О наименьших обобщенных числах Харди - Литтлвуда и Гольдбаха в прогрессиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский Государственный Университет \ ( ( . имени М. В. Ломоносова

! 5 Шй ЭДОО

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 511.345

АЛАУИ МХАМЕДИ АБДЕЛЛАХ

О НАИМЕНЬШИХ ОБОБЩЕННЫХ ЧИСЛАХ ХАРДИ - ЛИТТЛВУДА И ГОЛЬДБАХА В ПРОГРЕССИЯХ

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра, теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Чубариков

Москва - 2000

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико -математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико - математических наук,

профессор В. Н. Чубариков

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук,

профессор С. А. Гриценко

кандидат физико - математических наук,

доцент О. В. Тырина

Ведущая организация: Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 21 апреля 2000 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д 053.05.05 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу. 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико - математический факультет, аудитория 1408.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико - математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан 21 марта 2000 г .

Ученый секретарь специалиризованного совета

Д 053.05.05 при МГУ, профессор В. Н. Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Предмет исследования. Настоящая диссертация относится к аддитивной теории чисел. Здесь оценивается сверху величина наименьшего натурального числа N, представимого в виде

а(р) + Ъ(п) = N,

где N находится в арифметической прогрессии Dx + I, х = 0,1,..., и функция а(р) является многочленом, аргумент которого последовательные простые или натуральные числа с условием р < N, а функция b(n) равна либо [ап^], где а —■ вещественное иррациональное число и к — натуральное число; либо b(q) = \oeq], при тех же самых условиях на числа а и q < N пробегает последовательные простые числа, кроме того, получена оценка длины короткого промежутка в окрестности числа N такого, что внутрь его попадает обобщенное гольдбахово число

p+[aq).

Эти задачи можно рассматривать как тернарные аддитивные проблемы теории чисел, возможность решения которых с помощью метода тригонометрических сумм была открыта И.М.Виноградовым1.

Актуальность темы. Бинарные аддитивные задачи с простыми числами, т.е. задачи о базисных свойствах последовательности простых чисел или некоторых арифметических функций на этой последовательности ранга 2 постоянно привлекают внимание многих математиков, в особенности после работ по методам решета и теории тригонометрических сумм В. Вруна, И. М. Виноградова,2 А. Куна, А. Сельберга, Ю. В. Линника,3 А. Реньи, Э. Бомбьери, А. И. Виноградова, Чень Джин-рун,4 А. А. Карацубы,5 Г. И. Архипова, К. Буриева,

'Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел. Изв. ДАН СССР, 1937 Т.15, с. 291-294

Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М. Наука, 1980

3Линкик Ю. В. Избранные труды J1, наука, 1980

4 Chen Jiiig-um On the divisor problem for ¿з(п). Sei. Sinica 1965 v. 14 p. 19-29

"Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел М. Наука, 1983

В. Н. Чубарикова,6 3. X. Рахмонова,7 О. В. Попова,8 и др. Исследования этих авторов дали возможность изучать распределение обобщенных чисел Гольдбаха и Харди - Литтлвуда в арифметических последовательностях. В частности, ряд авторов получили оценки наименьших чисел Гольдбаха в арифметических прогрессиях при различных условиях и предположениях: Ю. В. Линник,3 К. Прахар,9 Ю. Ванг,10 М. Ютила,11 3. X. Рахмонов7 и др. В настоящей работе мы продолжаем их исследования.

Цель исследования. Оценки сверху для наименьших обобщенных чисел Харди - Литтлвуда и Гольдбаха в арифметических прогрессиях, а также получиние оценки сверху длины интервала , в котором находится хотя бы одно обобщенное число Гольдбаха.

Общая методика исследования. В диссертации используютя методы аналитической терии чисел, метод тригонометрических сумм, и теории диофантовых приближений.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика исследования могут быть использованы в различных задачах аналитической теории чисел, связанных с оценками тригонометрических сумм, в частности, по простым числам.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинаре под руководством профессора А. А. Карацубы, и на семинарах под руководством профессороф Г. И. Архипова и В. Н. Чубарикова в 19982000 г.

6Архипов Г. И., Буриев К., Чубариков В. Н. О мощности особого множества в бинарных аддитивных задачах с простыми числами Труды мат. инст. им. В.А. Стеклова 1997 Т.218 с. 28-57

7Рахмонов 3. X. Распределение значении характеров Дирихле Диссертация на соиск. ... канд. физ. - матем. наук МГУ. 1985, с. 1-78

8Попов О. В. Арифметические приложения оценок сумм Г. Вейля от многочленов растущей степени Диссертация на соиск. ... канд. физ. - матем. наук МГУ 1995 з

9Prachar К. uber die anwendung einer metode van Linnik, acta arith. 1976, v. 29 p. 367-376

10Wang Y. On Linnik method concerning the Goldbach's number, Sci - Sinica, 1977, v. 20 p. 16-30

11 Jutila M. On the last Goldbach's number in an arithmetical progression with a prime difference, annales universitatis turkuensis, 1968, v. 118:5

7 -

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Объем работы 71 компьютерных страниц, список литературы включает 53 названия.

Содержание диссертации. В первой главе получены оценки сверху для наименьших обобщенных чисел Харди - Литтлвуда, принадлежащих арифметической прогрессии, т.е. чисел вида

р + [am*] = I (mod D), f{n) + [am'] = I (mod D),

здесь p — простое число, k, m,l,D — натуральные числа, f(n) — многочлен с целыми коэффициентами, а — вещественное иррациональное число.

Основными результатами первой главы являются следующие утверждения.

Теорема 1.2. Пусть G(D,l) — наименьшее число вида

р + [ma] = I (mod D),

где а — вещественное иррациональное число, у которого или неполные частные ограничены иди a — алгебраическое число. Тогда

где е > 0 — произвольно мало.

Теорема 1.4. Пусть G\(DJ) наименьшее число вида

f(n) + [ma] = / (mod D),

где D — простое число и f(n) — многочлен с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого не делится на D. Тогда при a — вещественном иррациональном числе, у которого неполные частные ограничены или при о — иррациональном алгебраическом числе, имеем

где £ > О — произвольно мало.

Теорема 1.6. Пусть D — простое число и а — иррациональное алгебраическое число.

Пусть Gz{D,l) наименьшее число вида

р + [am2] = I (mod D),

Тогда

G2{D,l) «D'+e, где е > 0 — произвольно мало. Следствие 1.1.

Пусть D — простое число и a — иррациональное алгебраическое число.

Пусть G$(D,l) наименьшее число вида

/(п) Н-[am2] = / (mod jD),

где f(n) — многочлен с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого не делится на D. Тогда

здесь, как обычно е > 0 — произвольно мало.

Теорема 1.8. Пусть D — простое число и a — иррациональное алгебраическое число.

Пусть G<i(D,I) наименьшее число вида

р + [amk] = I (mod D),

Тогда либо

G4(D,l)<SiD¥+£ прик = 3,

либо

G4(D, 1) < D'lk'4E при к > 4, где е > 0 — произвольно мало. Следствие 1.2. Здесь к >3.

Пусть D — простое число я а — иррациональное алгебраическое число.

Пусть Gs(D,l) наименьшее число вида

f(n) + [атк] = I (mod D),

где /(п) — многочлен с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого не делится на D. Тогда

G5(D,l)

здесь, как обычно е > 0 — произвольно мало.

Вторая глава посвящена получению оценки сверху обобщенных чисел Гольдбаха, принадлежащих арифметической прогрессии, т.е. чисел вида:

Р + [aq] = I (mod £>),

p,q,D — простые числа, а — вещественное иррациональное число. Перейдем к формулировке основных результатов второй главы.

Теорема 2.1. Пусть G(D,l) наименьшее число вида

р + [да] = I (mod D), где а — иррациональное алгебраическое число. Тогда

G(D, l)<Di+s,

где £ > 0 — произвольно мало.

Третья глава посвящена оценке сверху длины интервала в зависимости от большого основного параметра (величины представляемого числа), в котором находится хотя бы одно число вида

Р + [а?].

где a — вещественное иррациональное число.

А теперь переходим к основным результатам третьей главы.

Теорема 3.1. Пусть И — натуральное число, а — иррациональное число с огранечнными неполными частными или иррациональное алгебраическое число, и пусть

J = 1о§р1ов<?.

|Л|<Я р<лг

Ч<К'СХ~1

p■^-[aq}-N=h

Тогда при Н Лг5, справедлива асимптотическая формула

Теорема 3.2. При условии теоремы 3.1, в промежутке [Л' - Н, Лг + Я], где

[ЛГ8/91о8ЛП, существует натуральное число т вида

т = р + [ад].

Публикация автора по теме диссертации

Алауи М. А., Об обобщенных Голъдбаховых числах, Вестник МГУ. Сер, мат., мех., (в печати).

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико - математических наук, профессору В. Н. Чубарикову за постоянное внимание и помощь при работе над диссертацией.

Введение

Глава I. О наименьшем обобщенном числе Харди - Литтлвуда в арифметической прогрессии

§1. Обобщенные числа Харди - Литтлвуда при к =

§2. Обобщенные числа Харди - Литтлвуда при к = 1 и в случае многочлена.

§3. Обобщенные числа Харди - Литтлвуда в случае, когда к = 2.

§4. Обобщенные числа Харди - Литтлвуда при произвольном к.2S

Глава II. О наименьшем обобщенном числе Гольдбаха в арифметической прогрессии

Глава III. Об обобщенных числах Гольдбаха в коротких интервалах

Настоящая диссертация относится к аддитивной теории чисел, здесь оценивается сверху величина наименьшего натурального числа ЛГ, пред-ставимого в виде а(р) + Ъ{п) = ЛГ, где N находится в арифметической прогрессии Их + 1,х = 0,1,., и функция а(р) является многочленом аргумент которого последовательные простые или натуральные числа с условием р < ЛГ, а функция Ь(п) равна либо [апк], где о; — вещественное иррациональное число и к — натуральное число; либо &(#) = [од], где при тех же самых числах а и д < N пробегает последовательные простые числа, кроме того, получена оценка короткого промежутка в окрестности числа N такого, что внутрь его попадает обобщенное гольдбахово число

Р + М

Эти задачи можно рассматривать с единой точки зрения, если обратиться к вещественной и />-адическим метрикам в соответствующих полях.

Эти задачи можно рассматривать как тернарные аддитивные проблемы теории чисел, возможность решения которых с помощью метода тригонометрических сумм была открыта И.М.Виноградовым [4].

Метод Виноградова в дальнейшем совершенствовался и уточнялся им самим, так и другими математиками. А.А.Карацуба предложил метод решения некоторых мультипликативных задач, используя "свойство тер-нарности" [12]. Общий метод решения этих задач получил название метода Рамануджана - Харди - Литтлвуда - Виноградова.

В настоящей диссертации мы также используем этот метод. Основное отличие от общего состоит в том, что здесь нам достаточно найти главный член асимптотики в рассматриваемых проблемах только в малой окрестности нуля, а на оставшемся множестве единичного отрезка тригонометрические суммы по модулю оцениваются сверху. Последнее обстоятельство позволяет получать более точный результат, чем в обычной проблеме Гольдбаха [15,25,45,51, 53.]

Отметим, что эффект равномерного распределения значений арифметической функции целая часть по всем возможным арифметическим прогрессиям впервые использовал в своей диссертации К.Буриев [31]. В последнее время Г.И.Архипов, К.Буриев и В.Н.Чубариков [22] воспользовались этим эффектом и явными формулами в теории дзета -функции Римана для оценки мощности особого множества в бинарных аддитивных задачах с простыми числами. Мы применяем методы последней работы [22] в третьий главе диссертации.

Перейдем к ее содержанию. Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Виноградов И. М., Основы теории чисел, Наука, М, 1982.

2. Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, Наука, М, 1980.

3. Виноградов И. М., Особые варианты метода тригонометрических сумм, Наука, М, 1976.

4. Виноградов И. М., Представление нечетного числа суммой трех простых чисел, Изв. ДАН СССР. Т.15 (1937), 291-294.

5. Виноградов И. М., К вопросу о числе целых точек в заданной области, Изв. АН СССР., сер. матем. 24 (1960), 777-786.

6. Виноградов И. М., Улучшение асимптотических формул для числа целых точек в области трех измерений, Изв. АН СССР., сер. матем. 19 (1955), 3-10.

7. Chen Jing-run, On the divisor problem for d%(n), Sei. Sínica 14 (1965), 19-29.

8. Chen Jing-run, liu Jian Min, The exceptional set of Goldbach numbers (III), Chinese quart. J. Math. 4 №1 (1989), 1-15.

9. H. Davenport, Multiplicative Number Theory (2nd ed.), Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1980.

10. Карацуба А. А., Основы аналитической теории чисел, Наука, М, 1983.

11. Карацуба А. А., Об одной задаче с простыми числами, Докл. АН СССР. сер. матем. 259 №6 (1981), 1291-1293.

12. Петечук М. М., Сумма значений функций делителей в арифметических прогрессиях с разностью, равной степени простого числа., Изв. АН СССР., сер. матем. Т.43 №4 (1979), 892-908.

13. Касселс Дж. В. С., Введение в теорию диофантовых приблежиний, Изд- иностр. лит., М., 1961.

14. Прахар К., Распределение простых чисел, Мир, М, 1967.

15. Prachar К., über die anwendung einer metode van Linnik, acta arith. 29 (1976), 367376.

16. Prachar K., Bemerkungen über Primzahlen in kursen Reihen, acta arith. XLIV (1984), 367-376.

17. Титчмарш E. К., Теория дзета-функции Римана, ИЛ, М, 1953.

18. Монтгомери X., Мультипликативная теория чисел, Мир, М, 1974.

19. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н., Теория кратных тригонометрических сумм, Наука, М, 1987.

20. Архипов Г. И., Чубариков В. Н., Три теоремы о тригонометрических суммах из анализа, Докл. РАН 14 (1993), 19-29.

21. Архипов Г. И., Буриев К., Чубариков В. Н., Тригонометрические суммы в бинарных аддитивных задачах с простыми числами, Матер, междунар. науч. чт. по аналической теории чисел и проложениям М.: МГУ, (1997), 12-13.

22. Архипов Г. И., Буриев К., Чубариков В. Н., О мощности особого множества в бинарных аддитивных задачах с простыми числами, Труды мат. инст. им. В.А. Стеклова Т.218 (1997), 28-57.

23. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н., Лекции по математическому анализу, Высшая школа, М, 1999.

24. Pan Chendong, Pan Chenbiao,, Goldbach Conjecture, science Press, Bejing (China), 1992.

25. Jutila M., On the last Goldbach's number in an arithmetical progression with a prime difference, annales universitatis turkuensis. 118:5 (1968).

26. Вороной Г. Ф., Sur un probleme du calcul des fonctions asymptotiques, Fur die reine und angewandte math. 126 (1903), 241-282.

27. Rankin R. A., Van der Corput's method and the theory of exponent paires, Quart. J. M. (Oxford) (2) 6 (1955), 147-153.

28. Yin Wen-lin, Piltz's divisor problem for k = 3, Science Record,New Ser. 3 (1959), 169-173.

29. Yuh Ming-I, Wu Fang, On the divisor problem for d^(n), Scientia Sinica 11 №8 (1962), 1055-1060.

30. Попов О. В., Арифметические приложения оценок сумм Г. Вейля от многочленов растущей степени, Диссертация на соиск. . канд. физ. матем. наук МГУ (1995).

31. Буриев К., Аддитивные задачи с простыми числами, Диссертация на соиск. . канд. физ. матем. наук МГУ. (1989), 1-108.

32. Буриев К., Об одной аддитивной задаче с простыми числами, ДАН Тадж ССР. Т.38, №11 (1987), 686-688.

33. Архипов Г.И., Житков А. Н., О проблеме Варинга с нецелыми показателями, Изв. АН СССР., сер. матем. 48 №6 (1984), 1138-1150.

34. Буриев К., Об исключительном множестве в проблеме Харди-Литтлвуда для нецелых степеней, Матем. заметки 46 (1989), 127-128.

35. Архипов Г. И., Чубариков В. Н., О некоторых формулах суммированния, Вестник МГУ сер.1 матем.мех. 5 (1987), 29-32.

36. Bombieri Е., Iwaniec Н., On the order of + it), Ann.sur Pisa Norm. Sc. 14(4) (1986), 449-472.

37. Bombieri E., Iwaniec H., Some mean value theorems for exponential sums, Ann.sur Pisa Norm. Sc. 14(4) (1986), 473-486.

38. Гриценко С. А., Об одной задаче И.М.Виноградова, Матем.заметки 39 (1986), 625640.

39. Graham S. W.,Kolesnik G., Van der Corput's Method for Exponential Sums, Cambridge University Press, M, 1991.

40. Ivic A., Riemann Zeta-function, Wiley,New-York, M, 1985.

41. Kratzel E., Lattice Points, Berlin, D.V.W., 1988.

42. Huxley M. N., Watt N., Exponential Sums and the Riemann Zeta-function, Proc. London Math. Soc. (3) 57 (1988), 1-24.

43. Watt N<, A Problem on Semicubical Powers, Acta Arith. 52 (1988), 119-140.

44. Watt N., Exponential Sums and the Riemann Zeta-function (2), London Math.Soc. 39 (1989), 385-404.

45. Wang Y., On Linnik method concerning the Goldbach's number, Sei Sinica 20 (1977), 16-30.

46. Xya Ло-кен., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, Мир, М, 1964.

47. Corput J. G. Van der, Zahlemtheoretische Abschatzungen, Math. Ann. 85 (1921), 53-79.

48. Corput J. G. Van der, Verschärfung der Abschatzubgen beim Teilerproblem, Math. Ann. 87 (1922), 39-65.

49. Corput J. G. Van der, Zum Teilerproblem, Math. Ann. 98 (1928), 697-716.

50. Weyl H., Uber die Gleichverteilung von Zahlen Mod. Ein., Math. Ann. 77 (1916), 313-352.

51. Линник Ю. В., Избранные труды, "наука", Л., 1980.

52. Тырина О. В., средние значения тригонометрических сумм, Диссертация на со-иск. . канд. физ. матем. наук МГУ. (1989).

53. Рахмонов 3. X., Распределение значении характеров Дирихле, Диссертация на соиск. . канд. физ. матем. наук МГУ. (1985), 1-78.