Предельные теоремы для случайных выпуклых ломаных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Предельные законы относительно одного класса мультипликативных статистик.

1.1. Построение мер Qz, Рп.

1.2. Выбор параметров zi, z2.

1.3. Уточнение асимптотики математического ожидания.22 •

1.4. Асимптотика вторых моментов.

1.5. Оценка старших моментов.

1.6. Локальная предельная теорема

1.7. Закон больших чисел.

1.8. Центральная предельная теорема.

1.9. Закон больших чисел для количества звеньев.

1.10. Закон больших чисел для количества целых точек.

Глава 2. Аппроксимация выпуклых функций случайными ломаными.

2.1. Аппроксимирующие ломаные.

2.2. Построение мер QJ и PJ.

2.3. Выбор параметрических функций z\(х), Z2(x).

2.4. Асимптотика математического ожидания.

2.5. Асимптотика вторых моментов.

2.6. Локальная предельная теорема.

2.7. Закон больших чисел.

Настоящая работа посвящена исследованию асимптотических свойств (в частности, предельной формы) для ансамблей целочисленных выпуклых ломаных относительно некоторых классов вероятностных распределений, порожденных мультипликативными мерами.

Интерес к статистике выпуклых целочисленных многогранников (т.е. с вершинами на целочисленной решетке Xd) был инициирован в статье В. И. Арнольда [1], где в связи с исследованием диаграмм Ньютона был поставлен вопрос об асимптотике числа Nd{A) выпуклых целочисленных многогранников данного объема А —> оо (с точностью до автоморфизмов решетки Zd). Арнольд получил двусторонние асимптотические оценки для случая d = 2 вида с\А1^ ^ Л^Щ ^ С2А1/г\ъА. Он также предположил, что в d-мерном случае показатель степени в аналогичных оценках имеет вид (d — 1 1). С. Б. Конягин и К. А. Севастьянов [12] доказали эту гипотезу в многомерном случае. Позднее И. Бараньи и Я. Пач [24] улучшили верхнюю оценку Арнольда в случае d — 2, показав, что N2(A) ^ С2А1/3. Наконец, точные по порядку оценки логарифмов в общем случае были получены И.Бараньи и A.M. Вершиком [25].

В плоском случае вопрос Арнольда тесно связан с проблемой перечисления незамкнутых выпуклых ломаных, выходящих из начала координат, с углом наклона звеньев не более 7г/2 и с закрепленным правым концом п = (п1,П2) —> оо. В свою очередь, последняя задача является геометрической формулировкой задачи о строгих разбиениях вектора (721,722) в неупорядоченную сумму (неколлинеарных) векторов с неотрицательными целыми компонентами. Отталкиваясь от этого наблюдения, в 1980-е гг. А. М. Вершик поставил проблему нахождения предельной формы ломаных, по образцу аналогичных задач о разбиениях, диаграммах Юнга и пр. (см. [8]). Здесь "предельная форма" понимается как кривая, в произвольно малой окрестности которой при больших п лежит подавляющее большинство ломаных (после надлежащего масштабного преобразования). С вероятностной точки зрения, существование предельной формы представляет собой функциональный закон больших чисел относительно равномерного распределения вероятностей на ансамбле Сп выпуклых ломаных с концами в точках 0 = (0,0) и n = (ni,ri2).

Проблема предельной формы для выпуклых ломаных была решена в работах A.M. Вершика [5] и И.Бараньи [23]. Именно, было показано, что при масштабном преобразовании решетки (21,1*2) (2*1/711,22/712) предельная форма существует и задается дугой параболы 70 с уравнением

Попутно была получена точная логарифмическая асимптотика для числа ломаных: в предположении, что п2/п\ —> с, 0 < с < оо. Доказательства Вершика и Бараньи носили прямой комбинаторно-функциональный и геометрический характер и основывались на изучении соответствующей производящей функции с последующим применением многомерного метода перевала для интеграла Коши либо подходящей тауберовой теоремы.

В статье [5] также поставлен и решен вопрос об асимптотике числа ломаных, лежащих окрестности графика 7 заданной строго выпуклой функции. Очевидно, по отношению к равномерному распределению вероятностей на Сп множество таких аппроксимирующих ломаных является "большим уклонением" (относительно предельной кривой 70) и потому имеет экспоненциально малую вероятность. В указанной работе был выписан соответствующий функционал действия, для которого предельная парабола 70 доставляет единственный максимум в классе графиков гладких строго выпуклых возрастающих функций. Отметим, что принцип больших уклонений для случайных ломаных (относительно равномерного распределения вероятностей) доказан A.M. Вершиком и О. Зейтуни [32]. Результат Вершика об аппроксимирующих ломаных приводит к задаче построения новой меры PJ, относительно которой данная выпуклая л/1 - и\ + у/щ — 1,

0.1)

71 —У ОО кривая 7 задает предельную форму ломаных. Эта задача решается в диссертации.

В той же работе Вершик отметил, что представляет интерес анализ асимптотических свойств ломаных относительно иных (отличных от равномерного) распределений вероятностей на £п, и сформулировал гипотезу о возможной универсальности предельной формы. Аналогичная гипотеза была высказана Ю. В. Прохоровым (частное сообщение после доклада автора на семинаре в МИР АН им. В. А. Стеклова в 1998 г.). В настоящей диссертации гипотеза В ершика-Прохорова доказана для одного класса распределений.

Одновременно с работами Вершика и Бараньи, Я. Г. Синай в статье [14] предложил вероятностный подход к исследованию асимптотических свойств выпуклых ломаных, позволяющий не только найти предельную форму, но также получить некоторые важные уточнения результатов Вершика и Бараньи, в частности центральную предельную теорему для флуктуаций относительно предельной кривой 70. Идея Синая состояла в том, чтобы представить распределение вероятностей Рп на множестве Сп ломаных с закрепленным правым концом как условное распределение, индуцированное подходящей вероятностной мерой определенной на множестве всех ломаных Мера Q = Qz (зависящая от двумерного параметра z = (zi,22)) выбирается мультипликативной, т.е. задается как распределение некоторого случайного поля v — {у{х)}Х£х с независимыми значениями, определенного на пространстве X пар х = (яь^г) вза" имно простых натуральных чисел. Благодаря мультипликативности Qz, условное распределение Рп на Сп оказывается равномерным (и в частности не зависящим от параметров 21,22). Тогда те или иные утверждения о ломаных (например, закон больших чисел) доказываются сначала для Qz, а затем переносятся на случай Рп с помощью подходящей локальной предельной теоремы. При этом параметры 21,22 естественно выбирать из условия, чтобы конец случайной ломаной "в среднем" попадал в заданную точку (ni, П2).

Отметим, что указанный подход по существу хорошо известен в статистической физике и основан на эквивалентности большого канонического и канонического ансамблей. По-видимому, впервые этот метод был применен в задачах квантовой статистики А.Я. Хинчиным [19]. Глубокая связь между асимптотическими комбинаторными проблемами для разбиений и задачами статистической физики обсуждается в серии работ А. М. Вершика (см. [4], [30], [6], [7]).

Аналогичная идея оказывается плодотворной для широкого круга комбинаторных задач (см., например, обзор Р. Арратиа и С. Таваре [22]). Наиболее хорошо разработана теория одномерных разбиений натуральных чисел (в неупорядоченную сумму неотрицательных целых слагаемых). Классическая теория разбиений восходит к Эйлеру и связана с именами Харди, Рамануджана, Радемахера и др. (см. [21]). Проблема предельной формы для разбиений была поставлена и решена А. М. Вершиком на языке соответствующих диаграмм Юнга (см. [30], [б], [7]). Красивые результаты также получены для разбиений с теми или иными ограничениями на тип и число слагаемых [30], [6], [7], [31]. Интересно, что многие классические результаты теории разбиений натуральных чисел могут быть получены сравнительно просто с помощью вероятностных соображений. В частности, нетрудно найти главный член асимптотики для функции Эйлера (числа всех разбиений):

4у/оп который был впервые получен Харди и Рамануджаном с помощью тонкого анализа производящей функции (см. [21]).

Следует отметить, что практическая реализация вероятностного метода требует определенной технической работы, и прежде всего доказательства локальной предельной теоремы. Так, доказательства основных результатов в работе Синая [14] были им лишь намечены. Аналитические трудности достаточно велики уже в одномерном варианте задачи (для разбиений натуральных чисел и соответствующих диаграмм Юнга), и необходимая локальная теорема была доказана относительно недавно в работе A.M. Вершика, Г. А. Фреймана и Ю.В. Якубовича [9].

Остановимся подробнее на структуре и содержании настоящей работы. Диссертация состоит из введения, двух глав (разбитых на параграфы) и списка литературы. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 статьях автора, список которых приведен в конце диссертации.

1. Арнольд В.И. Статистика целочисленных выпуклых многоугольников. Функц. анализ и его прилож., 1980, т. 14, вып. 2, с. 1-3. Арнольд В.И. Статистика выпуклых целочисленных многоугольников.

2. Бхаттачария Р.Н., Ранго Рао Р. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения. М.: Наука, 1982.

3. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. 2-е изд. М.: Наука. Физматлит, 1996.

4. Вершик A.M. Статистическая сумма, связанная с диаграммами Юнга. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1987, т. 164, с. 20-29.

5. Вершик A.M. Предельная форма выпуклых целочисленных ломаных и близкие вопросы. Функц. анализ и его прилож., 1994, т. 28, вып. 1, с. 16-25.

6. Вершик A.M. Статистическая механика комбинаторных разбиений и их предельные конфигурации. Функц. анализ и его прилож., 1996, т. 30, вып. 2, с. 19-39.

7. Вершик A.M. Предельное распределение энергии квантового идеального газа с точки зрения теории разбиений натуральных чисел. Успехи матем. наук, 1997, т. 52, вып. 2, с. 139-146.

8. Вершик A.M., Керов С.В. Асимптотика максимальной и типичной размерности неприводимых представлений симметрической группы. Функц. анализ и его прилож., 1985, т. 19, вып. 1, с. 27-36.

9. Вершик A.M., Фрейман Г.А., Якубович Ю.В. Локальная предельная теорема для случайных разбиений натуральных чисел. Теория веро-ятн. и ее примен., 1999, т. 44, вып. 3, с. 506-525.

10. Гельфонд А.О. Вычеты и их приложения. М.: Наука, 1966.

11. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.

12. Конягин С.Б., Севастьянов К.А. Оценка числа вершин выпуклого целочисленного многогранника в терминах его объема. Функц. анализ и его прилож1984, т. 18, вып. 1, с. 13-15.

13. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987.1.4. Синай Я.Г. Вероятностный подход к анализу статистики выпуклых ломаных. Функц. анализ и его прилож., 1994, т. 28, вып. 2, с. 41-48.

14. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. М.: ИЛ, 1953.

15. Титчмарш Е.К. Теория функций. М.: Наука, 1980.

16. Федорюк М.В. Асимптотика, интегралы и ряды. М.: Наука, 1987.

17. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. М.: Мир, 1984.

18. Хинчин А.Я. Математические основания квантовой статистики. M.-JL: Гостехиздат, 1951.

19. Широков П.А., Широков А.П. Аффинная дифференциальная геометрия. М.: Физматгиз, 1959.

20. Эндрюс Дж. Теория разбиений. М.: Мир, 1980.

21. Arratia R., Tavare S. Independent process approximations for random combinatorial structures. Adv. Math., 1994, v. 104, p. 90-154.

22. Barany I. The limit shape of convex lattice polygons. Discrete Comput. Geom., 1995, v. 13, no. 3-4, p. 279-295.

23. Barany I., Pach J. On the number of convex lattice polygons. Combin. Probab. Comput., 1992, v. 1, no. 4, p. 295-302.

24. Barany I., Vershik A.M. On the number of convex lattice polytopes. Geometric and Fund. Anal, 1992, v. 2, no. 4, p. 381-393.

25. Bingham N.H., Goldie C.M., Teugels J.L. Regular Variation. Cambridge: Cambridge University Press, 1989.

26. Hardy G.H., Wright E.M. An Introduction to the Theory of Numbers. 4th ed., Oxford: Oxford University Press, 1960.

27. Ivic A. The Riemann Zeta-function. New York: Wiley Interscience, 1985.

28. Niven I., Zuckerman H.S. An Introduction to the Theory of Numbers. New York-London: Wiley, I960.

29. Vershik A.M. Asymptotic combinatorics and algebraic analysis. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Zurich, 1994. Vol. 2. Basel: Birkhauser, 1995. P. 1384-1394.

30. Vershik A., Yakubovich Yu. The limit shape and fluctuations of random partitions of naturals with fixed number of summands. Moscow Math. Journal, 2001, v. 1, no. 3, p. 457-468.

31. Vershik A., Zeitouni 0. Large deviations principle in the geometry of convex lattice polygons. Israel J. Math., 1999, v. 109, p. 13-27.

32. Widder D.V. The Laplace Transform. Princeton: Princeton University Press, 1946.

33. Богачев JI.В., Зарбалиев С.М. Предельные теоремы для одного класса случайных выпуклых ломаных. Успехи матем. наук, 1999, т. 54, вып. 4, с. 155-156.

34. Богачев Л.В., Зарбалиев С.М. Об аппроксимации выпуклых функций случайными ломаными. Доклады Академии наук, 1999, т. 364, № 3, с. 299-302.

35. Богачев Л.В., Зарбалиев С.М. Предельные теоремы для случайных выпуклых ломаных относительно одного класса мультипликативных статистик. Деп. рук., ВИНИТИ, №2439-В2001. М., 2001, 80 с.

36. Bogachev L.V., Zarbaliev S.M. Limit theorems for random convex polygons. Research Report STAT 03/01, Department of Statistics, University of Leeds. Leeds, 2003, 70 p.http://www.maths.leeds.ac.uk/~bogachev/Papers/leeds6a.pdf

37. Bogachev L.V., Zarbaliev S.M. Approximation of convex curves by random lattice polygons. Preprint N104003, Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences. Cambridge, 2004, 33 p.http://www.newton.cam.ac.uk/preprints/NI04003.pdf