Релятивистские волновые уравнения с кратными представлениями и внутренние степени свободы частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ им. Б. И.СТЕПАНОВА

На правах рукописи

ПЛЕТЮХСВ Владимир Анестаееич

ШШВИСТСКИЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ И ВНУТРЕННИЕ СТЕПЕНИ СВОБОДО ЧАСТИЦ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Минск - 1992

Работа выполнена в Брестском государственном педагогической институте имени А.С.Пущина

Официальные оппонента: доктор физико-математических наук,

профессор Богуш A.A.

доктор физико-математических наук, профессор Шелепин Л.А.

доктор физико-математических наук, профессор Шишкин Г.В.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский технологически!

институт

Защита диссертации состоится " 2.Ъ " U-J-OKJ1; _]

в "^У^ часов на заседании Специализированного Совета Д OOS.Ш.02 при Институте физики вы.Б.И.Степанова АН Беларз (220602, Минск, пр.Скорины, 70)

С диссертацией ыожно ознакомиться в библиотеке Инститз физики АН Беларуси

Автореферат разослан " 1 &_" ЛЛ _ 1992 з

I. f !

Ученый секретарь Совета ¿i'SЮ.А.Курочю

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

-»»л-..

Актуальность темы. Теория релятивистских волновых уравнений ЗУ) первого порядна лежит в основе описания повеления элементар-с частиц. Установление калибровочного характера фундаментальных зимодействий, введение новых квантовнх чисел (аромат,'цвет и I.) привело к необходимости изучения возможностей явного учета волнительных степеней свободы в теории РВУ. Вопросы, возникающие г рассмотрении структуры частиц, также родственна данной пробле-гйне.

С единых позиций описываются пространственно-временные и вну-знние степени свободы в подходах типа Калуцы-Клейна, суперсим-грии-супергравитации, струнных и суперструнннх моделях. В рамках ории РВУ. естественной возможностью в этом плане является исполь-вание полей, преобразующихся по конечномерным представлениям уппы Лоренца, содержащим кратные (повторяющиеся) неприводимые ставляющиа, Особого внимания заслуживают здесь диракоподобные авнения тензорной природа, не распадающиеся, что важно подчерк-ть, в смысла полной группы Доренца. Пример такого РВУ - система рака-Кэлера (ДК), свойства которой позволяют использовать ее для ометризованного описания поколений дараковских частиц. Однако следовательная реализация указанного подхода', предполагающая еди-ю геометрическую трактовку всех внутренних* в том числе калибро-чных степеней. свободы ферыионов, обусловливает необходимость вве-ния и исследования уравнений большей размерности.

Применение кратных представлений группы Лоренца может оказать-нлодотворннм и с точки зрения разрешения известных трудностей, исущих теориям высшего спина. .......

Цель работы. На основе конечномерных РВУ первого порядка с атныыи представлениями дать описание (геометризованное) калибро-чных степеней свободы, а также показать возможность отображения руктуры элементарных частиц.

Научная новизна и праатическая ценность диссертационной ра-ты определяется тем, что в ней развиваются оригинальные методы теории РВУ, позволяющие существенно расширить область ее применил к описанию свойств элементарных частиц, дано обобщение теории Даули о связи спина и статистики на случай полай с некомпакт-

нши группами внутренне® симметрии, предложен новый подход к ра смотрению кварков в решеточной формулировке КД. В более подроб ном изложении:

- впервые получены две новые тензорные полевые системы с числом компонент волновой функции 32 и 48, даны классическая и квантов формулировки, дозводявдие описывать с их помощью дираковские по, с а 2 и (6,6) -внутренними симметриями соответствен

- новым вкладом является построение процедуры вторичного кванто: ния ЕВУ с внутренними степенями свободы, сопоставляемыми некомп; ктным грушам симметрии, а также установление возможности физич< ски непротиворечивого квантования таких уравнений по инверсной статистике (целый спин - по Ферми-Дираку, полуцелый - по Бозе-З штейну);

- новым является описание ферынонов на решетке, основанное на м; ричной формулировке тензорных полевых систем и естественно прив< дящее к теориям с и 5 и(Ъ) -симметриями;

- предложена новая методика исследования внутренних симметрийшс свойств ЕВУ первого порядка, рассмотрены конкретные примеры;

- установлен ряд характерных свойств класса диракоподобннх РВУ, которому относятся, в частности, система ДК и ее алгебраические обобщения;

- с использованием кратных представлений группы Лоренца построе! волновые уравнения для частиц со спинами О, I, Ц, отличающиеся с известных уравнений Даффква-Кеммера и Еаули-Фирца и удовлетворяв щие всем стандартным требованиям в теории ЕВУ;

- новым вкладом является установление возможности учета структзп частиц посредством использования расширенного набора представлений;

- предложен новый метод исследования РВУ с кратными представлен! ми на предмет их лоренц-ковариантного распадения или эквивалент! сти другим, более.простым уравнениям.

Апробация работа. Результаты диссертации докладывались на с шнарах ЛТФ и 1ФВЭ Института физики им.Б.И.Степанова АН РБ, кафе ры теоретической физики Белгосуниверситета им.В.И.Ленина, сессш Отделения ядерной физики ¿Н СССР, IX Международном совещании по проблемам квантовой теории поля (Дубна, 1990 г.).

Публикация. Основные результата диссертационной работы из-жены в 31 публикации.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав евятнадцати параграфов), заключения а приложения, содержит 280 раниц машинописного тенета и библиографический список литерату-из 348 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении дается обзор развития и современного состояния ¡ории РВУ, кратко формулируются задачи исследования и обосновы-[ется их актуальность, характеризуется структура диссертации, шводятся основные положения, выносимые на защиту.

Главы имеют следующие названия: Глава I - Кратные представле-ся в теории релятивистских волновых уравнений; Глава Е - Дирако-щобные волновые уравнения и поля с переменным сшном; Глава Ш -¡утренние симметрии релятивистских волновых уравнений; Глава 1У -связи спина и статистики в теории релятивистских волновых урав-!ний с некомпактными группами внутренней симметрии; Глава У -гометрические фермионн на решетке.

Перейдем к развернутой характеристике задач исследования ж злу?8иных результатов.

I. РВУ с кратными представлениями я дирзкододобные волновые уравнения, их симметрии

При построении ЕВУ первого порядка вида

(Гдх ъг * эгГо )У = 0 , (I)

де случай 1Го1Ф0 ( I Га 1-0) соответствует массивной (безыассо-ой) частице, исходят из некоторого набора Т = {Т} неприводимых редставлений X гоушш Лоренца, образукдах так называемую схему ацеплений. Обычно в (I) ограничиваются различными представлениями, ак, например, в уравнениях Дирака, Даффана-Кеммера, Паули-Фирца и р. Между тем, включение кратных компонент V в X значительно асширяет возможности метода как с точки зрения получения новых

уравнений, так и пространственно-временного описания внутренних степеней свобода частиц.

Среди РВУ с кратными представлениями группы Лоренца особое место занимают уравнения для полей с набором спиновых состояний и матрицами Г^ , удовлетворяющими перестановочным соотношение алгебры Клиффорда ' (так называемые диракоподобные РВУ). В § I Гл рассматриваются некоторые общие свойства этих уравнений. Доказываются две теоремы. Первая из них касается спиновой структуры дз ракоподобных волновых уравнений ж утверждает: р -инвариантное не распадающееся в смысле собственной группы Лоренца РВУ дираноз ского тшш для частицы с максимальный спином S оодержит вс? значения спина от О (J) до Smax . Иначе обстоит дело, вот требование нераспадения уравнения по собственной группе Лоренца заменить на более "слабое" условие нераспадения в смысле полной группы. В этом сллае базовая схема зацеплений может состоять и: двух самостоятельных Р -сопряженных: друг другу фрагментов, и наличие всех спинов от О ( %) до S тл% в структуре уравнеш становится необязательным. Однако и при таком условии существовг ние лишь одного целочисленного спина S у частицы, описываемо? диракоподобным РВУ, невозможно. Для полуцелого спина единственнс исключение из данного правила составляет уравнение Дирака. Соглг но второй теореме в случае целого спина минимальная размерность ЕВУ, удовлетворяющего требованиям диракоподобности и Р -января антности, равна 16 и отвечает схеме зацеплений неприводимых прел ставлений группы Лоренца

2(0,0)

(2)

(oti)—2(4>jf)—

содержащей двукратные компоненты (0,0) и (j> f) • Анализ сз мы (2), проделанный в § 2 Гл. Я, показывает, что на ее основе мс яет быть построено одно-единственное волновое уравнение дираков-ского типа, Р -инвариантное и допускающее лагранкеву формуляре ку. В тензорной форме оно совпадает с уке упоминавшейся выше системой ДК.

Использование расширенного набора представлений, в том числ

счет увеличения их кратности, связано при определенных услови-с появлением у ЕВУ первого порядка внутренней симметрии, сопо-1вляемой совокупности операторов {(5} , образующих алгебру Ли гдовле творящих соотношении

[О, А ]_= 0 (АвГ^д^ + ъГо) (V

эедполагается, что преобразования 0 не сводятся к масштабно-зовым и не затрагивают пространственно-временных координат). В I Гл. Ш в подходе Гельфанда-Яглома (И.М.Гельфанд, А.М.Яглом, 48) доказывается следующая теорема: для существования внутрен-й симметрии у (массивных) ЕВУ вида . .

(Г^др + х)У*0 (4)

югаточно, чтобы по крайней мере один спиновый блок С5 матрицы ч шел кратные ненулевые корни- Георема позволяет выявить ши-жий класс волновых уравнений, обладающих внутренней симметрией., нему относятся, в частности, все тензорные полевые системы, рас-<отрезные в Гл. Д, а также уравнение для спина 3/2, предложенное § 4 Гл.. I.

Если определение (3) расширить за счет операторов 0. , ком-

л

7тирувдих с А на множестве решений уравнения (I), т.е. О, А О , то оно будет вклвчать в себя и другие типы симыет-ей, описывающиеся алгебрами Ли, и, в частности, так называемую ополнительную инвариантность уравнения (I) (В.И.Фуцич, А.Г.Ники-ян, 1978). Существование этой симметрии является общей чертой сех РВУ первого порядка, в том числе содержащих кратные представ-:ения. В § 4 Гл. Ш разработан общий метод исследования дополни-ельной инвариантности массивных и безмассовых ЕВУ в матричном :одходе, установления ее групповой структуры я физического содер-¡ания. Суть его заключается в том, что с помощью соответствующего щеобразования Т^ осуществляется переход к такой системе отсчета, в которой уравнение (I), записанное в импульсном представлении, гриводится в более простому виду: (¿КЪГ1+СКЧГV + эг. Го) ;в массивном случае - ). Затем находят набор

итераторов {0о] , коммутирующих с матрицами Г3 , Гч , Г0 ; в

итоге операторы ф = Тд и определяют искомую алгебру гр;

дополнительной инвариантности исходного уравнения (I). Подроб; рассмотрены десятиыетная и четырнадцатшерная (двухпотенциальз формулировки уравнений Максвелла, безмассовое векторное поле < го типа, теория электромагнитного поля в пространстве с фуядаг тальной длиной. Исследовано влияние калибровочных .условий и к] ннх представлений на структуру группы дополнительной инвариант ста ЕВУ. Включение кратных представлений приводит к ее расшир? однако при наложении калибровочных условий, выделявших физичес число степеней свободы, присущих, например, фотону, имеет ыес^ дополнительная инвариантность относительно группы и (2) , не: симо от того, какие обобщения уравнений Максвелла рассматривав в качестве исходных. Дополнительная инвариантность уравнений с левой массой отражает симметрию, присущую поляризационному прс ранству описываемых ими полей. Ее физический смысл заключаете*, невозможности различения для свободного поля волн с различной ляризацией.

При работе с РВУ, содержащими кратные представления, приз дится учитывать следуадее немаловажное обстоятельство. Как изе стно, существенными параметрами уравнения (I) являются не сами элементы С-*. г. матрицы Гу (здесь по-прежнему подразумева ся использование базиса Гельфанда-Яглома (1Я), в котором Гу и ет вид прямой суммы спиновых блоков С* ® I), а их инвар антные комбинацш, не изменяющиеся при эквивалентных преобразо ниях. К последним, в -частности, относятся преобразования, сост щие в изменении нормировки отдельных неприводимых составляющих волновой функции У и называемые нормировочными или "допуст мныи".,. Допустимые преобразования не затрагивают вид инфинитези мальных операторов представления Т и квазидиагональную стру туру матрицы Гч , характерную для базиса 1Н, и не перемешива различные неприводимые компоненты т в Т , вследствие чего обеспечивают эквивалентность уравнений не только в случае своб ного поля, но ж при введении взаимодействий. При использовании кратных представлений к допустимы« относятся также и. неособеня линейные преобразования, перемешивающие эти представления. С и: помощью некоторые из элементов С в принципе можно обра^

тить в нуль (для всех 5 одновременно), что равносильно разры: соответствующих связей в исходной схеме зацеплений. В результа1

новятся возможными различные варианты, в том числе релятивист-инвариантное распадение рассматриваемого РВУ с кратными пред-влениями либо сведение его к уравнению с более простой структу-волновой функции». Неучет данного обстоятельства приводит к то-что некоторые авторы получают и исследуют РВУ, которые на самом в являются распадающимися, т.е. не могут описывать единый объ-1 - элементарную частицу, или эквивалентны в вышеуказанном смысле известным уравнениям С Г1. А. К . КЬа Ь' I , 197 & ; Р.М.МабЬеша .а!. ,1ЪЫ,19&Ч).

В связи с этим в § I Гл. I в общем виде рассматривается задача вхождении условий распадения РВУ с кратными представлениями груп-Лоренпа в подходе 1Я. Проведенное исследование показывает,, что : добавлении к произвольной исходной схеме зацеплений, не содержа кратных компонент, одного или нескольких неприводимых лред-¡влений, кратность которых становится равной двум, с помощью до-;ттых преобразований базиса всегда можно разорвать столько вновь >азущихся связей, сколько добавляется представлений. При выполнил определенных условий количество разорванных зацеплений может ¡заться достаточным для распадения волнового уравнения. Эти усло-I выписаны в явном виде. Проделанный анализ без труда может быть эбщен и на случай, когда кратность используемых представлений гьше двух.

В § 5 развиваемый подход применен для анализа безмассовых РВУ. ткретно исследована двухпотенциальная формулировка электродинами-и ее связь с однопотенциальной, т.е. обычными уравнениями Макета. Показано, что с помощью допустимых преобразований первая из с не может быть сведена ко второй. Поэтому, вообще говоря, если вводить в теории дополнительных условий, не содержащихся и на гекающюс из вариационного принципа, то указанные формулировки аьзя считать физически эквивалентными. Установлено также, что а наличии источников двух типов (электрических и магнитных) создание псевдовекторного характера магнитного поля с необходимо-ью требует двухпотеншальной формулировки электродинамики.

2. Примеры уравнений о одним спином

Наряду с уравнениями, описывающими набор спиновых состояний, аткые представления группы Лоренца могут быть использованы при строении РВУ для частиц с одним значением спина, причем как выс-го, так и низшего. В связи с развитием суперсиыметричных теорий

эта задача вновь приобрела актуальность. В §§ 2, 3 Гл. I получс уравнения для спинов 0 и Г и одной кассой покоя. Исходная схем? зацеплений

(0,0)

(0,1)—2 -а,0)

содержит двукратное векторное представление (^ > \) . Матрица искомых уравнений в базисе 1Н имеет структуру Гч - С° ® (С*® I где в случае спина О

-м

0 с01 / 0 0 1 ^

0 0 = 0 0 0 ;

0 0 1 0 0

с*=

о о

с<

0 с1 С1 1 г 0 0 1

0 г1 С1 0 0 1 ±1

с1 0 0 -1 0 0

Сгз 0 0 ?1 11 0 0

а в случае спина I

' 0 Чг Г°) ' 0 Л 1 4

0 0 = А 0 0 >

С,0, 0 0 Ч 0 0

С1-

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 г4 Чч г1 0 0 i а

0 с1 0 0 _ 0 1 0 0

0 ск 0 0 . 0 11 0 0

принята следующая нумерация неприводимых компонент в (5): 1,0)~1 , (12 >{)', (О, /) ~ V , (1,0) - 5 . Iтрица Гц обоих уравнений неприводимы к диагональному виду и ювлетворяют минимальному полиному

измерность пространства представления волновой функции У равна 5. Полученные уравнения удовлетворяют всем основным стандартным эебованиям в теории РВУ: они инвариантны относительно полной груп-1 Лоренца, не распадаются, обеспечивают дефинитную плотность энер-ш и могут быть получены из инвариантной функции Лагранжа. .

Рассмотрены кулоновское и комптоновское рассеяние скалярных и зкторных мезонов, описываемых предлагаемыми уравнениями. Расчет роизводатся на основе метода проективных операторов (Ф.И.Федоров, 958). Для вероятности рассеяния скалярной частицы в кулоновском олв в борновсном приближении получается вырааение

|р-р'|ч чае'

овпадающее с соответствующим выражением для дафйга-неммеровской калярной частицы. Аналогичное совпадение имеет место и для спина I. ри расчете яомптон-эффекта используется прием, заключающийся в выведении непосредственно самого матричного элемента И вместо вадрата его модуля /П12 = К VI2 (А.А.Богут, Ф.й.Федоров, 962). При этом вершинный оператор Я определяется с помощью под-:ода, опирающегося на гейзенберговское представление, через обрат-ый оператор (р+ те)"1 ( р = С р^ Г^ ) , который, в свою очередь, саходится с учетом вида минимального полинома для р {В.Я.Файнберг. !955; А.А.Богуш, Д.Г.Мороз, 1968). Это позволяет избежать трудно-¡тей, свойственных обычной теории возмущений в представлении взаи-юдействия для РВУ с недоагонализируемой матрицей Гч , и делает езлишней проверку ее применимости в рассматриваемом случае. В ре-¡ультате для дифференциального сечения комптон-эфйвкта в случае ¡калярной частицы, описываемой расширенным набором представлений [5), получается формула

еч

^'■ч^шш' [+ р'е'-р'е }2

*

- АС

х сГ(к-р'~ К') сГ(£ + и;-£'-ал') ,

(2 Я~)2 ~ - ~

отличающаяся от соответствующей формулы для скалярной -частицы Да фина-Кеммера (А.Й.Ахиезер, В.Б.Берестецкий, 1959)

«О«'»' ^Лк-Р'-К',

Аналогичная ситуация имеет место и для векторных частиц (явные в раження, характеризующие сечения процессов в этом случае, не выл сываются ввиду их громоздкости; в тексте диссертации они приведе Установленные различия связаны с тем, что рассматриваемые в боте ЕВУ позволяют описывать за счет расширения набора неприводи представлений в исходных уравнениях для свободных частиц специди ские структурные эффекты типа электрической и магнитной поляризу мостей при введении взаимодействия с внешним электромагнитным по минимальным способом, т.е. на основе принципа локальной калибров ной инвариантности (Б.Б.Кисель, 1984). Похожая картина имеет ыес и для неабелевых калибровочных взаимодействий (Л.Ф.Бабичев, А.Ф. дюк, Ф.И.Федоров, 1986). Такш образом, простое расширение испол зуеыого набора представлений за счет включения в него кратных ко понент дает возможность учитывать внутреннюю структуру частиц в ках обычного описания в теории ЕВУ посредством уравнений, не рас дающихся релятивистски-инвариантным образом и не содержащих допо нительных динамических переменных. Кроме того, обсуждаемые уравв ния, несмотря на неприводимость матрицы Г\, к диагональному вид свободны от многих трудностей (неперенорынруеыость, наличие непр чинных решений), связанных с введением минимального электромагни ного взаимодействия. Другими словами, недиагонализируемый характ Гч еще не обусловливает с неизбежностью указанные трудности (к обычно принято считать (P.M. Mathews, 1980)), если в теории при сутствуют кратные представления. Это дает основание предположить что аналогичная возможность существует и в случае высших спинов.

Помимо отражения структуры элементарных частиц, не менее ва на, как уже отмечалось выше, в теории РВУ проблема пространствев но-временного описания внутренних степеней свободы с помощью кра ных представлений, а также геометрической интерпретации соогветс

щих внутренних симметрия. Б § 4 Гл. I рассматривается одна из можных реализаций такого описания на примере частицы со спином !. На основе схемы зацеплений

2(0-2(£,0)

)—

¡троено 32-компояентяое волновое уравнение с одним значением ша 5, = 3/2 и одной массой покоя. В смысле собственной группы юнца оно распадается на два 16-компонеятннх РВУ. Оператор про-ганственного отражения задается таким образом, что эти уравне-! являются Р -сопряженными друг другу, и поэтому предлагаемое -компонентное РВУ не распадается по полной группе Лоренца. При-\ак лаграяяевой формулировке теории БЫ-симметрия обусловле-удвоенным набором состояний частицы и связана с такой геометри-¡кой характеристикой: как Р -инверсия (внутренняя четность). В гу этого динамическое различие между предлагаемой теорией спина I и теорией Фирца-Паули может иметь место для Р-неинвариантных цшодействий.

3. Тензорные полевые системы и дираковские частицы с внутренними степенями свободы

Одно из центральных мест в диссертационной работе занимает следование диракоподобных тензорных полевых систем, которые пре-¡тавляют возможность геометризованного описания внутренних, в ( числе имеющих калибровочное происховдение, степеней свободы )аковских частиц. Простейшей из этого класса является система мнений ДК, базирующаяся на схеме зацеплений (2). Соответствую-I волновая функция преобразуется по группе Лоренца как прямое зизведение дираковского биспинора на зарядово-сопряяенный биспи-) и формируется из полного набора антисимметричных тензорных по-

I с Р -форм) ¥ , Ч>/< . Ус/^а , Ус^з ,

= <7; ¥ с/^^з в пространстве размерности с( = 4. С точ-

зрёния стандартной теории ЕВУ эта система задает описание чащ с переменным спином О, I и двукратным вырождением состояний значению внутренней четности.

Б § 2 Гл. П и § 2 Гл. Ш рассматриваются некоторые свойства уравнения ДК, актуальные для развиваемого подхода. С использоваз ем методики, предложенной в § I Гл. I, установлена невозможное^ распадения по полной группе. Лоренца схемы зацеплений (2) при по< роении на ее основе Р -инвариантного, диракоподобного РВУ. Сле; вательво, система ДК имеет минимальную размерность среди ура вне! обсуждаемого класса. Б духе трактовки поля ДК как модели поколе! рассмотрен вопрос о возможности введения двух значений массы, в < массовом варианте теории, опирающейся на схему зацеплений (2). 1 лучен явный вед соответствующего уравнения в матричной и тензор! формах. В отличие от одноыассового случая, оно не распадается ж только по полной, но и по собственной группе Лоренца. Свойства внутренней симметрии лаграняевой формулировки поля ДК исследова! в одномассовом, безмассовом и двумассовом случаях, причем в ncei доевклидовом и евклидовом вариантах теории. Основные выводы такс

- внутренняя симметрия безмассового ( эе = 0) дирак-кэлеровскогс лагранжиана может описываться как группами SU(2, 2) , SU(3)1, так и SU{4) , в зависит,!ости от выбора матрицы билинейной фор»

- внутренняя симметрия одномассовой теории ДК характеризуется п пой SU(2,2) и только;

- двумассовое обобщение уравнения Ж внутренней симметрией не ос дает;

- во всех перечисленных случаях выбор метрики пространства (essj довой или псевдоевкждовой) на структуру группы внутренней сшш рии лагранжевой формулировки теории не влияет.

Проведен сравнительный анализ сишетрийннх свойств уравнен! ДК и его сшнорного аналога - системы 4-х уравнений Дирака. Тен; ная система ДК, рассматриваемая как геометрический эквивалент нг ра дираковских полей, накладывает более жесткие рамки на характс симметрий свободной теории, что существенно при построении на ее основе динамических моделей.

Возможности уравнения ДК служить, например, для описания кз кового поля, в то же время, достаточно ограничены, поскольку фш рованное число компонент его волновой функции (равное 16) не по: ляет учесть все уже известные степени свободы кварков. Поэтому i лесообразно исследовать РВУ с аналогичными системе ДК свойствам! но с большим числом полевых компонент. В диссертационной работе (§§ 3, 4 Гл. П) рассмотрено с указанной целью максимальное алгес

нческое обобщение уравнения ДК в пространстве с< =4, заключаю-еся в трактовке полей У= { Ч\ ^ , Усцчл, Ч'/ч, У } как общих ементов алгебры Клиффорда Сч . Такая процедура эквивалентна едению наряду с уравнением вида (4) (или (I)} аналогичных уравняй для функций Ч^м . Усд*\п • Уя • ^ • В°знивата1®е и этом структуры оказываются приводимыми, и из них можно вьгде-:ть, помимо уравнения ДК, две (и только) новые полевые системы, I распадающиеся в смысле полной группы Лоренца, с дараковокой ал-¡брой матриц Г/ч , сопоставляемые схемам зацеплений

(0,я— 2(М)—н,0

2(1,1)—с|4)

(6)

(0,1)

И,О)

ф

(7)

(0,2) — (2,0)

ервая из них содержит 48 волновых компонент (причем компоненты, твечаюпще представлениям (2'%) ж , имеют кратность,

авную двум) и с точки зрения теории РВУ описывает набор спиновых остояний О, I, 2. Вторая характеризуется 32-компонентной волновой ункцией и описывает переменный спин I, 2. Установлены тензорные ормулировки этих систем, которые имеют вид

+ ¿•с^/п* 3= 0 . ¿л = 0 ,

З^Ч3с/^зи^з + Э,м ^ыдз - ^ ((Г/ЦАЭ^ УС7«А1 +

- 16 -Эр Усу^-]) 4 "зе ^с^] = ^ »

дг) 36 Усуинул ~ 0 '

^ <Р с^аил! + ^ ?* = О , Эл °РА +1 О^д - + С дЛ, )4 * $срщф + + 4 Н» + «Г/ча^ -

+ I- Н/млдр ^о?/]) + эе. ^ и^л = 0 ,

У/ V

-+ч а? ч3?"^:! + # У^Ч^И^А! = 0

в случае (6) и

I (-Зуч ^ил+ э^^мл -аЛ У^С/лл + «р^с^+ ¿V Ч^зи^Л) + 2 (~ ^ ^/Ц] + а*

-¿/^ Э^ ^.п) + £¿«даа? Упучэ + эе У^ыаз = 0 , а^ы/л + * = 0 >

j V * v

2 Î-Ô^M dv fySC/MVJ + Э/5 ~

v * * (9)

V V V

-о ôv fcv«n) - ¿£«t£»?v btj ftv/^j + ae. V/4 w/j = О

v V

случае (7). Здесь тензоры Ч'г/дуп, f c/^mi . тлСуМ\п , Улс/*«! , , ^сдчхпил) • Îu/wiajM) СОПОСТаВЛЯЮТСЯ ПреДСТаВ-ЕШЯМ (0,1) ,(-(,0) . • (М) •

,2) и (2,0) соответственно.

Итак, поле ДК, выступающее в качестве фундаментального объен-(тензорного происхождения), позволяет на основе сформулирован-го подхода существенно ограничить многообразие рассматриваемых левых структур. При этом одним из определяющих факторов их цри-дности для геометризованного описания дираковских частиц явля-ся свойства внутренней симметрии полученных систем уравнений. В 3 Гл. Ш при использовании базиса, в котором матрицы уравнений м и билинейной формы Ц имеют вид Г/ч = ® ftVi , 7 = ftv ® 1УП ® ^Ч ( п = 2, 3, ^д, - матрицы Дирака 4x4), ;тановлено, что внутренняя симметрия лагранжевой формулировки ссивных 48- и 32-компонентной систем характеризуется как в псев-ювклидовой, так и в евклидовой метрике группами SU(6,6) и Ы(Ч,4) соответственно. В безмассовом случае возможен также ш->Р ^-hen и компактная группа SW(Wn) . Преобразования ука-iHHHX групп перемешивают состояния, относящиеся к разным неприво-шнм представлениям, содержащимся в схемах зацеплений (6) и (7), со равносильно перемешиванию сопоставляемых этим представлениям знзоров различного ранга. В силу последнего обстоятельства преоб-ззования Q обсуждаемых сишетрий образуют полупрямое произведе-ie с преобразованиями группы Лоренца А . Отсюда вытекает воз-эжность двоякого разложения алгебры Ar. группы R полной инва-шнтности теории:

Ar = {^V}B (fo/^} е {Q}}

(10)

и

Ак = ({Зл,Лэ{с1/4})е{а} . си

Здесь - инйтаите зималъные операторы группы Лоренца А , о/ генераторы пространственно-временных трансляций, ~ Э,/мv- 0 символ ЕЗ означает полупрямую сумму. С точки зрения разложения (10) лагранжиан теории £ =-У (Г/ч др+2еГо )У+ ¿ш описывае-г зорные поля с наборами спиновых состояний 0, I, 2 (в случае (8) I, 2 (в случае (9)) и внутренней симметрией, преобразования ко! образуют полупрямое произведение с преобразованиями группы Лоре А • С другой стороны, согласно (II), группу полной инварианта: лагранжиана можно представить в виде прямого произведения А® где А' - "переопределенная" группа Лоренца, по отношению к кот волновая функция V характеризует уже не совокупность тензорв величин, а набор диракозсяих полей. Другими словами, рассматрив мая внутренняя симметрия носят двойственный характер: для дирак ского поля это "обычная" симметрия, а для .тензорного представле типа диальной (В.Й.Стражев, 1985) или суперсимметрии. В случае йодного поля, а такке для взаимодействий, не нарушающих указанк сшметрий, такое переопределение трансформационных свойств воле функции не затрагивает лагранжиана теории, что означает динамич скую неразличимость тензорных систем (8), (9), с одной стороны, дираковских полей с Би С6,6) - и £1X14,4) -симметрией, с другой Таким образом, при определенных условиях выбор между трактовкам (10) и (II) является, по-существу, вопросом соглашения, и набор тензорных полей, подчиняющиеся уравнениям (8), (9), могут рассм риваться в качестве геометрического эквивалента фе районного (кв кового) поля с внутренними степенями свободы. Этот вывод сохран свою силу также при локализации диальннх преобразований и перех к калибровочной теории.

4. Геометрические Фермионы на решетке

Ваяным направлением в теории калибровочных полей является решеточная формулировка. Однако до настоящего времени вопрос о боре исходного уравнения дан описания кварков в решеточном прос ранстве-времени остается, по-существу, дискуссионным. Непосредс венное использование уравнения Дирака для этой цели приводит к зичесни неинтерпретируеиому 16-кратному увеличению числа состоя

пвестные в литературе подхода (К. &. Wilson , 1Э7 Ч ; С7. Kogut >

Süss к£пс() 197S ) к решению данной проблемы основаны на мо-1$икациях решеточного уравнения Дирака ж также не свободны от гутренних противоречий. Описание же кварков посредством диракопо->бннх тензорных полевых систем свободно от указанных трудностей, »скольку их решениям не характерно дополнительное (по сравнению с знтинуумом) расщепление энергетического спектра на решетке.

В Гл. У построена универсальная методика записи диракоподоб-пс ЕВУ первого порядка размерности, кратной 16, в решеточном цро-:ранстве-времени без расщепления спектра. В § I эта методика щш-¡нена к системе ДК, в § 2 - к введенным в Гл. Л тензорным полевым гстемам (8), (9). В матричной записи они имеют вид (берем безмас-звый случай)

(Vf4M + !>-> fyw) 0 , (12)

ie

=2 ^ Гр) , =

г>=^®1ч®]п> rp^iXseYn®1* • (и)

зшеточные производные , Vpt-) в (12) задаются, согласно

шеделению, соотношениями fyu^'iffx) = Vi^ + e^) - У(х) ,

^(х.-в/ч ) , где - единичный вектор, сое-гняющий два соседних узла решетки в направлении /н , шаг решетки L = X. Индекс П в (13) принимает значения п = I, 2, 3, при-Я1 к» = I соответствует системе ДК, п = 2 - 32-компонентной си-геме (9), п - 3 - 48-компонентной системе (8).

Анализ сшшетрийных свойств ладанжиана

+ Г^мн Vjm-^'Yix.)

зободной безмассовой теории приводит к выводу о его инвариант-)сти относительно преобразований отражений, перестановок, поводов на 90°, трансляций, а также преобразований киральной симмет-ш

Угх)- о.11рГУт , Г^ У?с

( t - произвольная антиэрмитова матрица П*П ). Что касается внутренней симметрии рассматриваемых решеточных моделей, то пол ДК она не присуща, а в случаях 32- и 48 компонентной систем ее : образования 0=1*6® образуют группу БШп) , где п и И = 3 соответственно, и не зависят от характера (компактная или некомпактная) группы внутренней симметрии континуального эк валента теории.

Исследование установленных дискретных пространственных сим рий с точки зрения их соответствия континуальным симметриям пок вает, что решеточная формулировка всех трех систем имеет два не рывных предела: тензорный (системы ДК, (8), (9)) и дираковский (16п -компонентная теория Дирака). Указанное обстоятельство име принципиальное значение, поскольку позволяет использовать обсуж мые тензорные поля для описания фермионов в решеточном простран ве. Бри этом возможны следующие альтернативные подходы: I) виде на основе вышеприведенных соображений исходные поля, можно зате "забыть" об их происхождении и на последующих этапах (введение модействия, массы, вторичное квантование и т.д.) требовать суще вования лишь дараковского предела; в данном случае системы (8), (с -эе= 0) рассматриваются только в качестве геометрического об снования свободной модели; 2) на различных стадиях построения р точной теории сохраняется ее двойственная трактовка, т.е. предя гается существование обоих пределов - дираковского и тензорного такой подход налагает более жесткие ограничения на структуру мс ли, физические следствия и является последовательной реализацие идеи геометризованного описания фермионов в решеточном прострав ве-вреиени.

С указанных позиций в § 2 дается трактовка внутренних стег ней свобода геометрических фермионов. С помощью проективных оде торов Р ± = ^ (1 ^ V5 ® I") решеточные аналоги тензорнь систем (8), (9) так же, как и системы ДК, в безмассовом случае гут быть редуцированы на две 8п -компонентные подсистемы, кои рым сопоставляются Р - и лорекц-инвариантные уравнения в кони уме. Последние, в свою очередь, согласно тензорной интерпретащ

распадаются по полной группе Лоренца. С точки зрения теории г каждая из этих подсистем описывает единый объект. Б данном чае в роли такого объекта может выступать поколение кварков, юенный набор состояний, характерный для нередуцируемых -компонентных решеточных уравнений независимо от значения п , [зывается с ароматовой степенью свободы (внутри одного поноле-I). Присущую же им £Шп1 -симметрию ( п = 2, 3), которая, в гичие от других внутренних симметрий континуальной теории, "вн-зает" на решетке, естественно сопоставить калибровочным степе-I свободы. При этом калибровочная симметрия не связана с введе-5М в теорию извне квантовых чисел нелорешевского происхождения. ?им образом, в рамках предлагаемого решеточного описания, бази-яцегося на тензорных полевых системах (8), (9), - и

Л(3) -калибровочные взаимодействия оказываются геометрически геленными в пространстве размерности <А =4.

В § 3 с тех же позиций обсуждается вопрос о введении массы в зсматриваемнх решеточных Формулировках. Модель двух поколений, зникагацая при таком рассмотрении, предполагает возможность по-зения, по крайней мере, двух масс. Но если использовать в лаг-зкиане (при любом и ) только диагональные массовые члены и по-збовать при этом существования континуального тензорного преде, го два значения массы реализовать не удается. По указанной пине для сохранения обоих непрерывных пределов (дираковского и ззорного) вводить массу следует недиагоналышы способом. Обсуж-змая процедура сводится к добавлению в исходный редуцированный змассовый лагранжиан членов типа Н-С^ЕГ^, (С = I,

. При таком способе введения масо(ы) симметрия перестановок и Шп) -внутренняя симметрия, свойственные безмассовой модели, краняются. Сохраняется и симметрия (14), вследствие чего она звана "киральноподобной". Инвариантность же теории относительно эобразований отражений и поворотов на 90° нарушается, что, одна, допустимо, поскольку при переходе в континуум "обязательные" эстранственные симметрии восстанавливаются. С точки зрения дира-зской интерпретации недиагональный способ введения масс(н) соот-гствует модели с перемешиванием ароматов (еще одна характерная эбенность геометризованного описания фермионов на решетке). Сле-эт отметить также, что при введении массы редуцированные решенные системы, как и их континуальные тензорные аналоги, стано-

вятся зацепляющимися. Другим словами, любой механизм, приво, к появлению массы у геометрических фермяонов, требует сошес1 рассг.ютрения не только ароматов, но ж поколений частиц.

Введение калибровочного взаимодействуя в рамках развива* подхода не вызывает принципиальных затруднений, так как npeoi вания дискретных просгранстзенных сшметрий и калибровочной : пы SUfn) , несмотря на геометрический характер последней, ; вуют в ортогональных подпространствах. Формально данная проц! состоит в замене "обычных" решеточных производных на калиброз ковариантные по той же схеме, что и в решеточных моделях, им зующих уравнение Дирака и внутренние степени свободы нелореш ского (неевклидового) происхождения.

5. Обобщение теоремы Паули о связи спина и статистиш на случай РВУ с внутренними степенями свободы

Последовательная реализация способа описания частиц с пс лым спином, обладающих внутренними степенями свободы, посредс набора тензорных полей требует обоснования не только на класс оком, но и на квантовом уровне, что равносильно допущению ква вания тензорных полей по статистике Ферми-Дирака. Такое допуи казалось бы, противоречит известной теореме Паули о связи спи статистики. Однако на самом деле это не тая. При вторичном кв товании полевых систем обычно требуется выполнение следующих ловий:

(I) вакуум является состоянием с наинизшей энергией; (Ш операторы наблюдаемых физических величин в точках, связан пространственно-подобным интервалом, коммутируют друг о д (принцип причинности); (Ж) метрика гильбертова пространства квантовых состояний поло:

тельяо определена. Сформулированные условия и приводят к обязательности квантова! тензорных полей по статистике Бозе-Эйнштейна (БЭ) и спинорных по статистике Ферми-Дирака (ФД). Между тем, еще в известных рг тах Дирака и Паули (P. A.M. Dtrac,f9V2 ; W. Pauk , i$so на щдаере простейших РВУ было показано, что при использовании дефинитной метрики в гильбертовом пространстве состояний возмс (с точки зрения постулатов I, П) квантование по инверсной (аж

хной) статистике, т.е. целого спина - по ФД, полуцелого - по БЭ, при этом в теории появляются неустранимые отрицательные вероятии. Существенно иная ситуация возникает при рассмотрении поле: систем с расширенным набором представлений и внутренними стеши свобода, описываемыми некомпактными группами симметрии. Б ¡их теориях появляются дополнительные законы сохранения (правила грета), исключающие переходы между состояниями .характеризуемые щцателъндаи вероятностями, в результате чего допускается физк-жи непротиворечивое квантование полей указанного класса по обо-типам статистики. Детальному изучению данной проблемы посвяще-Гл. 1У диссертационной работы.

Проводимое исследование непосредственно опирается на метод эективных операторов Федорова (Ф.И.Федоров, 185В, 1979), и в § I зтся обобщение этого метода на случай уравнений с внутренними зпенями свободы. Б частности, наряду со стандартными оператора-

Л А 2 л

4-импульса р я , квадрата спина 5 и его проекции . ево-гся оператор П ( П -четности), различающий вырожденные по зсе и спину состояния я формирующий совместно с р , ¿а . ¿п шый набор переменных для рассматриваемого класса уравнений, лее определяется проективный оператор 311 = Р^Ш/Рс (А;) пеляющий состояния с заданным значением Г1 -четности Ас ( С -знтовое число, характеризующее П -четность). В случае РВУ с .утренними степенями свободы и набором спинов Б знаки плотно-к энергии и заряда могут уже зависеть от квантовых чисел с ж , т.е. энергия и заряд дгая таких уравнений являются, вообще воря, индефинитными. Как следствие, теряется строго определен-е соответствие между знаками плотности энергии и заряда в поло-тельно- и отрицательно-частотных состояниях, с одной стороны, целочисленным либо лолуцелочислеяным характером спина, с другой, разить данное обстоятельство можно, ввода нормировочную пере-

(+) с*-)

нную $ ¿5К 5 = [ Бр ( Тй 7)] , значения которой

впадают со знаком плотности энергии в состоянии Ц'се (р) = Ч^И(- р) и вычисляются б системе покоя частицы. (Здесь т/%1 -оективный оператор, выделяющий единственное состояние с фнкси-ванными значениями величин полного набора, включая П -чет-сть; ¿= {& К V - объединенный индекс, характеризующий спиновое стояние как в смысле значения спина, тан и его проекции ). В

зависимости от типа уравнения и способа задания оператора П д плотности, анергии в случае целого спина наряду с "обычным" (т.е свойственным теориям без внутренних степеней свободы) соответст ем, когда

= . (I

может выполняться и соотношение

. (I

Аналогичным образом для полуцелого спина допустимо выполнение в условия (16), так и (15). Плотность заряда имеет (для любого ха рактера спина) противоположные знаки в состояниях Ч^/с' > ^¿'е в случае (15) ж одинаковые в случае (16).

Процедура вторичного квантования заключается в постулирова шш перестановочных соотношений для операторов рождения а. , £ уничтожения О , б и выражений для операторов числа частиц /V Если для целого спина выполняется условие (15), а для полуцело! (16), то квантование по обычной (нормальной) статистике осущесп вляется посредством соотношений

Ыи^иаи^и , Ыи^уиёиви (^г^а) <1

и по инверсной -

В (17) коммутатор сопоставляется целому спину, антикоммутатор -полуцелоыу, а в (19) наоборот - целому (полуцелому) спину сопоставляется антикоммутатор (коммутатор). Множитель %-се в (1£ (20) обеспечивает правильные собственные значения операторов /V¿с1 . Проводя с помощью условий (17), (18) и (19), (20) щ

Зразования выражении для энергии Е = $ и заряда Q, =

1Ро1ъзс , приходим в обоих случаях к согласующимся с постула-ом (I) значениям этих величин

t-Krf'Uu+^Ea), Q^I (М^-ЛГ/е) . (21) с,е ¿,i

ля операторных волновых функций получаются причинные перестано-очные соотношения

[Y(x')- Y(x") 1--21 Г+($)А0Ш (x^x'~x")j

де^Гучд/,, Кыро1Х0 - инва-

иантная дельта-функция. Другими словами, условия (17) - (20) беспечивают выполнение постулата (П) при квантовании по обоим ипам статистики (обычной и инверсной), причем достигается это за чет различных разбиений пространства состояний "Ж на подпро-транства Ж+ и Ж- , характеризугацие состояния с положитель-:ой (Ж+) и отрицательной (J€-) нормами.

Аналогично проводится анализ и тогда, когда для целого спина исполняется условие (Г6), а для полуцелого - (15). Основные соот-юшения, определяющие процедуру квантования, корректную в смысле ребованиЁ (I, П), в этом случае имеют вид

а= ¿Vp-p'), (22)

Me =<lu0.uCLii, , (23)

[асе f|», а¿у ф'П± -[вц <Р>, ¡¿'е'(р')1+= ре ¿и> See1 (Р(р-р'), (24)

^ = асе асе , л//е' = ¿te , (25)

да (22), (23) соответствует обычной статистике и (24), (25) - ин-зерсной.

Рассмотренный способ квантования РВУ с внутренними степенями

свободы предполагает отказ от условия положительной определенности метрики пространства состояний (постулат (Ш)) и приводит к проблеме вероятностной интерпретации теории. Как уже отмечалось. указанная трудность может быть разрешена, если в теории наряду < "стандартными" имеют место дополнительные законы сохранения, npi водящие к правилам суперотбора и к запрету на переходы между состояниями с положительной и отрицательной нормой. Существование дополнительных законов сохранения обусловлено наличием у обсуждо мых полевых систем внутренних степеней свободы ( П -четности). Так, инвариантность лагранжиана £ = - Щх) (Г/л Эд» + х. ) Ycx) +1 Cut ( описывает взаимодействие, не нарушающее внутренней сим-

метрии, присущей свободному полю) относительно фазовых цреобраз! ваний e^pCi Пв ) Щх) приводит к сохраняющемуся "заряд;

s Ym Гч ПТ(Х)С/Ьc = ZAi (Ыи - Nee ) . (26

Для того чтобы проследить механизм совместного действия законов сохранения зарядов Q (21) и G- (26), обеспечивающий исключе: переходов, характеризующихся отрицательными вероятностями, возы например, случай, когда квантовое число L цринимает два значе (¿=1,2, hi = I. -I) и переменная $ц не зависит от £ Тогда при условии не компактности группы внутренней симметрии бу иметь: = = 4 • При квантовании по инверсной статистике именно эта ситуация интересует нас в первую очередь) с помощью отношений (24), (25) в секторы 71+ , попадают состояния

: НЮаПв

ii I I 1 ГМаеЮ > ,

Ni //г tr4

Ж.: IП аи П L П a2lne2t Ю> , (рг

Ъ /V& /Vg

где A/i , /V2 , /Vy , Ms - произвольные (неотрицательные) целые числа, (Ы-+ - четное и (M-f+tfi) - нечетное числа, <010>■ Для одночастичных состояний разбиение (27) трансформируется к i

<е' ; %'е+\ Kt .

сравнения (28) с выражениями (21), (26) для Q и G- вытека-что одночастичным состояниям, относящимся к подпространства!/ + ж Ж-- , соответствуют заряды

7t+: (i,i) , i-i,-i) ; Те.: (-t,i)}(iri) , (29)

s первая цифра в скобках характеризует электрический, а вторая -юлнительный заряд G- . Отсюда видно, что совместное выполне-! законов сохранения для Q и G- приводит к запрету фазиче-i неприемлемых переходов между состояниями из секторов и L и тем самым обеспечивает вероятностную интерпретацию теории, гведенные рассуждения без принципиальных затруднений могут быть внесены на РВУ с грушами внутренней симметрии S U (р,1) , 9(р,?) , Sp(p>y) и на калибровочные модели с некомпактными шпами (А.Э.Марголин, В.И.Стракев, 1989).

В случае полей с внутренними степенями свободы, описываемыми гаактннми труппами симметрии, реализуется только "обычное" соот-рствие, когда для целого спина справедливо (15), а для полуцело- (16), и, кроме того, переменная fee не зависит от i . результате правильные выражения для Е и Q и причинные пе-зтановочные соотношения для операторных волновых функции при антовании по инверсной статистике могут быть обеспечены только помощью условий (19), (20), и при этом законы сохранения для задов Q "и G- не запрещают, вообще говоря, перехода, нротиворе-ше вероятностной интерпретации теории. Фактически данная ситуа-я не отличается от той, что имеет место для полей без дополни-льных степеней свободы. Таким образом, установленная в Гл. 17 знойность физически непротиворечивого квантования по инверсной атистике ЕВУ о некомпактными группами внутренней симметрии в оп-деленном смысле может рассматриваться как обобщение теоремы Пау-. о связи спина и статистики на случай уравнений этого класса.

В § 3 развитый выше общий подход применен к некоторым конфетным РВУ: S и (i>i)~ ж SU(2,2) -инвариантной теории Дира-, полю Ж, к полученным в Гл. П и ^(б.^-ешмет-

гчным тензорным полевым системам. Показано, что две последние из к, как и поле ДК, допускают корректную процедуру квантования по :атистике ФД, а значит, могут служить для описания дираковевих ¡стиц с внутренними степенями свободы и на квантовом уровне.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. Построение классической и квантовой теории двух новых тензорных полевых систем, пригодных для описания дираковских чг стиц с внутренними степенями свободы.

2. Установление в лагранневом подходе симметрийных свойстз этих полевых систем.

3. Матричная решеточная формулировка поля Дирака-Кзлера и его алгебраических обобщений, удовлетворяющая требованиям лока; ности, киральности и без удвоения состояний. Разработка на ее < нове геометризованного способа описания фермионов на решетке.

4. Обобщение теоремы Паули о связи спина и статистики на случай вторичного квантования ЕВУ с некомпактными группами внуч ренней симметрии.

5. Определение свойств нераспадающихся диракоподобных волг вых уравнений в подходе Гельфанда-Яглоыа.

6. Построение с использованием кратных представлений новы: уравнений для частиц со спинами О, I, , позволяющих учитывать структурные эффекты во внешних полях.

7. Получение условий лоренц-ковариантного распадения ЕВУ < щего вида с кратными представлениями или их (ЕВУ) эквивалентно* уравнениям с более простой структурой волновой функции.

8. Развитие методики отыскания дополнительных симметрий б< массовых РВУ на примере полей с максимальным спином I.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах :

1. Федоров Ф.И., Плетюхов В.А. Волновые уравнения с кратными представлениями группы Доренца. Целый спин - ВесцЕ АН БССР, сер. фз.-мат., ГЭ69, № S, С. 8Е-88.

2. Плетюхов В.А., Федоров Ф.И. Волновое уравнение с кратными представлениями для частицы со спином 0 - ВесцГ АН БССР, се; фГз.-мат., 1970, № 2, С. 79-85.

3. Федоров Ф.И., Плетюхов В.А. Волновые уравнения с кратными представлениями группы Доренца. Полуцелый спин - ВесцЕ АН БОСР, сер. фГз.-мат., 1970, № 3, с. 78-83.

4. Плетюхов В.А., Федоров Ф.И. Волновое уравнение с кратными представлениями для частицы со спином I - ВесцЕ АН ВЗСР, се; фЕз.-мат., 1970, № 3, С. 84-92.

. Стражев В.И., Плетпхов В. А. Волновые уравнения с кратными представлениями и двухпотенциальная формулировка электродинамики - Известия вузов. Физика, 1979, № 12, С. 14-18.

1. Круглов С.И., Плетюхов В.А., Отражав Б.И. О поляризационной симметрии уравнений Максвелла - препринт ИФ АН БССР, Л 226, Минск, 1980, 47 с.

Стражев В.И., Плетюхов В.А. Симметрия поляризационного пространства и дополнительная инвариантность уравнений Максвелла -Известия вузов. Физика, 1981, № 12, С. 39-42.

Î. Плетюхов В. А., Стражев Б.И. 0 дополнительной инвариантности релятивистских волновых уравнений - Бесц1 АН БССР, сер. фГв,-мат., 1981, № 2, С. I03-IQ8.

3. Стражев В.И., Плетюхов Б.А. Диальная симметрия релятивистских волновых уравнений - Acta Phvjs . Pol., -f9& 1, V. ЪМ, N1, P. 654-66 V.

3. Плетюхов В.А., Стражев В.И. О дираиоподобном волновом уравнении для частиц с максимальным спином I - Доклады АН БССР, 1982, Т. 26, Ji 8, С. 691-693.

Е. Стражев Б.И., Плетюхов В.А. К теории частиц с максимальным спином I - Becnï АН БССР, сер. фГз.-ыат., 1983, № 5, С. 94-98.

2. Плетюхов В.А., Стражев Б.И. 0 диракоподобных релятивистских волновых уравнениях - Известия вузов. Физика, 1983, $ 12, С. 38-41.

3. Плетюхов В.А., Стражев В.И. К теории частиц со спином 3/2 -Известия вузов, физика, 1985, » I, С. 91-95.

4. Плетпхов В.А., Саткков И.А., Стражев В.И. Релятивистские волновые уравнения и базыассовое поле Дирака-Кэлера - В сб: "Ко-вариантные методы в теоретической физике. Физика элементарннх частиц и теория относительности", ИФ АН БССР, Минск, 1986,

С. 31-35.

5. Плетюхов В.А., Стражев В.И. О возможных обобщениях уравнения Дирака-Кэлера - Becnï АН БССР, сер. фЕз.-мат., 1987, £ 5,

С. 87-92.

16. Плетюхов В.А., Стражев В.И., Федоров Ф.И. 0 связи спина и статистики в теории релятивистских волновых уравнений с внутренними степенями свободы - препринт ИФ АН БССР, Л 517, Минск, 1988, 36 с.

17,

18.

19.

20.

21.

22.

23,

24.

25,

26,

27.

28.

29

30

Плетюхов В.Л., Стражев В.И. О вторичном квантовании в теор] релятивистских волновых уравнений - Доклады АН БССР, 1988, Т. 32, № 7, С. 602-605.

Еле тиков В.А., Стражев В.И. О связи спина н статистики в ti рии поля - Acta. Phys. Pol., 1SS& , V. В19 , N9 , P. 7S1-76H. Кисель B.B., Плетюхов В.А., Стражев В.И. К теории частиц с< спином 3/2 (П) - деп. БИНИШ, per. № 5029-В88, Известия ву: Физика, 1989, X 2, С. 125.

Плетюхов В.А., Отражав В.И. Тензорные поля и дираковские чг цы с Su(4,4) - и SU(6,6) -симметрияыи - Доклада АН БСС] 1989, Т.33, № 4, С. 328-331.

Плетюхов В.А., Стражев В.И. Тензорные уравнения и дараковс! частицы с внутренними степенями свободы - Ядерная фггзика, ] 1.49, С. I505-1514.

Плетюхов В.А., Стражев В.И. Квантовая теория тензорного по; SU (4,4) -симметрией - Becrff АН БССР, сер. фЕз.-мат., 199£ № 4, С. 88-95.

Плетюхов В.А. Квантовая теория тензорного поля с SU(6,6)-( метрией - Acta Phys. Pol., 1990, v. B2í, Níi, P.S8Í-889. Плетюхов В.А., Стражев В.И. О матричной формулировке уравне Дирака-Кэлера на решетке - Доклада АН БССР, 1990, Т. 34, № С. 221-223.

Плетюхов В.А., Стражев В.И. О геоыетризованном описании $ei онов на решетке - препринт ИФ АН БССР гы.Б.И.Степанова, № 6 Минск, 1990, 50 с.

Плетюхов В.А. О геометризованном описании фермионов на реше ке - Доклада АН БССР, 1991, Т. 35, Jé 3, С. 239-242. Плетюхов В.А., Стражев В.И. К описанию на решетке фермионо! внутренними степенями свобода - Ядерная физика, 1991, Т. К С. 1444-1453.

Плетюхов В.А., Стражев В.И. Геомвтризованная SU(l) -калис вочная теория в решеточном пространстве - Теор. и матеи. фе ка, 1991, Т. 87, Л 2, С. 173-187.

Плетюхов В.А. О минимальной размерности диракоподобных воле вых уравнений для частиц с целым спиноы - Доклада АН БССР, 1991, Т. 35, № 4, С. 320-323.

Плетюхов В.А. О внутренней симметрии релятивистских волновь уравнений - Известия вузов. Физика, 1991, N?, С. Í6-1& .

Я, Плетюхов В.А. О внутренне® симметрии теории Дирака-Кэлера -Весц! АН НЗСР, сер. бГз.-мат., 1992, А/3 .

Литература

Гельфанд И.М., Яглом A.M. ЖЭТФ, 1948, Т. 18, С.703-733. Зудач В.И., Никитин А.Г. В сб.: "Теоретико-групповые метода в матом. физике", ИМ АН УССР, Киев, 1978, 188 с.

Khalil M.A.K. Progr. Thcor. Phys., Í978 , V. 60 , p. .

Mathews P.M., Vi¿QyaJciKshiTú В., Sivrcuumar М. 3. Phys.,

79 82, V. A IS, P. LS79-L5E2 .

Maitaurs P.N., VdjctyalaKsbmi ß. Cf. Math. Phys., v.zs,

p. 10%0-10&? .

Федоров Ф.И. 1ЭТФ, 1958, Т. 35," С.495-498.

Богуш A.A., Федоров Ф.И. ВесцЕ АН БССР, сер. фЕз.-тэхн., 1962,

№ 2, С.25-38. Файнберг В.Я. Шяя ФЛАН, 1955, Т.6, С.259-332. Богуш A.A., Мороз Л.Г. Введение в теорию классических полей,

Наука и техника: Мн., 1968, 386 с. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика,

Физыатгиз: ГЛ., 1959, 656 с. Кисель В.В. Автореф. канд. диссерт., Минск, 1984, II с. Бабичев Л.Ф., Радюк А.Ф., Федоров Ф.И. Доклады АН СССР, 1985,

Т.286, С.80-84.

Matheurs P.M. et.al. V. Math . Phys., V.21, P. 1495--íSoS. Стражев В.Ж. Автореф. докт. диссерт., Минск, 1985, 25 с. Wilson К.&. PbvjS. Revr., 1974, V.Х10 , p. 2445-2459 . K09UÍ 3. , SussKínd L>. PHys. R«u\, Í975", V. Ъ11, P. 395"-^/08 . b¿rac P. A.M. Proc. Roy. Soc. ,1^41, V. A-/SO , P. i-ЧО . Paule W. Revr. Mod. Phys., 1S4Z, V. -/5", P.-/75-20?. Pauli w. Progr. Theor. Phys., i9$-o, v. 5 , P. 526-54$ , Федоров Ф.И. Группа Лоренца, Физматгиз: М., 1979, 384 с. Марголин А. Э., Стражев В.И. Доклада АН БССР, 1989, Т.33,

С.418-421.