются нашими соотечественниками и которые внесли заметный вклад в развитие вероятностной теории чисел.

Среди этих ученых почетное место занимают в первую очередь о

А.Я.Хинчин, Ю.В.Линник, И.П.Кубшпос, Б.М.Бредихин, А.Г.Постников. Отметим, что математическое творчество академика Ю:В.Линника очень глубоко освещено в статьях, сопровождающих четырехтомник его «Избранных трудов» [1]. Весьма полно исследована научная1 деятельность члена-корреспондента АН СССР, академика педагогических наук А.Я.Хинчина. В частности, в 2004 году вышли в свет отдельным изданием материалы 2-й Российской научно-практической конференции в, Калуге «Математика в современном мире», посвященной 110-летию со дня его рождения [2]. В( связи с этим исследование творчества А.Я:Хинчина и Ю.В.Линника в диссертации не рассматривается как ее основная цель.

То же самое можно сказать о литовском академике Й.П.Кубшпосе, который с 1991 года является гражданином другого государства.

Одна из основных целей диссертации состоит в исследовании- научной деятельности Б.М.Бредихина и А.Г.Постникова. При этом особое внимание уделяется работам А.Г.Постникова, давшего определение вероятностной теории чисел как самостоятельного научного направления.

В, диссертацию включены исследования автора по аналитической теории чисел, касающиеся оценок коротких сумм характеров Дирихле по модулю равному степени простого числа' при условии, что переменная суммирования пробегает значение из начального отрезка сдвинутых простых чисел.

Получаемый здесь результат следует рассматривать как новое продолжение арифметических исследований А.Г. Постникова по одному из актуальных направлений математики.

Еще одна цель диссертационных исследований состоит в анализе общей картины формирования и развития вероятностной теории чисел во^всем мире за период охватывающий начало и середину XX века.

Обращаясь к истории исследований о развитии вероятностной теории чисел, отметим, что наиболее цельные сведения по этим вопросам содержатся в обзорных статьях, посвященным конкретным ученым, и непосредственно в. трудах математиков; рассматривающих эти проблемы. Особое место занимают здесь работа Ю:В: Линника «Пять лекций о некоторых вопросах теории чисел и теории веяротностей» [ 1, с. 239], книга Л.Г.Постникова «Вероятностная теория чисел» [160]; и его обзорная статья- «О состоянии и основных направлениях развития исследований в области аналитической теории чисел» [154]; статьям Г.Деланжа «Probabilistic Number. Theory», [3] и М.Каца «Probability methods in some problems of analysis and; number theory», [4] юбилейная статья М1П. Минеева, Л.П.Посниковой и- В.Н.Чубарикова «Исследования Л.Г.Постникова по теории чисел (к 80-летию со дня рождения)», [5] книга Й.П.Кубилюса «Вероятностные- методы в теории; чисел»,. [6] книги МЖаца «Статистическая?, независимость в теории; вероятностей; анализе и теории; чисел» [7] и «Вероятность и смежные вопросы в физике» [8].

Заметим, что задача изучения» истории формирования вероятностной! теории, чисел; как самостоятельного направления: до настоящего времени, по видимому, не ставилась и в данной1 диссертации она рассматривается впервые. Вопрос о становлении вероятностной теории чисел относится к новейшему времени и поэтому исследования^ научного характера по существу отсутствуют. Достаточно разрозненные сведения; содержащие мнения математиков профессионалов содержатся; в, основном; в юбилейных и мемориальных статьях, посвященных отдельным ученым, в научных обзорах и во введениях к-книгам и статьям; по теории чисел и теории вероятностей. К числу источников естественно относятся и сами научные работы по теме исследования. Все эти источники послужили материалом для исследований по теме диссертации; С другой стороны, со времени окончательного формирования вероятностной теории чисел, прошло около полувека, и вопрос об истории ее развития можно считать вполне назревшим:.

В первой главе рассматривается творчество крупнейших российских математиков XIX века, являющихся специалистами, как в области теории чисел, так и области теории вероятностей. К их числу можно отнести академиков Императорской Санкт-Петербургской Академии наук М.В.Остроградского, В.Я.Бу няковского, П.Л.Чебышева, А.А.Маркова.

М.В.Остроградский (1801-1861) стал академиком в 1831 году. Его деятельность в области теории чисел включает в себя* публичные лекции, содержавшие первый полный курс элементарной теории чисел на русском языке. Кроме того, он представил таблицы первообразных корней в Академию наук в 1936г. [9].

По» теории вероятностей М.В'.Остроградский опубликовал 6 статей. Они посвящены вопросам теории ошибок, страховому делу, теории производящих функций. Самая большая работа, отмеченная Петербургской АН, опубликована в 1848- году, касается вопросов приемочного контроля. Последняя статья, относящаяся-к теории вероятностей; содержит вывод формулы Байеса. Среди» его учеников был В.Я.Буняковский.

В. Я. Буняковский (1804-1889) - академик Петербургской АН с 1830г. и ее вице-президент с 1864г., а с 1889 почетный вице-президент, профессор Петербургского университета.

Он опубликовал более сорока статей по теории чисел. В области теории чисел В.Я.Буняковский занимался вопросами, относящимися к теории сравнений с приложениями к разложению чисел на множители и к другим вопросам, квадратичными вычетами и квадратичным законом взаимности, выводом арифметических тождеств и изучением свойств арифметических функций с помощью рядов и бесконечных произведений, приложением теории чисел к другим разделам математики. Кроме того, он много времени уделял вопросам методологии, истории и распространению идей и методов' теории чисел.

В теории вероятностей одной из его первых работ, была статья «Мысли о неосновательности некоторых понятий, относящихся к общежитию, преимущественно к лотереям и играм», которая вошла в фундаментальную работу В.Я.Буняковского «Основания математической теории вероятностей». По полноте содержания и ясности изложения работа была выдающимся научным трудом по теории-вероятностей не только в России, но и в мировой литературе того времени, но несмотря на это, она содержит ошибки, в первую очередь в приложениях теорию вероятностей. Эти приложения и взгляды неоднократно» подвергались критике. В частности, на них останавливается А.А.Марков в своей книге «Исчисление вероятностей».

В.Я.Буняковский написал ещё ряд статей, которые относятся как к самой теории вероятностей, так.и к её'приложениям. Он составил подробные таблицы для эмеритальных касс военных ведомств, чем содействовал их развитию, таблицы- смертности. Часть работ относится к движению народонаселения. Одной из наиболее крупных работ является, «Опыт о законах смертности и о распределении* православного народонаселения по возрастам» (1865 г.). Именно В.Я.Буняковский приобщил молодого П.Л.Чебышева к занятиям теорией чисел.

П.Л.Чебышев (1821-1894) - один из крупнейших математиков мира XIX века, академик Петербургской АН с 1856г., профессор Петербургского университета.

Теории чисел посвящены его работы «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» (1849) и «О простых числах» (1852), где он получил правильные по порядку оценки для количества простых чисел не превосходящих любого заданного значения х. В' работе «О простых числах» он доказал постулат Бертрана. В мемуаре «Об одном арифметическом вопросе» (1866) П.Л.Чебышев с помощью аппарата непрерывных дробей доказал утверждение о том, что существует бесконечно много систем целых чисел х и у, таких, что для разности у-ах-Ь, где а и Ь произвольно заданные* постоянные, выполняется неравенство

По теории чисел у П.Л.Чебышева есть еще несколько работ, которые напечатаны в его полном собрании сочинений. Они посвящены квадратичным формам и рядам, члены которых зависят от простых чисел.

Среди исследований П.Л.Чебышева по теории вероятностей особенное значение имела работа «О средних величинах» (1866), где было дано строгое и элементарное доказательство классической теоремы вероятности, о том, что вероятность фиксированного положительного отклонения среднего значения независимых случайных величин от среднего значения их математических ожиданий стремится к нулю- при неограниченном возрастании количества случайных величин, если только' они имеют дисперсии,- ограниченные в совокупности. Сейчас эта теорема называется законом больших чисел.

Здесь следует отметить, что сам термин «дисперсия» был введен в математический язык гораздо позднее. По информации, полученной от академика Ю.В.Прохорова; впервые его стал употреблять академик-С.Н.Бернштейн. Действительно, в его книге «Теория вероятностей» изданной в 1946 году, в четвертом издании книги 1927 года с тем же названием на с. 143144 дается> определение дисперсии как математического ожидания квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания [10]i Одновременно в иностранной математической литературе Р.Фишером было введено понятие «дисперсионного анализа».

Другим в этой области был мемуар «О двух теоремах относительных вероятностей» (1887), который считается одним из высших достижений П.Л.Чебышева. В нем впервые в общей форме доказана центральная предельная теорема и рассмотрен метод моментов, один из важнейших методов теории вероятностей и вероятностной теории чисел. Он первый привел теорию вероятностей в систему и придал этой теории строго научный характер.

Подчеркнем, что открытое П.Л.Чебышевым знаменитое неравенство явилось не только выдающимся достижением, но и несло в себе зачатки двух важных методов в теории чисел. Имеется в виду метод «сглаживания»

И.М.Виноградова, примененного им' при оценках тригонометрических сумм, а также дисперсионный метод Турана-Линника.

В каждом' из этих методов эффект от их применения достигается за счет распространения внешнего суммирования в двойной сумме на область с более простыми арифметическими свойствами с последующим изменением порядка суммирования. Но, несмотря на наличие указанного общего элемента в этих методах, важно подчеркнуть, что открытие каждого из них выполнено совершенно' независимо друг от друга. Действительно, работа И.М.Виноградова «Новое решение проблемы Варинга» [11] в которой впервые в полной форме опубликован указанный выше его метод, была сдана в печать 16 мая 1934г., а работа П.Турана [12], содержащая первое применение дисперсионного* метода поступила в, редакцию журнала Лондонского математического общества (J. London Math. Soc.), 26 апреля 1934 г.

А.А.Марков (1856-1922), академик Петербургской АН с 1890г., с 1886 профессор-Петербургского университета, а с 1905г. заслуженный.профессор. В штате университета A.A. Марков оставался до 1905г.

Научное творчество А.А.Маркова весьма разнообразно. Это теория* чисел, дифференциальные уравнения; теория функций и другие разделы математики в которых он получил результаты мирового научного значения. Однако самые значительные достижения А.А.Маркова принадлежат теории чисел и особенно теории вероятностей.

В 1879 году А.А.Марков напечатал статью «Sur les formes quadratiques binaires indéfinies» в XV томе журнала Math. Annalen, продолжение которой под тем же заглавием появилось в XVII томе того же журнала. Обе эти работы составили содержание магистерской диссертации А.А.Маркова «О бинарных квадратичных формах положительного определителя», С.-Петербург, 1880г., в которой он продолжил работы своих учителей А.Н'.Коркина и Е.И.Золотарева. А.А.Марков' ставил целью исследовать точные пределы минимума относительно неопределенных форм с двумя переменными. Значительно позже А.А.Марков показал, что аналогичные результаты имеют место дляг неопределенных форм с тремя и. четырьмя переменными. Эти вопросы освещены подробно в [13].

К теории чисел относится также работа А.А.Маркова «О простых делителях чисел вида 4х2 +1» (1895г.), в которой на основании некоторых заметок; из рукописей П.Л.Чебышева восстанавливает; доказательство его теоремы о том,, что для наибольшего простого делителя п чисел 4х2 +1, где

YI ■ отношение — = PN бесконечно возрастает вместе с N. Заметим, что явные оценки скорости- роста; в дальнейшем: получены Т.Нагеллом [14] в 1921г. и И.Эрдешем в; 1952г. И, наконец, К.Хооли установил, что величина PN имеет степенной порядок роста, точнее PN « №л [15].

Статья;«Sur les nombresentiers . dépendants- d'une racine!cubique:d'un nombre entier ordinaire» ! 892 г. посвященаисследованиючистых кубичесюшобластейгс*. точки: зрения* теории идеальных чисел Золотарева; Особенно ценна; в этой работе обширная: таблица кубических единиц для областей; определяемых кубическими? корнями» из всех чисел, не1 делящихся на, кубы, от 2-х; до 70-ти. [16] .

В теории вероятностей труды А.А.Маркова привели не только; к значительному прогрессу существовавших до него направлений, но и. к коренному преобразованию содержания всей этой науки. Он в начале XX века положил начало: большого отдела теории; вероятностей, предметом которой служат зависимые случайные величины. Именно, исследования^ А.Л.Маркова дали толчок к созданию и последующему развитию основного в настоящее; время раздела теории вероятностей- - теории стохастических процессов;

Первые работы А.А.Маркова являются непосредственным продолжением и завершением исследований П.Л.Чебышева и относятся, во-первых, к установлению наиболее общих условий; при которых имеет место закон; больших чисел, и,, во-вторых, к доказательству центральной предельной теоремы теории вероятностей.

В статье «Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга» (1907) А.А.Марков расширил условие приложения закона больших чисел для зависимых величин, а также обнаружил теоремы совсем нового типа, свойственные цепям Маркова, позднее названные эргодическими.

В третьем издании «Исчисление вероятностей» (1913г.), А.А.Марков установил также, что закон больших чисел имеет место для сумм зависимых величин при определённых условиях.

Первое безусловное доказательство центральной предельной теоремы удалось дать А.А.Маркову путём разложения в непрерывные дроби интеграла особого вида, в формулировке предложенной П.Л.Чебышевым.

Сопоставляя' арифметические и вероятностные аспекты в деятельности крупнейших российских математиков дореволюционного периода следует отметить, что прямого воздействия вероятностного подхода к арифметическим исследованиям не наблюдается. С другой стороны, в этих областях математики обнаруживается применение общих подходов и общих математических методов. Его можно рассматривать как проявление единства математической научной основы данных математических дисциплин.

Действительно, основные понятия теории вероятностей, то есть вероятность и математическое ожидание отвечают представлениям о пределе средних значений рассматриваемых величин при неограниченном количестве испытаний.

Что касается теории чисел, то в этот период центральными ее проблемами становятся задачи асимптотического поведения суммы значений арифметических функций или, что то же самое поведение их среднего значения на неограниченно возрастающем отрезке натурального ряда. Наиболее значимой из этих проблем является, несомненно, асимптотический закон распределения простых чисел.

Родственные постановки проблем в арифметике и теории вероятностей способствовали использованию^ одних и тех же или похожих методов для их изучения. Здесь, прежде всего, следует указать на метод производящих функций и различные комбинаторные соображения, включая изучение свойств биномиальных коэффициентов. Тем не менее, время широкого арифметического применения таких методов как метод характеристических функций, метод тригонометрических сумм, метод сглаживания, дисперсионный метод, метод моментов как методов, имеющих теоретико-вероятностные истоки, еще не наступило.

Во второй главе выявлены основные этапы формирования и развития основных направлений вероятностной теории чисел в XX веке. Проанализированы результаты научной деятельности многих ученых работавших в данном направлении и показано своеобразие применения вероятностно подхода в решении поставленных ими задач.

Вероятностная теория чисел как отдельная математическая дисциплина стала формироваться в начале двадцатого4 столетия, хотя ее границы были очерчены достаточно поздно. Наиболее отчетливо, на наш взгляд, это сделал известный российский математик А-.Г.Постников. в книге «Вероятностная теория чисел» [160] в 1974 году, который определил это научное направление как «применение методов теории вероятностей к теории чисел». Сам термин «вероятностная теория чисел» был впервые введен И.П.Кубилюсом в его докторской диссертации 1957 году.

К числу арифметических проблем, в изучении которых применение вероятностных методов оказалось особенно эффективным, можно выделить задачи мультипликативной теории чисел. Вероятностные соображения и сейчас являются основным инструментом в исследовании подобных проблем, поэтому технический аппарат, разработанный для их решения, обычно рассматривается как атрибут вероятностной теории чисел. Сюда входят, прежде всего, задачи нахождения предельных законов распределения значений мультипликативных и аддитивных функций.

Одним из первых результатов в теории мультипликативных функций явился результат С.Вигерта [17], который был несколько усилен

С.Рамануджаном [18] и в последствии обобщен А.А.Дроздовой и Г.А.Фрейманом [19].

Первый нетривиальный результат, посвященный вопросам распределения значений аддитивных функций, касающийся распределения значений ► аддитивной функции v(n), равной количеству различных простых делителей числа п, был получен в 1917 году в работах Г.Харди и С.Рамануджана [20].

Я:В.Успенский в работе «Асимптотические выражения-числовых функций в задачах о разбиении чисел на слагаемые» [21] развивает метод Г.Харди и С.Рамануджана на функции ju{m), Л(т), v{m), где /л{т) - число всевозможных разбиений m на сумму равных или неравных слагаемых, Л(т) - число разбиений m на сумму неравных слагаемых, v(m) - число разбиений m на сумму неравных нечетных слагаемых и выводит асимптотические выражения^ этих числовых функций при больших m.

В дальнейшем доказательство утверждения Г.Харди и С.Рамануджана* было упрощено и обобщено П.Тураном [12] и И.П.Кубилюсом [22, 6, 23].

С 1770 года одной из важнейших проблем теории чисел является проблема^ Варинга. В исходной постановке в 1909г. ее полностью решил Д.Гильберт. В 1919г. Г.Харди и Дж.Литтлвуд дали новое решение проблемы Варинга на основе метода производящих функций. Точнее говоря, эти авторы совместно с С.Рамануджаном разработали новый оригинальный общий метод решения широкого класса задач теории чисел, получивший название кругового метода, который нашел свое применение и в других областях математики, в том числе и в теории вероятностей. Принципиальное преобразование метода Харди-Литтлвуда-Рамануджана произвел И.М.Виноградов, в результате чего круговой метод« стал по существу частью его метода тригонометрических сумм. Это позволило значительно улучшить старые и получить, новые глубокие результаты.

Например, в монографии И.М.Виноградова [28] показано, что при N>3

I V i4 ч Г -'-.-М справедлива для

Д^п 201пи V / асимптотическая формула iN= , " aNNn +0

Л-1 \п) г > [л2(21пи + 1п1пи + 3)]. Совершенно иную трактовку проблема Варинга приобретает в том случае, когда ставится вопрос о поведении главного члена проблемы при растущем числе слагаемых г. Как установил А.Г.Постников [160], в этом случае задача имеет отчетливые стохастические черты. Важный вклад в развитие данной тематики внес Г.А.Фрейман [24].

Новые возможности развития вероятностной теории чисел открылись после того как А.Н.Колмогоров дал аксиоматическое изложение основ теории вероятностей.

Вопросы содержания и применения вероятностных методов к теории мультипликативных функций подробно разбираются в книге М.Каца «Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел» [7].

В 1939 году П.Эрдеш и М.Кац доказали следующую теорему.

Пусть Кп (¿у,, сог) - количество целых чисел т,1<т<п, для которых log log n + o)l д/log log n < v{m) < log log n + co2 ^ log log« .

Тогда

4in

Ш,

Так как log log m меняется очень медленно, то данный результат эквивалентен утверждению y 0)1 у1/

Р[log log п + й)1 д/loglog« < v{n) < log log n +со2 -yjlog log и ]= —: fe dy. л/ lit

К настоящему времени известно несколько различных доказательств этого результата. Доказательство, данное П.Эрдешем и М.Кацем, использует теорию сумм независимых случайных величин. Эта оригинальная теория затем развивалась Й.П.Кубилюсом в его книге «Вероятностные методы в теории чисел». [6]

Одним из ярких результатов вероятностной теории чисел явилась теорема Реньи-Турана [25] о том, что остаточный член , Кп(а>) 1 -'V 1 г{п) = ' - —= \е 72 йу имеет порядок . . п л/2я-1 д/к^кщи

Данная теорема является доказательством гипотезы В. Левека, сформулированной им^на основе подобной оценки в теории вероятностей1 [6].

Существование предельного распределения для было доказано в 1928 п году И. Шенбергом, а существование предельного распределения для п было доказано Г.Давенпортом в 1933 году чисто арифметическим методом [26].

Как уже было отмечено выше, идея доказательства теоремы Эрдеша-Каца лежат в основе общей теории, развитой Й.П.Кубилюсом, который в> 1954-1955 гг. опираясь на аксиоматику А.Н.Колмогорова, дал теоретико-вероятностную интерпретацию аддитивных функций, и таким образом свел вопросы1 распределения значений этих функций к соответствующим вопросам теории, суммирования независимых случайных величин.

В монографии Й.П.Кубилюса «Вероятностные методы в теории чисел» [6] дано систематическое построение вероятностной теории^ чисел, идущее от простейших соображений к стройной, развитой теории. Теоремы, доказываемые в данной книге, включают в себя почти все основные известные результаты по вероятностной теории распределения аддитивных и мультипликативных функций на период до 1960 года. Некоторые публикуются в ней впервые.

Важное значение для формирования методов вероятностной теории чисел имели работы Ю.В.Линника. Можно сказать, что завершением оформления вероятностной теории чисел в отдельное научное направление в математике следует считать книгу ЮЛЗ.Линника «Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах» [27].

В аналитической теории чисел существуют мощные методы для решения аддитивных,проблем; такие, как круговой метод Харди-Литтлвуда-Виноградова в форме метода: тригонометрических сумм, метод большого решета и дисперсионный метод Ю;ВШинника; Основой первых двух методов является идея- И.М.Виноградова о сглаживании двойных сумм путем перехода к суммированию по сплошному интервалу. Для дисперсионного метода же характерно еще: использование аналогов, теоретико-вероятностных понятий, разработанных П.Л.Чебышевым при выводе закона, больших чисел, а также обязательного- применения; различных модификаций- метода: решета и комбинаторных соображений.

Работы Ю.В.Линника по дисперсионному методу позволили обратиться к решению задач теории чисел, которые ранее, были« недоступны. Он в; систематической-форме соединил понятие дисперсии с идеей сглаживания и на этой основе впервые дал безусловное решение некоторых бинарных, аддитивных проблем с простыми числами,, включая? известную проблему Харди-Литтлвуда о представлении натуральных чисел суммой простого и двух квадратов. Дисперсионные: соображения ГБТурана; которые ранее применялись в основном к задачам распределения значений арифметических функций; Ю.В.Линник, тем самым, адаптировал, к исследованию1 классических; диофантовых уравнений.

Дисперсионный метод нашел свое усовершенствование и дальнейшее развитие в трудах других математиков. К ним относятся работы Б.М;Бредихина по проблеме Титчмарша [29]- по проблеме Харди - Литтлвуда [30, 31], где им был улучшен остаточный: член- за счет уточнения- не, дисперсионной части рассуждений, опирающихся на оценки К.Хооли в методе решета, а также его работу по аддитивной проблеме делителей [32] и его исследования: по обобщенной проблеме Харди -Литтлвуда в работах [33, 34]. В других работах по данной проблематике расширялась сфера применения, дисперсионного метода, проводилась переработка и уточнение некоторых результатов. Здесь можно упомянуть работы А.А.Полянского [35], Г.Бабаева [36], Дж.Пергеля [37], Т.М.Федуловой [38, 39, 40]. Обобщение проблемы делителей рассматривали А.К.Каршиев, Л.И.Уфимцева в работах [41, 42, 43], Л.Ф.Кондакова [44, 45].

Изучение суммирования мультипликативных функций - одно из магистральных направлений развития аналитической теории чисел. Теория мультипликативных функций, ориентированная на приложения к вероятностной теории чисел, получила серьезное развитие в работах Б.В.Левина и его учеников - А.С.Файнлейба, Н.М.Тимофеева, С.Туляганова, Май Тхук Нгоя и других.

Еще одно важное направление вероятностной теории чисел связанно с применением метода моментов при нахождении предельных законов распределения для сумм от «колеблющихся арифметических функций». Первый результат подобного- типа получили Р.Форте [46] и М.Кац [47], которые доказали, что сумма значений периодической функции от лакунарной последовательности в пределе подчиняется нормальному закону распределения вероятностей. С помощью нового метода А.Г.Постников и М.П.Минеев оценили скорость сходимости к предельному распределению [254, 276]. Кроме того, в работах [284], [147] ими было установлено, что модуль «короткой» рациональной тригонометрической суммы подчиняется закону распределения, который сходится к показательному при возрастании знаменателя суммы.

В настоящее время проблемы нахождения предельного распределения для «коротких» сумм арифметических функций исследуются В.Н.Чубариковым и его школой. При этом обнаружилось, что вид конкретного распределения может подчиняться не только закону Гаусса, но и другим законам. В частности, в работе Э.К.Жимбо [48] доказана теорема, о том, что модуль исследуемой им короткой суммы асимптотически имеет показательное распределение. Тем самым использование вероятностных методов в задачах теории чисел, оказывает обратное воздействие на развитие тех разделов математики, из которых современная теория чисел заимствовала некоторые свои основы.

Данные исследования нашли применение в математической статистике при проверке статистических гипотез, что имеет важное прикладное значение.

В третьей* главе прослежен вклад советских математиков, в частности А.Я.Хинчина и Ю.В.Линника в область применения вероятностных методов к арифметическим проблемам. Рассмотрена их деятельность с целью выявления взаимодействия теоретико-вероятностного и теоретико-числового* подхода в их творчестве и его влияние на формирование вероятностной теории чисел в данный период времени.

Александр Яковлевич Хинчин (1894-1959), с 1927 года профессор' МГУ, с 1932 года - заведующий кафедрой'математического-анализа, в-Московском университете (до 1957г.). С 1932 года по 1934 - директор НИИ'математики-МГУ. В 1935 году доктор физико-математических наук (без защиты* диссертации). В 1939 году избран* членом-корреспондентом АН СССР; а в 1944г. - академиком АПН РСФСР.

Основное направление деятельности А.Я.Хинчина связано с теорией функций действительного переменного, теорией чисел, теорией вероятностей и математическими основами статистической физики.

В теории чисел основные интересы А.Я.Хинчина были сосредоточены в области диофантовых приближений, и метрических задач теории чисел. [49] Ряд результатов относится к метрической теории непрерывных дробей. [50]. К области неметрических задач теории чисел относятся работы по теории диофантовых приближений и работы на теорему о сложении последовательностей целых чисел. [51, 52, 53]

Среди результатов А.Я.Хинчина в теории диофантовых приближений-ему принадлежит важный принцип переноса, который- связывает решение линейных неравенств в целых числах с диофантовыми- приближениями коэффициентов аппроксимирующих линейных форм. Принцип переноса широко используется в современных исследованиях по теории диофантовых приближений.

Цикл работ 1946-1948 гг. посвящен обобщению теоремы Чебышева о решениях в целых числах неравенства \вк-у-а <гт, гДе & ~ иррациональное, И а а - произвольно вещественно заданные числа. В этих работах была построена также теория оценок в ряде вопросов диофантовых приближений-ранее лишь качественно изученных Л.Кронекером [54-64].

Следует отметить, что А.Я.Хинчин является автором известных популярных книг по теории чисел «Цепные дроби» [ОНТИ, 1935, 2-е изд. ГТТИ, 1949.] и «Три жемчужины теории чисел» [ГТТИ, 1947, 2-е изд].

Интерес А.Я.Хинчина к теории вероятностей, прежде всего, был вызван задачами теории чисел. В [65] он уточнил результат Г.Харди и Дж.Литтлвуда о частоте распределения нулей и единиц в двоичном разложении действительных^ чисел. Через год в работе [66], указанную проблему А.Я1Хинчин трактовал как задачу теории вероятностей для схемы Бернулли и получил уже окончательную формулировку имеющейся^ закономерности. Опубликованный' результат получил наименование закона повторного логарифма.

Следующий цикл работ относится к классическим проблемам суммирования независимых случайных величин. Среди полученных результатов можно указать на условие применимости закона больших чисел в случае одинаково распределенных слагаемых [67] на окончательное условие сходимости нормированных сумм к нормальному закону так же в предположении одинаково распределенных слагаемых [68], на введение понятия относительной устойчивости сумм для случая' неотрицательных слагаемых [69]. Однако центральным достижением А.Я.Хинчина в развитии этих задач теории вероятностей является построение общей теории,предельных теорем для сумм независимых случайных величин [70].

К теории безгранично- делимых распределений относятся' работы А.Я.Хинчина по арифметике законов распределения [71]. Полученный А.Я.Хинчиным совместно с А.Н.Колмогоровым основополагающий результат

72] дает необходимые и достаточные условия сходимости рядов, членами которых являются независимые случайные величины. В области предельных теорем для сумм, образующих цепь Маркова, А.Я.Хинчин существенно развил и дополнил методы А.Н.Колмогорова и И.Г.Петровского и дал систематическое изложение всей этой области в монографии [73]. Важнейшим вкладом А.Я.Хинчина в теорию вероятностей, а также в математические средства современной физики и техники следует считать создание им в 1932 - 1934 гг. основ общей теории стационарных случайных процессов в работах [74-76]. Помимо введения в рассмотрение понятия общего стационарного процесса, А.Я.Хинчину принадлежит ряд результатов относительно закона больших чисел, о поведении коэффициента автокорреляции, выведена формула интегрального представления коэффициентов автокорреляции. Особое упоминание в этом цикле работ занимает эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина [77], которую можно трактовать как усиленный закон больших чисел.

Юрий Владимирович Линник (1915 -1972), защитил диссертацию в 1940г, за которую ему, минуя кандидатскую степень, была присуждена ученая степень доктора физико-математических наук. В 1953 г. он был избран членом-корреспондентом, в 1954 г.—академиком АН СССР:

Сначала интересы Ю.В.Линника были обращены к теории чисел, а позднее он обратился к теории вероятностей и математической статистике.

Первые работы Ю.В.Линника по теории чисел относились к аналитической теории квадратичных форм. Используя аппарат арифметики кватернионов и эрмитионов, Ю.В.Линник создал оригинальный аналитико-алгебраический метод, который получил название эргодического метода в теории чисел. Наиболее существенным приложением эргодического метода является теорема Ю.В.Линника об асимптотической равномерности распределения, целых точек на сфере растущего радиуса.

После этого в 1941г. ЮЛЗ.Линник опубликовал статью, которая несла в себе оригинальную арифметическую процедуру «просеивания», развивая при этом метод решета Вигго Бруна.

После создания метода большого решета Ю. В. Линник занимался развитием теории L-функций Дирихле L(s, %), где х — характер Дирихле (mod D), и ее приложениями к теории простых чисел. Ю.В.Линник обобщил плотностные теоремы на. L-функции и вывел из них ряд важных арифметических следствий, включая новое решение тернарной проблемы-Гольдбаха [78].

Ю.В.Линнику принадлежит создание- еще одного мощного метода аналитической теории чисел, специально- предназначенного для решения аддитивных задач бинарного типа, получившего название дисперсионного метода. Основной- его идеей является введение понятия «дисперсии» числа решений бинарного уравнения и-вывод основного неравенства^ для1 дисперсии-с помощью приема, сглаживания- из метода- И.М.Виноградова- оценки двойных сумм и- последующим-' применением' аналога неравенства Чебышева. С помощью дисперсионного-метода Ю:В. Линник решил классическую проблему. Харди — Литтлвуда и проблему делителей* Титчмарша. В; дальнейшем* в дисперсионный- метод были привнесены эргодические соображения, что существенно расширило его возможности- и позволило, в частности, получить асимптотическую-формулу в обобщенном уравнении Харди — Литтлвуда. п = р + <р(х,у), где ф — целочисленная квадратичная,форма.

Ю.В.Линник разработал весьма удобный р-адический вариант метода И.М. Виноградова в теории«тригонометрических сумм Г.Вейля. В работе [1, с.297] он дал элементарное доказательство теоремы Варинга [1, с.ЗОЗ].

Первые работы Ю.В.Линника по теории вероятностей были* посвящены оценке скорости сходимости распределений сумм независимых случайны величин к нормальному распределению. Этой- классической проблеме теории вероятностей посвящен- ряд работ П.Л:Чебышева, А.М.Ляпунова, А.А.Маркова, Г.Крамера, К.Г.Эссеена и других авторов. Ю:В.Линник принципиально улучшил оценки Ляпунова и Эссеена, для остаточного члена в центральной предельной теореме.

В 1948—1949 гг. Ю.В.Линник получил результаты, содержащие полные решения двух центральных проблем в теории суммирования случайных величии, связанных в цепь Маркова. Одна из них была поставлена основателем теории цепей А.А.Марковым и относилась к условиям применимости интегральной предельной теоремы для случая сингулярной цепи. Ю.В.Линник дал почти исчерпывающее решение вопроса для неоднородной цепи с произвольным конечным числом состояний. Вторая проблема относилась к условиям справедливости локальной предельной теоремы для решетчатых величин, связанных в цепь. Важной особенностью методики этой работы, в значительной мере способствовавшей ее успеху, оказалось привлечение соображений, используемых при изучении тригонометрических сумм в теории чисел.

Ю.В.Линником написан важный цикл работ по предельным теоремам для. вероятностей больших уклонений сумм независимых случайных величин, ему принадлежит ряд работ по теории разложения вероятностных законов.

Рассматривая в целом математическую деятельность А.Я.Хинчина и Ю.В. Линника в области теории чисел и теории вероятностей, необходимо отметить, что каждый из них, несомненно, входил в число крупнейших математиков двадцатого столетия.

Оба они широко применяли арифметические идеи в областях математики, лежащие за пределами теории чисел. Однако из них только Ю.В.Линник систематически и явно использовал теоретико-вероятностные соображения в своих арифметических исследованиях. Он явился автором основных методов современной вероятностной теории чисел и по праву считается одним из ее основоположников.

В четвертой главе диссертации исследуется творчество Бориса Максимовича Бредихина, одного из ярких отечественных математиков, работавших в области вероятностной теории чисел.

24 •

Борис Максимович Бредихин (18Л2.1920-8.02.1994). Ученый-математик,, педагог, доктор физико-математических наук (1963), профессор (1965): С февраля-1956 г. до конца жизни работал заведующим кафедрой алгебры, теории чисел и методики преподавания математики; Куйбышевского Государственного пе дагогиче ского •университета.

Исследования Б.М;Бредихина'можно разделить на три периода. Первый из них относится к 1953 - 1961 годам, второй к 1962 - 1972 и заключительный третий период охватывает 1973 - 1994 годы.

Работы; первого периода относятся к задачам/ изучения: поведения арифметических: функций на полугруппах,, которые являются в основном подмножествами; натурального ряда. Начало- этой: тематики было* заложено в работах Н.Г.Чудакова продолжено Ю.В.Линником, В.А.Родосским, Б.М.Бредихиным и другими авторами.

В своих первых работах, составивших основу его кандидатской диссертации, Б.М.Бредихин изучает свойства характеров числовых групп с конечной и с достаточно редкой бесконечной базой. [80]-[82]. Он доказывает неограниченность сумматорной функции, для таких характеров, существенно обобщая известный результат Н.Г.Чудакова и Ю.В .Линника [79].

В; последующих работах Борис Максимович изучает связи между арифметической плотностью образующих полугруппы и асимптотической плотностью полугруппы. Используя и развивая- технику теории теорем тауберова типа, он устанавливает взаимные, связи, между асимптотикой для плотности всех элементов полугрупп и асимптотикой плотности ее базисных элементов [83]-[91],[92],[93].

G начала 50-х годов 20-го века начинается второй период математического творчества Б.М.Бредихина.

В> 1961 году он опубликовал доказательство двух утверждений;, которые являются классическими аналогами бинарной проблемы Гольдбаха и проблемы Харди - Литтлвуда для^алгебраических многочленов с целым коэффициентами [94]. '■■:' 25 ■

Начиная с 1962 года Б.М.Бредихин публикует работы по дисперсионному методу. Незадолго до этого автор этого метода Ю.В.Линник дал безусловное доказательство'проблемы, Харди - Литтлвуда о представлении натуральных п в виде п р-тх2 + у2, где р - простое, а х и ^ - целые числа. Б.М.Бредихин внес существенные изменения в доказательство Ю.В.Линника, устранил отдельные неточности и, опираясь, на методы решета К.Хооли, улучшил оценку остаточного члена в асимптотической формуле для количества преставлений. Последняя оценка оказалась даже лучше тощ которая, была условно получена в 1957 году известным* английский математиком; К.Хооли в- предположении справедливости- расширенной» гипотезы Римана для Ь-функций Дирихле [95]-[100], [103]. .

Развивая; свои идеи, Б.М:Бредихин в 1963 году решил проблему Серпинского-1 оломба о бесконечности простых р, представимых в виде: х2 +у2 +1 и нашел асимптотику для: количества- таких: р. ;Эти результаты составили основу докторской« диссертации, защищенные - им в 1963 году в МИАНе им В.А.Стеклова.

В совместных работах с Ю:В.Линником им была получена асимптотика для? количества решений- уравнения Харди - Литтлвуда в секторах и доказана разрешимость обобщенного уравнения; Харди - Литтлвуда. для произвольных показательно определенных бинарных квадратичных форм с целыми-коэффициентами [101], [102], [105]. При доказательстве этих результатов-существенно использовались открытые Ю.В.Линником эргодические свойства значений квадратичных форм.

В последней совместной? работе Б.М.Бредихин и Ю.В.Линник подвели некоторые итоги развития^ дисперсионного метода и в частном- случае дали доказательство тернарной проблемы Гольдбаха, о представлении нечетных чисел в виде суммы трех простых [107].

В 70 - е годы XX века Б.М.Бредихин продолжает интенсивно работать над развитием данного метода в это время ему удается расширить его возможности за счет привлечения идей и метода решета, включая неравенства, большого решета Э.Бомбьери - А.И.Виноградова, малое решето А.Сельберга и обертывающее решето К.Хооли. Модернизированный- таким образом дисперсионный- метод Б.М.Бредихин называет методом сглаживания [109, с. 89].

В течение 70-х - 80-х годов прошлого века Б.М.Бредихину и его ученикам удалось практически полностью выполнить план - программу Ю.В.Линника, которая в оригинальной формулировке звучит как «возвращение классических задач аддитивной теории- чисел в их «отчий дом» - элементарную теорию сравнений и элементарную теорию простых чисел». [112, с. 349] Самое существенное состоит в том, что в 1974 - 1975 годах Б.М.Бредихину вместе с Н.А.Яковлевой [108] удалось методом сглаживания полностью решить тернарную проблему Гольдбаха, а в 1978 году в соавторстве с Т.И.Гришиной он тем же методом дал полное решение проблемы Варинга, причем, порядок верхней оценки функции 0(п)-соответствует современному [111].

В пятой главе проведено исследование научной деятельности А.Г.Постникова. Во вступительной части главы приводятся краткие биографические сведения о жизни и деятельности А.Г.Постникова.

Алексей Георгиевич Постников родился 12 июня 1921 года. С 1939г по 1946 год учился в Московском Государственном университете им. Ломоносова на отделении математики механико-математического факультета. В 1946г. поступил в аспирантуру научно-исследовательского Института математики и в 1949 году защитил кандидатскую диссертацию по теме дифференциальная независимость дзета-функции Римана. С 1950 года работал в Математическом институте им. В.А. Стеклова (МИАН), в отделе теории чисел.

В 1955 году в статье «О сумме характеров по модулю равному степени простого числа» [124] А.Г.Постников доказал формулу для представления характера Дирихле по модулю, равному степени простого числа, через тригонометрическую функцию от многочлена, и тем самым задача об оценке сумм характеров была сведена к оценкам тригонометрических сумм Г. Вейля.

Данная; статья,^ легла в основу его докторской диссертации, а формула,, полученная-в ней, теперь называется формулой Постникова.

Результаты научной деятельности А.Г.Постникова опубликованы более чем в4 пятидесяти статьях и в- четырех монографиях. Это «Арифметическое моделирование случайных процессов» (1960г.); «Эргодические вопросы теории сравнений и теории диофантовых приближений» (1966г.),. «Введение в аналитическую теорию чисел» (1971г.),, «Тауберова теория- и ее применения»' (1979г.>

Алексей Георгиевич принимал активное участие: в организации: и проведении научных школ, конференций, съездов и другой« научно-организационной работе. Большое: внимание он уделял научно-педагогической-деятельности; отдавая! много сил и энергии руководству аспирантами? и стажерами, чтению лекций и проведению семинаров. Среди его учеников доктора и кандидаты наук. Алексей Георгиевич бескорыстно помогал людям. В общении с людьми его отличала; доброжелательность. У Алексея Георгиевича учились видеть глубинные жизненные течения, учились преданности истине;

Алексей Георгиевич'Постников скончался 22 марта 1995 года на 74 году жизни [5].

Основное содержание главы, посвящено изложению и анализу математической деятельности; А.Г.Постникова. Рассматриваются все основные научные публикации расклассифицированные по двенадцати: различным направлениям. Наша классификация в основном соответствует той, которая; предложена в статье М.П.Минеева, Л.Г.Постниковой, В.Н.Чубарикова [5] и является ее уточнением и развитием.

Каждому направлению математической деятельности: А.Г.Постникова' посвящен отдельный параграф пятой главы. Для каждой из его математических работ, из полного списка- публикаций, проведено: реферирование: и распределение попараграфам в соответствии с:предложенной1 классификацией:

В: первом параграфе рассматриваются работы по дифференциальноt разностной независимости рядов Дирихле. К данному направлению исследования относятся работы [114], [128], [153], а также его кандидатская диссертация «О дифференциальной независимости рядов Дирихле».

Работы данного цикла посвящены проблеме гипертрансцендентности и дифференциальной независимости классических производящих рядов Дирихле, включая дзета-функцию Римана и Ь-функции Дирихле. Начало данному направлению было положено в. знаменитом докладе Д.Гильберта на II Международном конгрессе математиков в Париже 8 августа 1900 года; посвященном постановке* знаменитых 23-х проблем Гильберта. Наиболее существенной заслугой Алексей Георгиевича в данной области является; теорема- О' дифференциальной' независимости нескольких Ь-функций, отвечающие характерам* Дирихле по разным модулям. Значительно/ позднее мощный толчок в, исследованиях по этой теме дали работы С.М.Воронина [173], которые положили начало нового направления в теории чисел, связанного с исследованием свойства «универсальности» которым обладают «почти все» аналитические функции.

Второй- параграф, посвящен работам, связанным с применением и развитием /?-адического анализа. В их число входит знаменитый результат А.Г.Постникова о представлении характера Дирихле по-модулю, являющийся степенью некоторого простого числа в виде тригонометрической функции от многочлена с рациональными коэффициентами. Этим результатом Алексей Георгиевич открыл целое направление в аналитической теории чисел, связанное с исследованием свойств аналитических функций, определенных в полях р-адических и /-адических чисел и их аналогов. Оно затрагивает целый ряд важнейших арифметических и алгебраических задач в современной математике. Сюда относятся оценки неполных сумм характеров по модулю, равному степени простого числа, оценка остатка в асимптотическом законе распределения- простых чисел в арифметических прогрессиях по такому же модулю.

Третий параграф охватывает исследования по равномерному распределению значений дробных долей арифметических функций и дио фантовым приближениям. К данному направлению относятся семь работ А.Г. Постникова [117], [119], [120], [121], [130], [137], [148]. В них он развивает методы А.Я.Хинчина и Р.О.Кузьмина и, используя новые оригинальные соображения,.получает новые результаты в теории диофантовых приближений и в вопросах распределения дробных долей. Особый интерес представляют здесь новые оценки тригонометрических сумм от показательной функции.

Работы четвертого параграфа примыкают к работам третьего. Но несут в себе важную методологическую нагрузку, в связи с чем, мы снова обратимся к ним в двенадцатом параграфе при обсуждении концептуально-методологических подходов в» творчестве А.Г.Постникова. В рамках этого параграфа рассматривается пять работ. К центральным результатам, полученным Алексей Георгиевичем в работах этого цикла относится критерий равномерного распределения дробных долей показательной функции и свойства последовательности быть вполне равномерно распределенной.

В пятом параграфе рассматриваются! работы по теоремам абелева и тауберова типа в их связи с общей аддитивной теорией- чисел. Эти исследования охватывают одиннадцать публикаций и занимают большое место в его творчестве. Тауберовы теоремы являются необходимым аппаратом не только аналитической теории чисел, включая, прежде всего .вероятностную* теорию чисел, но и теорию- вероятностей, математическую статистику, дифференциальные уравнения в частных производных и другие разделы математики. К числу ярких результатов А.Г.Постникова по тауберовой теории принадлежит его теорема, касающаяся общих рядов Дирихле, а также тауберовой теоремы в комплексной области с остаточными членами, первые результаты по которым принадлежат именно ему. А.Г.Постников нашел важное приложение теорем тауберова типа при выводе асимптотики для числа решений аддитивных задач теории чисел с растущим числом слагаемых. При этом была выявлена отчетливая вероятностная природа таких задач состоящая в стирании арифметических особенностей слагаемых и возникновении гауссова закона в главном члене асимптотической формулы для количества ее решений.

Итоги своим исследованиям по тауберовой теории и свои взгляды на ее развитие А.Г.Постников подвел в монографии «Тауберова теория и ее применение» [167].

Три работы А.Г.Постникова относятся к исследованиям по эргодической теории и динамическим системам. Эти исследования рассматриваются нами в шестом параграфе пятой главы. Вопросы эргодической теории привлекали повышенное внимание Алексея Георгиевича, который ощущал ее связь с вероятностными аспектами арифметики. Этой- проблематике посвящена его4 книга «Эргодические вопросы теории сравнений и теории диофантовых приближений» [152], в основу которой'положена аналогия между механикой* и аналитической' теорией чисел. Данная; книга охватывает материал других публикаций А.Г.Постникова по эргодической теории и динамическим системам. В'ней-рассматриваются те вопросы механики, в которых исследуется-кинематическая картина изменения, совершающегося во времени1. Математическая задача ставится как описание траекторий- систем-дифференциальных уравнений. При более абстрактном, подходе изучаются, динамические системы, при этом, «время» понимается в широком смысле: Временем, например, может быть последовательность натуральных чисел.

Эргодическая трактовка ряда задач теории чисел, подобно геометрической трактовке в геометрии чисел, - одна из возможных и нисколько не обязательных- интерпретаций материала. Но такую интерпретацию- допускают многие задачи теории сравнений, теории диофантовых приближений, теории квадратичных форм.

Основной замысел книги состоит в выработке эргодического подхода к различным задачам аналитической теорией чисел. Среди них рассматривается вывод известной* оценки А.Вейля для полной- рациональной тригонометрической суммы, по простому модулю исходя» из асимптотической формулы для числа решений уравнения у-ур = тхх + т2х2 + . + тпхп в конечном поле из р элементов для произвольного простого р>3.

Другая задача в рассматриваемой книге связана с распределением дробных долей матричной показательной функции. Здесь с помощью эргодического метода доказывается критерий Полосуева-Циглера, касающийся равномерного распределения дробных долей матричной показательной функции.

Возможности эргодического метода демонстрируются также при исследовании распределения дробных долей показательной функции вида где а - это вещественное число специального вида, g - любое натуральное число, а х=1,2,. В результате для конкретных законов^ распределения строится подходящее число а такое что дробные доли распределены по данному закону. Особое внимание при этом уделяется равномерному закону распределения. И еще одной важной проблемой, исследование которой ведется в книге на основе эргодического метода, является задача нахождения-предельного закона распределения для значений широкого класса периодических функций на множестве значений* арифметической, порождаемой показательной функцией вида

Седьмой параграф пятой- главы посвящен рассмотрению работ А.Г.Постникова по теории вероятностей и задаче арифметического моделирования случайных процессов. На тему теории вероятностей опубликовано три его работы [140], [170], [168]. В работе [140] доказывается усиленный закон больших чисел для выборки из равномерно распределенной случайной величины и улучшается результат В.И.Гливенко о использовании значений последовательных реализаций равномерно распределенной случайной величины при вычислении кратных интегралов. Работы [170], [168] посвящены оценкам функции концентрации от векторных случайных величин, улучшающие классические результаты Дж.Эссена [174], [175]. Оценки А.Г.Постникова основаны, на использовании развитых им методов вероятностной теории чисел. Этот факт является еще одним примером обратного воздействия арифметических идей на проблемы, теории вероятностей.

Проблемы арифметического моделирования случайных процессов рассматриваются в монографии А.Г.Постникова [146]. Данная проблематика имеет не только большое практическое значение, но и глубокий методологический интерес о чем говорит ее очень давняя история, продолжающаяся до настоящего времени. Среди ученых интересовавшихся,ею, А.Г.Постников ссылается на Венна (1888г.), Х.Копеленда (1928г.), Р.Мизеса (1930г.), Х.Рейенбаха (1932г.), Кендала и Смита (1938г.), Штейнгаусса (1956г.), и других. Давно подмеченные «стохастические» особенности многих арифметических функций привели к тому, что именно данные функции обычно используются в качестве основного инструмента при моделировании случайных процессов. В своей5 монографии А.Г.Постников в этом вопросе использует в основном близкие ему по тематике исследований дробные доли показательной функции вида {«¿г*}- Его интересует по большей части теоретические и концептуальные вопросы арифметического моделирования. В' то же время в книге предложен алгоритм построения арифметической последовательности порожденным некоторым вещественным числом а и имеющим нормальные по Бернулли последовательность знаков в д-ичной системе исчисления, где д-любое фиксированное натуральное число. В книге доказывается ряд теорем, устанавливающих взаимосвязь вполне распределенной по функции / последовательности и нормальной распределенности по Бернулли последовательности знаков, а также о полном распределении последовательности значений случайной величины, имеющей заданную функцию распределения-/(х).

В восьмом параграфе рассматриваются работы А.Г.Постникова относящиеся непосредственно к вероятностной теории чисел [125],[147], [161], [165], [168], включая-книгу [160]. Монография в основном охватывает материал этих работ, и кроме того в. ней изложены важные концептуальные подходы А.ППостникова. В связи с этим другое освещение содержания этих работ дается в двенадцатом параграфе, посвященном концептуально-методологическим вопросам.

В девятом параграфе рассмотрены три работы Алексея Георгиевича [164], [166], [172] по элементарным методам в теории сравнений по простому модулю. Они посвящены одному выдающемуся открытию, сделанному А.Г.Постниковым в теории решения сравнений по простому модулю. С 1953 г. по инициативе И:М.Виноградова Алексей Георгиевич активно занимался поиском элементарного доказательства оценки А.Вейля полной суммы характеров Дирихле от многочлена. Эти поиски привели к новому методу оценок подобных сумм. В 1967г. в своем выступлении на Всесоюзной школе по теории чисел в г. Душанбе академик И.Р.Шафаревич вновь обратил внимание специалистов по аналитической■ теории чисел на полное отсутствие каких-либо элементарных оценок для числа решений уравнения вида у2 = /(х)(тойр), асимптотику которого > при р -»со как раз давала указанная выше теорема, А.Вейля. Сразу после этой конференции А.Г.Постникову удалось получить элементарное доказательство следующей теоремы.

Теорема. Пусть р > 3 - простое число и - количество решений сравнения у = х + ах + Ь(то&'р). Тогда справедлива оценка

Особняком стоят работы А.Г.Постникова [140],[158], которым посвящены десятый и одиннадцатый параграфы. Они касаются задачи о плотнейшей упаковке шаров, являющейся классической проблемой геометрии чисел и некоторой модификации вопроса распределения целых точек в круге, связанной с распределением собственных значений оператора Лапласа на плоскости. Обе работы содержат новые глубокие арифметические результаты. Они показывают широту математических интересов Алексея Георгиевича.

Особое место в наших исследованиях математического творчества А.Г.Постникова занимает двенадцатый параграф пятой главы, который посвящен концептуально-методологическим основам вероятностной теории чисел. Мы рассматриваем научно-методологические принципы Алексея Георгиевича и его взгляды на развитие вероятностных методов в теории чисел, изложенные в его работе «Вероятностные методы в теории чисел» [160], опубликованной в 1974 году.

Цель данной книги, по определению ее автора, состоит в анализе реализации идей теории- вероятностей в их приложениях к задачам теории чисел и обратного влияния арифметических методов на исследования в области теории вероятностей. А.Г.Постников пишет: «Есть логическое единство мира.одна и та же сущность является нам в разных одеяниях. Одна из форм творчества состоит в том; что ученый, вдумываясь в разного рода аналогии, исследуя «пограничные вопросы», вскрывает это единство» [160, с. 4].

В книге выделено три направленияшероятностной теории чисел. Первое из них связано с выявлением стохастических закономерностей в классических аддитивных проблемах теории чисел таких, как проблема Варинга. Эти закономерности обнаруживаются при неограниченном возрастании числа слагаемых. Второе направление, определяемое как задачи связанные с числовой вероятностью, рассматривает вопросы распределения- значений арифметических функций, и третье направление касается распределения«1 дробных долей показательной функции. В определенном смысле данная классификация отражает собственные научные интересы А.Г.Постникова.

Каждому из указанных направлений в книге [160] посвящен отдельный параграф. А.Г.Постникова следует рассматривать как основоположника первого из перечисленных направлений. Именно он впервые предложил новую постановку проблемы Варинга, при которой количество слагаемых неограниченно возрастает. Он первым обнаружил, что увеличение количества слагаемых производит «стирание» тонкой арифметической структуры задачи, «стирание» особого ряда и отчетливое возникновение гауссова закона распределения.

Второе направление в вероятностной теории чисел, связанное по А.Г.Постникову с выявлением предельных законов распределения значений арифметических функций, можно считать основным в вероятностной теории чисел. К нему относится ряд крупных результатов самого Алексея Георгиевича.

Можно указать на статью [161], в которой впервые была дана оценка остаточного члена в известной теореме Деланжа о средних значениях мультипликативной функции на множестве простых чисел.

Анализ развития, вероятностной теории чисел проведенный А.Г.Постниковым в этом параграфе проработан нами при написании второй главы настоящей диссертации и тем самым достаточно полно в ней отражен.

Мы выделили только взгляд А.Г.Постникова на аналитический стиль вероятностной теории чисел, подразумевая под этим постановки рассматриваемых проблем и методов их решения. А.Г. Постников останавливается на аналитическом стиле вероятностной теории чисел, подразумевая под этим постановки рассматриваемых задач и методы их решения. В этом смысле он, на первый взгляд, парадоксально характеризует вероятностную теорию чисел как* вероятную теорию чисел без теории вероятностей. Последнее утверждение следует понимать, видимо, в том« смысле, что теория вероятностей формальноне присутствует ни в задачах,, ни в методах вероятностной теории« чисел, но в идейном отношении, является ее методологической основой.

Третий параграф книги носит название распределение дробных долей показательной функции. Задачи на распределение дробных долей показательной функции можно разделить на две группы:

1. Индивидуальная теория. В данном случае речь идет о распределении дробных долей показательной функции для какого-либо фиксированного числа а.

2. Метрическая теория. Здесь речь идет об изучении меры множества чисел а, для которых справедливо то или иное свойство последовательности дробных долей показательной функции.

Вопросы, касающиеся индивидуальной теории, то есть распределения дробных долей показательной функции в той форме уже рассматривались нами ранее. Обращаясь к метрическим задачам о распределении дробных долей показательной функции. А.Г.Постников говорит о том, что это область наиболее тесно связана с теорией вероятностей. При этом связь между задачами теории вероятностей и задачами метрической теории распределения дробных долей показательной функции оказало большое влияние на развитие теории вероятностей, это отражено, в частности, в книге М.Каца «Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел».

Математические исследования А.Г.Постникова по вероятностной теории чисел и другим направлениям математики были продолжены в работах его учеников и многих других математиков, ряд из которых был упомянут нами ранее. Но, обращаясь к их творчеству, мы, по существу, переходим в область анализа современных научных исследований, что, вообще говоря, не является предметом изучения истории математики, а представляет собой материал для обзорных статей и докладов. Их обычно делают действующие специалисты по конкретным научным направлениям науки. Тем самым мы подошли к естественному завершению собственных исследований.

Шестая, и последняя глава диссертации целиком относится к аналитической теории чисел. Полученные в ней результаты являются прямым продолжением исследований Алексея Георгиевича Постникова, связанные с применением его формулы, позволяющей выразить значение суммы характеров Дирихле по модулю равному степени простого числа, через тригонометрическую сумму специального вида [124, 134, 176].

В работе А.А. Карацубы [177] такие суммы названы L-суммами. Они оценивались А.Г. Постниковым [124,134], А.А.Карацубой [178], В.Н. Чубариковым [179], Б.А. Турешбаевым [180] и другими. В тех же работах данные оценки применялись к суммам характеров.

В диссертации получен следующий результата.

Теорема . Пусть х ~ неглавный характер по модулю q = Q", где Q фиксированное простое число и q-> со. Рассмотрим сумму yZN о где (а, О) =1 и N0<Q". Тогда справедлива ог(енка

I ПП-\ ср = ———, Су = 0,000151. - положительная постоянная и (р>(р0 достаточно \riNb велико.

Заметим, что оценки суммы Ж0 имели тот же вид, но «эффективное» значение константы с1 до сих пор получено не было.

Оценка того же типа получена в теореме 3 для сумм характеров от дробно-линейной функции. Ее результат формулируется следующим образом: Пусть х ~ неглавный характер по модулю q = Q"> где <2 - фиксированное простое число и д оо. Обозначим через IV сумму вида УУ = ^ X о \ ау + а

Ру + а где

1п7У0 5^

Тогда при Ф Бг имеет место оценка « -^о ', ¿Эе Д, = с6^с» 2 с6 = 0,000047. - положительная постоянная.

Та же оценка справедлива и в том случае, когда = но с1х не сравнимо с (12 по модулю при условии, что щ < 0,5п.

Следует отметить, что короткие суммы характеров от дробно-линейной функции ранее не рассматривались.

Основной результат главы 6 доказывается в теореме 4. в нем при фиксированном значении простого б для коротких сумм характеров Дирихле по модулю q = Qn получена оценка коротких сумм характеров по сдвинутым простым числам. Доказана справедливость следующего утверждения: для значения константы с в основной теореме имеет место неравенство с > 1,504 -Ю"6 .

Заметим, что ранее оценки коротких сумм характеров оценивались только для простого модуля д, причем они были получены в работах И.М.

Виноградова [181] и A.A. Карацубы [182] лишь для значения N » , где s > 0 - сколь угодно мало.

В заключении подводятся итоги и формулируются основные положения, которые выносятся на защиту.

Диссертация содержит 262 страницы текста и состоит из введения, шести глав, заключения и списка использованной литературы (336 наименований). Основные результаты опубликованы в 12 работах автора, список которых приводится в конце диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Завершающим этапом исследований отраженных в настоящей диссертации является краткая формулировка ее результатов и положений, выносимых на, защиту. /

I. В соответствии с целями исследования, заявленными во введении; дан анализ творчества крупнейших, российских математиков, дореволюционного периода, работавших как в области теории чисел так и в- области теории вероятностей. Конкретно' рассматривались . работы. академиков М;В:Остроградского (1801-1861), В.Я.Буняковского (1807-1889), П.Л.Чебышева (1821-1894), А.А.Маркова (1856 - 1922). Основным предметом; анализа их творчества было обнаружение источников развития общих методов сыгравших? в XX веке важную роль в формировании вероятностной теории чисел.

Ознакомление с каждой из работ МШЮстроградского иВЖБуняковскогсн по теории чисел и теории вероятностей показало, , что каждый? из них; внес: существенный' вклад в развитие этих математических дисциплин и заложил фундамент школы теории чисел и теории вероятностей в России.

Непосредственной разработкой; методов; ставших инструментом;; вероятностной теории чисел занимались П.Л.Чебышев и А.А.Марков. Сопоставляя арифметические и вероятностные аспекты в деятельности крупнейших российских математиков дореволюционного периода; следует отметить, что прямого воздействия вероятностного подхода к арифметическим исследованиям не:наблюдается; С другой стороны, в этих областях математики обнаруживается применение общих подходов и математических методов. Его можно . рассматривать как проявление единства математической^ научной основы данных математических дисциплин.

Родственные постановки проблем в арифметике и; теории вероятностей способствовали использованию одних и тех же или похожих методов для* их изучения. Здесь, прежде всего, следует указать, на метод производящих функций и различные комбинаторные соображения, включая; изучение свойств биномиальных коэффициентов. Тем не менее, время широкого арифметического применения таких методов как метод характеристических функций, метод тригонометрических сумм, метод сглаживания, дисперсионный метод, метод моментов как методов, имеющих теоретико-вероятностные истоки, еще не наступило.

Вероятностная теория чисел как отдельная математическая-дисциплина стала формироваться в начале двадцатого столетия, хотя ее границы были очерчены достаточно поздно. Наиболее отчетливо это сделал известный российский математик А.Г.Постников в книге «Вероятностная теория-чисел» [160] в 1974 году, который определил это научное направление как «применение методов теории вероятностей к теории чисел». Сам термин «вероятностная теория чисел» был впервые введен Й.П.Кубилюсом в его докторской диссертации 1957 году. Последнее утверждение следует понимать, в том смысле, что теория вероятностей формально^ не присутствует ни в задачах, ни в методах вероятностной теории' чисел, но в идейном отношении является ее методологической основой.

К числу арифметических проблем, в изучении которых применение вероятностных методов оказалось особенно эффективным, можно выделить задачи мультипликативной теории чисел. Вероятностные соображения, и сейчас являются основным инструментом в исследовании подобных задач, поэтому технический аппарат, разработанный для их решения, обычно рассматривается как атрибут вероятностной теории чисел.

В развитии вероятностной теории чисел приняли участие такие известные математики как С.Вигерт, Г.Харди, Дж.Литллвуд, С.Рамануджан, П.Эрдеш, М.Кац, Й.П.Кубилюс, Дж.Эссен, Я.В.Успенский, П.Туран, А.Реньи, Г.А.Фрейман, Г.Давенопорт, Ю;В.Линник, Б.М.Бредихин, И.М.Виноградов,

A.Г.Постников, Н.М.Тимофеев, Б.В.Левин, М.П.Минеев, Н.Г.Чудаков,,

B.А.Родосский и другие математики.

Одно из важнейших направлений вероятностной теории чисел состоит в нахождении асимптотических законов распределения мультипликативных и аддитивных функций. Другим основным направлением является нахождение асимптотических законов в классических аддитивных проблемах теории чисел при растущем количестве слагаемых. Еще одно важное направление вероятностной теории чисел связано с применением метода моментов при нахождении предельных законов распределения для сумм от «колеблющихся»арифметических функций и от функций, заданных на лакунарных последовательностях.

К вероятностной теории чисел примыкают также вопросы, связанные с применением эргодической теории и теории динамических систем. И, наконец, к вероятностной теории чисел имеют отношение проблемы, решаемые комбинированным применением дисперсионного метода Ю.В.Линника различных вариантов метода решета, включая классическую тернарную проблему Гольдбаха проблему Варинга.

В диссертации представлены основные моменты в развитии исследований по данным направлениям.

Ш. В диссертации рассмотрена деятельность крупнейших советских математиков члена-корреспондента АН СССР А.Я.Хинчина (1894 - 1959) и академика Ю.В. Линника (1915 - 1972) в области теории чисел и теории вероятностей с целью выявления взаимодействия стохастического и арифметического подхода к задачам теории чисел в их творчестве, а также их влияние на формирование вероятностной теории чисел. Основное направление деятельности А.Я.Хинчина связано с теорией функций действительного переменного, теории чисел и теории вероятностей и математическими основами статистической физики. В теории чисел его основные интересы были сосредоточены в области диофантовых приближений и метрических задач теории чисел. Ряд результатов относится к метрической теории непрерывных дробей. К области неметрических задач теории чисел относятся работы по теории диофантовых приближений и работы на теорему о сложении последовательностей целых чисел.

Интерес А.Я.Хинчина к теории вероятностей, прежде всего, был вызван задачами теории чисел.

А.Я.Хинчин по праву считается одним из создателей современной теории вероятностей и, несомненно, входит в число крупнейших мировых математиков XX века. Среди его многочисленных выдающихся работ достаточно упомянуть открытый им закон повторного логарифма, описывающий поведение суммы независимых случайных величин при неограниченном возрастании количества слагаемых. И хотя арифметические работы А.Я.Хинчина не имеют прямого отношения к вероятностной теории чисел, тем не менее, его творчество является связующим звеном между работами математиков прошлого и настоящего времени, касающихся проблем арифметической и стохастической природы.

Академик Ю.В.Линник является выдающимся советским математиком. Его научные интересы были целиком сосредоточены в области теории чисел и теории вероятностей. Он является одним из непосредственных создателей вероятностной теории чисел. Ю.В.Линник разработал мощный метод аналитической теории чисел предназначенный в основном для решения аддитивных задач бинарного типа, получившего название дисперсионного метода. Этот метод является одним из основных в вероятностной теории чисел.

Прямое отношение к вероятностной теории чисел имеет также развитый Ю.В.Линником эргодический метод в теории распределения целых точек на поверхностях второго порядка.

Именно в результате арифметических исследований Ю.В.Линника вероятностная теория чисел оформилась как самостоятельное направление аналитической теории чисел.

IV. В диссертации исследована математическая деятельность Б.М.Бредихина (1920 - 1994), одного из ярких отечественных математиков работавших в области вероятностной теории чисел. В его творчестве нами выделено три отдельных периода.

Первый из них относится к 1953 - 1961 годам, второй к 1962 - 1972 и заключительный третий период охватывает 1973 - 1994 годы.

Работы первого периода относятся к задачам изучения' поведения арифметических функций на полугруппах, которые являются в основном подмножествами натурального ряда.

Второй период в,творчестве:Б;М.Бредихина связан в основном с развитием дисперсионного метода с методами решета и методами эргодической теории.

Одним из блестящих результатов;, полученных им в. этот период явилось решение проблемы Серпинского-Голомба о бесконечности, простых р, представимых в виде х2 +уг+ 1.

Завершающий: период деятельности Б.М.Бредихина увенчался; работой нового метода: аналитической теории чисел, получившего название: метода сглаживания; с помощью которого удалось получить новое8 доказательство» тернарной' проблемы Гольбаха и проблемы Варинга, отвечающие современным; требованиям? . точности результата и свободное от применения! метода; тригонометрических сумм. .Тем самым была практическшполностью выполнена', план - программа Ю.В;Линника, которая в оригинальной формулировке звучит как; «возвращение: классических задач аддитивной теории- чисел в их «отчий; дом» - элементарную теорию сравнений и элементарную- теорию: простых чисел».

V. В диссертации приведен подробный анализ: математических, работ А.Г.Постникова, одного из крупнейших отечественных специалистов в области теории чисел. Ему принадлежит заслуга определения-: вероятностной теории чисел как вероятностной теории чисел без теории вероятностей, имея ввиду то обстоятельство, что теория вероятностей формально не присутствует ни в задачах, ни в методах вероятностной теории чисел, но в идейном отношении является ее методологической основой.,

В. диссертационной работе уточняется; классификация математических трудов;. предложенная¡. М.П. Минеевым, Л.П.Постниковой и В:Н.Чубариковым. При этом: проведен анализ всех основных публикаций . А.Г.Постникова по математике, включая- четыре его монографии. Существенное место в исследованиях отведено вероятностной теории чисел и теории вероятностей.

Важное место в них занимает также методологическое осмысление арифметических и стохастических аспектов в математике. В то же время А.Г.Постникова интересовали и другие математические задачи, не имеющие прямого отношения ни к теории чисел, ни к теории вероятностей.

VI. В диссертации получены следующие результаты относящиеся к аналитической теории чисел.

1) Дана новая оценка тригонометрических сумм специального вида, носящих название Ь-сумм.

2) Указано явное числовое значение константы в показателе степенного понижения в оценке коротких сумм характеров Дирихле по модулю равного степени простого числа.

3) Для модулей того же типа, впервые получены оценки коротких сумм характеров от дробно-рациональной функции.

4) Для тех же модулей получены не тривиальные оценки сумм характеров по сдвинутым простым числам для случая, когда отношение логарифмов длины промежутков суммирования и величины модуля характера Дирихле может быть сколь угодно малым.

225

1. Линник Ю.В. «Избранные труды» - Л., Наука, 1979.

2. Математика в современном мире: материалы 2-й Российской научно-практической конференции 8-9 октября, 2004 года, Калуга/ Под. Ред. Ю.А. Дробышева. Калуга: Изд-во КГПУ им. Циолковского, 2004. - 393с.

3. Delange Н. Probabilistic Number Theory.//Ramanuj an Revisited: proceedings of the centenary conference University of Illinois at Urbana-Champaign, June 1-5, 1987.

4. Kac M. Probability methods in some problems of analysis and number theory., Bull. Amer. Math. Soc.,55 (1949), 641-665.

5. Минеев М.П., Посникова Л.П., Чубариков В.Н. Исследования А.Г. Постникова по теории чисел (к 80-летию со дня рождения)//Избранные труды. Под ред. В.Н. Чубарикова. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 3-17с.

6. Кубилюс Й.П. Вероятностные методы в теории чисел. // Госполитнучиздат Литов.ССР, Вильнюс. 1962.

7. Кац М.Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе-и теории чисел, М.-, 1963.

8. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике / Кац М.; Минлос Р.А. (пер. с англ.). 2-е изд., стер. - М.: Едиторная УРСС, 2002г.-273с.

9. Tables des racines primitives pour tous les nombres premiers audessous de 200. Mem. Acad. sci. St.-Petersb., (6),sci. math. Et phys., t. 1 (3), 1838, pp. 359-388. To же: полн. Собр. Соч., т. 3, Киев, 1961, стр. 76-99.

10. Бернштейн С.Н. Теория вероятностей, 4-е изд., М. Л., 1946г. П.Виноградов И.М., Новое решение проблемы Варинга., ДАН, т.2, №6, 1934.

11. Turan P. On a theorem of Hardy and Ramanuj an.// J. London Math. Soc. 1934, 9. №4. 274-276.

12. Чебышев П. Л. Полн. собр. соч., т И. М.-Л., 1947. 520с.

13. Nagell Т. Generalisation d-un theoreme Tchebusheff. J. Math. Pures Appl. (8), 4 (1921), 343-356.

14. Hooley С. On the greatest prime factor of a quadratic polynomial; Acta; Math., 11.7 (1967), 281-299.

15. Делоне Б.Н.Развигие теории чисел в России. Уч. зап. МГУ, вып. 91, т. 1, кн. 1, стр. 77-96.

16. Wigert S., Sur Fordre de grandeur du nombre des diviseurs d'un entire, Arkiv for Math.,Astr., och Fhysik 3, №18, 1907, 1-9.

17. Ramannujan S. Collected Papers, Cambridge Univ. Press. 1927.

18. Дроздова А.А., Фрейман Г.А. Оценки некоторых арифметических функций, Учен. зап. Елабуж. гос. пед. ин-та 3, 1958. 160-165.20; Hardy G.H. Ramanujan S. The normal number of prime factors of a number. -Quart. J. Pure and Appl. Math.,1917,№48, s.76-92.

19. Успенский Я.В. Асимптотические выражения числовых функций в задачах о разбиении чисел на слагаемые Изв. АН СССР, 1920.

20. Фрейман Г.А., Проблема Варинга с растущим числом слагаемых, Учен;, зат Елабуж. гос. пед. ин-та3:, 1958, 105-119.

21. Renyi A., Turan P., On a theorem of Erdos Кас, Acta Arith., 4(1958), 71 -84.

22. Davenport H. Uber numeri abundantes. Sitzungsbericht Acad. Wiss Berlin, 27 (1933), 830-837.

23. Линник Ю.В. Дисперсионный метод в. бинарных аддитивных задачах» д. Ленинград. Универ., 1961.

24. Виноградов. И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. -М.: Наука, 1976.

25. Бредихин Б.М. Бинарные аддитивные проблемы; неопределенного типа. II. Аналог проблемы Харди-Литтлвуда. — Изв. АН СССР. Сер. мат., 1963, т.27, №3, с. 577-612. .

26. Бредихин Б.М: Улучшение остаточного члена в проблемах типа Харди-Литтлвуда. Вестник ЛГУ, 1962, №19. Сер. мат., мех., астрон., вып.4, с. 133137,'. . •

27. Бредихин Б.М. Бинарные аддитивные проблемы неопределенного типа:. III! Аддитивная проблема делителей. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1963, т. 27, №4, с. 777-794.

28. Бредихин Б.М Применение дисперсионного метода? в бинарных аддитивных проблемах: ДАН СССР, 1963,т. 149^ №1, с:.9-Ш.

29. Бредихин Б.М. Бинарные аддитивные проблемы неопределенного типа: IV. Аналог проблемы Харди-Литтлвуда. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1964, т.28, №6, с. 1409-1440. :

30. Полянский A.A., Решение проблемы Харди Литтлвуда ее неопределенного аналога в секторах и контурах. - ДАН СССР, 1966, т. 168, №1, с. 25-27.

31. Бабаев Г. Решение обобщенной задачи Харди-Литтлвуда в секторах. — ДАН СССР, 1967, т. 175,№2, с. 263-265.

32. Pergel J. Generalization of Linnik's asymptotic formula for the additive problem- of divisors to Gaussian numbers.-Studia sei. math, hung., 1967, vol; 2, №1-2, p. 133-151.

33. Федулова T.M. Решение некоторых аддитивных задач: Волжск., мат. сб., 1969, вып. 7, с. 184-189.

34. Федулова Т.М. Применение дисперсионного метода в аддитивных задачах с ограниченным набором простых чисел. ДАН СССР, 1970, т. 191, №2, с. 290-292.

35. Федулова Т.М. Некоторое обобщение проблемы Харди-Литтлвуда.- В кн.: Исследования по теории чисел. Вып. 1. Куйбышев, 1971, с. 35-43".

36. Каршиев А.К. Обобщенная проблема делителей Титчмарша. — науч. Тр. Бухарск. Гос. Пед. Инс-та, 1969, вып. 18(4), с. 36-61.

37. Уфимцева Л.И. Доказательство теоремы И.М. Виноградова с помощью дисперсионного метода.- Волжск. Мат. Сб., 1971, вып. 8, 1971, с. 200-205.

38. Уфимцева Л.И. Обобщение аддитивной проблемы делителей. в кн.: Исследования по теории чисел. Вып. 1. Куйбышев, 1971, с. 19-34.

39. Кондакова Л.Ф. Об одной аддитивной задаче смешанного типа. В кн.: Исследования по теории чисел. Вып. 1. Куйбышев, 1971, с. 3-18.

40. Кондакова Л'.Ф.Применение'большого решета к решению аддитивных задач. Мат. Заметки, 1971, т. 10, №1, с. 73-81.

41. Fortet R. Su rune suite également repartie.// Studia math., 1940, 1, 54-69.

42. Kac M. On distribution of values of sums of the type ^/(2^)//Апп. Math.1946, 47, №1,33-49.

43. Жимбо Э.К. Асимптотическое поведение арифметических функций вклассах вычетов.// Автореферат на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. М.: 2000.

44. Хинчин А.Я. Zur metrischen Theorie der diophantischen Apporximationen, Math. Zeitschr. 24, 706-714, 1926.

45. Хинчин А .Я. Metrische Kettenbruchproblem, Compos. Math. 1, 361-382, 1935; Zur metrischen Kettenbruchtheorie, Compos. Math. 3, 276-285,1936.

46. Хинчин А.Я. Zur additiven Zahlentheorie, Матем. Сб. 39. 27-34, 1932.

47. Хинчин А.Я. О сложении последовательностей натуральных чисел, Матем. Сб. 6 (48), 161-166, 1939.s

48. Хинчин А.Я. О сложении последовательностей натуральных чисел, УМН, вып. 7, 57-61, 1940.

49. Хинчин-А.Я. Элементарное ведение в теорию вероятностей; ГТТИ, 1946,t2.е изд., 1950, 3-е изд.;совместно с Б.В. Гнеденко.;1946.•S

50. Хинчин А.Я. Две теоремы связанные с задачей Чебышева, Изв. АН, 11, 105-110;1947.

51. Хинчин А.Я. Об одном предельном случае апроксимационной теоремы Кронекера; ДАН, 56, 563-565; 1947.

52. Хинчин А.Я. Об одной общей теореме теории линейных диофантовых приближений, ДАН, 56, 679-681; 1947.

53. Хинчин А.Я. Теорема переноса, для сингулярных систем линейных уравнений, ДАН, 59, 217-218, 1948;

54. Хинчин А.Я. К теории линейных диофантовых приближений, ДАН, 59, 865 -867, 1948;

55. Хинчин А.Я. Принцип Дирихле в теории Диофантовых приближений, УМН №, выпЗ, 1-28; 1948.

56. Хинчин А.Я. Количественная концепция аппроксимационной теории Кронекера, Из. АН, сер. матем. 12, 113-122, 1949;

57. Хинчин А.Я. О некоторых приложениях метода добавочной переменной, УМНЗ, вып. 6, 188-200, 1948;

58. Хинчин А.Я. Регулярные системы линейных уравнений и общая задача Чебышева, Изв АН, сер. матем. 12, 249-258, 1948;

59. Хинчин А.Я. О дробных частях линейной формы, Изв. АН, сер.матем. 13, 3-8, 1948

60. Хинчин А.Я. Ueber dyadische Bruch. Math. Zeitschr. 18, 109-116.

61. Хинчин А.Я. Ueber einen Satzder Wahrscheinlichkeitsrechnung, Fund. Math. 6, 9-20.

62. Хинчин А.Я. Sur la loi des grands nombres, Compt. Rend. Acad. Sc. (Paris) 188, 477-479,1929.

63. Хинчин А.Я. Sul dominio di attrazione della legge di Gauss, Giornale Ist. Ital. Attuari 7, 3-18, 1936.

64. Хинчин А.Я. Su una legge dei grand numeri generalizzata, Giornale Ist. Ital. Attuari 6, 371-393,1935.230 ■

65. Хинчин А.Я. Zur Theorie der unbeschranktteilbaren Verteilungsgesetze,, матем. Сб. 2 (44). 79-119, 1937.

66. Хинчин А.Я. Об арифметике,законов распределения; Бюлл. МГУ 1, 6-17, 1937.

67. Хинчин А.Я; Ueber Konvergenz von Reihen, deren Glieder durch den Zufall bestimmt warden. Матем.сб. 32, 668-667, 1925.

68. Хинчин А.Я. Asymptotische Gesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Springer, 1933, ОНТИ, 1936.74: Хинчин А.Я. Sülle succassioni stazionarie di eventi, Giorn. Ist. ItaL D: Attuari, Anno 3, 3, 267-272.

69. Хинчин А.Я. Ueber stazionare Reihen zufalliger Variablen, матем.сб; 40, 124-128; 1933:.

70. Хинчин А.Я. Korrelationstheorie der Stationaren stochastischen Prozesse, Math. Ann. 109, 604-615, УМН, вып. 5, 42-51 (1938)/

71. Хинчин А.Я. Zu Birkhoffs Losung des Ergodenproblems, Math. Ann: 107, 485-488-1932.

72. Линник Ю.В. (1915-1972): Некролог /Успехи математических наук. 1973. т. XXVIII, вып. 2 (170) с. 197-213.полугрупп. ДАН СССР, 1954, 94, №4, 604-612.

73. Чудаков Н.Г. Линник Ю.В. Об одном классе вполне мультипликативных функций // ДАН СССР, 1950, т.74, №2, 193 196.

74. Бредихин Б.М: Характеры,- числовых полугрупп с конечной и. с бесконечной достаточно редкой базой. Автореферат дисс. на соискание уч. степ. канд. физ-мат. наук., Саратов, 1953. .

75. Бредихин Б.М. О характерах числовых полугрупп с достаточно редкой базой. ДАН СССР, нов. серия, 1953, 90 №5, 707-710.

76. Бредихин Б.М; О сумматорных функциях, характеров числовых полугрупп. ДАН СССР, 1954, т.94,№> 4, 604-612.

77. Бредихин Б.М.Некоторые вопросы теории характеров коммутативных полугрупп. «Тр. 3-го Всероссийского математического съезда» Т1. М., АН СССР, 1956, 3-4, 1957.

78. Бредихин Б.М. Некоторые вопросы, преподавания математики, в средней школе. Метод. Сборник. Ред. доц. Бредихин Б.М. и д.п.н. А.Г. Грекулова, Куйбышев, 1958.

79. Бредихин Б.М. Нормированные характеры коммутативных полугрупп. «Уч. зап. Куйбышевского гос. пед. инст-та», 1958, вып. 21, 269-2791'

80. Бредихин- Б.М. О' степенных плотностях некоторых подмножеств, свободных полугрупп. «Изв; высш. уч. заведений, математика», 1958, 3, 2430.

81. Бредихин Б.М: Свободные числовые полугруппы сог степенными плотностями; Матем. сб.*, 1958, 46, №2, 143-158.

82. Бредихин Б.М. Свободные числовые полугруппы со . степенными плотностями. ДАН СССР, 1958, т. 118, №5, с. 855-857.

83. Бредихин Б.М. Обращение некоторых теорем о степенных плотностях упорядоченных полугрупп «Уч: зап. Куйбышевского гос. пед. инст-та», 1959, вып. 29.13-20.

84. Бредихин Б.М. Элементарное решение обратных задач- о базисах свободных полугрупп. Матеем. сб., 1960, 50, №2, 221-232.

85. Бредихин Б.М. Остаточный член в асимптотической1 формуле для функции ус(х). «Изв. высш. уч. заведений, математика» 1960,' 6, 40-49:

86. Бредихин Б.М. Алгебраические аналоги некоторых аддитивных проблем. УМН; 1961, 16; №4, 137-139.

87. Бредихин Б.М Применение дисперсионного метода в бинарных аддитивных проблемах. ДАН СССР, 1963, т. 149; №1, с. 9-11.

88. Бредихин Б.М. Бинарные аддитивные проблемы неопределенного типа. I. Проблема делителей для сдвинутых простых чисел. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1963, т. 27, №2, с. 439-462.

89. Бредихин Б.М. Бинарные аддитивные проблемы неопределенного типа. П. Аналог проблемы Харди-Литтлвуда. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1963, т.27, №3, с. 577-612.

90. Бредихин Б.М. Бинарные аддитивные проблемы неопределенного типа. П1. Аддитивная проблема делителей. Изв. АН СССР: Сер. мат., 1963, т. 27, №4, с. 777-794.

91. Бредихин Б.М., Линник Ю.В. Бинарные аддитивные задачи с эргодическими свойствами решений. ДАН СССР, т. 166, №6, 1966, с. 12671269.

92. Бредихин Б.М. Дисперсионный метод Ю.В. Линника и бинарные аддитивные проблемы. В кн.: Исследования теории чисел. Вып.1, Саратов, 1966, с. 6-11.

93. Бредихин Б.М. Линник Ю.В. Применение теорем о простых числах в диофантовых задачах особого типа. «Мат. заметки», 1972, 12, №3, 243-250.

94. Бредихин, Б.М: Усовершенствование нового метода в тернарных и полутернарных задачах с простыми числами. ДАН СССР, 1974, т. 217, №1, с.14-16.

95. Бредихин Б.М. Новый метод в аналитической теории чисел, 1974.

96. Бредихин Б.М., Яковлева Н.А. Обоснование эвристического принципа в аддитивных задачах с простыми-числами Доклады на Всесоюзной конф. по теории чисел. Май 1974г. Мат. заметки, 1975, т.17, вып. 4, с. 659-668.

97. Бредихин Б.М. Метод сглаживания в нелинейных аддитивных задачах. Труды МИАН им. Стеклова, 1976, т. 142, с.88-100.

98. Бредихин Б.М., Гришина Т.И. Элементарная оценка G(n) в проблеме Варинга. — мат. Заметки, 1978, т. 24, №1, с. 7-18.

99. Бредихин Б.М. и др. Обзор работ Ю.В. Линника по теории чисел не вошедших в сборник «Ю.В. Линник." Избранные труды». В кн. «Ю.В. Линник Ю. В. Избранные труды». Л.: «Наука», 1980.

100. Бредихин Б.М. Дисперсионный метод Ю.В. Линника в аддитивной-теории чисел. В кн. «Ю.В. Линник. Избранные труды». Л.: «Наука», 1980.

101. Алексей Георгиевич Постников.//Некролог. УМН, т.53, вып. 1(319), 1998г.

102. Постников А.Г. О дифференциальной независимости рядов Дирихле// Докл. АКСССР. 1949. т.66 №4. С. 561-564.

103. Постников А.Г. Общая теорема абелева типа для степенного ряда //. Докл. АН СССР. 1954. Т.96.№5. с. 913-916.

104. Постников А.Г. О дифференциальной независимости рядов Дирихле. Канд. Дисс. МГУ. 1949. 1-29.

105. Постников А.Г. О структуре двумерных диофантовых приближений // Докл. АН СССР. 1951. Т.76.№4. с. 493-496.

106. Постников А.Г. Остаточный член в тауберовой теорема Харди и Литтлвуда//Докл. АН СССР. 1951. Т.77.№2. с. 193-196.

107. Постников А.Г. О некоторых тригонометрических неравенствах // Докл. АН СССР. 1951. Т.81.№4. с. 501-504.

108. Постников А.Г. Некоторые общие теоремы о равномерном распределении дробных долей // Докл. АН СССР. 1952. Т.84. .№2. с. 217220. (совместно с Н.М. Коробовым)

109. Постников А.Г. К вопросу о распределении дробных долей показательной функции // Докл. АН СССР. 1952. Т.86.№3. с. 473-476.

110. Постников А.Г. Тауберова теорема для рядов Дирихле // Докл. АН СССР. 1953. Т.92.№3. с. 487-490.

111. Постников А.Г. Общая теорема абелева типа для степенного ряда // Докл. АН СССР. 1954. Т.96.№5. с. 913-916.

112. Постников А.Г. О сумме характеров по модулю равному степени простого числа// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1955. Т19. №1.с.11-16.

113. Постников А.Г. Об одном применении центральной предельной теоремы теории вероятностей// УМН. 1955. - 10, вып. 1(63). - 147-149.

114. Постников А.Г. Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел // УМН. 1955. - 10. вып.4(66). - 75-87. (совместно с Н. П. Романовым)

115. Постников А.Г. Свойства решений диофантовых неравенств в поле формульных степенных рядов // Докл. АН СССР. 1956. Т.106.№1. с. 21-22.

116. Постников А.Г. Обобщение одной из задач Гильберта // Докл. АН СССР. 1956. Т.107.№4. с. 512-515.

117. Постников А.Г. Аддитивные задачи с растущим числом слагаемых // Докл. АН СССР. 1956. Т.108.№3. с. 392.

118. Постников А.Г. Оценка показательной тригонометрической суммы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1956. - 20, №5.-661- 666.

119. Постников А.Г. Аддитивные задачи с растущим числом слагаемых // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1956. - 20, №6. - 751- 764.

120. Постников А.Г. Свойства решений диофантовых неравенств в поле формальных степенных рядов // матем сб. 1956. - 40(82), вып. 3. - 295 -302.

121. Постников А.Г. Generalization of one of the Hilbert problems // Journal of the Indian Math. Soc. 1956. - XX,№1 -3.-207-216.

122. Постников А.Г. Нормальные по Ьернулли последовательности знаков // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1957. - 21, №4. - 501- 504. (совм. с И.И; Иятецким).

123. Постников А.Г. Об упаковке в большой куб .шаров двух сортов// Науч докл. Высш. Шк., физ-матем. Науки. 1958. - №1. - 25 - 27.

124. Постников; А.Г. Усиленный закон* больших чисел для выборки из равномерно распределенной случайной величины// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1958. - 22, №3. - 433- 438.

125. Постников А.Г. Решение системы конечно-разностных уравнений, соответствующих задаче Дирихле, с помощью нормальной последовательности знаков//Докл. АН СССР. 1958. - 123, №3. с. 407- 409.

126. Постников А.Г. Ein Analogon des Tarryschen Problems.fur. die Exponen tialfunktion// Sammelbandzu Ehren des 250 Geburtstages Leonharrd Eulers/ Arademie-Verlag. 1959. - 281 - 283.

127. Постников А.Г. Аддитивные- задачи-, с растущим числом слагаемых //Българска Академия на науките. Изв. на Матем. Ин-т. 1959. -4, книга Г.-73-77.

128. Постников А.Г. Исследования коротких рациональных тригонометрических сумм// Българска Академия на науките. Изв. на Матем. Ин-т. 1959. - 4, книга I. - 81-85.

129. Постников A.F. Арифметическое моделирование случайных процессов // Труды МИАН СССР. 1960. - 57. - 1-84.

130. Постников А.Г. Об очень короткой показательной рациональной тригонометрической сумме // Докл. АН СССР. 1960. - 133, №6. с. 1998 -1999.

131. Постников А.Г. О количестве попаданий дробных долей показательной функции на данный интервал // УМН. 1961. - 16. вып.3(99). - 201-205.

132. Постников А.Г. К семидесятилетию Ивана Матвеевича Виноградова // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1961. - 25, №5. - 621- 628.

133. Постников А.Г. Иван Матвеевич Виноградов (к семидесятилетию со дня рождения) // УМН. 1962. - 17. вып.2(104). - 201-214.(совм. с Ю.В. Линником)

134. Постников А.Г. Динамические системы в теории чисел // Тр. 4-го Всесоюзного матем. съезда. Секционные доклады (Ленинград, 3-12 июля 1961).-1964.- 11,-124-131.

135. Постников А.Г. Эргодические вопросы теории диофантовых приближений // Труды МИАН СССР. 1966. - 82. - 1-112.

136. Постников А.Г. Всесоюзная школа по метрической теории чисел // УМН. 1966. - 21. вып. 1(127). - 211-214.(совм. с К.Ю. Булотой)

137. Постников А.Г. О состоянии, и основных направлениях развития исследований в области аналитической теории чисел // УМН. 1967. - 22. вып. 1(135). - 201-214.(совм. с И.М. Виноградовым).

138. Постников А.Г. О развитии за последние годы аналитической теории чисел // Тр. Международного Конгресса матем., 1966. 1968. - с. 14 (совм. с И.М. Виноградовым).

139. Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел.: М. Наука, 1971, с. 416.237

140. Постников A.F. О числе решениш одного сравнения //Acta Arithmetica. — 1972.-21. с. 8 (совм. с Г.И. Перельмутером)

141. Постников А.Г. Об асимптотических свойствах сбственных функций оператора Лапласа // Mathematica (Румыния, Клуж). 1973. - 15(38),№1. — 101-118.

142. Постников А.Г. Школа «Аналитическая: теория чисел» // УМН. 1973. -28. вып.3(171). - 2-4.

143. Постников А.Г. Вероятностная теория чисел.: М., Знание. 1974. Вып; З.-с: 64.

144. Постников: А.Г. О теореме: Дёланжа // Сб. «Актуальные проблемы аналитической теории чисел». Минск. Наука и техника. 1974. - 168-177.' •

145. Постников А.Г. Культура занятий математикой (Из записок ученого).: М., Знание. 1975. Вып. 7. - с. 59.

146. Постников А.Г. Новый вывод формулы для числа классов бинарных квадратичных форм, отрицательного определителя в функциональном случае //Труды МИАН СССР. 1978. - 148.- 201-206.

147. Постников А.Г. Тауберова теория и ее применения // Труды МИАН СССР.- 1979.- 144.- 1-147.

148. Постников А.Г. Об оценке функции концентрации для суммы одинаково распределенных двумерных целочисленных независимых случайных векторов'// Теория- вероятностей. — 1981. 26, №1. - 156-160. (совм. с А. А. Юдиным). .

149. Постников А.Г. Об одной точной формуле в теории чисел // Мат. заметки. 1984. - 35, №6.

150. Постников А.Г. Оценка максимальной вероятности для суммы независимых случайных векторов // Теория вероятностей. — 1987. 33, №2. — 358-361. (совм. с А. А. Юдиным).

151. Постников А.Г. Introduction to Analytic Number Theory. Amer. Math. Soc.-1985.172: Постников А.Г. О существовании рациональных точек на^кривой над простым конечным полем // Исследования по теории чисел. Изд-во Саратовского ун-та. 1988. Вып. 10. - 4-8.

152. Воронин С.М. Избранные труды. Математика/ Под ред. А.А.Карацубы -М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2006г.

153. Esseen G.G. On the Kolmogorov Rogozin for the concentration function, Wahrscheinlichkeitstheor. Verw. Ceb., 5 (1966), 210 - 216: :

154. Esseen G.G. On the concentration function of sum of independent random variables, Wahrscheinlichkeitstheor. Verw. Ceb., 9 (1968), 290,-308.

155. Постников А.Г. Избранные труды// Под ред. В.Н. Чубарикова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 512 с.

156. Карацуба A.A. Тригонометрические суммы специального вида и их приложения. Изв. АН СССР, сер. матем. 28, №1, 1964, 237-248.

157. Тырина О.В. О средних- значениях сумм характеров Дирихле от рациональных функций и приложения. дисс. на соискание уч. степени к. ф.-м. н. М.: 2000.

158. Чубариков В.Н. Уточнение границы нулей L-рядов Дирихле по модулю равному степени простого, числа. Вестник Московского университета, №2, 1973, 46-72.

159. Турешбаев Б. А. О'средних значениях сумм характеров Дирихле от рациональных функций и приложения. Дисс. на соискание степени канд. ф.-м. наук. М., 2000.

160. Виноградов И.М. Оценка одной суммы, распространенной на, простые числа арифметической прогрессии. Изв. АН СССР. Сер. Мат., 1966, т.ЗО, №3, с. 481-496.

161. Карацуба A.A. Суммы характеров с простыми числами. — Изв. АН СССР, сер. матем. 34 (1970); 299-321

162. Васильев A.B. Целое число. Пгр., 1919 (2-е изд.: Пгр., 1922).

163. Васильев A.B. Математика. Пгр., 1921.

164. Ожигова Е.П. Развитие теории чисел в России. М., 2003.

165. Беспамятных Н.Д. Арифметические исследования в России в XIX в. Уч. зап. Гродненск. пед^ инст., вып. 2, 1957, стр. 3-42.

166. Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. М., 1946.

167. Рыбников К.А. История математики. М., т. 1, 1961, т.2, 1963.

168. Юшкевич А.П. История математики в России. М., 1968.

169. Делоне Б.Н. Петербургская школа теории чисел M.-JL, 1947.,

170. Венков Б.А. Элементарная теория чисел. M.-JL, 1937.

171. Виноградов И.М. Русская математика. Краткий очерк, развития оригинальных школ и направлений. Славяне, №5-6, 1942, стр. 74-75.

172. Депман И.Я. История арифметики. М., 1959.

173. Лихин В.В. Теория функций и чисел Бернулли и ее развитие в трудах отечественных математиков. ИМИ, вып. 12, 1959, стр.59-134.

174. Киселев A.A., Ожигова Е.П. К истории элементарного метода в теории чисел. Actes du XI Congres intern. d'Histuire des sciences (1965), t.3, Warszawa, 1967, pp. 244-249.

175. Морозова H.H. Теория чисел в русских университетах в XIX в. Автореф. канд. дисс., М., 1968.

176. ГнеденкоБ. В. Развитие теории вероятностей в России. Труды ин-та естествозн. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1948. T. II.

177. Колмогоров А.Н. Роль русской науки в развитии теории вероятностей. -Уч. зап. МГУ, 1947, 1, вып. 91.

178. Бернштейн С.Н. Современное состояние теории вероятностей. M.; JL: ГТТИ, 1933.

179. Беспамятных Н.Д. Математика в Вильнюсском университете (18031832): Уч. зап. Карельского пед. ин-та, 1963, вып. 14.

180. Бобынин В.В. Яков, I Бернулли и теория вероятностей. — Мат. Образование, 1914, №4.

181. Майстров JI.E. Теория вероятностей: исторический очерк. М.: Наука, 1967.

182. Хотимский В: Исторические корни теории вероятностей. Под знаменем марксизма, 1936, №1, №6.

183. Борн М. Физика, в жизни моего поколения: М., Изд-во иностр. лит., 1963, с.75.

184. Гнеденко Б. В. Михаил'Васильевич Остроградский. Гос. изд. т.-т. литры: М., 1952г. ;

185. Успенский Я.В. «Очерк научной деятельности A.A. Маркова». (Доложено в заседании Отдел физ.-мат. Наук 21 февраля 1923г. Ott. из «Известия Российской Академии наук»), 1923, с. 19-34.

186. Rademacher H. Einige Sätze ueber Reihen von allgemeinenen Orthogonalfunktionen, Math. Ann. Vol. 87 (1922) pp.l 12-138.

187. Khintchine A., Kolmogoroff A. Ueber Konvergenz von Reihen deren Glieder durch den Zuffall bestimmt werden, Ree. Math. (Mat. Sbornik) vol. 32 (1925) pp. 668-677.

188. Steinhaus H. Les probabilities denombrables et leur rapport a la theorie de la mesure, Fund. Math. Vol. 4 (1922) pp. 286-310.210: Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм;в теории чисел. М., Наука, 1980.

189. Реньи А. О представлении четных чисел в виде суммы простого и почти простого числа. Изв. АН СССР. Сер. Мат., 1948, т.12,№1, с.57-78.

190. Delange H. Sur les fonctions arithmétiques multiplicatives. Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 3 serie t. 78(1961), 273-304.

191. Erdos P., Kac A. The Gaussion law of errors in the theory of additive number theoretical functions. Amer. J. Math. 62 (1940), p. 738-742. Виноградов И.М., Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М., Наука, 1976.

192. Delange H. Un theoreme sur les functions arithmétiques multiplicatives et ses applications. Ann. Scient. Ec. Norm. Sup: 3 serie t/ 78(1961), 1-29.

193. Виноградов! И.М. Общее уравнение Харди-Литтлвуда. Мат. заметки, 1967, Т.1, №2, с. 189-197.

194. Бредихин Б.М., Уфимцева Л.И: Бинарные аддитивные задачи и мультипликативные функции. Труды математического ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР, 1972, т. 128; с. 66-75.

195. Бредихин Б.М. Усовершенствование нового метода в тернарных и полутернарных задачах с простыми числами. ДАН СССР, 1974; т. 217, №1, с.14-16.

196. Яковлева H.A. Решение некоторых аддитивных задач с простыми числами для почти всех п методом.элементарного сглаживания. науч. Тр. Куйбышев. Гос. Пед. Ин-та, 1975, т. 158, с. 58-67.

197. Лаврик А.Ф. К бинарным гипотезам теории простых чисел по методу Виноградова. ДАН СССР, 1960, т. 132, №5, с.1013-1015.

198. Бредихин Б.М. Метод сглаживания в нелинейных аддитивных задачах.-Труды Мат. Ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР, 1976, т. 142, с. 88-100.

199. Weyl H. Über die Gleichverteilung der Zanlen mod Eins.-Math. Ann., 1916, Bd 77, S. 313-352.

200. Новоселова E.B. Новый метод в вероятностной теории чисел. Изв АН СССР. Сер. Матем., т. 28,1964, №2, стр. 307-364.

201. Бояринов Р.Н. О распределении значений сумм, арифметических функций// Автореферат на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. М.: 2002.

202. Нгонго И.С. О распределении значений коротких сумм. // Автореферат на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. М.: 2002.

203. Хинчин А .Я. Основные законы, теории вероятностей, Ассоц. Ин-тов физмата МГУ, 1927; 2-е изд.,ГТТИ, 1932.

204. Хинчин А.Я. Asymptotische Gesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Springer, 1933, ОНТИ, 1936. 1934.

205. Хинчин А.Я. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, ГОНТИ, 1-116, 1938г.

206. Whiteman A. L. Cyclonomy and Jacobsthal sums.-«Amer. J. Math.», 1952, 84, 89-99.

207. Линник Ю.В. Большое решето., ДАН СССР, 1941, т. 30, №4.

208. Коробов Н.М. Распределение невычетов и первообразных корней в рекуррентных рядах. Докл. АН СССР, 1953, 88, №4, 603-605.

209. Hooley С. On the representation of a number as the sum of two squares and a prime. Acta Math., 97 (1957), 189-210.

210. Прохоров Ю.В. О работах Ю.В. Линника по теории вероятностей и математической статистике/ Теория вероятностей и ее применения. Т 10: Вып. 1.-М.: 1965, с. 117-129.

211. Линник Ю.В. Статистические задачи с мешающими параметрами. М., 1966, 252с.

212. Полянский A.A. Борис Максимович Бредихин. Самарский государственный педагогический институт. Физико-математический факультет. Доклады ежегодной научной конференции. Самара, СГПИ, 1994, 58с.

213. Куликова Е.В. Сообщение о конференции «Математическое образование: прошлое, настоящее, будущее», посвященную памяти Б.М. Бредихина.

214. Линник Ю.В., Островский И.В. Разложение случайных величин и векторов. М., 1972, 479с.

215. Бредихин Б.М. Эвристический принцип в аддитивной теории простых чисел. Куйбышев, пед. инст-т, 1978, т. 215, с.5-18.■ ' " 243

216. Владимиров B.C. Многомерное обобщение тауберовой теоремы Харди-Литтлвуда: Изв. АН СССР: Сер. Матем., 1976, 40, №5, с. 1084-1,101.

217. Кубилюс Й:П., Линник Ю.В. Арифметическое; моделирование броуновского движения. //Изв. Высших уч заведений, серия матем., 1959, 13, №6 88-95.

218. Khincnine A. Eine arithmetische Eigenschaft der summierbaremFiinktionen. -Матем. сб., 1934, вып. 1 (41), 11-13.

219. Haimos P.R. Measurabl transformation. Bull. Amer. Math. Soc., 1949, 55, N11, p.1035.

220. Will J. Etide critique de la notion de collectif. Paris, 1939

221. Постников А.Г. Арифметическое моделирование случайных процессов. -Труды МИАН СССР, I960., 57.

222. Райков Д.А. О некоторых арифметических свойствах суммируемых функций-Матеем. сб. 1936, 1 (43),,вып. 3, 377-384.

223. Шапиро-Пятецкий И.И. О законах распредлеления дробных долей показательной функции,- Изв. АН СССР, серия матем., 1951, 15, 47-52.

224. Постников А.Г. К вопросу о распределении дробных долей показательной функции.- Докл. АН СССР, 1952, 86, 473-476

225. Fotet R. Su rune suite également repartee. — Studia math., 1940, 1, 54-60. 253'. Ибрагимов^И. А. Асимтотическое распределение значений, некоторых суммю Вестник ЛГУ, 1960, №1, 55-69

226. Минеев М.П. Диофантово уравнение с показательной функцией и его-приложение к изучению эргодической суммы. Изв. АН» СССР; сер. Матем., 1958, 22, №5; 585-599

227. Мухутдинов Р:Х. Диофантово уравнение с матричной показательной функцией. Докл АН СССР. 1962, 142, №1, 36-38256: Рохлин В.А. Об эндоморфизмах компактных коммутативных групп: -Изв. АН СССР; серия матем., 1949; 13, 329-340

228. Полосуев, А. М. . О равномерности распределения системы-функций,являющихся решением системы линейных конечноразностных уравнений. —

229. Вестн. МГУ. Сер. Математика. Механика. 1960, №5, 29138258f. Ciegler J. Der individuelle Ergodensatz in der Theorie-der Gleichverteilungmod.-Д. Jl Reine und angew. Math., 1960,205,H. '/2,91-100

230. M.G. Kendall, B. Babington Smith. Randomnes and Ramdom Sampling

231. Numbers, Journ. Of the royal statistical Society, 101, 1, 1938, 147 166.260: H: Steinhaus. Uber einige prinzipielle Fragen der mathematischen Statistik,

232. Ber. Tagung Wahrscheinlichkeisrechnung und mathematischen Statistik, Berlin;1954; Berlin, 1956.

233. Соболь И. M. Псевдослучайные числа для машины «Стрела». Теория вероятностей и ее применения; 3, вып. 2 (1958), 205 211.

234. Venn. The Logic of Chance, London, 1888.

235. Мизес P. Вероятность и статистика, M., 1930.

236. Copeland H. Admissible numbers in the theory of probability, Amer. Journ. Of Math. 50,1928, pp. 535-552.

237. Reichenbach H., Axiomatik der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Math. Zeit. Bd. 34. 1932, 568-619.; 245- ■'•'

238. Коробов Н;М О некоторых вопросах равномерного распределения: Изв. Акад. Наук СССР, сер, Матем.,14 (1950), 215-231, .

239. Champernowne D:G. The construction of the decimals normal in the scale of ten, J. London Math. Soc., 8, 1933, 254-260.

240. Шапиро-Цятецкий И.И. 0 законах распределения дробных долей показательной^функции. Изв.: АН СССР, сер; Матем:, Г5 ( 19510,47-52:

241. Коробов Н:М: О нормальных, периодических системах; Изв;АН СССР,, сер. Матем., 16 (1952),211-216. . .272: Шахов. Ю.Н. Имитация простейших Марковских- процессов. Изв.АН СССР, сер.- Матем., 23 (1959),815-822.

242. Коробов Н.М. О некоторых вопросах равномерного распределения. Изв. АН СССР, сер. Матем., 14 (1950), 215-231.

243. Коробов Ht M. О вполне равномерном^ распределении и совместно нормальных числах, Изв. АН СССР , сер. Матем., 20 (1956), 649-660.

244. Рогозин Б. А. Об одной оценке функций концентраций, Теория вероятн. и ее примет, VI, 1 (1961), 103-105.278: Kendall M.G. В. Babington Smith. Randomnes and Random Sampling Numbers, Journ. Of the royal statistical Society, 101 (1938), 1,147-166. :

245. Steinhaus I I. Uber einige prinzipielle Fragen der mathematischen: Statistik. Ber. Tagung Wahrscheinlichkeitsrechnung und; mathematischen Statistik, Berlin, 1954; Berlin; 1956.

246. Ибрагимов И.А. Центральная предельная теорема для; сумм функций; от независимых величин; ш сумм вида£/(¿2*),. Теория- вероятностей; и ееприменение, XII, 4(1967), 655-665

247. Ладохин В. И;,, Москвин Д.А. Об оценке: остаточного, члена в>, центральной1; предельной теореме для сумм функций от независимых величин и сумм вида ^ ft2k), Теория вероят. и ее примен., XVI, 1 (1971),• I108.117.

248. Jacobsthal. Е. Über die Darstellung der Primzahlen der Form 4n+l als, Summe zweier Quadrate.- «J. reine und angew. Math.», 1907, 132, 238 -245.

249. Прохоров Ю.В. О локальной предельной; теореме для решетчатых, распределений: -ДА1ТСССР^т.98; 1954; №4, стр. 535-538:2841 Минеев М.П. Метрическая теорема о тригонометрических ; суммах; с быстрорастущими.функциями//УМН, 1959. 14. в.З., 169-171. f

250. Кравец A.C. «Вероятность . и системы»-Воронежского гос. Университета, 1970.

251. Иванов Г. Uber die Primteiler der Zahlen von der Form A + x2. Bull. Acad. Sei. Petersburg, 3 (1895), 361-367.

252. Weil А. On some exponentiabsums: Prog. Nat: Acadi Sei: USA, 1948, 34, №5,204-207.

253. Скубенко Б.Ф. Асимптотическое• распределение целых точек на однополостном гиперболоиде и эргодические теоремы. Изв. АН СССР сер. мат., 1962, т.26, №5, с. 721-752.

254. Леонов В.П. Некоторые применения старших семиинвариантов к теории стационарных случайных процессов. М., Наука, 1964.

255. Виноградов И.М. Распределение квадратичных вычетов и невычетов вида (р + к) по простому модулю. — Мат. Сб. Нов. Сер., 1938, т.З, вып.2, с.311-319. Рез на англ. яз.

256. Карацуба A.A.' Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1983 —240с.

257. Основные результаты опубликованы в следующих работах автора.

258. Копанева A.A. Применение формулы А.Г.Постникова для оценки коротких сумм характеров Дирихле по сдвинутым простым числам. // Вестник Московского университета. Серия 1, Математика и механика. 2008. №5. - М., - с. 62-65.

259. Жукова (Копанева) A.A. О математических работах Б.М. Бредихина. // Чебышевский сборник. Том. 6, вып. 2 (14) Тула: Издательство Тульского государственного педагогического университета им. Л.Н. Толстого, 2006. - с. 1-10.

260. Копанева A.A. О математической' деятельности А.Г. Постникова. // Чебышевский сборник. Том. 7, вып. 4 (20) Тула: Издательство Тульского государственного педагогического университета им. Л.Н. Толстого, 2006. - с. 122-178.

261. Копанева A.A. Об" особенностях,развития вероятностной.теории^чисел в середине XX столетия. // Математика в образовании. Сборник статей. Выпуск 4/ под. Ред. И.С. Емельяновой. Чебоксары: Изд-во Чувашского университета. 2008. - с. 180-189.