Принципы мажорации и конформные отображения в неравенствах для полиномов и рациональных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

УДК 517.54

Калмыков Сергей Иванович

ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ И КОНФОРМНЫЕ

ОТОБРАЖЕНИЯ В НЕРАВЕНСТВАХ ДЛЯ ПОЛИНОМОВ И РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01. — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ . г

1 5 ОПТ 7"

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток - 2009

003479872

Диссертация выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Института математики и компьютерных наук Дальневосточного государственного университета и в Институте прикладной математики ДВО РАН.

Научный руководитель: член-корреспондент РАН,

профессор Дубинин В. Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Лукашов А. Л.

кандидат физико-математических наук, О лесов А. В.

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение

Математического института им. В. А. Стеклова РАН

Защита состоится 22 октября 2009 г. в 11:30 на заседании диссертационного совета ДМ 212.056.11 при Дальневосточном государственном университете по адресу: г. Владивосток, ул. Октябрьская, 27, ауд. 343.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета.

Автореферат разослан /1 сентября 2009

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

А. Ю. Чеботарев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Практически каждая ветвь математики в той или иной степени касается изучения полиномов. Диффернциаль-ные неравенства для полиномов и рациональных функций восходят к работам A.A. Маркова и С.Н. Бернштейна. Они неоднократно передоказывались и обобщались в разных направлениях. Обобщения касались различных классов алгебраических, тригонометрических полиномов, алгебраических дробей и рационально - тригонометрических функций. Значимый вклад в изучение экстремальных свойств полиномов, рациональных функций и их обобщений внесли Н.И. Ахиезер, С.Н. Берн-штейн, A.A. Марков, Р. Боас, B.C. Виденский, Т.Г. Генчев, К. И. Рахман, В.Н. Русак, Г. Полна, Г. Сеге, П. Туран, П.Л. Чебышев, И. Шур, П. Эр-деш.

В последнее время большое внимание уделяется неравенствам берн-штейновского типа для алгебраических и тригонометрических полиномов и рациональных функций на нескольких отрезках.

Актуальность исследований такого рода подтверждает большое количество публикаций на заданную тему. Отметим работы А. Азиза, В.В. Арестова, П. Борвейна, А.К. Вармы, Н.К. Говила, В.Н. Дубинина, А. Еременко, М.А. Казн, Ксина Ли, А.Л. Лукашова, М.А. Малика, Г.В. Ми-ловановича, Д. Мина, Р.Н. Мохапатры, A.B. Олесова, A.A. Пекарского, Ф. Пехерстофера, В. Тотика, Т. Шейл-Смолла, Т. Эрдейи. Общее представление о состоянии теории полиномов можно составить по недавним монографиям К. И. Рахмана и Г. Шмайссера 1 и Т. Шейл-Смолла 2

Вместе с тем, методы геометрической теории функций недостаточно полно представлены в литературе. В частности, имеется лишь небольшое число работ по применению конформных и однолистных отображений,

'Rahman Q.I., Schraeisser G. Analytic theory of polynomials. Oxford: Oxford University. Press. 2002. 742 p.

2Sheil-Small T. Complex polynomials. Cambridge: Cambridge University Press. 2002. 428 p.

а также принципов мажорации в теории полиномов. Развитие этого направления открывает новые возможности и представляется перспективным для изучения экстремальных свойств полиномов и рациональных функций.

Цели работы.

1. Развить новые подходы к получению неравенств для полиномов и рациональных функций, основаные на теории потенциала и геометрической теории функций комплексного переменного.

2. Получить новые неравенства для полиномов с заданными ограничениями на одном и двух отрезках вещественной оси.

3. Доказать теоремы бернштейновского типа для рациональных функций на нескольких отрезках. Исследовать случаи равенства в полученных оценках.

Методика исследования. В работе используются общие методы математического анализа и геометрической теории функций комплексного переменного.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Установлен новый принцип мажорации для мероморфных функций с приложениями для полиномов и рациональных функций. Даны новые приложения теории конформных и однолистных отображений к неравенствам для полиномов с ограничениями.

2. Для алгебраических полиномов с криволинейными мажорантами на одном и двух отрезках получены новые неравенства, обобщающие и дополняющие соответствующие результаты С.Н. Бернштейна, Н.И. Ахи-езера, И. Шура, П. Борвейна, М.А. Лаченса, В.П. Дубинина, А. В. Оле-сова.

3. Доказаны новые теоремы о производных рациональных и рационально - тригонометрических функций на нескольких отрезках, уточняющие некоторые результаты A.JI. Лукашова и обобщающие неравенства С.Н. Бернштейна - Г.Сеге, B.C. Виденского, В.Н. Русака, М. Барана -В. Тотика и других математиков.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в Казанском, Саратовском, Дальневосточном, Ростовском государственных университетах, а также в институтах ПОМИ РАН и ИПМ ДВО РАН при решении экстремальных задач геометрической теории функций, задач теории аппроксимации и других задач математического анализа.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены в научных докладах на Дальневосточной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию (Владивосток, 2004), на Дальневосточных математических школах-семинарах имени академика Е.В. Золотова (Хабаровск, 2005, 2009, Владивосток 2006-2008), на XLIV Международной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2006), на Международных конференциях APRU Doctoral students conference (Tokyo, 2007, Vladivostok, 2008), International conference on applied mathematics and approximation theory (Memphis, USA, TN, 2008), Computational methods and function theory (Ankara, Turkey, 2009), на семинарах по геометрической теории функций и функциональному анализу ИМКН ДВГУ (руководители: профессор В.Н. Дубинин, профессор H.H. Фролов).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 научные работы и 11 тезисов докладов. Две работы выполнены в соавторстве, где В.Н. Дубинину принадлежит постановка задач и общее руководство.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Компьютерный набор выполнен с использованием пакета ВД^Х. Общий объем диссертации 90 страниц. Библиография включает 120 наименований.

Содержание работы

Перейдем к детальной характеристике диссертационной работы, сохраняя при этом нумерацию разделов, формул и утверждений, принятую в тексте.

. Во введении излагается предмет исследования диссертации' и цели, а также сформулированы основные результаты диссертации.

Первая глава диссертации посвящена в основном новому принципу мажорации для мероморфных функций, его различным следствиям, а также вспомогательным сведениям из теории аналитических функций.

В параграфе 1.1 сформулирован и доказан принцип мажорации для мероморфных функций. Для данной области Б, имеющей классическую функцию Грина, набора точек {гк}™=1 , £ О с Сг, к = 1 ,...,то, и вещественного числа г > 0 введем обозначение

-,гт) = : > г| .

Пусть /(Б) = . Будем говорить, что функция - / осуществляет полное т -кратное накрытие области С областью Б, если любая последовательность точек 2ц е Л, стремящаяся к дБ, переходит в последовательность точек , стремящуюся к <9С? , и каждой точке и> б соответствует ровно т прообразов в области Б.

Теорема 1:1. Пусть области Б и С имеют классические функции Грина, I) С С2 , оо £ С? С . Предположим, что функция / является мероморфной в области Б , имеет по крайней мере один полюс в Б и удовлетворяет условию /{дБ) с дО {т.е. при стремлении точки г к границе области Б все предельные'значения функции /(г) принадлежат границе б). Тогда для любого положительного г справедливо включение '

/(Бг(г1,...,гт))\/{дБг(г1,...,гт)) □ Сг(оо),

где 21,...,г„1 - полюсы функции / в области Б, каждый из которых учитывается столько раз, каков его порядок.

Далее пусть г - произвольное, фиксированное положительное число.. Равенство имеет место в том и только толь случае, когда ¡(Б) = С и / осуществляет полное т -кратное накрытие области в областью Б.

В качестве следствия этой теоремы отметим утверждение К. До-чева. Если полином P(z) = cnzn + ... + со, сп ф 0, с вещественными коэффициентами к = 0,1,..., п , нормирован условиями гааx{P(z) : z £ [—1,1]} = — тт{Р(г) : z € [—1,1]} = 1, то для любого р> 1 образ эллипса \z — 1| + \z + 1| = р + 1/р при отображении w = Р(г) лежит внутри эллипса \из — 1| + \w +1| = рп + 1/рп • Здесь экстремальным является случай, когда P{z) совпадает с полиномом Чебышева первого рода Tn(z), который п-кратно покрывает второй эллипс первым. К. Дочев получил указанный результат путем оригинального исследования соответствующих тригонометрических полиномов. Можно показать, что из этого утверждения в свою очередь вытекают классические неравенства П.Л. Чебышева, A.A. Маркова и С.Н. Бернштейна.

Следствие 1.1. Пусть в условиях теоремы точка■ z0 g D является полюсом функции f порядка п , в окрестности которого справедливо разложение

где суммирование производится по всем полюсам zk функции f , лежащим в области D , отличным от zq , и с учетом порядка, a r(fl, а) означает внутренний радиус области П относительно точки а .

Данная оценка ранее была доказана И.П. Митюком.

Следствие 1.2. Если в условиях теоремы 1.1 область D имеет на своей границе открытую аналитическую дугу Жордана 7 , а область G имеет на своей границе такую же дугу Г, функция / аналитически продолжима на дугу 7 , /(7) с Г и положительной ориентации на дуге 7 соответствует положительная ориентация на Г, то для

/(г) = с(г — го) " + ..., когда го конечно и /(г) = сгп + ... при го = оо , с ф 0. Тогда имеет место неравенство

любой точки z G 7 справедливо неравенство

I @9g(/(z)> -A dgD{z,zk)

fc=i

где означает дифференцирование вдоль внутренней нормали к соответствующей граничной дуге.

Равенство для любой точки z € 7 достигается тогда и только тогда, когда f{D) = G и f осуществляет полное т -кратное накрытие области G областью D.

В случае, когда / - рациональная функция степени п , являющаяся отношением двух вещественных полиномов, и для некоторых компактов Е и F на вещественной оси выполняется f(E) С F , мы получаем неравенство A.JI. Лукашова:

п

\f'(x)\ZF(oo,f(x)) <^ZE(zk,x), k=1

справедливое для любой внутренней точки х компакта Е . Здесь u>e(z,x) = ■^(w(z, [inf Е, х] П Е, CZ\E)), где ui(z,e,Q) - гармоническая мера множества е с в точке г относительно области П (D = <CZ\E, G = СW\F, т = п). Выбирая конкретные компакты Е и F, получаем ряд известных неравенств С.Н.Бернштейна - Г.Сеге, Н.И. Ахиезера, B.C. Ви-денского, В.Н. Русака, М. Барана - В. Тотика и других математиков.

В параграфе 1.2 содержатся некоторые сведения из теории однолистных'функций. Используя достаточное условие однолистности В. Н. Дубинина, нами строятся вспомогательные функции, связанные с полиномами вида

Pn(z) = cnzn + ... + с0, Саф О, c,eR, 1 = 0,..., п, п> 1, (1)

и удовлетворяющими одному из следующих условий для некоторого натурального к:

\P(z)\<l/^l-TZ(z), ze[-l,l], (2)

\P(z)\ < 4/2/(1 + Tk(z)), z e [-1,1], '(3)

\Р{г)\ < >/2/(1 -ЗД), г е [-1,1]. (4)

Обозначим через класс полиномов вида (1), удовлетворяю-

щих условию (2); РУп^ - класс полиномов (1), удовлетворяющих условию (3), и, наконец, пусть РУУ«^ означает класс полиномов (1), удовлетворяющих условию (4).

Вторая глава посвящена экстремальным свойствам полиномов Че-бышева. В ней, используя функциии, посторенные в параграфе 1.2, получены оценки коэффициентов, теоремы покрытия и искажения для аналитических функций, связанных с полиномами, удовлетворяющими одному из условий (2) - (4). Кроме того, привлекая граничный аналог леммы Шварца, доказанный В.Н. Дубининым, получены некоторые уточнения неравенств бернштейновского типа для указанных полиномов. Особую роль в доказательствах играют хорошо известные представления полиномов Чебышева первого, второго, третьего и четвертого родов соответственно:

ВД = + л/г2 - 1)п + (* - - 1)"), (г + ч/г2 - 1)"+1 -(г- лЛ2 - 1)п+1

ВД = =

2чД2 - 1 1

(г + У/г2 - 1)«+* + (г_ чЛ2-

ч/г2 — 1)* '

(г + ч/л2 - 1)п+* -(г- ■ \/г2 - ■ 1)п+5

(г + \/г2 - 1)5 - (г - х/л2-!)?

В параграфах 2.1 -2.3, например, доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.2. Для полиномов Р(г) класса (РИ'п.О имеютп

место оценки

|сп| < 2™ при к > 1, |с„|2 + 2|с„сп_1| < 4" при к > 1. При п, кратном к , равенство достигается в случае полинома Уп/ь{Ть{г))

(соответственно Wn/k(Tk(z))).

Теорема 2.3. Пусть полином P(z) принадлежит классу VUnik и пусть число г > 1. Тогда образ эллипса \z — 1[ 4- \z + 1| = г + 1 /г при отображении

лежит внутри эллипса с фокусами в точках -lulu большой осью, равной x0irr~n~k+1 +rn+k~1 /xotr < r~n~k + rn+k , где х0>г - корень уравнения

|cn|(l — г)2х — г2п(1 — х)2,

принадлежащий промежутку 1/r < х < 1. При

г > г\ = 2\ — 1 + 2л/А(А — 1), А = 2п/|сп|,

образ эллипса \z — 1| + \z + 1| = г + 1/г при отображении

w=x/l-T£(z)P(z),

есть кривая, лежащая вне эллипса \из — 1| + \и> 4- 1| = хх rr~n~k+1 + 7-n+fc_1 /x\tr , где x\:r - корень уравнения

|cn|(l + r)2x = г2п(1 + х)2,

принадлежащий промежутку 1/r < х < 1 .

При п , кратном к , для полинома Un/k(Tk(z)) имеем xotT = х\<г = 1/г и образом указанного выше эллипса при отображении

-T2(z)Un/k(Tk(z))

является эллипс с фокусами в точках -lulu большой осью величины

г-п-\ гп+1

Теорема 2.7. Если полином P(z) = cnzn + ... + со принадлежит классу VVn]k , то для любого х £ [—1,1] справедливо неравенство

Vl-x2\2P'{x){l + ВД) + П(х)Р(х)| <

< (2п + к - 1 + Vlcn^lMl + Тк{х)){2 - (1 + Тк{х))РЦх)).

Равенство в каждой точке х £ [—1,1] при п , кратном к , достигается для полинома Уп/ь(Тк(г)) .

В 1919 году Шур получил неравенство

тах{|Р(х)| : х £ [-1,1]} < (п + 1)тах{|Р(х)л/Г - х2\ : х 6 [—1,1]},

справедливое для полиномов Р{г) степени п с вещественными коэффициентами. Равенство достигается для полинома Чебышева второго рода ип(г). В параграфе 2.4 доказана теорема 2.13, содержащая аналог этого классического неравенства. В ее основе лежит следующая

Теорема 2.12 Пусть полином Р(г) принадлежит классу РУ„,1 . Тогда для любого х € [—1,1] справедливо неравенство

|Р(х)|<2п + ^/М^35<2п + 1.

Равенство достигается для полинома Чебышева Уп(г) в точке х = — 1.

Теорема 2.13 Для полиномов Р(х) степени п с вещественными коэффициентами имеет место неравенство

■ тах{|Р(х)| : х £ [-1,1]} <

< (2п + 1) тж{\Р(х)^(1 + х)/2\ : х € [-1,1]}.

Равенство достигается в случае полиномов Чебышева третьего рода Уп(~) .

В третьей главе получены результаты, связанные с полиномами, рациональными и рационально-тригонометрическими функциями с ограничениями на нескольких отрезках.

Параграфы 3.1 и 3.2 посвящены утверждениям для полиномов с различными ограничениями на двух симметричных отрезках вещественной оси. Полученные теоремы содержат и дополняют некоторые классические и новые результаты, включающие в себя оценки старших коэффициентов полиномов и неравенства бернштейновского типа. В первом из указанных параграфов, развивая и дополняя подход, использовавщийся

при доказательстве принципа мажорации для мероморфных функций в параграфе 1.1, мы доказываем теоремы о геометрии образа лемнискаты

¿а,г = {г £ С : |л/г2 - 1 + \/г2 - а21 = г>/1 - а2}

при отображениях аналитическими функциями, связанными с полиномами.

Теорема 3.3. Пусть полином

Р(г) = спгп + ... + с0, спф 0, сг £ М, / = 0,1, ...,п, п > 1,

удовлетворяет условию

\Р{х)\^1-х2 < 1, х е [-1,-а] и [а, 1], 0 < а < 1,

тогда для любого числа р > 1 полный образ лемнискаты Ьа^р при отоб-раэ/сении ш = у/1 — г2Р(г) лежит внутри эллипса с фокусами в точках ±1 и большой осью, равной р~п_1 + рп+1 .

Есл.и п - четное число, то образ лемнискаты совпадает с указанным эллипсом тогда и только тогда, когда

В параграфе 3.2, используя следствия 1.1 и 1.2, получены оценки старших коэффициентов и неравенства бернштейновского типа, в частности, доказана

Теорема 3.6. Пусть полином

Р(г) = спгп + ... + со, спф 0, ск € К, к = 0,1,..., п, п > 1, удовлетворяет условию

\Р{х)\у/1-х2 < 1, х € [-1,-а] и [а, 1], 0 < а < 1, тогда имеют место неравенства

2"

'Сп' - (1 - а2)("+1)/2

\/.т2 -а2|(1 - х2)Р'{х) - .тР(х)| < (п + (1-х2)Р2(х)

при х е [-1, -а] и [а, 1] .

Знак равенства в каоюдом из неравенств при четных п достигается тогда и только тогда, когда

pn(Z) = ±■^L=wn/2í2z2-1-'

При исследовании случаев равенства существенно используется результат Н.И. Ахиезера о полиноме четной степени, наименее уклоняющемся от нуля на двух симметричных отрезках.

В параграфе 3.3 доказаны теоремы, содержащие некоторые утверждения А.Л. Лукашова о производных рациональных и рационально -тригонометрических функций на нескольких отрезках. В качестве примера приведем следующее утверждение.

Теорема 3.8. Для любой алгебраической дроби

хп + Ь1хп~1 + ..: + Ъп

г(х) —

\fpjxj

где Ь\,..., Ьп е К, ри(х) = П^=1(х ~ ' действительный многочлен

степени и, положительный на Е — [ах, аг] и ... и [021-1,021] С К, ах < ... < а2ь х € т^Е1), справедливо неравенство

2

г'(х) | ,, . ......

1 +г2(х) < Иг11с(В).

\ §((2п - 1У)+Ше(ОО,Х) + ^=1 »^Е&'рХ))

здесь -со= ¿(ш(2> ['п^-Е),^] ПЕ,С\ Е)), а х'^ - те х^ , которые являются полюсами функции г2 , при этом 1/ их порядки.

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда функция /(г) = ^2(-г)/||г||с(е) осуществляет полное т -кратное накрытие области Сш\[0,1] областью Сг\Е , где т - степень рациональной функции /.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору В.Н. Дубинину за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Публикации по теме диссертации

1. Дубинин В.Н., Калмыков С.И. Экстремальные свойства полиномов Чебышева // Дальневост. матем. журн. 2004. Т.5, №2. С. 169-177.

2. Дубинин В.Н., Калмыков С.И. Принцип мажорации для мероморф-ных функций // Математический сборник. 2007. Т.198. №12. С. 3746.

3. Калмыков С.И. Принципы мажорации и некоторые неравенства для полиномов и рациональных функций с предписанными полюсами // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2008. Т. 357. С. 143-157.

4. Калмыков С.И. О полиномах, имеющих криволинейную мажоранту на двух отрезках // Известия Вузов. Математика. 2009. №10. С. 7275.

5. Калмыков С.И. О полиномах Чебышева третьего и четвертого рода // Тез. докл. Дальневосточной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию. Владивосток: Изд - во "Дальнаука ДВО РАН". 2004. С. 5-6.

6. Калмыков С.И. О некоторых неравенствах для алгебраических полиномов // Тез. докл. XXX Дальневосточной математической школы - семинара имени академика Е.В. Золотова. Хабаровск: Изд - во ДВГУПС. 2005. С. 28-29.

7. Калмыков С.И. Неравенство для полиномов с ограничением на окружности // Матер. ХЫУ Международной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика/ Нобосиб. Гос. ун-т. Новосибирск. 2006. С. 11.

8. Калмыков С.И. Точные оценки коэффициентов алгебраических полиномов // Матер. ХЫУ Международной студенческой конферен-

ции "Студент и научно-технический прогресс": Математика/ Но-босиб. Гос. ун-т. Новосибирск. 2006. С. 12.

9. Калмыков С.И. Точные неравенства для алгебраических полиномов // Тез. докл. XXXI Дальневосточной математической школы - семинара имени академика Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука. 2006. С. 11-12.

10. Калмыков С.И. Неравенство бернштейиовского типа для полиномов с ограничением на двух отрезках // Тез. докл. XXXII Дальневосточной математической школы - семинара имени академика Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука. 2007. С. 17-18.

11. Калмыков С.И. Неравенства для полиномов с ограничением на отрезке // Тез. докл. XXXIII Дальневосточной математической школы - семинара имени академика Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука. 2008. С. 127-128.

12. Kalmykov S.I. An analog of Schur's inequality// 8th APRU Doctoral Students Conference, Keio University, Tokyo, 2007. P. 38.

13. Kalmykov S.I. On some inequalities for rational functions// 9th APRU Doctoral Students Conference, FENU, Vladivostok, 2008. P. 43.

14. Kalmykov S.I. On some inequalities for polynomials with curved majorants on two intervals // International Conference on Applied mathematics and approximation theory, Memphis, USA, TN, 2008. P. 34.

15. Kalmykov S.I. Covering theorems for polynomials with restrictions on two intervals // Computational methods and function theory, Ankara, Turkey, 2009, P. 34.

Сергей Иванович КАЛМЫКОВ

ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В НЕРАВЕНСТВАХ ДЛЯ ПОЛИНОМОВ И РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Автореферат

Подписано к печати 14.09.2009 г. Формат 60x90/16. Печать офсетная. Усл. п. л. 0,94. Уч.-изд. л. 0,72. Тираж 100 экз. Заказ 112

Отпечатано в типографии ФГУП Издательство «Дальнаука» ДБО РАН 690041, г. Владивосток, ул. Радио,7

Введение

Глава 1. Принципы мажорации и конформные отображения

§1.1. Теорема покрытия для мероморфных функций

§1.2. Ограниченные аналитические функции

Глава 2. Экстремальные свойства полиномов Чебышева

§2.1. Точные оценки коэффициентов

§2.2. Теоремы покрытия

§2.3. Неравенства бернштейновского типа

§2.4. Аналог неравенства Шура

Глава 3. Неравенства для полиномов и рациональных функций на нескольких отрезках

§3.1. Теоремы покрытия для аналитических функций, связанных с полиномами, имеющими криволинейные мажоранты на двух отрезках

§3.2 Оценки коэффициентов и неравенства бернштейновского типа для полиномов, имеющих криволинейные мажоранты на двух отрезках

§3.3 Неравенства для рациональных и рационально-тригонометрических функций

В настоящей работе развиваются новые подходы к получению неравенств для полиномов и рациональных функций, основаные на теории потенциала и геометрической теории функций комплексного переменного.

В 1889 году, отвечая на вопрос поставленный химиком Д. И. Менделеевым, А.А. Марков [36], [37] доказал, что если Pn(z) - алгебраический полином степени п, то max \Р'(х)\ < п2 max |Рп(ж)|.

-1<а?<1 1 п ' -1<®<1

Равенство в этом неравенстве достигается для полинома Чебышева

Тп{х) — cosn arccos х, х £Е [—1,1].

В 1912 году С. Н. Бернштейном [3] было получено неравенство для производной от тригонометрического полинома рп(х) п-го порядка: max \р'п(х)\ < п max |рп(ж)|.

7Г<.Т<7Г —7Г<Ж<7Г

Данное неравенство является основой доказательств обратных теорем С. Н. Бернштейна в теории аппроксимации, то есть играет существенную роль в решении вопросов, касающихся связи между дифференциальными свойствами функции f(x) и быстротой, с которой стремится к нулю ее наилучшее приближение En(f) при помощи тригонометрических полиномов порядка п.

С.А. Теляковский, говоря о роли неравенств Маркова и Бернштейна, отмечает, что " применение неравенств такого рода - основной метод доказательства обратных теорем в теории аппроксимации. Зачастую дальнейшее развитие обратных теорем зависило от предварительного получения соответствующих обобщений или аналогов неравенств Маркова и Бернштейна" [80].

Изучению экстремальных задач для полиномов и рациональных функций посвящена обширная литература (см. статьи и монографии [34], [52], [49] [63], [65], [80], [113], [114], [116], [115], а также ссылки в них).

Неравенства А. А. Маркова и С. Н. Бернштейна неоднократно передоказывались и обобщались в разных направлениях. Эти обобщения касались различных классов алгебраических, тригонометрических полиномов, алгебраических дробей п рационально-тригонометрических функций.

В последнее время особый интерес вызывают неравенства бернштей-новского типа для алгебраических и тригонометрических полиномов и рациональных функций на нескольких отрезках (см. [33] - [35], [67], [118] и библиографию в них).

Значимый вклад в изучение экстремальных свойств полиномов, рациональных функции и их обобщений внесли Н. И. Ахиезер [1], [2], С. Н. Берн-штейн [3] - [5], [60], [61], Р. Боас [63], В. С. Виденский [6] - [8], Т. Г. Генчев [9],

B. К. Дзядык [12], А.А. Марков [36], [37], В.А. Марков [38], Д. Ньюман [100], Р. Пирре [106], [107], К. И. Рахман [110] - [113], Т. Дж. Рпвлин [54], В. Н. Русак [46], [47], Г. Сеге [48], С. Б. Стечкин [50], П. Туран [119], И. Шур [117], П. Эрдеш [65] и другие математики. Актуальность исследований такого рода подтверждает большое количество работ выполненных в последнее время. Отметим работы А. Азиза [55] - [59], В.В. Арестова [65], П. Борвейна [65], [66], А. К. Вармы [120], Н. К. Говила [73] - [82], В. К. Джайна [83]-[86], А. Еременко [68], В. Н. Дубинина [14] - [16], М. А. Кази [109], Ксина Ли [93], A.JI. Лукашова [34] - [35], М. А. Малика [94], [95], Г. В. Миловановича [96], [97], Д. Мина [98], [99], К. Мохаммада, Р. Н. Мохапатры, А. В. Олесова [40] -[43], А. А. Пекарского [44], [45], Ф. Пехерстофера [101] - [104], Т. Разиза [114],

C. Рушевая [46], Р. Фройенда [72], К. Фраппайра [70], Т. Эрдейи [69].

Первая глава настоящей диссертации посвящена в основном новому принципу мажорации для мероморфных функций, его различным следствиям, а также вспомогательным сведениям из теории аналитических функций.

В параграфе 1.1 сформулирован и доказан принцип мажорации для мероморфных функций [19], [21].

Для данной области D, имеющей классическую функцию Грина, набора точек {zk}™=1, Zk G D С Cz, к = 1 и вещественного числа г > О введем обозначение

Пусть f(D) = G. Будем говорить, что функция / осуществляет полное т-кратное накрытие области G областью D, если любая последовательность точек Zk € D, стремящаяся к 8D, переходит в последовательность точек Wk, стремящуюся к 3G, и каждой точке w £ G соответствует ровно т прообразов в области D.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть области D и G имеют классические функции Грина, D сСг, оо Е G С Cw. Предположим, что функция f является мероморфной в области D, имеет по крайней мере один полюс в D и удовлетворяет условию f(dD) с dG (т.е. при стремлении точки z к границе области D все предельные значения функции f(z) принадлеоюат границе G). Тогда для любого положительного г справедливо включение где Z\, .,zm - полюсы функции f в области D, каждый из которых учитывается столько раз, каков его порядок.

Далее пусть г - произвольное, фиксированное полооюительное число. Равенство имеет место в том и только том случае, когда f(D) = G и f осуществляет полное т -кратное накрытие области G областью D. f(Dr{.zx,.,zm))\f(dDr(zi,.,zm)) d Gr(oo),

В качестве следствия этой теоремы отметим утверждение К. Дочева [13]. Если полином P(z) — CnZn -f- ••• + О), Сп Ф 0) с вещественными коэффициентами Cfc, к = 0,1,., п, нормирован условиями тах{Р(г) : г 6 [—1,1]} = — min{P(z) : z € [—1,1]} = 1, то для любого р > 1 образ эллипса \z — 1| + \z + 1| = р + 1/р при отображении w = P(z) лежит внутри эллипса \w — 1| + |w + 1| = рп + 1/рп. Здесь экстремальным является случай, когда P{z) совпадает с полиномом Чебышева первого рода Tn(z), который п-кратно покрывает второй эллипс первым. К. Дочев получил указанный результат путем оригинального исследования соответствующих тригонометрических полиномов. В работе В.Н. Дубинина [15] приводится усиление данного геометрического факта с учетом коэффициента Сп и показывается, что из него вытекают классические неравенства Чебышева, Маркова и Бернштейна.

СЛЕДСТВИЕ 1.1. Пусть в условиях теоремы точка zq G D является полюсом функции f порядка п, в окрестности которого справедливо разложение f(z) = c{z — zo)~n + ., когда zq конечно и f(z) = CZn + . при Zq — СО , С ф 0. Тогда имеет место неравенство I „ (г(Р,*о))" , Д с|- r(G, 00) ехр1

Якфг0 ) где суммирование производится по всем полюсам z^ функции f, лежащим в области D, отличным от zq, и с учетоль порядка, a г(Г2,а) означает внутренний радиус области Q относительно точки а.

Данная оценка ранее была доказана И.П. Митюком (см., например,

СЛЕДСТВИЕ 1.2. Если в условиях теоремы 1.1 область D имеет на своей границе открытую аналитическую дугу Жордана 7; а область G имеет на своей границе такую же дугу Г, функция f аналитически про-долэюима на дугу 7, /(7) С Г и положительной ориентации на дуге 7 соответствует положительная ориентация на Г, то для любой точки z Е 7 справедливо неравенство

I ^ dgD(z,zk) lf -^-~ А. ' k= 1 где означает дифференцирование вдоль внутренней нормали к соответствующей граничной дуге.

Равенство для любой точки z Е 7 достигается тогда и только тогда, когда f(D) = G и f осуществляет полное т -кратное накрытие области G областью D.

В случае, когда / - рациональная функция степени п, являющаяся отношением двух вещественных полиномов, и для некоторых компактов Е и F на вещественной оси выполняется f(E) С F, мы получаем неравенство A.JI. Лукашова [34], [35]:

Т1 f'(x)\ujF(ooJ(x)) < ^2coE(zk,x), k—l справедливое для любой внутренней точки х компакта Е. Здесь uje{z,x) = [inf Е, х]ПЕ, СДЕ)), где u>(z, е, П) - гармоническая мера множества е С д£1 в точке 2 относительно области Q (D = СZ\E, G = <CW\F, т = п). В работе [35] приводятся также утверждения, подтверждающие точность этого неравенства. Выбирая конкретные компакты Е и F, получаем ряд известных неравенств С.Н.Бернштейна - Г.Сеге, Н.И. Ахиезера, B.C. Виден-ского, В.Н. Русака, М. Варана - В. Тотика и других математиков (см. об этом [35], а также замечания по истории вопроса в [34]).

В параграфе 1.2 содержатся некоторые сведения из теории однолистных функций. Используя достаточное условие однолистности В. Н. Дубинина [15], нами строятся вспомогательные функции, связанные с полиномами вида

Pn(z) = CnZn + . + с0, cn ^ 0, q е R, I = 0,., п, п > 1, (0.1) удовлетворяющими одному из следующих условий для некоторого натурального к

P(z)\<l/^/l-Ti(z)} z Е [—1,1], (0.2)

P{z)\ < VW+ТЩ), г Е [-1,1], (0.3)

P(z)\ < 72/(1 -Tk(z)), z Е [-1,1]. (0.4)

Обозначим через VUn,k класс полиномов вида (0.1), удовлетворяющих условию (0.2); VVn,k ~ класс полиномов (0.1), удовлетворяющих условию (0.3), и, наконец, пусть VWn,k означает класс полиномов (0.1), удовлетворяющих условию (0.4).

Вторая глава посвящена экстремальным свойствам полиномов Чебы-шева. В ней, используя функциии, посторенные в параграфе 1.2, получены оценки коэффициентов, теоремы покрытия и искажения для аналитических функций, связанных с полиномами, удовлетворяющими одному из условий (0.2) - (0.4). Кроме того, привлекая граничный аналог леммы Шварца, доказанный В.Н. Дубининым в работе [16], получены некоторые уточнения неравенств бернштейновского типа для указанных полиномов. Особую роль в доказательствах играют хорошо известные представления полиномов Че-бышева первого, второго, третьего и четвертого родов соответственно (см., например, [10], [31]): ад = \{{z+лД2 - if+(z - лД2 - i)n),

0.5)

2^2 ~ 1 z + \Л2 - 1)п+5 + (* - z+y/7 лД2- z + лД2 - 1)п+^ - (г - vn(z) = у , t , (о.7)

Wn(z) = ЧТУ .-y-yt-jj < z + Vz2-l)z -(z

В параграфах 2.1 -2.3, например, доказаны следующие теоремы. Теорема 2.2. Для полиномов P(z) класса VVnjk {VWn^) имеют место оценки сп\ < 2п при к > 1, cn|2 + 2|cncni| < 4П при к> 1.

При п, кратном к, равенство достигается в случае полинома Vn/k(Tk(z)) (соответственно Wn/k(Tk(z))).

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть полином P(z) принадлежит классу Vl4n,k v пусть число г > 1. Тогда образ эллипса \z — 1| + + 1| = г + 1/г при отображении

С = y/l - Ti(z)P(z) лежит внутри эллипса с фокусами в точках-1 и 1 и большой осью, равной XQ>rr~n~k+1 + rn+fc1/rco,r < r~n~k + rll+k , где rc0,r - корень уравнения cn\{l-r)2x = rT{l-x)\ принадлежащий промежутку 1/r < х < 1. При г > гА = 2А - 1 + 2 у7А(А — 1), А = 2п/|сп|, образ эллипса \z — 1| + + 1| = г + 1/г при отображении и = ^/l-T*(z)P(z), есть кривая, лежащая вне эллипса \ио — 1| + \и + 1| = х\ rr~n~k+1 + rn+k~l/x\iT, где - корень уравнения cn\{l+r)2x = r2n(l+x)\ принадлежащий промежутку 1 /г < х < 1.

При п, кратном к, для полинома Un/k(Tk(z)) имеем, xqjT = х\^г — 1/г и образом указанного выше эллипса при отображении ш = sJl-Tl{z)Unfk{Tk{z)) является эллипс с фокусами в точках -1 и 1 и большой осью величины г~п~ 1 у.П+1

Теорема 2.7. Если полином P(z) принадлежит классу Wn,k, nio для любого х £ [—1,1] справедливо неравенство у/\-х*\2РЧх)(\ + Тк(х)) + Т'к{х)Р{х)| < (2п + k- 1 + Vkn/2'l)л/(1 + Тк(х))(2 - (1 + Тк(х))Р\х)).

Равенство в каждой точке х Е [—1,1] при п, кратном к, достигается для полинома Vn/k{Tk{z)).

Кроме того, приведены уточнения неравенств бернштейновского типа для указанных полиномов.

Все теоремы этого параграфа являются обобщением ряда результатов, ранее доказанных в работах [20], [18].

В 1919 году Шур получил неравенство тах{|Р(»| : ж Е [-1,1]} < (та + 1)тах{|Р(ж)\/1 - х2\ : х Е [-1,1]}, справедливое для полиномов P(z) степени п с вещественными коэффициентами [117]. Равенство достигается для полинома Чебышева второго рода un(z).

В параграфе 2.4 доказана теорема, содержащая аналог этого классического неравенства.

Теорема 2.12. Пусть полипом P(z) принадлежит классу VVn<i. Тогда для любого х € [—1,1] справедливо неравенство

Равенство достигается для полинома Чебышёва Vn(z) в точке х — — 1. теорема 2.13. Для полиномов Р(х) степени п с вещественными коэффициентами имеет место неравенство

Равенство достигается в случае полиномов Чебышева третьего рода Vn(z) В третьей главе получены результаты, связанные с полиномами, рациональными и рационально-тригонометрическими функциями.

Параграфы 3.1 и 3.2 посвящены утверждениям для полиномов с различными ограничениями на двух симметричных отрезках вещественной оси. Полученные теоремы содержат и дополняют некоторые классические и новые результаты, включающие в себя оценки старших коэффициентов полиномов и неравенства бернштейновского типа (см. [67], [91], [20], [18]). В первом из указанных параграфов, развивая и дополняя подход, использовав-щийся при доказательстве принципа мажорации для мероморфных функций в параграфе 1.1, мы доказываем теоремы о геометрии образа лемнискаты при отображениях аналитическими функциями, связанными с полиномами. теорема 3.3. Пусть полином

P(z) = CnZn + . +с0, Сп^ 0, qGM, / = 0,1,., га, га>1, тах{|Р(ж)| : х G [-1,1]} < (2га + 1) тах{\Р{х)у/(1 + х)/2\ : ж G [-1,1]}.

La,r = {z g С : |V*2-1 + у/z2 - а21 = г у/1 - а2} удовлетворяет, условию

P(x)\y/l -х2 < 1, х £ [—1, —a) U [а, 1], 0 < а < 1, тогда для любого числа р > 1 полный образ лемнискаты Ьа^р при отображении to = V1 — z2P(z) лежит внутри эллипса с фокусами в точках ±1 и большой осью, равной р~п~1 + .

Если п - четное число, то образ лемнискаты совпадает с указанным эллипсом тогда и только тогда, когда

1 -о» J'

В параграфе 3.2, используя следствия 1.1 и 1.2, получены оценки старших коэффициентов и неравенства бернштейновского типа, в частности, доказана

Теорема 3.5. Пусть полином P(z) = CnZn + .+ со, Сп ф 0, сЛ € R, к = 0,1, .,n, п > 1, удовлетворяет условию

Р{х)У{1-х2)(х2-а2) < 1, х £ [—1, —a] U [а, 1], 0 < a < 1, тогда имеют место неравенства

2«+i

I0"' - (1 - Q;2)(n+2)/2 U

1 - ,т2)(ж2 - а2)Р\х) - х(2х2 - 1 - а2)Р(х)| < < (п + 2)\Xyi - (1 - х2){х2 - а2)Р2(х) при х G [—1, —a] U [а, 1].

Знак равенства в каждом из неравенств при четных п достигается тогда и только тогда, когда

Р t л L 2 ТТ f2*2

В параграфе 3.3 доказаны теоремы, содержащие некоторые утверждения A.JI. Лукашова [34], [35] о производных рациональных и рационально -тригонометрических функций на нескольких отрезках. В качестве примера приведем следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 3.8. Для любой алгебраической дроби г(х) = хп + мп1 + . + ъп

VpAx) где bi,.,bn Е М, ри{х) — YYj=\{x ~ xjYj " действительный многочлен степени и, положительный на Е — [ai, аг] U . U [a2/-i, ао{\ с Ж, а\ < . < х Е int(E); справедливо неравенство 2

Лх) 1 +Г2(х) < \\г\\гс(Е),

Щ2п - v)+zuE(oo,x) + Y!j=1 ЧЮЕ(х'рх)) здесь zue(z,x) — -^;(u(z,[mi(E),x] Г) Е:С \ Е)), a x'j - те xj, которые являются полюсами функции г2; при этом z/ их порядки.

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда функция f(z) = r2(2:)/llrllc(£;) осуществляет полное т -кратное накрытие области Сш \ [0,1] областью Cz \ Е, где т - степень рациональной функции f.

В заключение перечислим основные результаты диссертационной работы.

1. Развиваются новые подходы к получению неравенств для полиномов и рациональных функций, основанные на теории потенциала и конформных отображениях.

2. Для алгебраических полиномов с криволинейными мажорантами на одном и двух отрезках получены новые неравенства, обобщающие и дополняющие соответствующие результаты С.Н. Бернштейна, Н.И. Ахиезера, И. Шура, П. Борвейна, М.А. Лаченса, В.Н. Дубинина, А. В. Олесова.

3. Улучшены некоторые теоремы А.Л. Лукашова о производных рациональных и рационально-тригонометрических функций на нескольких отрезках, обобщающие неравенства С.Н.Бернштейна - Г.Сеге, B.C. Виденского, В.Н. Русака, М. Барана - В. Тотика.

По теме диссертации опубликовано 3 научные работы [18], [19], [21].

Результаты диссертации были представлены в научных докладах на Дальневосточной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию (Владивосток, 2004), на Дальневосточных математических школах-семинарах имени академика Золотова (Хабаровск, 2005, 2009 Владивосток 2006-2008), на XLIV Международной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2006), на Международных конференциях APRU Doctoral students conference (Tokyo, 2007, Vladivostok, 2008), на International conference on applied mathematics and approximation theory (Memphis, USA, TN, 2008), на международной конференции Computational methods and function theory (Ankara, Turkey, 2009), на семинарах по геометрической теории функций и функциональному анализу ИМКН ДВГУ (руководители: проф. В. Н. Дубинин, проф. Н.Н. Фролов). Опубликовано 11 тезисов докладов [23]-[29], [87]-[90].

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965. 408 с.

2. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970. 304 с.

3. Бернштейн С.Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени // Сообщ. Харьк. мат. о-ва. Харьков, 1912.

4. Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной: в 2 ч. М.-Л.: ОНТИ, 1937. 4.1. 200 с.

5. Бернштейн С.Н. О роли неравенств и экстремальных проблем в математическом анализе // Юбил. сборн., поев. 30-летию Великой Октябрьской социалистической революции. М., 1947. С. 114-133.

6. Виденский B.C. Об оценках производных многочлена // Изв. АН СССР. 1951. Т. 15, № 5. С. 401-420.

7. Виденский B.C. Экстремальные оценки производной тригонометрического полинома на отрезке, меньшем чем период // Докл. АН СССР. 1960. Т. 130, № 1. С. 13-16.

8. Виденский B.C. Некоторые оценки производных от рациональных дробей // Изв. АН СССР, сер. мат. 1962. Т. 26, № 3. С. 415-426.

9. Генчев Т.Г. Об одном обобщении неравенства С. Н. Бернштейна для тригонометрических полиномов // Докл. АН СССР. 1975. Т. 223, № 1. С. 23-26.

10. Геронимус Я.JI. Теория ортогональных многочленов. М.: ГИТТЛ, 1950. 164 с.

11. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 630 с.

12. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. 512 с.

13. Дочев К. О некоторых экстремальных свойствах многочленов // Докл. АН СССР. 1963. Т. 153, No. 3. С. 519-521.

14. Дубинин В.Н. Теоремы искажения для полиномов на окружности // Мат. сб. 2000. Т. 191, № 12. С. 51-60.

15. Дубинин В.Н. Конформные отображения и неравенства для алгебраических полиномов // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, вып. 5. С. 16-43.

16. Дубинин В.Н. Конформные отображения и неравенства для алгебраических полиномов II // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2003. Т. 302. С. 1837.

17. Дубинин В.Н. О применении конформных отображений в неравенствах для рациональных функций // Изв. РАН сер. мат. 2002. Т. 66, № 2. С. 67-80.

18. Дубинин В.Н., Калмыков С.И. Экстремальные свойства полиномов Чебышева // Дальневост. матем. журн. 2004. Т.5, №2. С. 169-177.

19. Дубинин В.Н., Калмыков С.И. Принцип мажорации для мероморфных функций // Математический сборник. 2007. Т. 198. №12. С. 37-46.

20. Дубинин В.Н., Олесов А.В. О применении конформных отображений к неравенствам для полиномов // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2002. Т. 286. С. 85-102.

21. Калмыков С.И. Принципы мажорации и некоторые неравенства для полиномов и рациональных функций с предписанными полюсами // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2008. Т. 357. С. 143-157.

22. Калмыков С.И. О полиномах, имеющих криволинейную мажоранту на двух отрезках // Известия Вузов. Математика. 2009. №10. С. 72-75.

23. Калмыков С.И. О полиномах Чебышева третьего и четвертого рода // Тез. докл. Дальневосточной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию. Владивосток: Изд во "Дальнаука ДВО РАН", 2004. С. 5-6. .

24. Калмыков С.И. О некоторых неравенствах для алгебраических полиномов // Тез. докл. XXX Дальневосточной математической школы се--минара имени академика Е.В. Золотова. Хабаровск: Изд - во ДВГУПС, 2005. С. 28-29.

25. Калмыков С.И. Неравенство для полиномов с ограничением на окружности // Матер. XLIV Международной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. Нобосиб. Гос. ун-т. Новосибирск, 2006. С. 11.

26. Калмыков С.И. Точные оценки коэффициентов алгебраических полиномов // Матер. XLIV Международной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. Нобосиб. Гос. ун-т. Новосибирск, 2006. С. 12.

27. Калмыков С.И. Точные неравенства для алгебраических полиномов // Тез. докл. XXXI Дальневосточной математической школы семинара имени академика Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука, 2006. С. 1112.

28. Калмыков С.И. Неравенство бернштейновского типа для полиномов с ограничением на двух отрезках // Тез. докл. XXXII Дальневосточной математической школы семинара имени академика Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука, 2007. С. 17-18.

29. Калмыков С.И. Неравенства для полиномов с ограничением на отрезке // Тез. докл. XXXIII Дальневосточной математической школы -семинара имени академика Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука, 2008. С. 127-128.

30. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. СПб.: Лань, 2002. 688 с.

31. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.:Физматлит, 2000. 296 с.

32. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975. 336 с.

33. Лукашов А.Л. Неравенство типа Бернштейна для для производных рациональных функций на двух отрезках // Матем. заметки. 1999. Т. 66, № 4. С. 508-514.

34. Лукашов А.Л. Неравенства для производных рациональных функций на нескольких отрезках // Изв. РАН. Сер. мат. 2004. Т. 68, No. 3. С. 115-138.

35. Лукашов А.Л. Оценки производных рациональных функций и четвертая задача Золотарева // Алгебра и анализ. 2007. Т. 19, №.2. С. 122-130.

36. Марков А.А. Об одном вопросе Д.И. Менделеева // Записки Имп. Акад. Наук. 1889. Т. 62. С. 1-24.

37. Марков А.А. Избранные труды. М.-Л.: МЦНМО, 1948.

38. Марков В.А. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в данном промежутке. СПб., 1892.

39. Митюк И.П. Симметризациоиные методы и их применение в геометрической теории функций. Введение в симметризациоиные методы. Кубанский гос. ун-т, Краснодар, 1980.

40. Олесов А.В. О применении конформных отображений к неравенствам для тригонометрических полиномов // Мат. заметки. 2004. Т. 76, вып. 3. С. 396-408.

41. Олесов А.В. Неравенства для мажорантных аналитических функций // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2004. Т. 314. С. 155-173.

42. Олесов А.В. Неравенства для целых функций конечной степени и полиномов // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2004. Т. 314. С. 174-195.

43. Олесов А.В. Неравенства для полиномов и рациональных функций: Препринт № 18. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2004. 39 с.

44. Пекарский А. А. Об оценке производной алгебраического полинома // Матем. заметки. 1990. Т. 47, №3. С. 74-77.

45. Пекарский А. А. Чебышевские рациональные приближения в круге, на окружности и на отрезке // Матем. сб. 1987. 133(175), №1(5). С. 86-102

46. Русак В.Н. Об оценках производных алгебраических дробей на конечном отрезке // Докл. АН БССР. 1976. Т. 20, № 1. С. 5-7.

47. Русак В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения . Минск: Изд. Б ГУ им. Ленина, 1979. 176 с.

48. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: ГИФМЛ, 1962. 500 с.

49. Смирнов В.И., Лебедев.Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1964. 440 с.

50. Стечкин С.Б. Обобщение некоторых неравенств С.Н. Бернштейна // Докл. АН СССР. 1948. Т. 60, № 9. С. 1511-1514.

51. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. М.: Изд-во ин. лит. 1962. Т.2. 416 с.

52. Теляковский С.А. Исследования по теории аппрокспмацпи функций в математическом институте академии наук // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1988. Т. 182. С. 141-197.

53. Чебышев П.Л. Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением функций // Полное собр. соч.: В 2 т. М.-Л.: Изд. АН СССР, 1947. Т. 2. С. 151-235.

54. Ankeny N.C., Rivlin T.J. On a theorem of S. Bernstein // Pacific. J. Math. 1955. 5, № 2. P. 849-852.

55. Aziz Abdul. Inequalities for polynomials with a prescribed zero // Can. J. Math. 1982. 34, № 3. P. 734-740.

56. Aziz A. Inequalities for the derivative of a polynomial // Proc. Amer. Math. Soc. 1983. 89. P. 259-266.

57. Aziz A., Dawood Q.M. Inequalities for a polynomial and its derivative // J. Approxim. Theory. 1988. 54, № 3. P. 306-313.

58. Aziz A., Shah W.M. Some refinements of Bernstein-type inequalities for rational functions // Glas. Mat. 1997. 32, № 1. P. 29-37.

59. Aziz A., Zargar B.A. Inequalities for polynomial and its derivative // Math. Inequal. and Appl. 1998. 1, № 4. P. 543-550.

60. Bernstein S.N. Legons sur les proprieties extremales et la meilleure approximation des fonction analytiques d'une variable reelle. Paris, 1926.

61. Bernstein S.N. Sur la limitation des derivees des polynomes // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences Paris. 1930. 190. P. 338-341.

62. Bidkham M., Dewan K.K. Inequalities for polynomial and its derivative // J. Math. Anal, and Appl. 1992. 66, № 2. P. 319-324.

63. Boas R. Inequalities for the derivatives of poynomials // Mathematics Magazine. 1969. 42. P. 165-174.

64. Borwein P., Erdelyi T. Polynomials and Polynomial Inequalities. N. Y.: Springer-Verlag, 1995. 480 p.

65. Borwein P. , Erdelyi T. Sharp extensions of Bernstein's inequality to rational spaces // Mathematika. 1996. 43, № 2. P. 413-423.

66. Borwein P., Zhang J. Chebyshev polynomials and Markov-Bernstein type inequalities for the rational spaces //J. London Math. Soc. 1994. 50. P. 501519.

67. Borwein P. В. Markov's and Bernstein's inequalities on disjoint intervals // Canad. J. Math. 1981. 33, №1. P. 201-209.

68. Eremenko A. A Markov-type inequality for arbitrary plane continua. Proc. AMS. 2007. 135. P. 1505 1510.

69. Erdelyi T. Bernstein-type inequality for the derivative of constrained polynomials // Proc. Amer. Math. Soc. 1991. 112. P. 829-838.

70. Frappier C., Rahman Q. On an inequality of S. Bernstein // Can. J. Math. 1982. 34, № 4. P. 932-944.

71. Freund R., Ruscheweyh S. On a class of chebyshev approximation problems which arise in connection with a conjugate gradient type method // Numerische Mathematik. 1986. 48. P. 525 542.

72. Freund R., Fischer B. New Bernstein type inequalities for polynomials on ellipses // Complex Variables: Theory and Appl. 1991. 16, № 4. P. 289-305.

73. Govil N.K. On the derivative of a polynomial // Proc. Amer. Math. Soc. 1973. 41. P. 543-546.

74. Govil N.K. On the maximum modulus of polynomials not vanishing inside the unit circle // J. Approxim. Theory. 1989. 55, № 3. P. 79-82.

75. Govil N.K. Some inequalities for derivatives of a polynomial //J. Approx. Theory. 1991. 66. P. 29-35.

76. Govil N.K. Some inequalities for maximum modules of polynomials // Int. J. Math, and Math. Sci. 1991. 14, № 2. P. 233-238.

77. Govil N.K. On a theorem of Ankeny and Rivlin concerning maximummodulus of polynomials // Complex Variables: Theory and Appl. 2000. 40, № 3. P. 249-259.

78. Govil N.K., Mohapatra R.N. Bernstein type inequalities for rational functions with prescribed poles // Recent Progress in Inequalities. The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1998. P. 249-270.

79. Govil N.K., Mohapatra R.N. Inequalities for maximum modulus of rational functions with prescribed poles // Approximation theory. In memory of A. K. Varma. N. Y.: Marcel Dekker. Pure Appl. Math., Marcel Dekker. 1998. 212. P. 255-263.

80. Govil N.K., Mohapatra R.N. Markov and Bernstein type inequalities for polynomials // J. Inequal. and Appl. 1999. 3. P. 349-387.

81. Govil N.K., Nyudinkong G.J. On maximum modulus of, polynomials not vanishing inside a circle // Interdiscip. Math. 2001. 4, № 1. P. 93-100.

82. Govil N.K., Schmeisser G. On the derivative of a polynomial // 111. J. Math. 1979. 23, № 2. P. 319-329.

83. Jain V.K. Some inequalities for polynomials // Glas. Math. 1977. 12, № 2.P. 263-269.

84. Jain V.K. Generalization of certain well known inequalities for polynomials // Glas. Mat. Ser. III. 1997. 32, № 1. P. 45-51.

85. Jain V.K. Inequalities for polynomials with a prescribed zero // Math. Inequal. and Appl. 1998. 1, № 3. P. 343-346.

86. Jain V.K. On polynomials having zeros in closed exterior or closed interior of circle // Indian. J. Pure and Appl. Math. 1999. 30, № 2. P. 153-159.

87. Kalmykov S.I. An analog of Schur's inequality // 8th APRU Doctoral Students Conference, Keio University, Tokyo, 2007. P. 38.

88. Kalmykov S.I. On some inequalities for rational functions // 9th APRU Doctoral Students Conference, FENU, Vladivostok, 2008. P. 43.

89. Kalmykov S.I. On some inequalities for polynomials with curved majorants on two intervals // International Conference on Applied mathematics and approximation theory, Memphis, USA, TN, 2008. P. 34.

90. Kalmykov S.I. Covering theorems for polynomials with restrictions on two intervals // Computational methods and function theory, Ankara, Turkey, 2009, P. 34.

91. Lachance M.A. Bernstein and Markov inequalities for constrained polynomials. Lect. Notes Math. 1984. 1045. P. 125-135.

92. Levin A.L., Saff. B. Potential theoretic tools polynomial and rational approximation. Harmonic Analysis and Rational Approximation, Lect. N. in Control and Inf. Sci. Springer, 2006. 327. P. 71-94.

93. Li Vita Xin, Mohapatra R.N., Rodriguez R.S. Bernstein type inequalities for rational functions with prescribed poles //J. London Math. Soc. 1995. 2, 51. P. 523-531.

94. Malik M.A. On the derivative of a polynomial // J. London Math. Soc. 1969. 1. P. 57-60.

95. Malik M.A., Vong M.C. Inequalities concerning the derivative of polynomials // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1985. 34, № 3. P. 422-426.

96. Milovanivic G.V., Marinkovic L.Z. Extremal problem for coefficients of algebraic polynomials // Facta Univers. (NIS) Ser. Math. Inform. 1990. 5. P. 25-36.

97. Milovanivic G.V., Mitrinovic, D.S., Rassias T.M. Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros. Singapore: World Scientific, 1994.821 p.

98. Min G. Inequalities for rational functions with prescribed poles // Can. J. Math. 1998. 50, № 1. P. 152-166.

99. Min G. Inequalities for the derivatives of rational functions with real zeros // Acta Math. Hungar. 1999. 82, № 1-2. P. 11-20.

100. Newman D.J., Rivlin T.J. On a polynomials with curved majorants // Can. J. Math. 1982. 34, № 4. P. 961-968.

101. Peherstorfer F. Orthogonal and extremal polynomials on several intervals // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1993. 48, №1-2. P. 187-205.

102. Peherstorfer F. Elliptic orthogonal and extremal polynomials // Proc. London. Math. Soc. 1995. 70. P. 605-624.

103. Peherstorfer F. On the zeros of orthogonal polynomials: elliptic case // Constr. Approx. 2004. 20. P 377-397.

104. Peherstorfer P. On Bernstein—Szego orthogonal polynomials on several intervals. II: Orthogonal polynomials with periodic recurrence coefficients // J. Approx. Theory. 1991. 64. P. 123-161.

105. Petrushev P.P., Popov V.A. Rational approximation of real functions. Cambridge: Cambridge University Press, 1987. 371 p.

106. Pierre R., Rahman Q.I. On a problem of Turan about polynomials // Proc. Amer. Math. Soc. 1976. 56. P. 231-238.

107. Pierre R., Rahman Q.I., Schmeisser G. On polynomials with curved majorants // J. Approxim. Theory. 1989. 57. P. 211-222.

108. Protter M. H., Weinberger H. F., Maximum principles in differential equations. New York: Springer-Verlag, Inc. 1984.

109. Qazi M.A. On the maximum modulus of polynomials // Proc. Amer. Math. Soc. 1992. 115, № 2. P. 337-349.

110. Rahman Q.I. Inequalities concerning polynomials and trigonometric polynomials // J. A4ath. Analysis and Applic. 1963. 6, № 2. P. 303-324.

111. Rahman Q.I. On a problem of Turan about polynomials with curved majorants // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. 163. P. 447-455.

112. Rahman Q.I., Schmeisser G. Markoff type inequalities for curved majorants // Numerical methods of approximation theory. 1987. 8. P. 169183.

113. Rahman Q.I., Schmeisser G. Analytic theory of polynomials. Oxford: Oxford University Press, 2002.

114. Rassias T.M. On certain properties of polynomials and their derivatives // Topics in Mathematical Analysis. Singapore: World Scientific Publishing Company, 1989. P. 758-802.

115. Saffari В. Some polynomial extremal problem which emerged in the twentieth centure // NATO Sci. Ser. II, Math. Phys. Chem. 2001. 33. P. 201-223.

116. Sheil-Small T. Complex polynomials. Cambridge: Cambridge University Press, 2002.

117. Shur I. Uber das Maximum des absoluten Betrages eines Polynoms in einem gegebenen Intervall // Math. Z. 1919. 4. P. 271-287.

118. Totik V. Polynomial inverse images and polynomialin equalities // Acta Math. 2001. 187. P. 139-160.

119. Turan P. Uber die Ableitung von Polynomen // Compositio Math. 1939. 7. P. 89-95.

120. Varma A.K., Mills T.M., Smith Simon J. Markoff type inequalities for curved majorants //J. Austral. Math. Soc. 1995. 58. P. 1-14.