Распределение решений линейных уравнений в простых числах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ6 од

2 О СЕН 13М

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ ОРДЕНА. ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БАБАНАЗАРОВ БАХРАМБЕК

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ БИНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯ В ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент - 1993

Работа выполнена в Институте математики им.В.И.Романовского АН Республики Узбекистан.

Каучшй руководитель : доктор физико-математических наук

М.И.ТУЛЯГАНОВА.

Официальные оппонент : доктор физико-математических наук,

профессор Н.М.ТИМОФЕЕВ

кандидат физико-математических наук, доцент Т.М.ЗУПАРОВ.

Ведущая организация : Самаркандский Государственна университет им.А.Навои.

Защита состоится " Т " ¿¿#71993 г. в час.

на заседании специализированного совете Д 067.02.21 при Ташкентском Государственном университете по адресу: 700095, г.Тапжент-Э^ математический факультет, ауд.205.

С диссертацией ыокно ознакомиться в Научной библиотеке ТашГЗ (ВУЗгородок).

Автореферат разослан " ^ " , 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических

наук, доцент ' С.Р.УМАРОВ

Актуальность темы. В 1742 году Гольдбах в мсьые к Эйлеру высказал предположение, что каждое четное число, зачиная с 6, является суммой двух простых чисел. Это предположение ^бинарная гипотеза Гольдбаха) не доказано до сих пор, так же, как Золее слабое утверждение о том, что каждое нечетное число, начиная з 9, является суммой трех нечетных простых чисел (тернарная гипотеза Гольдбаха). Харди и Литтлвуд в 1923, 1924 годах на основе сознанного ими кругового метода связали проблемы Гольдбаха с расширенной гипотезой Римана. В 1937 году Виноградов соединил метод Харди-Литтлвуда с полученной им хщенкой тригонометрической суммы по просты".' числам и доказал, что каждое достаточно большое нечетное числе является суммой трех простых чисел (теорема Виноградова-Гольдбаха). Линник в 1946 году дал другое доказательство теоре:.н Виноградова-Гольдбаха, заменив оценку тригонометрической суммы теоремой о плотности нулей функций Дирихле.

Различные обобщения теоремы Виноградова-Гольдбаха рассматривались многими авторами. Ван дер Корпут (1939 г.), Джеймс и ВеЗль (1942 г.), Цулау! (1952 г.), Рихерт (1953 г.) исследовали представления натуральных чисел в виде целочисленной линейной комбинации более чем двух простых чисел, принадлежащих к заданным арифметическим прогрессиям.',

Ву Фанг в 1957 году получил асимптотическую формулу, для количества решений в простых числах систем линейных уравнений, удовлетворяющих некоторым'.условиям. Туляганова и Файнлейб в 1989 году для более широкого класса систем доказали асимптотическое разложение количества их решений в простых числах (и,в частности,асимптотическое разложение числа представлений большого нечетного числа суммой'трех простых чисел).Хейзлгроув (1951г.),Статулявичус (1955), Дан (1959г.),Чев(1965г.) рассматривали представления большого

нечетного числа суммой трех "почти равных" простых чисел.

Методы Харди-Литтлвуда и Виноградова оказались применимыми- и к бинарной проблеме Гольдбаха, но здесь удается только' доказать представимость "почти всех" четных чисел суммой двух: простых чисел. Первые результаты в отом направлении получили почти одновременно и независимо друг от друга Чудаков в Г937г., Ван дер-Корпу: (1937г.), Хуа (1938г.), Эстерман (1938г.). Они доказали, что все четные числа не превосходящие X , исключая X*)

из них, представимы суммой двух простых чисел; здесь Л - любая положительная константа, постоянная в символе <5С зависит от А Впоследствии аналогичный результат для разности простых чисел получил Лаврик в 1960г. В 1972 году Вон показал, что число искл! чений в бинарной проблеме Гольдбаха X (-С(£¿><1 X)

С >0 - постоянная. Еде в 1924 году Харди и Литтлвуд выве; из расширенной гипотезы Риыана, что Е(Х) ^ .

В 1975 году Монтгомери и Вон существенно усилили круговой метод, связав его с мультипликативной теорией чисел, что-позволило им -получить эту оценку независимо от каких-либо недоказанных гипоте: Еагнув роль при этом сыграло неравенство Галлахера (1970г.) для сумм примитивных характеров по простым числам, основанное на доказанной им плотностной теореме для 2, -рядов. Ля в 1987 году обобщил результат Монтгомери-Бона, заменив сушу двух простых чисел их целочисленной линейной комбинацией.

Цель работы. В диссертации рассматриваются задачи I разрешимости бинарного линейного уравнения ^уР^ + ^¿Рг в простых числах ^ , , асимптотически линейно зависящих от I (например, "почти равных"). Есть основания предполагать, что есл!

и^ и Ц.2 взаимно просты, П. достаточно велико, взаимно просто с ии.2 и четно в случае нечетности и^ , то это

уравнение разрешимо в простых числах с указанными ограничениями. Устанавливается связь между верхней границей плотности таких П. , для которых эта гипотеза может оказаться неверной, и точностью асимптотических формул для и р^ . Получен-

ные оценки равномерны по всем параметрам.

Методы исследования. Результаты основаны на мультипликативной версии кругового метода и оценках тригонометрических суш и сумм примитивных характеров по простым чис--лам..

•Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.-

Апробация работы. Основные результаты диссерг— тации докладывались на Всесоюзной конференции "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел" (Минск, 1989), на научно-теоретических конференциях профессорско-преподавательского состава Дзшзакского филиала Ташкентского политехнического института (1987-1990), Дзгазакского филиала Ташкентского архитектурно-строительного института (1991), Джизакского политехнического института (1992)г на научно-теоретических конференциях молодых ученых Днизакского педагогического института (1989, 1992), на научно-исследовательском семинаре доктора физ.-мат— наук М.И.Тулягановой в Институте математики им.В.И.Романовскогтг АН РУз.

П у б л к к-& ц и и. По теме диссертации опубликовано 8 работ,.в~которых отражено ее основное содержание.

Объем работы. Диссертация пзлогена на 114 страницах машинописного- текста и состоит из введения, трех глав, разделенных на шесть параграфов, и библиографии, содержащей 38 наименований.

- б -

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан краткий обзор работ по бинарным аддитивным задачам с простыми числами и приведены основные результаты диссертации.

В первой главе доказывается ряд арифметических тождеств и оценок, которые используются в дальнейшем при исследовании больших дуг кругового метода в бинарных задачах с простыми числами, а такг для оценки плотности исключительных множеств. Центральное место здесь занимает изучение гауссовых сумм и связанных с ними особых рядов. Полученные результаты имеют и самостоятельный интерес. Приведем один из них. Полоним для каждого натурального ^ , целого LL "Ф О и для каждого примитивного характера X по модулю £

£ t6*) в , если ъ/а ,

. .если

Лемма 2.II. Пусть К , , U^ - целые числа, отличные от-нуля, ^ , - примитивные характеры, характер % индуцирует произведение . Тогда

где U. - I UiU2'\,

. При Uf = Ug е i отсюда следует лемма 5.5 Монтгомери-Вона. Существенно то обстоятельство, что правая часть неравенств« не зависит or X { к %» .

Во второй глав? доказывается приближенная формула для интеграла по больииы дугам в бинарных задачах общего вида с проста;.",:

числами.

Она основана на модификации мультипликативной версии кругового метода и аналитической' лете Галлахера. Справедлива следующая

Теорема 4.1. Пусть П. , и^ , и^ - целые числа, отличные от нуля, (иЛ> и2)*{, Ц^1иЛиг1 , Р>,2 , 0.>2Р*

ш-ии [т^'Т^т].

Пусть, далее, для каждого целого №1 , I - ¿,-2 и примитивного характера %, » ^^ ^Ю ~ комплексные числа, ~ ;5 О , если ^1 имеет простой делитель ,

РЯДЫ

абсолютно сходятся,

ею

Г(*.г<д,). 21 М-

Тогда

\ .и--,-

Г

где

1 •Шп.)+о(в,1),

Ш[0А]

Н(п-)= 2*

- примитивный характер, индицирующий

V** , У, (Л) -

число не делящихся на р среди чисел И , г и^ |

Т> X гл.аддад ТОО,

1 гООбр '.*00«Р

^И-Д,» ^--хм^-к^Ю сил

. 1 I .У"

( 'О. % ) - ведущей модуль характера) £ , - сумма по примитивным характерам).

Из теоремы 4.1 следует, в частности, что для всех целых ¡ЬфО *

исключая

К ¿еИ?\т

из них, справедливо соотношение

со

/*, .л Я.тг.

,1 =л (»)+<)№,), л-Сй^Х^

ч(71=-ео

•В третьей главе результаты глав I и II применяются к исследованию распределения решений в простых числах бинарного линейного уравнения ¿{¿/^ + ¿(¿/^ = почти всех П. , взаимно простых

с и четных, если и^и^ нечетно (числа Ц^ и счита-

ются взаимно простыми). Основную роль при этом играют теорема 4.1 и неравенство Галлахера. Доказывается

Теорема 5.1. Пусть /¿^ , взаимно просты и отлич-

ны от нуля, И.- - Существуют положительные абсолютные

константы С. , , Д > такие, что еслв

б Xе* V - ^ ^

"2. (<•* 4, У ) ~ значения линейной форма + ¿/¿у

в вершинах прямоугольника £ X £ X^ , ^ ^ у 4 X^ » расположенные в порядке возрастания,

\и. 1(Х.-Р. )> Ли'ХГ1 (14.*).

то все целые числа Л. , взаимно простые с и. , четные при нечетном и из любого подинтервала длины Н 4 промежутка (¿2 + А и3 XV * , - Ли* X V) , исключая

% рт-1 •шее ™ >;> ггРфР

способами представимы в форме Щ Р^ + в •' где

р. - простые числа, (¿¿¿,£).

Теорема 5.1 содержит информацию об исключительных множествах в коротких интервалах изменения и. , причем простые числа содержатся , в свою очередь, в промежутках, которые могут быть относительно малыми. Из нее выводятся результаты о решениях бинарного линейного уравнения в простых числах, асимптотически линейно связанных с правой частью.

Теорема 6.1. Пусть и^ , И^ - отлетные от нуля целые взаимно простые числа, ^ >0 , У^ >0 , и^ ^ и2 -I ,

Ц= \U.LL, I , ^^ Гг) .

' 21 та* (Т4,Гг)

Существуют абсолютные постоянные А >0 к С£ ,

такие, что если Л > ^-А Г -) >

1 ^ у

то дда всех натуральных «. ¿X , взаимно простых с и. .четных при нечетном и. , исключая «X/. из них, уравнение [¿. + % имеет для любого £>о

решений в простых числах р , р , таких, что

4 Л

Приведем два следствия теоремы 5.1, относящиеся к представлению ч?аюго " 'ода суммой и разностью двух простых чисел ( , С^ -пологштелзйые абсолютные константы).

Теорема 6.3. I) Для любого £>0 существует £">б ; четные *

такое, что все четные числа И. ^ X , исключая ^ из

них, »пХ способами представимы в виде суммы двух

£

простых чисел £ + ^ » таких, что - :

2) все четные п • исключая

из них, Ъ €/Х.р(-) способами представимы в виде суммы двух простых чисел ^ + » таких, что

Теорема 6.4. Пусть &*>£ . Тогда • I) для любого £>0 существует £>о такое, что все четные П ¿-Л , исключая «А из них, >>И..д способаг,ш представимы в виде разности простых чисел ^ -¿Р

таких, Что + » 1_

2) все четные числа »г^Х .исключая «X Мф /

аз них, >> И (~С6 т/буХ*) способами представив в виде

- 12 -

разности простых чисел ^ _ р , таких, что

ггжрС-с+уЩх).

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:'

1. Бабаназарор Б.. О. представлении почти всех четных чисел суммой двух; почти равных простых чисел. Докд.АН Респ.Узбекистан. 8 (1992), 3-4.

2. Бабаназаров Б. Распределение решений бинарных линейных уравнений в простых числах. Докд.АН Респ.Узбекистан.

I (1993), с.9-10.

3. Бабаназаров Б. Исключительное мноаество в бинарной проблеме Гольдбаха с взаимно простыми коэффициентам.-Деп. в УзНИИНТИ, № 1503. Уз.91,,20 с.

4. Бабаназаров Б. О распределении простых векторов в целочисленных решетках. - Деп.в ВИНИТИ. № 5499, В 90, 12 с.

5. Бабаназаров Б., Подкарский Я.И. О максимальном порядке арифметических функций. Изв.АН УзССР, сер.физ.-ыат.н., I (1987), с.18-23.

6. Туляганова М,И., Бабаназаров Б. О распределении простых -векторов целочисленной решетки в малых многомерных кубах. ДАН УзССР. 7(1988), с.3-4.

7. Бабаназаров Б., Подкарский Я.И. О максимальном порядке арифметических функций. Всесоюзная школа "Конструктивные метода и алгоритмы теории чисел": Тез.докл.АН БССР, йн-т математики. - Мн., 1989, с.9.

8. Туляганова М.И., Бабаназаров Б. О распределении простых векторов целочисленной решетки в малых многомерных кубах, всесоюзная школа "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел": Тез.докл.АН БССР. Ин-т матеыаьики.- Мн.,1989,с.146.

- 13 -АННОТАЦИЯ

БИНАР ЧИЗЩШ ТЕНГЛАШЛАРНИНГ ТУБ СОН1АРДАГИ ЕЧИМЛАРИ ТАЩШТИ

Диссертавдясида бутун сонларни икки туб сонларнинг чизи1уш комбинациям куринишида ифодалаш ыасаласи урганилади, бу масала Гольдбахнинг бинар муаммосининг табиий умушашмасидан иборатдир. Бу ерда нщорида зикр этилган вфодада адтнашувчи туб сонлар яуфт-лиги такрнмоти урганилади. Уибу гласала тернар хол учун Хейзелгроув, Статулявичус ва боиад математиклар тояонидан урганшшб, тоц сонларни "деярли" тенг учта туб сон йприндиси куринишида ифодалаш ыум-кинлиги исботланган. Бинар масалани ечиш тернар масалани ечяшга нисбатан мурзккаб бутй, х;азирги мавнуд методлар ёрдамида "деярли'г барча ауйаг сошгар шшг туб сон йивиндисидан иборатлиги, истисно этилган тушткг пистзгинз базщаш билан ечилади.

' Дпссортациядагн ассгсий-'натикалар - бутун соннп чар бирл ифодаланузчи мазкур сон билан асимптотик чизивди борлин булган, икки туб соннинг чизивди комбпнацияси куринишида ийодалаш мумнин-' лиги ^аадцаги теоремалардан иборатдар. (Хусусан, яу$т сонни "деярли" тенг икки туб'сон йигиндиси куринишида пфодалаш мумкпн-лпги масаласи). Истисно этилган тупдам зичлиги базсосз билан туб сонларнинг мое асимптотик формулалари ашнушги уртасидаги борлич-лик топилган.- Агар туб сонлар войлапшш сралиги нуда кичик булма-.са, у з?олда истисно этилган туплагл зичлигининг ба^оси дараяалидпр; бу эса Гольдбахнинг бинар муаммосидаги истисно этилган туплач зфвдцаги: Мснтгоыери-Воннинг маневр теореыасининг умуылашмасидав иборааг.

Диссертациясида олинган ватигалар доиравий методнинг мульти-пликатив куринишига, тригонометрии йириндилар ба^оларига, туб сонлар буйича примитив характер йигиндиларига асосланиб исботланган.

- 14 -

SUMMARY

THE DISTRIBUTION OF SOLUTIONS CP BINARY UNE AS.

EQUATIONS IN TRIMS NUMBERS

In this work the problem of representation of prime numbers by linear combinations of two prime numbers which is the natural, generalization of binary Goldbach problem is considered. The question is in the distribution of pairs of prime numbers realizing the indicated representation. In ternary case such problems were considered in the works of Haeelgrove, Statuljavi-chius and other mathematicians, who investigated the representation of an odd number by a sum of three almost equal prime numbers. Binary problem is essentially more complete and existing in the present time methods allow to obtain the results for almost all representing numbers with an estimate of the density of exceptional set.

The main results of the work are the theorems about representation of an integer by linear combination of two prime numbers, each of them is asymptotically linear connected with thé representing number (in particular, about representation of even numbers by a sua of two almost equal prime numbers). The dependence of the exceptional set density estimate from the aocuracy of the corresponding asymptotic formulae for prime numbers. If the admissible intervals for prime numbers are not too little then the density, estimate is powerj this generalizes the known Montgomery - Vanghan's theorem about the exoep-tional set in binary Goldbach problem. The results are based on the multiplicative version of circle method and estimates of trigonometric sums and sums of primitiie characters on prime' numbers. JL X /