Бинарные аддитивные задачи с полупростыми числами, лежащими в коротких промежутках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

□03450372

ЗИНЧЕНКО Наталья Алексеевна

БИНАРНЫЕ АДДИТИВНЫЕ ЗАДАЧИ С ПОЛУПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ, ЛЕЖАЩИМИ В КОРОТКИХ ПРОМЕЖУТКАХ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2008

003450372

Работа выполнена на кафедре алгебры, теории чисел и геометрии в ГОУ ВПО Белгородский государственный университет

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Гриценко Сергей Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Журавлев Владимир Георгиевич,

кандидат физико-математических наук

Эминян Карапет Мкртичевич

Ведущая организация: ГОУ ВПО Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Защита состоится " Х9 " октября 2008 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: Набережная р. Свияги, 106, корп. 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ульяновского государственного университета, с авторефератом — на сайте вуза http://www.uni.ulsu.ru

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу: 432000, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, д. 42, УлГУ, Управление научных исследований

Автореферат разослан

2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета // М.А. Волков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Бинарные аддитивные задачи составляют важный раздел аддитивной теории чисел.

В двадцатых и тридцатых годах XX века Г.Харди, Дж. Литтлвуд и И.М. Виноградов развили общий метод в аналитической теории чисел, позволяющий вывести асимптотические формулы для числа решений многих аддитивных задач. С его помощью были решены тернарная проблема Гольдбаха, проблема Варинга, проблема Варин-га с простыми числами и ряд других. Все эти проблемы были решены по схеме решения тернарной задачи, открытой И.М. Виноградовым.

В пятидесятых и шестидесятых годах XX века Ю.В. Линник разработал дисперсионный метод, с помощью которого ему удалось решить ряд бинарных аддитивных задач с простыми и с полупростыми числами, которые не могут быть решены по схеме решения тернарной задачи.

В частности, Ю.В. Линник дисперсионным методом решил проблему Харди-Литтлвуда, которая состоит в получении асимптотической формулы1 для для числа решений уравнения

р + + г? = п

в целых числах £ и 1] и простых числах р.

Решение проблемы Харди-Литтлвуда явилось крупным достижением аналитической теории чисел. Несколько позже К. Хооли дал другое ее решение, основанное на методе малого решета2 и теореме -Бомбьери-Виногр адова.

Наряду с проблемой Харди-Литтлвуда Ю.В. Линник решил ряд задач с полупростыми числами. Выделим некоторые из них:

1. В 1958 г. была получена асимптотическая формула3 для числа решений уравнения

Р1Р2 + £2 +1]2 = п в целых числах £ и г) и простых числах р\ и р2-

'Линник Ю.В. Асимптотическая формула в аддитивной проблеме Гарди-Литтлвуда. //Изв. АН СССР. Сер. мат., 1960, т. 24, n0. 5, С. 629-706.

2С.Ноо1еу. Применения методов решета в теории чисел. - М.: Наука, 1987., С. 105

3Линник Ю.В. Решение некоторых бинарных аддитивных задач подсчетом дисперсии в прогрессиях. ДАН СССР, 1958, т. 123, № 6, с. 957-997

2. В I960 году была получена асимптотическая формула4 для числа решений уравнения

PiPi+^+V2 =П

в целых числах £ и т] и простых числах р\ и р2, где а ^ 2 — натуральное число.

Ю.В. Линник отмечал, что вывод этой формулы не является непоредственным следствием расширенной гипотезы Римана.

В 1963 году М.Б. Барбан дисперсионным методом решил задачу5, являющуюся аналогом проблемы делителей Титчмарша с полупростыми числами. Он вывел асимптотическую формулу для числа решений уравнения

PiP2 -ху = 1

в целых числах х и у и простых числах pi и где pi < \fn и Р2 ^ %/й.

После появления в 1965 году теоремы Бомбьери-Виноградова6 для решения бинарных аддитивных задач с простыми числами вместо дисперсионного метода стала применяться эта теорема.

Среди аддитивных задач можно выделить задачи с простыми числами, принадлежащими промежуткам специального вида.

В 1940 году И.М. Виноградов7 методом тригонометрических сумм получил асимптотическую формулу для числа простых чисел, не превосходящих х и лежащих в промежутках вида [(2т)2, (2т +1)2), то 6 N.

В1986 году С. А. Гриценко8 вывел асимптотическую формулу для числа простых чисел, не превосходящих х и лежащих в промежутках вида:

[(2m)c,(2m + l)c), (1)

4Линник Ю.В. О некоторых аддитивных задачах. // Мат. сб., 1960, том 51, вып. 2, С. 129-154.

®Барбан М.Б. Об аналогах проблемы делителей Титчмарша. //Вестник Лен. ун-та, 1963, No. 19, С. 5-13.

6Bombieri Е. On the large sieve. //Mathematica, 12, 1965, P. 201-225;

Виноградов А.И. О плотностной гипотезе для L-рядов Дирихле. //Изв. АН СССР, сер. Матем., 29, No. 4, 1965, С. 903-934

7Виноградов И.М. Некоторое общее свойство распределения простых чисел. // Мат. сб., 1940, No. 7, С. 365-372.

8Гриценко С.А. Об одной задаче И.М. Виноградова. // Мат. заметки, том 39, вып. 5, 1986, С. 625-640.

где m 6 N, и с 6 (1,2].

Эта задача содержит в себе следующий эффект. Длина промежутка вида (1) по порядку равна m1-1/c и, если с близко к 1, то эти промежутки очень коротки. Ни про один из них не известно (даже в предположении справедливости гипотезы Римана), содержит ли он простое число, и тем не менее, из асимптотической формулы, полученной С. А. Гриценко, следует, что на таких промежутках лежит примерно половина всех простых чисел

В 1988 году С.А. Гриценко решил ряд аддитивных задач9 с простыми числами, лежащими в промежутках (1).

Позднее задачи подобного вида рассматривались А. Балогом и Дж. Фридлендером10.

Отметим, что аддитивные задачи из выше упомянутых работ являются тернарными, или решаются по схеме тернарной задачи.

Естественно задаться вопросом о разрешимости бинарных аддитивных задач с простыми числами из промежутков вида (1).

Из результатов в этом направлении выделим следующий.

В 1997 году Д. Толев получил оценку11:

1-А

У" max max I ф\(у;к,а)----р—-— |< хг~х1п~А х,

у<х (а'*)=1 <р(к)(1 - А)

где

Фх(у,к,а)= Y1 Л(п)

п^у, п=а (mod к) {л/га}<"~л

1 1

0< А< О<0< - -А, A>Q.

rt q

9Гриценко С.А. Тернарная проблема Гольдбаха и проблема Гольдбаха-Варинга с простыми числами, лежащими в промежутках специального вида // УМН, 1988. том 43, вып.4 (262), С.203-204;

Гриценко С.А. Три аддитивные задачи. // Изв. РАН. Сер.мат., Том 56, No. 6,1992, С. 1198-1216.

10А. Balog, K.J. Friedlander. A hybrid of theorems of Vinogradov and Piatetski-Shapiro // Pacific. J. Math. 156 (1992), P. 45-62.

uTolev D.I. On a theorem of Bombieri-Vinogradov type for prime numbers from a thin set. // Acta Arithmetica, 81, 1(1997), P. 57-68.

В формуле Толева граница изменения параметра к меньше, чем

ж4. Это обстоятельство не дает возможности применить эту оценку к решению бинарных аддитивных задач с простыми числами.

Поскольку непосредственное применение расширенной гипотезы Римана приводит к тому же результату, что и теорема Толева, то при современном состоянии теории довести границу изменения к до обычной в классической теореме Бомбьери-Виноградова границы (к < у/х!п~сх, с > 0) представляется чрезвычайно трудной задачей. Поэтому в настоящее время решить бинарные аддитивные задачи с простыми числами указанного вида не удается.

В данной диссертации рассматриваются бинарные аддитивные задачи с полу простыми числами из промежутков вида (1).

Объектом исследования являются бинарные адаптивные задачи с полупростыми числами из коротких промежутков.

Предмет исследования - уравнения с полупростыми числами, удовлетворяющими определенным условиям.

Цель диссертационной работы заключается в решении следующих задач:

1) Получить асимптотическую формулу для числа решений уравнения

Р1Р2 - ху = 1,

где Р1Р2 ^ п. Оно решается в переменных х, у, р\ и р-2- Простые числа р! и р2 удовлетворяют также дополнительным условиям:

Последнее условие равносильно тому, что полупростые числа р\р2 принадлежат промежуткам вида (1).

Эта задача является вариантом задачи Бруна-Титчмарша с полупростыми числами, на которые наложены ограничения.

2) Получить асимптотическую формулу для числа решений уравнения

Р1Р2 +ху = п,

где Р1Р2 < п, а простые числа pi, Р2 и полупростые числа Р1Р2 удовлетворяют таким же условиям, как и в первой задаче.

3) Получить асимптотическую формулу для числа решений уравнения

pipi - «у = 1, где а ^ 2 — натуральное число и

Tí 1

PíP% < п, Рг е [1, - ,— ], р2 е [1, (ехр(-\/1пп)]

exp(vlnn) а

и полупростые числа принадлежат промежуткам вида (1).

Актуальность диссертационной работы следует из того, что решение выше перечисленные задач является очередным шагом в проблемах, связанных с решением бинарных аддитивных задач с простыми числами, лежащими в коротких промежутках.

Методы исследования. Работа основана на методе тригонометрических сумм И.М. Виноградова.

Достоверность результатов проведенных исследований.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы аддитивной теории чисел и метод тригонометрических сумм.

Научная новизна работы. В диссертации представлены доказательства асимтотических формул для числа решений диофанто-вых уравнений специального вида, то есть решены некоторые бинарные аддитивные задачи с полупростыми числами. Результаты, изложенные в диссертации, являются новыми.

Положения, выносимые на защиту:

1. Доказательство асимптотической формулы для числа решений уравнения pip2~xy = I, где pip^ < п, которое решается в переменных

х, у, р\ и р2- Переменные х и у — натуральные числа, а рг и р% — простые числа, удовлетворяющие также дополнительным условиям:

2. Доказательство асимптотической формулы для числа решений диофантова уравнения ху + Р1Р2 = п, где х, у и п — числа натуральные, Р1Р2 ^ п и Р1, р2 —- простые числа, удовлетворяющие таким же условиям, как и в первой задаче.

3. Вывод асимптотической формулы для числа решений уравнения Р1Р2 — ху = 1, где Р1Р2 < п, а € Н, а > 2, полупростые числа Р1Р2 принадлежат промежуткам вида (1) и простые числа р\, р2 независимо друг от друга пробегают, соответственно, промежутки Аг = [1,п(ехр(-у/ПГп)] и А2 = [1,(ехр(^у/Ьп)].

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных аддитивным бинарным задачам. Кроме того, результаты диссертационной работы могут быть использованы при чтении специальных курсов по теории чисел.

Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались на семинаре кафедры алгебры, теории чисел и геометрии БелГУ, на Международной научной конференции имени академика М. Кравчука в 2004 г. в г. Киеве, на VI Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения посвященной 100-летию Н.Г. Чудакова, в 2004 г. в Саратове, на I международной научно-практической конференции, посвященной памяти профессора В.М. Бредихина, в 2006 году в Самаре.

Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные автором лично.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах автора, одна из которых опубликована в журнале из списка ВАК. Список статей автора приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав и списка литературы. Список литературы содержит 17 наименований. Общий объем диссертации - 71 страница машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается краткий исторический обзор результатов, полученных ранее и связанных с тематикой диссертационной работы, формулируются основные результаты диссертации и дается краткое описание методов доказательства.

Первая глава носит подготовительный характер. В ней приводятся вспомогательные леммы и, в частности, лемма 1 (теорема Бру-на-Титчмарша), лемма 4 (о «стаканчиках» И.М. Виноградова), лемма 8 (теорема о среднем И.М. Виноградова), лемма 12 (оценка ван дер Корпута по 5-й производной) и лемма 17 (теорема Бомбьери-Виноградова), лежащие в основе доказательства теорем диссертации.

Во второй главе решается первая из поставленных задач. Основной результат главы содержится в теореме 1:

Теорема 1. Пусть с — произвольное число из полуинтервала ' (1,2],

Р1,Р2 — простые числа,

Т(п)= £ т(р1Р2-1),

р 1>ехр(\Лпп), р2>ехр(\/1пп)

ВД= £ т(р1Р2-1).

Р1Р2

р1>ехр(у/1пп), Р2>ехр(\Лпгг)

Тогда справедливо равенство:

Тх(п) = \т{п) + 0(п1п1п1пп),

где

Т(п) ~ соп 1п 1п п, Со =

1р(п) — значение функции Эйлера и ¡л(п) — значение функции Мебиуса.

Выделим основные этапы решения этой задачи. Вначале при помощи теоремы Бруна-Титчмарша мы, с приемлемою точностью, приближаем сумму Т\ (п) суммой вида

где Р — п.<1п,пп)2.

Заметим, что переменная р\ пробегает весьма короткий промежуток, а промежуток изменения х отделен от фг.

Затем вводятся «стаканчики Виноградова», с помощью которых выделяются слагаемые с условием {\{Р\Р2)1 ^с} < Стаканчики раскладываются в ряд Фурье и на нулевых коэффициентах выделяются главные члены асимптотических формул.

Для доказательства теоремы требуется оценить тригонометрическую сумму вида:

где -~х < к < Р* 1п3 п и Рх € (ехр(\/1пп), Р).

Рг с

Сумма оценивается методом И.М. Виноградова с использованием как теоремы о среднем значении, так и оценок ван дер Корпута по в-й производной.

Т2(п) = £ 1

Р1Р2-ХУ=1

ехр (у/\пп) <рл < Р х^^Ъ Р~10

ех

к^К к=ко (гаос! х)

Заметим, что при некоторых значениях параметров указанная сумма является очень короткой. Например, при х = КР~9 длина промежутка суммирования равна Р9. В этих случаях оценить ее методом ван дер Корпута нельзя, но метод Виноградова дает нетривиальную оценку.

В третьей главе решается вторая из поставленных задач. Основной результат главы содержится в теореме 2:

Теорема 2. Пусть

7(п) - £

Р1Р2+Ху=П

р2>ехр(\/1пя) рг>ехр(\/1пп)

Мп)= £ 1-

Р1Р2+Ху=П р1>ехр(-у/1пп), рг>ехр(^/1п п)

Тогда справедлива формула:

т , ч 1 Л,1п1п1пп..

где

J(n) ~ со?г 1п 1п тг, со =

Отметим, что вторая задача родственна первой, но имеет свои особенности.

В четвертой главе решается третья из поставленных задач. Основной результат главы содержится в теореме 3:

Теорема 3. Пусть п ^ щ > 0. а ^ 2 — натуральные числа, <2 = ехр(>Лпп), Ах = [1, ггс^-1], Л2 = [1,<2«] и

РгСДг Р26Л2

р1р£-ху=1

= £ £ . 5>

Pi€Ai Р2€Лг

Р1Р2 -®»=1

Тогда справедливо равенство:

G1(n) = ij(n)(l + 0(Q-"))s

где

С(п) = <*1л(£)тг(Р*)1пп (i + 0(-L=)),

Ц/ Vinn

ОО 2/ «

г] > 0 — постоянная, со = ^ Т^Щв/

<2=1

Особенность третьей задачи состоит в том, что при а ^ 2 последовательность pipf является более редкой, чем последовательность Pii>2 (при больших а она «близка» к последовательности простых чисел).

Заметим, что:

В каждой из глав доказательство теоремы разбито на несколько этапов, что соответствует разбиению главы на пункты.

В каждой из глав есть пункт, в котором применение теоремы Бруна-Титчмарша позволяет приближать искомые суммы, с приемлемой точностью, суммами, в которых промежуток изменения х отделен от у/Ц.

Во второй и третьей главах с помощью теоремы Вруна-Титчмар-ша удается сделать промежуток изменения одного из простых чисел «весьма коротким». В третьей задаче этого делать не приходится, так как, по условию, р\ и р2 независимо друг от друга пробегают свои промежутки.

При выводе асимптотических формул для главных членов в каждой из задач применяется теорема Бомбьери-Виноградова.

В каждой из глав применяется метод тригонометрических сумм. Оценки проводятся методом И.М. Виноградова с использованием как теоремы о среднем значении, так и оценок ван дер Корпута по s-й производной.

Основные результаты и выводы:

1. Получена асимптотическая формула для числа решений уравнения

PlP2 - ху = 1,

где Р1Р2 < п, рг > ехр(\/1пп) (г = 1,2) и полупростые числа Р1Р2 принадлежат промежуткам вида

[(2т)с, (2т + 1)с), (т € N, с е (1,2]).

2. Получена асимптотическая формула для числа решений уравнения

Р1Р2 + ху = п,

с полупростыми числами р\р2 ^ п из коротких промежутков вида [(2т)с, (2т + 1)с), (т € N, с 6 (1,2]).

3. Получена асимптотическую формула для числа решений уравнения

P1P2 ~ху = 1, где а ^ 2 — натуральное число и

Р1Р2 < Pi € --Г7г=\ Ь Р2 € [1, (ехр(—Víññ)]

exp(vlnn) о

и полупростые числа pip® принадлежат промежуткам вида

[(2т)с, (2т + 1)с), (т € N, с € (1,2]).

Таким образом, в диссертации решены три бинарные аддитивные задачи с полупростыми числами, лежащими в коротких промежутках.

Во всех этих задачах рассматриваются такие решения аддитивных задач, что pipi (или pipf) лежат в промежутках вида

[(2т)с, (2т + 1)с), (то € N, с € (1,2]).

Из результатов диссертации следует, что числа решений наших диофантовых уравнений, обладающих и не обладающих указанным свойством, асимптотически равны.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В журналах, входящих в список ВАК:

1. Зинченко H.A. Об одной аддитивной бинарной задаче. // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика, Изд-во Сарат. ун-та, вып. 1, том 7, 2007, С. 9-13.

В прочих изданиях:

1. Зинченко H.A. Бинарная аддитивная задача с полупростыми числами. // Сборник материалов X Международной научной конференции имени академика М. Кравчука. — Киев, 2004, С. 390.

2. Зинченко H.A. Аддитивная задача с полупростыми числами, лежащими в коротких промежутках. // Алгебра и теория чисел: Современные проблемы и приложения. Труды VI Международной конференции, посвященной 100-летию Н.Г. Чудакова. — Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 2004, С. 58-59.

3. Зинченко H.A. Бинарная аддитивная задача с полупростыми числами специального вида. // Чебышевский сборник, том VI, вып. 2 (14), 2005, С. 145-162.

4. Зинченко H.A. Две бинарные аддитивные задачи. // Сибирские электронные математические известия, том 3, 2006, С. 352-354.

5. Зинченко H.A. О числе решений диофантова уравнения специального вида. // Материалы I Международной научно-практической конференции, посвященной памяти профессора Б.М. Бредихина. — Самара, 2006, С. 72-75.

Подписано в печать 18.09.2008. Формат 60x84 1/16. Тираж 100 экз. Усл. п. л. 1,0. Заказ № 205. Оригинал-макет тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета 308015, Белгород, ул. Победы, 85

Обозначения

Введение

Глава 1. Вспомогательные утверждения

Глава 2. Доказательство теоремы

Глава 3. Доказательство теоремы

Глава 4. Доказательство теоремы

Аддитивные задачи с простыми числами

В двадцатых и тридцатых годах XX века Г. Харди, Дж. Литтлвуд и И.М. Виноградов развили общий метод в аналитической теории чисел, позволяющий вывести асимптотические формулы для числа решений многих аддитивных задач. С его помощью были решены тернарная проблема Гольдбаха, проблема Варинга, проблема Варинга с простыми числами и ряд других. Все эти проблемы были решены по схеме решения тернарной задачи, открытой И.М.Виноградовым.

В пятидесятых и шестидесятых годах XX века Ю.В. Линник разработал дисперсионный метод, с помощью которого ему удалось решить ряд бинарных аддитивных задач с простыми и полупростыми числами, которые не могут быть решены по схеме решения тернарной задачи. В частности, Ю.В. Линник дисперсионным методом доказал следующие теоремы:

Теорема (Проблема Харди—Литтлвуда с простыми числами). Если Q(n) — число решений уравнения п =р + £2 + т72, где £ и г/ — целые числа, то для достаточно больших п верна асимптотическая формула: п( \ п TTVi , Ха(Р) > ТТ (Р ~ г)(Р ~ ХА(Р)) , г?/ \

Q{n) = тг-- 11(1 + —--) II —2-ГТ~ +

In п р{р - 1) ££ V-V- Х4 (р) где Х4 (р) — неглавный характер по модулю 4 и

Д(п) = 0(п(1пп)"1'028). Доказательство см., например, в [1].

Теорема (Проблема Харди—Литтлвуда с полупростыми числами). Пусть Qi(n)— число решений уравнения п = £2 + г)2 +Р1Р2, где РьР2 пробегают все простые числа удовлетворяющие неравенствам щ > ехр(у1пп), г = 1,2.

Тогда

1п 1п П -ру (р — 1)(р - Х4(Р)) дцп) ~ 7гЛ0П-— м —=-гт-,

1п п ±Л~ рг-р-х4{р) р\п где и Ха{р) ~~ неглавный характер по модулю 4. Доказательство см., например, в [2].

Теорема (Проблема делителей Титчмарша). При п —> оо справедлива асимптотическая формула: , ^ 315 С(3) р^п где Д(п) = 0(п(1пп)~0,999).

Доказательство см., например, в [3, с. 182].

Теорема (вариант задачи Харди-Литтлвуда). Пусть (¿2{п)— число решений уравнения п = £2 + V2 + Р\Ръ где а ^ 2 — заданное целое число и рх пробегает простые числа промежутка [1,п1а], а Р2 — числа промежутка [1,па], где а — любая положительная константа, удовлетворяющая условию:

О < а < о

Тогда д2(п) = тгЛоЫ (п^и (п?) П (р-1)(р-Х^})(1 + р(п)), v р2~р~ Х4(Р р|п где р(п) = 0((1пп)~с) и С — сколь угодно большая наперед заданная константа.

Доказательство см., например, в [2].

Ю.В. Линник отмечал, что вторую и третью из этих теорем можно вывести из расширенной гипотезы Римапа. а четвертая теорема непосредственно таким образом не выводится.

Отметим также следующий аналог проблемы делителей Титчмар-ша с полупростыми числами, принадлежащий М.Б. Барбану (см. [4]):

Теорема. Имеет место соотношение:

Е, 630С(3) х ^,ж(1п1пя;)' т(рт -1) = —— + 0( \ 2 ; .

7Г 1П X 1п X

Заметим, что после появления в 1965 году теоремы Бомбьери-Вино-градова (см. [5] и [6]) для решения многих аддитивных задач вместо дисперсионного метода стала применяться эта теорема.

Простые числа специального вида

Настоящая диссертация посвящена бинарным аддитивным задачам с полупростыми числами, принадлежащими промежуткам специального вида.

В 1940 году И.М. Виноградов методом тригонометрических сумм получил асимптотическую формулу для числа простых чисел, не превосходящих х и лежащих в промежутках вида [(2т)2, (2т+1)2), тп £ N (см. [7]).

В 1986 году С.А. Гриценко в [8] вывел асимптотическую формулу для числа простых чисел, не превосходящих х и лежащих в промежутках вида

2тГ,(2т+1)с), (1) где тезисе (1, 2].

Задача, решенная в [8], содержит в себе следующий эффект. Длина промежутка [(2т)с, (2т+ 1)с), где т £ М, и с 6 (1, 2], по порядку равна х1~1!с и, если с близко к 1, то эти промежутки очень коротки. Ни про один из них не известно (даже в предположении справедливости гипотезы Римана), содержит ли он простое число, и тем не менее, из работы [8] следует, что на таких промежутках лежит примерно половина всех простых чисел

В 1988 году С. А. Гриценко решил ряд аддитивных задач с простыми числами, лежащими в промежутках (1) (см. [9], [10]).

Позднее задачи подобного вида рассматривались в [11] А. Балогом и Дж. Фридлендером.

Отметим, что в работах [9] - [11] аддитивные задачи являются тернарными, или решаются по схеме тернарной задачи.

Естественно задаться вопросом о разрешимости бинарных аддитивных задач с простыми числами из промежутков вида (1).

Представляет интерес следующий специальный вариант теоремы Бомбьери- Виноградова, принадлежащий Д. Толеву (см. [12]):

Теорема. Пусть выполняются неравенства

1 1

0 < А < 0 < 0 < - - Л, А>0. 4 4

Тогда max max | фх{у, к, а)------— ж1Л \п~Л х: к<хв ^ )=1 f^C^) С1 —л) где ф\{у\к,а)= Y1 ЛМп^у п=а (mod к) {Vn}<n-A 1

В этой теореме граница изменения параметра к меньше, чем ж5. Это обстоятельство не дает возможности применить теорему к решению бинарных аддитивных задач с простыми числами.

Поскольку вариантов теоремы Бомбьери-Виноградова для простых чисел из промежутков вида (1), сопоставимых по силе с классической теоремой Бомбьери-Виноградова, в настоящее время не существует, то решить бинарные аддитивные задачи с простыми числами не удается.

В настоящей диссертации рассматриваются бинарные аддитивные задачи с полупростыми числами из (1).

Основными результатами диссертации являются теоремы 1-3:

ТЕОРЕМА 1. Пусть с — произвольное число из полуинтервала (1,2], Р\,Р2 — простые числа,

Т(п) = £ t(JP\P2 - 1), pi>exp(\/lnn ), p2>exp(\/lnn ) Tl(n) = Т(рхр2 ~ 1). pi >exp(\/lnn ), p2>exp(-\/lnn ) {|(P1P2

Тогда справедливо равенство:

Ti(n) = \т(п) + 0[п In In Inn), (2) z где

T(n) ~ CqTI In Inn и

00 К \

1 rip(r)'

CO = V

ТЕОРЕМА 2. Пусть с — произвольное число из полуинтервала (1,2], РьР2 — простые числа,

J(n) = £ 1,

PlP2+X3/=n Р! >exp(\/ln n ) p2>exp(\/ln n )

Mn) = E L

Plp2+XJ/=n pi>exp(\/lnn ), p2>exp(\/lnn )

Тогда справедлива формула: т / ч 1 т, w„ Л/1п1п1ппчч

Мп) = -J(n)( 1 + Ot-j^)), (3) где

J(n) ~ conlnlnn,

00 2 ( \ V(г) ri r(p(r)'

Со Е

ТЕОРЕМА 3. Пусть п ^ щ > 0, а ^ 2 - натуральные числа,

Q = ехр(\/кт ), Аг = [1 ,nQ~1}, А2 = [1 и Е 2>

Pi5Ai p26A2 х,у PiP2~xy=\ c.(n)=E Е Ei

Pie^i р2еА2 х,у PiP^-xy-l mPiPi)1/c}<h

Тогда справедливо равенство:

G1(n) = iG(n)(l + 0(Q-")), (4)

1 1 G(n) - cöLi(-)7r(QJ) Inn (1 + 0(-=)), цг vmn

ОО 2 .

77 > 0 — абсолютная постоянная, cq = . d=i ^

Доказательства этих теорем проводятся методом тригонометрических сумм И.М. Виноградова.

Выделим основные этапы доказательства теоремы 1. Вначале при помощи теоремы Бруна-Титчмарша мы, с приемлемою точностью, приближаем сумму 7\(п) суммой вида

Щп) = £ 1,

PlP'2~xy=l exp(Vinn )<pi<P pip*)l,c}<\ где Р = п(1п1пп)2.

Заметим, что переменная р\ пробегает весьма короткий промежуток, а промежуток изменения х отделен от л/п.

Затем вводятся стаканчики Виноградова, с помощью которых выделяются слагаемые с условием {\{Р\Р2)1^С} < Стаканчики раскладываются в ряд Фурье и на нулевых коэффициентах выделяются главные члены асимптотических формул.

Для доказательства теоремы требуется оценить тригонометрическую сумму вида ехр(2тг^А;1/с), к^К к=ко (то<3 х) где -¡Ц- < х ^ Рс Ь3п и Рг € (ехр(у/1пп ), Р].

Р1 с

Внутренняя сумма оценивается методом И.М. Виноградова с использованием как теоремы о среднем значении, так и оценок ван дер Корпута по й-й производной.

Заметим, что при некоторых значениях параметров указанная сумма является очень короткой. Например, при х = КР~9 длина промежутка равна Р9. В этих случаях оценить ее методом ван дер Корпута нельзя, но метод Виноградова дает нетривиальную оценку.

Вторая задача, решаемая в диссертации, родственна первой.

Особенность третьей задачи состоит в том,что при а ^ 2 последовательность Р1Р2 является более редкой, чем последовательность Р1Р2 (при больших а она «близка» к последовательности простых чисел).

В первой главе диссертации приведены вспомогательные утверждения.

Доказательства теорем 1-3 составляют содержание глав 2-4 диссертации.

1. Хооли К. Применение методов решета в теории чисел. М.: Наука, 1987.

2. Виноградов И.М. Основы теории чисел. СПб-М: Лань, 2004.

3. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1971.

4. Карацуба A.A. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.

5. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

6. Зинченко H.A. Бинарная аддитивная задача с полупростыми числами. //Сборник материалов X международной научной конференции имени академика М. Кравчука , 13-15 мая 2004 г., Киев, с. 390.

7. Зинченко H.A. Бинарная аддитивная задача с полупростыми числами специального вида. // Чебышевский сборник, 2005, т. VI, вып. 2 (14), с. 145-162.

8. Зинченко H.A. Две бинарные аддитивные задачи. // Сибирские электронные математические известия, Том 3 (2006), с. 352-354.

9. Зинченко H.A. О числе решений диофантова уравнения специального вида. // Материалы I международной научно-практической конференции, посвященной памяти профессора Б.М. Бредихина, 1-2 ноября 2006 года, г. Самара, с. 72-75.

10. Зинченко H.A. Об одной аддитивной бинарной задаче. // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика, информатика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007, вып.1, т.7, с.9-13.