Исследование структуры и причинности Пуанкаре-инвариантных уравнений движения частиц произвольного спина тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Раздел I. ИБДУВДРОВАННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ВОЛНОВЫЕ

ФУНКЦИИ.

§1.1. Общая теория индуцирования.

§ 1.2. Волновые функции.

§ I.3. Представления группы Пуанкаре

§ 1.4. Релятивистские волновые функции . 26 Раздел 2. НЕКОТОРЫЕ ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ

ОДНОЙ МАССЫ.

§ 2.1. Инвариантные уравнения.

§ 2.2. Связь уравнений типа SCb.y с уравнениями для одной массы.

JS 2.3. Линеаризация уравнения Клейна-Гордона-Фока с помощью прямоугольных матриц.

§ 2.4. Линеаризация уравнения Паули-Вардена при помощи алгебры Кеммера-Дэффина с- нулевым спином

Раздел 3. СПЕКТР МАСС НЕКОТОРЫХ ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ВЫСШИМИ СПИНАМИ.

§ 3.1. Представление £<(1).

§ 3.2. Четность.

§ 3.3. Представление Ri(k).

§ 3.4. Представление RA (к) вырожденной схемой зацепления

§ 3.5. Представление С&).

§ 3.6. Уравнение для антисимметричного тензор-биспинора

Раздел 4. ПУАНКАРЕ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО СПИНА И ПРИЧИННОСТЬ.

§ 4.1. "Динамическое" представление алгебры Пуанкаре.

§ 4.2. Инвариантные уравнения относительно алгебры /г

§ 4.3. Причинность

§ 4.4. Уравнение Кеммера-Дэффина для спина I с Пуанкаре-инвариантным взаимодействием

ЗАКЛШЕНИЕ.

Кинематические аспекты теории элементарных частиц в основном определены симметрией пространства-времени, в котором происходят физические события. Из принцип относительности Эйнштейна следует, что группой симметрии является группа Пуанкаре , относительно которой инвариантны физические законы. Это означает, что уравнениям движения любой квантовомеханической систео мы соответствует представление группы и тем самым эти уравнения движения ковариантны относительно преобразований этой группы /1,2/. Классическими примерами таких уравнений являются уравнение Клейна-Гордона-Фока для частиц с нулевым спином и уравнение Дирака для частиц со спином 1/2.

Первые релятивистски-инвариантные теории для произвольного спина были предложены Дираком, Фирцом и Паули /3,4,5/. Позднее Рарита и Швингер /6/ и Баргманн и Вигнер /7/ предложили одночас-тичные теории для высших спинов. В этих теориях волновые функции были построены при помощи симметрических тензоров и спиноров. Многочастичные уравнения впервые были рассмотрены Бхабхой /8,9/, которой исследовал обпро структуру как самих -матриц инвариантного уравнения, как и р>-алгебру, порожденную этими матрицами.

Гельфанд и Яглом /10/ получили формулы, определяющие общий вид релятивистски-инвариантных уравнений первого порядка и выяснили, в каком случае эти уравнения могут быть получены из инвариантной функции Лагранжа.

Условия на -матрицы, при которых уравнение движения содержит только одну частипу, были найдены Хариш-Чаццром /II/. Систематический анализ структуры Р>-матриц инвариантных уравнений проведен также в работах /12-15/.

Как правило, уравнения для высших спинов содержат большее число компонент, чем число возможных состояний одного единого спина. Поэтому для выделения единственного спина на волновые функции надо наложить дополнительные условия /6,7/. В некоторых случаях эти дополнительные условия можно включить в само уравнение движения /5,16/.

Существуют и уравнения движения без лишних компонент /17, 18/. Они построены на базе уравнения Шредингера и в случае спинов <6 >--/ оказываются интегро-дифференциальными. Теория поля для произвольного спина без лишних компонент предложена Вейнбер-гом /19/. В этой теории любая компонента волновой функции удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона-Фока. Различные уравнения для высших спинов предложены также в работах /20-23/. Проблемам, связанным с уравнениями произвольного спина, посвящено более 1000 статей.

Большим недостатком теории уравнений высшего спина (4>4) является то, что при взаимодействии большинство одночастичных уравнений становятся противоречивыми. Трудности появились уже в работе Дирака /3/, когда он попытался расширить свою теорию, учитывая взаимодействия при помощи подстановки д^ ср йц. Далее Фирц /4/ отметил, что такие трудности характерны для теории с высшими спинами вообще. Эти трудности имели алгебраический характер. Оказалось, что из-за дополнительных условий при учете взаимодействий уравнение имеет меньше степеней свободы, чем на самом деле требуется для описания частицы со спином 3/2.

Паули и Фирц предложили выход из этого положения: они включили дополнительные условия в само уравнение /5/.

Новые трудности появились при квантовании теории поля со спином 3/2, учитывающей взаимодействия: противоречивыми оказались Лоренц-инвариантность и антикомщутационные соотношения /24/. Б частности, некоторые антикоммутационные соотношения становятся неположительно определенными.

Дополнительные трудности на классическом уровне появились в связи с причинностью. В работе /25/ было обнаружено, что если в явно ковариантные уравнения для частицы со спином 3/2 ввести релятивистски-инвариантным способом взаимодействие с внешним электромагнитным полем, то частица, описываемая таким уравнением, будет двигаться со сверхсветовой скоростью. Это привело к появлению ряда фундаментальных проблем. Трудности, проявившиеся в уравнениях с высшими спинами, могут носить принципиальный характер и указывать на противоречивость математического аппарата теории. Была также высказана гипотеза, что частицы со спинами л >А являются составными. Но несостоятельность этой версии стала очевидной после открытия резонансов со спинами 3/2, ., II/2 в пион-нуклонных процессах. Более того, теория супергравитации требует существования элементарных частиц со спинами 3/2 (гравитино) и 2 (гравитон) /26/.

Эти факты еще раз свидетельствуют о том, что теория инвариантных уравнений произвольного спина играет важную роль в решении актуальных проблем теоретической физики.

В связи с проблемой внешнего поля стали исследоваться разные одночастичные и многочаотичные инвариантные уравнения, а также уравнения с вырожденными схемами зацепления. Оказалось, что большую роль в явлениях акаузальности играет структура матриц. Все уравнения с диагонализуемыми ^-матрицами при минимальном взаимодействии описывают причинное распространение /27/. Тогда как уравнения с невырожденными схемами зацепления, ft-матрицы которых в качестве подматриц содержат нильпотентные матрицы, обладают решениями в виде волн, tраспространяющихся со сверхсветовыми скоростями.

Каузальные аномалии исследованы и в случае учета взаимодействия с другими полями /28/. В конечном счете не исключена возможность, что акаузальность является реальным физическом эффектом, который необходимо исследовать, например, с учетом роли излучения или радиационных поправок.

Однако несмотря на большое количество исследований, проблем ма внешнего поля до сих пор остается нерешенной.

С другой стороны, изучение структуры р>-матриц привело к открытию дополнительных симметрий релятивистски инвариантных уравнений /29,30/. Уравнения высших спинов важны и с точки зрения суперсимметрии. Оказывается, что уравнения движения суперполя в компонентной форме содержат уже известные Пуанкаре-инвариантные уравнения /31,32/, например, уравнение Клейна-Гордона-Фока, уравнение Прока для спина I, уравнение Рариты-Швингера для спина 3/2.

В настоящей диссертации в основном рассматриваются вопросы, связанные со структурой и причинностью Пуанкаре-инвариантных уравнении высших спинов. В первом разделе исследование общей структуры волновых функций при помощи теоретико-группового метода проводится в формализме индуцированных представлений. Исследуется роль вспомогательного представления подгруппы индуцирования и роль вспомогательной группы в построении соответствующих волновых функций. Большое внимание уделяется дополнительным условиям, которые необходимы для полного определения волновых функции. При этом найдены некоторые возможности для выражения этих дополнительных условий в виде действия конкретных операторов. С этой целью подробно анализируется действие оператора эрмитовой билинейной формы.

Второй раздел посвящен некоторым проблемам одночастичных уравнений. Так как при учете взаимодействий дополнительные условия приводят к противоречиям, то исследуется возможность включения этих условий в само уравнение. Конкретно анализируются соотношения между уравнениями типа S 0л>ц и уравнениями Хариш-Чандра. Для получения одночастичных уравнений рассматриваются два нетрадиционных метода линеаризации уравнений второго порядка. В частности, уравнение Клейна-Гордона-Фока линеаризуется с помощью прямоугольных матриц с возможной минимальной размерностью а уравнение Паули-Вардена - с помощью (J -алгебры Кеммера-Дэф-фина с нулевым спином.

В третьем разделе рассматривается зависимость спектра масс от свободных параметров -матриц в случае некоторых конкретных представлений группы Лоренца. Исследуются области изменения этих параметров, которые определяются спектром масс и требованием ненарушения причинности.

В четвертом разделе исследуется связь между Пуанкаре-инвариантностью и причинностью. Для достижения максимальной Пуанкаре-инвариантности взаимодействие специального вида вводится в алгебру Пуанкаре и находятся уравнения, инвариантные относительно этой новой алгебры. Исследуется вопрос о том, имеются ли среди этих уравнений такие, которые описывают причинное распространение .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации проведено исследование структуры и причинности некоторых Пуанкаре-инвариантных уравнений движения частиц произвольного спина.

1. Исследование групповой структуры уравнений ведется на основе аппарата иццуцированных представлений. Рассмотрена связь между подгруппой индуцирования и вспомогательной группы. На базе представления подгруппы индуцирования и представления вспомогательной группы построено пространство функций, на которое действует индуцированное представление. Впервые даны соотношения, которым удовлетворяют эти зависящие от свободных параметров функции построенного пространства.

В случае группы Пуанкаре сконструированные функции являются волновыми функциями, спектр спинов которых определяется названными параметрами. Подробно исследовано определение параметров при помощи добавочного требования, чтобы волновые функции были собственными функциями эрмитовой билинейной формы.

2. Найдена связь между уравнениями типа SOw и уравнениями Хариш-Чандра для одной массы и одного спина. Впервые показано, что матрицы Хариш-Чандра обладают проекционными свойствами, которые позволяют выделить из спектра масс и спинов, определенных представлениями группы S о ич , единственный спин и единственную массу. Дан конкретный анализ для случая представления типа 50,ич , ) . Проведены вычисления для спинов 3/2 и 5/2. В случае спина 3/2 полученное уравнение оказывается уравнением Паули-Фирца. Найдены условия, при которым уравнение Паули-Фирца эквивалентно уравнению Рариты-Швингера.

3. Для линеаризации уравнения Клейна-Гордона-Фока найдены такие прямоугольные матрицы с минимальной размерностью, с помощью которых получаются уравнения движения первого порядка со схемами зацепления (к, о) (k-i) т ) (уравнение Хэли) и ( К/0) ^ ( к + iii)>

4. С помощью -алгебры Кеммера-Дэффина для нулевого спина впервые линеаризовано уравнение Паули-Вардена при наличии электромагнитного взаимодействия. Для полученного уравнения первого порядка сконструирован инвариантный лагранжиан и выведено уравнение для собственных значений оператора энергии.

5. Исследован спектр масс в зависимости о свободных параметров для представлений Лоренца (к, к- 4 ) + (к-^к"- ) +

Найдена область значений параметров и четности соответствующих состояний. Показано, что выбор масс частиц с одним значением спина единственно определяет массы всех остальных частиц. Найдено, что параметры, соответствующие уравнению Рариты-Швин-гера принадлежат нефизической области.

6. Найдены все уравнения с единственной массой для представления группы Лоренца, соответствующего антисимметричному тензору-биспинору. Показано, что все они приводимые, т.е. распадутся на независимые одночастичные уравнения. В частности, одночастичное уравнение со спином 3/2

-к) = 01 рд. JV ] эквивалентно уравнению Рариты-Швингера.

7. В случае специального вида внешнего поля впервые сконструированы динамические представления алгебры Пуанкаре для произвольного спина. Они получаются при помощи введения взаимодействия в саму алгебру Пуанкаре, не нарушая ее структурных постоянных. Показано, что относительно этих представлений взаимодействующие частицы ведут себя как свободные.

8. Метод динамического представления использован для анализа взаимодействия между полями. Впервые построены уравнения движения частиц произвольного спина, инвариантные в случае специального внешнего поля относительно динамического представления. Показано, что среди полученных уравнений существуют такие, которые описывают причинное распространение разрывов второго порядка. Более подробный анализ проведен для случая Кеммера-Дэффина со спином I.

В заключении диссертант приносит благодарность Р.-К. Лойде за руководство настоящей работой, а также признателен М.Кыйву за плодотворные дискуссии.

1. Wigner Е. On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group - Ann. Math., 1939, vol. 40, No 1, pp. 149-204.

2. Вигнер E. Теория групп M.: ИЛ, 1961, - 443 с.

3. Dirac P.A.M. Relativistic wave equations Proc. Roy. Soc., 1936, vol. A155, pp. 447-459.

4. Fierz M. Uber die relativistische Theorie kraftefreier Teil-chen mit beliebigem Spin Helv. Phys. Acta, vol. 12, 1939, pp. 3-37.

5. Fierz M., Pauli W. On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field Proc. Roy. Soc., 1939, vol. A173, pp. 211-232.

6. Rarita W., Schwinger J. On a theory of particles with half-integer spin Phys. Rev., 1941, vol. 60, No 1, pp. 61-62.

7. Bargmann V., Wigner E.P. Group theoretical discussion of relativistic wave equations Proc. Nat. Acad. Sci. U.S., 1948, vol. 34, pp. 211-223.

8. Bhabha H.J. Relativistic wave equations for the elementary particles Rev. Mod. Phys., 1945, vol. 17, No 2,3, pp.200216.

9. Bhabha H.J. On the postulational basis of the theory of elementary particles Rev. Mod. Phys., 1949, vol. 21, No 3, pp. 451-462.

10. Гельфанд И.М., Яглом A.M. Общие релятивистски инвариантные уравнения и бесконечномерные представления группы Лоренца -ЖЭТФ, 1948, т. 18, вып. 8, с. 703-733.

11. Harish-Chandra. On relativistic wave equations-- Phys. Rev., 1947, vol. 71, No 11, pp. 793-805.

12. Wild E. On first order wave equations for elementary particles without subsidiary conditions Proc. Roy. Soc. (London),1947, vol. 191 A, pp. 253-268.

13. Corson E.M. Introduction to tensors, spinors and relativistic wave-equations Blackie, London, 1953, - 221 pp.

14. Гельфанд И.М., Минлос P.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца М.: Гос. Изд. Ф.-М. Лит., 1958, - 368 с.

15. Наймарк М.А. Линейные представления группы Лоренца М.: Гос. Изд. Ф.-М. Лит., 1958, - 376 с.

16. Capri A.Z. First-order wave equations for half-odd-integral spin Phys. Rev., 1969, vol. 178, No 5, pp. 24272433.

17. Foldy L.L. Synthesis of covariant particle equations -Phys. Rev., 1956, vol. 102, No 2, pp. 568-581.

18. Фущиц В.И., Никитин А.Г. Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина ЭЧАЯ, 1978, т. 8, вып. 3, с. 501-553.

19. Weinberg S. Feynmann rules for any spin I Phys. Rev., 1964, vol. 133B, No 5, pp. 1318-1332.

20. Hurley W.J. Relativistic wave equations for Particles with arbitrary spin Phys. Rev. D, 1971, vol. 4, No 12, pp. 3605-3616.

21. Pursey D.L. General theory of covariant particles equations Ann. Phys., 1965, vol. 32, No 1, pp. 157-191.

22. Wu-Ki Tung. Relativistic wave equations and field theory for arbitrary spin Phys. Rev. 1967, vol. 156, No 5, pp. 1385-1398.

23. Aurilia A., Umezawa H. Theory of high-spin fields Phys. Rev., 1969, vol. 182, No 5, pp. 1682-1694.

24. Johnson К., Sudarshan E.C.G. Inconsistency of the local field theory of charged spin 3/2 particles Ann. Phys., 1961, vol. 13, pp. 126-145.

25. Velo G., Zwanziger D. Propagation and quantization of Ra-rita-Schwinger waves in an external electromagnetic potential Phys. Rev., 1969, vol. 186, No 5, pp. 1337-1341.

26. P. van Nieuwenhuizen. Supergravity Phys. Rep., 1981,, vol. 68, No 4, pp. 189-398.

27. Amar V., Dozzio U. Causal propagation in relativistic wave equations Lett. Nuovo Cim., 1975, vol. 12, No 17, pp. 659-662.

28. Гриб A.A., Мамаев С.Г., Мостепаненко B.M. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях М.: Атомиздат, 1980, - 295 с.

29. Фущич В.И. О новом методе исследования групповых свойств систем дифференциальных уравнений в частичных производных В кн.: Теоретико-групповые методы в математической физике. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1978, с. 5-44.

30. Фущич В.И., Никитин А.Г. Сигяметрия уравнений Максвелла -Киев: Наукова Думка, 1983, 199 с.

31. Salam A., Strathdee J. Supersymmetry and superfields -Fortschr. Phys., 1978, d. 26, heft 2, s. 57-142.

32. Ogievetsky V.I., Sokatchev E. Superfield equations of motion J. Phys. AS Math. Gen., 1977, vol. 10, No 11, pp. 2021-2030.

33. Mackey G.W. Imprimitivity for representations of locally compact groups, I Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1949, vol. 36, No 9, pp. 537-545.

34. Mackey G.W. Induced representations of locally compact groups I Ann. of Math. 1952, vol. 55, No 1, 101-139.

35. Mackey G.W. Induced representations of locally compact groups II Ann. of Math. 1953, vol. 58, No 2, pp.193-221.

36. Mackey G.W. Unitary representations of group extensions I Acta Math., 1958, vol. 99, No 3-4, pp. 265-311.

37. Mackey G.W. Induced representations of groups and quantum mechanics Benjamin, New York, 1968, - 167 pp.

38. Гельфанд И.М., Наймарк M.А. Унитарные представления классических групп Труды Матем. ин-та им. В.А.Стеклова, 1950, т. 36, 1-288.

39. Менский М.Б.-Метод индуцированных представлений. Пространство, время и концепция частиц М.: Наука,, 1976, - 287 с.

40. Холл М. Теория групп М.: ИЛ, 1962, - 468 с.

41. Кириллов А.А. Элементы теории представлений М.: Наука, 1972, - 336 с.

42. Piard A., Unitary representations of semi-direct product groups with infinite dimensional Abelian subgroup Rep. on Math. Phys., 1977, vol. 11, No 2, pp. 259-278.

43. Niederer U.H., O'Raifeartaigh L. Realization of the unitary representations of the inhomogeneous space-time groups I. General structure Fortschr. Phys., 1974, band 22, heft 3, pp. 111-129.

44. Niederer U.H., 0'Raifeartaigh L. Relaization of the unitary representations of the inhomogeneous space-time groups II. Covariant realizations of the Poincare group -Fortschr. Phys., 1974, band 22, heft 3, pp. 131-157.

45. Макки Дж. Представления групп в гильбертовом пространстве -В кн.: Сигал И. Математические проблемы релятивистской физики М.: Мир, 1968, с. 165-189.

46. Saar R. Induced representations and wave functions -Preprint F14, Tartu 1981, 52 pp.

47. Weinberg S. Feynman rules for any spin II. Massless Particles Phys. Rev., 1964, vol. 134B, No 4, pp. 882-896.

48. Weinberg S. Feynman rules for any spin III Phys. Rev., 1969, vol. 181B, No 5, pp. 1893-1899.

49. Feldman G., Matthews P.T. Poincare invariance, particle fields, and internal symmetry Ann. of Physics, 1966, vol. 40, pp. 19-45.

50. Matthews P.T. Extended symmetry, unitarity and Fermi statistics, in "High energy physics and theory of elementary particles" (Proc. Int. School, Yalta 1966) Naukovo Dumka, 1967, pp. 173-182.

51. Новожилов Ю.В., Терентьев И.A., Унитарные представления обобщенных групп Пуанкаре в кн.: Физика высоких энергий и теория элементарных частиц, Наукова Думка, Киев, 1967, с. 275-295.

52. Стритер Р., Вайтман A. PCT, спин и статистика и все такое -М.: Наука, 1964, 251 с.

53. Йост Р. Общая теория квантованных полей М.: Мир, 1967,- 236 с.

54. Боголюбов Н.Н., Логунов А.А., Тодоров И.Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля М.: Наука, 1969,- 424 с.

55. Bargmann V. Irreducible unitary representations of the Lorentz group 1947, vol. 48, pp. 568-640.

56. Bargmann V. On unitary ray representations of continuous group Ann. of Math., 1954, vol. 59, No 1, pp. 1-46.

57. Bargmann V. Note on Wigner1s theorem on symmetry operators- J. Math. Phys., 1964, vol. 5, No 7, pp. 862-868.

58. Широков Ю.М. Теоретико-групповое рассмотрение основ релятивистской квантовой механики. 1. Общие свойства неоднороднойгруппы Лоренца ЖЭТФ, 1957, т. 33, вып. 4, с. 861-872.

59. Широков Ю.М. Теоретико-групповое рассмотрение основ релятивистской квантовой механики. 2. Классификация неприводимых представлений неоднородной группы Лоренца ЖЭТФ, 1957,т. 33, вып. 5, с. 1196-1207.

60. Широков Ю.М. Теоретико-групповое рассмотрение, основ релятивистской квантовой механики. 3Неприводимые представления классов Рс и 0о и не вполне приводимые представления неоднородной группы Лоренца ЖЭТФ, 1957, т. 33, вып. 5, с. 12081214.

61. Широков Ю.М. Лекции по основаниям релятивистской квантовой теории Новосибирск, 1964, - 160 с.

62. Fronsdal С. Unitary irreducible representations of the Lorentz group Phys. Rev., 1959, vol. 113, No 5, pp. 1367-1374.

63. Wigner E.P. Unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group including reflections. Lectures, Istanbul Summer School of Theoretical Physics (ed. by F.Giirsey) -Gordon and Breach, 1962, pp. 37-80.

64. Joos H. Zur Darstellungstheorie der inhomogenen Lorentz-gruppen als Grundlage Quantmechanisches Kinematik Fortschr. Phys., 1962, band 10, heft 1, s. 65-146.

65. Macfarlane A.J. On the restricted Lorentz group and groups homomorphically related to it J. Math. Phys., 1962, vol. 3, No 6, pp. 1116-1129.

66. Shaw R. Unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group Nuovo Cim., 1964, vol. 33, No 4, pp. 1074-1090.

67. Halpern F.R., Branscomb E. Wigner's analysis of the unitary representations of the Poincare group Preprint UCRL-12359, University of California, 1965, - 59 pp.

68. Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам М.: Мир, 1966, - 587 с.

69. Новожилов Ю.В. Введение в теорию элементарных частиц М.: Наука, - 472 с.

70. Carruthers P.A. Spin and isospin in particle physics New York - London - Paris, Gordon and Breach Sci. Publ., 1971, - 258 pp.

71. Широков Ю.М. О новом классе релятивистских уравнений для элементарных частиц ДАН СССР, 1954, т. 44, № 5, с. 857-859.

72. Candlin D.J. Physical operators and the representations of the inhomogeneous Lorentz group Nuovo Cim. 1965, vol. 37, No 4, 1396-1406.

73. Umezawa H., Visconti A. Commutation relations and relati-vistic wave equations Nucl. Phys., 1956, vol. 1, No 5, pp. 348-354.

74. Умэдзава X. Квантовая теория поля М.: ИЛ, 1958, - 380 с.

75. Takahashi Y. An introduction to field quantization Perga-mon Press (Hungary) 1969, - 298 pp.

76. Glass A.S. On the Harish-Chandra condition for first-order relativistically-invariant free field equations Commun. Math. Phys., 1971, vol. 23, No 1, pp. 176-183.

77. Hurley W.J., Sudarshan E.C.G. On the determination of the relativistic wave equations associated with a given representation of SL (2.C) J. Math. Phys., 1975, vol. 16, No 10, pp. 2093-2098.

78. Chandrasekaran P.S., Menon N.B., Santhanans T.S. A class of linear relativistic wave equations describing particles with spin 1/2 Progr. Theor. Phys., 1972, vol. 47, No 2, pp. 671 -677.

79. Loide К., Loide R.-K. Some remarks on relativistically invariant equations Preprint F-6, Tartu, 1977, - 65 pp.

80. Mathews P.M., Seetharaman M., Takahashi У. On the degree of the minimal equation of the matrices in first-order relativistic wave equations J. Phys. A: Math. Gen. 1980, vol. 13, pp. 2863-2872.

81. Cox W. The Umezawa-Visconti relation for first order field equations J. Phys. A: Math. Gen., 1981, vol. 14, No 9, pp. 2459-2465.

82. Loide R.-K. On the degree of the minimal equation for first-order wave equations Eesti NSV Tead. Akad. Toim., Fiius. Matem., 1 982, koide 31, No 4, lk. 434-436.

83. Wightman A.S. Relativistic wave equations as singular hyperbolic systems in Partial differential equations, proceedings of the symposium in pure mathematics, Berkeley, 1971, American Mathematical Society, Providence, 1973, vol. 23, pp. 441 -477.

84. Wightman A.S. Invariant wave equations; general theory and applications to the external field problem in Proceedings of the Ettore Majorana International School of Mathematical Physics of Erice July 1977, New York, 1978, pp. 1-101.

85. Takahashi Y., Umezawa H. Relativistic quantization of fields Nucl. Phys., 1964, vol. 51, No 2, pp. 193-211.

86. Aurilia A., Umezawa H. Projection operators in quantum theory of relativistic free fields Nuovo Cim., 1967, vol. 51A, No 1, pp. 14-39.

87. Cox W. On the Takahashi-Umezawa quantization of the external field problem for multi-mass fields J. Phys. A: Math. Gen., 1976, vol. 9, No 4, pp. 659-667.

88. K&iv M. Irreducible representations of 0(5)-group in relativistic particle physics Preprint FAI-2, Tartu, 1969,- 14 pp.

89. Кыйв M., Лойде К., Мейтре И. Уравнения с добавочными условиями для высших спинов и неприводимые представления группы В2 Труды ТПИ, Таллин, 1970, серия А, № 289, с. 11-26.

90. Loide R.-K. Relation between Foldy-Wouthuysen and Lorentz transformations Preprint FAI-8, Tartu, 1971, - 15 pp.

91. Behrends R.E., Dreitlein J., Fronsdal C., Lee W. Simple groups and strong interaction symmetries Rev. Modern Physics, 1962, vol. 34, No 1, pp. 1-40.

92. Salam A. The formalism of Lie groups Rev. Modern Physics, 1962, vol. 34, No 1, pp. 51-74.

93. Наймарк M.A. Теория представлений групп M.: Наука, 1976,- 559 с.

94. Koiv М., Saar R. The 0^ 4 type relativistically invariant1. Г) ГАМ! 1equation for representation L x ' T"J ~ Preprint

95. FI-33, Tartu, 1 974, 35 pp.

96. Saar R., Loide R.-K. On linearization of the Klein-Gordon equation by nontraditional methods Eesti NSV Tead. Akad. Toim., Fiius. Matem., 1 983, koide 32, No 4, lk. 95-103.

97. Gazeau J.P. L1equation de Dirac avec masse et spin arbit-rairesi une construction simple et naturelle J. Phys. G: Nucl. Phys., 1980, vol. 6, pp. 1459-1475.

98. Nagpal A.K. On the propagation of solutions for the wave equations describing the particles with arbitrary spin -Nucl. Phys., 1974, vol. B72, pp. 359-364.

99. Лойде P.К. Электромагнитное взаимодействие для высших спинов Изв. АН Эст. ССР, физ. матем., 1973, т. 22, № 3, с. 317-319.

100. Hurley W.J. Invariant bilinear forms and the discretesymmetries for relativistic arbitrary-spin fields Phys. Rev. D, 1974, vol. 10, No 4, pp. 1185-1200.

101. Duffin R.G. On the characteristic matrices of covariant systems Phys. Rev., 1938, vol. 54, pp. 1114-1115.

102. Kemmer N. The particle aspect of meson theory Proc. Roy. Soc. 1 939, vol. A173, pp. 91-116.

103. Barut A.0., Samiullah M. The Kemmer 2>-formalism for Particles of spin one-half Nuovo Cim., 1960, vol. 17, No 6, pp. 876-880.

104. Samiullah M. , Khalili K.G. Application of Kemmer (^-formalism to spin-1/2 systems Preprint IC/74/104, Miramare -Trieste, 1974, - 8 pp.

105. Koiv M., Loide R.-K., Saar R. On the mass spectrum for some high-spin wave equations Preprint F-17, Tartu,1 982, 41 pp.

106. Koiv, M., Loide R.-K., Saar R. Physical parameters for a class of high-spin wave equations Eesti NSV Tead. Akad. Toim., Fiiiis. Mat., 1 982, No 31 , 300-303.

107. Loide R.-K., Koiv M., Saar R. Single mass equations for an antisymmetric tensor-bispinor J. Phys. A: Math. Gen., 1983, vol. 16, pp. 463-467.

108. Федоров Ф.И. О минимальных полиномах матриц релятивистских волновых уравнений ДАН СССР, 1951, т. 79, № 5, с. 787-790.

109. Сох W. Remarks on mass and uniqueness conditions for homogeneous covariant equations J. Phys. A: Math. Gen. 1977, vol. 10, No 1, pp. 109-113.

110. Shmaly A., Capri A.Z. Propagation of interacting fields -Ann. Phys. (N.Y.), 1972, vol. 74, No 2, pp. 503-523.

111. Khalil M.A.K. Relativistic wave equations without the Velo-Zwanziger Pathology Progr. Theor. Phys., 1977, vol. 58,1. No 5, pp. 1 538-1554.

112. Khalil M.A.K. Barnacle equivalence structure in relativistic wave equations Progr. Theor. Phys., 1 978, vol. 60, No 5, pp. 1 559-1 582.

113. Khalil M.A.K. An equivalence of relativistic field equations- Nuovo Cim., 1978, vol. 4 5A, No 3, pp. 38 9-404.

114. Khalil M.A.K. Reducible relativistic wave equations J. Phys. A: Math. Gen., 1979, vol. 12, No 5, pp. 649-664.

115. Capri A.Z. Nonuniqueness of the spin-1/2 equations Phys. Rev., 1 969, vol. 187, No 5, pp. 1811-1815.

116. Santhanam T.S., Tekumalla A.R. Bhabha equations for unique mass and spin Fortschr. Phys., 1974, b. 22, No 8, s.431.452.

117. Fisk C., Tait W. Skew-symmetric tensor-spinor formulation of the spin 3/2 field J. Phys. A: Math., Nucl., Gen.,1 973, vol. 6, No 1, pp. 383-392.

118. Khalil M.A.K., Seetharaman M. Fisk-Tait equation for spin-3/2 particles Phys. Rev., 1978, vol. D18, No 8, pp. 3040-3044.

119. Labonte G. A relatively simple equation for an antisymmetric tensor spinor field of spin 3/2 Nuovo Cim., 1980, vol. 59A, No 3, pp. 263-274.

120. Labonte G. On two relativistic equations for spin-3/2 tensor spinor fields Nuovo Cim., 1981, vol. 65A, No 1, pp. 51 -63.

121. Saar R. "Dynamical" representation of Poincare algebra -Prepr.int F-22, Tartu, 1 984, 21 pp.

122. Saar R. Wave equations with respect to "dynamical" representation of Poincare algebra Preprint F-23, Tartu, 1 984,- 32 pp.

123. Chakrabarti A. Exact solution of the Dirac-Pauli equation for a class of fields: precession of polarization Nuovo Cim., 1968, vol. 56A, pp. 604-624.

124. Beers В., Nickle H.H. Algebraic approach to the solution of quantum-mechanical problems involving the interaction of a charged particle with electromagnetic fields Lett. Nuovo Cim., 1972, vol. 4, No 8, pp. 320-322.

125. Beers В., Nickle H.H. Algebraic solution for a Dirac electron in a plane-wave electromagnetic field J. Math. Phys. 1972, vol. 13, No 10, pp. 1592-1595.

126. Курант P. Уравнения с частными производными М.: Мир, 1964, - 830 с.

127. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными -М.: Мир, 1977, 504 с.

128. Garding L. Mathematics of invariant wave equations in Invariant wave equations, Proceedings, Erice, 1977; edited by Giorgio Velo and Arthur S. Wightman, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1978, pp. 102-142.

129. Feynman R.P., Gell-Mann M. Theory of the Fermi interaction Phys. Rev., 1 958, vol 109, No 1, pp. 1 93-1 98.

130. Vijayalakshmi В., Seetharaman M., Mathews P.M. Consistency of spin-1 theories in external electromagnetic fields

131. J. Phys. A: Math. Gen., 1979, vol. 12, No 5, pp. 665-677.

132. Шварц Л., Анализ 1 M.: Мир, 1972, - 824 с.

133. Bacry Н., Combe Ph. Connected subgroups of the Poincare group I Reps, on Math. Phys., 1974, vol. 5, No 2, pp. 145-186.

134. Bacry H. , Combe Ph., Sorba P. Connected subgroups of the Poincare group II Reps, on Math. Phys., 1974, vol. 5, No 3, pp. 361 -392.

135. Любарский Г.Я. Теория групп и ее применение в физике -М.: Гостехиздат, 1957, 354 с.

136. Гюрши Ф. Введение в теорию групп в кн. Теория групп и -элементарные частищ. М. : Мир, 1967, с. 25-112.

137. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления -М.: Наука Физ.-Мат., 1970, 664 с.

138. Боргардт А.А. Антикоммутативные матрицы в теории мезона ДАН СССР, 1951, т. 78, № б, с. 1113-1114.

139. Богуш А.А., Мороз Л.Г. Введение в теорию классических полей Минск, Наука и Техника, 1968, - 386 с.

140. Айнсаар А. Дополнительные условия для определения неприводимых представлений алгебры Кеммера-Дэффина Труды ИФА АН ЭССР, 1967, т. 33, с. 109-110.

141. Айнсаар А. О базисе алгебры 10-рядных -матриц Труды ИФА АН ЭССР, 1967, т. 33, с. 115-117.