Релятивистские волновые уравнения для полей и суперполей произвольного спина тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Институт физики Академии наук Эстонии

На правах рукописи

Л о й д е Рейн-Карл Руудувич

УДК 539.12

РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОЛЕЙ И СУПЕРПОЛЕЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО СПИНА

01.04.02 Теоретическая физика

А втореферат

диссертации на соискание учеаой степени доктора физико-математических наук

Тарту 1988

Работа выполнена в Таллиннском ордена Трудового Красного Знамени политехническом институте.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, В.И. ОГИЕВЕЦКИЙ профессор

Доктор физико-математических наук, В.К. ФУЩИЧ профессор

Доктор физико-математических наук, Ю.Г. ЛУШСТЕ профессор

Ведущая■организация: Институт физики АН Белорусской ССР.

Защита диссертации состоится "..." ........... 1989 г.

в часов на заседании специализированного совета Д 017.01.01. по за1дите докторских диссертаций при Институте физики АН ЭССР, адрес: 202 400 г. Тарту, ул. Рийа, 142.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики АН ЭССР.

Автореферат разослан " ... " .......... 1989 г.

Ученый секретарь совета Х.Ф. Каэмбре

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. В теории поля физические состояния преобразуются по неприводимым представлениям группы Пуанка-. ре. Поскольку операторы поля преобразуются по представлениям группы Лоренца, то возникает проблема реализации представлений группы Пуанкаре конечномерными представлениями группы Лоренца. Так как для построения пуанкаре-базиса необходимы релятивистские волновые уравнения, то в теории поля неизбежно детальное исследование релятивистских волновых уравнений.

Теория массивных релятивистских волновых уравнений высших спинов связана со многими нерешенными трудностями при рассмотрении взаимодействующих полей. Решение трудностей с взаимодействием требует корректного базиса исследования релятивистских волновых уравнений. Несмотря на успехи,достигнутые в теории релятивистских волновых уравнений , имеется много слабо развитых разделов этой теории. Отсутствует полная теория уравнений второго порядка и выше, а также теория уравнений, описывающих несколько состояний,программа Паули-Фирца еще полностью не реализована.

Особую актуальность в последнее время приобрела теории безмассовых калибровочных полей в связи с возможностью введения нетривиального гравитационного взаимодействия для высших спинов. Общие основы теории безмассовых калибровочно-инЕариантных уравнений еще полностью не построены, безмассовые теории для высших спинов содержат добавочные ограничения на калибровочное поле и калибровочный параметр и не удовлетворяют программе Паули-Фирца.

Суперсимметрия требует для реализации неприводимых представлений супергруппы Пуанкаре введения суперпслевых уравнений движения. Актуальность исследования суперполевых уравнений движения как для массивных, так и для безмассовых суперполей подчеркивается отсутствием полной общей теории суперполевых уравнений движения.

Цель работы заключается в построении единого подхода к исследованию массивных релятивистских волновых уравнений произвольного спина, безмассовых волновых уравнений произвольной спиральности и суперполевых уравнений движения в

массивном и безмассовом случаях.

Задача диссертации - найти такую общую форму релятивистского волнового уравнения, позволяющую исследовать как уравнения первого порядка, так и уравнения второго порядка и вьше, построить уравнения с заданным спектром масс и спинов, и развивать лагранжевую теорию соответствующих уравнений; построить общую теорию безмассовых калибровочно-инва-риантных уравнений и суперполевых уравнений движения; построить корректный базис для рассмотрения релятивистских волновых уравнений для полей и суперполей произвольного спина, рассматривать на основе развитой теории некоторые вопросы теории взаимодействующих полей.

Для решения поставленной задачи развит формализм проекторов спина и суперспина, позволяющий рассматривать релятивистские волновые уравнения с единой точки зрения. В формализме проекторов спина и суперспина исследование уравнений приводится к анализу числовых матриц, что существенно облегчает рассмотрение высших спинов, так как многие расчеты, в том числе вычисление функций Грина,сильно упрощаются.

Научная новизна результатов. Приведена общая форма релятивистского волнового уравнения порядка п для произволшо-го спина, найдены основы для общего анализа уравнений второго порядка и выше. Показана важность исследования уравнений со спектром масс и спинов. Развитая теория дает однозначное соответствие между нековариантными и ковариантными подходами, позволяет построить корректные уравнения, лагранжианы и функции Грина, исследовать многие проблемы взаимодействующих полей исходя из общей алгебраической структуры уравнений.

Приведены общие выражения калибровочных преобразований и ограничений на источник в случае безмассовых полей,найдены общие условия на (Ч-матрицы калибровочно-инвариантных уравнений. Построена общая теория безмассовых калибровочно-инвариантных полей произвольной спиральности, удовлетворяющая программе Паули-Фирца. Показано, что многие методы построения калибровочно-инвариантных теорий,в том числе метод обобщенных символов Кристоффеля, не являются общими.

Приведена общая форма суперполевого уравнения движения, построен и анализирован ряд новых суперполевых уравне-

ний движения. Даны общие основы теории безмассовых калибро-вочно-инвариантных суперполевых уравнений движения. Построен практически наиболее удобный алгоритм для нахождения суперпроекторов произвольного N -расширенного суперполя. Тезисы, выносимые на защиту.

1) Построен пуанкаре-базис для реализации представлений группы Пуанкаре конечномерными представлениями группы Лоренца.

2) Приведены общие основы теории массивных релятивистских волновых уравнений произвольного порядка,позволяющие построить и анализировать лагранжевые теории произвольного спина.

3) Приведены общие основы теории безмассовых калибровочно-инвариантных уравнений.

4) Построены безмассовые калибровочно-инвариантные волновые уравнения и лагранжианы для произвольной спиральности.удов-летворяющие программе Паули-Фирца.

5) Приведены общая форма массивного суперполевого уравнения движения, основы исследования суперполевых уравнений движения, дан метод построения лагранжианов и функций Грина.

6) Построены общие основы теории безмассовых калибровочно-инвариантных суперполевых уравнений движения.

Практическая ценность работы. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы в теории поля при исследовании физических свойств релятивистских волновых уравнений во взаимодействиях и в построении непротиворечивых взаимодействий для высших спинов, при анализе уравнений ко-вариантной теории струн и уравнений для компонент-полей, вытекающих из суперполевых уравнений движения. Безмассовые калибровочно-инвариантные уравнения, удовлетворяющие программе Паули-Фирца, могут быть использованы при построении непротиворечивых взаимодействий для высших спинов. Приведенный в диссертации корректный базис исследования релятивистских волновых уравнений для полей и суперполей произвольного спина необходим для решения имеющихся трудностей во взаимодействующих теориях как в классической, так и в квантовой теории.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы 1 33 научных работах, общее количество публикаций по теме

диссертации - 48.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на всесоюзном семинаре по алгебраическим методам исследования нелинейных уравнений теории поля (Тарту, 1983), на Втором всесоюзном семинаре по гравитации (Тарту, 1988), на всесоюзном школе-семинаре "Представления групп в физике" (Тамбов, 1989), на семинарах лаборатории теоретической физики ИФ АН БССР, отдела прикладных исследований ИМ АН УССР и лаборатории теоретической физики Ш АН ЭССР. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, трех приложений, списка литературы из 364 наименований и четырех рисунков. Общий объем диссертации составляет 282 страницы, в том числе 239 страниц основного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ВВЕДЕНИЕ. Дачо обоснование актуальности теш диссертации , сформулированы цель и задачи работы,раскрыта научная новизна и практическая ценность работы. Приведены данные об апробации работы и кратко изложена структура диссертации.

Раздел I. РЕАЛИЗАЦИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ПУАНКАРЕ

КОНЕЧНОМЕРНЫМИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА

В п. 1.1. приводятся основные соотношения из теории представлений унитарных неприводимых представлений группы Пуанкаре. Рассмотрена реализация представлений группы Пуанкаре в пространстве функций , преобразующихся по конечномерным представлениям группы Лоренца. В 4'-пространстве пуанкаре-генераторы имеют известную реализацию

РГ= .'ЗГ , нг = 1_г 4- $г; (1)

где - генераторы орбитального момента, 5^-генераторы

представления группы Лоренца.

В случае неприводимого представления (кД) группы Лоренца определение пуанкаре-базиса следующее: масса определяется с помощью уравнения Клейна-Гордона-2ока, спин и проекция спина определяются генераторами Ы*' . Показано, что пуанкаре-базис реализует унитарное неприводимое представление группы Пуанкаре, найден явный вид генераторов М ^ в

Пуанкаре-базисе.

В случае общего конечномерного представления группы Лоренца пуанкаре-базис определяется с помощью релятивистского волнового уравнения порядка и

¡?р... иЭр (ЬГ'-'-^ф^^ф . (2)

Уравнение (2) определяет массу физических состояний, спин и проекция спина определяется генераторами . Определен®

Пуанкаре-базиса приводится к задаче на определение собственных значений. В импульсном представлений определение пуанкаре-базиса в системе покоя рГ^ем^О) приводится к задаче

С"0° фил,-;а = ^

Ъ фил; 4С ■= Б^+^ф^.^ (3)

фм, !. с ф^^с

Каждому ненулевому собственному значению оператора - соответствуют массы мг =• 1 ^ О^) * .

В п. 1.2 рассмотрена реализация безмассовых представлений группы Пуанкаре. Показано, что при реализации конечномерными представлениями группы Лоренца необходимо только требование равенства нулю второго оператора Казимира группы Пуанкаре: "ЭД Ф - 0 . Поскольку оператор "^Х12" является ниль-потентным, то требование равенства нулю трансляций малой группы не является необходимой. В случае неприводимого представления условие О допускает спиральности

Х = к4<г.) .•->-(.*■+£) , причем они соответствуют краевым точкам весовой диаграммы данного представления. Требование равенства нулю трансляции малой группы является добавочным условием, которое приводит к теореме Вайнберга, допускающей только спиральности > = ±0<-<и.

В п. 1.3 рассмотрена проблема нахождения вспомогательных групп. Исходя из теории сжатий групп и алгебр Ли найдена общая структура групповой алгебры исходной группы с генераторами Б**", ^г , из которой с помощью деформации получаются все вспомогательные группы, связанные с уравнениями первого порядка. Найдена одна новая нетривиальная

вспомогательная группа, изоморфная прямому произведению группы Лоренца и группы "50(1,4).

В п. 1.4 приводятся основные соотношения формализма спинпроекторов. Рассмотрим представление, где <\ разложена в прямую сумму \ь неприводимых представлений ф = 4^®фг.®. .ф^ч.» где преобразуется по неприводимому представлению 1=0^,10 группы Лоренца. Тогда нековариантные спинпроекторы определяются через коэффициенты Клебша-Гордона

- (4)

и удовлетворяют соотношениям

^ ^ = 8-Ь^к (5)

(по j не суммируется). Все операторы, коммутирующие в системе покоя с операторами спина и проекции спина, выражаются через спинпроекторы ^ .

Ковариантные спинпроекторы Р , удовлетворяющие тем

же соотношениям ( 5), получаются из ковариантных операторов

(б)

0 . ..о ,5

где ~с = т ^ , соотношением

Р!г -(О)'^п!- . (7)

л

Спинпроекторы Р^ являются нелокальными. Максимальная нелокальность Р' определяется в зависимости от представлений и и ] следующим образом

Раздел II. МАССИВНЫЕ РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ

В п. 2.1 приводится общий вид релятивистского волнового уравнения порядка

где

р-'Ч*)-!^! , , г. (ю)

Операторы Рс| выражаются в виде

= , (И)

где сумма берется по общим спинам б в представлениях I и ^ ,

¿-■¡10 е С .

Выбором свободных параметров си[ & С определяется спектр масс и спинов уравнения (9). 4 О , когда (к;,<2;)® (1/2,1/2) 3 (^,2.,), в противном случае ас(-=0.

Приведены общие формулы для определения коэффициентов ] Ш, что кроме уравнений первого порядка позволяет исследовать уравнения второго порядка и выше. В случае уравнений первого порядка получается теория, эквивалентная теории Гельфанда-Яглома, но более удобная в приложениях. В случае уравнений второго порядка и выше впервые получены общие соотношения для систематического построения и анализа уравнений.

Для исследования спектра масс и спинов разложим Т| -(-а) (9) по спинам

и = ТТ* =(.-□)* Ц2)

Исследование уравнения (9) приводится к исследованию числовых их >ь матриц - приведенных матриц спина

^ -- еЦЧУ ). (13)

Каждому ненулевому собственно^ значению X матрицы соответствуют массы соответствующие спину 5 . Когда спин ь уравнением не описывается, (Ц является нильпотентной и ненулевых собственных значений не имеет.

В п. 2.2 приводятся общие соотношения для нахождения матриц пространственного отражения Пи инвариантной билинейной формы А

П = I -Ц I , А- I. (14)

В обоих случаях -Ц выражаются в виде

= I Хс^НЛ, , (15)

Приведены общие соотношения для определения сЦ- и % . В

случае спинорных представлений показана возможность построения нестандартного Р-оператора.

Лагранжиан определяется из уравнения с помощью согласованной с уравнением билинейной формы, которая определяется из ( 0 )+А = А Матрица А определяет сопряженную волновую функцию ф. Лагранжиан получается из^урав-нения (9) умножением на сопряженную волновую функцию + •

В п. 2.3. приводится общая процедура нахождения функций Грина для уравнений первого и второго порядков. Функция Грина определяется через делитель Клейна-Гордона. В этом случае вычисления сильно упрощаются и приводятся к оперированию с приведенными матрицами |Ъ4 .

Для уравнений Сй-^)^"} и (ií-vh1)^'"} функция Грина определяется соотношением 4" и вычисляется соответственно по формулам

&M-d/n(D + #) , 6-1*»>-<*/гНа*тг). (16)

1 = 0

где d - делитель Клейна-Гордона. Уравнение описывает состояния с массами ™Аг или vvi/YTuj .

В п. 2.4 рассматриваются минимальные полиномы матриц релятивистских волновых уравнений. В случае уравнений первого и второго порядков Tí удовлетворяют соответственно минимальным уравнениям

1-0 ' Доказано, что не существует общего, зависящего только от спина выражения для степени нильпотентности а . Из полученного результата, в частности, следует, что известная теорема Умедзавы-Висконьти, по которой для уравнений первого порядка а-2л„- где - максимальный спин в Ф -представлении, не является общей. Доказано, что не существует общего, зависящего только от ф -представления нижнего предела для степени а..

В п. 2.5 рассмотрены алгебраические условия для определения дефинитности энергии и заряда. Имеющиеся условия для определения дефинитности работают в невырожденном случае. Дано обобщение условий определения дефинитности на вырожденный случай, когда данной массе соответствует несколь-

ко спинов. Предложен метод снятия вырождения: £ -процедура, которая состоит в инфинитезимальном варьировании параметров

СЯС) .

В п. 2.6 рассмотрены некоторые внутренние симметрии релятивистских волновых уравнений. Исходя из общего определения пуанкаре-базиса и общего вида уравнения (9) доказано, что уравнение порядка у\ имеет группу внутренних симметрии

1 £

1-1 г1

где I - число ненулевых собственных значений и Кг -

число спинов, соответствующих собственному значению X; .

Отдельно рассмотрена диальная симметрия, найденная для уравнений специального вида (диракоподобные уравнения) с (!> -матрицами . ¿¡> представляется в виде прямого про-

изведения , где ф ~ биспинор Дирака и ф- некоторое

и - мерное представление группы Лоренца. Показано, что диальная симметрия, связанная с общими линейными преобразованиями ф -пространства, требует для сохранения пункаре-бази-са переопределения генераторов ф -пространства.

Кратко рассмотрена проблема описания целого спина спи-норным полем и полуцелого спина тензорным полем. Показано, что описание целого или полуцелого спина зависит от явного выбора генераторов спина.

В п. 2.7 проведен анализ некоторых известных методов построения релятивистских волновых уравнений. Рассматриваемые методы построения массивных релятивистских волновых уравнений являются частными и предложены в основном для вывода одночастичных уравнений. В работах Сингха и Хагена построена лагранжевая теория произвольного спина для симметричных тензорных полей к'"1^ и тензор-биспинорных полей ф/4"'^. Недостатком теории Сингха-Хагена является присутствие добавочных условий на полевые переменные и уравнения смешанного порядка в случае бозе-полей.

Рассмотрен корневой метод построения уравнений, в котором исходят из уравнения более высокого порядка, описывающего чистый един 5 . Показано, что введение уравнений более высокого порядка не является необходимым. Из общего вида уравнения (9) - (II) следует, что уравнения различного

порядка выражаются одинаково через спинпроекторы Р^ .

Из уравнений со специальной структурой отдельно рассмотрены уравнения с барнаклами. Уравнения с барнаклами I и II типов динамически эквивалентны более простым уравнениям, когда взаимодействие не меняет общую структуру уравнения.

Отдельно рассмотрены уравнения, связанные с вспомогательной группой де Ситтера $0(1,4), так как многие известные уравнения связаны с этой группой. Рассмотрены уравнения типа $0(1,4), где ^-матрицы уравнения удовлетворяют б^а = к11{>Г|(Ъ''] и нетривиальные преобразования с генераторами Sf's". Отдельный интерес представляют преобразования с генераторами

□ (1д)

где р:/р и . При

Ч ^ - "¡б" (20)

получается обобщение преобразования Фолди-Ваутхойзена, при

. г- 1*1

обобщение преобразования Чини-Тушека.

Доказано, что в случае неприводимого представления О1!,10*.) группы$0(1,4) для решений уравнения, соответствующих массе ^»км/ч, и спину преобразование Фолди-Ваут-хойзена эквивалентно преобразованию Лоренца, приводящему к системе покоя, преобразование Чини-Тушека приводит к ультрарелятивистскому пределу.

В п. 2.8 проведен пересмотр релятивистских волновых уравнений для спинов 0 и I, и показано преимущество развитого в этом разделе общего подхода.

В случае уравнения Прока для спина I показано, что исходя из общей алгебраической структуры уравнения на источник должно быть наложено добавочное условие й^^-О , приводящее к перенормируемости теории.

В случае уравнений для антисимметричного тензорного поля показано, что все рассмотренные уравнения следуют из общего вида (9) при различном выборе параметров асу . Уравнения для одного спина I имеют в массивном и безмассовом

случаях одинаковую алгебраическую структуру.

Рассмотрены уравнения Кеммера-Дэффина спина I и уравнений Калри-Шамали спина I для представлений (1,1) © ® (1/2,1/2) © (0,0) и (1,0) @ (1/2,1/2) © (0,1) © (1,1) © @ (0,0). Показано, что ковариантная реализация Капри и Шамали не является корректной, поскольку она не приводит к лагранжевой теории. Найдена корректная реализация уравнений Капри-Шамали и проведен анализ уравнений при минимальном электромагнитном взаимодействии. Показано, что уравнения Калри-Шамали описывают аномальный магнитный момент.

Проведен анализ динамической эквивалентности уравнений Кеммера-Дэффина и Амара-Доццио при различных взаимодействиях. Найдены общие условия на источник уравнения Амара-Доццио, когда уравнение динамически эквивалентно уравнению Кеммера-Дэффина.

В п. 2.9 рассмотрены уравнения для высших спинов. Проведен подробный анализ различных реализаций для спинов 3/2, 2, 5/2 и 3, и многих многочастичных реализаций. Из нашего рассмотрения следует, что для построения теории высших спинов, удовлетворяющих программе Паули-Фирца, каждое 41 -представление требует в общем отдельного рассмотрения.

В случае спина 3/2 проведен общий анализ всех уравнений для вектор-биспинора, описывающих спин 3/2, спины 3/2 и 1/2 или спин 1/2. Выяснен спектр масс и спинов в зависимости от выбора параметров а;]. Проведенный анализ позволяет построить ковариантные уравнения с заданным спектром масс и спинов или выяснить массы и спины заданного уравнения.Тем самым найдена и общая алгебраическая структура уравнений. Показано, что при минимальном электромагнитном взаимодействии причинность нарушается только в случае Рариты-Швингера. В безмассовом пределе необходимы уравнения,описывающие один спин 3/2 и один спин 1/2. К этому классу относится и уравнение Рариты-Швингера супергравитации.

Для вектор-биспинора построен нестандартный Р-оператор и найден класс уравнений, Р-инвариантных относительно построенного оператора.

Проведен полный анализ уравнения Бхабха-Гупты для вектор-биспинора и биспинора, описывающего спины 3/2 и 1/2.Показано, что нарушение причинности при минимальном электро-

магнитном взаимодействии может иметь место как при дефинит-ности, так и при индефинитности заряда. Найден общий кова-риантный вид уравнения Гласса для спина 3/2.

Показано, что реализация спина 3/2 с помощью антисимметричного тензор-биспинорного поля дает приводимые уравнения и поэтому самостоятельного интереса не представляет.

В случае спина 2 проведен общий анализ всех уравнений для симметричного тензорного поля Показано, что дополнительная свобода при выборе ьцСА) в случае уравнений второго порядка, допускает уравнения для чистого спина 2, спинов 2 и 0, 2, I и 0, и I и 0. Уравнения для спинов 2, I и 0 необходимы при анализе конформно-ковариантных уравнений.

Отдельно рассмотрены уравнения спинов 2 и 0. Выяснен спектр масс и спинов в зависимости от выбора параметров а-. В безмассовом пределе необходимы уравнения, описывающие крсн ме спина 2 один спин 0.

Рассмотрена реализация Чанга и Сингха-Хагена спина 2 с помощью тензорного и скалярного полей. Найдена новая реализация, при которой добавочного ограничения на тензорное до- ■ ле не требуется. Последняя реализация представляет интерес при анализе струнных теорий.

Рассмотрена неминимальная реализация спина 2 с представлениями (3/2,1/2) © (1/2,3/2) и (2,0) @ (1,1) ® (0,2). Показано, что неминимальное описание спина 2 приводит к уравнениям спинов 2 и I или уравнениям с нефизическим спектром масс.

В случае спина 5/2 проведен общий анализ уравнений для симметричного тензор-биспинорного и биспинорного полей. Найден общий вид уравнения и лагранжиана, позволяющий рассматривать корректную теорию взаимодействий для спина 5/2. Приведенная общая форма уравнения позволяет исследовать как уравнения со спектром масс, так и безмассовые уравнения.

В случае спина 3 построена общая реализация второго порядка для симметричного тензора и вектора , удов-

летворяющая программе Паули-Фирца. Показано, что приведенные ранее реализации спина 3 Берендса-ван Рейзена и Каваса-ки-Кобаясхи не являются корректными, так как описывают кроме спина 3 еще спин I. Найденная общая форма уравнения и лагранжиана позволяет построить корректную теории взаимо-

действия для спина 3.

Из смешанных реализаций спина 3 проведен анализ уравнений для симметричного тензора U^"^ и скаляра^• Соответствующая теория не требует наложения добавочных условий и является обобщением подхода Швингера к теории спина 3.

Проведен анализ минимального электромагнитного взаимодействия для высших спинов. Детально рассмотрена проблема нарушения причинности для уравнения Рариты-Швингера, причем впервые проведен полный корректный анализ. Доказано,что нарушение причинности связано с нильпотентными состояниями спина 1/2.

В п. 2.10 рассмотрено приложение общей теории релятивистских волновых уравнений в козариантной теории бозе-струн. Анализ релятивистских волновых уравнений, следующих из струнных уравнений, позволяет исследовать непротиворечивость струнных взаимодействий. Детально рассмотрены уравнения для и=2 и 3, следующие из струнных уравнений Невьё-Вес-та. Показано, что общая структура добавочных условий полученных уравнений не допускает введения непротиворечивых взаимодействий, но уравнения струнной теории Невьё-Веста представимы в ковариантном виде без добавочных условий.

Раздел III. БЕЗМАССОВЫЕ РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ

В п. 3.1 приведены общие основы теории калибровочно-инвариантных релятивистских волновых уравнений, найдены общие выражения калибровочного преобразования и ограничения на источник, условия нар-матрицы уравнения.

В безмассовом случае исходным является уравнение (9) при ш = О

(22)

Операторы калибровочного преобразования и ограничения на источник Q : « , удовлетворяют О^тт -Я 0.^ = 0.

Когда калибровочный параметр £к преобразуется по неприводимому представлению ,то калибровочное преобразование поля ^ имеет общий вид S^-Oik^*» гДе

Олк - Ос ЦеЦ-tS) № PLSK ) (23)

s

и ö; & С . когда (К;, L) ® (-г.2:)1Э(КкЛк). Преобразо-

ванию (23) соответствует ограничение на источник, которое дается операторами

- Ео^фбЕ Р** ) > (24)

где в.С.

Приведены необходимые и достаточные условия калибровочной инвариантности уравнения (22) и существования огра-чения на источник. Калибровочная инвариантность,ограничение на источник требуют равенства нулю миноров спин-блоков Гельфанда-Яглома ^, связанных с калибровочным преобразованием. В практически наиболее интересных случаях получается условие для спинов 5 , входящих в преобразование

(23). Тем самым условия на ^ -матрицы в массивном и безмассовом случаях отличаются и массивные уравнения, следующие из калибровочно-инвариантного уравнения (2), описывают в общем несколько масс и спинов.

В п. 3.2 рассмотрены уже известные уравнения дляспи-ральностей 0 и I для векторного поля и антисимметричного тензорного поля. Показано, что уравнения "нотофа" автоматически следуют из массивных уравнений одного спина I. Выведены особенности уравнений для антисимметричного тензорного поля.

В п. 3.3 построена общая теория для произвольной целочисленной спиральности, не требующая введения добавочных условий. Для описания спиральности 1) требуется два

поля и фг., которые преобразуются по неприводимым представлениям 1= (-£,х) и 2=(х"1 , и калибровочный параметр £3, преобразующий по представлению . Общее урав-

нение следующее

□

аЧг. •К

ЬРгл с В*

0> (25)

Дана общая система уравнений для определения коэффициентов «¿¡(»в операторах Р^ . При этом существенно отсутствие спина б=и-4 в операторе Рлл . Уравнение (25) калибровочно-инвари-антко тогда и только тогда, когда , что

дает для а , <з и с следующее ограничение

Калибровочное преобразование имеет вид

Я

ф,

- ^а

Фг

у\ -4 на

ограничение на источник дается оператором

О,

и

(27)

(28)

N м

Лагранжиан уравнения (25) дается выражением

(29)

где Р^ = □ Р^' . Согласованная с уравнением (25) инвариантная билинейная форма следующая

« тФА

(30)

Из (29) следует особенность калибровочно-инвариантных теорий: для вывода уравнения (25) из свободного лагранжиана (29) требуется еще выбор явного вида билинейной формы (30). Последний факт имеет существенное значение при исследовании непротиворечивых взаимодействий для безмассовых полей, так как вид лагранжиана взаимодействия зависит от выбора сопряженной волновой функции.

Уравнение (25) имеет ковариантную калиброэку

ШРяФ, Р^Ф.) -О.

(31)

Для каждой спиральности ~Х получается класс безмассовых калибровочно-инвариантных уравнений, зависящих от явного выбора двух свободных ненулевых параметров. Условие (26) допускает преобразование , с-) рс , что выделяет

подмножество уравнений с одинаковым калибровочным преобразованием и лагранжианом, но с различными ограничениями на источник. Приведена соответствующая формула переопределения уравнения. Преобразование Ь-э , сохраняющее

(26), выделяет подмножество уравнений с одинаковым ограничением на источник, но с различными калибровочными преобразованиями и лагранжианами. Приведена соответствующая формула переопределения полевой переменной.

Рассмотрена симметричная и тетрадная реализации калиб-

ровочного поля ф. При всех реализациях структура общего калибровочного уравнения следующая

я, 0 (32)

□ <*р2, сРгг АЪа Ф,

0 0

где соответствует всем представлениям кроме I и 2.

Когда с)= е. = 0, уравнение (32) приводится к (25) и дает реализацию без добавочных ограничений. Уравнение имеет добавочную калибровочную инвариантность £ф - Ф«. • Теория Фро-нсдэла соответствует А=0, е./0 и требует для Л ^ 4 наложения добавочного ограничения ^ = 0 . Теория де Вита-

Фридмена соответствует <А ¿0, е,/0 и поэтому не дает без наложения добавочных ограничений лагранжевую теорию. В имеющихся теориях наложено ограничение Е-^Р5 "" [**"' =0 » поэтому калибровочное преобразование не имеет требуемого вида (27).

Доказано, что при А - е =0 симметричная и тетрадная реализации эквивалентны.

Показано, что при тетрадной реализации возможно описание нулевой спиральности с помощью поля фл , которое преобразуется по представлению (^»^Н) @ (т Ч • При и =2 получается уравнение "нотофа", прии=3 уравнение "нотиварга".

В п. 3.4 рассмотрены безмассовые уравнения для спиральности 2. Проведен общий анализ калибровочно-инвариант-ных уравнений для симметричного тензорного поля, найдены функции Грина. Показано, что при подходящем выборе параметров получаются линеаризованные уравнение Эйнштейна, уравнение релятивистской теории гравитации и уравнение де Вита-Фридаена. Найдено уравнение, применимое в теории струн.

Проведен анализ конформно-ковариантных уравнений спина 2. Показано, что все они являются приводимыми и имеют тривиальную структуру. Источник,предложенный для конформно-ко-вариантных уравнений, спина 2 не содержит.

В п. 3.5 рассмотрены безмассовые волновые уравнения спиральности 3 для симметричного тензорного поля. Проведен анализ общей теории спиральности 3, где на калибровочный параметр добавочных ограничений не наложено.

В п. 3.6 найдены корректные безмассовые уравнения и

лагранжиана для симметричного тензорного поля для спиральности 4. Доказано, что метод обобщенных символов Кристоффе-ля при Я =4 не работает и требует для 4 модифицирования.

В п. 3.7 построена общая теория для произвольной!полуцелой спиральности . Для описания спиральности ">,= и + ^ требуется три поля Ф, 5 Фг. и Ф> , преобразующиеся соответственно по представлениям I = Сх + а'^©(-аГ'х-1- , 2 = Сх'Т-г)®1хЧ'х) и 3 =(£-£,й-нМ-Н.^-г) и калибровочный параметр , преобразующий по представлению 4 =Сх1!х"з:)ф ©Ох"г>х) • Общее уравнение следующее

Ф

€

О

i

о

= 0.

(33)

Уравнение (33) калибровочно-инвариантно тогда и только тогда, когда -О(&--£>•••> и- \ ) , что налагает на параметры следующие ограничения

(2.иИ)и(.ч-/|)

(34)

Калибровочное преобразование имеет вид

Р« и

Ф,

8

Ф*

еСи-О л р — ГЙГ)

(35)

<*1-(ун

ограничение на источник дается оператором

vi

"Ыи+О Ьг Лагранжиан имеет вид

Ь^+О I м5

+

(36)

(37)

+ е

где (Ц . Инвариантная билинейная форма следующая

фф4,Ф, + ^Ф.Ф^-Й-4;Ф5. (38)

Условия (34) допускают преобразование параметров а-> о,, , с->рс< , е.-> ч е., •{--}>'•{- , выделяющее подмножест-

во уравнений с одинаковым калибровочным преобразованием и лагранжианом, но с различными ограничениями на источник и билинейной формой. Найдено соответствующее переопределение уравнения. Преобразование Ь -» 4> , а-) рл , сч рс, е.-> ре., с!-э

выделяет подмножество уравнений с одинаковым ограничением на источник, но с различными калибровочными преобразованиями, лагранжианами и билинейными формами. Найдено соответствующее переопределение поля.

Рассмотрены симметричные и тетрадные формулировки спи-ральности >1 В обоих случаях калибровочно-инвариантное

уравнение имеет общий вид

|?>и

О О

С^ьь

О

О

а

о о

1л ^«л

= 0

(39)

где через обозначены все представления кроме I, 2. и 3.

При ^ -Ь-О уравнение (39) соответствует (33) и дает реализацию без добавочных ограничений на поле и калибровочный параметр. Уравнение имеет добавочную калибровочную свободу Теория Фанга-Фронсдэла соответствует О и требует для и > 3 наложения добавочного ограничения Теория де Вита-Фридмена соответствует ^О, й^О к не дает без наложения добавочных ограничений лагран-жевую теорию. В имеющихся теориях на калибровочный параметр наложено ограничение -О, поэтому калибровочное преобразование не имеет требуемого вида (35).

Доказана эквивалентность симметричной и тетрадной реализации для полуцелой спиральности.

В п. 3.8 проведено подробное исследование безмассовых уравнений для вектор-биспинора. Найдены безмассовые пропа-гаторы и решена проблема безмассового предела массивных пропагаторов. Доказано, что в случае общего источника различные реализации спиральности 3/2 динамически неэквивалентны.

Показано, что конформно-ковариантное уравнение спина

3/2 является приводимым, а предложенный для этого уравнения источник содержит только спин 1/2.

В п. 3.9 рассмотрены безмассовые уравнения спиральнос-ти 5/2 для симметричного тензор-биспинора. Приведена полная реализация спиральности 5/2, не требующая добавочных ограничений, анализированы рассмотренные ранее реализации.Найдено безмассовое калибровочно-инвариантное уравнение, которое получается в безмассовом пределе из массивного уравнения спина 5/2. Полученная реализация имеет два независимых калибровочных преобразования и ограничения на источник.

В п. 3.10 приведена корректная реализация спиральности 7/2, которая не требует добавочных ограничений и выводится из лагранжиана. Показано, что реализация де Вита-Фридмена является дефектной.

Показано, что метод обобщенных символов Кристоффеля в случае и>3 не работает и требует модифицирования.

В п. 3.II рассмотрено некалиброгочное описание безмассовых состояний, приводящее к уравнениям, удовлетворяющим теореме Вайнберга. Для неприводимого представления (кД) приводится уравнение

-Ск + О^Ч- (40)

Доказано, что уравнение (40) описывает спиральности \-± (.4.-1) . В случае антисимметричного тензорного поляра из (40) получаются уравнения Максвелла.

Раздел 1У. СУПЕРПОЛЕВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

В п. 4.1 рассмотрена общая структура супер-Пуанкаре алгебр. Показано, что при расширении пуанкаре-алгебры с генераторами РР, М Pv супергенераторами S* ..., ч), перестановочные соотношения для S* имеют вид

[Si.Mn-s^Sp , is^fb-ifrO^pr, (4i)

где Sгенераторы некоторого и-мерного представления группы Лоренца, р>Г -матрицы релятивистского волнового уравнения первого порядка, соответствующего представлению с генераторами SP". Рассмотрены различные реализации SP" и jiP .допускающие расширение обычных супералгебр.

В п. 4.2 выводятся суперпроекторы для произвольного суперполя ф^б) с лоренц-индексом U . Найден компактный вид суперпроекторов для произвольного N-1 суперполя и степень нелокальности Еу.

В п. 4.3 рассмотрен вывод суперпроекторов для Ы-расширенного суперполя dUOijÔA, ) . Приведен общий алгоритм нахождения суперпроекторов, являющийся наиболее экономным из имеющихся алгоритмов. Исходными являются îN N= 4 суперпроекторов скалярного суперполя , из которых построят 3N суперпроектора вида Е^'Е*2-,,, En ^ . Дана процедура вывода суперпроекторов Еv .

В п. 4.4 приводится общий вид суперполевого уравнения движения, которое является обобщением уравнения (9) на суперполевой случай. Общее суперполевое уравнение порядка И запишется в виде

$ - »и'ф , (42)

где

- |CU) Ecj | , $ = , Ь. (43)

Операторы Ecj имеют вид

Eip EoUjWE^ , (44)

V P>'

где суперпроекторы удовлетворяют соотношениям t cj tj*. =

Sw' Eu (no j не суммируется). Свойства суперполевого уравнения (42) определяются приведенными матрицами суперспинов

f>v . (45)

Каждому ненулевому собственному значению Л матрицы соответствуют массы ио(>) /п состояний суперспина V . Когда суперспин У уравнением (42) не описывается, матрица является нильпотентной.

Приведена общая процедура нахождения лагранжианов и функций Грина.

В п. 4.5 проведен анализ суперпояевых уравнений движения для суперспинов 0, 1/2 и I. Более подробно рассмотрены уравнения для скалярного кирального суперполя и биспино-

рного суперполя для суперспинов 0 и I, найдены функции Грина .Анализированы уравнения для компонентных полей. Для общего анализа компонентных полей необходимы результаты, полученные во втором разделе.

В п. 4.6 рассмотрены новые уравнения для векторного суперполя и скалярного суперполя , описывающие суперспин 3/2, и. в зависимости от выбора операторов Ее- и параметров ам- , более низкие суперспины 0, 1/2 и I.

Для описания чистого суперспина 3/2 требуется привлечение скалярного суперполя, которое позволяет элимшировать суперспин 0. Общее суперполевое уравнение для !\г(х,&) и ф(*|©)

ЦСо * НБ Б - -Г их'] - Б, зУ ь V4 +

- -Ь- Т) I) Зл - ц- (I) о ^ ^ф - о

При =-4/9,с= 2/3 уравнение (46) описывает чистый суперспин 3/2. При других значениях параметров а, £> и с, уравнение (46) описывает кроме суперспина 3/2 еще суперспин 0. Проведен анализ спектра масс и суперспинов, найден общий лагранжиан и функции Грина.

Проведен анализ новых уравнений для суперспинов 3/2 и 1/2, 3/2 и I.

В п. 4.7 приведена общая теория безмассовых калибро-вочно-инвариантных суперполевых уравнений движения. Результаты пункта 3.1 обобщаются на суперполевой случай. Калибровочное преобразование безыассового уравнения

= О (47)

представляется для калибровочного параметра в виде

Зек = сЛ. г., , (а-к = о^оитЕ:*. (48) Ограничение на источник дается операторами

С. =" Ф Е^ , (49)

Найдены необхолч-'-уе и достаточные условия калибровочной инвариантности укг.-чомия (47).

В п. 4.0 :,гоГ'?:'чен анализ безмассового суперполевого

уравнения (46). Найдено калибровочное преобразование и ограничение на источник. Показано, что при взаимодействии получается модифицированное уравнение Огиевецкого-Сокачева линеаризованнойМ= I супергравитации. Проведен анализ уравнений линеаризованной N = I супергравитации для векторного суперполя (х, &) .

В п. 4.9 рассмотрены уравнения для скалярного кираль-ного N1=2 суперполя. Найдены суперпроекторы Б;,. Показано, что для уравнений с физическим спектром масс необходимо привлечение добавочных суперполей.

В трех приложениях приводятся общие формулы для вычисления оц (Л) , явный вид проекторов Р^ и Е^- для различных представлений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1) Для реализации представлений группы Пуанкаре конечномерными представлениями группы Лоренца построен пуанкаре-базис, который реализует неприводимы представления Показана необходимость применения релятивистских волновых уравнений при построений пуанкаре-базиса. Для реализаций безмассовых представлений (0,^ ) необходимо равенство нулю второго оператора Казимира. Релятивистские волновые уравнения являются добавочными условиями, которые выделяют нужные спиральности.

2) Построена общая форма массивного релятивистского волнового уравнения порядка и, позволяющая с единой точки зрения построить и анализировать ковариантные волновые уравнения произвольного спина. Получены некоторые новые результаты в общей теории релятивистских волновых уравнений, приведены основы лагранжевой теории и приложение развитого формализма при исследовании свободных и взаимодействующих полей.

3) Приведены общие основы построения безмассовых калибро-вочно-инвариантных волновых уравнений. Дана общая форма калибровочного преобразования и ограничения на источник, найдены общие условия на матрицы безмассовых калибровочно-инвариантных уравнений.

4) Приведена общая лагранжевая теория безмассовых калиб-ровочно-инвариантных полей для произвольной спиральности,

удовлетворяющая программе Паули-Фирца. Исследованы различные реализации калибровочного поля, решена проблема безмассового предела массивных пропагаторов, проведен анализ ка-либровочно-инвариантных уравнений для симметричной реализации калибровочного поля. Показана ограниченность метода обобщенных символов Кристоффеля.

5) Построена общая теория массивных суперполевых уравнений движения и основы исследования суперполевых уравнений. Проведен анализ суперполевых уравнений движения для суперспинов 0, 1/2, I и 3/2. Найден общий алгоритм построения суперпроекторов для произвольного N -расширенного суперполя.

6) Построены общие основы теории безмассовых калибровочно-инвариантных суперполевых уравнений движения. Проведено исследование уравнений линеаризованной N = I супергравитации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Лойде Р.-K.P. Преобразование Фолди-Ваутхойзена для уравнений, связанных с группой де Ситтера// ТШ>. 1975. Т.23. № I. С.42-50.

2. Лойде Р.-K.P. 0 внутренних симметриях релятивистских волновых уравнений// Изв. вузов. Физика. 1983. T.8.C.III--112.

3. Лойде Р.-K.P. Безмассовые уравнения для антисимметричного тензорного поля// Изв.вузов. Физика. 1967. Т.9. С.95--99.

4. Лойде Р.-K.P. К теории частиц со спинов 3/2// Изв.вузов. Физика. 1987. T.II. С.89-93.

5. Loide R.-K., Koiv М., Saar R. Single mass equations for an antisymmetric tensor-bispinor // J.Phys.A: Kath. Gen. 1983. V. 16. No 3. P. 463-467.

6. Koiv I.!., Loide R.-K. On the conditions for definiteness of energy and charge// J.Fhys.A: Math. Gen. 19a3. V. 16. No 11. P. 2353-2361.

7. Loide R.-K. Equations for a vector-bispinor// J.Fhys.A: Math. Gen. 1984. V. 17. No 12. P. 2535-2550.

8. Loide R.-K. An analogy between the spin-2 and superspin--3/2 equations of motion// J.Phys.A: Math. Gen. 1985. V. 18. No 14. P. 2833-2847.

9. Loide К.-К. Massless spin-5/2 wave equations//.!.Phys. A: Hath.Gen. 1986. V. 19. No 5. P. 811-820.

10. Loide E.-K. On conformally covariant spin 3/2 and spin 2 equations // J. Phys. A: Math.Gen. 1986. V. 19. Wo 5. P. 827-829.

11. Loide E.-K. Some remarks on the internal synunetries of relativistic wave equations // Acta Phys. Pol. 1983 • V. B14. No 9. F. 671-678.

12. Loide T.-K. On superprojectors // Phys. Lett. 1984. V. BW. No 1,2. P. 61-63.

13. Лойде P.-К. Электромагнитное взаимодействие для высших спинов // Изв. АН ЭССР, Фпз.-Матем, 1973. № 22. Ji 3 . С. 317-319,

14. Лойде Р.-К. Уравнения для одной массы // Изв. АН ЭССР. Физ.-Матем. 1974. Т. 23. № 3. С. 203-209.

15. Koiv М., Loide В.-К. A note on superfield algeras // Изв. АН ЭССР. Физ.-Матем. 1976. Т. 25. I? I. С. 69-71.

16. Koiv М., Loide Е.-К., Saar Е. Physical parameters for а class of high-spin wave equations /Д1зв. АН ЭССР. Физ.-Матем. 1982. Т. 31. № 3. С. 300-303.

17. Loide E.-K. On the degree of the minimal equations for first order wave equations // Изв. АН ЭССР. Физ.-Матем.

1982. Т. 31. №4. С. 434-436.

18. Loide R.-K. Higher-rank representations and causality// Изв. АН ЭССР. Физ.-Матем. 1982. Т. 31. № 4. С. 451-453.

19. Saar К. , Loide E.-K. On linearization of the Klein-Gordon equation Ъу ¿lontraditional methods // Изв. АН ЭССР. Физ.-Матем. 1983. Т. 32. Ji> I. С. 95-104.

20. Loide R.-K., Suurvarik P. Superfield equations for scalar and spinor superfields // Изв. АН ЭССР. Физ.-Матем.

1983. Т. 32. № 2. С. I65-I7I.

21. Loide R.-K. On the acausality of spin 3/2 wave equations // Изв. АН ЭССР. Физ.-Матем. 1983. Т. 32. № 2. С. 172-178.

22. Loide R.-K., Suurvarik P. On the spinor superfield equations of motion // Изв. АН ЭССР. Физ.-Матеы. 1984. Т. 33. № 2. С. 188-196.

23. Loide R.-K., Suurvarik P. Superfield equations of motion // Изв. АН ЭССР. Физ.-Матем. 1985. Т. 34. № 3. С. 248.264.

24. Лойде Р.-К. Об уравнении Ваба-Гупты // Изв. АН ЭССР. Физ.-Матем. 1985. Т. 34. № 3. С. 318-320.

25. boide К.-К., Polt A. Zero mass limit of apin 3/2 wave equation // Изв. АН ЭССР. Физ.-Матем. 1986. T.35. » I. C. 43-55.

26. Лойде P.-К. К теории безмассовых калибровочных полей// Изв. АН ЭССР. Физ.-Матем. 1988. Т. 37. № I. С. 1-5.

27. Loide В.-К., Polt A. Spin-3 wave equations //Изв. АН ЭССР. Физ.-Матем. 1988. Т. 37. Я 3. С. 322-325.

28. Koiv II., Loide Н.-К., Ots I., Saar Е. On the mas3less representations of the Poincare group // Изв. АН ЭССР. Физ.-Матем. 1988. Т. 37. № 4. С. 397-405.

29. Лойде Р.-К., Отс И., Саар Р. Безмассовые калибровочные поля// Тр. ин-та физики АН ЭССР. 1967. Т.62." C.I83-I9I.

30. Лойде Р.-K.P., Суурварик П.А. Уравнение линеаризованной супергравитации. Точные решения уравнений гравитационного поля и их физическая интерпретация (Тезисы докл.II всесоюзн.' научного семинара. Тарту 1988), Тарту, 1988. С. 120-122.

31. Лойде Р.-K.P., Польт А.Р. Калибровочно-инвариантные уравнения для симметричного тензорного поля. Точные решения уравнений гравитационного поля и их физическая интерпретация (Тезисы докл. II всесоюзн. научного семинара. Тарту 1988), Тарту, 1988. С. 123-124.

32. Лойде Р.-K.P. Безмассовые калибровочные поля произвольной спиральности. ТЛИ. Таллинн, 1988, 25 с. // Рукопись деп. в Эст НИИ НГИ № 6-Эс88.

33. Лойде Р.-К.Р. Реализация представлений группы Пуанкаре конечномерными представлениями группы Лоренца. ТЛИ. Таллинн, 1988, 20 с.// Рукопись деп. в Эст НИИ НГИ № 7-Эс88.

Институт физики Академии наук Эстонии

Лойде Р.-К.Р.

РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ

ПОЛЕЙ И СУПЕРПОЛЕЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО СПИНА

01.04.02. - теоретическая физика

На русском языке

Подписано к печати 18.08.89 г. MB-031CG

Формат 60*84/16. Печ.л. 1,75. Усл. печ. л. 1,62. Уч.-изд. л. 1,4

Тираж ISO. Зак. № 489. Бесплатно

Ротапринт ТПИ, 200006 Таллинн, ул. Коскла, 2/9 -