Теорема Хаага в коммутативном и некоммутативном вариантах квантовой теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Антипин, Константин Владиславович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2013
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
005537833
На правах рукописи
Антипин Константин Владиславович
ТЕОРЕМА ХААГА В КОММУТАТИВНОМ И НЕКОММУТАТИВНОМ ВАРИАНТАХ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
01.04.02 — «Теоретическая физика»
Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук
1 КОЯ 2073
Москва — 2013
005537833
Работа выполнена на кафедре квантовой теории и физики высоких энергий физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.
Научный руководитель:
Официальные оппоненты:
Ведущая организация:
Вернов Юрий Сергеевич,
доктор физико-математических наук,
ведущий научный сотрудник ИЯИ РАН
Жуковский Владимир Чеславович, доктор физико-математических наук, профессор физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова
Фаустов Рудольф Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Вычислительного центра имени А.А. Дородницына РАН
Институт физики высоких энергий (г. Протвино)
Защита состоится 12 декабря 2013 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, стр. 2, физический факультет, СФА.
С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке МГУ имени М. В. Ломоносова.
Автореферат разослан « & » ноября 2013 г. Ученый секретарь
диссертационного совета Д 501.002.10 доктор физико-математических наук профессор
сЗ^ П.
А. Поляков
Общая характеристика работы
Актуальность работы.
Теорема Хаага является важным результатом аксиоматического подхода в квантовой теории поля. В традиционной формулировке теории поля предполагается, что полевые операторы удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям (ККС) в заданный момент времени. Аксиоматический подход позволил взглянуть на эту идею с новой точки зрения.
В случае системы с конечным числом степеней свободы п можно показать [1], что любые два представления коммутационных соотношений в форме Вейля связаны унитарным преобразованием, т. е. являются унитарно эквивалентными. В частности, всегда существует унитарный оператор V(t2, ii), связывающий операторы координаты Qn и импульса Рп (образующие элементы алгебры коммутационных соотношений) в разные моменты времени:
Qn(h) = V{t2, tOQnCti)^-1^, ti), Pn(t2) = V{t2, h)Pn(ti)V-l(t2, ix).
Используемое в обычной формулировке теории возмущений представление взаимодействия является, по сути, попыткой перенести этот результат в теорию поля, т. е., в теорию систем с бесконечным числом степеней свободы. В этом случае предполагается, что канонические переменные (например, cp(t, х)) в каждый момент времени связаны унитарным преобразованием с каноническими переменными свободного ПОЛЯ </J(0)(i, х):
V(t)<p(t, x)V~l(t) = m(t, х). (2)
Зависимость от времени оператора V отражает наличие взаимодействия. Оператор рассеяния в представлении взаимодействия определяется так:
S = lim V{t)V{-ty. (3)
t-»oo
Однако, как выясняется в рамках алгебраического подхода, существует множество унитарно неэквивалентных представлений ККС, и уже этот факт ставит под сомнение рассуждения, приводящие к (2). Результаты Исследований Р. Хаага показывают [2], что, действительно, эти рассуждения неверны: за исключением случая, когда <p(t, х) — свободное поле, не существует математически корректно определенного оператора V, удовлетворяющего (2).
Теорема Хаага в своей более поздней формулировке [3] содержит также утверждение о числе совпадающих функций Уайтмана (вакуумных средних от произведения полевых операторов) в двух теориях, связанных унитарным преобразованием. Функции Уайтмана играют важную роль: зная эти функции,
можно в некотором смысле полностью восстановить теоретико-полевую модель. Кроме того, теорема указывает, что если в двух теориях не совпадают определенное число функций Уайтмана, то необходимо использовать неэквивалентные представления коммутационных соотношений.
В связи с важностью роли функций Уайтмана значительный интерес представляет обобщение утверждения теоремы Хаага на различные специальные варианты теории поля. Настоящая работа посвящена исследованию этой возможности для двух вариантов: некоммутативной квантовой теории поля (НКТП) и теории в пространстве с индефинитной метрикой.
Идея введения некоммутирующих пространственно-временных переменных берет свои истоки из принципов квантовой механики. Так, при квантовании координатам qi и сопряженным к ним импульсам pi ставятся в соответствие эрмитовы операторы <jj и pi, действующие в гильбертовом пространстве векторов состояний. После этого согласно принципу соответствия постулируются канонические коммутационные соотношения: [qi,Pj] = i<5y- Так получается некое квантовое фазовое пространство. Фон Нейман [4] был первым, кто строго описал такие пространства, при этом сам он называл область своих изысканий "геометрией без точек" ("pointless geometry") на основании того факта, что в квантовом фазовом пространстве понятие точки бессмысленно в силу принципа неопределенности Гейзенберга. Эти работы привели к разработке теории алгебр фон Неймана и положили начало развитию некоммутативной геометрии [5], занимающейся изучением реализации некоммутативных С*-алгебр на топологических пространствах. С построением этой области математики и связано активное развитие некоммутативной квантовой теории поля, начало которой было заложено в работах Маркова [6,7] и Снейдера [8,9]. Подобно квантованию классического фазового пространства, некоммутативное пространство-время вводится заменой пространственно-временных координат на эрмитовы генераторы некоммутативной алгебры операторов в некотором гильбертовом пространстве. В наиболее простом варианте некоммутативной теории в пространстве Минковского соотношения между координатами имеют вид:
[х", xv\ = iO^, (4)
где - постоянная антисимметричная матрица.
Новый этап в развитии теорий этого рода связан с появлением аргументов в пользу их обобщения на сверхмалые расстояния и сверхвысокие энергии [10], а также с установлением связи НКТП с теорией струн [11]. Так, было показано, что некоммутативные теории возникают в низкоэнергетическом пределе теории струн во внешних полях специального вида. Некоммутативные теории
представляют и самостоятельный интерес как один из вариантов модели с дополнительными пространственными измерениями [12-16].
Основы аксиоматического подхода к НКТП в формулировке Уайтмана были заложены в работах [17-22]. Для некоммутативной теории типа "spacespace" (т. е., когда время коммутирует с пространственными переменными, 00г = 0, г = 1,2,3) были получены аналоги постулатов спектральности и локальности, получены свойства, аналитичности функций Уайтмана, доказана СРГ-теорема для простейшего случая скалярного поля. В работе [21] рассматривалась и теорема Хаага, однако её доказательство было получено лишь для частного случая 50(1, 1)-инвариантной НКТП типа "space-space". В связи с активным развитием теорий в пространствах многих измерений интересно было бы получить многомерное обобщение теоремы и ее следствий, в том числе и для случая "time-space" некоммутативности (время некоммутативно с пространственными переменными), поскольку и для этого класса в последнее время были получены варианты последовательной теории [23,24].
Другим интересным вариантом является теория поля в пространстве с индефинитной метрикой. Хорошо известно, что индефинитную метрику и нефизические частицы необходимо вводить в калибровочных теориях, чтобы использовать ковариантную калибровку. Например, при квантовании электромагнитного поля рассматриваются операторы aj как операторы рождения и уничтожения четырех независимых сортов фотонов: двух поперечных, "продольных" и "временных". Однако такое квантование оказывается несовместимым с предположением о вещественности поля или положительности метрики. Чтобы преодолеть эту трудность, Блейлер [25] и Гупта [26] использовали формальный прием, основанный на том, что соответствующие нулевой компоненте потенциала "временные" и "продольные" фотоны в действительности не существуют, а их возникновение в промежуточных рассуждениях связано с переходом от наблюдаемых величин (векторов Е и Н) к ненаблюдаемому 4-потенциалу А. Чтобы сохранить самосопряженность оператора а„, вводится индефинитная метрика в пространстве амплитуд состояния.
Представления канонических коммутационных соотношений в пространствах с индефинитной метрикой были изучены сравнительно недавно [27], [28]. При этом оказалось, что для описания реалистичных физических ситуаций необходимо работать в классе пространств Крейна [29]. В работе [27] показано, что, помимо фоковского представления, в пространстве Крейна возможно представление ККС с отрицательным спектром оператора числа частиц N = а+а (так называемый антифоковский случай). Именно этот случай соответствует теории с нефизическими частицами. В работе [28] был получен аналог вейлевского представления алгебры ККС для случая нефизических частиц. Обобщение теоремы
5
Хаага на случай нефизических частиц было бы следующим логичным шагом, позволяющим продвинуться в изучении свойств единственности представлений ККС в пространствах с индефинитной метрикой для систем с бесконечным числом степеней свободы.
Целью диссертационной работы является исследование возможности обобщения теоремы Хаага и ее следствий на два специальных класса теорий. В качестве первого класса рассматривается некоммутативная квантовая теория поля в двух своих вариантах перестановочных соотношений операторов временных и пространственных координат: "space-space" и "time-space". В качестве второго класса рассматривается теория поля в пространстве с индефинитной метрикой. Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:
1. Рассмотрение общего случая SO{ 1, к}-инвариантной теории с произвольным фиксированным числом некоммутативных координат. Определение числа совпадающих функций Уайтмана в двух таких теориях, связанных унитарным преобразованием.
2. Вывод следствий из теоремы Хаага для процессов рассеяния частиц в многомерном некоммутативном пространстве.
3. Доказательство теоремы Хаага в некоммутативной теории типа "timespace".
4. Исследование антифоковской реализации канонических коммутационных соотношений в пространстве Крейна с помощью методов алгебраического подхода к КТП.
Научная новизна:
1. Впервые было получено обобщение теоремы Хаага для квантовой теории поля на некоммутативном четырехмерном пространстве-времени в вариантах как пространственной, так и пространственно-временной некоммутативности.
2. Рассмотрен общий случай SO(l, к)-инвариантной теории с произвольным фиксированным числом некоммутативных координат, в котором была установлена зависимость числа совпадающих функций Уайтмана в теориях, связанных унитарным преобразованием, от числа коммутативных размерностей пространства.
3. Получены следствия обобщенной теоремы Хаага для некоторых процессов рассеяния в многомерном коммутативном и некоммутативном простран-
6
стве. Установлено равенство амплитуд и полных сечений упругого рассеяния в теориях, связанных унитарным преобразованием. Доказано, что равенство некоторого числа функций Уайтмана в двух теориях приводит также к равенству амплитуд некоторых неупругих процессов.
4. С помощью методов алгебраического подхода впервые было показано, что обобщение теоремы Хаага может быть получено для теории, в которой регулярные представления канонических коммутационных соотношений реализованы в пространстве с индефинитной метрикой.
Научная и практическая значимость. Результаты диссертации важны как для фундаментальной теории, так и для экспериментальных исследований при высоких энергиях. Полученные в рамках некоммутативной теории результаты могут быть полезны в теоретическом исследовании процессов в пространствах с дополнительными (компактными и некомпактными) измерениями. В этом случае они позволяют получить связь различных характеристик процессов рассеяния частиц в многомерном пространстве в двух теориях, связанных унитарным преобразованием. Доказательство теоремы Хаага для нефизических частиц имеет большое теоретическое значение в исследовании представлений коммутационных соотношений в пространствах с индефинитной метрикой для систем с бесконечным числом степеней свободы.
На защиту выносятся следующие результаты и положения:
1. Обобщение теоремы Хаага в квантовой теории поля на некоммутативном четырехмерном пространстве-времени может быть получено как для пространственного ("space-space"), так и для пространственно-временного ("time-space") вариантов некоммутативности.
2. В двух 50(1, /с)-инвариантных некоммутативных теориях, связанных унитарным преобразованием, совпадают все функции Уайтмана вплоть до (к + 1)-точечных.
3. Для НКТП типа "space-space" существует аналог редукционных формул Лемана-Циммермана-Симанзика. При этом равенство первых (к 4-1) функций Уайтмана в двух теориях приводит к равенству амплитуд соответствующих неупругих процессов рассеяния "ш п", если п+т < к +1. Кроме того, совпадают амплитуды и полные сечения упругого рассеяния "2 2".
4. Обобщение теоремы Хаага может быть получено для теории, в которой регулярные представления канонических коммутационных соотношений реализованы в пространстве с индефинитной метрикой.
Апробация работы. Результаты работы были представлены на следующих международных и всероссийских конференциях, научно-методических семинарах: 19th International workshop on high energy physics and quantum field theoiy "QFTHEP" (Москва, 2010 г.); 16th International seminar on high energy physics "QUARKS" (Коломна, 2010 г.); 15th International conference on symmetry methods in physics "SYMPHYS" (Дубна, 2011 г.); международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва, 2012г., 2013 г.); семинар отдела теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ (Москва, 2013 г.).
Публикации, Материалы диссертации опубликованы в 7 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах и 4 работы в сборниках трудов конференций. Библиографические данные печатных работ приведены в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников. Общий объем диссертации составляет 93 страницы. Список литературы содержит 52 наименования.
Содержание работы
Во введении дана общая характеристика работы, обоснована актуальность выбранного направления исследований, сформулированы цель и задачи работы.
В первой главе представлен обзор основных результатов аксиоматического подхода в квантовой теории поля, связанных с теоремой Хаага и полученных в рамках как стандартной, так и некоммутативной теории. В первой части обзора изложены основы уайтмановского подхода в стандартной теории поля. Приведены аналитические свойства функций Уайтмана, формулировки теоремы реконструкции и теоремы Хаага.
Во второй части обзора приведены основные положения некоммутативной теории поля, а также результаты, связанные с развитием уайтмановского подхода в ней. Описаны основные варианты НКТП, а также трудности, встречающиеся в таких теоретических построениях. Представлены постулаты формализма Уайтмана для НКТП. В заключительных параграфах первой главы представлены результаты, связанные с возможностью распространения теоремы Хаага и её следствий на 50(1, 1)-инвариантную НКТП типа "space-space".
Вторая глава посвящена обобщению теоремы Хаага на различные варианты НКТП.
В разделе 2.1 рассмотрен случай некоммутативности типа "space-space" в SO( 1, к)-инвариантной теории. Такая теория инвариантна относительно собственных преобразований Лоренца в {к + 1) - мерном пространстве, затрагивающих одну временную переменную и к коммутативных пространственных переменных. При этом задано произвольное четное число т некоммутативных пространственных переменных.
Коммутационные соотнощения между координатами для случая, когда тп = 2п, имеют вид:
[S*,x!]=ie», г, j = 1, ..., 2п, (5)
тде e,j — действительная матрица размерности 2п х 2п. Остальные (к + 1) переменных (включая время) коммутативны, т. е. коммутируют между собой и со всеми & из (5). Линейной заменой переменных соотношения (5) можно привести к более удобному виду
[£\ х2] = г'01, = гвп. (6)
Здесь 9i, ..., 9п — положительные действительные параметры, а остальные коммутаторы равны нулю. Некоммутативные поля Ф(х1, ..., х2п) в этом случае реализуются как операторы в гильбертовом пространстве квантовой механики частицы в n-мерном пространстве с координатами и импульсами
й1_ Д1 f2 -п i2"-1 х2п
(7)
Для доказательства первой части утверждения теоремы Хаага используются аналитические свойства функций Уайтмана, которые обобщаются на рассматриваемый вариант НКТП благодаря коммутативности временной переменной. Именно, в такой теории можно по-прежнему выделять точки Иоста, вещественные точки аналитичности функций Уайтмана. На основании того факта, что две функции Уайтмана, совпадающие в точках Йоста, совпадают тождественно, и проводится обобщение первой часта теоремы. Доказывается, что в двух теориях, связанных унитарным преобразованием, совпадают все функции Уайтмана вплоть до (к + 1)-точечных.
Доказательство второй части теоремы проводится на основе равенства двухточечных функций Уайтмана в двух теориях, а также на основе условия локальной коммутативности. В итоге приводится обобщенный вариант теоремы:
Теорема. Пусть:
• <Pj(f,t), j = 1, 2 — два неприводимых набора операторов скалярного нейтрального поля в момент времени t, определенных в гильбертовых пространствах T~Lj;
• обе теории являются неколтутативными с вы = Ом 50(1, к)-инвариантнъши;
• вакуум Фсу является единственным нормированным 50(1, к)-инвариантнъгм состоянием в Л];
• выполнен постулат спектральности;
• две теории связаны унитарным преобразованием. Тогда:
1. первые к + 1 функции Уайтмана совпадают в обеих теориях;
2. если <р\{х) — свободное поле массы т, то <р?(х) — также свободное поле той же массы.
В заключении раздела 2.1 выводятся следствия из теоремы для коммутативной 60(1, А;)-инвариантной теории при к > 3. В этом случае рассматриваются процессы рассеяния в (к 4-1)-мерном коммутативном пространстве-времени, так что 5 0(1, &)-симметрия сохраняется, а некоммутативность отсутствует. На основании редукционных формул Лемана-Циммермана-Симанзика для процесса "т, —> п"
<Р1,---|Рп|Р1)---1Рт>»~ ~ J йх 1... <1хп+т ехр{г (-Р1 хг - ... - Рт хт + р[ а;т+1 + ...+р'п £п+т)}х
п+т ■ '
хЦй-т2) (Хх) ...4>г (х„+т)|Фи>,
г = 1, 2
(8)
и доказанного утверждения теоремы устанавливается равенство амплитуд неупругого процесса "т п" в двух теориях, если п + ш ^ к + 1.
В разделе 2.2 выводится аналог редукционных формул Лемана-Циммермана-Симанзика для некоммутативной теории. Применимость редукционных формул здесь неочевидна, поскольку вместо стоящего в функциях Грина хронологического произведения операторов нужно использовать упорядоченное ★-произведение вследствие деформации алгебры операторов:
<?«(*!, ...,хп) = (Ф0|Т(¥»(Х1) *... * ¥>(г„))|Фо), (9)
где ^-произведение операторов, взятых в различных точках, определяется следующим образом:
ФІ) * ... * фп) = П еХР (j У" Щ щ) • • • VW'
а<Ь ^ —" а,Ь =1,2,.. .п,
(Ю)
а хронологическое -^-произведение операторов является естественным обобщением обычного Т-произведения :
Сп
где «71, ..., ап— перестановка индексов 1, ..., п, такая, что
Для 50(1, с1)-инвариантной теории с некоторым числом дополнительных некоммутативных размерностей I окончательное выражение для редукционных формул получено в следующем виде:
(Фо|<£й(й) ... аГт1($к) а+ (Й+О ... а+(рп)|Фо) =
п „2 ™2
.j(27r)(d+0/2J
х ехр
О Vй ,ncPb
а<Ъ
—Pout
" р- - mz
ТТ 3 G„(-pі, ..., -Рк, Рп, ■ - ■, Pfc+i),
7=1 vMPj)
(12)
где йпірі, ...,рп)- фурье-образ функции Грина:
Gn(pi, ...,рп) = J dxi...dxn ехр
-i^PjXj
G{xlt ..., xn).
Отличие от стандартных формул выражается в наличии дополнительного фазового множителя
iV(pi.no • • ■ , Рп,пс) = ехр
„ ^Х/ Pa, ncPb,;
а<Ь
—Pout
где ограничитель | указывает на то, что выходящие импульсы нужно взять
со знаком "минус".
Соотношение (12) позволяет распространить полученные в разделе 2.1 результаты для рассеяния частиц на некоммутативную теорию. Соответствующие результаты приводятся в разделе 2.3.
Раздел 2.4 посвящен распространению теоремы Хаага на случай теории с некоммутативностью типа "time-space". Такая теория является 50( 1, 1)-инвариантной, однако теперь все переменные являются некоммутативными, и свойства аналитичности функций Уайтмана нарушаются. В частности, в такой теории нельзя выделить точки Йоста. Функции Уайтмана принадлежат пространству обобщенных функций (<S^)', сопряженному к пространству Гельфанда-Шилова Sfi, /3 < 1/2.
При доказательстве второй части теоремы (о свободном поле) также возникает проблема: в отличие от коммутативной 50(1, 1)-теории здесь нельзя сформулировать условие локальной коммутативности, которое требуется для доказательства равенства нулю тока для поля, унитарно эквивалентного свободному полю.
Доказательство теоремы Хаага осуществляется следующим способом, обходящим перечисленные трудности: производится обрыв ряда разложения экспоненты в ^-произведении (10) до некоторого конечного числа членов к. Полученные таким образом функции Уайтмана Wk становятся обобщенными функциями умеренного роста. После этого формулируется локальная теория: с использованием теоремы реконструкции по функционалам Wk восстанавливаются гильбертово пространство Нь представление группы Пуанкаре и операторы поля <р^к\х). Далее стандартным способом получаются все основные свойства аналитичности функций Уайтмана Wk. На основании 50(1, 1)-симметрии выводится утверждение о совпадении двухточечных функций Уайтмана. Кроме того, операторы поля рассматриваемой локальной теории будут удовле-
творять условию локальной коммутативности. Далее повторяются рассуждения раздела 2.1. После этого осуществляется предельный переход при к —» со от такой локальной теории к некоммутативной теории, при этом свойства слабой сходимости функционалов из пространств S' (обобщенных функции умеренного роста) и (S^Y используются для доказательства корректности такого перехода. Утверждение теоремы Хаага выполнено для полей tpW(x) и функций Wk, следовательно, оно выполнено и для их предельных значений — полей и функций Уайтмана Wt(xu ... ,хп)в НКТП.
Глава 3 посвящена рассмотрению возможности обобщения теоремы Хаага на теории с индефинитной метрикой.
В разделах 3.1 и 3.2 приводятся необходимые сведения из алгебраического подхода к квантовой теории поля. В разделе 3.1 обсуждается обобщенная формулировка представления канонических коммутационных соотношений в форме Вейля, охватывающая физические системы с любым числом степеней свободы (конечным или бесконечным). В разделе 3.2 приводится алгебраическая формулировка теоремы Хаага.
В разделе 3.3 рассматриваются некоторые свойства пространства Крейна, являющегося важным частным случаем пространства с индефинитной метрикой.
В разделе 3.4 рассмотрены представления канонических коммутационных соотношений в пространстве Крейна. Основное внимание уделено классу антифоковских представлений, который характеризуется наличием отрицательного спектра у оператора числа частиц N = а+а. Этот случай соответствует теории с нефизическими частицами.
В разделе 3.5 проводится обобщение теоремы Хаага на выбранный класс теорий. Для этого сначала строится аналог представления Вейля для антифоков-ской реализации в пространстве Крейна в соответствии с [28]. Вводятся операторы Ьк и 6¡J", связанные с операторами антифоковского представления а.к и посредством соотношений:
Ьк = Ofc . К = «fc- (13)
Знак "+" обозначают сопряжение по отношению к индефинитному скалярному произведению. В терминах новых операторов коммутационные соотношения принимают вид:
{bk,tf] =-5k¡. (14)
Известно [29], что в пространстве Крейна можно ввести положительно определенное произведение и операцию сопряжения "*" относительно него. Для антифоковского представления известна связь между двумя сопряжениями [28]:
b¡ = -К- (15)
При этом перестановочные соотношения перепишутся в виде:
[Ьк, b¡] = Sk¡ I. (16)
Далее вводятся операторы "координаты" и "импульса":
А - {Ьк-Ь1) О _(Ь* + Ь» П7л
к V2i ' Qk~ V2 ' (17)
которые являются симметричными операторами, определенными на некоторых плотных областях в "эффективном" гильбертовом пространстве. Следовательно, операторы
Uk(a) = ехр{гаД}, Ц{/3) = exp{i/3Q,}, а,/5ёЁ, (18)
образуют представление Вейля. На основании построенного представления Вейля, с использованием алгебраической формулировки раздела 3.2 делается утверждение теоремы Хаага для случая нефизических частиц.
13
Заключение
В заключение сформулируем основные результаты диссертационной работы.
1. Получено обобщение теоремы Хаага для квантовой теории поля на некоммутативном четырехмерном пространстве-времени в вариантах как пространственной ("space-space"), так и пространственно-временной ("timespace") некоммутативности.
2. Рассмотрен общий случай 50(1, к)-инвариантной теории с произвольным фиксированным числом некоммутативных координат, в котором было установлено, что в двух теориях, связанных унитарным преобразованием, совпадают все функции Уайтмана вплоть до (к + 1)-точечных.
3. Получены следствия обобщенной теоремы Хаага для некоторых процессов рассеяния в многомерном коммутативном и некоммутативном пространстве. С помощью некоммутативного аналога редукционных формул Лемана-Циммермана-Симанзика установлено равенство амплитуд и полных сечений упругого рассеяния в теориях, связанных унитарным преобразованием. Доказано, что равенство первых (к + 1) функций Уайтмана в двух теориях приводит также к равенству амплитуд соответствующих неупругих процессов рассеяния частиц "ш —у п", если п + т < к + 1.
4. Рассмотрены теории с индефинитной метрикой. С помощью методов алгебраического подхода показано, что обобщение теоремы Хаага может быть получено для теории, в которой регулярные представления канонических коммутационных соотношений реализованы в пространстве с индефинитным скалярным произведением.
Список публикаций автора по теме диссертации
Работы в научных журналах, входящих в перечень ВАК РФ рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных
результатов диссертаций
[А1] К. V. Antipin, М. N. Mnatsakanova, Yu. S. Vemov. Haag's theorem in the theories with non-physical particles // International Journal of Modern Physics A. 2013. Vol. 28. P. 1350076-1350086.
[A2] К. V. Antipin, M. N. Mnatsakanova, Yu. S. Vernov. Haag's theorem in noncommutative quantum field theory // Physics of Atomic Nuclei. 2013. Vol. 76. P. 965-968.
[A3] Антипин К. В., Вернов Ю. С., Мнацаканова М. Н. Доказательство обобщенной теоремы Хаага в пространстве произвольной размерности // Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2011. № 4. С. 27-32.
Работы в сборниках трудов конференций
[А4] К. V. Antipin, М. N. Mnatsakanova, Yu. S. Vernov. Haag's Theorem in SO (1, k) invariant quantum field theory // Proceedings of the The XlXth International Workshop "High Energy Physics and Quantum Field Theory QFTHEP-2010 (Golitsyno, Moscow, September 2010). PoS - Proceedings of Science, SISSA, Trieste, Italy, 2010, p.080.
[A5] К. V. Antipin, M. N. Mnatsakanova, Yu. S. Vemov. Extension of Generalized Haag's Theorem on Spaces with Arbitrary Dimensions // Proceedings of the 16-th International Seminar on High Energy Physics "QUARKS-2010"(6-12 июня, 2010, Коломна, Россия)/ Под ред. В.А. Матвеева, А.Г. Панина, В.А. Рубакова, Издат. Отдел ИЯИ, Москва, Россия, 2010, с.391-401.
[А6] К. V. Antipin, М. N. Mnatsakanova, Yu. S. Vernov. Consequences of the Generalized Haag's Theorem // Proceedings of the 16-th International Seminar on High Energy Physics "QUARKS-2010" (6-12 июня, 2010, Коломна, Россия) Под ред. В.А. Матвеева, А.Г. Панина, В.А. Рубакова, Издат. Отдел ИЯИ, Москва, Россия, 2010, с.133-136.
[А7] Антипин К. В., Вернов Ю. С., Мнацаканова М. Н. Теорема Хаага в теориях с нефизическими частицами // Материалы докладов XX Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва, 2013 г.). 2013. С. 336.
Цитируемая литература
1. Neumann J. Die Eindeutigkeit der Schrodingerschen Operatoren // Math. Ann. 1931. Vol. 104. P. 570-578.
2. Haag R. On Quantum Field Theory // Dan. Mat. Fys. Medd. 1955. Vol. 29. P. 12-49.
3. Hall D., Wightman A. A Theorem on Invariant Analytic Functions with Applications to Relativistic Quantum Field Theory // Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. 1957. Vol. 31. P. 5-45.
4. Neumann J. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Princeton: Princeton University Press, 1955.
5. Connes A. Noncommutative Geometry. New York: Acad. Press, 1994.
6. Марков M. А. О четырехмерно протяженном электроне в релятивистской квантовой области//ЖЭТФ. 1940. Т. 10. С. 1311-1328.
7. Марков М. А. О нелокализуемых полях // ЖЭТФ. 1951. Т. 21. С. 11-15.
8. Snyder Н. S. Quantized Space-Time // Phys. Rev. 1947. Vol. 71. F. 38-41.
9. Snyder H. S. The Electromagnetic Field in Quantized Space-Time // Phys. Rev. 1947. Vol. 72. P. 68-71.
10. Doplicher S., Fredenhagen K., Roberts J. E. Spacetime Quantization Induced by Classical Gravity // Phys. Lett. B. 1994. Vol. 331. P. 39-44.
11. Seiberg N., Witten E. String Theory and Noncommutative Geometry // J. High-Energy Phys. 1999. Vol. 9909. P. 32-123.
12. Connes A. Gravity Coupled with Matter and the Foundation of Noncommutative Geometry// Commun. Math. Phys. 1996. Vol. 182. P. 155-176.
13. Douglas M. R., Hull C. D-branes and the Noncommutative Torus // Commun. Math. Phys. 1998. Vol. 02. P. 008-011.
14. Kubyshin Y. A., Mourao J. M., Volobujev I. P. Multidimensional Einstein-Yang-Mills Theories: Dimensional Reduction, Spontaneous Compactification, and all that // Nucl. Phys. B. 1989. Vol. 322. P. 531-554.
15. Volobujev I. P., Smolyakov M. N. Single-Brane World with Stabilized Extra Dimension // Int. J. Mod. Phys. A. 2008. Vol. 23. P. 761-775.
16. Rubakov V. A., Shaposhnikov M. E. Extra Space-Time Dimensions: Towards a Solution to the Cosmological Constant Problem // Phys. Let. B. 1983. Vol. 125. P. 139-143.
17. Вернов Ю. С., Мнацаканова M. H. Уайтмановский аксиоматический подход в некоммутативной квантовой теории поля // ТМФ. 2005. Т. 142. С. 403-416.
18. Test Functions Space in Noncommutative Quantum Field Theory / M. Chaichian, M. Mnatsakanova, A. Tureanu et al. // J. High-Energy Phys. 2008. Vol. 0809. P. 125-134.
19. Towards an Axiomatic Formulation of Noncommutative Quantum Field Theory / M. Chaichian, M. Mnatsakanova, K. Nishijima et al. // J. Math. Phys. 2011. Vol. 52. P. 32303-32318.
20. Álvarez-Gaumé L., Vázquez-Mozo M. A. General Properties of Non-Commutative Field Theories // Nucl. Phys. B. 2003. Vol. 668. P. 293-321.
21. Classical Theorems in Noncommutative Quantum Field Theory / M. Chaichian, M. Mnatsakanova, K. Nishijima et al. Preprint in arXiv: 0612112 [hep-ph],
22. Chaichian M., Nishijima K., Tureanu A. Spin-Statistics and CPT Theorems in Noncommutative Field Theory // Phys. Lett. B. 2003. Vol. 568. P. 146-152.
23. Aharony O., Gomis J., Mehen T. On Theories with Light-Like Noncommutativi-ty // J. High-Energy Phys. 2000. Vol. 0009. P. 23-37.
24. OM Theory in Diverse Dimensions / R. Gopakumar, S. Minwalla, N. Seiberg et al. // JHEP. 2000. Vol. 08. P. 8-34.
25. Bleuler К. Eine neue Methode zur Behandlung der Longitudinalen und Skalaren Photonen// Heh. Phys. Acta. 1950. Vol. 23. P. 567-586.
26. Gupta S. Theory of Longitudinal Photons in Quantum Electrodynamics // Proc. Roy. Soc. A. 1950. Vol. 63. P. 681-691.
27. Irreducible Representations of the Heisenberg Algebra in Krein Spaces / M. Mnatsakanova, G. Morchio, F. Strocchi et al. // J. Math. Phys. 1998. Vol. 39. P. 29692990.
28. Вернов Ю. С., Мнацаканова M. Н., Салынский С. Г. Аналог вейлевского представления алгебры канонических коммутационных соотношений для случая нефизических частиц // Письма в ЭЧАЯ. 2012. Т. 9. С. 353-358.
29. Krein М. G. Introduction to the Geometry of Indefinite J-Spaces and to the Theory of Operators in those Spaces // Am. Math. Soc. Transí. 1970. Vol. 93. P. 103-176.
17
Подписано к печати Тиртн У^ОЗюз У ¿У
Отасчаттшо а отделе оперативкой печати фнзнмеского факультета МГУ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА
Физический факультет Кафедра квантовой теории и физики высоких энергий
042013650-14
На правах рукописи
Антипин Константин Владиславович
ТЕОРЕМА ХААГА В КОММУТАТИВНОМ И НЕКОММУТАТИВНОМ ВАРИАНТАХ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
01.04.02 — Теоретическая физика
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Научный руководитель: д. ф.-м. н., профессор Вернов Ю. С.
Москва 2013
Оглавление
Введение 4
1 Уайтмановский подход в стандартной h некоммутативной квантовой теории поля 10
1.1 Формализм Уайтмана..............................................10
1.1.1 Аксиомы Уайтмана........................................10
1.1.2 Функции Уайтмана и их аналитические свойства ... 13
1.1.3 Теорема реконструкции....................................20
1.1.4 Теорема Хаага в подходе Уайтмана......................23
1.2 Некоммутативная теория..........................................27
1.2.1 Общие положения..........................................27
1.2.2 Уайтмановский подход в некоммутативной теории поля 31
1.2.3 Результаты для 50(1, 1)- и SO( 1, 3)-инвариантной теории......................................................36
1.3 Заключительные замечания........................................38
2 Теорема Хаага в некоммутативной теории 39
2.1 Обобщение теоремы Хаага на случай некоммутативности типа space-space в SO(l, к)-инвариантной теории................39
2.2 Редукционные формулы в НКТП ................................48
2.3 Следствия для процессов рассеяния в некоммутативной теории типа "'space-space"............................................57
2.4 Обобщение теоремы на случай некоммутативности типа "timespace" ................................................................57
2.5 Заключительные замечания........................................64
3 Теорема Хаага в теориях с индефинитной метрикой 65
3.1 Обобщенное представление Вейля................................66
3.2 Алгебраическая формулировка теоремы Хаага..................68
3.3 Пространства с индефинитной метрикой. Пространства Крейна 71
3.4 Регулярные представления ККС в пространстве Крейна ... 74
3.5 Построение представления Вейля и обобщение теоремы Хаага 79
3.6 Заключительные замечания........................................83
Заключение 84
Литература 88
Введение
Теорема Хаага является важным результатом аксиоматического подхода в квантовой теории поля. В традиционной формулировке теории поля предполагается, что полевые операторы удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям (ККС) в заданный момент времени. Аксиоматический подход позволил взглянуть на эту идею с новой точки зрения, и здесь он дает интересный результат.
В случае системы с конечным числом степеней свободы п можно показать [1], что любые два представления коммутационных соотношений в форме Вейля связаны унитарным преобразованием, т. е. являются унитарно эквивалентными. В частности, всегда существует унитарный оператор
¿1), связывающий операторы координаты и импульса Рп (образующие элементы алгебры коммутационных соотношений) в разные моменты времени:
Яп(Ъ) = 2, ¿хШ*!)^1^ £1),
(0.1)
Используемое в обычной формулировке теории возмущений представление взаимодействия является, по сути, попыткой перенести этот результат в теорию поля, т. е., в теорию систем с бесконечным числом степеней свободы. В этом случае предполагается, что канонические переменные (скажем, <£>(£, х)) в каждый момент времени связаны унитарным преобразованием с каноническими переменными свободного поля (обозначим одну из них че-
рез <р{0)(г, £)):
УШг, х)У~1{1) = х). (0.2)
Зависимость от времени оператора V отражает наличие взаимодействия. Оператор рассеяния в "картине взаимодействия"определяется так:
5= Нш У(г)У(-г)*. (0.3)
Однако, как выясняется в рамках алгебраического подхода, существует множество унитарно неэквивалентных представлений ККС, и уже этот факт ставит под сомнение рассуждения, приводящие к (0.2). Результаты исследований Р. Хаага показывают [2], что, действительно, эти рассуждения неверны: за исключением случая, когда <£>(£, х) — свободное поле, не существует математически корректно определенного оператора У, удовлетворяющего (0.2).
Теорема Хаага в своей более поздней формулировке [3] содержит также утверждение о числе совпадающих функций Уайтмана (вакуумных средних от произведения полевых операторов) в двух теориях, связанных унитарным преобразованием. Функции Уайтмана играют важную роль: зная эти функции, можно полностью восстановить теоретико-полевую модель. В связи с важностью роли функций Уайтмана обобщение утверждения теоремы Хаага на различные теории представляет значительный интерес.
Настоящая работа посвящена исследованию возможности обобщения теоремы Хаага на два варианта теорий: некоммутативная квантовая теория поля (НКТП) и теория с полями в индефинитной метрике.
Идея введения некоммутирующих пространственно-временных переменных берет свои истоки из принципов квантовой механики. Так, при
квантовании координатам $ и сопряженным к ним импульсам pi ставятся в соответствие эрмитовы операторы & и pi , действующие в гильбертовом пространстве векторов состояний. После этого согласно принципу соответствия постулируются канонические коммутационные соотношения: [quPj] = i5ij. Так получается некое квантовое фазовое пространство. Фон Нейман [4] был первым, кто строго описал такие пространства, при этом сам он называл область своих изысканий "геометрией без точек" ("pointless geometry") на основании того факта, что в квантовом фазовом пространстве понятие точки бессмысленно в силу принципа неопределенности Гей-зенберга. Эти работы привели к разработке теории алгебр фон Неймана и положили начало развитию некоммутативной геометрии [5], занимающейся изучением реализации некоммутативных С*-алгебр на топологических пространствах. С построением этой области математики и связано активное развитие некоммутативной квантовой теории поля, начало которой было заложено в работах Маркова [6, 7] и Снейдера [8, 9]. Подобно квантованию классического фазового пространства, некоммутативное пространство-время вводится заменой пространственно-временных координат на эрмитовы генераторы некоммутативной алгебры операторов в некотором гильбертовом пространстве. В наиболее простом варианте некоммутативной теории в пространстве Минковского соотношения между координатами имеют вид:
[х", xv) = i6'iV, (0.4)
где 0'ш - постоянная антисимметричная матрица.
Новый этап в развитии теорий этого рода связан с появлением аргументов в пользу их обобщения на сверхмалые расстояния и сверхвысокие
энергии [10], а также с установлением связи НКТП с теорией струн [11]. Так, было показано, что некоммутативные теории возникают в низкоэнергетическом пределе теории струн во внешних полях специального вида. Некоммутативные теории представляют и самостоятельный интерес как один из вариантов модели с дополнительными пространственными измерениями [12-16].
Основы аксиоматического подхода к НКТП в формулировке Уайтма-на были заложены в работах [17-22]. Для некоммутативной теории типа "space-space" (т. е., когда время коммутирует с пространственными переменными, в°1 = 0, % — 1,2,3) были получены аналоги постулатов спектральности и локальности, получены свойства аналитичности функций Уайтма-на, доказана СРТ-теорема для простейшего случая скалярного поля. В работе [21] рассматривалась и теорема Хаага, однако её доказательство было получено лишь для частного случая SO{ 1, 1)-инвариантной НКТП типа "space-space".
Помимо некоммутативной теории, в настоящей работе рассматриваются также теории с индефинитной метрикой. Хорошо известно, что индефинитную метрику и нефизические частицы необходимо вводить в калибровочных теориях, чтобы использовать ковариантную калибровку. Например, при квантовании электромагнитного поля рассматриваются операторы а^ как операторы рождения и уничтожения четырех независимых сортов фотонов: двух поперечных, "продольных" и "временных". Однако такое квантование оказывается несовместимым с предположением о вещественности поля или положительности метрики. Чтобы преодолеть эту трудность, Блей-лер [23] и Гупта [24] использовали формальный прием, основанный на том,
что соответствующие нулевой компоненте потенциала "временные" и "продольные" фотоны в действительности не существуют, а их возникновение в промежуточных рассуждениях связано с переходом от наблюдаемых величин (векторов Е и Н) к ненаблюдаемому 4-потенциалу А, произведенным для придания теории релятивистской симметрии и ковариантности. Чтобы сохранить самосопряженность оператора ап, вводится индефинитная метрика в пространстве амплитуд состояния.
При анализе теорий такого типа удобно использовать методы алгебраического подхода. Важную роль в этом подходе играет изучение представлений канонических коммутационных соотношений. Одной из задач настоящей работы является доказательство теоремы Хаага для нефизических частиц. При этом будет рассмотрен случай регулярных представлений ККС в пространстве с индефинитной метрикой. Оказывается, что в этом случае рассматриваемое пространство попадает в класс пространств Крей-на [25]. Представления ККС в пространствах Крейна были изучены сравнительно недавно [26], [27]. В работе [26] показано, что, помимо фоков-ского представления, в пространстве Крейна возможно представление ККС с отрицательным спектром оператора числа частиц N = а+а (так называемый антифоковский случай). Именно этот случай соответствует теории с нефизическими частицами. В работе [27] был получен аналог вейлевского представления алгебры ККС для случая нефизических частиц.
В первой главе настоящей работы приведен обзор основных результатов аксиоматического подхода, связанных с теоремой Хаага и полученных в рамках как стандартной, так и некоммутативной квантовой теории поля.
Во второй главе проводится обобщение теоремы Хаага на различные
варианты НКТП, которые ранее в данном контексте рассмотрены не были. В разделе 2.1 теорема обобщается на общий случай £0(1, к)-инвариантной теории с произвольным фиксированным числом некоммутативных координат, устанавливается зависимость числа совпадающих функций Уайтмана в двух теориях, связанных унитарным преобразованием, от числа коммутативных размерностей пространства. В том же разделе выводятся следствия теоремы для процессов рассеяния частиц в многомерном коммутативном пространстве. В разделе 2.2 выводится аналог редукционных формул Лемана-Циммермана-Симанзика для НКТП, и на основе этого результата в разделе 2.3 получаются следствия из теоремы Хаага для процессов рассеяния в некоммутативном пространстве. Раздел 2.4 посвящен распространению теоремы Хаага на случай теории с некоммутативностью типа "timespace". Доказательство проводится с помощью обрыва ряда ^-произведения в некоммутативных функциях Уайтмана и опирается на свойства соответствующих пространств обобщенных функций Гельфанда-Шилова.
Третья глава настоящей работы посвящена рассмотрению возможности обобщения теоремы Хаага на теории с индефинитной метрикой. В разделе 3.5 на основе работы [27] строится аналог представления Вейля для антифоковской реализации коммутационных соотношений в пространстве Крейна. С помощью алгебраической формулировки теоремы Хаага доказывается соответствующее утверждение теоремы для нефизических частиц.
Глава 1. Уайтмановский подход в стандартной и некоммутативной квантовой теории поля
1.1. Формализм Уайтмана
В этом разделе приводится сводка результатов, наиболее полно изложенных в [28-31].
Центральное место в уайтмановском подходе занимают понятия релятивистского квантового поля и функции Уайтмана.
1.1.1. Аксиомы Уайтмана
Даже в простейшем случае свободного поля оператор квантового поля <р(х) в конкретной пространственно-временной точке не определен ни для одного вектора пространства состояний %.
Квантовое поле (р определяется как операторная обобщенная функция на пространстве Минковского М., результаты сглаживания которой
с основными функциями /(ж) являются линейными операторами (вообще говоря, неограниченными) в физическом гильбертовом пространстве И. Такое определение является естественным с точки зрения описания процесса измерения: в реальной физической ситуации значения наблюдаемых не измеряются в конкретной математической точке, а усредняются по некоторой
(1.1)
протяженной пространственной области и по некоторому конечному промежутку времени.
Конкретный выбор пространства основных функций зависит от рассматриваемой теории. Разные классы задач требуют разных классов пространств. В уайтмановском аксиоматическом подходе обычно используется пространство S(A4) быстро убывающих основных функций, т. е. множество бесконечно дифференцируемых функций f(x), для которых выражения (нормы)
11/||р= sup \xkD*f(x)\ (1.2)
хеМ
1*1 ,\q\<P
конечны при всех целых неотрицательных р. Здесь использованы обозначения
Я = ■ ■ ■, 9n), \q\ = qi + ... + qn,
D9f~ dxf .^.dxt' xk~xi--- xn
(1.3)
rp,v - /y»'"! rnn
Jb - Jb 1 . . . Jj~
Систему норм (1.2) можно заменить на эквивалентную систему
(1.4)
р= sup \D«f(x)\ хеМ \q\<p
Па + му
Lj=l
которая в некоторых случаях оказывается более удобной. Обобщенные функции, определенные над пространством 5, называются обобщенными функциями умеренного роста.
При рассмотрении некоммутативного варианта квантовой теории поля нам будет необходим более специальный выбор пространства основных функций.
Строгое определение релятивистского квантового поля дается набором аксиом Уайтмана (для простоты рассмотрен случай нейтрального скалярного поля <р):
\¥.1 (Релятивистская инвариантность). Имеется физическое гильбертово пространство Н, в котором действует унитарное представление и (а, Л) собственной группы Пуанкаре.
Ж.П (Спектральность). Спектр оператора энергии-импульса Р сосредоточен в замкнутом верхнем световом конусе, т. е. для векторов спектра выполняется соотношение:
\¥.Ш (Существование и единственность вакуума). В Н существует единственный (с точностью до фазового множителя)единичный вектор Фо, инвариантный относительно пространственно-временных трансляций
ЖГУ (Область определения полей). Квантовые поля <р являются операторными обобщенными функциями над пространством быстро убывающих основных функций 5(А4) с общей для всех операторов </?(/) областью определения V, плотной в И\ предполагается, что вакуумный вектор Ф0 содержится в V и что область V переходит в себя под действием операторов <р(/) и и (а, А).
ДУ.У (Пуанкаре-ковариантность полей).
где а 6 М, а А — преобразование координат из собственной группы
Р° > |Р|.
(1.5)
Ща, /).
и (а, А)(р(х)и~1(а, А) = ср(Ах + а)
(1.6)
Лоренца Ь\
W.VI (Локальность). Операторы поля <р(х) и <р(у) коммутируют при про-странственноподобном разделении аргументов х и у:
[ф),ф)} = 0 при {х - у)2 < 0. (1.7)
W.VII (Цикличность вакуума). Множество всевозможных конечных линейных комбинаций векторов вида <p{f\)... </?(/п)Фо (п = 0, 1, • ■ •) плотно в П.
В теории Уайтмана операторы поля образуют неприводимую систему: из того, что ограниченный оператор С слабо коммутирует в Ti со всеми операторами <p{f), т. е.
(Ф, ф)СЩ = (Ф, СфЩ (1.8)
для любых Ф, Ф G V и / е 5(Л4), следует, что С кратен единичному оператору.
1.1.2. Функции Уайтмана и их аналитические свойства Определение 1.1.1. Пусть ip — уайтмановское поле. Вакуумное среднее
W(si, ..., хп) = (Фо, фг) ■ ■. фп)Фо) (1-9)
от произведения полей (р{х{)... (р(хп) называется п-точечной функцией Уайтмана.
0-точечная функция Уайтмана полагается тождественно равной 1. Функции Уайтмана в действительности являются обобщенными функциями умеренного роста из пространства S'(Á4), сопряженного к пространству <S(A/Í).
Аксиомы W. 1-W. VII накладывают определенные условия на функции Уайтмана. Для любой системы обобщенных функций {W}, удовлетворяющих этим условиям (характеристическим свойствам), существует система уайтмановских полей {</?}, вакуумные средние которых будут совпадать с W [32]. Другими словами, все содержание квантовой теории поля может быть переведено на язык функций Уайтмана: зная их, можно восстановить гильбертово пространство состояний, унитарное представление собственной группы Пуанкаре и ковариантные операторные поля таким образом, чтобы выполнить все аксиомы Уайтмана.
Приведем характеристические свойства функций Уайтмана:
W.1 Функции Уайтмана являются обобщенными функциями умеренного роста по переменным х\, ..., хп.
W.2 Пуанкаре-инвариантность:
W(Axi + а, ..., Ахп + а) = W(si, ..., хп). (1.10)
Данное свойство заключает в себе инвариантность функций Уайтмана при преобразованиях двух видов:
(а) (Трансляционная инвариантность). Существуют обобщенные функции ..., fn_i) G <S'(.Mn-1) от разностных переменных = Xj — Xj+i, такие, что
W(rCi, . . . , Хп) = W{X 1 -Х2, • • • , Zn-l ~ хп) = ..., Cn-l)-
(1.11)
Следовательно, n-точечные функции Уайтмана являются в действительности обобщенными функциями от п — 1 переменной.
(b) (Лоренц-инвариантность).
W(Л&, ..., = Wfa, ..., ^n-i). (1.12) W.3 (Спектральность). Преобразование Фурье для W
W(qu ..., gn_i) = J Wfo, ..., • • • 4-1
(1.13)
удовлетворяет следующему условию:
supp W(qh ..., cfx..,xF+, (1.14)
где supp W^gi, ..., (fo-i) — носитель обобщенной функции W. W.4 (Положительная определенност�
