Симметрия и точные решения систем нелинейных волновых уравнений тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

■3

1) ¡/^

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ им. Б.И.СТЕПАНОВА АКАДЕМИИ НАУК БЕЛАРУСИ

На правах рукописи

ШТЕДЕНЬ ВЛАДИМИР МИХАЙЛОВИЧ

СИММЕТРИЯ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Мияск 1991

Работа выполнена в Института математики АН УССТ

Официальные опповенть!: доктор физико-математических наук,

профессор К АД «ВСКИ 3 Б.Г.

доктор фиэико-метвыатйческих йауй, . старший научный сотрудник КУВШИНОВ В.Й.

доктор физико-математических наук, профессор ШИШКИН Г,В.

Ведущая организация: Донецкий физико-технический

институт

Защита состоится " 1э%£г, в , . часов

на васекании специализированного совете Д 006.01.02 по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора наук при Институте физики АЙБ (220602, Минск, ГСП, Ленинский просп.,70),

С диссертаций можно ознакомиться в библиотеке Института физики АНБ.

Автореферат разослав " "_1991г.

Ученый секретарь специализированного совета , кандидат физ.-мат.нзук N ^ КУРОЧКИН Ю.А.

04

ОЩАЯ ХАГАЮТРИС ИЖА РАБОТЫ

Актуальность гаш. Идея построения полей произвольного спина ¡-0 1,у,- из поля спина 5 = на нова и на эвристическом уровне высказывалась многими авторами. Весь вопрос состоит в том, как конструктивно реализовать эту идею. Первый, кто попытался это сделать,был Луи де Бройль. В 30-х годах он предложил метод слияния, согласно которому волновая функция , # строится как произведение "сливаемых" функций и .

К сожалению, никаких количественных результатов метод да Бройля на дал.

Более реалистической выглядит программа Гейаенберга, выдвинутая пи в конца 50-х годов. В отличие от Луи де Бройля, Гейзен-берг в основу своей теории положил нелинейное уравнение Дирака, причем не классическое, а квантовое, В результате самодействия спинорного квантового поля, по идее Гейэенберга, должны пороадать-ся различные частицы (поля). В рамках этой теории, взяв из опыта значение массы нуклона, удалось вычислить массы многих элементарных частиц в довольно хорошем согласии с экспериментом. И тем не менее, теория Гейзенберга далека чот завершения, и в настоящее время особого энтузиазма не вызывает.

Новый подход к решению задачи построения полей произвольного спина по иошо со спином начал разрабатываться в Института математики АН УСОР В.И.йущичем со своими учениками. Этот подход основан на хорошо известной возможности построения из спинорного поля биспиноринх плотностей, представляющих собой скалярное поле,, векторное поле Л* - р ¡¡г , тензорное поле Ем кФ(&/»'¿г/^Ф я т.д. Оказалось, что зная решения нелинейного спинорного уравнения, ыоясно строить поля произвольного спина. Более точно это означает следующее. Если положить в основу такого подхода нелинейное ошшорное уравнение оо специфическим нели-нейимм членом, то построив в явном виде классы точных решений такого уравнения, легко строить по этим решениям поля со спинами 4 %, ... , которые удовлетворяют нелинейным уравнениям Далаыбэра, Максвелла, Янга-Ыиллса и т.д.

Цель наст остей работа - создать элективные методы решения нелинейных сгошорных уравнений. Больная часть диссертации посвя-'дена описанию анзацев п редукщй неллнекных «шорных уравнений

к системам обыкновенных дифференциальных уравнении (ОДУ) и построению их точных решений. Для этого существенно используется иш-

метрийный аналий нелинейных уравнений.

Научная новизна работы. В диссертации:

- разработан эффективный метод получения точных решений систем нелинейных (минорных дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧШ, обладающих нетривиальной симметрией;

- построен явный вид полного набора РС1,3) _ неэквивалентных анзацев для спинорного и векторного полей, редуцирующих соответствующие системы ДУШ к системам с меньшим числом независимых переменных;

- получены формулы размножения решений для скалярного, сшшорного, векторного и тензорного полай Си в общем случае для. ноля произвольного спина) с помощью конформных преобразований;

- построены широкие семейства точных решений нелинейных уравнений Дирака, квантовой электродинамики, Янга-Миллса и др.;

- установлена связь иедцу решениями уравнений Янга-Миллса и Ди-рака-Гюриш: мероиы и инстантош оказываются результатом само-дейстБИЯ спинорного поля Дпрака-Гюрши;

- установлена связь мевду решениям безыассового уравнения Дирака и уравнений Максвелла, что оказалось тесно связанным с ду-азыгой-луанкаре-иявариавгн остью и наличием локальных супералгебр симметрия уравнения Дирака; *

- найдет конечные преобразования и формула размнокэния решений для уравнений с произвольным стшом, инвариантных относительно группы Шредшггера;

- опнеаны линейные в нелинейные системы ДУЧП, инвариантные относительно группы Щредангера;.

установлен критерий сводимости двумерных уравнений Фзккера-Планка к уравнению теплопроводности и найден явный вид замен переменных, осуществляющих такое сведение для ряда конкретны?, широко используе!лых уравнений Фоккера-Планка;

- описан полный набор £'( -5) -неэквивалентных анзадев коразмерности I для поля Иавьв-Сгокаа, которые редуцируют уравнения Навье-Стокса к системам ОДУ. Построены точные решения уравнении Навье-Стокса;

- предложена формула и способ вычисления нелокальных прообразованы, генерируемых шлиегсиклц операторами;

- установлена инвариантность уравнений Дираки, 1Слзнна-Гордоиа-Фока, Максвелла относительно преобразован!«': Галилея;

- построены решения уравнения Шредингера, инвариантные относительно алгебры Лорзнца;

- предлолген способ нелокальной линеаризации нешшойннх уравнении .

Практическая ценность результатов работа состоит прежде всего в том, что развитые в диссертации методы и полученнне результаты являются новши и представляют собой вахыуи часть современной теоретическом и математической физики - нелинашоГ; математической физики, Эти методы и результаты могут найти применение при исследовании широкого круга вопросов математической физики классической и квантовой теории поля. Развиваемое в работе направленно тесно примыкает к тем исследованиям в области теоретической и магешгяческой физики, которые интенсивно проводятся как у нас б стране (Ш ЛИ СССР им. В.Л.Отеклова, ИГО,! АН СССР ии. У.В.Кедцшаа, ОШИ (Дубна), (КВЭ.ВТФ АН СССР ш. Л.Д.Ландау, Институт физики АН БССР, ИТ0> АН УССР, Институт гидродинамики и Вычислительный цешдр СО АН СССР (Новосибирск) и др.), так и в радо научных центров за рубэяа (Шинесотский университет (США), Институт математической физики им. А. Зошерфельда (Клаус-таль, ФРГ), Монреальский университет (Канада) и др.).

Апробация, работы и публикации. Результата, изложенные в диссертации опубликованы в 41 работа и монографии, список • которых приведен в конца автореферата. Эти результаты докладывались на Международных семинарах "Теореткко-груцповне метода в физика" (Звенигород 1983, Юрмала 1985, Москва 1990); Всесоюзном коллоквиуме по группойим методам в Ленинграде (1985);"на Международных конференциях по теории Ли и дифференциальным уравнениям в Клаус-тале (ФРГ, 1968), Монреале (Канада, 1989), Мшшеаролисе (США, 1988); на Мендународных конференциях по нелинейным явлениям п турбулентности в Киеве (1966, 1986); на семинарах факультета информатики Лейлцигского университета (1990); на семинарах отдела прикладных исследований ИМ АН УССР (1978-1991),

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, общим объемом 193 стр. Список литературы гхлочаот 207 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой гладе диссертации рассмотрены слотеыы нелинейных ДУЧП, инвариантные относительно группа Пуанкаре РО, з) и кон-форшой группы С(>,3) . Построены РОА) -неэквивалентные анза-дн для спинорного и векторного полей, которые затем используются для редукции нелинейных уравнений-Дирака, квантовой электродинамики, Ядга-Шлдса и других систем нелинейных ДУЧП.

В § 1.1 построены широкие семейства точных решений нелинейного уравнения Дирака для массивного поля

[ «у> - /* - Ф = (1)

где [Ъ = у* \ у ^ - матрицы Дирака Ь *■ Ч, $ - ¿>,3 >

=. , Ф - - кошганентная комплексноэнач-

ная дифференцируемая функция (столбец), Ф* ^'¿/¿•'"(масса частицы), 3 , К - произвольные постоянные.

Уравнение (I) инвариантно относительно алгебры Пуанкаре ДР(ЛЗ), базисные элементы которой имеют вид

Решения уравнения (I) ищем в вида

* А (*) ; (з)

где Л - матраце и> =

мне переменные определяются из условий

[ л" р,+ # - = о, <5)

где , - произвольные постоянные.

Если рассматривать случаи, соответствующие -не-

эквивалентным одномерным подалгебрам АР(^ь). , то тем сшыы ш ввделим тэ решения уравнения (3),,которые нэпереводи-

- новые незааиси-14)

мы друг в друга с помощью операции группового размножения решений.

Используя неэквивалентна одномерные подалгебры АРСб -1) и решая уравнения ('4), (5), построзш 13 анзацев типа (3). В качестве примера приведем один из них

оу ^ - г*/, ^ ^ - ^ , ^ = ^ У

(6)

Подставив (6) в (I), получим следующую систему редуцированных уравнений:

& т - 4- -¿в - <■[*> * - * «>

Полагая в (7) £ = = О , приходам к ОДУ

л J

и ( % * 4 ?) / а.

Общаа решение системы (8) имеет вид

I /Ы ** Л

где X - произвольный постоянный кошшэксйий столбец. Подставляя (9) в (6), получаем решение уравнения (I)

^¿¿¿"Н}"//4*'*))*, сю)

У 4 Л.*А

и)х - ^ / , ^(а) определена в (Э). Из решения (10) строится семейство явно коварпантннх раэмножаемшс решений уравнения (I). Для этого необходимо воспользоваться формулами размножения решений, которые получаются

(9)

следующим образом. Пусть, например, преобразования - < - Г (я б)

ФМ -РиО - АС*,*) у1

~ некоторая несингулярная матрица, в - параметры, - гладкие функции, ¿у1)

оставляют какое-либо ДУЧП инвариантным, то функция

4 (х) = ^ 4 м ш)

будет решением (новым) данного ДУЧД при условии, что яв-

ляется решением этого уравнения.

Применяя к (10) формулы размножения (12) для группы Пуанкаре, получаем следующие семейства точных решений уравнения (I):

1 (¿/Г] ^

где ац , & - произвольные действительные достоянные, удовлетворяющие условиям

¿Ч- = -1, - {14)

= ¿ц; _ произвольные действительные достоян-

ные,

- определена в (Э). Аналогичным образом проводятся вычисления и для всех остальных 12 анзадев.

В параграфа 1.2 получена-формула размножения решений о помощью конформных преобразований для поля произвольного спина

(Г* с"*"?} и')^ (15)

где £ - конформная степень, * ~ - матрицы, реали-

зующие соответствующее конечномерное представление алгебри АОСЛ, 3) » 54 " произвольные действительные постоянные,

_ , г 7

^ _ -- ^ д. ^ ^ ^ _ у _ ^^ ^

В частности, для скалярного поля а,сшшориого поля Дирака Ф и векторного потенциала ^ формула (15) принимает вид

-- (17)

О-/*/*)

* ¿сх ^ С„. - -г^^ - ^;/^ ^ <

(16)

(19)

В параграфе 1.4 показано, что наиболее интересные с физической точки зрения - мэрошше и инстантоннне, и некоторые другие решения уравнений Янга-Ыиллса порождаются соответствующими решениями нелинейного слшорного уравнения Дирака-Гири. Цепочка, связывающая эти решения такова: решение уравнения ДГ (нелинейный анзад у -(фФ)^* ) -г скалярное поле ^ , удовлетворяющее нелинейному волновому уравнению (анзад т'Хуфта-Коррига-на-Фаэрли-Вильчека)-> решения уравнения ЯМ. Так, Например, решения

-- ¿{^.-±¿1^1Л1 %

(X* г ¿4*

Ю - (П'-^г. Я

_ 8 ( ХХ-*-11 -л - произвольная постоянная) уравнения Дирака-. Гюрши . .

[*/? $>= О (22)

пороздают, соответственно,одномеронное и инотантонное решения уравнений Янга-Миллоа,

В параграфах 1.5-1.7 проведена редукция и получены семейства точных решений нелинейных систем ДУЧП для векторного поля, уравнений квантовой электродинамики и уравнений 5 и (^-калибровочной теории Янга-Шшюа.

В качестве примера приведем одно из решений уравнений Янга-Миллса, полученное в § 1.7: а

ее ^ и

(23)

к. а.

где , ^ , />„ , Сх> р - произвольные постоянные, удовлетворяющие условиям

= «/>/* = О, ¿'Ч/^ ; Я*- « * , П-р-= 0. (24)

В § I.в установлена связь мезду решениями безмассового уравнения Дирака и Максвелла.

Теогома I. Пусть Ф - произвольное решение безмассового уравнения Дирака

ф « ¿7. (25)

Представляя ^ в ввде

по формулам - '

в , Ъ * у/ /с ъ -1) ¿Г .

Н- 8+ у [ /т^ '

гдэ , Р({0 л) удовлетворяют уравнение Пуассона

х) =

¿о - произвольная постоянная, строятся решения уравнений Максвелла.

Доказано гаже обратное утвервдение.

Кроме того, показано, что уравнение (25) инвариантно относительно трех представлений алгебры Пуанкаре, соответствующих' спинам , о, 1 , а также относительно трех супералгебр. Все базисные генераторы этих алгебр и супералгебр инвариантности явшотся лневокими операторами.

Втопая глава посвящена исследованию симметрии и построению точных решений систем линейных и нелинейных ДГШ, инвариантных относительно группы Галилея и ее расширений. В § 2.1 найдены конечные преобразования и построены соответствующие формулы размножения решений для уравнений с произвольным спином, инвариантных относительно алгебры Шредангера. В § 2.2 построены линейные и нелинейна системы ДУЧП, инвариантные относительно группы Шредангера. Доказана теорема.

Теорема 2.

Уравнение Шредангера

(р* " Ж)* = * (29)

для многокомпонентной компдекснозначной функции Ф инвариантно относительно алгебры Шрэдшгера А5сН(^3) , характеризуемой ненулевой массой ю и спином 5 , тогда и только тогда, когда

I* - ¿МЛ-о.

* К) ф „ о

В частноста, этим способом удалось получить известные уравнения Деви-Леблонда, Хагека-Герли и рад новых уравнений.

В § 2.3 исследованы симмегркйные свойства и построены точные решения одномерных и двумерных уравнений Фоякара-Планка. В частности, установлен критерий сводимости одномерных уравнений Фоккера-Планка к уравнении теплопроводности и приведен ряд конкретных примеров.

Б § 2.4 построен полный набор -неэквивалентных

анзацев коразмерности I для поля Навье-Стокса, осуществляющих редукцию уравнений Навье-Стокса к системам ОДУ.

Полученные системы ОЛУ решаются (для многих из них найдены общие решения).и таким образом строятся реиания уравнении Навье-Стокса. Приведем в качества примера одно из решении

- 4 (31)

" 7 ?

где Ц*,...,«^ -произвольные постоянные; , » , -произвольные оргонормальные постоянные векторы

а* = £ ~ с й-/« - ¿••е.. (32)

Глава 3 посвящена исследованию нЬлиавскоЙ симметрии, В §3.1 предложена формула и способ вычисления нелокальных преобразований, пороадаешх операторами нелиевской симметрии. Доказана теорема.

уеотема Я. Оператор симметрии

& = - (33)

порождает преобразования инвариантности

ос ^'г е а е

Г Г ^ (34)

¿\це & - параметр преобразовали;*!.

Последующие три параграфа этой главы являются приложениями теории, развитой в § ЗД. Показано, что уравнения Дирака, Клейна-Гордона-Фока и Максвелла инвариантны относительно преобразований Галилея, при которых полевая функция преобразуется нелокально. В § 3.4 исследована нелневская симметрия квазирелятив5стского уравнения ^

где ^ , Р ~ / Я. = ; &* -¿"С - Установлено,

что в механике, основанной на уравнении (35) при имеет

место э®ект зависимости массы частицы /п от ее скорости «г

и существует предельная скорость * , причем, как следует

из (35), .

Т / ^ • (37)

В § 3.5 получено семейство решений стандартного уравнения Шредингера, инвариантное относительно алгебра Лоренца. Базисные элементы этой алгебры являются нелиевсюпш (псевдодафферендааль-ными) операторами и имеют вид

^ = Л (Р£* - />Л ^ = ^ 4 (38)

ГДЭ Р 5 = {=1 .

Семейство решений уравнения Шредингера, инвариантное относительно Д$0({3) (38), шее® вид

№)• т! <*<

где 2 = ■ , ¿.//^ , - Функции Бесселя.

В заключительном параграфе этой главы предложен способ ие-локальной линеаризации нелинейных уравнений. В частности, из теоретико-групповых соображений получено преобразование Коула-Хопфа,

сводящее уравнение Бартереа к уравнению теплопроводности.

В За1»шчении сформулированы результаты диссертации, выдвигаемые на защиту.

Список работ, в которых опубликованы основные научные результаты, включенные в диссертации;

1. Штелень В.М. Групповой анализ нелинейных систем дифференциальных уравнений, свяэааных с уравнением Щредангера.//Укр. фага, яурн,- IS8I. - 2£. J62. - 0. 323-326.

2. ГОтелень В.Ы. Групповой анаша одной системы параболических уравнений // ■ Тдорегико-алгебраяческие исследования в математической физике. - Ия-т математики АН УССР, Киев ,1981,-С. 64-67.

3. Штелень B.W. 00 одной система нелинейных дифференциальных уравнений, инвариантной относительно группы Шредикгера // Там жа.-С. 104-107.

4. Штелзнь Ü.M. Некоторые точные решения одной системы дифферен-■ вдашшх уравнений нелинейной,волновой механики // ■ Математические вопросы механики сплошных сред и теплофизики.-Ин-т математики АН УССР, Киев, IS62.- С. 100-104.

5. Штелень В.Ы. Касательные преобразования релятивистского уравнения Гашльтона-Якоби // . Георетико-алгвбраичаские ыв-> тодн в задачах математической физики. - Йн-т математики

АН УССР, Киев, Г983. - С. 62-65.

6. Штелвкь В.Ы» Формула генерирования"конформно-инвариантных решений уравнения поля произвольного ошша // Георетико-групповыв исследования уравнений математической физики.- №-т математики АЯ УССР, №&в 1985. - С. 60-66.

7. Штелень В.М. Каляевская симметрия и нелокальные преобразования.-Киев, 196?.- 28 о. -(Препр, / АН УОСР. Ин-т математики; 87.6).

8. Штелень В.М» Об одном способе построения точных решений многомерных линейных дифференциальных уравнений. '// Симметрия и решения нелинейных уравнений математической физики. -Ин-т математики АН УССР, Киев, I9P7. - С.31-36.

9. Штелень В.Ы. О нелинейном штегро-днфференциальном уравнении для скалярного по-¿я // Симметричный анализ и решения уравнений математической физики,-Киев,Ин-т математики АН УССР, 1988..- С, 22-26.

10. Штелень В.Г»!. Точные решения нелинейных уравнений для векторного поля // Докл. АН УССР. Сер. -A.-I989.~is I.-C. 33-36.

11. Штелень В.М. О связи мевду решениями уравнений Максвелла

и Дирака // . Симметрия и решения уравнений латемати-чеог.оН физики. - Клев, Ин-т математики АН УССР, 1)89.- С. IIO-II3.

12. Штелень В.М. О групповом способе линеаризация уравнения Еюргерса // Математическая физика и нелинейная механика.-1989.- 11(45).- С. 89-91.

13. Штелень В.М. О решениях уравнения Шредангера, инвариантных относительно алгебры. Лоренца- /У Теоретико-алгебраический анализ уравнений математической физики.- Киев, Ин-т математики АН УССР, 1990. - С. 10Э-П2.

14. Штелень В.М., Спичак C.B. Об инвариантности уравнения Дирака относительно различных представлений алгебры Пуанкаре //

Симметшя и решения уравнений математической физики.-Киев, Ин-т математики АН УССР, ISB9. - С. II0-II3.

15. $увдч В Л!., Штелень В.М. Об инвариантных решениях нелинейного уравнения Дирака // Докл. АН СССР, - 3983. - 269, J5 I,-С. 68-92.

16. Фущич В.И., Серов Я.И., Штелень В.М. О некоторых точных решениях многомерных нелинейных уравнений Даламбера, Лиувилля, эйконала и Дирака // Теоретико-групповые методы в физике. Труды 2-го международного семинара (Звенигород 1982).' М.:Наука, 1983.

17. фущич В.И., Штелень В.М. О линейных и нелинейных системах дифференциальных уравнений, инвариантных относительно группы Шредангера //Теорэт. и тт. физика. - 1983. - 56, й 3.-

С. 3R7-394.

IB. Фущич В.П., Штелень В.М. Конформная симметрия и точные решения нелинейных полевых уравнений // Укр. физ. журн.-1985.-30, !Ь 5,- С. 767-789.

19. Фущич В.И., Штелень В.М. Жданов Р.З. Конформно-инвариантное . обобщение уравнения Дирака-Гейзенберга и его точные решения

// , Теоретико-групповые метода в физике. Труда 3-го меж- __ дународного семинара, Юрмала 19Я5.-М: Наука, 1986,тЛ.- С 497-501.

20. йущзч В.И., Штелень В.М., 0-редукции и точных решениях нелинейного уравнения Дирака // Теорет. и мат.физика.-19В7.- 72, !Н. - С. 35-44.

21. Фущич В.И., Штелень В.М. О приближенной симметрии и решениях нелинейного волнового уравнения с малым параметром // Докл. АН УССР. £ер. А. - I9S3. -Ив. - С. 16-21.

22. фущч Б.И., Штелень В.М., Серов Й.И. Симметричны!! анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики.-Киев; Наук.- . думка, 1989.-335 о.

23. Футцич В.И., Штелень В.М. Инвариантны ли уравнения Максвелла относительно преобразований Галилея? // Докл. АН УССР. Сер.А.-1991,- Iff 3. -С. 23-27.

21. Фущич В,И., Штелень В.М., Спича:« С.В. О связи между решениями уравнений Дирака и Максвелла. Супероимметрия уравнения Дирака // Докл. АН УОЗР. Сер. А,- 1990. - №. - С. 36-40.

25. Стогний В,И, Штвлень В.М. Применение метода дифференциальных форм к исследованию релятивистского уравнения Гашльтона-Яко-би. // ' Симметрия и решения нелинейных уравнений математической физики. - Киев, Ин-т математики АН УССР, 1987.- С.

. 58-62.

26, Стогний В.И., Штелень В.М. 0 связи между уравнениями Фоккера-Яланка и уравнением теплопроводности. // Симметричный анализ и решения уравнений математической физики,- Киев, Ин-т математики АН УССР. I98B. - С. 96-98.

27f Стогний В.И., Штелень Б.М. Симметрия и точные решения уравнения Фоккера-Планка для процесса Рэлея // Теоретико-ал-гебраичаский анализ уравнений математической физики. - Киев. Ин-т математики АН VCCP, 1990. - С. 74-78.

28. Стогний В.И., Штелень В.М. Сишатрия и точные решения некоторых уравнений Фоккера-Планка // Укр. шт. журн. - 1991.- 43, т. - С. 456-460.

29. Borroni Т&.А,, Shtelen V<.it. The maximally extensile local /rrcup of invarianes of Dirac-Lorentz г equation// Lett, Киото Cim,-1^80,- 28, N 5.~ P.1SJ-170.

30. Fushehich V.'.l., SeraY N.I, fand Shtelen 'X.k. Soire exact foluti-опг of meryditiianeionf.l nonlinear d Alembert, Liouvilla, elkonsl, end Dii'Bc eductions.- In: Group-Theoreticbl A.ethodE in Physics.*« iorv.iori; Harwood Лиа'З. Publ., IS'64.- P. 485-4SC.

33. Fuehobiph /,nd Shtelen ТЫ Fynm.etry End коте eraet so-

lutions of the rslstivistic oifconul e^u^tions// Lett. Nurvo.

Cim.- 198?.- Д4, II 16.- Г.4 2е-502.

32. Fushchieh "¿t.I. and Shtelen V..V,. The symmetry end pome exact solutions cf the relativistic eikonal equation (Cor.)// Ibid.-19H3.- » 1.- P.96-97.

33. Fuphchieh 'А'.Т. and Shtelen Y«.M. On scree exact solut..ons of the nonlinear Dirac equation// J.Fhys. A: Math. Gen.- Iе, 63»- 15,

И 2.- P. 271-277.

34. Fushchieh V.I., ohd Shtelen V.K. Conformsl symmetry and new exact solutions of SU(2) Yang-Kills theory// Lett. Киото Cin.-1983.- ¿8, H 2.- P. 37-40.

35. Fushchieh Vi.I. and uhtelen ...ti. Oil sone exact solutions of the nonline&r equations of qu!>ntum electrodynamics// Fhye. Lett.,B.-19P3.- т) 3-4.- P. 215-217.

36. Fuphchich л Л. i>n1 Shtelen "V.l. On nonlocal transformations.// Lett, Huovo Cim.- 1905.- 44, N 1.- P. 40-42.

37. Fushchieh i.'.I., Shtelen 1.1С. end Zhdenov R.7. Cn the new con-formally invi-.riant equations for spinor fields and their exact solutions, // Phyn. Lett,1, П.- 19Б5¿¿2> N 2-3,- Р.1ЭД-191.

38. Fushchich V.'.I. and Shtelen 'X.Y.. On approximate symmetry and approximate solutions of nonlinear WR-?e equation with, a GtsE.ll parameter// J. Fhys. A: Math. Con.- 19С9,- 22, И 16.- P. Ш37-LK90.

39. Fuf;hchich ,1. and Shtelen '.V.i'. ¡.'.егопз snd instentons es products of 3elfinteract ion of the Dirsc-Gursey spinor field // Ibid.- 1990.- 21, H 10«- I517-L520.

40. Fushchich V.'.I. , Shtelen Vi.H. and Slarutslcy S.Li ¡Reduction and oxBct solntiona of the NaTier-Stokes equation // J. Fhys. A: K'ath. Gen.- 1991.- 2£, И5.- P. 971-966.

41. Fushchieh W.I., Shtelen W.k. t>nd Spichak S.V. On the connection between solutions of Dirac and Jiajcwell equations, dual Poincaro invnrience and superalgebrae of inrori&nee and solutions of nonlinear Dirac equation// Ibid.- N8.- P.1663-1698.

42. Shtelen Y..M. and Stopny V.I, Symmetry properties of one- end tv/o-riiaensicnal Foklcer-PlancV equations // J. Phye. A: i'eth. Gen.- 1989,- 22, H 13.- P. L539-L543.