Гидродинамика релятивистской замагниченной плазмы и нелинейные альфвеновские волны в релятивистской электронно-позитронной плазме тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

Раковщик Михаил Леонидович

ГИДРОДИНАМИКА РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЫ И НЕЛИНЕЙНЫЕ АЛЬФВЕНОВСКИЕ ВОЛНЫ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЭЛЕКТРОННО-ПОЗИТРОННОЙ ПЛАЗМЕ

0.1.04.02 - теоретическая физика

Диссертация

'4

на соискание ученой'степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: кандидат технических наук доцент

Ф.Ф.Каменец

доктор физико-математических наук О.Г.Онищенко

г.Долгопрудный — 1998 год

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 2

Глава 1

ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЗАМАГНИЧЕН-НОЙ БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПЛАЗМЫ 12

1.1 Уравнения стандартной релятивистской магнитной гидродинамики ........^..................... 18

1.2 Дисперсионная дрейфовая гидродинамика релятивистской плазмы.............................. 23

1.2.1 Постановка задачи и исходные уравнения...... 23

1.2.2 Стандартная дрейфовая гидродинамика релятивистской плазмы....................... 26

1.2.3 Учет дисперсионных членов......."....... 29

1.3 Модификация релятивистского дрейфового кинетического уравнения, учитывающего дисперсионные эффекты, для случая Е. ф 0 .......................... 33

1.4 Поперечный поток тепла и тензор магнитной вязкости релятивистской бесстолкновительной плазмы ......... 34

1.5 Основные выводы........................ 36

Глава 2

НЕЛИНЕЙНЫЕ АЛЬФВЕНОВСКИЕ ВОЛНЫ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЭЛЕКТРОННО-ПОЗИТРОННОЙ ПЛАЗМЕ 37

2.1 Гидродинамическое описание нелинейных электромагнитных волн, распространяющихся в релятивистской изотропной плазме вдоль внешнего магнитного поля......... 38

2.1.1 Упрощение уравнений гидродинамики для альфве-новских волн в изотропной плазме ........... 40

2.1.2 Нелинейные альфвеновские волны типа бегущей волны........................... 42

2.1.3 Нелинейный альфвеновский волновой пакет..... 46

2.1.4 Влияние степени релятивизма плазмы........ 50

2.2 Нелинейные низкочастотные электромагнитные волны в релятивистской электронно-позитронной плазме с произвольной степенью анизотропии функции распределения частиц по импульсам........................ 52

2.2.1 Кинетическое описание нелинейных электромагнитных волн в релятивистской плазме с произвольной степенью анизотропии функции распределения частиц по импульсам.................... 52

2.2.2 Упрощение кинетических уравнений для альфвенов-ских волн......................... 54

2.2.3 Нелинейные низкочастотные электромагнитные волны в плазме с произвольной степенью анизотропии функции распределения ................. 55

2.2.4 Сравнение результатов гидродинамического и кинетического рассмотрения................. 58

2.3 Циклотронное взаимодействие нелинейных альфвеновских волн с резонансными частицами................ 60

2.3.1 Циклотронная раскачка альфвеновского солитона бегущей волны...................... 61

2.3.2 Циклотронная раскачка нелинейного альфвеновского волнового пакета................... 63

2.4 Основные выводы...................: ... . 64

БИБЛИОГРАФИЯ 67

ВВЕДЕНИЕ

Данная работа посвящена развитию теории гидродинамического описания релятивистской замагниченной плазмы, а также теоретическому исследованию нелинейных альфвеновских волн в электронно-позитронной плазме с учетом релятивизма плазмы и эффектов, связанных с конечностью ларморовского радиуса частиц и конечного давления плазмы.

Актуальность темы исследования обусловлена с одной стороны, тем, что дрейфовые неустойчивости и нелинейные структуры замагниченной плазмы могут играть определяющую роль в таких явлениях, как аномальный перенос, турбулентный-нагрев плазмы, ускорение частиц, генерация электромагнитного излучения и в ряде других задач, связанных,например, с исследованиями термоядерной плазмы, а с другой стороны, необходимостью адекватного описания коллективных процессов в ряде недостаточно изученных магнито-плазменных астрофизических объектов, таких как магнитосферы пульсаров и др.

В последнее время в связи с изучением ряда астрофизических объектов (где, согласно современным представлениям, существует релятивистская плазма, состоящая в основном из электронов и позитронов), таких как магнитосферы пульсаров, [1] - [2], аккреционные диски в звездных системах, [3], ядра активных галактик и радиоджеты из них, [4] - [5], вселенная на ранней стадии развития [6] - [7], и др., а также в связи с повышенным интересом к исследованиям лабораторной (нерелятивистской) электрон-позитронной плазмы, [8] - [9], вызванным успехами в создании источников позитронов и развитием методов их удержания, приобретает все большую важность развитие теории нелинейных структур и турбулентных спектров в релятивистской электронно-позитронной плазме, где тепловая скорость частиц сравнима со скоростью света. Так для интерпретации наблюдаемой микроимпульсной структуры радиоизлучения пульсаров представляет интерес исследование нелинейных альфвеновских волн (электромагнитных волн, низкочастотных по отношению к циклотронной частоте частиц) в релятивистской электронно-позитронной плазме, что важно также с точки зрения общих проблем физики плазмы, среди которых альфвеновские волны являются одной из основных мод колебаний однородной замагниченной плазмы.

В связи с этим, рассматриваемой проблеме было посвящено большое число монографий и обзоров, см., например, [11] - [15]. Однако, имеется ряд задач, которые требуют дополнительных исследований.

ЦЕЛЬЮ ДИССЕРТАЦИИ являлось:

- развитие теории гидродинамического описания релятивистской за-магниченной бесстолкновительной плазмы, позволяющей учитывать эффекты конечного ларморовского радиуса частиц при описании дрейфовых волн и кинетических альфвеновских волн в неоднородной релятивистской плазме; - вывод тензора магнитной вязкости релятивистской плазмы с учетом пространственных производных от потоков тепла; - развитие теории нелинйных альфвеновских волн (электромагнитных волн, низкочастотных, по отношению к циклотронной частоте частиц) с учетом эффектов пространственной дисперсии в случае релятивистской электронно-позитронной плазмы.

В настоящее время теория нелинейных волн в сплошной среде представляет собой обширную область научного знания, связанную с проблемами современной математической физики, с одной стороны, и с важными приложениями, с другой стороны. Одним из важных разделов этой теории являются теория нелинейных структур (солитонов, уединенных вихрей, конвективных ячеек) и теория турбулентности. Первоначально теория нелинейных структур получила развитие в гидродинамике жидкости. Отметим некоторые ключевые работы, предшествующие исследованиям, изложенным в диссертации.

Теория солитонов берет начало с работы Дж.Рассела о наблюдении в 1838 г. уединенных волн на поверхности мелкой воды, а также с работы Кортевега и де Вриза (Фриза), [16], получивших в 1895 г. упрощенное (модельное) нелинейное уравнение

дК дЧ дЬ? п

где Н - амплитуда волны, - пространственная координата и время, а и Ь - некоторые константы. При выводе уравнения (1) Кортевег и де Вриз

использовали плодотворную идею: максимально упрощать нелинейные

1

уравнения, сохраняя дисперсионные и нелинейные члены одного порядка малости. Однако, эта идея и уравнение (1), получившее впоследствии название уравнения Кортевега - де Вриза (КдВ), оставалось долгое время забытыми, т.к. решать уравнение КдВ представлялось весьма сложной и

непривычной задачей. Солитоны были заново открыты в физике плазмы Р.З.Сагдеевым при исследовании бесстолкновительных ударных волн в замагниченной плазме [17] - [18]. Сам термин солитон как устойчивая уединенная нелинейная волна введен Н.Забуски и М.Крускалом в 1965 г., [19]. Дальнейший прогресс в теории солитонов связан с расширением класса нелинейных уравнений, допускающих солитонное решение, а также с развитием метода обратной задачи рассеяния, позволяющим получить полное решение нелинейных уравнений, см., например, [20] - [21].

Б.Б.Кадомцев и В.И.Петвиашвили, [22], первыми обратили внимание на проблему многомерного обобщения уравнения КдВ, см. также [12], представляющую интерес не только с точки зрения поиска многомерных солитонов, но также представляющую интерес при исследовании устойчивости солитонов относительно многомерных возмущений. Нелинейное уравнение, полученное в работе [22] при исследовании ионно-звуковых слабодиспергирующих нелинейных волн в плазме с достаточно слабым магнитным полем, получило название уравнения Кадомцева-Петвиашвили.

В работах [23] - [25] произведено обобщение уравнения КдВ на случай дрейфово-ионнозвуковых, а также магнитозвуковых волн замагниченной плазмы с учетом не только скалярной, но также и векторной нелинейности, и исследована устойчивость одномерных солитонов относительно трехмерных возмущений.

В.Е.Захаров и Е.А.Кузнецов, [24], предложили эффективный метод нахождения солитонных уравнений многомерных нелинейных уравнений, согласно которому солитонным решениям соответствует минимум (или максимум) какого-либо интеграла движения (например, энергии) при фиксированных других интегралах. В работе [24] была доказана устойчивость трехмерного ионно-звукового солитона, распространяющегося вдоль магнитного поля. В.И.Петвиашвили и В.В.Яньков, используя метод Ляпунова, исследовали устойчивость "круглого" солитона волн Россби с учетом векторной нелинейности и показали его устойчивость.

Р.Голдрайх и В.Джулиан [26] первыми обратили внимание на то, что вблизи пульсаров, представляющих собой намагниченные быстровраща-югциеся нейтронные звезды, несмотря на сильную гравитацию, должна существовать протяженная магнитосфера. Согласно М.Рудерману и П.Сазерленду, [1], магнитосферная плазма пульсаров должна состоять из релятивистских электронов и позитронов. К.Чаен и К.Кеннел, [27], осно-

вываясь на наблюдениях радиоизлучения пульсаров показали, что при исследовании распространения электромагнитных волн в магнитосфер-ной плазме пульсаров необходимо учитывать нелинейность волн (частицы в волне приобретают релятивистские скорости, что приводит к релятивистскому увеличению их массы). Дж.Г.Ломинадзе и А.Д.Патарая в работе [28] исследовали нелинейные альфвеновские волны (типа бегущей

\ __О U

волны), распространяющиеся в релятивистскои электронно-позитроннои плазме малой плотности, в предположении, что функция распределения частиц по импульсам сильноанизотропная (одномерная) и степенная.

Общая теория нелинейных волн изложена, в частности, в книге В.И.Карпмана [10].А книга С.А.Каплана и В.Н.Цытовича [15] - одна из первых монографий, посвященных проблемам плазменной астрофизики включая эффекты релятивизма плазмы. А современное же состояние теории нелинейных структур в замагниченной плазме можно найти в обзо-pax [10] - [14].

Основное содержание диссертации изложено в Главах 1-2.

В релятивистской электронно-позитронной замагниченной плазме существует всего две электромагнитные моды колебаний, [15], [29]—[30], альфвеновская и магнитозвуковая. Что связано со спецификой электронейтральной электронно-позитронной плазмы, состоящей из частиц одинаковой массы, с одинаковыми по абсолютной величине зарядами и, имеющих одинаковые распределения частиц по импульсам. В приближении прямых силовых линий магнитного поля альфвеновские и магнитозву-ковые волны, распространяющиеся вдоль поля, описываются одним дисперсионным уравнением (и в этом смысле неотличимы друг от друга), которое в приближении холодной плазмы имеет вид, [15], [29] - [30], и ~ кУд(1 + к2УЦи2в). Ц-десь и и к - частота и волновое число, Уд -альфвеновская скорость, со в = еВъ/тес - нерелятивистская циклотронная частота, ей м - заряд и масса позитрона, с - скорость света, Во -внешнее магнитное поле. Различие между ними обнаруживается при косом распространении, [29], [31], [30], [32], а также при наличии кривизны и продольной неоднородности магнитного поля.

Заметим, что в электронно-ионной плазме дисперсия альфвеновской волны определяется лишь ионной компонентой плазмы и в приближении холодной плазмы имеет следующий вид и ~ кУд( 1 + кУд/ив^, где сиBi — егВ0/ггцс - циклотронная частота ионов, ег и М{ - заряд и масса иона. В электронно-позитронной плазме дисперсия определяется как электро-

нами так и позитронами, в результате чего дисперсия пропорциональная

обращается в нуль, что отражает специфику такой плазмы.

Альфвеновские волны при квазипродольном распространении в плотной плазме преломляются, стремясь принять направление распространения вдоль внешнего магнитного поля, поэтому, а также ради краткости, в этой главе вместо термина низкочастотные электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль внешнего магнитного поля, мы часто используем термин альфвеновские волны.

В работах [28] и [33] также исследовались нелинейные альфвеновские волны (типа бегущей волны), распространяющиеся под малым углом к магнитному полю в релятивистской электронно-позитронной плазме малой плотности, и в предположении, что функция распределения частиц по импульсам сильноанизотропная (одномерная) и степенная, /(\р2\) ~ |р2|~3/2,р2 - импульс частицы вдоль внешнего магнитного поля. Как показано в работе [34], такое умеренно-релятивистское распределение формируется в результате синхротронных потерь (без учета каких-либо других источников энергии частиц) в плазме, находящейся в сильном магнитном поле. В работах [28] и [33] показано что, в электронно-позитронной плазме с таким частным распределением частиц по импульсу, нелинейные альфвеновские волны описываются модифицированным уравнением Кор-тевега - де Вриза (МКдВ).

К началу данного исследования не было ясно, каким уравнением описываются нелинейные альфвеновские волны в электронно-позитронной плазме с произвольной степенью анизотропии функции распределения частиц по импульсам, и зависит ли вид этого уравнения от анизотропии, т.к. результаты двух групп исследователей [35] и [28], [33] не соответствовали друг-другу, и относились к двум разным предельным случаям анизотропии: изотропному и одномерному распределению частиц по импульсам.

Нелинейные альфвеновские волны в релятивистской электронно-позитронной плазме исследовались в [35], [36] в рамках идеальной релятивистской магнитной гидродинамики, [37], [38] - [39]. При таком описании учитывается лишь временная (частотная) дисперсия волн - дисперсионная поправка ~ и1 где си^ = еВ^/т^гс средняя релятивистская циклотронная частота частиц, величина И характеризует "релятивистское утяжеление" массы частицы из-за релятивистского теплового движения (средний лоренц-фактор частиц). Такая дисперсионная поправка

для волн в релятивистской плазме совпадает с соответствующей дисперсионной поправкой в холодной электрон-позитронной плазме с точностью до замены и в -Для более адекватного описания дисперсии аль-фвеновских волн в релятивистской электронно-позитронной плазме могут быть использованые уравнения релятивистской магнитной гидродинамики с учетом эффектов магнитной вязкости, полученные Т.Метенсом и Р.Балеску, [40]. Заметим, что возмущенная функция распределения в случае релятивистской плазмы была найдена С.С.Моисеевым с помощью модифицированного метода Трэда в работе [41]. Выражения для возмущенной функции распределения и связанных с ней моментов - компонент тензора магнитной вязкости и поперечного потока тепла замагниченной бесстолкновительной релятивистской плазмы могут быть получены также разложением возмущенной функции распределения в ряд по степеням 1 /шв - Уравнения магнитной гидродинамики релятивистской замагниченной бесстолкновительной плазмы с учетом эффектов магнитной вязкости приведены в Главе 1. Заметим также, что уравнения релятивистской гидродинамики для замагниченной, слабостолкновительной электронно-ионной плазмы с ультрарелятивистскими электронами с учетом поперечных потоков тепла и магнитной вязкости электронной компоненты, были получены ранее Д.И.Джавахишвили и Р.Л.Цинцадзе в работе [42]. Использование релятивистской магнитной гидродинамики с учетом эффектов магнитной вязкости при описании нелинейных альфвеновских волн позволяет наряду с частотной дисперсией учесть также и пространственную дисперсию (дисперсионную поправку ~ k2cl/~ к2 р2, где cs - тепловая скорость, р - ларморовский радиус), [43] - [46].

Из проведенных в разделе 2.1 исследований следует, что нелинейная альфвеновская волна типа бегущей волны, распространяясь вдоль магнитного поля в релятивистской электронно-позитронной изотропной плазме описываются МКдВ, а нелинейный волновой пакет - нелинейным (кубическим) уравнением Шредингера (НУШ). Заметим, что в электронно-ионной плазме нелинейные альфвеновские волны описываются модифицированным уравнением Шредингера (derivative nonlinear Shrodinger equation), см., например, [47] - [51], что связано с упомянутым выше отличием в дисперсии волн. Показано, что полученное Дж.Сакаи и Т.Каватой нелинейное уравнение для альфвеновских волн в релятивистской электронно-позитрон