Монотонные и выпуклые перестановки функций и случайных процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

^анкТг'Ь^тербургский государственный университет

На правах рукописи

ЖУКОВА ЕКАТЕРИНА ЕВГЕНЬЕВНА

МОНОТОННЫЕ И ВЫПУКЛЫЕ ПЕРЕСТАНОВКИ ФУНКЦИЙ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

01.01.05. — Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1995

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ:

доктор физ.-мат. наук, профессор Ю. А. ДАВЫДОВ, доктор физ.-мат. наук, профессор В. Б. НЕВЗОРОВ,

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ :

доктор физ.-мат. наук, профессор В. А. ЕГОРОВ,

кандидат физ.-мат. наук Н. Н. АМОСОВА.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ —

Санкт-Петербургское отделение математического института РАН им. В.А. Стеклова.

Защита состоится 20 апреля 1995 г. в № часов на заседании специализированного совета К063.57.29 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная пл., 2, м.атематико-механический факультет СПбГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М.Горького СПбГУ, Университетская наб. 7/9.

12), Марта

Автореферат разослан трев^адя 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доцент

Рейиов О.И.

общая характеристика работы

актуальность темы. Оператор монотонной перестановки, сопоставляющий каждой функции / ее монотонную перестановку Tf, по-видимому, был впервые введен Харди и Литтлвудом для оценивания интегралов. Затем А. Зигмунд использовал их результаты для для изучения коэффициентов Фурье. и. Стейн и Г. Вейс использовали невозрастаю-щую перестановку для изучения некоторых функциональных пространств. С. Г. Крейн, Ю. И. Петунии и Е. М. Семенов применяли убывающие перестановки на (0; со) для изучения интерполяционных пространств, лежащих между L1 и L°°.

В теории вероятностей оператор монотонной перестановки применялся К. Ферником и его учениками при изучении условий непрерывности стационарных гауссовских процессов. М. А. Лифщиц1 использовал монотонные перестановки при изучении локальных времен. В области предельных теорем оператор монотонной перестановки впервые был применен В. А. Егоровым2, который получил, используя некоторые близкие к этой тематике результаты В. Б. Невзорова3, одномерные распределения монотонной перестановки стандартного винеровского процесса и времени, проведенного этим процессом ниже уровня х.

В. А. Егоров4 показал также, что штрассеновское мпоже-

1Лифшиц М. А., Локальные времена для функций и гауссовских процессов, Записки научных семинаров ЛОМИ, 1979, том 85, с.104-112

2Егоров В. А., О распределении времени пребывания, Записки научных семинаров ЛОМИ, 1989, том 177, с. 51-54

'Невзоров В. Б., Распределения упорядоченных случайных величин и их сумм, Докт. дис..., Л., 1987 и Nevzorov V. В., Limit theorems for order statistics based on the sums of random variables, Proceedings of IV Vilnius conference of probability theory and mathematical statistics, VNTJ Science press, Utrecht, 19SS, vol. 2, p. 365-376

4Егоров В. А., Функциональный закон повторного логарифма д.1я упорядоченных сумм, Теория вероятностей и ее применения, 1990, том 35, с. 343-349

ство К1 абсолютно непрерывных функций / : [0; 1] —» Е. таких, что /(0) = 0 и

1

о

под действием оператора монотонной перестановки переходит во множество \\ неубывающих абсолютно непрерывных

функций д : [0; 1] —» М. таких, что 0(0) < 0 < <?(1) и и 1

пип(4 У (^(О)2 Л + / (5'(*))2

О (0

<о 1

+4{(¿(г))2*) <1, 0 <0

где точка ¿о такова, что о) = 0, и установил закон повторного логарифма для упорядоченных сумм.

А. М. Вершик и Ю. А. Давыдов рассматривали последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин Хп : П —» К1 х И+ с конечным математическим ожиданием и строили ломаные с вершинами в точках (£> Выпуклой перестановкой этой ломаной будет

ломаная со звеньями, переставленными в порядке возрастания угла в:, образованного этими звеньями с осью абсцисс. Рассматривается параметризация ломаной точкой касания ломаной и прямой, образующей угол < с осью абсцисс. При п —► оо при нормировке £ эти ломаные будут сходиться к детерминированной кривой /гС^)), где М*) = Ерх со5 011[о!11(0:) и /2(*) = Ер1 8ш0! . Изучением выпуклых перестановок занимался также В. Б. Невзоров.

цель работы. Исследование монотонных и выпуклых перестановок устойчивых процессов и процессов \УС.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертационной работе использованы различные формы принципа инвариантности, а также теоремы о сходимости рядов из случайных величин. Ряд результатов базируется на теории порядковых статистик.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации получены следующие новые результаты:

— Найдены распределения монотонных перестановок устойчивых процессов и функция распределения монотонной перестановки процесса И7".

— Изучено действие оператора монотонной перестановки на единичные шары в различных функциональных пространствах и получены законы повторного логарифма в форме Штрассена для монотонных перестановок двумерного вк-неровского и киферовского процессов.

— Найден вид выпуклых перестановок устойчивых процессов при неравномерном разбиении отрезка и выпуклых перестановок процессов Шс.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут быть использованы при исследовании винеровского процесса, процесса броуновского моста и устойчивых процессов, например, при изучении их локальных времен. Использованные методы можно применять и для изучения асимптотического поведения сумм независимых случайных величин и эмпирических процессов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации были представлены на семинарах по теории случайных.процессов и по предельным теоремам теории вероятностей Санкт-Петербургского университета, на международной конференции, посвященной памяти а. Н. Колмогорова (март-апрель

1993, Санкт-Петербург) и на конференции молодых ученых механико-математического факультета Киевского университета им. Тараса Шевченко (май 1992, Киев).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликована 1 работа.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 68 наименований. Общий объем работы 101 машинописная страница.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержатся обозначения, принятые в диссертации, обзор литературы и формулировки основных результатов.

Первая глава посвящена изучению оператора монотонной перестановки Т. Он вводится как оператор, сопоставляющий функции / неубывающую функцию Т/, для которой

шез{х : Tj(x) > а} = тез{а;: /(я) > а}.

В первом параграфе рассматриваются свойства монотонной перестановки. В частности, автором показано, что

1. Для имеем:

еслиз-Ю 1, то Т(/д)(® + »-1) ^ (Т/)(х) (Тд)(у), и Т(/ + А)(® + »-1)<(Т/)(®) + (Тр)(у);

если х + у < 1, то (Г/)(х) (Тд)(у) < Т(/д)(х + у), и (Г/)(®) + (Тд)(у)^Ти+д)(х+у).

2. Для любого X С [0,1] имеем

1

I Г(х)<1х < у (т/)(:е)аг,

более того

вир I ¡{х)Ах - [ (Т/)(х)(1х. Х:тевХ=0и 7

X 1-0

3. Для любых /,д £ Ь1 справедливо неравенство

Т г

I Г(Г/(0 - Тд(ф1 ^ I Т(/(0 -

о о

Доказаны неравенства ЦТ/ — ГдЦ ^ ||/ — в Ьр и ¿о(Т/,Тд) ^ с?о(/>д) в О[0; 1], позволяющие применять принцип инвариантности.

В параграфе 1.2 на основе тождества Венделя получено распределение монотонных перестановок устойчивых процессов:

ТЕОРЕМА 1.2.1. Пусть ]¥а — устойчивый процесс с показателем а (0 < и ^ 2). Тогда для любого фиксированного I

где £ = 5ир[0;1) И'га(<) и г] = т£(0;1]

С помощью этой теоремы вычислена функция распределения

о

Р(ТУ/а{1) < х) =

Х~У\ Г"

У

х>0

-4- (*

J

— ОО

х < О

и найдены математические ожидания

ЕТИГа(*)-= - (1 - *)-1Е1И^в(1)|.

В частности, показано, что для распределения Коши справедливо равенство

< г) = •

/ аг^-^И^, х > О

—оо

При этом

О

Г _1__< п

Математического ожидания ТИ^ (г) не существует.

В параграфе 1.3 двумя способами вычислена функция распределения монотонной перестановки процесса броуновского

моста \УС такого, что Илс(1) — с. Показано, что Р(ТШС(1) <у) =

= -2у• (¿(1 - Щ2у - с)2 + +

' + - с)2Ь + (1 - 20(2 у -с)- Ъ) +

где

Ь = 1(2у ~ с) + (с - у)1у>с - у1у>0.

Другой способ дал альтернативную форму функции распределения монотонной перестановки Т

Р(ГИ'с(г) < а:) = Р(те5{б- :\¥с{з) > х) <1-{) =

1-а

= у/2тге1С1 J и(у)йу,

где и(у) — функция, преобразование Лапласа которой

eXyu(y) dy имеет вид

^ - Edc(y/Xy), 0<х, a<x

e-xv/2А-А.У _ ^(a-.lv^+A^

x Erfc(^§! + , 0 < x < a

у

+ ), a < x < 0

- V2\e(a-2^ ^ Eric ('^Jf + ^/Jy), x < a, x < 0,

и Erfc(:r) — e~y2dv. (Близкий подход использовал

В. Б. Невзоров.)

Параграф 1.4 посвящен монотонным перестановкам многомерных функций. Монотонной перестановкой функции / : [0; —> К. назовем неубывающую функцию Т/ : [0; 1] —> R, для которой для любого а выполнено условие mesx{i : Т/(х) > > а} = mesjfrffa; : /(.г) > а}. В этом параграфе наряду с очевидными доказаны следующие свойства: 1.

1

/ f(x)dx ^ J (Tf)(x)dx,

X l-mes(X)

более того,

L

sup / f(x)dx =» / (Tf){x)dx. X:mes X=6J J

X 1-е

t

2. Если /„ -+ / (га оо), то Т/„(т) —► Т/(ж) в любой точке непрерывности Т/.

Доказаны неравенства ЦТ/ —^ ||/ — д^ьг для 1 ^р ^ ^ оо и <10(Т/,Тд) «С ¿о{/,д) для Г>[0; I]«4.

В параграфе 1.5 описан способ, позволяющий на основе принципа инвариантности и результатов предыдущего параграфа получать монотонные перестановки многомерных устойчивых процессов.

В параграфе 1.6 рассматривается действие оператора монотонной перестановки на единичные шары в различных пространствах. Например, показано, что — где

К2 = |/ : [0; 1] —> К | / — абсолютно

непрерывная функция,/(0) = /(1) = 0, 1

о

И> = {д ■ [0; 1]

ц — неубывающая, абсолютно непрерывная функция, д(0) ^ 0 ^ 9(1),

([{д'{г))*А <

Эти результаты позволили использовать принцип инвариантности для получения закона повторного логарифма для монотонных перестановок дзумерного вияеровского и киферов-ского процессов в форме Штрассена. Показано, что процессы

ti у (х) = ц) £ (i) = относительно компакт-

1У\ / у log log 2/ v > v2y log log у

ны в C[0,1] с вероятностью 1 и множества их предельных точек (при у —► оо) совпадают соответственно с Vi и Уг-

Вторая глава посвящена изучению сравнительно нового объекта в теории вероятностей — оператора выпуклой перестановки. Здесь использованы идеи, высказанные А. М. Вер-шиком, Ю. А Давыдовым и В. Б. Невзоровым.

Выпуклой перестановкой функции / : [0; 1] —► R называется интеграл от монотонной перестановки ее производной

s

Vf(s) = J(Tf')(t)dt + f( 0).

о

Таким образом, выпуклая перестановка определена для почти всюду дифференцируемой функции. Единственность выпуклой перестановки следует из единственности монотонной перестановки. Очевидно, что выпуклая перестановка является выпуклой функцией.

В первом параграфе приведены следующие свойства:

1. Если / — выпукла, то Vf = /.

2. V(f + с) = Vf -f с и V(cf) — cV(f) для любой функции / и константы с.

3- \\{Vf)'\\L> = Wf'hr-

4. Для любой константы с найдутся функции fug такие, что

\\Vf-Vg\\Lp>4f-g\\Lr, 1 5- \\Vf-Vg\\ < II/—в норме ¡|/|| = |/(0)| + /0Х\f'(a)\ds. и, следовательно, если /„ / в норме ||/|| = |/(0)| + |/'(s)|ds, то Vfn —* Vf в этой норме, б. IIVf - '/fill ^ 2||/ - fill в норме 11/11 - sup |/| + sup|/'|, и, следовательно, если /п —► / в норме ||/|| = sup |/| + sup |/'|, то Vfn —> Vf в этой норме.

Второй параграф посвящен изучению предельных кривых для выпуклых перестановок ломаных, порожденных Винеров-ским процессом при неравномерном разбиении отрезка [0;1]. Обозначим через функцию, переводящую равномерное

разбиение отрезка в требуемое, и будем использовать параметризацию по углу.

Теорема 2.2.1. Пусть функция Г дифференцируема. Тогда при п —> оо выпуклые перестановки ломаных с нормировкой сходятся к неслучайной кривой

5(0)= ( /ф^бх/^МЖя),- ) .

, ^ )

В случае равномерного разбиения Г(в) — в предельной кривой будет

Ц2п

Далее рассматривается аналогичная конструкция для устойчивых процессов с показателем 1 < а < 2.

Теорема 2.2.2. Пусть функция Р почти всюду дифференцируема и ее производная ограничена и отделена от нуля. Тогда при п —» оо выпуклые перестановки ломаных с нормировкой

* х сходятся к неслучайной кривой

1

5(0)= (IФ«^^))1"»)^), о

/-—-—г / хс1Фас1Е(з)),

] (ПО)1"* У '

О —оо

где Фа(г) — функция распределения устойчивой случайной величины с показателем а.

В случае равномерного разбиения отрезка предельной кривой будет

(ФТ'ОО

У\уа{г) = J х(Жа.

—ос

Третий параграф посвящен предельным кривым для выпуклых перестановок ломаных, построенных по процессам броуновского моста. Для броуновского моста предельной кривой будет

Эта же кривая будет предельной и для обобщенного процесса броуновского моста ТУС.

По теме диссертации опубликована работа:

1. Жукова Е. Е., Монотонные перестановки случайных процессов, Записки научных семинаров ЛОМИ, 216 (1994), 62-75.

Подписано в печать 05.01.95 Заказ 1

Отпечатано в }ВШфА

Тираж 100 экз.