Короткие тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

На правах рукописи

Рахмонов Парвиз Заруллоевич

Короткие тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 ДЕК 2012

Москва - 2012

005056692

005056692

Работа выполнена на кафедре математических и компьютерных методов анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Чубариков Владимир Николаевич

Гриценко Сергей Александрович доктор физико-математических наук, профессор (НИУ «Белгородский государственный университет» заведующий кафедрой)

Авдеев Иван Федрович

кандидат физико-математических наук,

доцент (ГОУ ВПО

«Орловский государственный университет»)

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Московский педагогический государственный университет»

Защита диссертации состоится 14 декабря 2012 г. в 16 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, дом 1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математическог факультета МГУ (Главное здание МГУ, 14 этаж).

Автореферат разослан 14 ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

Иванов Александр Олегович

Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертация относится к аналитической теории чисел. Основным предметом исследований, составляющих ее содержание, является изучение поведения коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа и вывод асимптотической формулы в обобщенной тернарной проблеме Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми о представлении достаточно большого натурального 'числа в виде суммы двух простых и целой части нецелой степени натурального числа. Тригонометрические суммы впервые появились у Гаусса при доказательстве закона взаимности квадратичных вычетов. Он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства носящей его имя "суммы Гаусса". Тригонометрические суммы в дальнейшем стали мощным средством решения ряд важных проблем теории чисел. При этом, основной в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, то есть возможно более точной верхней границы их модуля.

Далее были исследованы полные рациональные тригонометрические суммы вида

где f(x) = апхп + ....+ ахх, п > 1, (о„,..., abg) = 1. В случае простого q = р наилучшая неулучшаемая оценка принадлежит А. Вейлю1. Он доказал, что |S| < п^/р.

Первые оценки суммы (1) в случае составного q были даны Хуа2. Он установил неравенство вида

\S\ < фг)?1"".

Оно замечательно тем, что при постоянном п в смысле порядка роста правой части с возрастанием q оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим. В.Н. Чубариков3 получил оценки модуля кратной рациональной тригонометрической суммы.

1Weyl A. Foundations of algebraic geometry, Amer.Math.Soc.Colloquim Pub., 29 (1947).

2Хуа ло-Ген Метод тригонометрических сумм и его применения в теории в теории чисел. - М.: Мир, 1964.

3Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат.заметки, 1976, Т.20, №1, с.61-68.

Рациональная тригонометрическая сумма, как частный случай, входит в еще более общий класс сумм вида

S = S(an,...,a i)=X>№))> (2)

т<Р

где f(x) = аптп + ... + Qi т и ап,...,а i - любые вещественные числа. Первый общий метод нахождения нетривиальных оценок сумм (2) создал Г. Вейль4, поэтому этим суммам дали название суммы Г. Вейля. Этот метод оценок сыграл заметную роль в развитии теории чисел: он позволил дать первые решения ряда важных проблем, в частности,' найти закон распределения дробных частей многочлена f(t), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1.

Оценки Г. Вейля, позволили дать другое решение "проблемы Варинга", т.е. утверждения, что для каждого целого п > 1 существует г = г(п) такое, что всякое натуральное число N может быть представлено в виде

N = ®J + xl + ... + хпг (3)

с целыми неотрицательными х\,...,хг. Впервые это утверждение было доказано Гильбертом в 1909 г.

Харди и Литтлвуд5 в 1919 г. разработали новый метод решения проблемы Варинга. Разработанный ими метод позволил рассматривать проблему Варинга в гораздо более полной постановке. Они рассмотрели функцию G(n), представляющую собою наименьшее значение г, ири котором все целые N, начиная с некоторого Nq, представляются в виде (3). Для этой функции они вывели неравенства

п < G(n) < n2n~1h, lim h- 1.

v 1 N-tco

Харди и Литтлвуд при г > (п — 2)2п~1 + 5 для числа I(N) представлений числа N в виде (3) нашли асимптотическую формулу.

В 1924 г. И.М. Виноградов6 представил число I(N) в виде :

Г р

I(N) = / ST(a)e(-aN)da, S(a) = ^e(axn), P = iV-

о 1=1

Из этого представления для I(N), используя новые оценки сумм Г. Вейля, в дальнейшем И.М. Виноградов7 доказал, что асимптотическая формула

4Weyl Н. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Math. Ann, 1916, 77, s.313-352.

5Hardy G.H. Litilewood J.E. The trigonometrical series associated with the elliptic в - function, Acta.math, 37 (1914), 193-239.

виноградов И.М. Об одной общей теореме Варинга // Матем.сб., 1924, т.31, №3-4, с.490-507.

^Виноградов И.М. Избранные труды. - М.: Изд-во АН СССР, 1952.

Харди и Литтлвуда имеет место при

г > 2[n2(21nn + lnlnn + 3)]. (4)

В 1934 г. И. М. Виноградов7 нашел принципиально новую верхнюю границу для функции G(n):

G(n) < n(61nn+ 10).

Новые оценки сумм Г. Вейля (1935 г.) были получены на основе теоремы И.М. Виноградова "о среднем значении тригонометрической суммы ,Г. Вейля", т.е. суммы вида .

р

S = S(an,.... ai) = е2*№). /(ж) = + ■ ■ ■ + а1®.

х=\

Теорема о среднем — это теорема об оценке сверху величины J, т.е. интеграла J вида-

1 1

J = Jb= Jb{P) = / • • • / l5(a«> • ■ ■»^i)\2bd{any..., tti), о о

который представляет собой среднее значение модуля суммы S в степени 2 Ь.

В 1942 году Ю.В.Линником8 было найдено новое доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа р. Другое р - адическое доказательство, то есть использующее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено А.А.Карацубой9, на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века р-адического метода в данной проблематике.

И.М.Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм . Данная задача была решена Г.И.Архиповым10 в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В 1975г. Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков11 дали обобщение этих результатов на кратный случай.

«ЛИННИК Ю В. Оценки сумм Вейля // ДАН СССР, 1942, Т.34, №7, с. 201-203.

^карацува A.A. Проблема Варинга для сравнения по модулю, равному степени простого числа

// Вестник МГУ, 1962, Сер.1, №1, с.28-38.

10Архипов Г.И.Оценки двойных тригонометрических сумм // Труды МИАН им. В.А. Стеклова АН СССР, 1976, Т. 142, с. 46-66.

"Архипов Г.И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы // Изв.АН СССР.Сер.мат., 1976, Т.40, с.209-220.

В дальнейшем Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубариков12 получили оценки кратных тригонометрических сумм Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена). Результаты этих исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии "Теория кратных тригонометрических сумм" 14 . В середине 80-х годов прошлого века В.Н.Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте15.

Тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа впервые рассматривал Дезуйе16 и при с > 12 получил оценку вида

Одним из обобщений проблемы Варинга является следующая задача, в которой вместо классического уравнения Варинга (3) рассматривается уравнение вида

ТУ = 4с]+4с1 + --- + 4с1 (6)

где XI, Х2, •. -хТ - натуральные числа, а с - нецелое число, и изучаются вопросы, связанные с его разрешимостью. Пусть (?(с) есть наименьшее значение к, при котором все натуральные N, начиная с некоторого, представляются в виде (6). Функция (3(с) аналогична функции С?(п) в проблеме Варинга. Дезуйе16, воспользовавшись своей оценкой (5) доказал, что при с > 12 справедливо неравенство

что по порядку величины совпадает с оценкой функции G(n), данной ранее И.М.Виноградовым (см. 17). Дезуйе также получил асимптотическую формулу для количества решений уравнения (6) при числе слагаемых порядка с3 In с.

"Архипов Г.И.,Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения // Изв.АН СССР.Сер.мат., 1980, Т.44, с.723-781.

"Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. -М.: Наука, 1987, -368с.

"Чубариков В.Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН

СССР, Сер. мат., 1985, Т.49, №5. с. 1031-1067.

16Deshouillers J. M. Probleme de Waring avec exposants non entiers // Bull.Soc. Math. France, tom 101(1973), p. 285-295.

17Виноградов И.М, Карацуба A.A. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Труды МИАН СССР, 1984, т.168, с.4-30.

Se(à,x) = Y^e(a[nc}) Cr1-", p_1 = 6c2 (In с-f 14). (5)

Tl<X

Г.И. Архипов и А.Н. Житков18 для среднего значения суммы ¿Ца, Р), т.е. для интеграла

1

1(Р) = I \Зс(а,Р)\2к<1а о

получили равномерную оценку сверху при с > 2. Используя эту оценку, они доказали асимптотическую формулу для количества решений уравнения (6), где с > 12, при числе слагаемых к > 22с2(1пс + 4), что в точности по порядку величины повторяет оценку (4), принадлежащую И.М.Виноградову.

Оценка (5) была существенно К. Нуриевым19. Он получил оценку

„/ ч 1-в -1 Г 21с+2!. при с <100;

р~ =(2.10зс2> при с > ЮО,

которая являются аналогом теоремы И.М.Виноградова17 об оценке суммы Г.Вейля на множестве точек второго класса

Тк{а,х) = ^ е(«п*) « х1'", Р"1 = Ы2{\пк + 1,5*; + 4,2).

Основным аппаратом при решении аддитивных задач с почти равными слагаемыми являются, тригонометрические суммы, переменные суммирования в которых принимают значения из коротких интервалов. И.М. Виноградов первым начал изучать подобные тригонометрические суммы. Он 7 нашел оценки для линейной тригонометрической суммы с простыми числами, переменная суммирования которой принимает значение из короткого интервала. Пусть

5(а;ж,у)= . А(п)е(ап), а = - + Л, |А| < —, 1 < Ч < т.

х—у<п<х ^ ^

Тогда, используя свой метод оценок сумм с простыми числами, он доказал, что при

ехр(с(1п1па;)2) < д « я1/3, у > х2/3+£. имеет место нетривиальная оценка такой суммы.

18Архипов Г.И., Житков А.Н О проблеме Варинга с нецельм показателем // Изв. АЛ СССР, сер. матем., 1984, т.48, №6, с.1138-1150.

19БУРИЕВ К. Об исключительном множестве в проблеме Харди-Литлвуда для нецелых степеней // Математические заметки, 1989, т. 46, в.4, с.127-128.

Далее, Хазелгров20 получил нетривиальную оценку суммы 5(а, у > хв, б = Ц, ц — произвольное, и решил тернарную проблему Гольдбаха с почти равными слагаемыми, то есть показал, что диофантово уравнение

N = Pi + Р2 + Рз,

N

ft-g

<Ne, i= 1,2,3.

(7)

разрешимо в простых числах р 1, рг, Рз •

Затем в работах21,22,23 эта задача была решена соответственно при

279 2 в = ш + є' 3

С.Ю.Фаткина24 доказала при Я > Л^Ь^-ЛГ асимптотическую формулу для числа решений диофантова уравнения

N

N = Pl+p2 + [V2p3],

N

Pi-y

<Я, і = 1,2,

[>/2рз] -

< Я.

Jianya Liu и Tao Zhan25 доказали теорему Хуа Jlo-гена об представимости достаточно большого натурального числа N, N = 5 (mod 24) в виде суммы пяти квадратов простых чисел в случае, когда эти слагаемые почти равны. Они показали, что достаточно большое натуральное число N, N = 5 (mod 24) можно представить в виде

N =рІ + ...+рІ,

РГ

< Я, Я > N&+£

Jianya Liu и Tao Zhan25 также доказали теорему, что достаточно большое натуральное число N, можно представить в виде

N = pi + рг + Рз,

N

Pi-з

<Я,

„2 N Рз-у

< Я, Я > N&+e

20Haselgrovb С.В. Some theorems in the analitic theory of number // J.London Math.Soc.,26 (1951),273-277.

21статулявичус В. О представлении нечетных чисел суммою трех почти равных простых чисел // Вильнюс, Ученые труды университета, сер. мат., физ. и хим. н., 3 (1955), 5-23.

"PAN Cheng-dong, Pan Cheng-biao. Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao, On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III) // Chinese Ann. of Math., 2(1990), 138-147.

23Zhan Tao On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes // Acta

Math Sinica, new ser., 7 (1991), No 3, 135-170.

24С.Ю.Фаткина Об одном обобщении тернарной проблемы Гольдбаха для почти равных слагаемых // Веста. Моск. Ун-та. сер.1, математика, механика. 2001. №2, с. 22-28.

25J.Y.LIU, Т Zhan. Hua^s Theorem on Prime Squares in Short Intervals. Acta Mathematica Sinica, English Series Oct., 2000, Vol.16, No.4, pp. 669Ц690.

Цель работы.

Изучение поведения коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа и вывод асимптотической формулы в обобщенной тернарной проблеме Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых и целой части нецелой степени натурального числа.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Получена оценка короткой тригонометрической суммы с нецелой степенью натурального числа в экспоненте.

2. Доказана асимптотическая формула для этой суммы при значениях параметра, принадлежащих малой окрестности нуля.

3. Доказана теорема, устанавливающая связь плотностных теорем для нулей дзета-функции Римана в коротких прямоугольниках критической полосы с поведением коротких линейных тригонометрических сумм с простыми числами;

4. Доказана асимптотическая формула в обобщенной тернарной проблеме Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых и целой части нецелой степени натурального числа.

Основные методы исследования

В работе используются методы аналитической теории чисел, в том числе метод оценки специальных тригонометрических сумм и интегралов Ван дер Корпута, метод снятия знака целой части в показателе тригонометрической суммы и формула ее остаточного члена, круговой метод Г.Харди, Д.Литтлвуда и С.Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова и методы Ь - рядов Дирихле, методы Ю.В. Лин-ника и Н.Г.Чудакова, основанные на плотности нулей Ь - рядов Дирихле в критической полосе.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации и метод их получения представляют интерес для специалистов в области аналитической теории чисел.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и научных конференциях.

1. Семинар «Аналитическая теория чисел» под руководством профессора Г.И. Архипова и профессора В.Н. Чубарикова, кафедра математических и компьютерных методов анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (неоднократно с 2009 года по 2012 год);

2. IX международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», г. Тула, ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 24-26 апреля, 2012 года;

3. Международная научная конференция «Современные проблемы математического анализа», Душанбе, Институт математики АН Республики Таджикистан, 29-30 июня 2012 года;

4. X международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», г.Волгоград, УКЦ ФМИФ ВГ-СПУ, 10-16 сентября 2012 года.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1-5].

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из оглавления, списка обозначений, введения, двух глав и списка литературы, включающего 28 наименований. Объём диссертации составляет 73 страницы компьютерной вёрстки в редакторе математических формул КЩХ.

Краткое содержание работы

Во введении излагается история вопроса и приводится краткий обзор результатов, связанных с темой диссертации. Также во введении формулируются основные результаты диссертации и кратко описывается ее содержание.

Первая глава диссертации состоит из четырех параграфов и посвящена исследованию поведения коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа вида

Зе(а\-х,у)= еИп°])-

х—у<п<х

Первый параграф носит вспомогательный характер, в нем приведены известные результаты, которые используются в последующих параграфах. Леммы 1.1 и 1.2 содержат в себе новый метод снятия знака целой части в показателе экспоненты тригонометрической суммы, который изложен в учебнике Архипова Г.И., Садовничиго В.А., Чубарикова В.Н. "Лекции по математическому анализу" 26.

Во втором параграфе доказываются оригинальные леммы 1.6,1.7 и 1.8. Они затем используются при доказательстве теорем 1.1 и 1.2.

Лемма 1.6. Для величины

(с\ _ с(с - 1) ■ • ■ (с - к + 1)

и/ ~ к\

при нецелом с > 1 и натуральном к справедливы оценки

М<^<1 при к = [с} +1.

При доказательстве этой лемме используется метод, с помощью которого доказывается лемма 2 в27 (см. стр. 35).

Лемма 1.7. Пусть х > х0 > О, 10 < у < 10~9ж, М > 2 - натуральное число, а - вещественное число с условием 0 < |а| < 0,5,

26 Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.:, Дрофа, 2003.

27Буриев К. Аддитивные задачи с простыми числами. Диссертация на соискании кандидата физмат. наук. Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова, 1989.

с > 1 - нецелое число, к = [с] + 1,

Шг{Н)= е((а + Л)пс), ае =

Л!,

Тогда справедлива оценка

< 2ку ((аеМхс~к)^ + у(а}хс-к) .

Лемма 1.7 доказывается методом Ван - дер - Корпута. Лемма 1.8. Пусть х > х0 > 0, 10 < у < 10-9а:, А - фиксированное положительное число больше единицы, М > 2 - натуральное число, Мо = 7Г(М + 0,5), М\ = М0\п(Л?А 1пМ), с > 1 - нецелое число, к —

Доказательство леммы 1.8 проводится на базе формулы для снятия знака целой части в экспоненте тригонометрической суммы (лемма 1.2) с последующим применением метода Ван - дер - Корпута.

Арифметическая особенность последовательности [пс] состоит, с одной стороны, в более сложном ее поведении, чем, допустим, последовательности пк, где к - натуральное, а с другой стороны, ее значения равномерно распределены по модулю 1 в любой арифметической прогрессии.

В третьем параграфе первой главы, воспользовавшись, в частности, этой особенностью для суммы 5с(а;ж,у), во всех точках а 6 [—0,5, 0,5], за исключением только малой окрестности нуля, получена оценка, равномерная но параметру с, удовлетворяющему условиям (8), если только длина суммы - у является величиной, превосходящей квадратный корень от х.

Теорема 1.1. Пусть х > хо > 0, А - фиксированное положительное число больше единицы, с - нецелое число с условиями

Тогда справедлива оценка

((з:хс-кМ1ук1-2 + у'* {&хс~кМ\) 2*-2 + МГ1) .

1 <с<\щ2Я

||с|| > (2[с1+1 - 1) (Л + 1)^-4

Тогда при у > s/2сх Л?л+в и х1~су Х5£А < |а| <0,5 справедлива оценка

Sc{œ,x,y)<^yX~A,

где в — 0 при с > 1,1 к й = 0,5 при с < 1,1.

В четвертом параграфе первой главы для числа а, принадлежащего малой окрестности нуля, доказана асимптотическая формула с остаточным членом, равномерным по параметру с, удовлетворяющему условиям (8), для еще более коротких суммы Sc(a\x,y).

Теорема 1.2. Пусть х > хо > 0, А - фиксированное положительное число больше единицы, с - нецелое число с условиями (8). Тогда при у > (xJSf) 4-22-ici и |а| < xl~cy~lJ£A справедлива асимптотическая формула

Sc{a, х,у) = ~~~~~~~ J ~ 0,5))Л + О .

х-у

Для единообразия с теоремой 1.1 в приложениях, имея в виду, что

< < sfbxS£A,

теорему 1.2 сформулируем в следующем ослабленном форме.

Следствие 1.2.1. Пусть х > Хо > 0, А - фиксированное положительное число больше единицы, с - нецелое число с условиями (8). Тогда при у > \/2сх <£А и |а| < xi~°y~1J£A справедлива асимптотическая формула

Sc{a; = e(a(f - 0,5))«й + О ) .

х-у

Доказательство теорем 1.1 и 1.2 проводится методом оценок тригонометрических сумм Ван - дер - Корпута. Одним из факторов, за счет которых удается получить нетривиальную оценку короткой суммы Sc{a\ х, у), является новый метод снятия знака целой часты в экспоненте тригонометрической суммы и формула ее остаточного члена. С помощью этого метода снятия знака целой часты в экспоненте тригонометрической суммы в сочетании методом Ван - дер - Корпута, грубо говоря, оценка суммы 5с(а; х, у), фактически сводится к оценке суммы

w(o)= £

х—у<п<х

т.е. к оценке суммы где уже отсутствует знак целой части.

Вторая глава диссертации состоит из трех параграфов, первый параграф которого носит вспомогательный характер, в нем приведены известные результаты, которые используются в последующих параграфах.

Во втором параграфе доказана теорема 2.1, устанавливающая связь плотностных теорем для нулей дзета-функции Римана в коротких прямоугольниках критической полосы с поведением линейных тригонометрических сумм с простыми числами, переменная суммирования которых принимает значение из коротких интервалов, то есть с суммами вида:

Б(аг,х,у) = X) Нп)е{ап),

х—у<п<х

для точек а, принадлежащих малой окрестностью нуля.

Определение. Пусть с > 2 и В > 1 абсолютные постоянные, Т > То > О, Н <Т, тогда оценка вида

М(а,Т + Н) - Ща,Т) « Яс<1-а>(1пТ)в (9)

называется плотностной теоремой в коротких прямоугольниках критической полосы для нулей дзета - функции Римана.

X

Теорема 2.1. Пусть х > х0, У > х^ ехр(1пж)0'67 и [а| < Тогда справедливо равенство:

3{а,х,у) = (а (х - ¡)) + О (уехрС-ЬМпх)) .

В работе28 доказано, что неравенство (9) справедливо при

Я > ТЙ+£, с = В = 50.

о

Поэтому из теоремы 2.1 имеем следующий безусловный результат.

Следствие 2.1.1. Пусть х > х0, у > х* ехр(1пх)0'67 и |а[ < Тогда справедливо равенство:

3{а;х,у) = {а (х - ¡)) + О (»«ф(-1д<1п*)) •

28Рахмонов 3-Х. Оценка плотности нулей дзета-функции Римана // УМН, 1994, Т.49, Вып. 1, с.161-162.

Доказательство теоремы 2.1 основывается на дальнейшем развитии методов работы Ю.В.Линника29 и Н.Г.Чудакова30, в которых, соответственно, исследуются тригонометрические суммы с простыми числами и задача о попадании простых чисел в короткие интервалы.

Эстерман31 доказал асимптотическую формулу для числа решений уравнения

Р1 + Р2 + п2 = N, (10)

где рх, р2 — простые числа, п — натуральное число.

В.Н.Чубариков поставил следующую задачу. Рассмотрим уравнение (10), в котором слагаемое п2 заменится на [пс], где с - нецелое фиксированное число. Исследовать его при более жестких условиях, а именно, когда слагаемые почты равны. Эту задача мы называем обобщенной тернарной проблемой Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми.

Во третьем параграфе второй главы, прилагая теоремы 1.1 и 1.2 и следствие 2.1.1 теоремы 2.1, доказана теорема 2.2 об асимптотической формуле в обобщенной тернарной проблеме Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми.

Теорема 2.2. Пусть N — достаточно большое натуральное число, с - нецелое фиксированное число с условиями

с > | + ||с|| > Зс (2И+1 - 1)

Тогда при Н > для 1{Ы,Н) — число решений уравнения

P1+P2 + К] = N,

N

Pi-j

<Н, i = 1,2,

Г С! N

М - у

<Н (11)

в простых чисел pi, Р2 и натурального п справедлива асимптотическая формула:

_18_ _

З^с ' TV1-^2

Доказательство теоремы 2.2 проводится круговым методом Харди, Литтлвуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова и его основу составляют следующие результаты.

29Линник Ю.В. Новое доказательство теоремы Гольдбаха^Виноградова // Математический сборник, 1946, т. 19, выи. 1, с. 3-8.

30Chudakov N.G. On the difference between two neighboring prime numbers //Mat. Sb., 1, 1936, 799 - 814.

31Estermann T. Proof that every large integer is the sum of two primes and square // Proc. London math.Soc., 11(1937), pp. 501-516.

• Теорема 1.1 об оценке коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа Зс(а-,х,у) для всех точках а € [-0,5, 0,5], включая окрестности точек с малыми знаменателями, за исключением только малой окрестностью нуля.

• Теорема 1.2 об асимптотической формуле с остаточным членом суммы 5с(а;х,у) для точек а, принадлежащих малой окрестностью нуля.

• Следствие 2.1.1 теоремы 2.1 о поведении коротких линейных тригонометрических сумм с простыми числами 3(а-,х,у) для точека, принадлежащих малой окрестностью нуля.

Следствие 2.2.1. Существует N0 такое, что каждое натуральное число N > N0 представимо в виде суммы двух простых чисел р\, Р2 и целой части степени с натурального числа п с условиями

N

Рі~з" N

п-, з

< ЛГ1-^2,

1,2,

< - + 1 ~~ 3« с 3= 2с2

где с - нецелое фиксированное число с условиями 4

Цс|| > Зс (2М+1 - і)

В заключение автор приносит глубокую благодарность научному руководителю профессору В.Н.Чубарикову за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе.

Публикации по теме диссертации

1. РАХМОНОВ П.З. Короткие тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа // Вестн. Моск. Ун-та. сер.1, математика, механика, 2012. №6, 51-55.

2. РАХМОНОВ П.З. Оценка коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа // Доклады АН Республики Таджикистан, 2012, том 55, №3, с. 185-191.

3. РАХМОНОВ П.З. Короткие тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа // Тезисы докладов IX Международной конференции «Алгебра и теория чисел: Современные проблемы и приложения», Тула, 24-26 апреля 2012 года, с.

4. РАХМОНОВ П.З. Тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа вида // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математического анализа», Душанбе, 29-30 июня 2012 года, с. 143-144.

5. РАХМОНОВ П.З. Короткие тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа // Тезисы докладов X Международной конференции «Алгебра и теория чисел: Современные проблемы и приложения», Волгоград, 10-16 сентября 2012 года, с. 57-58.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж 130 экз. Заказ № S9

Обозначения.

Введение

1 Оценка коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа

1.1 Известные леммы.

1.2 Оригинальные леммы.

1.3 Короткие тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа.

1.4 Поведении короткой тригонометрической суммы с нецелой степенью натурального числа в окрестности нуля.

2 Обобщенная тернарная проблема Эстермана для почти равных слагаемых

2.1 Вспомогательные утверждения.

2.2 Поведении короткой линейной тригонометрической суммы с простыми числами в окрестности нуля.

2.3 Обобщенная тернарная проблема Эстермана для почти равных слагаемых

2.3.1 Доказательство теоремы 2.2. Разбиение интеграла

2.3.2 Оценка интеграла /(ш+)

2.3.3 Оценка интеграла /(тп)

2.3.4 Вычисление интеграла 1{Ш\).

Основным предметом исследований, составляющих содержание диссертации, является изучение поведения коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа и вывод асимптотической формулы в обобщенной тернарной проблеме Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых и целой части нецелой степени натурального числа. Тригонометрические суммы впервые появились у Гаусса при доказательстве закона взаимности квадратичных вычетов. Он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства носящей его имя " суммы Гаусса". Тригонометрические суммы в дальнейшем стали мощным средством решения ряда важных проблем теории чисел. При этом, основной в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, то есть возможно более точной верхней границы их модуля.

Далее были исследованы полные рациональные тригонометрические суммы вида где /(ж) = апхп + . . + а\Х, п > 1, (ап,. ,а\,д) = 1. В случае простого q = р наилучшая неулучшаемая оценка принадлежит А. Вейлю [1]. Он доказал, что

Первые оценки суммы (1) в случае составного q были даны Хуа [2, 3, 4, 5]. Он установил неравенство вида

1) пу/р.

5| < с{п)д1-п.

Оно замечательно тем, что при постоянном п в смысле порядка роста правой части с возрастанием q оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим. В.Н. Чубариков [6] получил оценки модуля кратной рациональной тригонометрической суммы.

Рациональная тригонометрическая сумма, как частный случай, входит в еще более общий класс сумм вида

S=S(an,.1al) = J2e(f(m)), (2) т<Р где f{x) = аптп + . + а^т и а;п,., ari - любые вещественные числа. Первый общий метод нахождения нетривиальных оценок сумм (2) создал Г. Вейль [7], поэтому этим суммам дали название суммы Г. Вейля. Этот метод оценок сыграл заметную роль в развитии теории чисел: он позволил дать первые решения ряда важных проблем, в частности, найти закон распределения дробных частей многочлена f(t), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1.

Оценки Г. Вейля, позволили дать другое решение "проблемы Барита", т.е. утверждения, что для каждого целого п > 1 существует г = г(п) такое, что всякое натуральное число N может быть представлено в виде

N = хпг + хп2 + . + хпг (3) с целыми неотрицательными . ,хг. Впервые это утверждение было доказано Гильбертом в 1909 г.

Харди и Литтлвуд [8] в 1919 г. разработали новый метод решения проблемы Варинга. Разработанный ими метод позволил рассматривать проблему Ва-ринга в гораздо более полной постановке. Они рассмотрели функцию G{n), представляющую собою наименьшее значение г, при котором все целые N, начиная с некоторого Nq, представляются в виде (3). Для этой функции они вывели неравенства п < G(n) < п2п-1/г, lim h = 1.

Харди и Литтлвуд при г > (п — 2)2п"1 + 5 для числа I(N) представлений числа N в виде (3) нашли асимптотическую формулу.

В 1924 г. И.М.Виноградов [9] представил число I(N) в виде : 1 р

I(N) = j Sr{a)e(-aN)da, S{a) = ^ e{axn), P — N* о

Из этого представления для I(N), используя новые оценки сумм Г. Вейля, в дальнейшем И.М. Виноградов [10] доказал, что асимптотическая формула Харди и Литтлвуда имеет место при г > 2[n2(21nn + lnlnn + 3)]. (4)

В 1934 г. И. М. Виноградов [11] - [19] нашел принципиально новую верхнюю границу для функции G(n):

G{n) < n(61nn+ 10).

Новые оценки сумм Г. Вейля (1935 г.) были получены на основе теоремы И.М. Виноградова "о среднем значении тригонометрической суммы Г. Вейля", т.е. суммы вида р

S = S(an, .,ai) = J2 e27rif{x\ f(x) = anxn + . + вд

Х=1

Теорема о среднем — это теорема об оценке сверху величины J, т.е. интеграла J вида

1 1

J=Jb=Jb(P) = j . j\S(an,.yai)\2bd(an, .,^0, о о который представляет собой среднее значение модуля суммы S в степени 2Ь.

В 1942 году Ю.В.Линником [20] было найдено новое доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа р. Другое р - адическое доказательство, то есть использующее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено А.А.Карацубой [21], на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века р-адического метода в данной проблематике. В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теоремы о среднем значении, но и получить новые существенные результаты, в частности, вывести нетривиальные оценки величины J(N; п, к) при малых значениях к (см. работы [22], [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29]).

И.М.Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм. Данная задача была решена Г.И.Архиповым [30] в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В 1975г. Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков [31], [32] дали обобщение результатов Г.И.Архипова на кратный случай. В 1976г. В.Н.Чубариков [33, 34, 35] получил оценки кратных тригонометрических интегралов. В течение 80-х годов прошлого столетия Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубариков [36, 37] продолжили исследования и иолучи-ли первые оценки кратных тригонометрических сумм Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена). В 1987 г. результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии "Теория кратных тригонометрических сумм" [38]. В середине 80-х годов прошлого века В.Н.Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте [39, 40, 41, 42].

Тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа вида

Sc(a,x) = У%(а[гес]) п<х впервые рассматривал французский математик Jean-Marc Deshouillers [43, 44] и при с > 12 получил оценку

Sc(a,x)<«Л р~1 = 6с2 (lu с + 14). (5)

Одним из обобщений проблемы Варинга является следующая задача: вместо классического уравнения Варинга (3) рассматривается уравнение n = 4С] + 4С] + • • • + 4С] (6) где Х\, а?2,. хг - натуральные числа, а с- нецелое число, и изучаются вопросы, связанные с его разрешимостью. Пусть G(c) есть наименьшее значение

А;, при котором все натуральные N, начиная с некоторого, представляются в виде (6). Функция Сг (с) аналогична функции С(п) в проблеме Варинга. БевЬоиШегв [43, 44] воспользовавшись своей оценкой (5), доказал, что с) < 4с ^Ь с + ^ 1п 1п + 0 , что по порядку совпадает с оценкой функции С(п), данной И.М.Виноградовым [45]. Ранее в работе [46] для С(с) была получена оценка сверху величиной порядка с2 2е. Дезуйе также получил асимптотическую формулу для количества решений уравнения (6) при числе слагаемых порядка с31п с.

Г.И. Архипов и его ученик А.Н. Житков [47] для среднего значения суммы Яс(а, Р), т.е. для интеграла 1

1(Р) = I \Зс(а,Р)\2кс1а о получили равномерную оценку сверху при с > 2, и, используя эту оценку, доказали асимптотическую формулу для количества решений уравнения (6), где с > 12, при числе слагаемых к > 22с2(1пс+4), что в точности по порядку повторяет оценку (4), принадлежащую И.М.Виноградову.

Оценка (5) была существенно уточнена другим учеником Г.И. Архипова, К. Нуриевым [48, 49]. Он получил оценку х1~р, р~х = р = | 2[с+2]' при с <100;

2 • 103с2, при с > 100, которая является аналогом теоремы И.М.Виноградова [45] об оценке суммы Г.Вейля в множестве точек второго класса

Тк(а,х) = ^2е{апк) < х1~р, /Г1 = 8к2(\пк + 1,Ък + 4,2). п<х

Основным аппаратом при решении аддитивных задач с почти равными слагаемыми являются тригонометрические суммы, переменные суммирования которых принимают значение из коротких интервалов. И.М. Виноградов первым начал изучать подобные тригонометрические суммы. Он

17, 18, 50, 51] нашел оценки для линейной тригонометрической суммы с простыми числами, переменная суммирования которой принимает значение из короткого интервала. Пусть

3(а;х,у) = Л(п)е(ст), а = - 4- Л, |А| < —, 1 < д < т. х—у<п<х ^ ^

Тогда, используя свой метод оценок сумм с простыми числами, он доказал, что при ехр(с(1п1п.'г)2) <С <7 < ж1/3, у > х2/3+£. имеет место нетривиальная оценка такой суммы.

Далее, Хазелгров [52] получил нетривиальную оценку суммы Я(а, ж, у), у > хе, 9 = Ц, д — произвольное, и доказал тернарную проблемы Гольдбаха с почти равными слагаемыми, то есть показал разрешимость диофантова уравнения

N = рг +р2 +Рз, N

Pi-J

N\ i = 1,2,3.

7)

Затем в работах [53, 54, 55, 56, 57, 58, 59] эта задача была решена соответственно при л 279 2 5 в =--у е. - + е,

308 ' 3 ' 8

С.Ю.Фаткина [60] доказала асимптотическую формулу для числа решений диофантова уравнения

N = р1+р2 + [^2р3}, (8) с условиями N

Pi

1,2,

V2p3] N Я, Н>№ 1пс N.

Jianya Liu и Tao Zhan [61, 62, 63, 64] доказали теорему Хуа JIo-гена об представимости достаточно большого натурального числа N, N = 5 (mod 24) в виде суммы пяти квадратов простых чисел в случае, когда эти слагаемые почти равны. Они показали, что достаточно большое натуральное число N, N = 5 (mod 24) можно представить в виде

N = PI + . + PI

Pi Я, Я > N™+£

Jianya Liu и Tao Zhan [61, 62, 63, 64] также доказали теорему, что достаточно большое натуральное число N можно представить в виде

ДГ = р1+р2 р1

Рз

N ~3~ А N У Я, Я > Nv е

Диссертация состоит из двух глав и списка литературы. Первая глава диссертации состоит из четырех параграфов и посвящена исследованию поведения коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа вида ж, у) = е(а[пс}). х—у<п<х

Первый параграф носит вспомогательный характер, в нем приведены известные результаты, которые используются в последующих параграфах. Леммы 1.1 и 1.2 содержат в себе новый метод снятия знака целой части в показателе тригонометрической суммы и формулу ее остаточного члена, которые изложены в учебнике Архипова Г.И., Садовничиго В.А., Чубарикова В.Н. "Лекции по математическому анализу" [65].

Во втором параграфе доказываются оригинальные леммы 1.6, 1.7 и 1.8, которые затем используются при доказательстве теорем 1.1 и 1.2 .

Лемма 1.6. Для величины с\ с(с — 1). (с — А; + 1) \к) ~ к\ при нецелом с > 1 и натуральном к справедливы оценки V

1 <1

М к i Л к. 2е < 1 при при к < с, к=[с] + 1.

При доказательстве этой леммы используется метод, с помощью которого доказывается лемма 2 в [49] (см. стр. 35.)

Лемма 1.7. Пусть х > х0 > 0, 10 < у < 1СГ9ж; М > 2 ~ натуральное число, а - вещественное число с условием 0 < \а\ < 0,5, с > 1 - нецелое число, к = [с] + 1 х—у<п<х

32 = к\

Тогда справедлива оценка а + к

1<Н<м

Лемма 1.7 доказывается методом Ван - дер - Корпута. Лемма 1.8. Пусть х > х$ > О, 10 < у < 10~9ж, А - фиксированное положительное число больше единицы, М > 2 - натуральное число, Мо = 7Г(М + 0,5), Мх = М0 1п М), с > 1 - нецелое число, к = [с] + 1,

Доказательство леммы 1.8 проводится на базе формулы остаточного члена нового метода снятия знака целой части в экспоненте тригонометрической суммы (лемма 1.2), с последующим применением метода Ван - дер - Корпута.

Арифметическая особенность последовательности [пс] состоит, с одной стороны, в более сложном ее поведении, чем, допустим, последовательности пк, где к - натуральное, а с другой стороны, ее значения равномерно распределены в любой арифметической прогрессии.

В третьем параграфе первой главы, воспользовавшись, в частности, этой особенностью для суммы Бс{а\ ж, у), во всех точках а Е [—0, 5, 0,5], включая окрестности точек с малыми знаменателями, за исключением только малой окрестности нуля, получена равномерная оценка по параметру с, удовлетворяющий условиям (9), если только у - длина суммы является величиной больше чем квадратного корня от х.

Тогда справедлива оценка С

2 К -2

Теорема 1.1. Пусть х > xq > О, А - фиксированное положительное число больше единицы, с - нецелое число с условиями

1 <c<log2^f-log2ln^f6A,

9)

1М| > - l) (А 4- 1) ^f"1 ln-áf.

Тогда при у и х1 су 1J¿fA < |ct!¡ <0,5 справедлива оценка

Sc(a;x,y) < где в = 0 при с > 1,1 и в = 0,5 при с < 1,1.

В четвертом параграфе первой главы для а, принадлежащей малой окрестности нуля доказана асимптотическая формула с остаточным членом, равномерным по параметру с, удовлетворяющий условиям (9), для еще более коротких сумм Sc(a] х,у).

Теорема 1.2. Пусть х > Xq > 0, А - фиксированное положительное число больше единицы, с - нецелое число с условиями (9). Тогда при у > i и ¡a| < xí~cy~l^fA справедлива асимптотическая формула X , \ sin ira Г . . „ ,. , ^ / у \ sin тта\ \ Sc(a;x,y) = -—- J e(a(t — 0, b))dt + О \ — ) ' х-у

Для единообразия с теоремой 1.1 в приложениях, имея в виду, что м < (xjf)' < теорему 1.2 сформулируем в следующей ослабленной форме.

Следствие 1.2.1. Пусть х > xq > 0, А - фиксированное положительное число больше единицы, с - нецелое число с условиями (9). Тогда при у > л/2сх ££А и |cü| < x1~cy~1Jí?A справедлива асимптотическая формула X sin 7та [,. „ Л . , ^ (у\ sin7ra|\ Sc{a-x,y) = ——- J e(a(t — 0,5))dt + O \ ) ' x-y

Доказательство теорем 1.1 и 1.2 проводится методом оценок тригонометрических сумм Ван - дер - Корпута. Одним из факторов, за счет которых удается получить нетривиальную оценку короткой суммы Sc(a; х, у), является новый метод снятия знака целой части в экспоненте тригонометрической суммы и формула ее остаточного члена (леммы 1.1 и 1.2). С помощью этого метода снятия знака целой части в экспоненте тригонометрической суммы в сочетании с методом Ван - дер - Корпута, грубо говоря, оценка суммы Sc(a; х, у) фактически сводится к оценке суммы

Щ0)= ^ е(тгс), х—у<п<х т.е. к оценке суммы где уже отсутствует знак целой части.

Вторая глава диссертации состоит из трех параграфов, первый параграф носит вспомогательный характер, в нем приведены известные результаты, которые используются в последующих параграфах.

Во втором параграфе доказана теорема 2.1, устанавливающая связь плот-ностных теорем для нулей дзета-функции Римана в коротких прямоугольниках критической полосы с поведением линейных тригонометрических сумм с простыми числами, переменная суммирования которых принимает значение из коротких интервалов, то есть с суммами вида:

S{ot\x,y)= Нп)е{ап), х—у<п<х для а, принадлежащей малой окрестности нуля.

Определение. Пусть с > 2 и В > 1 абсолютные постоянные, Т>То>0; H <Т, тогда оценка вида

N{a, Т + Я) - N{a, Т) < Hc{l~a) (1п Т)в (10) называется плотностной теоремой в коротких прямоугольниках критической полосы для нулей дзета - функции Римана.

1 «к

Теорема 2.1 Пусть х > Xq, у > ехр(1пж)0'67 и \а\ < —z. Тогда Г справедливо равенство: гу/ \ siniray ( ( у\\ , 4 ч

Ь(а;х,у) =-е ^r — - JJ + О (j/exp(— ln In ж)) .

В работе [66] доказано, что неравенство (10) справедливо при

Я>Г"+£, с Л, В — 50.

3'

Поэтому из теоремы 2.1 получим следующий безусловный результат: 5

Следствие 2.1.1 Пусть х > х0, у > х» ехр(1пж)0'67 и Ы < —z. Тогда у2 справедливо равенство:

S (а; х, у) = ——————в ~ 2) ) О {у ехР(~ In4 1П •

Доказательство теоремы 2.1 основывается на дальнейшем развитии методов работы Ю.В.Линника [67] и Н.Г.Чудакова [68], в которых, соответственно, исследуются тригонометрические суммы с простыми числами и попадание простых чисел в короткие интервалы.

Estermann [69] доказал асимптотическую формулу для числа решений уравнения

Pi+P2 + n2 = N, (11) где pi, р2 ~ простые числа, п — натуральное число.

В.Н.Чубариков поставил задачу: в уравнении (11) слагаемое п2, заменить на [пс], где с - нецелое фиксированное число и исследовать ее с более жесткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны. Эту задачу мы назовем обобщенной тернарной проблемой Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми.

Во третьем параграфе второй главы, прилагая теоремы 1.1 и 1.2 и следствие 2.1.1 теоремы 2.1, доказана теорема 2.2 об асимптотической формуле в обобщенной тернарной проблеме Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми.

Теорема 2.2 Пусть N — достаточно большое натуральное число, с нецелое фиксированное число с условиями с> - + О Зс (2[с1+1

Тогда при Н > для /(ЛГ,Я) числа решении уравнения

Р1 + Р2+ [пс] = ЛГ,

АГ

Р» Я, = 1,2,

Г С1 ^ п-

1 ] 3 Я

12) в простых числах р\, Р2 и натуральных п, справедлива асимптотическая формула:

Т/Л7- т 18 Я2 ( Я2 \

7(ЛГ, Н) = -Г- + О

Доказательство теоремы 2.2 проводится круговым методом Харди, Литт-лвуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова и его основу составляют

• теорема 1.1 об оценке коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа Зс(а;х,у) для всех точек а € [—0,5, 0,5], включая окрестности точек с малыми знаменателями, за исключением только малой окрестности нуля;

• теорема 1.2 об асимптотической формуле с остаточным членом суммы Зс(а;х,у) для а, принадлежащей малой окрестности нуля;

• следствие 2.1.1 теоремы 2.1 о поведении коротких линейных тригонометрических сумм с простыми числами 8{а\х,у) для а, принадлежащей малой окрестности нуля.

Следствие 2.2.1. Существует такое N0, что каждое натуральное число N > N0 представимо в виде суммы двух простых чисел р\, Р2 и целой части степени с натурального числа п с условиями N з"

АГ1-^2, г =1,2, -^А^2 9(С1~1)^4 + 1 Зг с 3^ 2с2 где с - нецелое фиксированное число с условиями с> - +

3с

В заключение автор приносит глубокую благодарность научному руководителю В.Н.Чубарикову за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе.

1. WEYL A. Foundations of algebraic geometry, Amer.Math.Soc.Colloquim Pub., 29 (1947).

2. Ни a L. K. Abschddotatzungen von Exponentialssumen und ihre Anwendung in der Zahlentheorie, Enzuyklopadie der mathemathischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, Bahd I, Teil 2, Heft 13, Teil 2, Teudner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1959.

3. ХУА JIo-ГЕН Метод тригонометрических сумм и его применения в теории в теории чисел. М.: Мир, 1964, -190с.

4. НиА L.K. On exponential sums. Sei.Res., 1-4. 4]. L.K. Hua, On exponential sums, J. Chinese Math. Soc. 20 (1940), 301-312.

5. ХУА JIo-ГЕН. Аддитивная теория простых чисел // Труды МИАН СССР, 1947, т.22, с.1-179.

6. ЧУБАРИКОВ В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат.заметки, 1976, т.20, №1, с.61-68.

7. WEYL Н. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Math. Ann, 1916, 77, s.313-352.8. hardy g.h. Litilewood J.E. The trigonometrical series associated with the elliptic 9 function, Acta.math, 37 (1914), 193-239.

8. Виноградов И.М. Об одной общей теореме Варинга // Матем.сб., 1924, т.31, №3-4, с.490-507.

9. Виноградов И.М. О теореме Варинга // Изв. АН СССР, ОМЕН, 1928, с.393-400.

10. Виноградов И.М. Новое решение проблемы Варинга // ДАН СССР, 1934, №2, с.337-341.

11. ВИНОГРАДОВ И.М. О верхней границе G(k) в проблеме Варинга // Известия АН СССР, ОФМН, 1934, с.1455-1469.

12. ВИНОГРАДОВ И.М. Новый вариант вывода теоремы Варинга // Труды Физико-математического института АН СССР, 1935, №9, с.5-16.

13. ВИНОГРАДОВ И.М. Новый метод в аналитической теории чисел //Труды МИАН, 1937, т.10, с.5-122.

14. ВИНОГРАДОВ И.М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1959, т.23, №5, с.637-642.

15. И.М. ВИНОГРАДОВ Общие теоремы о верхней границе модуля тригонометрической суммы // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1951, Т.15, №2, с.109-130.

16. Виноградов И.М. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1952.

17. Виноградов И.М. Особые варианты методов тригонометрических сумм. -М.: Наука, 1976.

18. Виноградов И.М. Основы теории чисел М.:Наука, 1981г., 176с.

19. Линник Ю В. Оценки сумм Вейля // ДАН СССР, 1942, т.34, №7, с. 201-203.

20. Коробов Н.М.О тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1979, т. 245, №1, с. 14-17.

21. АРХИПОВ Г.И.Оценки двойных тригонометрических сумм // Труды МИАН им. В.А. Стеклова АН СССР, 1976, т. 142, с. 46-66.31. архипов Г. И., Чубариков В.Н. О кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1975, т.222, №5, с.1017-1019.

22. Архипов Г. И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1976, т.40, с.209-220.

23. Архипов Г. И.,Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1980, т.252, №6, с. 1289-1291.

24. Архипов Г. И.,Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1980, т.44, с.723-781.

25. Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. -М.: Наука, 1987, -368с.

26. СЕГАЛ Б.И. Теорема Варинга для степеней с дробными и иррациональными показателями // Тр. физ.-матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 1933, т. 5, с. 73-86.

27. ВИНОГРАДОВ И.М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел. Докл. АН СССР, 1937, т. 15, с. 291-294.

28. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. -М.: Наука, 1980, -144с.

29. Jia снао hua, Three primes theorem in a short interval (II) // International symposium in memory of Hua Loo Keng, Science Press and Springer-Verlag, Berlin, 1991, 103-115.

30. JlA CHAO HUA, Three primes theorem in a short interval (V) // Acta Math. Sin., New Series, 2(1991), 135-170.

31. РАХМОНОВ 3-Х. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Мат.заметки, 2003, Т.74, Вып. 4, с.564-572.

32. С.Ю.ФАТКИНА Об одном обобщении тернарной проблемы Гольдбаха для почти равных слагаемых // Вестн. Моск. Ун-та. сер.1, математика, механика. 2001. №2, с. 22-28.

33. J.Y.LIU, T.Zhan. On sums of five almost equal prime squares. Acta Arith, 1996, 77: 369-383

34. J.Y.LlU, T.zhan. On sums of five almost equal prime squares (II). Sci China, 1998, 41: 710-722

35. J.Y.Liu, T.ZHAN. Estimation of exponential sums over primes in short intervals I. Mh Math, 1999, 127: 27-41

36. J.Y.LlU, T ZHAN. Hua's Theorem on Prime Squares in Short Intervals. Acta Mathematica Sinica, English Series Oct., 2000, Vol.16, No.4, pp. 669-690.

37. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков B.H. Лекции по математическому анализу. М.:, Дрофа, 2003.

38. РАХМОНОВ З.Х. Оценка плотности нулей дзета-функции Римана // УМН, 1994, Т.49, Вып. 1, с.161-162.

39. ЛИННИК Ю.В. Новое доказательство теоремы Гольдбаха-Виноградова // Математический сборник, 1946, т. 19, вып.1, с. 3-8.

40. CHUDAKOV N.G. On the difference between two neighboring prime numbers // Mat. Sb., 1, 1936, 799 814.69. estermann T. Proof that every large integer is the sum of two primes and square // Proc. London math.Soc., 11(1937), pp. 501-516.

41. ПОПОВ О.В. Арифметические приложения оценок сумм Г.Вейля от многочленов растущей степени: Канд. дис. М. 1995.71. карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. 2-ое изд, М.:, Наука, 1983.

42. С.М.Воронин,А.А.Карацуба Дзета-функция Римана -М.: Физмат-лит, 1994.-376C.-ISBN 5-02-014120-8.

43. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.н. Курс современного анализа, ч. 1. Основные операции анализа. Изд. 2-е. Перев. с англ.-М.: Физматгиз, 1963.342 с.