Об исключительных множествах в бинарных аддитивных задачах с простыми числами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА механико-математический факультет

р Г Б ОД

к На правах рукописи

^ ' " УЖ 511.345

Чэнь Чжун-и

Об исключительных множествах в бинарных аддитивных задачах с простыми

числами

01.01.06. — математическая логика, алгебра и теория чисел.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2000

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В.Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук

профессор В. Н. Чубариков. Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук

профессор М. П. Минеев, кандидат физико-математических на доцент Л. П. Постникова. Ведушая организация — Математический институт

им. В. А.. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится 21 апреля 2000 г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском Государственном Университете имени М. В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Авторефрат разослан 21 марта 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Чубариков.

Обшая характеристика работы.

Актуальность темы. Исследования по нерешенной до сих пор бинарной проблеме Гольдбаха о представлении четного числа, большего четырех, в виде суммы двух нечетных простых чисел, привели к постановке задачи об оценке мощности исключительного множества в бинарных аддитивных задачах с простыми числами. В 1937 г, после решения И. М. Виноградовым тернарной проблемы Гольдбаха 1 Я. Г. ван дер Корпут, Н. Г. Чудаков, X. Хейльбронн, Ло-кен Хуа, Т. Эстерман доказали, что почти все четные числа представимы в виде суммы двух простых чисел. Следующий существенный результат в. этом направлении был получен в 1975 г. X. Л. Монтгомери и Р. К. Боном, 2 которые для мощности исключительного множества в бинарной- проблеме Гольдбаха нашли степенное понижение по сравнению с тривиальной оценкой, при этом числовое значение этого понижения ими не вычислялось. На сегодняшний день наилучшее значение степенного понижения, равное 0,05, было получено в 1988 г. Ченом Джин-рун и Лю Ян-мин 3. Рамачандра 4 распространил этот результат на короткие промежутки. Для количества Т(х, х9) четных чисел, находящихся в промежутке (х — х9, х) и непредставимых в виде суммы двух простых чисел при х —>■ оо, он получил оценку

где

1>0>1-- + е. с

1 Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел /J ДАН СССР. 1937. Т. 15, No. 6-7. С. 291-294.

2Montgomery Н. L., Vaughan R. С. The exceptional set of Goldbach's problem//Acat. arith. 1975. V. 27. P. 353 - 370.

3Chen Jing-run , Liu Jian Min. The exceptional set of Goldbach-numbers (III) // Chinese Quart. J. Math.1989.V.4, No 1. P. 1-15

4 Ramachandra K. On the number of Goldbach numbers in small intervals. //J. Indian Math. Soc., 37(1937)

157-170.

Здесь число с является той константой, которая возникает в оценке плотности нулей ¿-функций Дирихле :

Ы{а,Т,д) « (дТ)«1-а\1пдТук

В 1997 г. Г. И. Архипов, К. Буриев и В. Н. Чубариков 5 оценили мощность исключительного множества в обобщенной бинарной проблеме Гольдбаха о представлении числа п в виде

п=р +

где (3 — фиксированное вещественное алгебраическое иррациональное число и неизвестные р ид пробегают простые числа. Они получили в этой задаче степенное понижение с показателем 2/9.

Цель работы. Оценка сверху мощности исключительного множества в бинарных аддитивных задачах с простыми числами на коротких промежутках и в арифметических прогрессиях.

Методы исследования. В работе используются метод тригонометрических сумм Виноградова, методы теории диофанто-вых приближений и круговой метод Рамануджана - Харди -Литтлвуда - Виноградова.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в исследованиях аддитивных задач теории чисел и в спецкурсах по теории чисел.

5 Архипов Г. И., Буриев К., Чубариков В. Н. О мощности особого множества в бинарных аддитивных задачах с простыми числами. // Тр. МИР АН 1997. т.218 с.28 - с.57

Апробация работы. Содержащиеся в диссертации результаты докладывались на семинаре под руководством профессора А. А. Карацубы и семинаре под руководством профессора Г. И. Архипова и профессора В. Н. Чубарикова на механико-математическом факультете МГУ ( 1998 - 2000 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в одной работе, ссылка на которую приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав. Текст диссертации изложен на 65 страницах. Список литературы содержит 22 наименования.

Содержание работы.

Введение. Во введении дается краткий исторический очерк исследований по проблемам Гольдбаха - Эйлера. Там же описана структура диссертации и приводятся формулировки ее основных результатов.

Глава 1. В первой главе исследуются мощности исключительных множеств в двух бинарных аддитивных задачах с простыми числами. Полученные нами результаты можно сформулировать в следующем виде.

Теорема 1. Пусть в > 0, Т\(х) — количество чисел тг на промежутке (2,х) не представимых в виде

n = p+\J3q],

где р и q - простые числа up изменяется в прогрессии вида

р = I (mod d).

з

Тогда при х —> оо и й < справедливы следующие

оценки :

(а) если неполные частные иррационального числа ¡3 ограничены в совокупности, то

Щх) «

(б) если (3 — иррациональное алгебраическое число, то

Т^х) <£ х^+£

Теорема 2. Пусть (3 > 0, в, и а натуральные числа, (а, (Г) = 1, Т2(х) — количество чисел п на промежутке (2,х) не пред-ставимых в виде

п =

гдер ид - простые числа.

4Р.

Тогда при х —> оо, справедливы следующие оценки :

(а) если неполные частные иррационального числа (3 ограничены в совокупности, то

Т2(х)< хЦ\о%х)&

(б) если (3 — иррациональное алгебраическое число, то

Т2{х) <£ х?+е

Глава 2. Во второй главе исследуются мощности исключительных множеств двух бинарных аддитивных задачах с простыми числами на коротких промежутках. Полученные нами результаты можно сформулировать в следующем виде.

Теорема 3. Пусть ¡3 > 0 иррациональное алгебраическое число, Тъ(х,у) — количество чисел п на промежутке (х—у, х) не представимьгхв виде п = р+[/Зд], гдер ид - простые числа.

Тогда при х оо и (1 — е)х > у > (\пх)^х^е 1ог(1п*)* справедлива оценка

где с > 0 — некоторая постоянная.

Теорема 4. Пусть с > 1 — нецелое число, су — 1. Т^(х,у) — количество чисел п на промежутке (х — у,ж) не предста-вимых в виде п =р-Ь [9е], гдер ид- простые числа.

Тогда при х оо и х у справедлива оценка

ТА(х,у)<^ух-™\пх\т?у где величина 5 > 0 определяется из условия

£ е2«И«1) «

9<У

причем параметр су удовлетворяет неравенству у~0 8 < о? <

1 - г0-8-

В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору В. Н. Чубарикову за научное руководство и профессору Г. И. Архипову за постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Чэнь Чжун-И. О мощности особого множества в бинарной аддитивной задаче с простыми числами на коротких промежутках. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. "Механика. 2000. N0 3. С. 57 - 61 .

1 Две бинарные задачи с простыми числами

1.1 Постановка решения

1.2 Преобразование интеграла основного класса

1.3 Вспомогательные леммы (I).

1.4 Вспомогательные леммы (II).

1.5 Оценка сверху интеграла в остатке

1.6 Мощность исключительного множества другой задачи

2 Особые множества на коротких промежутках

2.1 Задача типа " р + [(3q\ "

2.2 Задача типа " р + [qc) "

Настоящая диссертация относится к аддитивной теории чисел. В ней рассматриваются задачи об исключительных множествах в бинарных аддитивных проблемах, которые затем распространяются на короткие промежутки. Под понятием "короткого промежутка" мы имеем в виду, что отношение длины короткого промежутка к основному параметру стремится к нулю при росте этого параметра к бесконечности. А слово "исключительное множество" означает ту совокупность чисел, которые не допускают заданного представления.

В 1742 году было выдвинуто два предложения, связывающие целые числа с простыми числами. Они звучат так : (А) каждое нечетное число, превосходящее 9, представляется в виде суммы трех нечетных простых чисел; (Б) каждое четное число, превосходящее 6, представляется в виде суммы двух нечетных простых чисел. Несмотря на то, что математики не могли доказать эти два предложения, большое количество вычислительных опытов подтверждает, что вероятно, они имеют место. Эти два предложения и получили называние "проблема Гольдбаха-Эйлера". В течение 250 лет они постоянно привлекали и привлекают внимание самых выдающихся математиков. Благодаря этому были развиты новые важнейшие методы в области аналитической теории чисел.

И только в 1937 году И. М. Виноградов [5, б] впервые получил нетривиальную оценку тригонометрической суммы по простым числам, а затем с: помощью кругового метода Рамануджана-Харди-Литтлвуда-Виноградова доказал, что каждое достаточное большое нечетное число является суммой трех нечетных простых чисел. Точнее говоря, И. М. Виноградов получил асимптотику 1(п) числа решений уравнения и = р{ + р2 + p;h где р|, р'2, и рз простые числа. Он доказал, что где

Ып) = £ T^C.i-N) = П(1-7—Цт^) П

7=1 Ф'ЛЧ) р\п (р- l) (,vO=i а> — 1)-J 2

Это в основном решило первое предложение. Метод И. М. Виноградова имеет глубокое значение. Он позволил его последователям получить дальнейшие результаты о представлениях целых чисел простыми числами.

Однако второе предложение, часто называемое бинарной проблемой Гольдбаха-Эйлера, до сих пор остается нерешенным. Ученые пытаются с разных направлений подойти к этому предложению. В частности, один из этих способов состоит в разложении четного числа в виде суммы простого и составного чисел. В этом направлении самого большого успеха достиг Чень Джин-рун [15] . Он создал свой метод решета с весами и доказал, что любое достаточно большое четное число является суммой простого числа и произведения, в которое входят не больше двух простых чисел.

Другой важной задачей является определение верхней границы мощности исключительных множеств бинарной проблемы Гольдбаха-Эйлера, т.е. множества четных чисел, непредставимых в виде суммы двух простых чисел. Решение тернарной проблемы Гольдбаха-Эйлера позволяло сразу нескольким ученым получить первые результаты в этой задаче. В частности, в 1975 году X. J1. Монтгомери и Р. К. Бону [16] впервые удалось получить в них степенное понижение, хотя его числовое значение ими не вычислялось. В 1988 году Чен Джин-рун и Лю Ян-Мин [14] доказали, что для количества Т{х) четных чисел, не превосходящих х и непредставимых в виде суммы двух простых чисел при х —> оо справедлива оценка

Т(х) < х

В настоящее время самое большое продвижение в этом направлении имеет Ли Хон-дже. В 1999 году он [20] получил следующую оценку:

Г(:г) « .гД921.

Ясно что эти результаты уже утверждают, что почти все четные числа представимы в виде суммы двух простых чисел.

Рамачандра [22] распространил этот результат на короткие промежутки. Для количества Т(х, х°) четных чисел, находящихся в промежутке (ж — х°,х) и непредставимых в виде суммы двух простых чисел при х —> оо, он получил оценку

In X где

1>0>1-- + е. с

Здесь число с является той константой, которая возникает в оценке плотности нулей L— функции Дирихле :

N(a,T,q) < (qT)c{l~a){\nqT)Cl.

Наиболее сложный момент в доказательстве Рамачандры состоит в том, что в конце промежутка суммирования сдвиг тригонометрической функции становится более коротким и сложность оценки возрастает. Смысл его в том, что почти все четные числа, находящиеся в конце промежутка, представимы в виде суммы двух простых чисел при х —> оо.

В 1997 году Г. И. Архипов, К. Бурцев, В. Н. Чубариков [2, 1] обобщили бинарную аддитивную проблему Гольдбаха-Эйлера и рассмотрели вопрос о представлении натуральных чисел п в виде суммы n = a(p) + b(q), (1) где р, q — простые числа и а(х), Ь{х) — заданные цело-значные функции натурального аргумента, кроме того, обычно предполагается, что число п подчинено некоторым естественным дополнительным условиям арифметического характера. Например, в бинарной проблеме Гольдбаха-Эйлера имеем а{х) = .т, Ь{х) — х и п = 0 (mod 2)

Они доказали следующие теоремы :

A) Пусть ft > 0, Т(х) количество чисел п на промежутке (2, х) не представимых в виде п =р+ [/fy], где р и q ~ простые числа.

Тогда при х —> оо справедливы следующие оценки : а) если неполные частные числа ft ограничены в совокупности, то

Т{х) < ж*(log яг)8; б) если ft — иррациональное алгебраическое число, то

Т(х) <£ .7М£.

B) Пусть с > 1 — нецелое число, су = 1, Т'{х) количество чисел тг на промежутке (2, х) не представимых в виде п = P + [q% где р и q простые числа.

Тогда при х —» ос справедлива следующая оценка: где величина S > 0 определяется из условия e2nin^ У1~6, (2) г/7 причем параметр а удовлетворяет неравенству у-0-8 < о < 1

Их идея состоит в получении нетривиальной оценки остаточного члена с помощью арифметического свойства функции "целая часть числа". Сначала они выделяли главный член круговым методом с использованием только малой окрестности нуля, затем оценивали остаточный член. На возможность использования этой окрестности впервые обратил внимание К. Буриев при решении некоторых аддитивных задач теории чисел.

Опираясь на их метод и продолжая эти исследования, мы рассматриваем аналогичные задачи об оценках мощности исключительных множеств. При работе с остаточном членом самой большой трудностью оказывается оценка сверху в окрестностях с малыми знаменателями, т.е. окрестностях, которые должны были входить в главный член при круговом методе. Чтобы эту трудность преодолеть, необходимо учесть арифметическое свойство цепной дроби числа ft. Это свойство впервые было учтено в работе [2, 1]. Мы также будем проводить подобные вычисления.

Полученные нами результаты можно сформулировать в следующем виде.

Теорема 1. Пусть ft > 0; 1\ (х) количество чисел п на промежутке (2, х) не представимых в виде n=p+[fiq], где р и q - простые числа и р изменяетел в прогрессии вида р = I (mod d).

Тогда при х оо и d < (log:/:)'2""5, справедливы следующие оценки : а) если неполные частные иррационального числа (3 ограничены в совокупности, то

Т\{х) (p(d)2x^(logх)8 б) если [3 — иррациональное алгебраическое число, то

Ti(x) <£ Х*+£

Теорема 2. Пусть ft > 0, d и а натуральные числа, (a, d) — 1, Т'2(х) -- количество чисел п на промежутке (2, ж) не пред-ст,авимых в виде

П = + где р и q - простые числа.

Тогда, при х оо, справедливы следующие оценки : а) если неполные частные иррационального числа, (3 ограничены в совокупности, то

Т2(х)4£хЦlog.x)8 б) если (3 — иррациональное алгебраическое число, то

Т2(х) <£

Теорема 3. Пусть ft > 0 иррациональное алгебраическое число, Тз(ж, у) — ■ количество чисел п на промежутке (х—у. х) не представимых в виде п = P+[fiq], где р uq - простые числа.

-г-» 9 9 9 /1 \ ^

Тогда при х —» оо и (1 — е)х > у > a:To(lri:r)2oe-TOcl|n;r)J справедлива оценка где с > 0 — некоторая постоянная.

Теорема 4. Пусть с > 1 — нецелое число, су = 1. — количество чисел п на промежутке (х — у,х) не предста-вимых в виде п — р+ [qc], где р и q - простые числа.

Тогда при х —оо и х у х^+£, справедлива оценка

Щх,у)<^у1-26Ыъх где величина S определена в неравенстве (2).

Результаты настоящего исследования позволяют нам сделать вывод, что несмотря на то, что не доказаны теоремы о равномерном распределение простых чисел в коротких арифметических прогресиях, тем не менее можно представить в виде (1) почти все натуральные числа, которые, может быть, подчинены некоторым естественным дополнительным условиям, если правильно выбрать растущие целозначные функции натурального аргумента а(х), Ь(х).

В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору В. Н. Чубарикову за научное руководство и профессору Г. И. Архипову за постоянное внимание и вдохновляющие разговоры.

Обозначения

У потребляются устоявшиеся обозначения : t) А (п) <р(п) fl(n) ф(х)

IMI

Р,<1 c2nU. функция Мангольдта. функция Эйлера, функция Мебиуса, функция Чебышева. функция Чебышева в прогресии с разностью d . pa,стояние до ближайшего целого числа, произвольно малое положительное число . В текущей работе будем обозначать разные величины с 1 ,с2, • • • через один и то же знак е. простые числа .

1. Архипов Г. И. , Буриев К. , Чубариков В. Н. Тригонометрические суммы в бинарных аддитивных задачах с простыми числами. / / Матер. Между нар. науч. чт. по аналитической теории чисел и приложениям . М. МГУ. 1997. С. 12-13

2. Архипов Г. И. , Буриев К. , Чубариков В. Н. О мощности особого множества в бинарных аддитивных задачах с простыми числами. // Тр. МИР АН 1997. т.218 с.28 с.57

3. Виноградов И. М. Основы теории чисел . // М. Наука 1972.

4. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. // М. Наука 1971.

5. Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. // М. Наука 1976.

6. Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел // ДАН СССР. 1937. Т. 15, No. 6-7. С. 291-294.

7. Воронин С. М. , Карацуба А. А. Дздета-функция Ри-мана. // М. Наука 1994.

8. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. // М. Наука 1975.

9. Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. // М. Исд-во иностр.лит. ,1961.

10. Попов О. В. Арифметические приложения оценок сумм Г. Вейля от многочленов растущей степени. // Канд. дис. М. МГУ, 1995.

11. Прахар К. Распределение простых чисел . // М. Мир, 1967.

12. Рахмонов 3. X. Простые числа и средние значения функции Чебышева. // Докт. дис. 1996.

13. Чэнь Чжун-И. О мощности особого множества в бинарной аддитивной задаче с простыми числами на коротких промежутках. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2000. No 3. 57-61

14. Chen Jing-run , Liu Jian Min. The exceptional set of Goldbach-numbers (III) // Chinese Quart. J. Math.l989.V.4, No 1. P. 1-15

15. Chen Jing-run. On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. // Sci. Sin,. 16(1973),157-176; II, Sci. Sin., 21 (1978),421-430.

16. Montgomery H. L. , Vaughan R. C. The exceptional set of Goldbach's problem // Acat. arith. 1975. V. 27. P. 353 370.

17. Davenport, H. Multiplicative Number Theory. // Markham. 1967.

18. Hua Lokeng. Introduction to Number Theory. // Taipei(Taiwan): Fan-yi. 1997.

19. Hua Lokeng. Additive Number Theory of Primes. // Be-jing(China):Science Press,1957.

20. Li Hongze. The exceptional set of Goldbach numbers. // Quart.J.Math.Oxford. 50,1999.

21. Pan Chendong, Pan Chenbiao. Goldbach Conjecture . // Be-jing(China):Science Press,1992.

22. Ramachandra K. On the number of Goldbach numbers in small intervals. // J. Indian Math. Soc., 37(1937) 157-170.

23. Vaughan R. C. On Goldbach's problem. // Acta Arith., 22(1972) 21-48.V"- у Г ■м^ч If