Применения принципа площадей и структурных формул к конформным и гармоническим отображениям тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Григорьев, Виктор Вадимович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Тверь
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2003
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Григорьев Виктор Вадимович
УДК 517.54
ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА ПЛОЩАДЕЙ И СТРУКТУРНЫХ ФОРМУЛ К КОНФОРМНЫМ И ГАРМОНИЧЕСКИМ ОТОБРАЖЕНИЯМ
специальность 01.01.01 математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
САРАТОВ, 2003
Работа выполнена на кафедре математического анализа Тверского государственного университета
Научный руководитель: доктор физико-математических
наук, профессор В. Г. Шеретов
Официальные оппоненты: доктор физико-математических
наук, профессор Д. В. Прохоров кандидат физико-математических наук, доцент А. А. Полковников
Ведущая организация: Кемеровский государственный университет
Защита состоится 2003 г. в ^ часов./минут
на заседании диссертационного совета К 212.243.02 в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410026, Саратов, ул. Астраханская, 83, IX корпус СГУ, механико-математический факультет
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГУ Автореферат разослан
¿в./?у 2003 г.
Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент
В.В. Корнев
18112
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы. В геометрической теории функций комплексного переменного одно из центральных мест занимают вопросы, связанные с решением различных экстремальных задач в классах конформных, квазиконформных и гармонических отображений. Они стимулировали развитие эффективных методов аналитического исследования: площадей и контурного интегрирования, вариаций, модулей и экстремальных длин, параметрических продолжений и оптимального управления, симметризаций и других.
В последние десятилетия весомый вклад в геометрическую теорию функций внесли авторы известных монографий И.А.Александров, Л.Альфорс, П.П.Белинский, Дж.Дженкинс, Р.Кюнау, С.Л.Круш-каль, Н.А.Лебедев, И.М.Милин, Ю.Г.Решетняк, Г.Д.Суворов, П.М.Там-разов, а также В.Я.Гутлянский, В.А.Зорич, В.М.Миклюков, И.П.Ми-тюк, Д.В.Прохоров, В.В.Горяйнов, В.Н.Дубинин, И.В.Журавлев, А.Ю. Солынин, В.И.Рязанов, В.В.Чуешев, В.Г.Шеретов, А.Ю.Васильев, Ф.Г.Авхадиев, А.К.Бахтин, Л.Л.Громова, Б.Е.Левицкий, В.В.Старков.
Крупным достижением явилось доказательство Л. де Бранжем в 1984 г. гипотезы Бибербаха о справедливости на классе 5 точных коэффициентных неравенств |ап| ^ п для всех п ^ 2. Этому предшествовали глубокие исследования проблемы другими авторами. В.Г.Ше-ретовым предложен ряд новых вариантов метода площадей для классов однолистных и р-листных функций, в том числе - с /с-квазиконфор-мными продолжениями, с использованием метрик, порождаемых аналитическими квадратичными дифференциалами на разветвленных накрывающих сферы Римана, а также новые методы структурных формул для классов локально однолистных конформных и гармонических отображений. К полученным на этом пути результатам относится решение второй проблемы коэффициентов Бибербаха в форме счетной системы точных неравенств, вполне характеризующей область коэффициентов ДэоС1?).
В диссертации рассматриваются актуальные в свете изложенного проблема коэффициентов для однолистных функций класса С Кара-теодори и проблема получения методом площадей точной оценки третьего тейлоровского коэффициента в классе 5. Ставятся вопросы о получении зависящих от параметра точных либо асимптотически точ-
ных оценок начальных коэффициентов в классе 5 и его подклассах, о нахождении оценок коэффициентов в классах локально гармонических отображений круга, представимых структурными формулами, о вычислении обобщенных констант Кебе для этих классов.
Целью работы является решение поставленных экстремальных задач, а также связанных с ними вопросов.
Методика исследований состоит в специализациях методов площадей и структурных формул В.Г.Шеретова. Параллельно используются принцип Дирихле для комплексных гармонических отображений, ряды Пюизе, квазиконформные продолжения, аналитические квадратичные дифференциалы на римановых поверхностях и порождаемые ими особые римановы метрики, зависящие от параметров.
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все представленные в диссертации результаты, за исключением Введения и § 8, содержащих обзорный и вспомогательный материал, являются новыми.
На защиту выносятся следующие основные результаты:
* доказательство неравенств площадей для подкласса С5, образуемого однолистными в единичном круге Д функциями р из класса С Каратеодори и подклассов £7* класса С$, образуемых ограничениями на Д к- квазиконформных автоморфизмов р римановой сферы; получение путем специализаций аналога неравенства Альфорса и других коэффициентных неравенств;
* доказательство критерия принадлежности функции р е С подклассу Сд в форме счетной системы точных коэффициентных неравенств;
* получение оценок второго и третьего тейлоровских коэффициентов функций из классов 5, 5^(оо), зависящих от радиусов кругов покрытия этих функций;
* применение принципа площадей к получению новых серий точных коэффициентных неравенств в подклассах класса С5;
* вывод асимптотически точных при М —► оо оценок тейлоровских коэффициентов аз, <24, 0,5 в подходящих подклассах класса 5д/;
* получение точной оценки, связывающей второй и третий коэффициенты в подклассе 5[/о] класса 5, и следующей из нее точной оценки модуля третьего коэффициента в этом подклассе;
* применение метода структурных формул к получению точных оце-
4
к
нок всех коэффициентов локально однолистных гармонических отображений, генерируемых функциями класса 5 и функциями из обобщенного класса Каратеодори С (а); вычисление обобщенной константы Кебе, оценка коэффициентов квазиконформности; * исследование классов локально однолистных гармонических отображений, ассоциированных с р - кратно кругосимметричными однолистными функциями из классов 5Р и (оценки начальных коэффициентов и обобщенных констант Кебе).
Работа носит теоретический характер, поэтому ее результаты могут быть востребованы в дальнейших исследованиях по геометрической теории функций и смежным разделам математики, а также в тех прикладных вопросах, где используются конформные, квазиконформные и гармонические отображения. В приложении обсуждаются связи основной линии диссертационных исследований с комплексно аналитической динамикой и теорией фракталов.
Апробация работы. Основные результаты реферируемой диссертации были представлены на: Международной конференции "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания" (Обнинск, май 2002); Международной конференции "International Workshop on Potential Flows and Complex Analysis" (Киев, сентябрь 2002); Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, январь-февраль 2003); VI Казанской летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, июнь - июль 2003).
В целом работа доложена в 2003 г. на научном семинаре кафедры математического анализа Тверского государственного университета (рук. проф. В.Г.Шеретов), на семинаре по геометрической теории функций в Саратовском государственном университете - СГУ (рук. проф. Д.В.Прохоров) и на объединенном научном семинаре кафедр механико-математического факультета СГУ (рук. проф. А.П.Хромов).
Диссертационные исследования поддержаны грантом РФФИ (проект № 01-01-00112).
Публикации. Основные результаты диссертационных исследований опубликованы в 5 статьях и 4 тезисах. Список этих публикаций дан в конце автореферата.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав
5
основного текста, содержащих 11 параграфов, приложения с 8 рисунками, заключения и изложена на 115 страницах. Список использованной литературы включает 101 наименование. Нумерация параграфов - сквозная, нумерация теорем — по главам.
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ Введение состоит из одного параграфа: § 1. Исторический обзор и проблематика.
В нем характеризуются научное направление, проблематика и применяемые методы. Обоснована актуальность исследований, их новизна, сформулирована цель работы.
Глава 1. Приложения метода площадей к однолистным функциям классов С и S состоит из трех параграфов.
§ 2. Точные коэффициентные неравенства для однолистных функций класса Каратеодори.
Рассмотрим введенный К.Каратеодори и О. Теплицем класс С :— {р е Hol(A) : Rep(z) > 0 Vz € Д, р(0) = 1} и его подкласс Cs, образуемый однолистными функциями. Основной результат заключен в следующем утверждении.
Теорема 1.1. Пусть р € Cs,
OH = fav(»2-l)-"/2 (1.1)
и=1
- полином от (w2 — I)-1/2 с комплексными коэффициентами, причем адг ф 0. Тогда коэффициенты разложения композиции Q о p(z) в ряд Пюизе:
оо
Qop(z)= Kz"/2, (1.2)
v=-N
сходящийся в проколотом в начале координат двулистном единичном круге А\0, при т > N связаны точными неравенствами
т N
i/=i i/=i б
»
причем экстремалями для них являются ядра Шварца
1 + е^г , т РФ = 1_егф2>
Доказательства этой и двух следующих теорем параграфа основаны на варианте метода площадей В.Г. Шеретова. Символом С| обозначим класс всех ^-квазиконформных автоморфизмов р сферы Римана С, нормированных условием р(оо) = оо и таких, что их ограничения на круг А принадлежат классу С.
Теорема 1.2. Пусть р - произвольное отображение класса и и> - произвольный аналитический квадратичный дифференциал вида (С2'(и})с1'ш)2 на римановой поверхности где (¿(и)) определена формулой (1.1). Пусть в проколотом двулистном единичном круге Л\0 композиция С} о р представлена рядом Пюизе вида (1.2). Тогда выполняются коэффициентные неравенства
оо N
5>|м2<ь2£им2- (1-7)
1У=1 1>=\
Равенства в них достигаются в том и только в том случае, когда однолистная в круге Д функция р\ класса С в допускает продолжение до отображения р класса Сд, такого, что фор в двулистной области ДДД совпадает с к-квазиконформной функцией вида
N N
Ho{z) = ^b-uZ-^2 + ke^^b-uZ-^2,
v=0 v=\
где ф - действительное число.
Путем специализаций теорем 1.1 - 1.3 получена
Теорема 1.4. Коэффициенты функций класса Cs связаны точными неравенствами |2рч + р\\ < 4|pi| и |2рг — 3pf | < 4|pi|, |рз - р^рг — Pi/4| < |pi |, причем из двух первых следует оценка |pi| <2. Другими точными неравенствами на Cs являются
Ы < | + || + - ЗР2РЗ + ^Р1Р22 - ^P¡P21, (1.19)
\Р4 + PiPl/2+ Р1РЗ\ < 4\/l — (4 — \f>2 +Pi/2|2)/15, (1.29)
< 4\/l - (4 - |p2 - 3pi/2|2)/15, (1.31)
|4p3 + 2prVl - 6pip2 + i <
< 4v/l-(4-|pr1P2+Pi/2|2)/15 + 4^/l-(4-br1P2-3pi/2|2)/15,
(1.32)
где p,, := pv/pi , если и > 1.
Аналогичные неравенства имеют место на классах С7§, и они в общем случае асимптотически точны при к —» 1.
§ 3. Критерий однолистности функции класса Каратеодори.
Классический результат К. Каратеодори и О. Теплица, формулировка которого приведена в § 1 диссертации, дает коэффициентный критерий принадлежности функции p(z) с тейлоровским разложением в единичном круге А вида p(z) = 1 + pnzn классу С.
Опираясь на теорему 1.1 и результаты В.Г.Шеретова, в § 3 доказан следующий критерий:
Теорема 1.5. Функция р € С тогда и только тогда принадлежит классу Cs, когда р'(0) = р\ ф 0 и для произвольной аналитической функции
«и
с целыми комплексными коэффициентами Д, = т„+ти, и = 1, • • • , N, Pn Ф 0, при произвольном натуральном N коэффициенты разложения Пюизе
оо
Qop{z)= Y, b»z"'2
связаны точными неравенствами
n n
£>1М2<£ИЫ2- (1-33)
и= 1
»
§ 4. Оценки начальных коэффициентов в классе 5, зависящие от радиусов кругов покрытия элементов.
Результаты заключены в следующих теоремах.
Теорема 1.6. Второй тейлоровский коэффициент произвольной функции / € 5/с(схэ) допускает асимптотически точную при к —у 1 оценку
Ы < \(Г}1 + (1.45)
где с?/ - расстояние от начала координат до границы области /(Д). При к = 1 (1-45) превращается в точную на классе 5 оценку для |аг|.
Теорема 1.7. В классе 5&(оо) для третьего тейлоровского коэффициента справедлива асимптотически точная при к —» 1 оценка
4к2 - <1
-1
4 к2-^1 12 + 5^1 +
+
\
16 г,« .
^ \к2 + 5 к2 15 I.
12 +б^1 Ю24 1
(1.50)
При к = 1 неравенство (1.50) превращается в точную на классе 5 оценку для |оз|.
1
Глава 2. Дальнейшие приложения принципа площадей к однолистным функциям классов С в! и 5
Она состоит из трех параграфов.
§ 5. Новые серии точных коэффициентных неравенств в в подклассах С5[п] класса Св-
С помощью другого варианта метода площадей, также разработанного В.Г.Шеретовым, доказан следующий основной результат § 5.
9
Теорема 2.1. Пусть функция р принадлежит классу Cs и п произвольно заданное натуральное число. Тогда р'(0) = р\ Ф 0. Полагая т) = е2жг/п, определим
"М-П (Ч^1)- ™
Предположим, что риманова поверхность Р(Д) п-листна. Произвольно зададим также аналитическую функцию
N
ПИ = £/?„иГ"/2 (2.2)
М=1
с комплексными коэффициентами ¡л — 1, ■ • • , N, где Ду ф 0. 5 двулистном единичном круге с проколом в единственной точке ветвления z = 0 справедливо представление композиции Í2 о P(z) локально равномерно сходящимся рядом Пюизе:
оо
fioP(z) = £ P^z"/2. (2.3)
V——N n
Тогда коэффициенты ряда (2.3) связаны точными при всех s > nN неравенствами
£>|Д,|2 < (2.4)
V=1 v=l
Экстремалями неравенств (2.4) являются ядра Шварца и только они.
Условием n-листности римановой поверхности Р(Д) выделяется подкласс Cs[n] класса Cs-
§ 6. Асимптотически точные оценки начальных коэффициентов в подклассах класса Sm-
Символом Sm принято обозначать подкласс класса S, образуемый функциями /, такими, что |/(z)j < М Vz 6 Д, где М > 1 - параметр подкласса. Комбинированием метода из § 5 с методом приведенной площади в метрике, отвечающей аналитическому квадратичному дифференциалу с особенностями, выводятся некоторые асимптотически точные при М —► оо оценки тейлоровских коэффициентов аз, «4, as функций из специальных подклассов класса Sm-
10
Введем подкласс 5м,2, образуемый теми элементами класса 5м, для которых отображение — /(г)(—/(—г)) двулистно в единичном круге. Этот класс достаточно широк, так как ему принадлежат все нечетные функции из класса 5м- Применением принципа площадей к отображению ^ в метрике квадратичного дифференциала ш = (П'(ги)с^ги)2, где
т 4- М2
ПИ = (2.9)
доказана
Теорема 2.3. В классе 5м, 2 справедливо неравенство
]оз - аЦ2| < 1 + М~2 (2.12)
и асимптотически точная при М —> оо оценка
|а3| <3-4М~1 + ЗМ-2. (2.13)
Заметим, что функция Пика не является экстремалью оценок (2.12) и (2.13).
Выделим теперь подкласс класса 5м, в котором аналогичным путем можно получить оценку модуля четвертого тейлоровского коэффициента, асимптотически точную при М —> оо. Пусть г] = е2жг^3. Символом 5м,з обозначим подкласс, образуемый теми элементами / € 5м, для которых отображение
/(*) Г1 /М Г2 /(г?2 г) (2.14)
в круге Д является трехлистным. Этому подклассу принадлежат все функции класса 5м, для которых /(77 г) = т^f(z) У г & А. Действуя по изложенной выше схеме, возьмем
гу + М3
принимая во внимание, что < М3. Имеет место
Теорема 2.4. 5 классе 5м,з справедливо неравенство
|а4 - а2 а3 + а\/3| < |(1 + М~3). (2.18)
11
Кроме того, в классе 5м,2 П 3 верна асимптотически точная при М —» оо оценка
|а4| < 4 - 6 М'1 + 6 М~2 - |М~3. (2.22)
О
Выделим еще подкласс класса Sm, в котором аналогичным путем можно получить оценку модуля пятого тейлоровского коэффициента, асимптотически точную при М —► оо. Пусть Т) = i. Символом Sm,4 обозначим подкласс, образуемый теми элементами / £ Sm, для которых отображение
F(z) := f(z)f(iz)f(-z)f(-iz)
в круге Д является четырехлистным. Этому подклассу принадлежат все функции класса Sm, для которых f{iz) = if(z) Vz € Д. Действуя по изложенной выше схеме, возьмем
w + М4 yjw
Доказана
Теорема 2.5. 5 классе Sm,a справедлива оценка
|а5 - а2 а4 - о|/2 + а! а3 - а|/4| < ^(1 + М~4), (2.25)
а в классе Sm,2 П ^м.з П ^мд имеет место асимптотически точная при М —► оо оценка
|а5| < 5 - 8М"1 + 9М"2 - —М-3 + \м~А. (2.31)
о о
Возможно, но технически более сложно, получение аналогичных результатов для коэффициентов Об, а7 в соответствующих подклассах класса Sm-
§ 7. Применение принципа площадей к оценке третьего коэффициента в классе 5[/о]. Точные оценка логарифмических коэффициентов в классе 5*.
Здесь приводится доказательство справедливости нового точного неравенства, связывающего второй и третий тейлоровские коэффициенты в подклассе 5[/о] класса 5, основанное на принципе площадей. Следствием этого неравенства является точная оценка |аз| < 3 на подклассе 5[/о]. Все известные доказательства этой оценки в классе 5, данные К. Левнером (1923), А. Шеффером и Д. Спенсером (1943), Г.М. Голузиным (1946), Дж. Дженкинсом (1953) и Л. де Бранжем (1984), были основаны на других идеях. Классическое неравенство ы < |ы2 + \/(4 — |аг|2)/3, полученное методом площадей, приводит к неточной оценке |аз| < 28/9.
Пусть /о(-г) = г/(1 + г)2 - лучевая функция Кебе, /(г) = г + агг2 +
а3г3 Н----произвольно фиксированная функция класса 5. Подкласс
£[/о] выделим условием: функция Р(г) := /(г)/о(л) отображает единичный круг Д на двулистную риманову поверхность -Р(Д). Доказано включение 5* С 5[/о]. Рассмотрим аналитическую функцию £1(1») := го-1/2. Принцип площадей для отображения Р = / • /о в метрике аналитического квадратичного дифференциала ш :— ((и)~г/2)')2д,г1]2 приводит к следующему утверждению.
Теорема 2.6. Для произвольной функции /(г) = г + а^г2 + аз г3 + • • • класса 5[/о] справедливо точное неравенство
|аз-(|а2-вя)| <2. Далее, если аг = |ог| > 4/3, то
3
О < |аз| < 2 + -а2 — ог,
причем правая оценка точная с экстремалью ^(г) = г/(1 — г)2.
Если же а2 = |аг| < 4/3, то
3
О < |а3| < 2 + ог - —а2.
13
Добиться выполнения условия а<ь = |ог| можно путем вращения / —> / (е1^ г) с подходяпщм значением ф. Это преобразование не изменяет модулей тейлоровских коэффициентов.
Очевидным следствием этой теоремы является
Теорема 2.7. В классе 5[/о] выполняется точная оценка |аз| < 3.
Глава 3. Метод структурных формул для локально однолистных гармонических отображений состоит из четырех параграфов.
§ 8. Вывод структурной формулы для гармонических отображений.
Параграф носит вспомогательный характер. В работах Дж. Клуни и Т. Шейл Смолла, В. Хенгартнера, П. Дюрена, А. Лизайка, В.Г.Шере-това и других были изучены свойства некоторых классов однолистных гармонических отображений, обобщающих класс 5.
Введем класс всех комплекснозначных гармонических сохраняющих ориентацию однолистных отображений / = д + /г, определенных в открытом единичном круге Д и нормированных условиями /(0) = 0, /г(0) = 1, /г(0) = 0. Голоморфные функции /г и д представляются в Д рядами Тейлора
оо оо
Цг) = г + ^2аиги, д{г) = ^Кг",
1/=2 1/=2 определяющими коэффициенты а„ и Ьи гармонического отображения /. Класс 5д - компакт в топологии локально равномерной сходимости элементов в Д.
Рассмотрим класс ¡Зд всех сохраняющих ориентацию локально однолистных гармонических отображений / = д + к круга Д, нормированных условиями /(0) = 0, /г(о) = 1, /г(0) = 0.
Введем также подкласс 5, образуемых голоморфными функциями Р £ Очевидно включение 5 С 5. Имеет место Теорема 3.0. Пусть ¡3 - произвольно фиксированное действительное число. Каждому элементу / = ~д + Ь, класса отвечает единственная пара функций Р е 5 и Н 6 С, определяемых по формулам
Р = К + е*0д, (3.2)
14
1 - е*д>/У
1 + /Н'' (3'3)
соответственно. Обратно, любая пара элементов Р € 5 ы Н 6 С порождает отображение /р класса по формуле
§ 9. Оценки коэффициентов, теорема покрытия и константы квазиконформности в классах (а).
Дальнейшие результаты диссертации демонстрируют ряд приложений теоремы 3.0. Символом а) обозначим множество тех элементов из которые представимы по формуле (3.4) с действительным /3, .Р 6 5 и Н £ С (а), а е [0,1). При этом С (а) - подкласс класса С, выделяемый условием Яер{г) > а. Положим := 5^(0). Полученные в [96], [98] результаты для класса ниже обобщаются на классы 5д(а).
С помощью формулы Рисса-Герглотца показано, что тейлоровские коэффициенты произвольной функции класса С (а) при всех натуральных п удовлетворяют точным оценкам \рп\ < 2(1 — а) и экстремалями являются функции вида
1 + р1** г
Рв(г) = а + (1 - <*) 0 € К.
Комбинируя эти оценки с теоремой Бибербаха - де Бранжа, приходим к следующему результату.
Теорема 3.1. Для коэффициентов ап и Ьп произвольной функции класса (а) имеют место точные неравенства
1КЫМ|<П (3.5)
для всех п > 2;
|Ьп|<(1_а)(Ц^)Й1^) \/п > 2, (3.6) 6
|an| < n + (1 - a)(n 1}l2n 1} Vn > 2. (3.7)
b
Равенства в них выполняются одновременно для всех п > 2, причем экстремалями являются функции f, генерируемые F = z/{\ — z)2 € S, H(z) = Pe{z) no формуле (3.4), а для (3.5) также функции Кебе.
Далее ставится задача о вычислении либо оценке обобщенной константы Кебе для класса ¡3%(а), то есть радиуса наибольшего открытого круга с центром в начале координат, целиком содержащегося в какой-либо однолистной подобласти U римановой поверхности /(Д) любой функции / € и содержащей / - образ достаточно малой
окрестности начала координат. Доказана
Теорема 3.3. Обобщенная постоянная Кебе для класса §°н{а), 0 < а < 1, ограничена снизу константой J(l, а), где
J о I1 + Ч
rVa^KiEM.
1 — аг
Предел «7(1, а) при а —* 0 равен 1/6 и является точным значением обобщенной константы Кебе для класса ёц.
Для класса SaH аналог гипотезы Бибербаха о коэффициентах, задачи о константе Кебе и еще 5 проблем были поставлены Клуни и Шейл-Смоллом в 1984 г. Теорема 3.1 дает решение аналога задачи Бибербаха в классах S%(а), а теорема 3.3 дает асимптотически точную при а —> 0 оценку снизу для обобщенной константы Кебе в этих классах. Доказательства в случае а = 0 принадлежат В.Г.Шеретову. В конце § 9 получен следующий результат об искажении.
Теорема 3.4. Пусть D* - максимальная звездная относительно начала координат однолистная подобласть римановой поверхности /(Д). Наименьшее расстояние dr от точки О G /(Д) до множества уровня f(\z| = г) ПD* в классе Sfj(а) не меньше величины J(r, а). В пределе при а —* 0 отсюда получается точная оценка
в классе §%.
Доказано, что функция Н ответственна за лаврентьевскую характеристику р/ и коэффициент квазиконформности К(/) гармонического отображения /, которое является отображением типа Тейхмюлле-ра. Квадратичный дифференциал Хопфа д'ЫЛг1 = е-1/3(1 — Я2) • \Р" I2]2 • А г1 имеет единственный нуль в начале координат, порядок которого равен порядку нуля функции Н — 1.
§ 10. Исследование классов гармонических отображений, ассоциированных с р-кратно симметричными однолистными функциями.
Целью параграфа является получение оценок начальных коэффициентов и теорем покрытия для классов локально однолистных сохраняющих ориентацию гармонических отображений, представи-мых по структурной формуле (3.4), в которой Н(г) = 1 + Н\г + +
•••ее,
*•(*) = г + Ар+1 гр+1 + А2р+1 22р+1 + ■■■,
функция из подкласса класса 5, образуемого такими Р,
что Р[е1^г1рг) = е2пг/рР(г) У г 6 Д. Здесь р - заданное натуральное число, параметр класса
Итогом проведенного анализа является
Теорема 3.5. Начальные коэффициенты любой гармонической функции / класса удовлетворяют точным неравенствам
М = \К\ < (и)-1, еслии = 2, • • • ,р; (3.28)
|ар+1| < 2р-1 + (р + I)"1; |Ьр+1| < (р+ 1)-г;||ар+1| - |Ьр+1|| < гр"1;
(3.29)
|ар+„| = \Ьр+и\ < {р + и)'1 + 2(р + 1)(р(р + ^))-1, еслии = 2, • • • ,р;
(3.30)
|а2р+1| < +- + (2р+1)-1 +
р Р
+(р+1)(2р+1)"12р-1; (3.31)
|Ь2р+1| < (2р + I)-1 + (р + 1)(2р + I)"1 2р-1; (3.32)
||о2р+1| - (бгр-ыП < +р-1; (3.33)
17
К+2| = |Ь2р+2| < 1 +Р-1 + (2p-1e-2frr +р-(3.34)
причем общими экстремалями всех неравенств (3.28)-(8.30) являются функции /*, генерируемые ядрами Шварца up- лучевыми функциями по формуле (3-4)-
Доказательства этой и следующей теорем используют классические оценки начальных коэффициентов и теоремы об искажении в классах 5(f).
Теорема 3.6. Константой Кебе Кр для класса S% p является интеграл
т ИЬ= f1 (!-*)(!
{ ,Р>' Jo (1 + t)(l + tpy+vp'
Экстремали генерируются ядрами Шварца и р- лучевыми функциями по формуле (3-4). Расчеты с использованием пакета Maple 8.00 показывают, что Кх = 1/6, К2 = 7г/4 - 1/2 « 0.2853981635, К3 « 0.3299916251 , К4 » 0.3506438808, К5 и 0.3617674999, К6 « 0.3684131456, КТ ю 0.3726905755, 1<Г8 и 0.3756019989.
Заметим, что предел 1{1,р) при р —> оо равен /ц (1— i)(l + t)-1 dt = 2 log 2 - 1 и 0.38629436.
§ 11. Гармонические отображения, ассоциированные с конформными отображениями из классов Sff.
Подклассы класса Sm выделяются свойством р-кратной круговой симметрии: F G 5м и F(e2m/pz) = e2™/pF(z) для всех z € А; р - заданное натуральное число. Доказана теорема 3.9 о точных оцен- i
ках начальных коэффициентов произвольного гармонического отоб- '
ражения класса Sfj p(M), элементы которого представимы по формуле (3.4) с генераторами F € и Н е С.
В Заключении даны краткие формулировки основных положений диссертации, выносимых на защиту.
Приложение включает исходный текст программы для построения некоторых новых фракталов типа множеств Мандельброта и Жюлиа, в том числе - квазидисков, изображения этих фракталов и приближенные построения линий уровня функций Грина для соответствую- | щих множеств Фату.
Известно, что принцип площадей позволяет выразить меру Лебега заполненного множества Жюлиа для квадратичного полинома через лорановские коэффициенты конформного отображения его дополнения в С на внешность единичного круга. Эти связанные с основной тематикой диссертации факты и построения открывают возможности для дальнейших исследований.
Список публикаций
1. Григорьев В.В. Коэффициентные неравенства для однолистных функций класса Каратеодори // Международная конференция "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". Тезисы докладов. Обнинск, 2002. С. 34-35.
2. Григорьев В.В. Приложения метода площадей к конформным отображениям класса Каратеодори // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2002. С. 30-40.
3. Grigoryev V.V., Sheretov V.G. Coefficient Univalence Criterion for the Functions from Caratheodory Class // International Work shop on Potential Flows and Complex Analysis. Ukraine, Kiev, 23-29 September 2002. Program and Abstracts. Kiev, 2002. P. 20-21.
4. Григорьев B.B., Шеретов В.Г. Новые приложения принципа площадей к однолистным функциям // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2003. С. 52-70.
5. Григорьев В.В. Применения метода структурных формул к локально однолистным гармоническим отображениям // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2003. С. 38-51.
6. Григорьев В.В. Неравенства для начальных коэффициентов функций класса S, зависящие от радиусов кругов покрытия элементов // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2003. С. 32-37.
7. Григорьев В.В., Шеретов В.Г. Новые приложения принципа площадей // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Воронежская зимняя математическая школа.
19
1&И2. »181 12
Материалы конференции. Воронеж, 26 янв. - 2 февр. 2003 г. С. 81-82.
8. Григорьев В.В., Шеретов В.Г. Некоторые модификации фракталов Манделъброта и Жюлиа // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского. Т. 19. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы шестой Казанской международной летней школы- конференции. (Казань, 27июня-4 июля 2003). Казань, 2003. С. 80-81.
9. Григорьев В.В. Коэффициентные неравенства для однолистных функций класса Каратеодори // Труды Международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". Обнинск, 2003 (в печати).
Изготовлено в Центре Документации фирмы "Фаэтон" г. Тверь, ул. Советская, 21. Тир. 100 экз.
ВВЕДЕНИЕ
§1. Исторический обзор и проблематика
ГЛАВА 1 . ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИНЦИПА ПЛОЩАДЕЙ К ОДНОЛИСТНЫМ ФУНКЦИЯМ
КЛАССОВ С И
§2. Точные коэффициентные неравенства для однолистных функций класса С Каратеодори
§3. Критерий однолистности функции класса Каратеодори.
§4. Оценки начальных коэффициентов в классе S, зависящие от радиусов кругов покрытия элементов
ГЛАВА 2 . ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИНЦИПА
ПЛОЩАДЕЙ К ОДНОЛИСТНЫМ ФУНКЦИЯМ
КЛАССОВ С5, SM И S
§5. Новые серии точных коэффициентных неравенств в подклассах Cs[n] класса Cs
§6. Асимптотически точные оценки начальных коэффициентов в подклассах класса Sm
§7. Применение принципа площадей к оценке третьего коэффициента в классе 5[/о].
Точные оценки логарифмических коэффициентов в классе
ГЛАВА 3. МЕТОД СТРУКТУРНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ ЛОКАЛЬНО ОДНОЛИСТНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
§8. Вывод структурной формулы для локально однолистных гармонических отображений
§9. Оценки коэффициентов, теорема покрытия и константы квазиконформности в классах Sjj (а)
§10. Исследование классов гармонических отображений, ассоциированных с р-кратно симметричными однолистными функциями
§11.Гармонические отображения, ассоциированные с конформными отображениями из классов
1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР И ПРОБЛЕМАТИКА
1. Полуторовековая история геометрической теории функций комплексного переменного берет начало в трудах великого немецкого математика Б. Римана. В 1851 г. он защитил докторскую диссертацию на тему "Основы общей теории функций одной комплексной переменной" , а три года спустя прочитал свою знаменитую лекцию " О гипотезах, лежащих в основании геометрии". В них были введены фундаментальные математические понятия "многократно протяженной величины" (риманова пространства, дифференцируемого многообразия), многолистной римановой поверхности, конформного отображения, аналитического продолжения и другие. Идеи Римана пролили свет на истинную природу понятия многозначной функции. Были введены понятия однолистной и многолистной функции и важный "принцип Дирихле", положенный в основу доказательства знаменитой теоремы Римана о конформных отображениях. Данная К. Вейер-штрассом критика принципа Дирихле низвела доказательство Римана на уровень эвристических суждений, и только сорок лет спустя почти одновременно появились три строгих доказательства теоремы о существовании и единственности однолистного конформного отображения односвязной области с границей, содержащей более одной точки, на круг. Их авторами были Д. Гильберт, А. Пуанкаре и П. Кебе. Столь долгий период поиска строгого обоснования принципа Дирихле отмечен важными вехами становления и развития геометрической теории 4 функций. Вейерштрасс создал строгую теорию аналитического продолжения на основе степенных рядов. Пуанкаре построил теорию ав-томорфных функций, связал ее с теорией римановых поверхностей и неевклидовой геометрией Лобачевского. Ф. Клейн и Г.А. Шварц также развили тополого-алгебраические методы и широко использовали идею симметрии для решения задач геометрической теории функций. Знаменитая теорема Пуанкаре-Кебе-Клейна об униформизации аналитических функций была непосредственной предшественницей первых исследований геометрических свойств классов однолистных голоморфных функций. Речь идет о доказанной П. Кебе почти сто лет назад, в 1907 г., теореме о покрытии в классе нормированных однолистных функций. Теория конформных отображений получила значительное развитие в связи с тем, что было начато систематическое изучение классов однолистных функций в заданной области, то есть тех функций, которые реализуют различные подходящим образом нормированные конформные отображения этой области. Причем в качестве таких областей обычно берутся канонические области -единичный круг, его внешность, полуплоскость, прямолинейная полоса, круговое кольцо. Основной результат теории состоит в том, что классы однолистных функций образуют нормальные семейства. Как следствие получаем, что каждая экстремальная относительно заданного непрерывного функционала А(/) задача в таком классе имеет по крайней мере одно решение. В случае задачи на минимум (максимум) можно иметь дело с полунепрерывными снизу (сверху) функционалами. Именно этот подход позволил получить строгие доказательства римановой теоремы о конформном отображении односвязной области на круг, теорем Гильберта, Голузина, Шиффера о конформных отображениях многосвязной области на канонические области с разрезами. Классы однолистных функций наделены топологией локально равномерной сходимости элементов.
2. В настоящей диссертации одно из центральных мест занимает впервые рассмотренный К. Каратеодори [64] и О. Теплицем [82] класс С голоморфных в круге А := {z € С : \z\ < 1} функций p(z), имеющих положительную реальную часть и нормированных условием р(0) = 1. Каждый элемент р € С представляется в А рядом Тейлора: оо рМ = 1 + 5>я*я. (1) п=1
Очевидно, что выпуклая линейная комбинация элементов Pi,P2," т ,Рп класса С принадлежит классу С. Наличие выпуклой структуры на С позволяет доказать следующий классический результат.
Теорема А. (Рисса-Герглотца) Необходимым и достаточным условием принадлежности функции p(z) классу Каратеодори является ее представимость интегралом Стильтьеса: гк 1 L eitz T^V4dp{t)' (1Л) где р - борелевская вероятностная мера на промеоюутке [—7Г, 7г].
С помощью этого критерия легко выводятся интегральные параметрические представления для классов функций, выпуклых и однолистных, звездообразных и однолистных в круге и других. 6
Каратеодори и Теплиц решили задачу точного описания множества значений системы коэффициентов {(pi,••• 5Pn)}> n > 1 на классе С.
Теорема В. (Каратеодори-Теплица) Множество значений системы коэффициентов {(pi, • • • ,Рп)Ь п>1 на классе С есть замкнутое выпуклое ограниченное множество Кп точек п ~ мерного комплексного евклидова пространства Сп для которых определители
2 Pi Рк
Pi 2 ■ • Рк-1
Р2 Pi • • Рк-2 pk pk-i . 2
1 < к < п, либо все положительны, либо положительны до какого-то номера, начиная с которого все равны нулю. Последний случай отвечает принадлежности точки (pi, • • • ,рп) границе дКп тела коэффициентов Кп. Каждой граничной точке этого тела отвечает только одна функция класса С и она имеет вид выпуклой линейной комбинации
Ек \ z д-jt—
1 — егЪи z
V~\ с положительными коэффициентами Х», причем 1 < к < п и tu t^ при fi Ф У, /i, У = 1, • • • ,72.
Представляя ядро Шварца
ГгЙ- tsR' (1'2) 7 в (1.1) рядом Тейлора, почленно интегрируя его и пользуясь норми-рованностью меры р, можно получить точные оценки \рп\ < 2, экстремалями которых являются ядра Шварца. Более того, областями значений функционалов рп = рп(р) являются круги с центром в начале координат радиуса 2.
Областью значений функционала p{z$) на классе С (zq- фиксированная точка единичного круга) является круг, диаметром которого служит отрезок
-1-Ы i + N]
Ll + |^o|' l-\zo\\'
Граничные точки круга вносятся только ядрами Шварца. Если ввести бесконечную матрицу
А =
2 Pi Р2 Рз
Pi 2 • Р2
Р2 Pi 2 Р1
Pi
Рк Pk-i ■ • \. то с учетом приведенных фактов можно привести следующую формулировку критерия Каратеодори-Теплица.
Теорема С. Множество значений системы коэффициентов {{Pi,P2i" ')} па классе С есть замкнутое выпуклое множество К точек бесконечномерного комплексного пространства С°°, определяемого условием неотрицательности всех главных миноров матрицы 8
А. Область коэффициентов Z?oo(C) •= К является подмножеством декартова произведения кругов \ри\ < 2, и € N. Граничные точки множества К характеризуются обращением в нуль главных миноров матрицы А, начиная с некоторого.
Класс Каратеодори порядка а, 0 < а < 1, обозначаемый символом С(а), состоит из голоморфных в единичном круге функций p(z), нормированных условием р(0) = 1 и принимающих значения в полуплоскости Rew > а. Его элементы имеют интегральные представления вида
Гт 1 л. eitz p(z) = ( 1-а) ^ i±—|dp(t) + a.
В диссертации будет изучаться подкласс Cs класса С, образуемый однолистными функциями.
3. Упомянутый выше результат Кебе привлек внимание Й. Пле-меля, Т. Гронуолла, Г. Пика, Г. Фабера, JI. Бибербаха. Гронуолл (1914) первым применил так называемый "принцип площадей" (площадь неотрицательна) к доказательству утверждения о том, что если функция оо и=1 однолистна в А и голоморфна за исключением простого полюса в начале координат, то выполняется точное неравенство площадей схэ
Ыа<1и=1
Два года спустя Бибербах [40] и Фабер нашли точное значение константы Кебе - радиуса круга покрытия для класса S, образуемого 9 однолистными в Д голоморфными функциями f(z) = Z + ап гП
Она оказалась равной 1/4, а функции (i + kp' ф 6 м> получившие впоследствии название (лучевых) функций Кебе, оказались экстремальными и в ряде других задач.
Одновременно Бибербах доказал, что в классе S выполняется точная оценка |аг| < 2 с функциями Кебе в качестве единственных экстремалей и высказал ставшее широко известным предположение (гипотезу Бибербаха) о том, что в классе S для всех п € N имеют место точные оценки \ап\ < п с теми же экстремальными функциями. Тогда же была поставлена проблема коэффициентов Бибербаха, требующая точного описания области Vn в евклидовом пространстве размерности 2п — 2, заполняемой точками (Reai, Ima2, • • • , Rean, Iman), где (&2, «з, • • * , «п.) ~ векторы, образуемые начальными тейлоровскими коэффициентами функций f S. Проблемы о влиянии однолистности отображения на величины коэффициентов отображающих функций и структуру го-тел коэффициентов Vn были, очевидно, навеяны работами Каратеодори и Теплица о телах коэффициентов функций класса С.
Первого успеха в доказательстве гипотезы Бибербаха достиг в 1923 г. чешский математик К. Левнер [75]. Он развил метод параметрических продолжений конформных отображений класса S с помощью решений специального дифференциального уравнения (уравнения Левнера), правая часть которого представляла собой однопараметрическое семейство ядер Шварца. Здесь впервые обнаружилась
10 связь класса S с классом Каратеодори. На этом пути Левнеру удалось доказать гипотезу Бибербаха для п = 3. Другие доказательства неравенства |аз| <3 впоследствии были получены А. Шеффером и Д. Спенсером (1943), Г.М. Голузиным (1946), Дж. Дженкинсом (1951) и Л. де Бранжем (1984). Эти и другие подобные доказательства следует рассматривать как пробные камни для используемых методов оперирования с экстремальными проблемами конформного отображения, и основное значение проблем Бибербаха в действительности состоит в том, что они бросают вызов нашим методам в этой области. Не случайно каждое из продвижений происходило как результат развития или усовершенствования какого-либо метода в теории однолистных функций. Две проблемы Бибербаха, а также риманова проблема модулей в XX веке в немалой мере способствовали возникновению и совершенствованию глубоких и эффективных методов комплексного анализа: площадей и контурного интегрирования (Г. Грунский, Н.А. Лебедев, И.М.Милин, Л.Л. Громова, О. Лехто, В.Я.Гутлянский, Л. Альфорс, В.Г. Шеретов, А.З. Гриншпан, Э. Хой и другие; см.[18], [20], [55-59], [5], [34], [36], [37], [87, 88], [92-94], [99]); внутренних и граничных вариаций конформных и квазиконформных отображений (Г.М.Голузин, М.А. Лаврентьев, М. Шиффер, А. Шеффер, Д. Спенсер, Л. Альфорс, Л. Берс, П.П. Белинский, К.И. Бабенко, С.Л. Круш-каль, Р. Кюнау, В.Я.Гутлянский, В.И. Рязанов, В.Г. Шеретов и другие; см. [4-8], [10], [14-17], [60], [32], [33], [35], [62], [89-91]); модулей и экстремальных метрик (Г. Греч, О. Тейхмюллер, Л. Альфорс, А. Берлинг, Л. Берс, Дж. Дженкинс, В.А. Зорич, Б.В. Шабат, П.М.
Тамразов, Г.В. Кузьмина, Р. Кюнау, В.Г. Шеретов, А.Ю. Васильев и другие; см. [5, б], [10, 11], [13], [19], [26], [29], [30], [86]); параметрических продолжений и методов оптимального управления (К. Левнер, П.П.Куфарев, И.А. Александров, В.И. Попов, В.Я.Гутлянский, Д.В. Прохоров, А.Ю.Васильев и другие; см. [2, 3], [75], [81]); симметриза-ций (Г. Пойа, Д. Cere, М. Маркус, И.П. Митюк, В.Н.Дубинин, А.Ю. Солынин, Л.В. Ковалев и другие; [22-25], [11], [31], [61], [77] [65]); структурных формул (К. Каратеодори, И.А. Александров, В.А. Змо-рович, В.В. Черников, В. Хенгартнер, В.Г. Шеретов и другие; см. [2], [83], [95, 96], [98]). Сферы применимости этих методов нередко выходят за рамки геометрической теории аналитических функций. Приведенный перечень методов и авторов весьма субъективен и далек от исчерпывающего. Вне его рамок остался метод Л. де Бранжа [41], позволивший ему дать полный положительный ответ на гипотезу Бибербаха. Перспективными в теории отображений представляются современные методы голоморфной динамики [21], а также новые методы С.Л. Крушкаля [15], [42], [69, 70], Ф.Г. Авхадиева [1]. В.И. Рязанова, В.Я. Гутлянского, В.В. Горяйнова, Г. Давида, В.В. Чуешева и другие.
4. Продолжим обзор исследований о коэффициентах функций класса S. Впервые оценка [ад] < 4 была получена П. Гарабедяном и М. Шиффером [43], после чего Альфорс [36] доказал ее методом площадей, хотя оценка |аз| < 3 для этого метода казалась недосягаемой. Лишь недавно В.Г. Шеретовым [99] был предложен усиленный вариант метода площадей в метриках аналитических квадратичных диф
12 ференциалов, заданных на многолистных римановых поверхностях, открывший новые возможности, используемые и в настоящей диссертации.
Ранее де Бранжа были получены доказательства гипотезы Бибербаха для п = б (Р. Педерсон [79], 1968 г.) и для п = 5 (Р. Педерсон и М. Шиффер [78], 1972 г.). Оба они, особенно последнее, весьма громоздки. В 2002 г. В.Г. Шеретов [99] получил эти оценки методом площадей в подклассе, содержащем класс 5*, как следствие новых серий точных неравенств, связывающих начальные тейлоровские коэффициенты.
Главы 1 и 2 настоящей диссертации посвящены применениям двух вариантов метода площадей В.Г. Шеретова [93], [97], [99] к задачам о коэффициентах однолистных функций класса Каратеодори. Доказан коэффициентный критерий однолистности функции р € С. Дан вывод неравенств типа Альфорса [36], связывающих начальные тейлоровские коэффициенты функций классов Cs, S, а также совместно с научным руководителем получено доказательство оценки |аз| < 3 в подклассе 5[/о] класса S методом площадей. Установлены верхние оценки начальных тейлоровских коэффициентов аз, сц, а5 функций из подклассов класса Sm j зависящие от параметра М и асимптотически точные при М —> оо. Найдены точные оценки всех логарифмических коэффициентов в подклассе S* класса S, образуемом звездными функциями.
Проблема описания п - тел коэффициентов Vn и получения ко
13 эффициентных критериев однолистности также оставалась в центре исследований. В 1939 г. Грунский получил в [58] важный критерий однолистности в терминах введенных им коэффициентов называемых ныне коэффициентами Грунского однолистной функции. В известной монографии А. Шеффера и Д. Спенсера [32] дано точное описание тела коэффициентов V2 = D2(S). Другие критерии однолистности были установлены Г.М. Голузиным, И.Е. Базилевичем, В.Я. Гутлянским, причем последний завершил начатое К. Левнером и продолженное П.П. Куфаревым исследование связи между классами S и С. В.Г. Шеретов в 1985 г. применил метод площадей для получения счетной системы точных коэффициентных неравенств, вполне характеристической для области коэффициентов оо(5) := {(а2, «з, • • •) е С°° : оп = /(п)(0)М п = 2,3, • • • , / G 5}.
Этот результат дает алгоритмическое решение проблемы коэффициентов Бибербаха. Он изложен в главе 5 докторской диссертации [33] и в усиленной форме опубликован в статье [97].
Эти и многие другие исследования нашли отражение в монографической литературе [1-33], [34, 35]. Интересно отметить, что класс Каратеодори находится в тесной связи с классом В голоморфных в круге Д функций /, не обращающихся в нуль и таких, что \f(z)\ < 1. До настоящего времени не решена гипотеза Я. Кшижа [72] о том, что для любой функции / € В выполняются точные оценки \an(f)\ < 2е-1, экстремали которой ассоциированы с ядром Шварца. Некоторые результаты по проблеме Кшижа можно найти в [73, 74], [80], [85], [100].
14
5. Предметом диссертационных исследований являются также аналитические функции с квазиконформными продолжениями и гармонические отображения.
Основоположниками теории квазиконформных отображений были Г. Греч и М.А. Лаврентьев (1928). В настоящее время это обширная область математики [4], [6], [9], [14, 15], [17], [19], [24], [29, 30], [33, 34], [60] [69-71], [86-92], переросшая рамки геометрической теории функций, в недрах которой она зародилась.
Напомним, что соболевским гомеоморфизмом называется решение / уравнения Бельтрами /г = ц/z с измеримым коэффициентом \i{z), IMloo < 1? реализующим сохраняющее ориентацию топологическое отображение плоской области D на область f(D) С С. Если / -диффеоморфизм, то обобщенные производные fz и fe совпадают с формальными производными fz~ 2[дх W ~ 2[дх + W'
Функция \х называется комплексной характеристикой соболевского гомеоморфизма /. Если ||//||оо = к < 1? то / называется к - квазиконформным гомеоморфизмом (отображением). Квазиконформное отображение - это к - квазиконформное отображение при некотором к, 0 < к < 1. 0 - квазиконформные отображения и только они являются конформными отображениями первого рода. Якобиан Jj квазиконформного отображения / определен почти всюду в D формулой Jj = \fz\2 — \ fz\2 и почти всюду в D положителен. Если / конформное отображение области D, то J/ = |/'|2.
15
Определим еще действительные (локальные) характеристики p/(z) YL0f(z) квазиконформного отображения /, введенные М.А. Лаврентьевым (см. [9]). Они следующим образом выражаются через комплексную характеристику fi = fif. ч 1 + И*)1 а / ч я" 1 p/(z)=rrai'w = 2+ 2arg
В общем случае эти функции определены почти всюду на подмножестве, где fi(z) ф 0. Если fi(z) = 0, то p/(z) = 1, а вторая лав-рентьевская характеристика 9/(z) не определена. Геометрический смысл характеристик p/{z), 9j{z) заключается в том, что в точке диф-ференцируемости z отображения / бесконечно малый эллипс с центром z, отношением большой и малой полуосей равным Pf{z) и углом наклона его большой оси к оси абсцисс, равным 9f(z) преобразуется гомеоморфизмом / в бесконечно малую окружность с центром w = f{z). Квазиконформные диффеоморфизмы обладают этим локальным свойством в каждой точке отображаемой области, то есть являются локально аффинными преобразованиями. Конформные отображения преобразуют бесконечно малые окружности в бесконечно малые окружности.
Функционал К[/] ||р/|1>|| оо называется коэффициентом квазиконформности отображения / в области D. Он связан с существенной нормой комплексной характеристики к/ := Ц/х/^Цоо (или дилатаци-ей отображения /) в области D соотношением К[/] = (1 + kf)/( 1 — kf). Анализ задачи Греча-Тейхмюллера о минимизации К[/] в свободных гомотопических классах квазиконформных гомеоморфизмов компактных римановых поверхностей привел к решению восходящей
16 к Риману проблемы модулей алгебраических кривых и построению глубокой теории пространств Тейхмюллера [4], [6], [8], [14]. Э. Рейх, К. Штребель, В.Г.Шеретов [33], [89-90] и другие качественно исследовали задачу Гретча-Тейхмюллера для единичного круга и открытых римановых поверхностей.
В диссертации будут рассмотрены некоторые свойства классов 5^(оо), образуемых к - квазиконформными автоморфизмами римановой сферы С, таких, что /(оо) = оо и ограничения / на единичный круг принадлежат классу S. Эти и другие родственные классы квазиконформных отображений являются предметом современных исследований. Здесь они будут изучаться с помощью метода площадей.
Параллельно с 1926 г. развивалась теория гармонических отображений, имеющая тесные связи с конформными, квазиконформными отображениями и минимальными поверхностями. Авторами первых исследований были Т. Радо, X. Кнезер, Г. Шоке, Л.Д. Кудрявцев. Плоские евклидовы гармонические отображения реализуются комплекснозначными гармоническими функциями вида / = д + h, где д и h - голоморфные функции в отображаемой области. С каждым гармоническим отображением ассоциируются первая комплексная характеристика fj, := ~д'/h!, вторая комплексная характеристика и := g'/hякобиан J/ = \h'\2 — \д'\2, квадратичный дифференциал Хопфа ip(z)dz2 := д' h' dz2. Комплексная характеристика представи-ма в виде fi(z) = k(z) где k{z) — |д'/h'\ < 1. Если ||/i||oo =: к < 1, то / является к -квазиконформным отображением типа Тейхмюллера. Такие отображения нередко возникают как экстремали задач
17 квазиконформного отображения. В работах Дж. Клуни и Т. Шейл Смолла [66], В. Хенгартнера и Г. Шобера [83, П. Дюрена и В. Хенгарт-нера [63], А. Лизайка [76], и других были изучены свойства некоторых классов однолистных гармонических отображений, обобщающих класс S.
В.Г. Шеретов [95, 96], [98] предложил новый метод исследования классов локально однолистных гармонических отображений - метод структурных формул, связывающих эти классы с классами С, S. С помощью этого метода получены основные результаты третьей главы диссертации, связанные с оценками коэффициентов, теоремами покрытия и параметрами квазиконформности рассматриваемых отображений.
Приложение включает исходный текст программы для построения некоторых новых фракталов типа множеств Мандельброта и Жюлиа, в том числе - квазидисков, изображения этих фракталов и приближенные построения линий уровня функций Грина для соответствующих множеств Фату.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Подведем итоги и выделим основные положения работы, выносимые на защиту.
На протяжении XX столетия были достигнуты впечатляющие успехи в геометрической теории функций - теории римановых поверхностей, конформных, квазиконформных, гармонических отображений. Возникали и укреплялись многообразные перекрестные связи с другими ветвями современной математики и выходами во внематемати-ческие приложения. Последняя треть века отмечена решением крупных проблем в теории однолистных функций, теории экстремальных квазиконформных и гармонических отображений с выходами в тейх-мюллеровы пространства. Определяющий вклад в развитие методов геометрической теории функций внесли отечественные математики. Наряду с аналитическими, все больший вес приобретают численные методы, использование пакетов аналитических вычислений Maple 8.00 фирмы Waterloo Maple Inc., Mathcad фирмы Enhanced Engineering h Education, Inc. и других.
Данная диссертация посвящена применению разных вариантов метода площадей и метода структурных формул к задачам об оценках коэффициентов и о покрытии в известных и новых классах отображений (конформных, в том числе - с квазиконформным продолжением, р-кратной круговой симметрией, ограниченных; локально однолистных гармонических). На защиту выносятся следующие основные положения: доказательство неравенств площадей для подкласса Cs, образуемо
90 го однолистными в единичном круге А функциями р из класса С Каратеодори и подклассов Сд класса Cs, образуемых ограничениями на А к- квазиконформных автоморфизмов р римановой сферы; получение путем специализаций аналога неравенства Альфорса и других коэффициентных неравенств; доказательство критерия принадлежности функции р € С подклассу Cs в форме счетной системы точных коэффициентных неравенств; получение оценок второго и третьего тейлоровских коэффициентов функций из классов 5, Sk (оо), зависящих от радиусов кругов покрытия этих функций; применение принципа площадей к получению новых серий точных коэффициентных неравенств в подклассах Cs[n] класса Cs', вывод асимптотически точных при М —> оо оценок тейлоровских коэффициентов аз, сц, as в подходящих подклассах класса Sm', получение точной оценки, связывающей второй и третий коэффициенты в подклассе S[fo] класса S, и следующей из нее точной оценки модуля третьего коэффициента в этом подклассе; применение метода структурных формул к получению точных оценок всех коэффициентов локально однолистных гармонических отображений, генерируемых функциями класса S и функциями из обобщенного класса Каратеодори С (а); вычисление обобщенной константы Кебе, оценка коэффициентов квазиконформности; исследование классов локально однолистных гармонических отображений, ассоциированных с р - кратно кругосимметричными однолистными функциями из классов Sp и (оценки начальных коэффициентов и обобщенных констант Кебе).
Новые методы В.Г. Шеретова, использованные в диссертации, весьма перспективны.
1. Авхадиев Ф.Г.Конформные отображения и краевые задачи. Казань, 1996. 216 с.
2. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. 344 с.
3. Александров И.А. Введение в геометрическую теорию функций. Донецк, 1972. 335 с.
4. Альфорс JI. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969. 134 с.
5. Ahlfors L.V. Conformal Invariants: Topics in Geometric Function Theory. N.Y., 1973. 157 p.
6. Альфорс Л., Берс Jl. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. М., 1961. 177 с.
7. Бабенко К. И. К теории экстремальных задач для однолистных функций класса S // Труды матем. ин-та им. В. А. Стек-лова АН СССР. 1972. Т. 101. С. 1-318.
8. Белинский П. П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, 1974. 99 с.
9. Волковыский Л. И. Квазиконформные отображения. Львов: Львовск. гос. ун-т, 1954. 155 с.
10. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексногопеременного. М.: Наука, 1966. 628 с.104
11. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М.: ИЛ, 1962. 266 с.
12. Дубровин Б.А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения. Москва Ижевск, 2001. 152 с.
13. Кузьмина Г. В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы // Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. Ленинград: Наука, 1980. 241 с.
14. Крушкаль С. Л. Квазиконформные отображения и римановы поверхности. Новосибирск: Наука, 1975. 196 с.
15. Крушкаль С.Л., Кюнау Р. Квазиконформные отображения -новые методы и приложения. Новосибирск: Наука, 1984. 216 с.
16. Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. М.: ИЛ, 1953. 311 с.
17. Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. М., 1962. 136 с.
18. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975. 336 с.
19. Lehto О., Virtanen K.I. Quasiconformal Mappings in the Plane. Berlin: Springer-Verlag, 1973. 260 p.
20. Милин И.М. Однолистные функции и ортонормированные системы. М.: Наука, 1971. 256 с.
21. Милнор Дж. Голоморфная динамика. Ижевск, 2000. 320 с.
22. Митюк И.П. Симметризационные методы и их применение105в геометрической теории функций. Введение в симметриза-ционные методы. Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 1980. 91 с.
23. Митюк И.П. Применение симметризационных методов в геометрической теории функций. Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 1985. 95 с.
24. Митюк И.П., Шеретов В.Г., Щербаков Е.А. Плоские квазиконформные отображения. Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 1979. 83 с.
25. Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. М., 1956. Т. 1 396 е., Т. 2 - 432 с.
26. Pommerenke Ch. Univalent Functions. Gottingen, 1975. 375 p.
27. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М., 1960. 444 с.
28. Суетин П. К. Ряды по многочленам Фабера. М.: Наука, 1984, 336 с.
29. Суворов Г.Д. Обобщенный "принцип длины и площади" в теории отображений. Киев, 1985. 277 с.
30. Teichmiiller О. Extremale Quasikonforme Abbildungen und Quadr-atische Differentiate // Abhand. Preuss. Akad. Wiss. Math.-Naturwiss. Kl. 1939. N. 22. S. 1-198.
31. Хейман В.К. Многолистные функции. М.: ИЛ, 1955. 435 с.
32. Schaeffer А. С., Spenser D. С. Coefficient Region for Schlicht
33. Functions. AMS Colloq. Publ. V. 35. N-Y., 1950. 314 p.106
34. Шеретов В. Г. Квазиконформные отображения, экстремальные относительно своих граничных значений. Дисс.- • • доктора физ.-мат. наук. Краснодар, 1988. 322 с.
35. Шеретов В.Г. Аналитические функции с квазиконформным продолжением. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1991. 60 с.
36. Шиффер М., Спенсер Д.К. Функционалы на конечных рима-новых поверхностях. М., 1957. 347 с.
37. Альфорс J1. Неравенство между коэффициентами <22 и <24 однолистной функции // Некоторые проблемы математики и механики. Л., 1970. С. 71-74.
38. Ahlfors L.V. A Remark on Schlicht Functions with Quasiconfor-mal Extension // London Math. Soc. Lecture Notes Ser. 1974. N. 12. P. 3-10.
39. Баранова O.E. Некоторые применения метода площадей к классам аналитических функций с квазиконформным продолжением. Дисс. • • • канд. физико-математических наук. Тверь, 2001. 112 с.
40. Bieberbach L. Uber einige Extremalproblem in Gebiete der Kon-formen Abbildung // Math. Annalen. 1916. Bd. 77. S. 153-172.
41. Bieberbach L. Uber die Koeffizient Derjenigen Potentreihen, wel-che eine Schlichte Abbildung des Einheitskreises Vermitteln // Sitzungsbereichite Konig. Preuss. Akad. 1916. P. 940-955.
42. De Branges L. A. A Proof of the Bieberbach Conjecture // Acta
43. Math. 1985. V. 154. P. 137-152.107
44. Earle C.J., Kra I., Krushkal S.L. Holomorphic Motions and Teichmiiller spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1994. V. 343. P. 927-948.
45. Garabedian P., Schiffer M. A Proof of the Bieberbach Conjecture for the Fourth Coefficient //J. Ration. Mech. Anal. 1955. V. 4, N. 3. P. 187-238.
46. Григорьев В.В. Приложения метода площадей к конформным отображениям класса Каратеодори // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2002. С. 30-40.
47. Grigoryev V.V., Sheretov V.G. Coefficient Univalence Criterion for the Functions from Carateodory Class // International Workshop on Potential Flows and Complex Analysis. Ukraine, Kiev, 23-29 September 2002. Program and Abstracts. Kiev, 2002. P. 21-22.
48. Григорьев В.В. Коэффициентные неравенства для однолистных функций класса Каратеодори // Труды Международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания"., 2002. С. 35-40.
49. Григорьев В.В., Шеретов В.Г. Новые приложения принципа площадей к однолистным функциям // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2003. С. 20-40.
50. Григорьев В.В. Применения метода структурных формул к108локально однолистным гармоническим отображениям // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2002. С. 40-60.
51. Григорьев В.В. Неравенства для начальных коэффициентов функций класса S, зависящие от радиусов кругов покрытия элементов // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2003. С. 60-47.
52. Григорьев В.В., Шеретов В.Г. Новые приложения принципа площадей // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов Воронежской Зимней математической школы. Воронеж, 26 янв. 2 февр. 2003 г. С. 20.
53. Григорьев В.В. Коэффициентные неравенства для однолистных функций класса Каратеодори // Международная конференция "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". Тезисы докладов. Обнинск, 2002. С. 34-35.
54. Григорьева В. В., Розова Е. А. О неравенствах, связывающих модули второго и четвертого коэффициентов в классах Sk(оо) // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т, 1996. С. 59-66.
55. Григорьева В. В., Шеретов В.Г. Оценки в классах ограниченных однолистных функций с р-кратной симметрией // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т, 2001. С. 41-46.
56. Григорьева В. В., Шеретов В.Г. Метод структурных формул109для локально конформных отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т, 2002. С. 15-23.
57. Гриншпан А.З. Коэффициентные неравенства для конформных отображений с гомеоморфным продолжением // Сиб. ма-тем. журн. 1985. Т. 26, N. 1. С. 49-65.
58. Громова JI.JI. Некоторые приложения принципа площадей // Вестник Ленинградского гос. ун-та. 1968. N 7. С. 31-40.
59. Громова Л.Л. Приложение принципа площадей к экстремальным задачам конформного отображения неналегающих областей. Дисс • • • канд. физ.-мат. наук. Л.: ЛГУ, 1968.
60. Grunsky Н. Koeffizienten Bedingugen fur Schlicht Abbildende Mero-morphe Funktionen // Math. Zeitschrift. 1939. Bd. 45. S. 29-61.
61. Гутлянский В.Я. О принципе площадей для одного класса ква зиконформных отображений // Докл. АН СССР. 1973. Т. 212, N 3. С. 540-543.
62. Гутлянский В.Я., Шепетев В.А. Точные оценки модуля однолистной аналитической функции с квазиконформным продолжением. Препринт 79.13. Киев: ИМ АН УССР, 1979.
63. Дубинин В.Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, N 1. С. 3-76.
64. Думкин В.В., Шеретов В.Г. О задаче Тейхмюллера для одногокласса открытых римановых поверхностей // Мат. заметки.1101970. Т. 7, N 5. С. 605-615.
65. Duren P., Hengartner W. Harmonic Mappings of Multiply Connected Domains // Pacific J. Math. 1997. V. 180, N 2. P. 201-220.
66. Caratheodory C. Uber die Variabilitatsbereich des Fourierschen Konstanten von Positiv Harmonischen Funktion // Rendiconti Circ. Mat. di Palermo. 1911. V. 32. P.193-217.
67. Ковалев Л.В. Оценки конформного радиуса и теоремы искажения для однолистных функций // Записки научных семинаров ПОМИ. 2000. Т. 263 С. 141-156, 239-240.
68. Clunie J., Sheil-Small Т. Harmonic Univalent Functions // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A 1. Math. 1984. V. 9. P. 3 25.
69. Королева О.Е., Шеретов В.Г. Применение метода площадей к классам пар р-листных k-квазиконформных функций без общих значений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ. 1998. С. 132-143.
70. Krushkal S.L. Univalent Functions and Holomorphic Motions // J. Anal. Math. 1985. V. 66. P.253-275.
71. Krushkal S.L. Exact Coefficient Estimates for Univalent Functionswith Quasiconformal Extension // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1111. 1995. V. 20. P. 349-357.
72. Kiihnau R., Niske W. Abschatzung des Dritten Koefficienten bei den Quasikonform Fortsetzbaren Schlichten Funktionen der Klasse S U Math. Nachr. 1977. Bd. 78. S. 185-192.
73. Krzyz J.G. Problem 1, posed in Fourth Conference on Analytic Functions // Ann. Polon. Math. 1967-1968. V. 20. P.314.
74. Lewandowsky Z., Szynal J. On the Krzyz Conjecture and Related Problems // XVI-th Rolf Nevanlinna Colloquium. Berlin, 1996. P. 257 268.
75. Lewandowsky Z., Szynal J. On the Krzyz Conjecture and Related Problems II // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. 1998. Sect A. V. 52, N. 1. P. 73 82.
76. Lowner K. Untersuchungen iiber Schlichte Konforme Abbildung des Einheitkreises // J. Math. Ann. 1923. Bd. 89. S. 103-121.
77. Lyzzaik A. The Modulus of the Image Annuli Under Univalent Harmonic Mappings and a Conjecture of Nitsche // J. London Math. Soc. 2001 V. 64, N 2. 369-384.
78. Solynin A. Yu., Vuorinen M. Extremal Problems and Symmetriza tion for Plane Ring Domains // Trans. Amer. Math. Soc. 1996. V. 348, N 10. P. 4095-4112.
79. Pederson R., Schiffer M. A Proof of the Bieberbach Conjecture for the Fifth Coefficient // Archiv Ration. Mech. and Anal. 1972. V. 45, N. 3. P. 161-240.
80. Pederson R. A Proof of the Bieberbach Conjecture for the Sixth112
81. Coefficient // Archiv Ration. Mech. and Anal. 1968. V. 31, N 5. R 331-351.
82. Prochorov D. V., Szynal J. Coefficient Estimates for Bounded Nonvanishing Functions // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math. 1981. V. 29, N 5-6. P. 223 230.
83. Прохоров Д.В. Принцип максимума в решении экстремальной задачи на классе однолистных функций // Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27 , N. 1. С. 186-190.
84. Toplitz О. Uber die Fouriersche Entwicklung Positiver Funktio-nen. 11 Rendiconti. Circ. Mat. di Palermo. 1911. V. 32. P. 191-192.
85. Hengartner W., Schober G. Univalent Harmonic Functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. V. 299, N 1. P. 1 31.
86. Hengartner W., Szynal J. Univalent Harmonic Ring Mappings Vanishing on the Interior Boundary. // Canad. J. Math. 1992. V. 44, N 1. P. 308 323.
87. Szapiel W. A New Approach to the Krzyz Conjecture // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. 1994. Sect. A. V. 48, N 13. P 169 192.
88. Шеретов В.Г. Единственность экстремальных квазиконформных отображений типа Тейхмюллера // Мат. заметки. 1974. Т. 16, N 2. С. 213-220.
89. Шеретов В.Г. Гармонические отображения и однолистные функции // Мат. анализ. Краснодар, 1974. Вып. 2. С. 143-153.1. ИЗ
90. Шеретов В.Г. Об одном варианте теоремы площадей // Мат. анализ. Вып. 3. Краснодар, 1976. С. 77-80.
91. Шеретов В.Г. К теории экстремальных квазиконформных отображений // Мат. сб. 1978. Т. 107, N 1. С. 146-158.
92. Шеретов В.Г. Квазиконформные отображения, экстремальные относительно своих граничных значений // Сиб. матем. журн. 1986. Т. 27 , N 4. С. 161-166.
93. Шеретов В.Г. Квазиконформные экстремали гладких функционалов и интеграла энергии на римановых поверхностях // Сиб. матем. журн. 1988., Т. 29 , N 3. С. 163-174.
94. Шеретов В.Г. К методу площадей для К-однолистных функций // Известия Сев.-Кавказ. науч. центра высш. школы. Естеств. науки. 1986. N 1. С. 30-33.
95. Шеретов В.Г. Метод площадей в метриках аналитических квадратичных дифференциалов, заданных на накрывающих сферы Римана // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1996. С. 116-124.
96. Шеретов В.Г. Оценки модуля третьего коэффициента в классах Sk (оо) // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1997. С. 121-126.
97. Sheretov V.G. Structural Formulae Method for the Planar Harmonic Mappings // International Conference on Geometric Function Theory dedicated to Herbert Grotzsch 1902 1993. Abstracts. P. 19. Halle, 2002.
98. Шеретов В.Г. Метод структурных формул в геометрической теории плоских гармонических отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2002. С. 30 39.
99. Шеретов В.Г. К проблеме коэффициентов для однолистных функций // Сиб. матем. журн. 2002. Т.43 , N 2. С. 472-481.
100. Шеретов В.Г. Метод структурных формул в геометрической теории гармонических отображений // Российской математике триста лет. Труды юбилейной научной конференции. Тверь, 2002. С. 70 - 78.
101. Шеретов В.Г. Новый подход к доказательству гипотезы Бибербаха // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2003. С. 100-115.
102. Шеретов В.Г. Доказательство гипотезы Кшижа для некоторых подклассов класса ограниченных голоморфных функций // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2003. С. 116-123.
