Аддитивные задачи с целыми числами из специальных множеств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Мотькина Наталья Николаевна

АДДИТИВНЫЕ ЗАДАЧИ С ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ ИЗ СПЕЦИАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2010

О з [.!АР 2011

4856527

Работа выполнена на кафедре алгебры, теории чисел и геометрии факультета математики и информационных технологий в ГОУ ВПО «Белгородский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Гриценко Сергей Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Журавлев Владимир Георгиевич,

кандидат физико-математических наук Эминян Карапет Мкртичевич

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского»

Защита состоится « 11 » марта 2011 г. в 17 часов на заседании диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет МПГУ, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1

Автореферат разослан « »_0/2~._ 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Муравьева О. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В теории чисел важную роль играют аддитивные задачи. К ним относится задача Лагранжа о представлении натурального числа N в виде суммы четырех квадратов натуральных чисел. Более общую проблему о разрешимости в натуральных числах xi,x2, ■ ■ ■ ,Хк уравнения

+ 4 + + ^ = (1)

называют проблемой Варинга. А задачу о представлении числа N суммой п-ых степеней простых чисел:

p« + pn + ...+pl = N

называют проблемой Варинга-Гольдбаха. Задача о числе решений уравнения

Р1+Р2+Рз = М

— это тернарная проблема Гольдбаха. Задача о числе решений уравнения

pI+pI+pI+pI+pI = n

— задача Хуа Ло-Кена.

Широкий класс аддитивных задач теории чисел решается с помощью кругового метода. Его авторами являются Г. Харди и Дж. Литт-лвуд. В проблеме Варинга, к примеру, число решений уравнения (1) записывается в виде интеграла от бесконечного ряда по окружности. Харди и Литтлвуд разбили окружность интегрирования определенным образом на «большие» и «малые» дуги. На «больших» дугах выделили главный член асимптотической формулы, а на «малых» — оценили соответствующую часть интеграла как о-малое от главного члена.

И.М. Виноградов1 усовершенствовал рассуждения Харди и Литт-лвуда. В круговом методе он заменил бесконечные ряды конечными тригонометрическими суммами, а также использовал разрывный множитель другого типа. Введение тригонометрических сумм существенно упростило метод Харди-Литтлвуда. Разбиение на «большие» и «малые» дуги у Виноградова в идейном плане совпадает с соответствующими разбиениями Харди-Литтлвуда, но в техническом плане схема

Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. —М.: Наука, 1980. Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1983.

значительно упростилась. В результате с помощью кругового метода и метода тригонометрических сумм И.М. Виноградов получил современные оценки в проблеме Варинга, а также полностью решил тернарную проблему Гольдбаха2.

Первоначально классические аддитивные задачи решались без введения ограничений на переменные. Позднее в теории чисел появилась тематика — решение классических аддитивных проблем с переменными, принадлежащими некоторому специальному множеству.

Один из первых вариантов специального множества возник в работах Виноградова. В 1940 г. И. М. Виноградов3 получил асимптотическую формулу для количества простых чисел р, не превосходящих N, с условием

{fp1/c} < а, (2)

где 1 < с, / — действительное число, 0</<1,0<ст<1. Этой задачей занимался Ю. В. Линник4, а позднее Р. М. Кауфман5. С. А. Гриценко в 1988 г. доказал, что для случая / = а = 1/2, 1 < с < 2 в простых числах вида (2) разрешимы тернарная проблема Гольдбаха, проблема Варинга-Гольдбаха6.

Другой известный пример специального множества — множество простых чисел р таких, что

р = [пс] (3)

для некоторого натурального п, нецелого с > 1. Аддитивные задачи с простыми числами такого вида изучались в работах7. В частности, в 1992 г. А. Балог и Дж. Фридлендер8 решили тернарную проблему

Виноградов И.М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел//ДАН СССР. - 1937. - Т. 15. - С. 169-172.

3Виноградов И. М. Некоторое общее свойство распределения простых чисел//Матем. сб. — 1940. -Т. 7, вып. 2. -С. 365-372.

4 Линник Ю. В. Об одной теореме теории простых чисел//ДАН СССР. —1945. -Т. 47. -С. 7-8.

'Кауфман Р. М. О распределении {уф}//Матем. заметки, —1979. —Т. 26, вып. 4. —С. 497-504.

6Гриценко С. А. Тернарная проблема Гольдбаха и проблема Гольдбаха-Варинга с простыми числами, лежащими в промежутках специального вида//'Успехи матем. наук. —1988. —Т. 43, вып. 4 (262). -С. 203-204.

7Пятецкий-Шапиро И. И. О распределении простых чисел в последовательности вида [/(п)]//Матем. сб. -1953. -Т. 33(75), №3. -С. 559-566.

Карадуба А. А. Об одной задаче с простыми числами//ДАН СССР. —1981. — Т. 259. №6. — С. 1291-1293.

KolesniJt G. Primes of the form [nc]//Pati£c J. Math. -1985. -Vol. 118. No. 2. -C. 437-447.

Deshouillers J. M. Sur la repartition des nombres [nc] dans les progressions arithmétiques//Acad. Sc. Paris. -1993. -T. 277. Serie A. -C. 647-650.

8Balog A., PYiedlander J. A hybrid of theorems of Vinogradov and Piatetski-Shapiro//Pacffic J. Math. -1992. -Vol. 156. No. 1. -P. 45-62.

Гольдбаха в простых числах вида (3) при 1 < с < 21/20.

В 2003 г. М. Чанга в работе9 ввел специальное множество простых чисел р таких, что

где I, £> — натуральные числа, I < Б, с > 1 — нецелое число. Со специальными простыми числами вида (4) он решил аддитивные задачи: тернарную проблему Гольдбаха, задачу Хуа Ло-Кена.

В данной диссертации рассматривается задача о распределении простых чисел из специального множества на коротких промежутках, а также аддитивные задачи с числами специального вида. В тексте диссертации введены обозначения: т] — квадратичная иррациональность, а и Ь — произвольные фиксированные действительные числа из отрезка [0,1].

Цель работы.

1. Изучить распределение простых чисел из специального множества на коротких промежутках.

2. Получить приближенные формулы для числа решений аддитивных задач с числами специального вида.

Методы исследования. Работа выполнена на основе теории дзета-функции Римана, кругового метода Харди-Литтлвуда-Рамануджана-Виноградова и метода тригонометрических сумм.

Научная новизна работы. В диссертации представлены доказательства приближенных формул для числа решений некоторых дио-фантовых уравнений с переменными специального вида, получена асимптотическая формула для количества специальных простых чисел на коротких промежутках. Все результаты работы являются новыми.

Положения, выносимые на защиту:

1. В предположении справедливости гипотезы Римана доказательство асимптотической формулы для количества простых чисел р

9Чанга М. Е. Простые числа в специальных промежутках и аддитивные задачи с такими числами//Матем. заметки. -2003. — Т. 73, вып. 3. —С. 423-436.

с условием

{(1/2)^} < 1/2, 1 < с < 2,

на коротких промежутках [ЛГ, N + Н), где Н > е > 0.

2. Вывод приближенной формулы для числа решений уравнения

Рх + Р2 + Рз = N в простых числах р*, I = 1,2,3, таких, что

а < {да} < 6,

где здесь и далее г) — квадратичная иррациональность, а и 6 — произвольные фиксированные действительные числа из интервала [0,1].

3. Получение приближенной формулы для числа решений уравнения

р1 + Р22 + Р1+Р1+Р1 = К

с простыми числами р*, г = 1,2,3,4,5, на которые наложены ограничения вида

а < {г)Р1} < Ь.

4. Доказательство асимптотической формулы для числа решений уравнения

$ + 11 + 11 + 11 = N в целых числах /¡, г = 1,2,3,4, удовлетворяющих условиям

а < {г]Ц} < Ь.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных аддитивным задачам, а также при разработке специальных курсов по теории чисел.

Апробация результатов. Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях:

Международная конференция «Аналитические методы в теории чисел, теории вероятностей и математической статистике», посвященная 90-летию Ю. В. Линника, Санкт-Петербург, 2005 г.

Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов — 2009», Москва, 2009 г.

Российско-китайский симпозиум «Комплексный анализ и его приложения», Белгород, 2009 г.

VII Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященная памяти профессора А.А. Карацубы, Тула, 2010 г.

Публикации. Все результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]—[6]. Из них статьи [1], [2] опубликованы в журналах из списка ВАК РФ. Список публикаций автора приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Список литературы содержит 38 наименований. Общий объем диссертации — 65 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, дается краткий исторический обзор результатов, полученных ранее и связанных с тематикой диссертационной работы, формулируются основные результаты диссертации и приводятся схемы доказательств.

Первая глава диссертации содержит сведения из теории чисел, необходимые при дальнейшем изложении. Основные результаты научной работы сформулированы во 2—5 главах.

Во второй главе рассматривается вопрос распределения на коротких промежутках простых чисел р с условием {(1/2)р1/,с} < 1/2, где 1 < с < 2. Для решения этой задачи мы используем подход Ю. В. Линника4, связанный с применением явной формулы для функции Чебышева и теорем о плотности распределения нулей дзета-функции в критической полосе.

В 1986 г. С. А. Гриценко10 получил асимптотическую формулу для жс(М) — количества простых чисел р таких, что

р^М, {{\12)р11с} < 1/2, 1 < с < 2.

10Гриценко С. А. Об одной задаче И. М. Виноградова//Матем. заметки. —1986. —Т. 39, вып. Я. —С. 025-640.

В результате

(М) = ^+0(Л), (5)

где е > О,

Г М1'3*1'3*', если 1 < с < 4/3,

\ М1"1^!^-!)24', если 4/3 < с < 2

Очевидно, 7ГС(М) — количество простых чисел, не превосходящих М и принадлежащих промежуткам [(2х)с, (2х + 1)с), х = 1,2,.... Отметим, что чем меньше с, тем короче промежутки. По отдельности в каждый из этих промежутков может не попасть даже ни одного целого числа. Из результата С. А. Гриценко видно, что в таких промежутках содержится примерно половина простых чисел.

Если применить метод Линника и вместо плостностных теорем воспользоваться гипотезой Римана, то получить в асимптотической формуле (5) остаточный член лучше, чем 0(М1^2+1^2с+с), без дополнительных соображений не удается.

При Н < ]\[1/2+1/2с, 1 < с < 2 из асимптотической формулы (5) не следует, что на отрезок [747", N+11] попадает хотя бы одно простое число такое, что {(1/2)р^с} < 1/2. В диссертации доказано (теорема 1), что в предположении справедливости гипотезы Римана при Я > простые числа такого вида распределены регулярно на промежутке

[ЛГ.ЛГ + Д].

ТЕОРЕМА 1. Пусть Н > ^1/2+10е1 £ > о. Если верна гипотеза Римана, то справедлива асимптотическая формула

+ я) -МЮ = 1 +

где

•Фс{х) = Л(п),

с — вещественное число, 1 < с < 2.

Заметим, что при с > 2 промежуток [./V, N + Я] оказывается короче промежутков [(2а;)с, (2х + 1)с), определяемых условием {(1/2)р1/с} < 1/2. Поэтому при с > 2 теорема 1 перестает быть справедливой.

В третьей главе рассматривается тернарная проблема Гольдбаха: Р1 + Рг + Рз = N Для достаточно большого нечетного N с простыми числами на которые наложены ограничения вида а < {да} < 6, г = 1,2,3. Основным результатом является теорема 2. В ней /3,1 (Л') — число решений классической проблемы Гольдбаха, ./3,1 (./V) — проблемы Гольдбаха с введенными ограничениями на переменные р¡. Для /зд(Лг) в 1937 г. И.М. Виноградов получил асимптотическую формулу, а именно доказал, что:

ьт ~ щшг П 5^) П (■ - гез) '•

ТЕОРЕМА 2. Для любого фиксированного положительного С справедливо равенство

где

аШ,а,Ь) = V е2™^-^ь»5[п31ТГп{Ь~а).

пзтз

\т |<оо

Заметим, что полученная формула будет асимптотической при большом нечетном N и Ь- а > /тг > 0,42. Если неравенство не выполняется, то мы не можем утверждать, что сумма ряда а, Ь) отлична от нуля.

Опишем схему доказательства теоремы 2. Число решений задачи Гольдбаха представим в виде интеграла

I1830(х)е-ъ"»<1х, Jo

где

р<м

ф(х) — характеристическая функция интервала (а, Ь), продолженная с периодом 1 на всю числовую ось.

Разложив предварительно «сглаженную» функцию ^(я) в ряд Фурье, перейдем к рассмотрению сумм

с(т1)с(т2)с(тз) / 5'(а;-(-т177)5'(х-(-т2Г?)5(а;+тз77)е~2'г"''усга;,

т1,т2,тз ®

J о

где

S(x) = е2™".

p<N

Если mi = тпг = тз = m, то pi

53(ж + гщ)е~2™х!* dx = e2lri,,mN

Jo

Если среди тх,гп2,тз есть два не равных друг другу числа, то допустим, что mi < т2. Сделаем замену t = x + mirj.

Отрезок интегрирования разбиваем на две части: множество точек t, находящихся близко к рациональным числам с малыми знаменателями («большие» дуги Ei), множество остальных точек («малые» дуги Е2). На «малых» дугах известна оценка для На «больших» дугах получаем оценку для |5(< + mri)\, m = m2 — mi. Здесь используем то обстоятельство, что г] — квадратичная иррациональность, и числа t + тг/ хорошо приближаются несократимыми дробями со знаменателями, которые «не слишком малы» и «не слишком велики». Тогда интеграл

pi

S{x + mii])S(x + m2r])S(x + ms^e'^^dx

f

Ja

/о

оценивается как

< 7r(TV)(max\S(t + mrj)\+ шах|S(i)|) «

<^N2\og-cN

и попадает в остаток.

В четвертой главе рассматривается задача Хуа JIo-Кена. Хуа Ло-Кену11 принадлежит доказательство того, что достаточно большое натуральное N, N = 5 (mod 24), представимо суммой квадратов пяти простых чисел: р2 + р2 + + р\ + р2 = N. Число представлений обозначим h,2{N). Хуа Ло-Кен доказал12, что

N3/2

_* JhgNf'

"Hua L. К. Some results in the additive prime number theory//Quart. J. Math. —1938. —9. — P. 68-80.

12Xya Ло-ген. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. —M.: Мир, 1964.

Рассмотрим задачу Хуа JIo-Кена с простыми числами Pi,i = 1,2,3,4,5, такими, что а < {rjp< 6. Обозначим число решений задачи как Л,2(Ю- Приближенная формула для JspiN) приведена в следующей теореме.

ТЕОРЕМА 3. Для достаточно большого натурального N, N = 5 (mod 24), справедлива формула

Jbfi(N) = Ibt(N)s(N,a,b) + 0(N3/2-°>om2),

где

¡mf«x>

При доказательстве теоремы 3, как и при доказательстве теоремы 2, используется круговой метод Харди-Литтлвуда-Рамануджана-Виноградова.

Полученные нами в третьей и четвертой главах диссертации формулы отличаются от асимптотических формул классических задач Гольдбаха и Хуа Ло-Кена в простых числах без ограничений. У нас в главных членах появляются ряды cr(N,a,b), s(N,a,b) специального вида. Изучение свойств этих рядов представляет собой отдельную проблему, которая в данной диссертации не рассматривалась.

В пятой главе рассматривается вариант задачи Лагранжа с целыми числами li, i = 1,2,3,4, удовлетворяющими условию

а < {rik} < Ъ.

Результатом является теорема 4. Число решений задачи Лагранжа обозначено I{N). Известно, что13

00 1

I(N) = 7t2N £4 Е Slae~2*iNa/Q + 0(N"'l8+e),

9=1 '

(a,?)=l

где

S(q,a)= £ J™?1"

Kj^q

— сумма Гаусса. Число решений задачи Лагранжа с рассматриваемыми нами целыми числами обозначено J(N).

13Kloosterman Н. D. On the representation of numbers in the form ax2 + by1 + cz2 + dt2//Pict& mathcmatica. -1926. -49. -P. 407-464.

ТЕОРЕМА 4. Для любого положительного малого е справедлива формула

J(N) = (Ъ- а)Ч{Ы) + 0{№'9+£).

В 1926 г. X. Клоостерман12 рассмотрел обобщение задачи Лагран-жа. Он нашел асимптотическую формулу для количества представлений числа N диагональной квадратичной формой с четырьмя целыми переменными. Число решений задачи представляется в виде интеграла. Идея Клоостермана состоит в том, что промежуток интегрирования он разбивал на дуги посредством дробей Фарея. Дуги, получаемые таким способом, «равноправны», они не делятся на «большие» и «малые». Далее Клоостерман оценивал тригонометрические суммы специального вида, названные позднее суммами Клоостермана. При доказательстве теоремы 4 мы, в основном, следовали схеме Клоостермана12.

Опишем схему доказательства теоремы 4. Характеристическую функцию ф(х) интервала (а, Ь) продолжим периодически на всю числовую ось. Пусть

00

5(/3) = £ е^'^Ш), /=-00

тогда

Jo

Разложим предварительно «сглаженную» функцию ^(х) в ряд Фурье. В результате получим суммы вида

^Г с(т1)с(ш2)с(тз)с(т4)х

т1,т2,тэ,т4

х /15(/3,т1)5(/?,Ш2)5(/?,тз)5(/?,т4)е-2^Сг/?! (6) ./о

где

00 1=-00

При тп\ = тг = тз = — 0 получим главный член асимптотической формулы. Для остальных наборов (т1,т2,тз,ггц) в сумме

S(P,m) представим /3 в виде

/? = - + </, (d,9) = l, г = [уЩ, Ы<—.

д qr

Введем обозначение t = 2y + i/(irN). После применения функционального уравнения для тета-функции имеем

1 00 7Гг

т^ = JqTt ^ еХр(-~^П ~ d■")'

где £ — некоторое значение v'T, S(?,d,n)=

KKg

— сумма Гаусса. Подставим полученное для 5"(/?, т) выражение в формулу (6).

Пусть d"/q", d/q, d'/q' — соседние дроби Фарея такие, что d" id ,

Тогда

f 5(/3, mJStf, m2)S(f3, m3)S(p, rn4)e-2*mdp = Jo

1 T - --1 1 00 00 00

E E E *

9=1 ili+T7) П1 = -ООП2 = -ООТ!з=—00

00

x Np e-5i((ni-ml);g)2+(n2-m2w)J+(n3-m3i;?)2+(n4-m4i/5)J)>< П4=-00

X S(q,d,nl)S(q,d)n2)S{q,d,n3)S(q,d,ni)e-2l'idN/4y. (d,q)=1

Пользуясь точными значениями сумм Гаусса14 и оценкой А. Вейля15 суммы Клоостермана, получим неравенство

J2 S(q, d, d, n2)S(q, d, n3)S(q, tf, гц)е~3*шЬ «

M=1

"Estermann T. On Kloosterman's sum//Mathematica. -1961. -g. -P. 83-86. lsWeil A. On some exponential sums//Proc. Nat. Acad, of Sci. -1948. -34. -P. 204-207.

При доказательстве теоремы 4 нам приходится оценивать тригонометрические суммы вида 00

п=-оо

которых не было в работе Клоостермана12, Отдельную сложность доставляет оценка суммы (7), когда í и 9 «маленькие». В этом случае выделяем слагаемые, у которых п — тпщ — ЦтптудЦ. Поскольку т] — квадратичная иррациональность, ее можно представить в виде

А 1

При выборе С} х №'3 выполняется неравенство

\\тя\\ = +

поэтому существует к > О

ехр(-^(п - тпщ)2) < е~ш'.

Откуда следует нужная оценка для суммы (7). Для остальных п таких, что п—тщ ф рассуждения проводим по схеме Клоостермана12.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Мотькина Н. Н. О простых числах специального вида на коротких промежутках // Математические заметки. — 2006. — Т. 79. — Вып. 6. — С. 908-912. — 0.31 п.л.

2. Мотпъкина Н. Н. О некоторых аддитивных задачах теории чисел / С. А. Гриценко, Н. Н. Мотькина // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия Математика. Физика. — 2010. — № 5 (76). — Вып. 18. — С. 83-87. — 0.31 п.л. (авторский вклад 50%)

3. Мотькина Н. Н. Об одном варианте тернарной проблемы Гольдбаха / С. А. Гриценко, Н. Н. Мотькина // Доклады АН Республики Таджикистан. - 2009. - Т. 52. - № 6. - С. 413-417. - 0.31 п.л. (авторский вклад 50%)

4. Мотькина Н. Н. Задача Хуа Ло-кена с простыми числами специального вида / С. А. Гриценко, Н. Н. Мотькина // Доклады АН Республики Таджикистан. — 2009. — Т. 52. — № 7. — С. 497-500. — 0.25 п.л. (авторский вклад 50%)

5. Мотькина Н. Н. Аддитивные задачи с числами специального вида // Тезисы докладов секции «Математика и механика» Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломо-носов-2009». — М.: Механико-математический факультет МГУ, 2009. — С. 47-48. - 0.13 п.л.

6. Мотькина Н. Н. Арифметические задачи с числами специального вида // Материалы VII Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященной памяти профессора А.А. Карацубы. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого. - 2010. - С. 138-141. - 0.25 п.л.

Заказ № 11

Подп. к печ. 21.01.2011 Объем 1 п.л.

Типография МПГУ

Тир 100 экз.

Обозначения

Введение.

Глава 1. Вспомогательные утверждения

Глава 2. О простых числах специального вида на коротких промежутках.

Глава 3. Вариант тернарной проблемы Гольдбаха

Глава 4. Задача Хуа Ло-Кена с простыми числами специального вида

Глава 5. О числе решений уравнения Лагранжа в целых числах специального вида

В теории чисел важную роль играют аддитивные задачи. Это задачи о представлении натурального числа суммой слагаемых заданного вида.

В 1742 г. в письме к Л. Эйлеру X. Гольдбах высказал гипотезу, что каждое нечетное число, большее пяти, может быть представлено в виде суммы трех простых чисел. В ответ Л. Эйлер предположил, что четное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел. Эти задачи получили названия соответственно тернарная и бинарная проблемы Гольдбаха.

В 1770 г. Ж. Лагранж доказал, что каждое натуральное число есть сумма не более четырех квадратов натуральных чисел (задача Лагранжа). В этом же году Э. Варинг высказал более общую гипотезу о том, что при любом целом п ^ 3 найдется к — к(п) такое, что всякое натуральное N может быть представлено в виде + = (1) где х\, Х2, ■ ■ ■, Хк — натуральные числа. Эта гипотеза получила название проблемы Варинга. А задачу о представлении числа N суммой п-ых степеней простых чисел: + = (2) где п ^ 1, к ^ 2, называют проблемой Варинга-Гольдбаха.

Первое общее решение проблемы Варинга в 1909 г. дано Д. Гильбертом [1]. Он доказал, что при любом целом п ^ 4 существует к = к(п), для которого число решений уравнения (1) положительно при любом N ^ 1.

В 1928 г. Г. Харди и Дж. Литтлвуд [2], применив свой круговой метод [3]-[6], получили асимптотическую формулу для числа решений проблемы

Варинга при к порядка п2п~1. Число решений уравнения (1) записывается в виде интеграла от бесконечного ряда по окружности. Харди и Литтлвуд разбили окружность интегрирования определенным образом на «большие» и «малые» дуги. На «больших» дугах выделили главный член асимптотической формулы, а на «малых» — оценили соответствующую часть интеграла как о-малое от главного члена. Тем самым, Харди и Литтлвуд получили новое решение проблемы Варинга, в форме более точной, чем у Гильберта. С помощью кругового метода они также дали условный вывод асимптотической формулы для тернарной проблемы Гольдбаха [2], выписали гипотетические формулы для количества решений большого числа уравнений с простыми числами [5].

В 1924 г. И. М. Виноградов усовершенствовал рассуждения Харди и Литт-лвуда [7]. В круговом методе он заменил бесконечные ряды конечными тригонометрическими суммами, а также использовал разрывный множитель другого типа. Введение тригонометрических сумм существенно упростило метод Харди-Литтлвуда. Разбиение на «большие» и «малые» дуги у Виноградова в идейном плане совпадает с соответствующими разбиениями Харди-Литтлвуда, но в техническом плане схема значительно упростилась.

И. М. Виноградов предложил два новых метода оценок тригонометрических сумм [8]-[10]. С помощью первого метода (1934 г.), в основе которого лежит теорема о среднем, он получил оценки сумм Г. Вейля, значительно более точные, чем методом ван дер Корпута. Это дало возможность Виноградову доказать, что для числа решений проблемы Варинга асимптотическая формула Харди-Литтлвуда справедлива при к порядка п2 к^ п. и уравнение (1) разрешимо для всех достаточно больших N при числе слагаемых к порядка 7гlogn. Второй метод (1937 г.) позволил найти нетривиальные оценки тригонометрических сумм по простым числам. С помощью этой оценки и кругового метода Виноградов полностью решил тернарную проблему Гольдбаха [11].

Первоначально классические аддитивные задачи решались без введения ограничений на переменные. Позднее в теории чисел появилась тематика — решение классических аддитивных проблем с переменными, принадлежащими некоторому специальному множеству.

Один из первых вариантов специального множества возник в работах Виноградова [10], [12]. В 1940 г. И. М. Виноградов получил асимптотическую формулу для количества простых чисел р, не превосходящих с условием где 1 < с, / — действительное число, 0</<1,0<сг<1. Этой задачей занимался Ю. В. Линник [13], а позднее Р. Кауфман [14], С. А. Гриценко [15]. С. А. Гриценко также рассмотрел аддитивные задачи с простыми числами такого вида. В 1988 г. он доказал, что для случая / = <т = 1/2,1<с<2в простых числах вида (3) разрешимы тернарная проблема Гольдбаха, проблема Варинга-Гольдбаха [16].

Другой известный пример специального множества — множество простых чисел р таких, что для некоторого натурального п, нецелого с > 1. Аддитивные задачи с простыми числами такого вида изучались в работах [17]-[20]. В частности, в 1992 г. А. Балог и Дж. Фридлендер [21] решили тернарную проблему Гольдбаха в простых числах вида (4) при 1 < с < 21/20.

В 2003 г. М. Чанга в работе [22] ввел специальное множество простых чисел р таких, что

3)

4) где I, И — натуральные числа, I < И, с > 1 — нецелое число. Со специальными простыми числами вида (5) он решил аддитивные задачи: тернарную проблему Гольдбаха, частный случай проблемы Варинга-Гольдбаха — задачу Хуа Ло-Кена (к = 5, п = 2).

Первая глава диссертации содержит сведения из теории чисел, необходимые при дальнейшем изложении. Основные результаты научной работы сформулированы во 2—5 главах.

Во второй главе рассматривается вопрос распределения иа коротких промежутках простых чисел р с условием {(1/2)р1//с} < 1/2, где 1 < с < 2. Для решения этой задачи мы используем подход Ю. В. Лршника [13], связанный с применением явной формулы для функции Чебышева и теорем о плотности распределения нулей дзета-функции в критической полосе.

В 1986 г. С. А. Гриценко [15] получил асимптотическую формулу для 7гс(М) — количества простых чисел р, р ^ М, с условием {(1/2)р1/с} < 1/2, 1 < с < 2. тгс(м) = ^ + о(д), (6) где е > О, М^2+^2с+£, если 1 < с ^ 4/3, " | если 4/3 < с ^ 2 Очевидно, 7тс{М) — количество простых чисел, ие превосходящих М и принадлежащих промежуткам [(2ж)с, (2х + 1)с), х = 1, 2,Отметим, что чем меньше с, тем короче промежутки. По отдельности в каждый из этих промежутков может не попасть даже ни одного целого числа. Из результата С. А. Гриценко видно, что в таких промежутках содержится примерно половила простых чисел.

Если применить метод Линника и вместо плотностных теорем воспользоваться гипотезой Римана, то получить в асимптотической формуле (6) остас точный член лучше, чем 0(М1/2+1/2с+£), без дополнительных соображений не удается.

При Н < ^1/2+1/2с, 1 < с ^ 2 из асимптотической формулы (6) не следует, что на отрезок [ЛГ, N + 11] попадает хотя бы одно простое число такое, что {(1/2)р1/,с} < 1/2. В диссертации доказано (теорема 1), что в предположении справедливости гипотезы Римана при Н > N1/2+10£ простые числа такого вида распределены регулярно на промежутке [ЛГ, N + 11].

Теорема 1. Пусть Н > л/^/з+ю^ £ > 0. Если верна гипотеза Римана то справедлива асимптотическая формула

Фс{№ + Я) - = | (1 + О > где

Фс(х) = Л(п)'

Ь1/с}<! с — вещественное число, 1 < с ^ 2.

Заметим, что при с > 2 промежуток [Л/", N + 11] оказывается короче промежутков [(2ж)с, (2х + 1)с), определяемых условием {(1/2)р1^0} < 1/2. Поэтому при с > 2 теорема 1 перестает быть справедливой.

Далее, в диссертации приведены решения аддитивных задач с ограничениями на переменные. Везде в дальнейшем тексте полагаем, что г\ — квадратичная иррациональность, а,Ь — произвольные фиксированные действительные числа, 0 ^ а < Ь ^ 1.

В третьей главе рассматривается тернарная проблема Гольдбаха: Р1+Р2 + р3 = N для достаточно большого нечетного N с простыми числами р{, на которые наложены ограничения вида а < {г]р{\ < Ь, г = 1,2,3. Основным результатом является теорема 2. В ней /зд (Лг) — число решений классической проблемы Гольдбаха, J31 (N) — проблемы Гольдбаха с введенными ограничениями на переменные р;. Для h,i(N) в 1937 г. И.М. Виноградов получил асимптотическую формулу, а именно доказал, что: w - П 0 + (fhу) п (i - ¿п^+з) ■

ТЕОРЕМА 2. Для любого фиксированного положительного С справедливо равенство

ЫЮ = a, b) + 0(N2 log-c N), где o{N, a, b) — У 62^iy-i,5(a+b))Sin37nri(b -a) то|<оо

Заметим, что полученная формула будет асимптотической при большом нечетном N и b — a > у/2С(3)/п > 0,42. Если неравенство не выполняется, то мы не можем утверждать, что сумма ряда <r(iV, a, 6) отлична от нуля.

Опишем схему доказательства теоремы 2. Число решений задачи Гольдбаха представим в виде интеграла

J3,i(iV)= I' Sl(x)e-2™Ndx,

J о где

Р<ЛГ х) — характеристическая функция интервала (а, 6), продолженная с периодом 1 на всю числовую ось.

Разложив предварительно «сглаженную» функцию в ряд Фурье, перейдем к рассмотрению сумм

У^ с(т1)с(т2)с(тз) / + 771177) й1 (я + 771277)5(ж + П12,г])е~2тхН ¿х, т.1,тп2,т3 f

Jo p<N

Если mi = 7712 — тЪ — ш, TO

S3(x + mrf)e~2nixN dx = e2™'mNI3A (N). 0

Если среди mi, m2, Г77з есть два не равных друг другу числа, то допустим, что mi < 7772- Сделаем замену t = х + гп\Т].

Отрезок интегрирования разбиваем на две части: множество точек находящихся близко к рациональным числам с малыми знаменателями («большие» дуги Е\), множество остальных точек («малые» дуги .£2). На «малых» дугах известна оценка для |<i>(£)|. На «больших» дугах получаем оценку дня |S(t + 777,77)j, m = 7712 — mi. Здесь используем то обстоятельство, что 77 — квадратичная иррациональность, и числа t+mrj хорошо приближаются несократимыми дробями со знаменателями, которые «не слишком малы» и «не слишком велики». Тогда интеграл »1

S(x + mi 77)5 (ж + m2rj)s(x + m3r])e~2lTixNdx

J о 0 оценивается как

7r(iV)(max\S(t + mrj)\ + max\S(t)\) < t&Ei t€E2

C N2 log~c N и попадает в остаток.

В 1938 г. Хуа JIo-Кен доказал [23], что достаточно большое натуральное TV, N = 5 (mod 24), представимо суммой квадратов пяти простых чисел: Pi + Р2 + Рз + Ра + Ръ — N (задача Хуа Ло-Кена). Число представлений обозначим /5i2(N). Хуа показал [24], что дгЗ/2 (log TV)5 10

В главе 4 рассматривается задача Хуа JIo-Кена с простыми числами Pi такими, что а < {r]p2} < b, i = 1, 2, 3,4,5. Число решений задачи обозначено как •h,2{N). Приближенная формула для J^^iN) приведена в следующей теореме.

ТЕОРЕМА 3. Для достаточно большого натурального N, N = 5 (mod 24), справедлива формула

При доказательстве теоремы 3, как и при доказательстве теоремы 2, используется круговой метод Харди-Литтлвуда-Виноградова.

Полученные нами в третьей и четвертой главах диссертации формулы отличаются от асимптотических формул классических задач Гольдбаха и Хуа Ло-Кена в простых числах без ограничений. У нас в главных членах появляются ряды <т(Л^, а, й), ¿(ТУ, а, Ь) специального вида. Изучение свойств этих рядов представляет собой отдельную проблему, которая в данной диссертации не рассматривалась.

В пятой главе рассматривается вариант задачи Лагранжа с целыми числами ¿¿, удовлетворяющими условию а < {г}1{} < Ь, г = 1,2, 3,4. Результатом является теорема 4. Число решений задачи Лагранжа обозначено /(-/V). Известно, что [25]

•МN) = ISi2(N)s(N, а, Ъ) + 0(./V3/2-0'00002), где

ОО 1

I(N) — tt2N ^Г^ -j S^ae~2niNa/q + 0(TV17/18+e) 1 q—1 ^ 1<n<n где

S(qia) = e2niaj2/q сумма Гаусса. Число решений задачи Лагранжа с рассматриваемыми нами целыми числами обозначено J{N).

ТЕОРЕМА 4. Для любого положительного малого е справедлива формула

В 1926 г. X. Клоостерман рассмотрел обобщение задачи Лагранжа. Он нашел асимптотическую формулу для количества представлений числа N диагональной квадратичной формой с четырьмя целыми переменными [25]. Число решений задачи представляется в виде интеграла. Идея Клоостермана состоит в том, что промежуток интегрирования он разбивал на дуги посредством дробей Фарея. Дуги, получаемые таким способом, «равноправны», они не делятся на «большие» и «малые». Далее Клоостерман оценивал тригонометрические суммы специального вида, названные позднее суммами Клоостермана. При доказательстве теоремы 4 мы, в основном, следовали схеме Клоостермана [25].

Опишем схему доказательства теоремы 4. Характеристическую функцию ф(х) интервала (а, Ъ) продолжим периодически на всю числовую ось. Пусть

Разложим предварительно «сглаженную» функцию ф(х) в ряд Фурье. В результате получим суммы вида

7(Д0 = (6 - а)4/(Л0 + 0(№>9+е). оо

509) = £ е^'-^фМ, тогда 1 тп1,т2,т3,тп4 1

X) I— — оо

При Ш1 = ГП2 = тз = 777.4 = 0 получим главный член асимптотической формулы. Для остальных наборов (7711,7712, тз, 7714) в сумме т) представим /3 в виде

3 = - + у, (<*,</) = 1, г = [\ZiVj, \у\<—.

9 ЯТ

Введем обозначение £ = 2у + г/(ттЫ). После применения функционального уравнения для тета-функции имеем

1 7Г2

5(/?,т) = —^ ехр(-^(п-тт7д)2)5(д,сг,7г), * п=—сю где £ — некоторое значение л^Т, сумма Гаусса. Подставим полученное для ¿> (/?, т) выражение в формулу

7).

Пусть с1"/д", с/'/д' — соседние дроби Фарея такие, что а" а в! ,

-<-<-, т < д + д', д + д" < т + д. д" д д'

Тогда

5(/3, то2)5(/?, т3)5(А т^е"2**"^

1 Г й1- 1 оо оо ОС ± V* — / ) р-2тгч/ЛГ^ ^ ^ С4 I1¿2 2-^1

Ц — \ ч(д+9") 711 = —ОО П2 = —ОО Пз = —о оо £ X оо оо х ^^ е-^((т-"г17?9)2+(п2-т27?д)2+(пз-тз77д)2+(п4-т477д)2) х Пц = — ОО

Пользуясь точными значениями сумм Гаусса и оценкой А. Вей ля суммы Клоостермана [26], [27], получим неравенство

5(д, с1, щ)5(д, й, п2)5(д, Ъ п3)Б(д, 6, п4)е-27Г^ « д5/2т(д)(Л^, д)1/2. 1

При доказательстве теоремы 4 нам приходится оценивать тригонометрические суммы вида оо ехР(-^1>(п-т77?)2), (8) п——оо которых не было в работе Клоостермана [25]. Отдельную сложность доставляет оценка суммы (8), когда ¿ид «маленькие». В этом случае выделяем слагаемые, у которых п — тщ = ЦтгудЦ. Поскольку г] — квадратичная иррациональность, ее можно представить в виде

Л 1

При выборе д х лг0'3 выполняется неравенство поэтому существует /с > О

7гг „-км ехр(-—^(п - тщ) ) <С е сд

Откуда следует нужная оценка для суммы (8). Для остальных п таких, что п — тщ ф рассуждения проводим по схеме Клоостермана из [25].

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах автора [1]-[6].

1. D. Hilbert Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem)//Math. Annalen.—1909.— 67.-P. 281-300.

2. Hardy G. Collected papers of G. H. Hardy, including joint papers with J. E. Littlewood and others, ed. by a committee appointed by the London Mathematical Society, vol. I. Oxford: Clarenon Press, 1966.

3. Hardy G.H., Littlewood J.E. A new solution of WaringYs problem, Quart. J. Math., 48, (1919), 272Ц293.

4. Hardy G.} Littlewood J. Some problems of "Partitio Numerorum": I A new solution of Waring's problem//Göttingen nachrichten. —1920. —P. 33-54.

5. Hardy G., Littlewood J. Some problems of "Partitio Numerorurn": III On the expression of a number as a sum of primes// Acta. Math. —1923. —44. — P. 1-70.

6. Hardy G., Littlewood ,J. Some problems of "Partitio Numerorum": V A further contribution to the study of Goldbach's problem//Proc. Lond. Math. Soc. -1923. -(2) 22. -P. 46-56.

7. Виноградов И. M. Sur un theoreme general de Waring //Матем. сб. -19221924. -Т. 31. -С. 490-507. Рез. на рус. яз.

8. Виноградов И. М. Избранные труды. —М.: Изд. АН СССР, 1952.

9. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. —М.: Наука, 1980.1.. Виноградов И. M. Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1983.

10. Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел//ДАН СССР. -1937. -Т. 15. -С. 169-172.

11. Виноградов И. М. Некоторое общее свойство распределения простых чи-сел//Матем. сб. -1940. -Т. 7, вып. 2. -С. 365-372.

12. Линник Ю. В. Об одной теореме теории простых чисел//ДАН СССР. — 1945. -Т. 47. -С. 7-8.

13. Кауфман Р. М. О распределении {.^/р}//Матем. заметки. —1979. —Т. 26, вып. 4. -С. 497-504.

14. Гриценко С. А. Об одной задаче И. М. Виноградова//Матем. заметки. — 1986. -Т. 39, вып. 5. -С. 625-640.

15. Гриценко С. А. Тернарная проблема Гольдбаха и проблема Гольдбаха-Вариига с простыми числами, лежащими в промежутках специального вида//Успехи матем. наук. -1988. -Т. 43, вып. 4 (262). -С. 203-204.

16. Пятецкий-Шапиро И. И. О распределении простых чисел в последовательности вида /(п)]//Матем. сб. -1953. -Т. 33(75), №. -С. 559-566.

17. Карацуба А. А. Об одной задаче с простыми числами//ДАН СССР. — 1981. Т. 259. №6. -С. 1291-1293.

18. Kolesnik G. Primes of the form nc]//Pacific J. Math. -1985. -Vol. 118. No. 2. -C. 437-447.

19. Deshouillers J. M. Sur la repartition dey nombres rf] dany les progressions arithmétiques//Acad. Sc. Paris. -1993. -T. 277. Serie A. -C. 647-650.

20. Balog A., Friedlander J. A hybrid of theorems of Vinogradov and Piatetski-Shapiro//Pacific Л. Math. -1992. -Vol. 156. No. 1. -P. 45-62.

21. Чанга M. E. Простые числа в специальных промежутках и аддитивные задачи с такими числами//Матем. заметки. —2ППЗ. — Т. 73, вып. 3. — С. 423-436.

22. Ниа L. К. On the representation of numbers as the sum of powers of primes// Math. Z. -1938. -44. -P. 335-346.

23. Хуа Ло-геп. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. —М.: Мир, 1964.

24. Kloosterman Н. D. On the representation of numbers in the form ax2 -f by2 -f cz2 + dt2//Acta mathematica. -1926. -49. -P. 407-464.

25. Weil A. On some exponential sums//Proc. Nat. Acad, of Sci. —1948. —34. — P. 204-207.

26. Estermann T. On Kloosterman's sum//Mathematica. —1961. —8. —P. 8386.

27. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. —М.: Наука, 1983. — 240 с.

28. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. —М.: Наука, 1975.

29. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. —М.: ИЛ, 1953. —408 с.

30. Бухштаб А. А. Теория чисел. —М.: Просвещение, 1966. —384 с.

31. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. —М.: Физмат-лит, 1994. -376 с.

32. Вон Р. Метод Харди-Литтлвуда. —M.: Мир, 1985. —184 с.

33. Хуа Л.-К. Аддитивная теория простых чисел. —М.: Изд. АН СССР. — 1947. -Т. 22.

34. Мардоюанишвили К. К. Оценка одной арифметической суммы//Докл. АН СССР. -1939. -Т. 22. №1. -С. 391-393.

35. Мамфорд Д. Лекции о тета-фуикциях. —Новокузнецк: ИО НФМИ. — 1998. -440 с.

36. Hua Loo-Keng. Introduction to number theory, Springer, 1982.

37. Estermann T.A new application of the Hardy-Littlewood-Kloosterman method//Proc. London Math. Soc. -1962. —12. -P. 425-444.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

38. Мотькина H. Н. О простых числах специального вида на коротких промежутках // Матем. заметки. -2006. -Т. 79. -Вып. 6. -С. 908-912.

39. Мотькина H. Н. Об одном варианте тернарной проблемы Гольдбаха / С. А. Гриценко, H. Н. Мотькина // Доклады АН Республики Таджикистан. — 2009. -Т. 52. 6. -С. 413-417.

40. Мотькина H. Н. Задача Хуа Ло-кена с простыми числами специального вида / С. А. Гриценко, H. Н. Мотькина // Доклады АН Республики Таджикистан. -2009. -Т. 52. 7. -С. 497-500.

41. Мотъкина Н. Н. О некоторых аддитивных задачах теории чисел / С. А. Гриценко, Н. Н. Мотъкина // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия Математика. Физика. —2010. —№ 5 (76). Вып. 18. -С. 83-87.